CÁLCULO

4to. Semestre

Ing. José Ramón Anglés Barrios

1

ÍNDICE

Reglas de operación 3Criterios de evaluación 4

Propósito general de la asignatura 5Programa oficial de la asignatura 6

Desarrollo de contenidos y actividades del semestre 7Bibliografía

2

REGLAS DE OPERACIÓN

No hay retardos, para tener asistencia la primera hora (7:30A.M.) se tendrá una tolerancia de 10 minutos, en las horas siguientes no hay tolerancia, el alumno debe estar en el salón de clase cuando el maestro llegue.

En caso de llegar tarde si puede entrar a tomar la clase con falta, pero no puede entrar al salón de clases hasta que el maestro se lo indique.

Para salir al baño u otra parte, tiene que pedir permiso, en caso de mentir respecto a donde iba y va a platicar, a la cafetería o a otra parte diferente a donde indico, automáticamente se le prohibirá cualquier permiso.

Respecto al celular, está prohibido su uso durante la clase y exámenes, aunque sea para usar la calculadora, en caso de llamada urgente se permitirá contestar, pero eso será 1 o 2 veces en el semestre, en caso de más llamadas, ya no se permitirá contestar, el celular tendrá que estar en silencio o vibración.

Está totalmente prohibido meter cualquier tipo de alimentos al salón, así como bebidas, a excepción de agua natural.

Durante la clase no se podrá parar de su lugar, a menos que se levante a revisar algún trabajo.

Sobre la conducta es obvio que el alumno deberá tener un comportamiento adecuado, cada llamada de atención fuerte, se bajara entre una y cinco décimas dependiendo de la gravedad de la llamada de atención.

3

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

60% Las Evaluaciones, las cuales constaran de 2 o 3 exámenes por parcial.

20% Los trabajos y las tareas, las cuales tendrán que estar debidamente selladas, en caso contrario no se podrán contar, los trabajos no se aceptaran en hojas aparte, deben de estar en su cuaderno, así como las tareas, a menos que se pidan en hojas de maquina o alguna forma diferente.

20% La asistencia y conducta, recordando que las faltas justificadas son faltas, la forma de evaluar será, 0 faltas equivalen a 20%, 1 falta equivale al 15%, 2 faltas equivalen al 10% y 3 faltas equivalen al 5%.

EvaluaciónPromedio Exámenes

Promedio Trabajos y Tareas

Puntos por asistencia

Calificación Evaluación

Primera

Segunda

Tercera

Final

4

PROPÓSITO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Propósito formativo de la materia

Que el estudiante aplique conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos contextos (social, natural, científico y tecnológico, entre otros).

Propósitos formativos de la asignatura de Cálculo

Que el estudiante relacione conocimientos de diversas disciplinas (sistemas y reglas o principios medulares) para estructurar ideas, argumentos y crear modelos que den solución a problemas surgidos de la actividad humana, tales como: la distribución inequitativa de los recursos económicos y la propagación rápida de enfermedades, entre otros; así como de fenómenos naturales (cambio climático, contaminación por emisión de gases, etc.), aplicando el razonamiento, el análisis e interpretación de procesos infinitos que involucren razones de cambio.

5

CÁLCULO Objetivo.- Los estudiantes integraran los contenidos de la matemática antecedente, para resolver problemas que los conduzcan hacia los conceptos centrales de función, límite, derivada e integral. Que les permitan construir una imagen de su entorno con mayor coherencia y formalidad, para desarrollarse con solvencia en un entorno social, científico y tecnológico.

CÁLCULO

Introducción-Antecedentes Históricos.-Números Reales.-Sistema de coordenadas lineales y rectangulares.-Comportamiento. Límites-Límite de una función.-Propiedades.-Continuidad de una función. -Desigualdades.-Intervalo. Funciones-Dominio y contradominio.-Clasificación.-Operaciones.

Derivadas-Razón de cambio promedio de interpretación geométrica.-Derivación de funciones.-Fórmulas de derivación.-Derivadas sucesivas.-Comportamiento.

6

INTRODUCCIÓN

ANTECEDENTES HISTORICOS

¿Sabes cómo se originó el cálculo diferencial e integral?

Uno de los problemas que propició el cálculo diferencial fue dibujar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado. Los primeros intentos por resolverlo se remontan a la antigua Grecia (300 a.C.), en donde ilustres matemáticos como Euclides y Apolonio diseñaron métodos específicos para trazar las rectas tangentes a las cónicas (parábola, circunferencia, elipse e hipérbola).

El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del cálculo diferencial y del cálculo integral.

El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vació ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.

En 1666, el científico Ingles ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Casi al mismo tiempo el filosofo y matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ realizo investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, sobresale entre otros PIERRE FERMAT matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo Diferencial. Dicha obra influencio a LEIBNIZ a la invención del Cálculo diferencial. FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses, razón por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido. NICOLAS ORESME obispo de la comunidad de Lisieux, Francia estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varia mas pausadamente. JOHANNES KEPLER tiempo después, coincide con lo establecido por ORESME, conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la tangente es nula. ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del “Triángulo Característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.

7

NEWTON concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momento” de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir la velocidad. Por lo tanto, “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”, fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama “momento” que se identifica como la “diferencial”. El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”. La concepción de LEIBNIZ se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el triangulo característico de BARROW, observando que el triangulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triangulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos “dx, dy/dx”, la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a LEIBNIZ. AGUSTIN LOUIS CAUCHY matemático francés, impulsor del Cálculo diferencial e integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose para ello en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la de “función compuesta”, también se deben a CAUCHY. JACOBO BERNOULLI introduce la palabra “función” en el Cálculo Diferencial y la simbología “f(x)” se debe a LEONARD EULER; ambos matemáticos suizos. JOHN WALLIS enuncia el concepto de “limite” y la representación simbólica “lim” se debe a SIMON LHUILIER; el símbolo tiende a “→ ” lo implanto J.G. LEATHEM. Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del Cálculo diferencial se deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el Cálculo Diferencial continuo basándose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. El Cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc. En este momento de la historia somos capaces de describir los objetos en función de su comportamiento, de su movilidad y de su velocidad. Pero en los tiempos de Newton y Leibniz las herramientas de análisis se limitaban a la Aritmética, el Álgebra, la Geometría Plana, la Trigonometría y una Geometría Analítica de muy reciente creación. Había muchas dudas, pero al mismo tiempo mucho ingenio, y genios que buscaban respuestas. Uno de los problemas que más se resistía a ser solucionado era el problema llamado “Problema de las tangentes”. El problema consistía en encontrar un procedimiento sencillo y general para calcular la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto conocido. En aquel entonces se sabía que en los puntos máximos y mínimos la pendiente era igual a cero, y que ésta cambiaba muy lentamente en la cercanía de esos lugares.

8

Se sabía que una curva era una colección de puntos muy cercanos y que su pendiente cambiaba constantemente. Genios como Oresme, Fermat, Barrow, Descartes, Newton y Leibniz comenzaron a proponerse estructuras que contenían conceptos novedosos e imaginativos. Algunas aportaciones importantes:Fermat: Un método de Cálculo de Máximos y Mínimos en una curva conocida, procedimiento que tiene gran similitud al problema de las tangentes.Descartes: La Geometría Analítica como herramienta de trabajo para entender el comportamiento de las curvas.Barrow: El manejo de cantidades infinitesimales como punto de ataque al problema de las tangentes (Triángulo característico).Newton: Visualizar las curvas como trayectorias. El uso del Cálculo como herramienta científica.Leibniz: La creación de una notación consistente y útil. El uso del Cálculo como escalón poderoso para otras Matemáticas. Newton y Leibniz son considerados como los padres del Cálculo, ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del Cálculo diferencial, que se denomina “Problema de las tangentes” en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada. El Cálculo Infinitesimal se asienta en los conceptos de: FUNCIÓN, CONTINUIDAD, LÍMITE é INFINITESIMAL. Newton enunció su teoría de Fluxiones, que dice:“Se llama fluxión a aquella cantidad continua e infinitamente pequeña en función de otra de la misma naturaleza, que tiende a cero, esto es que tiene por límite cero” El Cálculo en sí, se convirtió entonces en una gigantesca herramienta, cuyo uso no se limita a la Física, Matemáticas y Astronomía, sino que por su utilidad se usa en otras ciencias como: Sociología, Biología, Economía, Antropología, Meteorología, Estadística, entre muchas otras en donde exista una Función.

9

Actividad 1.

Contesta las siguientes preguntas:

1.- ¿Qué es el cálculo infinitesimal?

2.- ¿En qué siglo se origina el cálculo diferencial y porque?

3.- ¿Quién fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de cambios de velocidad en un instante?

4.- Mencione lo que hicieron:Pierre Fermat

Nicolas Oresme

Johannes Kepler

Isaac Barrow

Agustin Louis Cauchy

Jacobo Bernoulli

Leonard Euler

John Wallis

10

Simón Lhuilier

J.G.Leathem

5.- ¿Cual era uno de los problemas que más se resistía a ser solucionado?

6.- ¿Quiénes son considerados los padres del cálculo?

7.- ¿En qué conceptos se asienta el cálculo infinitesimal?

8.- ¿Qué dice la teoría de fluxiones de Newton?

11

NÚMEROS REALES.

Los números naturales son considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad. Inicialmente su representación fue hecha por medio de marcas, agregando una marca por cada unidad adicional, por ejemplo: I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIIII,… Si observamos este tipo de representación para ciertos valores, deja de ser conveniente; intenta de esta manera representar el número 68. Esto cambia si las marcas se agrupan. Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números. El antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos:

α ,β , γ , δ , ε ,ξ , η ,θ ,ι , ϕ , κ , λ , μ , ν , ξ , ο , π , ρ , σ , τ , υ , φ , χ , ω

Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales, y parecen estar más cerca del método de las marcas. Para agrupar emplean un solo símbolo para representar algunas cantidades (IIIII pasa a ser V) e introducen la convención de que IV denota “uno antes que cinco”. Algunos números romanos son: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,… En nuestro sistema numérico también se representan los números naturales, como lo has visto a lo largo de tu vida: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… Se puede argumentar, y con razón, que cualquiera de los sistemas anteriores es más razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal, puesto que se puede ver, por lo menos, cierta lógica en la secuencia de los números. Los números romanos se construyen de una forma muy natural, empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas, con nuevos símbolos como V, X, L, C, D, M, etc., los cuales se introducen cuando es necesario. En contraste, nuestro sistema decimal empieza con diez distintos símbolos abstractos y a excepción del uno, que es igual en casi todos los sistemas, cada símbolo parece por completo ajeno y sin relación con el número que representa. La primera ventaja considerable de nuestro sistema la encontramos cuando contamos números grandes. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un número. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin, mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica.

Los números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales), cero y enteros negativos (naturales negativos). La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.C. y siempre se les rechazó porque se pensaba que no correspondían a la solución de problemas prácticos. Fueron llamados “absurdos” por Diofanto en el siglo III d.C., y por el alemán Michel Stifel, brillante estudioso del álgebra del siglo XIV, Cardano los llamó “ficticios”, para Descartes eran “raíces falsas”. Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos; aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar

12

números positivos y negativos; éstas las enunciaron de forma indirecta porque no usaban los signos + y -.

Los números racionales son aquellos que se expresan como el cociente de dos números enteros, con la condición de que el divisor no sea cero. Por ejemplo

3 ,29100

, 2. 157 .

Cuando se escriben en su forma decimal, presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. En la antigua Grecia los pitagóricos pensaban que todo se relacionaba con números enteros o con razones de números enteros. Por ejemplo, asociaron al 2 con el hombre, al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio. Observaron que un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava; la razón 3 a 2, una quinta; y la razón4 a 3, una cuarta, que son unas de las armonías más agradables al oído. Este descubrimiento es considerado el primero de la física-matemática. Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales a 1, la hipotenusa, llamada c, debe satisfacer la ecuación:

c2=12+12=2 . Entonces descubrieron que c no puede ser un número racional. Esto causó una grave crisis en la filosofía griega de aquel momento.

Los números irracionales. Como ya se dijo, si: c2=12+12=2 , los pitagóricos

descubrieron que c no puede ser un número racional. Este tipo de números son llamados irracionales, una de sus características es que poseen una cadena de decimales que no tiene fin y cuya sucesión no es periódica, por ejemplo

√2=1 .41421356 .. . , e , π ,etc .

Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en los cursos de matemáticas, a este conjunto de todos estos números se les conoce como los números reales.

13

Actividad 2.

Contesta las siguientes preguntas:

1.- ¿Los números naturales como son considerados?

2.- ¿Cuál es una ventaja de nuestro sistema numérico respecto a otros?

3.- ¿Cuáles son los números enteros?

4.- ¿Cuáles son los números racionales?

5.- ¿Cuáles son los números irracionales?

6.- ¿Cuáles son los números reales?

14

Solución de problemas de máximos y mínimos.

Problema modelo:Se pretende construir una caja sin tapa con una hoja de cartón que mide 16 cm. de ancho y 20 cm. de largo, cortando cuadros en las esquinas y luego doblando como lo muestran las siguientes figuras. ¿Cuál será el valor de “x” para que la caja sea de máximo volumen?

Dándole valores a “x” y calculando b, a, v.

Generamos la siguiente tabla.PARA x(cm)

b = (20 – 2x)(cm)

a = (16 – 2x)(cm)

VOLUMENV = abx (cm)

1 18 14 252 cm3

2 16 12 384 cm3

3 14 10 420 cm3

4 12 8 384 cm3

5 10 6 300 cm3

6 8 4 192 cm3

7 6 2 84 cm3

15

Donde

0 ¿¿¿

¿

De los valores de “x” y los valores de “v”, obtenemos la siguiente gráfica.

Si se observa la tabla y la gráfica, el volumen máximo se obtiene cuando x≅ 3 , pero esta es una solución aproximada y con este método tendríamos que hacer otro tanteo entre 2.5 y 3.5 y después otro y otro, hasta llegar a la solución exacta, lo cual se vuelve laborioso y tedioso.Otro método de solucionar este problema será estableciendo un modelo matemático y resolver por cálculo diferencial para llegar directo a una solución precisa de la siguiente forma:

Definiendo la ecuación del volumen:

V = b a xV = (20 – 2x)(16 - 2x) xV = (20 – 2x) (16x – 2x2)V = 320x – 40x 2 – 32x 2 + 4x3

V = 4x3 – 72x2 + 320x.....Ecuación del volumen de la caja a construir.

Derivando esta ecuación:

dvdx

= d ( 4 x3 – 72 x2+320 x )

dx

16

dvdx

= 12x2 – 144x + 320

Igualando esta derivada a cero para obtener los puntos máximo y/o mínimo en el eje “x” tenemos:

12x2 – 144x + 320 = 0

Solucionando esta ecuación de segundo grado aplicando la formula general para obtener el punto máximo en ”x”

x = -b ± b2 – 4ac donde a=12, b=-144 y c=320 2a

Sustituyendo estos valores en la fórmula, tenemos:

x=+144±√ (−144 )2−4 (12 ) (320 )24

=144±√537624

=144±73 .321224

x1=144+73 .321224

=9 . 0550 x2=144−73 . 321224

=2 . 9449

x1 no puede ser porque 0 ¿¿¿

¿

∴ para x2 = 2.9449 Cm ∷ V=420.1104 Cm3

FUNCIONES.

El concepto de función como caso particular de relación, la idea de función surge de un proceso donde se analizan los cambios y movimientos que dependen de una longitud o magnitud base con respecto a otra, por ejemplo:

La velocidad que lleva un móvil depende de la distancia que recorre en un tiempo

determinado. (v=dt

)

El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado (A = l2 ).El volumen de una esfera depende de su diámetro.

17

La caja tiene su máximo volumen

Por lo tanto se afirma que una función es una relación de cambio, ya que al provocar un cambio en una variable, la otra también altera su valor. En otras palabras, a cada elemento de un conjunto le corresponde otro elemento de un segundo conjunto.

El concepto de Función: La relación.Se llama relación a la correspondencia entre elementos de dos conjuntos.

Polígono de 6 lados (Hexágono)

Línea curva

Triángulo

Cubo

Rectángulo

El concepto de Función: Correspondencia uno contra uno.Cuando en una relación la correspondencia se da de uno contra uno, entonces a esta relación se le nombra FUNCIÓN.

y=2x-3

conjunto x conjunto y

-3 -9-2 -7-1 -50 -31 -12 13 34 55 7

La palabra Función se usa en matemáticas con un significado técnico muy preciso y referido a relaciones que se establecen entre fenómenos y situaciones que provienen del mundo real y cotidiano es así que en la vida diaria siempre el hombre se enfrenta a diversas situaciones matemáticas, que en numerosas ocasiones no se percata que se está utilizando, como por ejemplo en el manejo de cifras numéricas en correspondencia

18

con otra, tales como: la cantidad de kilómetros recorridos por un vehículo con el gasto de combustible; la cantidad de lluvia caída en un día determinado; la escala de Richter para medir la magnitud de los sismos; la ingesta de alcohol y sus consecuencias; la cantidad de un determinado artículo y su precio, etc. Todas estas situaciones son “Funciones reales”, es decir que sin darse cuenta el hombre usa las matemáticas en el diario vivir. Una función en Matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Constantes y Variables

Constantes. Cantidades cuyo valor no cambia durante el desarrollo de una operación.

Las constantes pueden ser absolutas o arbitrarias., así, en la expresión y=3 x+2 , 3

Y 2 son constantes absolutas, porque nunca cambian, pero, en x2+ y2=a2

, que es la ecuación de una circunferencia, a representa el radio, y se pueden suponer circunferencias grandes o pequeñas, en las que a tendrá diferentes valores, y solo permanecerá constante en un problema determinado. Las constantes se representan con números o con las primeras letras del alfabeto. Variables. Son cantidades a la que se le asigna un número ilimitado de valores.. Las variables son de dos clases: independientes y dependientes, a la independiente se le asignan valores posibles a ser usados en la función, la dependiente obtiene su valor al ser efectuada la función sobre la variable independiente.

El radio de una circunferencia puede variar independientemente de cualquier otra magnitud, mientras que la superficie del círculo varía forzosamente, al variar el radio: el radio es, en este caso, variable independiente, y la superficie es variable dependiente.

Análogamente, dado y=x2−12 x+32 , a todo cambio de x corresponde otro para y, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Función. La variable dependiente se llama función. Por lo que basándonos en lo anterior, diríamos, que y es una función de x en un intervalo, cuando a todo valor de x de ese intervalo se hace corresponder, de alguna manera, un valor para y. Notación. La dependencia de la función con respecto a la variable independiente, por ejemplo: que la circunferencia C es función del radio r, que el volumen V de un cubo es función de la arista a, se indica, simbólicamente escribiendo: C=f(r) y V=f(a).

En el siguiente caso y=3 x2+2 x−6 , y depende del valor de x, por lo tanto se puede

decir que: y=f(x) o f ( x )=3 x2+2 x−6 .

19

TIPOS DE FUNCIONES.

Se clasifican en funciones algebraicas y funciones trascendentes.

Funciones algebraicas son aquellas que están formadas por un número infinito de operaciones algebraicas, tales como suma, resta, multiplicación, división, etc., Las funciones algebraicas pueden ser racionales e irracionales, ejemplo:

Función Algebraica Función racional es aquella que no está afectada con radicales o exponentes fraccionarios; ejemplo:

f(x) = 11ax5 , Función Racional

Función irracional es aquella que si está afectada con radicales y/o exponentes fraccionarios, ejemplo:

f(x) = ax2/3

Función f(x) = 3x2 +5x+8 Irracional

Función polinomial es un polinomio, ejemplo:

C0 + C1 X +C2 X2 +C3 X3 +…+ Cn xn , donde los coeficientes C0, C1, C2 , …, Cn son números reales y los exponentes 0, 1, 2, 3,…, n, son números naturales donde el mayor ”n”es el grado del polinomio (si Cn ≠ 0 ).

Función trascendente es aquella que no cumple con las condiciones de una función algebraica y pueden ser funciones circulares, logarítmicas o exponenciales, ejemplos:

23, sen x, loga x

20

f(x)=x3+27( x+3 ) f ( x )=(x2−2 x+3)2

√2 x+1

f ( x )= x3+9x2+2

a b

RESUMEN DE FUNCIONES:

Lineal Racional Polinomial Cuadrática Función Cúbica, Algebraica etc. Irracional

Funciones Trigonométricas directas Reales Circular Función Trigonométricas inversas Trascendente Exponencial

Logarítmica

INTERVALO DE UNA VARIABLE

Es cuando una variable toma valores que están comprendidos entre dos puntos de referencia y se denominan extremos del intervalo.

Dominio y Rango

Dominio de la función: se le llama al conjunto de todos los números que pueden ser usados en una función, ó sea, es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente. Rango (contradominio) de la función: se le llama al conjunto de todos los números que en una función son obtenidos al evaluarla en el dominio, ó sea, es el conjunto de todos los valores obtenibles de la variable dependiente.

Notación de intervalos

Para poder utilizar intervalos en la presentación de Dominios y Rangos hace falta conocerlos.

Nombre del intervaloDesigualdad

Notación de Intervalo

Notación de Conjuntos

21

Abierto (a < x < b) (a, b) {x R : a < x < b}

Semiabierto por la izquierda (a < x b] (a, b] {x R : a < x b}

Semiabierto por la derecha [a x < b) [a, b) {x R : a x < b}

Cerrado [a x b] [a, b] {x R : a x b}

Infinito abierto a la derecha (x > a) (a, ) {x R : x > a}

Infinito cerrado a la derecha [x a) [a, ) {x R : x a}

Infinito abierto a la izquierda (x < b) (, b) {x R : x < b}

Infinito cerrado a la izquierda (x b] (, b] {x R : x b}

Tabulación: es el registro en una tabla, del dominio y su correspondiente rango. Gráfica: es el dibujo o esquema que representa una función en un sistema de coordenadas rectangulares y del cual se puede sacar información sobre su comportamiento. Usualmente después de tabular se gráfica.

Ejemplos:

Dada la función y=√x−5

, encontrar el dominio y el rango y dibujar la gráfica.

x y3 Imag4 imag5 06 17 1.41428 1.7329 210 2.236

Dada la función y=4x, encontrar el dominio y el rango y dibujar la gráfica.

x y-4 -16

22

Como se puede observar el

dominio de la función va desde

5 hasta +α, y su rango o

contradominio desde 0 hasta

+α, hay que notar que la función

no acepta ciertos valores.

-3 -12-2 -8-1 -40 01 42 83 124 16

Dada la función y=√9−x2+3 , encontrar el dominio y el rango y dibujar la gráfica.

x y3 32 5.231 5.820 6-1 5.82-2 5.23-3 3

Como se puede observar el dominio de la función va desde -3 hasta 3, y su rango o contradominio va desde 3 hasta 6. Hay que notar que la función no acepta ciertos valores.

23

Grafica la función.

Como se puede observar el dominio de la función va desde - α hasta +α, y su rango o contradominio desde - α hasta +α.

Actividad 3.

Dadas las siguientes funciones, encuentre el dominio y el rango y dibuje la gráfica:

y=5 x+4

y=√x2−7

y=x2+5 x−3

y=√8−x2+1

y=√x3−8

y=√x−2

24

OPERACIONES CON FUNCIONES

Valor numérico de una función. Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al efectuar las operaciones indicadas después de haber sustituido las letras por números, a cada letra, un número único que puede ser el mismo para diferentes letras pero no puede ser distinto para la misma letra en posiciones distintas. El valor numérico de una expresión algebraica depende de los valores atribuidos a sus letras. Una expresión algebraica puede tener diversos valores numéricos al variar los valores atribuidos a las letras.

Por ejemplo, el valor numérico de la función algebraica siguiente para x=2 :

f ( x )= x+2x Si x=2 entonces

f (2)=2+22

=42 f (2)=2

Ejemplos: Resuelva las siguientes funciones:

Si

f ( x )=3 x2−2x+5 , hallar f (2) , f ( 2

3) , f (√2) , f ( x+h ) , f ( a

5) .

f (2)=3 (2 )2−2 (2 )+5= 12−4+5= 13

f (2

3 )=3(2

3 )2−2 (2

3 )+5= 3 (4

9 )−4

3+5= 12

9−4

3+5=12−12+ 45

9=45

9=5

f (√2 )=3 (√2 )2−2 (√2 )+5=3 (2 )−2√2+5=11−2√2

f ( x+h )=3 ( x+h )2−2 ( x+h )+5=3 ( x2+2 xh+h2 )−2 ( x+h )+5=3 x2+6 xh+3 h2−2 x−2 h+5

f (a

5 )=3 (a

5 )2−2(a

5 )+5=3 a2

25−2 a

5+5=3 a

2−10 a+12525

Si f ( x )=x3−7 x2−6 x+42, demostrar que: a ) f (1 )=30 , b ) f (7 )=0 ,c ) f (0)=−7

2f (3) ,

d )3 f (−1 )=−4 f (6) , e ) f (9 )=5 f (1 ), f ) f ( z+2 )=z3−z2−22 z+10.

25

f (1 )=(1 )3−7 (1 )2−6 (1 )+42=1−7−6+42=30

f (7 )=(7 )3−7 (7 )2−6 (7 )+42=343−343−42+42=0f (0 )=(0 )3−7 (0 )2−6 (0 )+42=0−0−0+42=42

f (3 )=(3 )3−7 (3 )2−6 (3 )+42=27−63−18+42=−12∴42=−7

2(−12 ) 42=84

242=42

f (−1 )=(−1 )3−7 (−1 )2−6 (−1 )+42=−1−7+6+42=40f (6 )=(6 )3−7 (6 )2−6 (6 )+42=216−252−36+42=−30∴3 ( 40 )=−4 (−30 ) 120=120

f ( 9 )=(9 )3−7 (9 )2−6 (9 )+42=729−567−54+42=150 ∴ 150=5 (30 ) 150=150

f ( z+2 )= ( z+2 )3−7 ( z+2 )2−6 ( z+2 )+42=z3+6 z2+12 z+8−7 z2−28 z−28−6 z−12+42=z3−z2−22 z+10

Dada

f ( x )= 2 x2+1x2+x−2

, obtener f (√2 ) , f (−2) .

f (√2 )=2 (√2 )2+1

(√2 )2+√2−2=

2 (2 )+1

2+√2−2=5

√2

f (−2 )=2 (−2 )2+1

(−2 )2+(−2 )−2=8+1

4−2−2=9

0=α

Dada f ( z )=1

z, demostrar:

a ) f (2 )−f (b )=f ( 2 bb−2

) , b) f ( x+h)−f ( x )=− h

x2+xh .

f (2 )=1

2f (b )=1

bf (2 b

b−2 )=12b

b−2

=b−22b

∴ 12−

1b

=b−22b

f ( x+h )=1x+h

f ( x )=1x

1x+h

−1x=x−( x+h )

x2+ xh=

x−x−h

x2+xh

=−h

x2+xh

∴ −h

x2+xh

=−h

x2+xh

Dada f ( x )=3x , demostrar que: a ) f (0 )=1 , b ) f ( x+1)−f ( x )=2 f ( x ) ,

c ) f ( y )⋅f ( z )=f ( y+z ) , d ) f (x+2 )−f ( x−1)=263

f ( x ), e )f ( x+4 )f ( x−1 )

=f (5 ).

26

f (0 )=30=1

f ( x+1 )=3x+1 f (x )=3x 2 f ( x )=2 ( 3x ) 3x+1−3x=3x 31−3x=3x (31−1 )¿3x (3−1 )=3x (2 )=2 (3x )f ( y )=3y f ( z )=3z f ( y+z )=3 y+ z 3 y⋅3z=3 y+z

f ( x+2 )=3x+2 f ( x−1 )=3x−1 263

f (x )=263

( 3x )

3x+2−3x−1=3x 32−3x3−1=3x (32−1

31 )=3x (9−13 )=3x (27−1

3 )=263

(3x )

f ( x+4 )=3x+ 4 f ( x−1 )=3x−1 f (5 )=35

3x+4

3x−1 =

3x3

4

3x3

−1 =3

4

3−1 =34 31 =35

Dada f ( x )=10+12 x−3 x2−2 x3 , demostrar que: a ) f (1 )=17 , b ) f (3)=−35 ,

c )2 f ( 12)=5 f (2) , d ) f ( t +1)=−2 t3−9 t2+17 , e ) f (−1)=−3 , f ) f (−2)=−f (0 ).

f (1 )=10+12 (1 )−3 (1 )2−2 (1 )3=10+12−3−2=17

f (3 )=10+12 (3 )−3 (3 )2−2 (3 )3=10+36−27−54=−35

f (12 )=10+12(1

2 )−3(12 )2−2 (1

2 )3=10+12(12 )−3 (14 )−2(1

8 )=10+122

−34−2

8

¿ 80+ 48−6−28

=1208

=15

f (2 )=10+12 (2 )−3 (2 )2−2 (2 )3=10+24−12−16=6 2 (15 )=5 (6 ) 30=30

f ( t +1 )=10+12 ( t +1 )−3 (t+1 )2−2 ( t+1 )3=10+12 ( t +1 )−3 (t2+2 t+1 )−2 (t3+3 t2+3 t+1 )10+12 t+12−3 t2−6 t−3−2t3−6 t2−6 t−2=−2 t3−9 t2+17f (−1 )=10+12 (−1 )−3 (−1 )2−2 (−1 )3=10−12−3 (1 )−2 (−1 )=10−12−3+2=−3f (−2 )=10+12 (−2 )−3 (−2 )2−2 (−2 )3=10−24−3 ( 4 )−2 (−8 )=10−24−12+16=−10

f (0 )=10+12 (0 )−3 (0 )2−2 (0 )3=10+0−0−0=10 ∴ −f (0 )=− (10 )

Actividad 4.

Resuelva las siguientes funciones:

f ( x )=7 x3−2x2+5x−2 , encontrar f (0) , f (−1 ), f (4 ) , f ( a+b ), f ( 3

5), f (a−b)

.

27

f ( x )=6 x2−4 x−21, encontrar f (0) , f (−3 ) , f (7 ) , f (a+b ) , f ( 2

3) .

f ( x )=4 x2−7 x+13 x−6

, encontrar f (0) , f (1 ) , f (−2) , f ( x+h ) , f (a−b ).

f ( x )=3 x3−4 x2+2 x−72 x2+3 x−1

, encontrar f (−1 ) , f (3 ), f ( x+3 ) , f ( x−1 ), f ( x+h) .

f ( x )=1x

, encontrar f (2) , f ( x+h ) , f (0 ), f (−1 ) , f ( x−2)−f (x ).

f ( x )=7x , encontrar f (5) , f (−2 ), f (1) , demostrar

f (0)=1 , f ( x+1)−f ( x )=6 f ( x ) , f (x+3 )− f ( x−1)=24007

f ( x ),f ( x+3 )f ( x−2 )

=f (5 ).

28

Sea f ( x )=2 x3+x2−3 x+1 ; calcular:

f ( x+h)−f ( x )h

.

Dada f ( x )=5x , demostrar que: a ) f (0 )=1 , b ) f ( x+1)−f ( x )=4 f ( x ) ,

c ) f ( x+3 )−f ( x−1 )=6245

f ( x ) , d )f ( x+2)f ( x−1 )

=f (3 ), e ) f (z )⋅f ( y )⋅f ( x )=f ( z+ y+ x ).

Dada f ( x )=x2−x−2 , demostrar que: f ( x+h)−f ( x )=h(2 x+h−1 ).

29

LÍMITES.

En el estudio del cálculo, el conocimiento elemental de límite es fundamental, por lo que es necesario explicarlo más prácticamente para su comprensión y entendimiento ¿Qué se entiende por límite? Comúnmente se habla del límite de velocidad, del límite entre 2 naciones, del límite de peso de un boxeador, del límite de paciencia, del límite de elasticidad de un cable, etc.Ejemplo práctico es un resorte de una pluma. Se llama límite a una cantidad constante, a cuyo valor se va acercando otra que es variable, sin alcanzarlo nunca.

Limite de una función: si consideramos la función f definida por f ( x )= x3−8

x−2 donde

el dominio contiene todos los números reales excepto x=2 . Si queremos hallar el límite def ( x ) al aproximarse x a 2, es decir, no nos interesa hallar el valor de f ( x ) puesto que f ( x ) no está definida en x=2 , lo que se busca es el valor al que se acerca f ( x ) cuando x lo hace a 2.

Se determina f ( x ) considerando valores de x próximos a 2.

x 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5f ( x ) 9.25 10.5625 11.41 11.9401 11.9940 ? 12.006 12.0601 12.61 13.5625 15.25

De la tabla anterior deducimos que el límite de f ( x ) cuando x se acerca a 2 es 12, es decir f ( x )→12 cuando x→2 , también se representa este límite por

lim f ( x )=12x→2

30

También se puede factorizando:

f ( x )= x3−8x−2

=( x−2 ) ( x2+2 x+4 )

x−2=x2+2 x+4=4+4+4=12

.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Al explicar la definición de límite se utilizaron algunas propiedades, una relación de las mismas se presenta a continuación:1. Si “c” es una constante, el límite de “c” cuando x tiende a “a”, es igual a “c”

Lim c = c Lim 5 = 5 x→a x→2 2. El límite de “x” cuando x tiende a “a” es igual a “a”

Lim x = a Lim x = 3 x→a x→3

3. Si “c” es una constante y “f” una función, el límite del producto constante por función cuando x tiende a “a”, es igual al producto de la constante por el límite de la función.

Lim c f(x) = c Lim f(x) Lim 4x = 4 Lim x = (4)(2)=8 x→a x→a x→2 x→2

4.- Si f(x) y g(x) son funciones, el límite de un producto de funciones cuando x tiende a “a”, es igual al producto de los límites de las funciones

Lim f(x) . g(x) = Lim f(x) . Lim g(x) x→a x→a x→a

Esta propiedad también se expresa en una forma general para cualquier entero ”n” positivo por:

Lim xn = an

x→a Ejemplo: ⇒ Lim x2 = Lim x ∙ Lim x = (3) (3) = (3)2 = 9 x→3 x→3 x→3

Directamente: ⇒ Lim x2 = 32 = 9 x→3

5.- Si f y g son funciones, el límite de una suma o diferencia cuando x tiende a “a”, es igual a la suma o diferencia de los límites de las funciones.

31

Lim f(x) ± g(x) = Lim f(x) ± Lim g(x) x→a x→a x→a

Ejemplo:

Lim f(x) = Lim (3x2+2x) x→5 x→5 = 3Lim x2 + 2 Lim x x→5 x→5 =3 (5)2 + 2 (5)

=75 + 10 =85 =Lim f(x) = 85 x→5

6.- Si f y g son funciones, el límite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los límites de las funciones, siempre y cuando el límite de la función del denominador sea diferente de cero.

Lim f(x) Lim f(x) = x→a , Si, Lim g(x) ¿ 0 x→a g(x) Lim g(x) x→a x→a Ejemplo:

Lim (5x3 -3) Lim 5x3 – 3 = x→2 = 5(2)3 -3 = 40 - 3 = 37x→2 2x + 1 Lim (2x+1) 2(2)+1 4+1 5 x→2

7.- Si” f” es una función, el límite de una raíz enésima de una función cuando “x” tiende a “a”, es igual a la raíz enésima del límite de la función.

Lim f (x) = Lim f(x) x→a x→a

Lim 2x2+1 = Lim (2x2+1) = 2Lim x2+ Lim 1 = 2(2)2 + 1x→2 x→2 x→2 x→2

32

= 8+1 = 9 = 3 Lim f(x) =3 x→2

Calculo del límite de funciones.

Existen varios casos para calcular el límite de una función.

Caso I. Si la función dada esta totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando lugar al límite buscado.Ejemplos:

y=x2+2 x−1 x→2 y=(2)2+2(2)−1=4+4−1=7

y= x3+5 x4 x−6

x→12

y=(1

2)3+5 (12)

4 (12 )−6

=1

8+5

24

2−6=

1+20

8

2−6=

21

8

−4=−21

32

y= x2+2 x−3x+1 x→1

y=(1 )2+2 (1 )−3

1+1=1+2−3

2=0

2=0

y=2 x2−3 x+1x+2 x→−2

y=2 (−2 )2−3 (−2 )+1

−2+2=8+6+1

0=15

0=α

Caso II. A veces es necesario simplificar la expresión dada, antes de sustituir directamente el valor de la variable independiente, ya que de no hacerlo, da lugar a la forma

indeterminada( 0

0 ), la transformación se obtiene mediante la factorización.

Ejemplos:

y= x2−x−12x−4 x→4

y=( x−4 ) ( x+3 )

x−4=x+3=4+3=7

y= x2+x−6x2−4 x→2

y=( x+3 ) ( x−2 )( x+2 ) ( x−2 )

= x+3x+2

=2+32+2

=54

y= x3−27x2−9 x→3

y=( x−3 ) ( x2+3 x+9 )

( x−3 ) ( x+3 )= x2+3 x+9

x+3=

(3 )2+3 (3 )+93+3

=9+9+96

=276

Caso III. Para calcular el límite de una función dada, es necesario simplificar mediante la racionalización del numerador o denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente directamente en la expresión, ya que de no hacerlo, da lugar a la indeterminación.Ejemplos:

y=√ x−√2x−2 x→2

y= √x−√2x−2 ( √x+√2

√x+√2 )= x−2

( x−2 ) (√x+√2 ) =1

√x+√2aplicamos x→2 1

√2+√2= 1

2√2

33

y= x

√ x+1−1 x→0 y= x

√x+1−1 ( √x+1+1

√x+1+1 )= x (√x+1+1 )x+1−1

= x (√x+1+1 )x

=√ x+1+1 aplicamos x→0 √0+1+1=√1+1=2

y= 4−x2

3−√x2+5 x→2 y= 4−x2

3−√x2+5 ( 3+√ x

2+5

3+√ x2+5 )= (4−x

2 ) (3+√ x2+5 )

9−( x2+5 )=

( 4−x2 ) (3+√ x

2+5 )9− x

2−5=3+√ x2+5 x→2 3+√4+5=3+3=6

Caso IV. Cuando se desea obtener el límite de un cociente de polinomios y si la variable independiente tiende a infinito, en este caso es necesario dividir el numerador y denominador por la variable de mayor exponente que entra en el cociente, antes de sustituir

directamente el valor a que tiende dicha variable.

c¿=0

Ejemplos:

y= 4 x3−5 x2+67 x−3 x2+9 x3

x→α

y=

4 x 3

x3 −

5 x2

x3 +

6x

3

7 xx

3 −3 x2

x3 + 9 x

3

x3

=4−

5x+

6x

3

7x

2 −3x+9

aplicamos x→α4−0+00−0+9

=49

y= 2−5 x2

4 x+8x2 x→α

y=

2

x 2−5 x

2

x2

4 xx

2 + 8 x2

x2

=

2x

2 −5

4x+8

aplicamos x→α0−50+8

=−5

8

y=a2 x3+2 ax2+3 x4−3 ax−2a3 x3

x→α

y=

a2 x3

x3 +

2ax2

x3 +

3xx

3

4x

3 −3 axx

3 −2 a3x

3

x3

=a

2 +2ax

+3x

2

4x

3 −3ax

2 −2 a3aplicamos x→α

a2+0+0

0−0−2a3 =a2

−2 a3 =−1

2a

34

Actividad 5.

Resuelve los siguientes límites:

Caso I

y=4 x2−7 x+3 x→2y=2 x3+x2−7 x+3 x→−3

y=x+1x

x→1

y=x2+5 x−6x−1

x→−5

y=x2+2 x−3x−5

x→4

y=x−5x2−2 x+3

x→2

y=x2−6 x+11x−3

x→3

Caso II

35

y=x+3

x2−3 x−18x→−3

y=x2−9x2+2 x−15

x→3

y=x+2x3+8

x→−2

y=x2−15 x+56x−7

x→7

y=x2−4 x−21x+3

x→−3

y=x2−7 x−8x−8

x→8

y=x2+11 x−42x2−9

x→3

y=x3−27

x2−9x→3

y=2 x2−x−3x+1

x→−1

y=x2−36x3+216

x→−6

y=9x2−3 x3 x

x→0

y=7 xx

x→0

y=2x−64 x2−36

x→3

y=x+3x3+27

x→−3

y=2x−108x3−1000

x→5

y=25 x2−815 x+9

x→95

y=x3−64x−4

x→4

y=x2−49√x−7

x→7

Caso III.

36

y=√5+x−√5x

x→0

y=25−x2

3−√ x2−16x→5

y=x2−9

√x2+7−4x→3

y=36−x2

4−√ x2−20x→6

y=x2−1

√x2+3−2x→1

y=1−x2

2−√ x2+3x→1

y=x2−4

√x2−3−1x→2

y=x2−16

√x2−7−9x→4

y=5−√25+xx

x→0

y= 2 x

√ x+9−3x→0

Caso IV.

y=7 x3+4 x+111 x3+5 x2−12

x→∝

y=3 x2−5 x+2

7 x2+5 x−8x→∝

y=8 x 4−6 x3+2 x−77 x3+2 x2−5 x−1

x→∝

y=7 x5−3 x3+4 x2+86 x5−7 x3+9

x→∝

y=2 x3−7 x2+4 x−5

6 x 4−3 x3−2 x+3x→∝

y=x3−2 x2+5 x−76−2 x+5 x2−7 x3

x→∝

37

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Una función es continua si su grafica presenta ausencia de vacios, esto quiere decir que se puede trazar sin despegar el lápiz del papel.

LA DERIVADA

38

Podemos entender a la derivada como la pendiente de una línea recta:

m = y2− y1

x2−x1 ; Se define también como la Tangente de ∝ (tan∝), donde ∝ es el angulo

menor que forma la recta con el eje de las ”x”.

NOTACION DE DERIVADA

La podemos encontrar en cualquiera de las siguientes formas:dydx

= y '= limΔx→0

ΔyΔx

= limΔx →0

( f ( x+Δx )−f ( x )Δx )

dydx

⇒ Se lee la derivada de “y” con respecto a 2x” (no es un cociente)

y´ ⇒

Es una forma abreviada de

dydx

INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Si disparamos un proyectil cuya trayectoria se representa por la ecuación

y=−0 .05 x2+2 x . Dando valores a x = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40} obtenemos el respectivo valor de y.Si realizamos la gráfica correspondiente, observamos los puntos por donde se desplaza este proyectil.

x 0 5 10 15 20 25 30 35 40y 0 8.75 15 18.75 20 18.75 15 8.75 0 Si enseguida nos preguntamos: ¿Cuál es la dirección y sentido (trayectoria) del proyectil cuando va en el punto (5, 8.75)?, Sabemos que su trayectoria está definida por un vector o recta tangente que toca exactamente este punto de la curva, nuestro problema será definir la posición de esta recta.Esto es, conocer el Angulo ∝ que se muestra en la gráfica.Dicho de otra forma, ¿Dónde está la tangente?

y=−0 .05 x2+2 x

tan s3 s2 s1

39

Para su solución, generamos y resolvemos los triángulos rectángulos donde:

tgθ= c .o .c .a .

= ΔyΔx

Así obtenemos la razón de cambio de la altura ”y” del proyectil conforme aumenta su distancia horizontal en “x”.cambio de alturacambio horizontal

= ΔyΔx

Cuando x=5 , y=8 .75 , y x=20 , y=20

tenemosΔyΔx

=y2− y1

x2−x1

=20−8 .7520−5

=11. 2515

=0 .75

ΔyΔx

=tg θ1=0 .75 θ1=36 .87 °

Donde S1, es una línea recta secante que corta a la curva en los puntos P (5,8.75) y Q1 (20,20) y tiene un ángulo θ1 = 36.87º con respecto al eje x.

40

Cuando x=5 , y=8 .75 , y x=15 , y=18 .75

tenemosΔyΔx

=y2− y1

x2−x1

=18 .75−8 . 7515−5

=1010

=1

ΔyΔx

=tg θ2=1 θ2=45 °

S2 es una línea recta secante que corta a la curva en los puntos P (5,8.75) y Q2 (15,18.75) y tiene un ángulo θ2 = 45º con respecto al eje x . Cuando x=5 , y=8 .75 , y x=10 , y=15

tenemosΔyΔx

=y2− y1

x2−x1

=15−8 .7510−5

=6 . 255

=1. 25

ΔyΔx

=tg θ3=1.25 θ3=51 .34 °

S3 es una línea recta secante que corta a la curva en los puntos P (5,8.75) y Q3 (10,15) y tiene un ángulo θ3 = 51.34º con respecto al eje x.

Si continuamos moviendo el punto Q y conservamos fijo el punto P(5,8.75),estaremos resolviendo triángulos más pequeños hasta llegar a un ”limite”que nos indique donde está la recta tangente que buscamos. GenerandoAsí la siguiente tabla:

x ∆x x+∆x ∆y=f(x+∆x)-f(x) ∆y / ∆x5 1 6 1.45 1.455 0.1 5.1 0.1495 1.4955 0.01 5.01 0.014995 1.49955 0.001 5.001 0.00149995 1.499955 0.0001 5.0001 1.499995x10-4 1.499995

Donde: y=−0 .05 x2+2 x y=f ( x )

Si a todo incremento en “y” corresponde un incremento en “x”, incrementando la ecuación: y + ∆y = f(x+∆x), para calcular el incremento (∆y) restamos la función original

y + ∆y = f(x+∆x) - y = - f(x) ∆y = f(x+∆x) - f(x) ⇒ Se define ∆y

41

Δy=f ( x+Δx )−f ( x )

para f ( x+Δx )=f (6 )f (6 )=−0 . 05 (6 )2+2 (6 )=10 . 2f (5 )=−0 . 05 (5 )2+2 (5 )=8. 75

Δy=10 .2−8 .75=1 .45 dondeΔyΔx

=1 .451

=1. 45

para f ( x+Δx )=f (5 .1 )f (5 .1 )=−0 .05 (5. 1 )2+2 (5 . 1 )=8 . 8995f (5 )=−0 . 05 (5 )2+2 (5 )=8. 75

Δy=8 .8995−8. 75=0. 1495 dondeΔyΔx

=.14950 .1

=1 .495

Así sucesivamente se calculan todos los espacios en la tabla.Ya resuelta la tabla anterior, se pueden realizar las siguientes observaciones:ΔyΔx

se aproxima a 1 .5 , cuando Δx=0

Si Δx→0 , θ→α ,ΔyΔx

→1 .5 ∴ CuandoΔyΔx

=1 .5 , θ=α

El análisis anterior da lugar a la siguiente definición:

“La razón de cambio instantáneo de “y” en “x”, se representa en la siguiente ecuación “

dydx

= limΔx→0

ΔyΔx

= limΔx→0

f ( x+ Δx )− f ( x )Δx

Dicha ecuación es la “interpretación fundamental de la derivada” como una razón de cambio instantáneo de una variable con respecto a otra.

Continuando con la solución del problema:

y=−0 .05 x2+2 x

f ( x+Δx )=−0 .05 ( x+ Δx )2+2 ( x+Δx )=−0 . 05 ( x2+2 xΔx +Δx2 )+2 (x+ Δx )=−0 . 05 x2−0 . 1xΔx−0 . 05 Δx2+2 x+2 Δx

42

Aplicando

dydx

= limΔx→0

f ( x+Δx )−f ( x )Δx

dydx

= limΔx→o

−0 .05 x2−0 .1 xΔx−0. 05 Δx 2+2 x+2 Δx−(−0 . 05 x2+2 x)Δx

= limΔx→ o

−0 . 1 xΔx−0 . 05 Δx2+2 ΔxΔx

limΔx→ o

=−0 .1 x−0 . 05 Δx+2

dydx

=−0 .1 x+2

Para x=5

dydx

=−0 .1 x+2=−0. 1 (5 )+2=−0 . 5+2=1 . 5

dydx

=tgθ=1 .5 θ=56 .31 °Este es el ángulo de la tangente buscada

Problema ¿Cuál es la dirección y sentido (trayectoria) del proyectil cuando va en el punto (15,18.75)?

Para x=15 ,dydx

=−0 .1 x+2

dydx

=−0 .1 (15 )+2=0 .5 tg θ=0. 5 θ=26 .565 °

Ejemplo:

Se lanza una pelota que tiene una trayectoria definida por y=x−0 .02 x2, determinar:

1.- La grafica de la trayectoria para x = {5, 10, 15,…, 50}.2.- La distancia horizontal total que recorre la pelota.

3.- La ecuación que indica la razón de cambio instantáneodydx

4.- El punto (x,y) donde la pelota alcanza su máxima altura.5.- El valor de la relación de cambio instantáneo para los siguientes valores de x ={ 0, 10, 15, 25, 30, 50}.

1.- y=x−0 .02 x2

43

X Y05101520253035404550

04.5810.51212.51210.584.50

Es el ángulo de la recta tangente a la curva y que pasa por el punto (15,18.75)

= -0.04 (0) + 1 = 1= -0.04 (10) + 1= -0.4 + 1 = 0.6= -0.04 (15) + 1 = -0.6 + 1 = 0.4= -0.04 (25) + 1 = -1 + 1 = 0 = -0.04 (30) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2= -0.04 (50) + 1 = -2 + 1 = -1

2.- La distancia horizontal que recorre la pelota. X=50

3.- La derivada

dydx

= limΔx→0

f ( x+Δx )−f ( x )Δx

dydx

= limΔx→0

=( x+Δx )−0 .02 ( x+Δx )2

Δx=x+Δx−0 . 02 x2−0 .04 xΔx−0 . 02 Δx2−x+0 .02 x2

Δx

limΔx→0

Δx−0 .04 xΔx−0 . 02 Δx2

ΔxlimΔx→ 0

=1−0 .04 x−0 . 02 Δxdydx

=1−0 .04 x

4.- el punto (x, y) donde la pelota tiene la máxima altura.Se iguala la derivada a 0 1−0.04 x=0despejando x x=1

0. 04=25

si x=25 ∴ y=x−0 .02 x2=25−0 .02 (25 )2=12.5Punto (25 ,12.5 )

5.- El valor de la relación de cambio instantáneo dydx

para los siguientes

valores de x:dydx

=−0 . 04 x+1

dydx

=1−0 . 04 x

=1−0 .04 (0 )=1=1−0 .04 (10 )=0 . 6=1−0 .04 (15 )=0 . 4=1−0 .04 (25 )=0=1−0 .04 (30 )=−0.2=1−0 .04 (50 )=−1

REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN

44

Ecuación de razón de cambio instantáneo

x dy/dx0 110 0.615 0.425 030 -0.250 -1

REGLA DE LOS 4 PASOS

Utilizando la fórmula general para la derivación y suponiendo que el límite existe, se aplica esta regla para calcular la pendiente de una curva en un punto dado, definido por su límite y comprende los siguientes pasos:

1er.Paso: A la función original f ( x ) , se le suman los incrementos y se tendrá: y+Δ y=f ( x+ Δx )

2do. Paso: Se le resta la función original al resultado anterior y se tiene:Δ y= f ( x+ Δx )−f ( x )

3er. Paso: Se divide la ecuación entre el incremento de la variable Δx , y queda:Δ y

Δ x

=f (x+Δ x )−f ( x )

Δx

4to. Paso: Se aplica el límite cuando Δx →0 , y el resultado será la derivada.

Ejemplo:

y=3 x2+7 x−5Paso 1 y+Δy=3 ( x+ Δx )2+7 (x+ Δx )−5

y+ Δy=3 ( x2+2 xΔx +Δx2 )+7 x+7 Δx−5y+ Δy=3x2+6 xΔx+3 Δx2+7 x+7 Δx−5

Paso 2 y+Δy− y=3 x2+6 xΔx+3 Δx2+7 x+7 Δx−5−3 x2−7 x+5Δy=6 xΔx+3 Δx2+7 Δx

Paso 3ΔyΔx

=6 xΔx+3 Δx2+7 ΔxΔx

=6 x+3 Δx+7

Paso 4 Al aplicar el límite Δx→0 , tenemosΔyΔx

=6 x+7

Actividad 6.

Resuelva las siguientes funciones por la “Regla de los 4 pasos”

45

y=4 x3+8x−2y=4 x2+7 x−6y=2x3+4 x2−6 x+4y=3 x−6y=9x3+8 x2−6 x−7y=x2+5x−3y=2x−4y=3 x3−4 x2+6 x−4y=3 x2−5 x−7y=2x3−6 x2−8

FORMULAS DE DERIVACION PARA FUNCIONES ALGEBRAICAS.

d (c )dx

=0

46

d ( x )dx

=1

d (u+v−w )dx

=dudx

+ dvdx

−dwdx

d (c⋅v )dx

=cdvdx

d (u⋅v )dx

=udvdx

+vdudx

d (vn )dx

=nvn−1 dvdx

d ( xn )dx

=nxn−1

d ( uv )

dx=

v ( dudx )−u ( dv

dx )v2

d ( uc )

dx=

dudxc

=1c ( du

dx )d ( c

u )dx

=(− c

u2 )( dudx )

d (n√v )dx

=

dvdx

nvn−1

n

Derivada de una constante es 0 d (c )

dx=0

47

y=5 y '=0y=8 y '=0

Derivada de x es 1d ( x )

dx=1

y=x y '=1y=7 x y '=7y=4 x y '=4

Derivada de x elevada a la nd ( xn )

dx=nxn−1

y=x3 y '=3 x2 y=2 x3 y '=6 x2 y=8 x4 y '=32 x3

y=x7 y '=7 x6 y=5 x 4 y '=20 x3 y=11 x2 y '=22 x

y=1x3

=x−3 y '=−3 x−4=−3x4

y=1x7

=x−7 y '=−7 x−8=−7x8

y=3x

=3 x−1 y '=−3 x−2=−3x2

y=5x3

=5 x−3 y '=−15 x−4=−15x 4

y=54 x2

=5 x−2

4y '=−10 x−3

4=−10

4 x3y=−6

5 x7=−6 x−7

5y '=42x−8

5=42

5 x8

y=3√x4=x

43 y '=4 x

13

3=4

3√ x3

y=5√ x7 =x

75 y '=7 x

25

5=7

5√ x2

5

y=4√x3 =x

34 y '=3 x

−14

4=3

44√x

y= 5√x =x15 y '=x

−45

5=1

55√ x4

y=75√x

3 =7 x35 y

'=21x

−25

5=

21

55√ x2

y=4 √x5 =4 x

52 y

'=20 x

32

2=

20√ x3

2

y=43√ x

5=4 x

13

5y '=4 x

−23

15=4

153√x2

y=5√x3

=5 x12

3y '=5 x

−12

6=5

6√ x

y=73√x4

2=7 x

43

2y '=28 x

14

6=28

4√ x6

y=83√ x5

3=8 x

53

3y '=40 x

23

9=40

3√ x2

9

y=25√x

=2 x−15 y'=−2 x

−65

5=−2

55√ x6

y=3

75√ x4

=3 x−45

7y'=−12x

−95

35=−12

355√ x9

48

y=45√ x

=4 x−1

2

5y '=−4 x

−3

2

10=−4

10√x3y=3

87√x3

=3 x−3

7

8y '=−9 x

−10

7

56=−9

567√ x10

y=5

23√ x4

=5 x−43

2y '=−20 x

−73

6=−20

63√x7

y=1

2√x7=x

−72

2y '=−7 x

−92

4=−7

4√ x9

y=7 x 4+3 x3−2 x2+5 x−6 y '=28 x3+9 x2−4 x+5−0

y=2x

+5x3

−12 x5

+24 x6

−18 x7

=2 x−1+5 x−3−x−5

2+2 x−6

4− x−7

8y '=−2

x2−15

x4+5

2 x6−12

4 x7+7

8 x8

y=4√x5+2√ x−

35√ x3

4+

23√x2

5−

54√ x7

4=x

54 +2 x

12 −

3 x35

4+

2 x23

5−

5 x74

4

y '=54√ x

4+2

2√ x−9

205√ x2

+4

153√ x

−354√ x3

16

Actividad 7.

Resuelva las siguientes derivadas:

49

y=8 x5−4 x3−2 x2−5x+7y=x 4−3x3−8 x2+x−8y=x7−5 x3+2 x2−2x+6

y=3 x5−2 x3

7+

7

4 x7+5 x+8

y=15 x5−7 x3+8 x2−7 x+1

y=1

x7−

2

5 x2+6 x3−

2 x5

+7

y=4

x7−5

2 x4+3

x+2 x3+8

y=5

4 x6+2

x4−7 x2+3 x−2

y=7

3 x4+6

5 x2−+11

x+8x−3

y=√x+5 x2

4+8

73√ x4

−1

25√ x4

+3

56√x

y=3√x5−1

7√ x5+8

4√ x−3 x3+2 x2

5

y=63√x+

4√ x7−25 x

+5

25√ x6

−1

3 x8

y=5

7√ x5

3+

84√x3

2−7√ x+8

4√x5−3

57√x 4

y=35√x8

7+2

36√x5

−8√ x3

+7 x5

2+9

5 x3

y=2√ x3

+35√x 4−2 x7

5−3

73√ x

+8

34√x5

y=5

73√x4

−2

43√ x5

+8 5√x3

−5

√x+

7

37√ x4

50

A continuación veremos las formulas

d (vn )dx

=nvn−1 dvdx

d (u⋅v )dx

=udvdx

+vdudx

d ( uv )

dx=

v ( dudx )−u ( dv

dx )v2

y=( 3x5−7 x2+8 )5 y '=5 (3 x5−7 x2+8 )4 (15 x4+14 x )= (75 x 4+70 x ) (3 x5−7 x2+8 )4

y=( 2x6−7 x4+6 x3)5(25 x4−7 x6−11 x )

4

y '=(2 x6−7 x4+6 x3)5 4(25x 4

−7 x6−11 x)3

(−85x5

−42 x5−11)+(25 x4

−7 x6−11 x)4

5 (2 x6−7 x 4+6 x3 )4 ( 12 x5−28 x3+18 x2)

51

Actividad 8.

Resuelva las siguientes derivadas

y=( 5 x2−7 x+6 )5

y=(7 x4−6 x+4x

−32 x5 )

7

y=(6 x−23√ x+4√ x

3 )3

y=(25 x6+3

4√x5

6−3√ x−5

3 4√x )7

y=(34 x3−1

57√x4

+7

65√ x3

+1√x )

4

y=(4 x3−23√ x+7

2 x3 )4

(7 x−23√x

+5

73√x4 )

5

y=(23 x5−2

5√x3

7+3

3√x5 )

3

(5 x−2+37 x 4

+53√x7

2 )5

y=(5 x4−7

3 x4+3√ x−2

57√x6 )

4

(2 x6−7

5x8+2

5√x7

3−4

7√ x6 )6

y=(4 x2−7

x+5

24√ x3

+35√ x )

3

(4 x−7+1x

+23√ x5

4 )5

FORMULAS DE DERIVACION PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

52

d (senv )dx

=cos vdvdx

d (cos v )dx

=−senvdvdx

d (tgv )dx

=sec2 vdvdx

d (ctgv )dx

=−csc vdvdx

d (sec v )dx

=sec vtgvdvdx

d (csc v )dx

=−csc vctgvdvdx

d (arcsenv )dx

=

dvdx

√1−v2

d (arccos v )dx

=−

dvdx

√1−v2

d (arctgv )dx

=

dvdx1+v2

d (arcctgv )dx

=−

dvdx1+v2

d (arc sec v )dx

=

dvdx

v √v2−1

d (arc csc v )dx

=−

dvdx

v √v2−1d (log v )dx

=log e

vdvdx

d (ev )dx

=ev dvdx

d (ln v )dx

=1v

dvdx

d (av )dx

=av ln advdx

Actividad 9.

53

Resuelva las siguientes derivadas:

y=cos7 x9 y=arccos7√x5 y=arctg7 x4

y=csc4x

y=sen6 x y=ctg5 x4

y=arcsen2

5 x7y=arcctg

54√x7

3y=tg

2 x3

4

y=arc csc 4 x2 y=arc sec 4 x3 y=sec3

√xy=sen

7√ x y=arctg7 x3 y=arc sec 2 x 4

y=csc5

47√x3

y=tg4

5√x2

7y=cos5

4√x3

y=arcctg2 x y=arcsen 8

y=sen ( 8 x3−4 x ) y=tg (5 x2+8 )3

y=sec(5 x3− 25 x 4 )

5

y=csc (6 x2+8 x−2 )4

y=ctg( 35 x

−64√x3

7− 5

23√ x5 )

3

y=cos( 53 x2

+ 3√ x7

2+ 8

57√ x3 )

3

y=ctg(7 x4− 5

4 x6+ 6

5√ x4

7 )7

y=arcsen( 6

57√x3

+ 63√ x5

5−5

5√ x6

4 )5

y=arc csc( 7

x5−4

3√ x5

3+ 1

75√ x6 )

5

y=arctg(3 x4− 8

x5+

6√ x5)4

y=arc sec( 6

54√x3

+ 65√x6

7−2

5√ x4

3 )3

y=arcsen( 2x− 1

√ x+ √ x3

3 )3

y=arccos( 1

x5−3

7√ x4

5+ 2

4√x3

3 )3

DERIVADAS SUCESIVAS

54

Una función que ha sido derivada puede volverse a derivar, a esta acción se le denomina derivadas sucesivas. La derivada resultante puede ser más sencilla o más complicada que su antecesora.Pongamos un ejemplo:

La distancia está en función del tiempo d=v0 t + at 2

2

Derivamos la distancia con respecto al tiempo

dddt

=v0+2at2

=v 0+at

A esta primera derivada le llamamos velocidad v f=v0+at

Derivamos la velocidad con respecto al tiempo

dvdt

=a, obtenemos la aceleración, la

segunda derivada de la distancia con respecto al tiempo, es la aceleración.Ejemplos: Encuentre la derivada que se pida

y=4 x4−3 x2+5 x−7 , la 3era derivada.

y=2 x3−5x+4 x

, la 4ta derivada.

y=5 x6+7 x3−2 x− 4

5 x3− 2

6 x5, la 5ta derivada.

55