CALCULO DE PRIMITIVAS

I Una primitiva de una funcion es otra funcion que la tiene como derivada y esta definida en el mismo

intervalo (de forma que la primitiva sea continua en todo el intervalo y derivable en su interior).

Definicion El conjunto de primitivas de una funcion f recibe el nombre de integral indefinida de f∫f(x)dx = {F (x) + C/C ∈ R} con F (x) tal queF ′(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b).

� Las integrales inmediatas son derivadas en las que se ha aplicado la regla de la cadena:∫Der(f(x))f ′(x)dx = Fun(f(x))

∫(n+ 1)f(x)nf ′(x)dx = f(x)n+1

∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|

∫ef(x)f ′(x)dx = ef(x)

I Algunas integrales se transforman en inmediatas sumando y restando una misma cantidad o multiplicando

y dividiendo por un mismo numero.

� En el metodo de descomposicion se descompone la integral lo mas posible (propiedad distributiva)∫[αf(x) + βg(x)] dx = α

∫f(x)dx+ β

∫g(x)dx

� En el metodo de cambio de variable se sustituye la variable x por otra variable t

� Forma directa t = g(x) =⇒∫f(g(x))g′(x) dx =

∫f(t) dt (se puede aplicar a las inmediatas)

� Forma indirecta x = h(t) =⇒∫f(x) dx =

∫f(h(t))h′(t) dt

� En el metodo de integracion por partes se divide la integral derivando u e integrando dv∫udv = uv −

∫vdu

I “un dıa vı una vaca vestida de uniforme”.

I Hay que elegir u y dv de manera que la segunda sea facilmente integrable.

. Para elegir u se utiliza la regla de los alpes:

funciones Arco

funciones Logarımicas

funciones Potencias y Polinomios

funciones Exponenciales

funciones Seno y coseno

I Se puede repetir el proceso hasta que aparece una integral inmediata.

. Si aparece la misma integral se determinar una ecuacion y se despeja la integral.

I Algunas funciones se pueden integrar por partes tomando dv = dx

I Algunos cuadrados de funciones se integran por partes con la funcion actuando como u y como dv.

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Bloque .

� En el metodo de descomposicion en fracciones simples descomponemos los cocientes de polinomios

como suma de fracciones cuya integracion es inmediata y que se integran dependiendo de su forma.

I Para poder descomponer en fracciones simples el grado del numerador tiene que ser menor

que el grado del denominador. Si no es ası dividimos numerador entre denominador e integramos el cociente

como un polinomio aplicando el metodo de descomposicion al resto de la division∫P (x)

Q(x)dx =

∫C(x)dx+

∫R(x)

Q(x)dx.

I La descomposicion es una suma de fracciones simples con coeficientes genericos que depende de cuales

son las raices del denominador y cuyos coeficientes obtenemos sumandolas e identificando numeradores.

. A cada raız simple le corresponde un factor (x−α) que da lugar a una fraccion que resulta en logaritmo∫A

x− αdx = A ln|x− α|+ C

. A cada raız multiple de multiplicidad m le corresponde un factor (x− α)m que da lugar a m fracciones

la primera de las cuales resulta en un logaritmo y el resto en potencias

A1

x− α,

A2

(x− α)2, . . .

Am

(x− α)mcon

∫(x− α)−ndx =

(x− α)−n+1

(−n+ 1)(n 6= 1)

. A cada par de raıces complejas conjugadas le corresponde un polinomio irreducible de segundo grado

ax2 + bx+ c que da lugar a una fraccion que resulta en la suma de un logaritmo y una arcotangente

Mx+N

ax2 + bx+ c=

(ax2 + bx+ c)′

ax2 + bx+ c+

A

ax2 + bx+ c

Tipo logarıtmico (el numerador es la derivada del denominador)∫(ax2 + bx+ c)′

ax2 + bx+ cdx = ln|ax2 + bx+ c|+ C

Tipo arcotangente (el numerador es una constante)∫A

ax2 + bx+ cdx =

∫A

a[(x− α)2 + β2]dx =

A

aβarc tg

(x− αβ

)+ C

� Hay integrales irracionales que se resuelven por cambios de variable:

I Si aparecen q1√

(f(x))p1 , . . . , qn√

(f(x))pn se realiza el cambio f(x) = tq con q = m.c.m(q1, . . . , qn) si es

posible despejar x de esta igualdad.

� Hay integrales trigonometricas que se resuelven por cambios de variable y suele ser necesario utilizar la

formula fundamental de la trigonometrıa (sen2 x+ cos2 x = 1)

I Impar en seno t = cosx con dt = − senxdx

I Impar en coseno t = senx con dt = cosxdx

I Par en seno y coseno t = tg x con dt = (1 + tg2 x)dx y dx =dt

1 + t2

I Caso general t = tg (x/2) con dt = 12(1 + tg2 (x/2))dx y dx =

2dt

1 + t2

� En una integral con una raız de la forma√a2 − b2x2 se puede realizar el cambio x = a

bcos t.

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INTEGRALES DEFINIDAS� La integral definida de una funcion acotada en un intervalo [a, b]∫ b

a

f(x) dx

corresponde al area encerrada entre la curva y = f(x) y el eje OX desde

a hasta b (si f es positiva).

I La idea intuitiva es sumar las areas f(x)dx de los rectangulos de

altura f(x) y base dx a lo largo del intervalo [a, b].

y=f HxL

a bdx

f HxL

I Se define para a > b como −∫ a

bf(x) dx y para a = b como cero.

I La integral definida es lineal, momotona y su intervalo de integracion se puede descomponer.

I Si f y g son integrables en [a, b] con f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a, b] el area encerrada por estas funciones es

A =

∫ b

a

(g(x)− f(x)) dx

I (Condicion necesaria de integrabilidad) Si f es integrable en [a, b] entonces f esta acotada en [a, b]

I (Condicion suficiente de integrabilidad) Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

Proposicion (Primer teorema fundamental) Si f es continua en [a, b] entonces la funcion de acumulacion

F (x) =

∫ x

a

f(t) d(t)

es una primitiva de f (no siempre es posible obtenerla de forma explıcita)

I Si f es integrable en [a, b] la funcion de acumulacion es continua y si f es no negativa corresponde al area

encerrada por la curva y = f(x) y el eje X desde a hasta x.

Proposicion (Segundo teorema fundamental) Si f es integrable en [a, b] y G es una primitiva suya entonces

∫ b

a

f(x) dx = G(x)

]ba

= G(b)−G(a) (regla de Barrow)

I (Integracion por partes) Si f y g son continuas en [a, b] y derivables en (a, b)∫ b

a

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)

]ba

−∫ b

a

g(x)f ′(x) dx.

I (Cambio de variable t = g(x)) Si f es continua y g tiene derivada continua en [a, b]∫ b

a

f [g(x)] g′(x) dx =

∫ g(b)

g(a)

f(t) dt.

I (Cambio de variable x = g(t)) Si f es continua en [a, b] y g de clase C1 en [c, d] con g(c) = a y g(d) = b

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Bloque .

INTEGRALES DOBLES

� La integral doble de una funcion acotada en un recinto∫ ∫R

f(x, y) dx dy

corresponde al volumen encerrado entre la superficie z = f(x, y) y el plano

OXY sobre el recinto R (si f es positiva).dx dy

f Hx,yL

z=f Hx,yL

a bc

d

I Intuitivamente corresponde a sumar los volumenes f(x, y)dxdy de los prisma de altura f(x, y) y base

dx× dy en todo el recinto.

I La integral doble permite calcular areas considerando la funcion constante f(x, y) = 1 (la superficie esta

a una altura 1 y el volumen coincide numericamente con el area).

I La integral doble es lineal, momotona y su region de integracion se puede descomponer.

I (Condicion necesaria de integrabilidad) Si f es integrable en D entonces f esta acotada en D.

I (Condicion suficiente de integrabilidad) Si f es continua en D entonces es integrable en D

Proposicion (Teorema de Fubini) f integrable en un recinto D

� (Rectangulos) D = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}∫ ∫D

f(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y) dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y) dx

)dy

� (Barrido vertical) D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} con g1(x) ≤ g2(x) ∀x ∈ [a, b]∫ ∫D

f(x, y) dx dy =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dy

)dx

� (Barrido horizontal) D = {(x, y) ∈ R2/ c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} con h1(y) ≤ h2(y) ∀ y ∈ [c, d]∫ ∫D

f(x, y) dx dy =

∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dx

)dy

Proposicion (Cambio de variable) Si f es integrable en R y el cambio de variables es de clase C1 y biyectivo

entre D′ (region del plano uv) y D (region del plano xy) x = h1(u, v)

y = h2(u, v)=⇒

∫ ∫D

f(x, y) dx dy =

∫ ∫D′f(h1(u, v), h2(u, v))|Jh(u, v)| du dv

donde |Jh(u, v)| es el valor absoluto del determinante jacobiano de h.

I (Cambio de variable a coordenadas polares) Se describe el vector que

va del origen al punto utilizando su modulo, ρ =√x2 + y2, y el angulo que

forma con el eje OX, θ = arc tg(y/x). x = ρ cos θ

y = ρ sen θ

. El valor absoluto del determinante jacobiano es |Jh(ρ, θ)| = ρ.

Θ

Ρ

x= Ρ cosHΘL

y= Ρ senHΘL

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