calculo aplicado, 8va ed-

OCTAVAEDICIN

CALCULO APLICADOPARA ADMINISTRACION, ECONOMA Y CIENCIAS SOCIALES

LAURENCE D. HOFFMANN GERALD L. BRADLEY KENNETH H. ROSEN I N C L U Y EC D -R O M

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para administracin, economa y ciencias sociales

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LAUREMCE D., HOFFMAtJNSalomon Smith Barney

GERALD L BRADLEYClaremont McKenna College

KENNETH H. ROSENATScT Laboratories

TraduccinJavier Len C rdenas

forge H um berto Romo M uoz Traductores profesionales

Revisin tcnicaIrm a Lpez Saura Profesora de clculo

Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de Mxico

MeGraw

MXICO AUCKLAND BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA LONDRES MADRID MILN MONTREAL NUEVA YORK

SAN FRANCISCO SAN JUAN SAN LUIS NUEVA DELHI SANTIAGO SO PAULO SIDNEY SINGAPUR TORONTO www.FreeLibros.com

Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo del Bosque Alayn Editor sponsor: Jess Mares Chacn Editora de desarrollo: Marcela I. Rocha Martnez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

CLCULO APLICADO PARA ADMINISTRACIN, ECONOMA V CIENCIAS SOCIALE Octava edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

McSraw-Hill Interamericana

DERECHOS RESERVADOS 2006, respecto a la tercera edicin en espaol por: McGRAW-HELL / INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V A Subsidiaiy ofThe McGraw-Hill Companies, Inc.

Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin Alvaro Obregn C.P. 01376, Mxico D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN 970-10-5907-7

ISBN 958-41-0202-8 (segunda edicin)

MeGrawHill

Traducido de la octava edicin de: APPLIED CALCULUS FOR BUSINESS, ECONOMICS, AND THE SOCIAL AND LIFE SCIENCIESCopyright MMV by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Previous editions 1986, 1989,1992,1996,2000, and 2004

0-07-301856-2

1234567890 09875432106

Impreso en Mxico Printed in Mxico

Esta obra se termin de imprimir el mes de Abril del 2006 en los talleres de Edamsa Impresiones S.A. de C. V.

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NDICE DE APLICACIONES SELECCIONADAS

PROBLEMAS DE NEGOCIOSAccidentes industriales, 757 Administracin de costos, 120, 230 Administracin de empresas, 644 Administracin de personal, 651 Administracin de pesca, 198, 337, 623, 638-

640, 767-768 Administracin de tiempo. 767 Agricultura, 760 Anlisis de costos, 271, 744 Anlisis de precio, 342 Anlisis de punto de equilibrio. 49-51. 55-56,

86Anlisis marginal, 148-150-154-155, 197,214,

238, 271, 314-315, 324, 335-336,441, 517,518, 556, 558,577, 698

Aproximacin de mnimos cuadrados de datos de utilidades, 576

Asignacin de fondos, 530. 551-552, 555-556, 557,577

Aumentos de salario, 120 Bienes rafees, 123-124, 155, 193-194 Capacitacin en empresas, 295 Cobertizo de mantenimiento, 530 Construccin de bienes races, 271 Consumo de petrleo, 440 Contratos de deportes, 425-426 Control de calidad, 651, 719-720, 724, 760, 761

(Prob. 45), 762, 765, 767, 768 Corre, 23, 82 Coscha, 55, 260Costo de construccin. 54, S7, 175, 261, 262,

272. 556, 557, 824 Costo de distribucin. 12, 229-230 Costo de impresin, 38 Costo de instalacin, 261, 263 Costo de manufactura, 11, 12, 23, 38, 43-44,

53,55,86, 87, 145, 151, 155. 156, 163, 171, 176, 229, 262, 263. 265, 270, 391, 411

Costo marginal, 362, 366, 367, 440, 462, 600, 822

Costo mnimo, 557-558 Costo ptimo de preparacin, 263 Costo total por costo marginal, 487 Costos de almacenamiento, 363-364, 394, 426 Costos de transpone, 53, 263 Crecimiento burocrtico, 338 Crecimiento de suscripciones, 486 Curvas de produccin constante, 507 Decisin de publicidad, 56 Diseo eficiente de costos, 86 Eficiencia de manufactura, 86 Eficiencia de trabajador, 11, 119, 128-129, 133,

155, 175, 211, 214-215, 267, 271, 309, 335, 344, 410,411, 462, 601, 769, 816

Entrega de paquetera, 768-769Fijar precios, 32-33, problemas 2 y 7, 143,

529Ganancias anuales, 120, 145 Ingreso marginal, 367Ingreso por produccin de petrleo, 590-591 Ingreso por ventas, 52, 395 Ingreso total, 426Inventario, 82. 86, 229, 258-260, 262, 265, 271-

272,411,426 Investigacin de mercado, 339 Mantenimiento de restaurante, 622 Manufactura, 761-762 Material de construccin, 175, 529, 555 Mxima produccin asequible, 67 Negocio de restaurante, 722 Nmeros de ventas, 799-800 ptimo diseo, 269 Organizacin corporativa, 338 Pliza de seguro, 767 Porcentaje de cambio de costo, 138-139 Porcentaje de oferta, 165-166, 167 Precio de venta ptimo, 590-591 Precios al menudeo, 379, 610 Precios de alimentos, 410 Precios de gasolina, 543 Presupuesto fijo, 558 Prima de comprador en subasta, 53 Probabilidad de ventas, 754-755 Produccin agrcola, 600 Produccin de bebidas, 768 Produccin de madera, 169 Produccin de petrleo, 395, 600 Produccin en fbrica, 152, 155, 156, 161-162,

167, 168, 169, 171, 173, 174, 265,569, 573

Produccin, 367, 395, 486, 505, 506, 673, 733, 738, 743, 767

Productividad marginal, 517-518, 520 Proteccin de garanta, 735-765- Publicidad, 119, 133, 198,230,335,344, 366,

395,411 Refrigeracin, 167-168 Rendimiento agrcola, 55, 260, 395 Renta de autos, 38, 51 Renta de equipo, 24 (Prob. 42), 40 Retornos constantes a escala, 507 Servicio a clientes, 733, 743 Tarifas de admisin, 54, 394, 440 Ubicacin de almacn, 527-528 Utilidad de publicidad, 57 Utilidad marginal, 367, 379, 380, 395 Utilidad por un invento, 426 Utilidad promedio, 573 Utilidad, 793Valor de mquina, 589-590 Ventas de seguros, 769-770

Ventas, 132, 214, 294, 344, 366, 407, 54!, 573.578, 803, 804, 822, 825

Vida til de una mquina 414-415, 424

PROBLEMAS ECONMICOSAjuste de precios, 614-616, 648 Ajuste de tiempo, 624 Cambio neto en demanda, 437 Cambio neto en ingreso, 437 Compensacin a empleados, 760 Consumo nacional, 247 Costo promedio, 70, 237-238, 245 Crecimiento de ingreso per cpita, 325-326 Curva de Lorentz (e ndice de Gini) 405, 439,

463Demanda de consumidor, 13, 145, 175, 51S,

519Demanda e ingreso, 132, 487, 541 Demanda promedio, 462 Demanda, 246, 271, 376-377, 380, 814 Desempleo e inflacin. 96-97, 109 Desempleo, 33-35, 41Distribucin de ingreso, 405, 412, 441, 463,

482-483Efecto de impuestos sobre monopolio, 265 Efecto multiplicador, 666-667, 670, 701 Elasticidad de demanda de ingreso, 248 Elasticidad de demanda de precio. 241, 243-

244, 245, 246, 248, 270, 271, 318-319, 376-377

Emigracin de mano de obra. 703 Equilibrio de mercado, 4S-49, 55 Excedente de consumidores, 422-423, 424,425,

437, 439, 440, 463, 482 Excedente de productores, 422-423, 424,4S2 Exceso de utilidad neta, 402-403, 411 Exportaciones, 321, 326 (Prob. 75)Funcin de costo, 6, 26, 43-44 Funcin de utilidad, 5-6, 23, 46-47, 101-102,

108, 132, 270 Gasto de consumidor, 23, 85, 325 Gasto, 667Impuesto a la propiedad, 87, 119, 155, 171,573 Impuesto sobre la renta, 54 Inflacin, 175 Ingreso futuro, 440Ingreso mximo. 18-19, 193-194, 256-258,342Ingreso nacional, 645Ingreso promedio, 245, 440Ingreso y consumo desechables, 543Ley de Pareto, 602Ley de rendimientos que se reducen, 520 Minimizacin de costo, 250-252, 255-256, 263 Modelo de deuda Domar, 624 Modelo de telaraa, 639-641, 646 Numismtica, 724

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Olera y demanda, 55. 56, 84. 648Olera, 379-380, 632. 814Porcentaje de demanda. 167, 168Precio promedio. 440Productividad marginal, 518Producto interno bruto, 114, 120. 153, 173, 198.

294. 309. 347. 543-544 Producto marginal de mano de obra, 577 Propensin marginal a consumo, 367 Renovacin de moneda. 646 Utilidad bajo un monopolio. 198, 530 Utilidad mxima, 236-237, 245. 252-253, 267-

268. 345.526-527 Utilidad neta, 482 Utilidad. 507 (Probs. 38 y 39), 557 Valor de propiedad, 573

PROBLEMAS DE FINANZAS E INVERSIONESAdministracin de cartera de valores. 766 Ahorros, 611. 624, 644, 701 Amortizacin de deuda, 296, 637-638 Anlisis de inversiones, 425, 542 Anualidad de retiro, 424-425 Captacin de fondos. 424, 462 Contabilidad. 40Costo capitalizado de un activo, 471 Crecimiento de inversin. 484. 599, 648 Decisin de construccin. 424 Depreciacin. 38, 324, 335, 344 (Prob. 46).

379. 395, 439 Doble saldo que declina. 340 (Prob. 61) Ecuaciones diferenciales vinculadas, 620-621 Endeudamiento. 471Especulacin de mercado de acciones, 644 Evaluacin de inversiones. 462 Exceso neto de utilidad, 402-403, 411 Fondo de amortizacin, 645 Ingreso de retiro. 650Inters compuesto. 71 (Prob. 46), 146. 489,

293. 294. 309. 324, 344,345 Inversin en bienes races. 294. 412, 413. 440,

610Inversin en un periodo bajo de mercado, 441 Juegos de casino, 722 Lotera, 716, 722, 766 Pago de lotera, 426 Pagos de finanzas, 296 Pagos de hipoteca, 296, 644-645 Pagos iniciales. 645 Plan de inversin, 610-611 Precios de acciones, 38 Promedio de mercado de acciones. 543 Regla del, 70. 345 Renovacin de moneda, 624 Revaluacin de activos, 39 Rueda de Ja fortuna, 766 Tasa efectiva de inters, 295, 344 Tiempo de duplicacin, 304-305 Tiempo ptimo de retencin. 329, 336-337,

338-339, 345 Valor de terreno, 379, 394 Valor fuluro de Unjo de ingreso, 415-417, 424,

437, 440Valor futuro de inversiones. 462, 4 8 1, 604-605 Valor neto de activos, 439, 486 Valor presente de anualidad, 345, 667-668 Valor presente de activos, 484-485

Valor presente de Hujo de ingreso, 4 17-418, 440, 467-468

Valor presente de franquicia, 425, 471, 480 Valor presente de inversin. 290, 293, 425, 471,

486, 670-671, 700, 701 Valor presente de propiedad en renta, 471 Valor promedio de inversin, 411 Verdad al prestar, 296 Verificacin de cuentas. 56

PROBLEMAS DE CIENCIAS BIOLGICAS, SALUD Y AMBIENTALESAcumulacin de medicamento, 668-669, 671,

700, 701Agotamiento de recursos energticos, 425 Agotamiento de reservas, 671 Agotamiento del ozono, 346 Alometra, 311, 544-545, 601 Anlisis del medio ambiente, 85 ngulo ptimo para ramificacin vascular,

810-813Area superficial de una celda de abeja, 818 rea superficial del cuerpo humano, 441, 506.

518,556,573 Arteriosclerosis, 156 Ataques de tiburones, 762 Atencin de salud mental, 480-481 Bacteriologa, 762-763 Biologa marina. 272 Biologa. 70. 638-640. 733, 803 Biomasa de una especie, 114-115 Bioqumica, 56 Biorritmos, 793Cambio de temperatura, 11. 441 Cambio neto en biomasa, 366, 391. 395. 440 Circulacin sangunea, 520 Clima. 81,803,816. 824 Colonia de bacterias (poblacin), 84, 133, 229,

268, 291-292. 294, 309, 362-363 Comportamiento de animales, 70, 108, 145 Comportamiento de aves, 264, 815 Concentracin de glucosa en la sangre, 650-

651, 339, 346, 379, 395. 43S. 462,485, 599. 608-609. 612, 622, 648, 651

Concentracin de soluto en una clula (ley de Fick), 346, 601-602

Consumo de agua. 38. 395 Contaminacin del agua, 82, 146, 165, 168,

379, 394, 623, 648 Contaminacin del aire, 12, 39, 119. 142. 145.

155, 173,345,379, 394,507 Contaminacin. 803, 824-825 Control de animales, 765 Control decontaminacin, 122, 133, 168, 174,

198.254-255.481-482 Control de enfermedades. 763 Control sobre abuso de alcohol, 40, 325 Crecimiento de rboles, 366. 379, 440 Crecimiento de bacterias, 174, 342, 345, 411,

434, 544, 599 Crecimiento de insectos, 146 Crecimiento de mamferos, 146-146 Crecimiento de plantas, 325 Crecimiento de poblacin, 650, 651, 819-820,

825Crecimiento de tejidos. 215 Crecimiento de un nio, 39 Crecimiento de un tumor, 119, 167, 171

Crecimiento de una clula, 156 Crecimiento de una especie, 197, 246, 632 Crecimiento incontrolado. 623 Crecimiento logstico, 645-646 Decaimiento de biomasa. 485, 650 Demografa de animales, 345 Derrame de petrleo, 164 Desechos nucleares, 433. 440. 471, 579 Dosis de medicamento pedritico. 53 Dosis de medicamento, 134, 576 Ecologa en una isla, 12 Ecologa tropical. 734, 743 Ecologa, 324, 768, 843 Edad ptima para reproduccin, 333, 337 Efectividad de medicamento. 434-435 Efecto trmico de alimentos, 412 Eliminacin de basura. 761 Eliminacin de desechos peligrosos, 770 Energa del viento, 509 Energa gastada en vuelo. 435 Enfermedad de Alzheimer. 818 Enfriamiento del cuerpo de un animal, 579 Entomologa. 39, 310-311 Epidemia de sida. 173, 483, 544 Epidemiologa, 229Especies en peligro, 325, 366. 395,434 Estatura de una mujer, 748 Estatura, 82 (Prob. 56)Exposicin a enfermedades, 573-574 Extincin de poblacin, 632 Farmacologa, 56Figuras de hielo y temperatura en la edad de

hielo, 508 Figuras en alas de mariposa, 532 Flora acutica. 295Flu jo sanguneo, 11-12. 23, 156, 169, 174. 246,

368,429-430.433, 507, 518, 519-520, Prob. 49, 819

Fluoracin del agua, 612-613 Gasto diario de energa, 508 Gentica de poblacin, 634 Gentica, 530, 645, 698-699. 702 Histograma epidmico, 714 Inmunizacin, 12, 230 Investigacin de cncer, 339, 578-579 Investigacin mdica, 743 Longitud de peces, 755 Luz diurna, 825Manejo de desechos peligrosos, 558 Medicina deportiva, 768 Medicina pedritica, 761, 766-767 Medicina veterinaria. 760, 761 Medicina, 156, 168. 198.471.576, 734, 761.

765, 768, 793, 803-804, 817 Medicin de la respiracin. 435 Medicin de un tumor. 151-152 Medicin pedritica, 53 Metabolismo femenino, 804. 822 Metabolismo masculino, 804 Metabolismo, 804 Microbiologa, 85. 556 Moluscos, 578 Mutacin, 84Nivel diario promedio de dixido

de carbono, 9 Nutricin, 39-40, 763 Ornitologa, 120-121,247 Osmosis inversa, 509 Poblacin de animales con caza. 644 Poblacin, 645 Poblaciones de insectos, 735

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Poblaciones estacionales, 800-801, 813-814, S17,S24

Presin sangunea, 108-109, 822 Produccin de clulas sanguneas, 134 Produccin de sangre, 247 Pronstico del clima, 762 Propagacin de una epidemia, 52, 119, 120,

" 215,277-280,332,335,336,339,340, 346, 433, 463, 596-597, 600-601, 624, 644

Prueba de medicamentos, 762Purificacin del aire, 611Quemotaxis, 624Radio de la trquea, 234-235Radiologa, 310Rapidez de una iguana, 168Reaccin de medicacin, 413Reciclado, 56, 263, 644Recursos renovables, 107Reduccin de contaminacin del aire, 651Regulacin del colesterol, 433-434Respiracin huipana, 813Respiracin, 248Respuesta a estmulos, 337, 529, 601 Ritmo aerbico, 336, 411-412 Ritmo metablico basal, 168 Salida cardiaca, 156, 431-432,433, 463, 481,

493-494 Salud personal, 767 Salud pblica, 542, 612-613, 671, 769 Sensibilidad a medicamentos, 247 Servicios de salud, 471, 735, 744 Sistema cardiovascular, 174-175 Supervivencia de fauna acutica, 247 Tamao de un tumor, 174 Temperatura promedio, 408, 410, 578 Terapia de cncer, 367, 531 Toxina (efecto sobre el crecimiento de una

poblacin), 125-126, 337,428-429,441

Trayectorias ortogonales, 618-619Ubicacin de una planta, 755Virologa, 743Volumen de biomasa, 568Volumen de sangre durante la sstole, 413

PROBLEMAS DE CIENCIAS FSICAS Y GEOMETRAAbsorcin de luz, 622Aceleracin, 134Acidez (pH) de una solucin, 347Aerodinmica, 247Altura y alcance de un proyectil, 817Amplitud de oscilacin, 248ngulo ptimo de observacin, 817-818rea bajo curva, 383-384, 386, 391-393rea de crculo, 174 (Prob. 43)rea de paquete, 386rea de rectngulo, 260 (Prob. 11 y 12), 261,

(Prob. 13)rea de tringulo, 261 (Prob. 14)rea entre dos curvas, 399-401, 439 (Prob. 31-

38)rea y volumen, 804 rea, 52Arquitectura, 814Astronoma, 40-41Cada de linterna, 176 (Prob. 64)Cambio de temperatura, 52, 600

Carrera de relevos a campo traviesa, 531 Centro de una regin, 463-464 Circuito elctrico, 520 Cobertizo de mantenimiento, 530 Construccin de una caja de joyera, 549-550,

556Construccin, 814-815, 825-826 Consumo de energa, 813, 820 Conversin de temperatura, 39 Cristalografa, 272-273 Curva catenaria, 340 (Prob. 60)Curvas logsticas, 601Decaimiento radiactivo, 52, 294, 309, 345, 599 Descongelacin, 366-367 Desplazamiento para alambre, 70 (Prob. 39) Determinacin de fecha geolgica, 703 Determinacin de fecha por carbono, 306-307,

342, 345, 347 Diamante de bisbol, 176 (Prob. 65)Difusin a travs de una membrana, 622 Dilucin, 600, 606-607, 611, 648, 650 Diseo arquitectnico, 573 Diseo mecnico, 818-819 Disolucin de azcar, 600, 622 Distancia, 25 (Prob. 46), 55, 176 (Prob. 60),

261, 364, 368, 392, 441,462,480, 842 Electricidad, 247 Elevacin promedio, 573 Empaque, 52, 261, 262, 519, 555 Escalera apoyada contra pared, 176 (Prob. 63) Espacio habitable, 532 Esquiaren agua, 817 Expansin de material, 156-157 Fsica de partculas, 529, 557 Guerra en el desierto, 683 Iluminacin desde una fuente de luz, 806-808,

815Intensidad de campo elctrico, 81 Inversin trmica, 108 Ley de Boyle, 168Ley de Newton de enfriamiento, 310, 324, 335,

616-618, 622 Lneas paralelas, 41 Lneas perpendiculares, 41 Luz polarizada, 818 Metalurgia, 768Mtodo de Newton de aproximacin de races

de ecuacin, 157 Minimizacin de tiempo de viaje, 808-810 Modelo de dilucin de salud pblica, 612-613 Movimiento de un proyectil, 23, 117, 121, 816 Movimiento de un proyectil, 392 Movimiento de una lnea, 171, 177 (Prob. 74) Niveles de sonido, 310 Observacin de un avin,.796-797 ptica, 556, 819 .rbita de satlite, 816 Paisaje, 52, 803, 814 Pelota que rebota, 701

distancia recorrida por, 671 tiempo de recorrido por, 671

Permetro de ventana, 271 (Prob. 45) Porcentajes relacionados, 804 Posicin de un objeto en movimiento, 12 Presin atmosfrica, 622 Presin de aire, 311 Problema de boya, 176 (Prob. 62)Problema de una cometa, 176 (Prob. 61)Prueba de materiales, 683 Qumica fsica, 120, 272 Qumica, 169, 507, 519

Radiacin, 157Radio de esfera, 175 (Prob. 58)Radio de la Tierra, 88 (Prob. 49)Radiologa, 347Rapidez de reaccin qumica (ecuacin de

Arrhenius), 346, 351-354 Rapidez relativa de cambio, 825 Reflexin de luz, 810 Refraccin de luz por agua, 793, 815-816 Reglamentos postales (paquetera), 555 Sismologa, 310, 311 Sombra de hombre, 168 (Prob. 49)Temperatura promedio, 576 Tendido de cerca, 42, 52, 249-250, 260, 529,

547-548, 555 Ubicacin de almacn, 527-528 Velocidad de la luz, 246 Velocidad de objeto, 97-98, 108, 116, 117, 129,

134, 146-147 (Prob. 67), 146 (Prob. 66), 177 (Prob. 67), 368 (Prob. 67), 441, 480

Vida media, 305-306 Vida til de mquina, 732, 742 Vida til de una mquina, 732, 742 Volumen de baln de ftbol, 176 (Prob. 59) Volumen de cubo, 174

PROBLEMAS DE CIENCIAS SOCIALESAbuso de drogas, 541 Accidentes en carretera, 769 Adiestramiento militar, 766 Administracin de planta de correccin, 367 Administracin de tiempo, 731,735, 744,769,

770Administracin de trnsito, 767 Admisiones a universidad, 39, 540 Adopcin de tecnologa, 229 Aprendizaje en infancia, 336 Aprendizaje, 86, 246, 294, 325, 366, 367, 391-

392,530,593-594, 646, 743 rea de picnic, 547-548 Arqueologa, 306-307,309, 347 Cambio de votante, 541 Cambio legislativo, 471, 770 Circulacin de diario, 85, 119, 155 Circulacin de trnsito, 233-234, 732-733, 742 Comportamiento de poblacin, 225-226 Consumo de energa, 82,433 Control de trnsito, 270, 411, 767 Corrupcin en gobierno, 600-601 Corrupcin poltica, 53 Costo de agua en sequa, 44-45 Costo de educacin, 13crecimiento de poblacin, 11,45, 52, 107, 120,

133, 155, 173, 175, 215, 293, 294, 311, 324, 326, 335, 344, 366, 368 (Prob.66), 395,412,432,433,437-438,462, 471,600

Cuotas de membresa, 38 Curva de aprendizaje (recordar de memoria),

146,310, 329-330,335,600 Delincuencia urbana, 273 Demografa (funcin de Gompertz), 602 Demografa, 310, 317,486, 701, 767 Densidad de poblacin, 12, 173-174,294,307,

433,698Determinacin de fecha por computadora, 433 Diseo de carteles, 54, 262

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Duracin de llamada telefnica, 723-724, 738 Ecuacin de Fibonacci, 651-652 Emigracin de poblacin, 623 Encuestas polticas, 230, 246, 762 Entretenimiento, 734, 765 Espacio habitable, 859 Esperanza de vida, 435 Estudios de poblacin, 724 xitos de sitios web, 763 Extincin de incendios, 346, 622 Fbula antigua, 38-39 Falsificacin de obras de arte, 309 Financiamiento educativo, 85 Frmula de Babilonia para raz cuadrada de N,

157-158 Influencia poltica, 651 Ingeniera de trnsito, 683 Inmigracin de poblacin, 623 Internet, 725, 744 Juego limpio, 723 Juegos de azar, 724 Juegos de mesa, 721, 723 Lingstica, 295, 702 Llamadas de telemercadeo, 758-759 Llegadas de aviones, 734, 742

Membresa de grupo, 245-246, 432, 434, 463, 671

Opciones sociales, 529Patrones sociales, 761Periodismo, 769Planeacin de ciudad, 530Planeacin urbana, 263-264Poblacin de Estados Unidos, 347 (Prob. 77)Poblacin mundial, 336Poblacin promedio, 411, 441Porcentajes de mortalidad, 339, 347, 483-484Prediccin de poblacin, 542, 636-637Propagacin de un rumor, 270, 337, 600Prueba acadmica, 760, 761, 765, 768Prueba educativa, 119Prueba sicolgica, 486Radioemisin, 245Rapidez de cambio de poblacin, 113Recordar de memoria, 600, 650Registro de curso, 38Relato de espas, 55, 121, 261, 310, 367, 556,

611,672, 734,817 Respuesta a estmulos, 573 Seguridad de trnsito, 175 Seguridad en camino, 23

Seguridad en carreteras, 722-723 Seguridad en centro comercial, 464 Seleccin de jurado, 724 Semforo, 723, 737-738 Sicologa experimental, 11, 70, 229, 733-734,

743Sicologa, 506Supervivencia y renovacin, 427-428,432, 486 Telecomunicaciones, 744 Tendencias de poblacin, 434 Tendencias polticas, 433 Teora de aprendizaje, 338 Teora de conflicto, 336 Tiempo mnimo de viaje, 270 Tiro de una moneda al aire, 712-713,715-716,

717,720-721,723 Trnsito rpido, 173 Transportacin, 734 Transporte pblico, 119, 440 Valor a costo de educacin, 14 Valor de educacin, 13-14 Viaje en avin, 723 Viaje por avin, 55 Viaje suburbano, 733, 742

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Prefacio x

C A P 1 T Funciones, g r ficas y Smites

12345

A P i T U L O 2

Funciones 2Grfica de una funcin 14 Funciones lineales 26 Modelos funcionales 41 Lmites 57Lmites laterales y continuidad 71 Resumen del captulo 83

Trminos importantes, smbolos y frmulas 83 Revisin del captulo 1 83Problemas de repaso 84

Explore! Actualizacin 89 Reflexione acerca de . . . 91

D erivac in : co n ce p to s bsicos

C A P I T L

La derivada 96 Tcnicas de derivacin 110Reglas del producto y del cociente; derivadas de orden superior 122 La regla de la cadena 135Anlisis marginal y aproximaciones por incrementos 147 Derivacin implcita y tasas relacionadas 158 Resumen del captulo 170



A p licac ion e s ad ic iona les de !a de rivad a

1o

Funciones crecientes y decrecientes; extremos relativos 184 Concavidad y puntos de inflexin 199 Trazado de curvas 216 Optimizacin 231Aplicaciones adicionales de la optimizacin 249 Resumen del captulo 266

Trminos importantes, smbolos y frmulas 266 Revisin del captulo 3 267 Problemas de repaso 268


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viii Contenido

C A P T U L O 4 Funciones exponencia les y lo ga rtm icas

1 Funciones exponenciales 2822 Funciones logartmicas 2973 Derivacin de funciones logartmicas y exponenciales 3124 Modelos exponenciales adicionales 326

Resumen del captulo 340Trminos importantes, smbolos y frmulas 340 Revisin del captulo 4 342 Problemas de repaso 343

Explore! Actualizacin 349 Reflexione acerca de... 351

C A P T U L O 5 in te g ra c i n

1 Antiderivacin: la integral indefinida 3562 Integracin por sustitucin 3683 La integral definida y el teorema

fundamental del clculo 3804 Aplicacin de la integracin definida:

rea entre curvas y valor promedio 3965 Aplicaciones adicionales de negocios y economa 414 Aplicaciones adicionales de las ciencias sociales y de la vida 426


jExplore! Actualizacin 442 Reflexione acerca de... 445

C A P 3 i U L O 6 Ternas ad ic iona les de in te g ra c i n

1 Integracin por partes; tablas de integrales 4502 Integrales impropias 4643 Integracin numrica 472



C^A P I U L O 7 Clculo de varias variab les

1 Funciones de varias variables 4962 Derivadas parciales 510- Funciones de optimizacin de dos variables 5214 El mtodo de mnimos cuadrados 533

Optimizacin con restricciones: mtodo de los multiplicadores de Lagrange 545

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j Contenido | x

6 Integrales dobles 559Resumen del captulo 575



C A " l T U L O S Ecuaciones d ife ren c ia le s

Introduccin a las ecuaciones diferenciales 588 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 602 Aplicaciones adicionales de ecuaciones diferenciales 612 Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales 625 Ecuaciones en diferencias 632 Resumen del captulo 647



C A P T U L 9 A p ro x im a c io n e s p o r seres in fin ita s y series de la y lo r

Series infinitas 662 Criterios de convergencia 672Funciones como series de potencias; series de Taylor 684 Resumen del captulo 699



C A P i U L O 10 P ro b a b ilid a d y c lcu lo

1 Variables aleatorias discretas 7102 Variables aleatorias continuas 7253 Valor esperado y varianza de variables aleatorias continuas 736. Distribuciones de probabilidad normal y de Poisson 745



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x Contenido I

C A P T U L O 11 Funciones tr ig o n o m tr ic a s

1 Las funciones trigonomtricas 7802 Derivacin e integracin de funciones trigonomtricas 7943 Aplicaciones adicionales de las funciones trigonomtricas 805

Resumen del captulo 821Trminos importantes, smbolos y frmulas 821 Revisin del captulo 11 822Problemas de repaso 823


A P N D I C E A Repaso de lgeb ra

1 Breve repaso de lgebra 8342 Factorizacin de polinomios y resolucin de sistemas de ecuaciones 8443 Evaluacin de lmites con la regla de L'Hpital 851

Resumen del apndice 856Trminos importantes, smbolos y frmulas 856 Problemas de repaso 856 Reflexione acerca de... 859

A B L S I Potencias de e 860II El logaritmo natural (base e) 861

III Funciones trigonomtricas 862

5 O L LJ C ! O \5 E S Respuestas a problemas impares, problemas de repaso y problemas derevisin 863

ndice 964

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Presentacin a la octava edicin

a u m e n ta d a

Esta octava edicin aumentada de Clculo aplicado para administracin, economa y ciencias sociales ( 2004) incluye cuatro captulos adicionales: Captulo 8, Ecuaciones diferencialesc Captulo 9, Aproximaciones a series infinitas y series de Taylor Captulo 10, Probabilidad y clculo* Captulo 11, Funciones trigonomtricas

Clculo aplicado para administracin, economa, y ciencias sociales satisface las necesidades del maestro que trabaje sobre temas en uno o ms de estos cuatro captulos, junto con los temas que cubren los siete captulos iniciales en un curso de un semestre, o las necesidades de quien imparta un curso de dos semestres que cubra el material de los 11 captulos de este libro. (La palabra aplicado del ttulo distingue este volumen de la edicin ms breve.) Nuestro libro introduce clculo en un contexto prctico; nuestra meta principal es dar un conocimiento lgico e intuitivo de conceptos bsicos que ios estudiantes necesitan cuando hagan carreras en negocios, ciencias biolgicas y ciencias sociales. Nos esforzamos por ensear tcnicas de derivacin y clculo integral sin sacrificar la precisin matemtica. Expresamos de manera cuidadosa y completa los principales resultados, motivando y explicando al estudiante en forma intuitiva o geomtrica cuando es posible. Hemos tratado de hacer que cada concepto sea tan fcil de entender como sea posible. El logro de estas metas ha sido validado por el uso continuo y exitoso de nuestros libros en un gran nmero de universidades.

La edicin previa de Clculo aplicado para administracin, economa y ciencias sociales fue muy exitosa. En los ltimos cinco aos, ms de 75 000 estudiantes se han preparado con este libro y ms de un cuarto de milln de estudiantes han aprendido clculo aplicado de ediciones anteriores. Para ayudar a construir ese xito, hemos considerado las sugerencias de numerosos usuarios. Formamos un extenso panel de revisores para guiamos en la elaboracin de textos de la octava edicin. Los revisores ayudaron a confirmar la necesidad de temas adicionales tratados en este volumen aumentado. Tambin nos han ayudado a concentramos en los temas ms importantes y aplicaciones que hacen que este libro sea apropiado para uso de estudiantes de administracin, economa y ciencias sociales. Adems, nuestros revisores nos han ayudado a disear las caractersticas que hacen a este texto una eficaz herramienta para ensear y aprender clculo aplicado. Los revisores nos han ayudado a mantener este libro actualizado y a la vanguardia al damos sugerencias para tratar en l nuevas aplicaciones.

Al seguir el consejo de nuestros revisores, hemos construido sobre estos puntos fuertes al mismo tiempo que nos esforzamos en mejorar la presentacin. Hemos agregado numerosos recuadros nuevos de procedimientos, definiciones e ilustraciones para aclarar los temas. Hemos escrito nuevas introducciones para muchos temas y hemos agregado innumerables ejemplos aplicados para motivar conceptos. Nuestros revisores tambin nos indicaron que nuestros conjuntos de ejercicios son excelentes y nos hicieron sugerencias para mejorarlos aun ms. Para satisfacer sus necesidades, hemos agregado un nmero importante de problemas de rutina para obtener un conocimiento ms gradual de aptitudes al trabajar con los procedimientos y conceptos presentados.

Cuando se les pregunt: Qu hace que nuestro texto sea ms didctico en un curso?, los revisores sealaron nuestra orientacin aplicada a conceptos, nuestro mtodo de resolucin de problemas y el estilo sencillo de escritura. La meta siempre ha sido ayudar al maes

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x i Prefacio

Mejoras a esta edicin

tro a organizar la materia de modo que cada seccin del texto corresponda a una sola clase y que cada captulo contenga la cantidad correcta de material para un examen. Los estudiantes necesitan saber la forma en que el clculo se aplica a su particular campo de inters. Para ayudar al maestro a relacionar aplicaciones a una audiencia en especial, hemos organizado secciones de aplicacin segn los grados de utilidad en negocios y economa o en ciencias sociales y biolgicas. La octava edicin incluye gran cantidad de ejercicios aplicados.

Hemos hecho varias mejoras considerables e importantes dentro de la octava edicin, en respuesta a recomendaciones de usuarios y sugerencias hechas por nuestro panel de revisores.

Mejor cobertura de i:en?asCada seccin de este texto fue sometida a un cuidadoso anlisis y revisin a fondo para asegurar la presentacin ms benfica y clara. Por ejemplo, el tratamiento de cantidades y optimizacin se han mejorado con la adicin de muchos ejemplos y ejercicios nuevos. El tratamiento de lmites se ha mejorado con la inclusin de lmites al infinito en el captulo 1. Ms adelante en este prefacio se puede hallar una lista ms detallada de cambios captulo por captulo.

Presentacin eficaz ce laEsta edicin presenta una exposicin mejorada de la integracin. La integracin definida se introduce ahora inmediatamente despus de antiderivacin y sustitucin del captulo 5, seguida de una nueva seccin sobre modelado con la integral definida. Para mxima flexibilidad, las aplicaciones de la integral definida estn organizadas en secciones separadas para administracin y economa y para ciencias biolgicas y sociales. El captulo 6 ampla el desarrollo de integracin definida para incluir integracin por partes, as como una nueva cobertura de integracin usando tablas e integracin numrica. Las secciones sobre integracin por sustitucin e integracin por partes se han modificado a fondo.

Conjun tos mejorac e e ; 2_; c: oSe han agregado varios cientos de nuevos ejercicios aplicados y de rutina a los ya extensos conjuntos de problemas. Con base en retroalimentacin de usuarios, se han agregado ejercicios de rutina en donde era necesario para asegurar que los estudiantes tengan prctica ms que suficiente para dominar conocimientos bsicos. Adems, un gran nmero de nuevos ejercicios aplicados se ha agregado para ayudar a demostrar lo prctico que es el material. Estos nuevos ejercicios vienen de muchos campos de estudio, incluyendo economa, negocios, biologa, medicina y otros campos de ciencias biolgicas. Se ha ampliado un gran nmero de nuevos ejercicios que comprenden integracin, teniendo cuidado de aseguramos que los ejercicios usan slo conjuntos actualizados de datos.

Cobertura am pliada ce . ; r-. v-Esta edicin se extiende an ms sobre la ya considerable exposicin de economa de la edicin previa. En particular, ya antes se introducen funciones econmicas y se usan en ejemplos y ejercicios en forma ms amplia. Tambin hay una nueva exposicin ampliada de elasticidad de demanda en precios.

Cobertura am pliada de oplico.ciov,!.-. - soda JesUn nuevo y muy importante aspecto es la cobertura ampliada de aplicaciones del clculo a ciencias biolgicas. Entre los nuevos temas tratados son la alometra (crecimiento relativo de una parte con respecto a todo un organismo), modelado matemtico de epidemias, difusin de poblaciones de animales y varias aplicaciones de otras ramas de las ciencias biolgicas, que incluyen fisiologa, medicina, nutricin y ecologa.

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Prefacio xiii

r.::: , . : a d j precisinEsta nueva edicin se ha beneficiado de un intenso esfuerzo por asegurar su precisin. El libro ha sido revisado por varios revisores tcnicos que han verificado ejemplos, ejercicios y clculos. No slo se ha verificado extensamente el nuevo material, sino que tambin se ha hecho una doble verificacin del material incluido de la edicin previa.

Una nueva caracterstica de la octava edicin es el Repaso justo a tiempo, que se utiliza para recordar que los estudiantes recuerden de manera inmediata conceptos de lgebra universitaria o preclculo cuando se usen en ejemplos y estudios. Cada uno de estos repasos aparecen a manera de ladillos junto al texto en donde se emplea el material revisado del tema. Un estudio ampliado de estos conceptos se puede hallar adems en el apndice Repaso de lgebra al final del libro, pero estos recordatorios rpidos alertan a los estudiantes respecto a datos clave sin distraerlos del material bajo estudio. Los temas seleccionados para estos repasos provienen de experiencia en salones de clase y sugerencias hechas por revisores.

El papel del modelado matemtico se ha ampliado considerablemente en la octava edicin. El modelado se introdujo en el captulo 1 y aparece como tema recurrente en todo el texto en aplicaciones que comprenden ciencias administrativas y biolgicas. El tema del modelado est reforzado por numerosos nuevos ejemplos y ejercicios que se refieren a porcentajes, optimizacin y la integral definida. Para complementar la cobertura del modelado, al principio se introduce el anlisis de datos. En particular, se anticipa la aproximacin de mnimos cuadrados en el captulo 1 y luego se desarrolla con mayor detalle en el captulo 7, que tambin incluye una introduccin a la regresin no lineal. El modelado con ecuaciones diferenciales y de diferencia se expone en el captulo 8. El uso de funciones trigonomtricas para modelar fenmenos peridicos se aborda en el captulo 11.

i i. _. 'j ! '*> 1 i ^ ' i - t 1 #

Cada captulo concluye con un nuevo ensayo llamado Reflexione acerca de9 que se basa en modelado. Estos ensayos son mucho ms sustanciales que los de la edicin previa, y estn diseados para mostrar al estudiante la forma en que el material introducido en el captulo se puede usar para construir modelos matemticos tiles. Tomados en su conjunto, los ensayos ilustran cmo se construyen modelos, cmo dan soluciones tiles pero slo aproximadas a problemas, y cmo el proceso contina con la construccin de modelos ms refinados. Los ejercicios que siguen a cada ensayo son un excelente punto inicial para estudio independiente y se pueden exponer en el saln de clases o servir como base para proyectos en grupo. Las soluciones a estos ejercicios se pueden hallar en el sitio web www.mhhe.com/hoffmann.

Cada una de las secciones Explore! de la octava edicin se ha actualizado para mejorar la compatibilidad con calculadoras actuales, y se ha reescrito para enfocarse con ms claridad en ejemplos especficos dentro del texto. Cada seccin Explore! Actualizacin, al final de captulo, se ha reescrito para dar sugerencias ms detalladas y soluciones a secciones Explore! seleccionadas.

O i:; *?. v'Ki'*',!! c. o.>!cuac?oros gracodorasNueva a la octava edicin es una extensa introduccin a calculadoras graficadoras que aparece en las pginas xxrn a x x x iii de este prefacio. El material incluye instrucciones referentes a teclas comunes, terminologa e introducciones a aplicaciones de calculadoras ms avanzadas que se desarrollan en detalle en lugares apropiados en el texto. La Introduccin a las calculadoras puede servir como manual para estudiantes no familiarizados con el uso

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de calculadoras graficadoras, o como gua para un uso mejorado para quienes tengan alguna experiencia con calculadoras.

Equipo ampliado de colaboradores del autorPara reforzar su ya fuerte equipo, Kenneth H. Rosen colabor en la octava edicin y es coautor de esta octava edicin aumentada. Ken ha trabajado en la industria y en actividades docentes, siendo autor de libros de computacin entre los que se incluye Discreta Mathematics and its Applications, quinta edicin, publicado por McGraw-Hill. Muchos maestros gustan en especial de la combinacin de conceptos y aplicaciones relevantes que expone Kenneth. Su creatividad, atencin a detalles y experiencia en la industria contribuyen a una adaptacin natural para ampliar el mtodo aplicado de este texto.

Cambios captulo por captuloLos usuarios de la sptima edicin de Clculo para administracin, economa y ciencias sociales encontrarn til la siguiente lista detallada de cambios. Esta lista destaca cambios hechos a los captulos 1 al 7. Estas mejoras fueron posibles por aportacin de revisores y retroalimentacin de usuarios.

Captulo 1: Funciones, grficas y lmiteso Introduccin temprana y uso de funciones econmicas.* Vista preliminar de regresin lineal en la seccin 1.3 y un anlisis de su uso.* Se introduce y estudia el modelado matemtico en la seccin 1.4. Se introducen lmites que comprenden el infinito, con otros lmites, en la seccin 1.5. c Lmites de un lado introducidos en la seccin 1.6 y empleados como parte de una nueva

exposicin grfica que ilustra el significado de continuidad y discontinuidad. q Un nuevo ensayo de Reflexione acerca de... sobre alometra.

Captulo 2: Derivacin: Conceptos bsicos* La regla de la cadena se introduce inmediatamente despus de la regla del producto y la

regla del cociente (en la seccin 2.4).* Derivadas de orden superior introducidas en una subseccin de la seccin 2.3.* Numerosos ejercicios nuevos de rutina y ejercicios aplicados que comprenden porcenta

jes.

Captulo 3: Aplicaciones adicionales de la derivada Procedimiento de grficas modificado para uso ms fcil.9 Varios ejemplos de grficas con otra redaccin para mejorar la claridad. Una nueva lista de procedimientos para ayudar a estudiantes a resolver problemas de op

timizacin.e Un anlisis ms amplio de elasticidad de demanda en precios.* Numerosos y nuevos problemas aplicados y de rutina, as como otros de trazado de cur

vas y optimizacin.* Un nuevo ensayo de Reflexione acerca de... en el modelado de fallecimientos por el

SIDA (con uso de regresin).

Captulo 4: Funciones exponenciales y logartmicas Varios ejemplos nuevos aplicados. Anlisis aumentado de logaritmos y grficas logsticas.

Muchos y nuevos ejercicios aplicados y de rutina, en especial los relacionados a ciencias biolgicas.

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I Prefacio ! xv

* Un nuevo ensayo de Reflexione acerca de... sobre el modelo de Arrhenius de investigacin del chirrido de grillos.

Captulo 5: Integracino Reorganizacin del material de integracin. El captulo 5 se inicia con la antiderivacin y

el mtodo de sustitucin (como en la sptima edicin), pero ahora estos temas son seguidos inmediatamente por la integral definida y sus aplicaciones. La integracin por partes est ahora en el captulo 6.

* Una seccin 5.2 extensamente modificada sobre el mtodo de sustitucin.* El modelado con la integral definida se estudia en la seccin 5.4, con aplicaciones de in

ters general tal como rea entre curvas, valor promedio y anlisis de la curva de Lo- rentz.Las aplicaciones ms especializadas de la integral definida se dividen en dos secciones separadas: la seccin 5.5 para administracin y economa, y la seccin 5.6 para ciencias biolgicas y sociales.

* Nuevos ejemplos aplicados, as como ejemplos ampliamente modificados tomados de la sptima edicin.Se han agregado numerosos ejercicios aplicados y de rutina.

igual que tcnicas para resolver ecuaciones diferenciales separables y de primer orden. Entre las aplicaciones tratadas estn el crecimiento logstico, la propagacin de epidemias, modelos de ajuste de precios, modelado de carta de valores financieros y la ley de enfriamiento de Newton. Tambin se ha abordado la solucin aproximada de ecuaciones diferenciales con el uso del mtodo de Euler. Por ltimo, este captulo introduce los conceptos bsicos de ecuaciones de diferencia con aplicaciones a amortizacin de prstamos, administracin de pesca y modelos de aprendizaje. La interaccin entre oferta y demanda se estudia usando un modelo de telaraa. El captulo tambin explica los primeros pasos de modelar con uso de ecuaciones diferenciales y de diferencia.

Captulo 9: Aproximaciones por series infinitas y series de Taylor

El papel de este captulo es llevar a estudiantes la idea de una serie infinita convergente para demostrar la forma en que se usan series infinitas en aplicaciones. Se estudian aplicaciones de series geomtricas infinitas a economa y a ciencias biolgicas. Se introducen la serie armnica y su aplicacin a la frecuencia con la que se rompen marcas (como en atletismo). La seccin 9.2 examina la convergencia de series con trminos positivos con el uso de pruebas integrales y de comparacin, motivada con razonamiento geomtrico. Por ltimo, se estudia la nocin de la aproximacin de funciones con el uso de la serie de Taylor.

Captulo 10: Probabilidad y clculo

La meta de este captulo es desarrollar los aspectos ms importantes de probabilidad para estudiantes en negocios y economa y en ciencias biolgicas. El captulo empieza por introducir variables aleatorias discretas, cubriendo funciones de densidad de probabilidad discretas, histogramas, valores esperados y variables. Con todo detalle se estudian variables aleatorias geomtricas y sus aplicaciones a temas como es la confiabilidad de productos. Se introducen variables aleatorias continuas, as como funciones de densidad exponencial y uniforme. Las funciones de densidad de probabilidad conjunta se estudian usando integrales dobles. Se motivan y definen el valor esperado y la varianza de variables aleatorias continuas. El captulo muestra la forma de aplicar la distribucin normal para estudiar problemas en negocios y ciencias biolgicas. Se introduce la distribucin de Poisson y tambin se explican sus amplias aplicaciones.

Captulo 11: Funciones trigonomtricas

Este captulo cubre los aspectos ms importantes del clculo de las funciones trigonomtricas. Despus de un breve repaso de las funciones trigonomtricas y sus propiedades, se estudia la derivacin e integracin de estas funciones. Finalmente, se estudian aplicaciones de las funciones trigonomtricas, incluyendo aplicaciones que comprenden periodicidad. Los primeros pasos de modelado con funciones trigonomtricas tambin se introducen.

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2-69

D efin*

SECCIN 4.3 Derivacin di? fundones loyarilmlcas y exponenciales 321

Si Q( v) es una funcin derivable de ,v. observe que

(/ , ^ O'-* (In Q) = dx Qlx)

donde la razn a la derecha es la razn de cambio relativa de Q(x). Es decir, la razn de cambio relativa de una cantidad Q lx) se puede calcular encontrando la derivada de In Q. Esta clase especial de derivacin logartmica se puede ulilizar para simplificar los clculos de varias razones de crecimiento, como se ilusira en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO .3.1:1

Un pas exporta tres bienes, trigo IV, acero S y petrleo O. Suponga que en determinado momento, l = tu, el ingreso (en miles de millones de dlares) derivado de cada uno de estos bienes es

= 4 SUn) = 7 0(/) = 10

y que S crece a 8%, O crece a 15*3. en tanlo que IV disminuye a 3%. A qu razn relativa crece el ingreso total de las exportaciones en este momento?

C jlt iJ o n

Sea R = 11' + S + O. En el tiempo t = i0, se sabe que

/?(/,.) = '(/) + S(tn) + 0

S E C C I N 3.3 j Tra/udo

RfcPASOE3 importanto rocordar quo no os un nmero. So uso slo para representar un procoso do crecimiento sin limites o el resultado do tal crecimiento.

Hasta ahora en este captulo se lia analizado cmo utilizar la derivada /'(ti paru hallar dnde la grliea de /(.vi os ascendente y dnde es descendente, y cmo utilizar la segunda derivada/"(.v) para determinar la concavidad de la grfica. De la misma forma que estas herramientas son adecuadas para ubicar los puntos altos y bajos de una grfica y para marcar sus giros y vueltas, tambin existen otras caractei sicils grficas que pueden describirse mejor con la ayuda de lmites.

Recuerde de la seccin 1.5 que un lmite de la forma lm /(.vio Imi /(.O. en los cuales la variable independeme v puede aumentar o disminuir sin lmite, se denomina limite al infinita. Por otra pane, si los mismos valores funcionales f u ) crecen sin lmite cuando v se aproxima al nmero r, entonces se dice que/i.v) tiene limite infinito en v = c y se escribo como lm /(.v> = + *. si /(.v) aumenta indefinidamente cuando .v tiende a

. . . r o lm /(a ) = - * si J'(.v) disminuye indeliniilamente. En conjunto, los lmites al infinito y los lmites infinitos son llamados lmites que conciernen al infinito. El primer objetivo en esta seccin es ver cmo los limites que conciernen al infinito pueden interpretarse como un comportamiento grfico. Esta informacin se combinar con los m-i.'.-t/'v fl.. 1-.1 .1,-riv 1,1.. .1.- |.'v v.-.y.vii-': t I V T.? ,niu_i'l lin di' ulMiMii-r.iinjmvi'dimiiuilii-

ReparvO ju s to a t i e m p oNuevas en esta edicin, estas referencias se usan para que los estudiantes recuerden rpidamente los conceptos del lgebra universitaria, o el preclculo, sin distraerlos del material bajo estudio. Tambin se pueden hallar estudios ms detallados en el apndice A, Repaso de lgebra.

EjerciciosSiempre una caracterstica fuerte de ediciones pasadas, la octava edicin aumentada ofrece ms de 1 000 nuevos ejercicios para aumentar la efectividad de estas secciones. Los ejercicios de rutina se han agregado donde es necesario para estar seguros que los estudiantes tendrn suficiente prctica en dominar conocimientos bsicos, y se ha agregado una gran cantidad de nuevos ejercicios aplicados para ayudar a demostrar lo prctico del material. Las respuestas a problemas impares de fin de seccin y de repaso de captulo se pueden hallar al final de este texto, con soluciones completas en el Manual de soluciones para el estudiante (consulte con su representante local).

3- Ib SECCIN 3.1 Fundones crecientes y decrecientes; extremos relativos 197

fe'/1 loi problemas 45 a IS se da la derivada de una funcin /(.vi. En cada caso encuentre los nmeros crticos de / ( v) y elaxiffilelos como un mximo relativo, mi mnimo relativo o ni lo uno ni lo otro . segn corresponda.

45. / (.v) = v2(4 - .v: )

f.v + 112(447 = (VJ + |F.n los p ro b lem a s -19 a 52

49 .

3.)'

v(2 - v)

/' = .ttttt4S. f ' i .x ) = .v ' ( I r - 7 h v + 5 l

.ve da la grfica de una funcin f. En cada caso represente una grfica para f

! 50. .

i I

51. 52.

3-pullton titii ponuwrtiu", icoht^irjl MhIi0- -274.

r +

R(D) H - f )

46.

donde D es la dosis, y C (constante) es la dosis mxima que se puede administrar. La razn de cambio R(O) con respecto a D se denomina sensibilidad.a) Determine el valor de D para el cual la sensibili

dad es la mayor. Cul es lu mayor sensibilidad? (Exprese su respuesta en trminos de C.)

b) Cul es la reaccin (en trminos de C) cuando se usa la dosis que resulta en la mayor sensibilidad?

* !' 1 ! 11' ' En el diseo de aeroplanos,una caracterstica importante es el inuy conocido factor de arraslre. que es la fuerza relardadora ejercida sobre el avin por el aire. Un modelo mide el arrastre por una funcin de la forma

b

49.

/) Av +

' V. A. Tuc,ci y K. Scliniwll-KwniE. Miflii S|>cc*i\ ul ISitcn in Rc- Ijfion to Eiicrfclicv and WiuJ Diwclious*'. 1 hr Aui, Vol. KK (1071), pjg:iru> 97-107.

K. M . T I i/ jI I ft di.. Stnr MiithfmuHt d i M iutrli in flinhi/y. t i. ul IK'iliJ'Jll, |V07.

litros cuando la temperaiura es T C, para 0 T 30.a) Utilice una calculadora graficadorn para trazar

\\T ). para O s T 10. La densidad del agua es mxima cuando l'(Tj es mnima. A qu temperatura ocurre esto?

b) Le extraa la respuesta del inciso

Resumen de! capitulo 83

Trminos importantes, smbolos y frmulasFuncinNotacin de funcin/ ( vi , .Dominio y rango de una funcin i * i Convencin del dominio < i ,Variables independenles y dependientes i Funciones usadas en economa:

Demanda i-m Oferta 11?i Costo i ' i Ingreso i > i Utilidad i ' i

Composicin de funciones: gtfttf)) n>i Grfica de una funcin: los puntos > Intersecciones con los ejes v y y : l ' i Funcin definida en partes i :Funcin de potencia i?ni Polinomio .Tu.Funcin racional O l Tnierio de la recta vertical ' _________

Proporcionalidad conjunta: Q = Lxy 1U 1 Equilibrio de mercado: ley de I oferta y lu demanda117,Escasez y abundancia i ! 71 Anlisis del pumo de equilibrio i-i7i Lmite de una funcin lm f(x ) i p Lmites al infinito:

lm /(.v) y lm /(.r) (M i

Regla del recproco de la potencia:

lm -7 = 0 y i'-> * x

lm 7.r

0 k > 0 d in

. is .Lmites al infinito de una funcin racional f(x ) = :

f(v)Divida lodos los trminos de f(x ) entre la potencia ms alia v en el denominador i

Asiniota horizontal if i Lmite infinito: lm /(.v)Lmites laterales:

O_ pov~a.S

DZty

3ISJe

Rsvsin de captuloUna nueva Revisin de captulo presenta un rpido examen para estudiantes para probar su comprensin de los conceptos introducidos en el captulo. Todas las respuestas a este examen aparecen en las Respuestas clave al final del libro.

Reposo de captu loEsencial para la comprensin del estudiante es el material de Repaso de captulo que ayuda a sintetizar los conceptos importantes presentados dentro del captulo. Los trminos, smbolos y frmulas importantes dan una lista maestra de todos los trminos tcnicos clave y matemticas que se estudian en el captulo.

Verificacin para el cap itu lo 2 |UJC

En cada caso, determine la derivada . = (3aj - ,v+ I )(4 - r ) 5 .r - 3.r + 2

' I - 2 x d. y = (3 - 4. + 3-v2),/2

Delennine la segunda derivada de la funcin

f ( i ) = l(2t + I)2.

Encuentre la ecuacin de la recta tngeme a la curva y = x~ - I r + 1 en el punto donde.r = - I.

Determine la lasa de cambio de la funcin

/(.O = x + I5.t con respecto a x cuando x 1.

O- J

! nCL

EXPLORE! ACTUALIZACIONO

Prefacio xx

Material complementario" Este texto cuenta con varios materiales complementarios de apoyo, para mayor informa

cin contacte a su representante local.

n Al igual que en ediciones anteriores, hemos elaborado una lista de los maestros que utilizan este texto que nos han retroalimentado; as como de quienes usan otros textos, para sealar posibles reas a mejorarse. Nuestro extenso panel de maestros proporcion una gran cantidad de detallada informacin sobre el contenido de este libro y los cambios necesarios de su curso. Numerosos cambios hechos en esta octava edicin son el resultado directo de un consenso entre este panel. Agradecemos a todas las personas que tomaron parte en este proceso.

Mi'v: de ]?. octavo edicinFaiz Al-Rubaee, University ofNorth FloridaGeorge Anastassiou, University ofMemphisNeal Brand, University ofNorth TexasPaul W. Britt, Louisiana State UniversityBaton RougeBeverly Broomell, SUNY-SuffolkSteven Castillo, Los Angeles Valley CollegeDeanna Caveny, College o f CharlestonTerry Cheng, Irvine Valley CollegeLynn Cleaveland, University o f ArkansasDominic Clemence, North Carolina A&T State UniversityCecil Coone, Southwest Tennessee Community CollegeJean F. Davis, Texas State University-San MarcosJohn Davis, Baylor UniversityMargaret Ehrlich, Georgia State UniversityHaitao Fan, Georgetown UniversityKlaus Fischer, George Masn UniversityMichael Freeze, University ofNorth CarolinaWilmingtonConstantine Georgakis, DePaul UniversitySudhir Goel, Valdosta State UniversityLauren Gordon, Bucknell UniversityAngela Grant, University ofMemphisDoug Hardin, Vanderbilt UniversityJonathan Hatch, University o f DelawareMatthew Hudock, St. Philips CollegeZonair Issac, Vanderbilt UniversityShafiu Jibrin, Northern Arizona UniversityVctor Kaftal, University o f CincinnatiGeorgia Katsis, DePaul UniversityFritz Keinert, lowa State UniversityDonna Krichiver, Johnson County Community CollegeW. Conway Link, Louisiana State University-ShreveportYingjie Liu, University o f Illinois at ChicagoJeanette Martin, Washington State UniversityKailash Misra, North Carolina State UniversityRebecca Muller, Southeastern Louisiana UniversityKarla Neal, Louisiana State UniversityDevi Nichols, Purdue UniversityWest LafayetteRay Otto, Wright State UniversityVirginia Parks, Georgia Perimeter CollegeShahla Peterman, University o f MissouriSt. Louis

Lefkios Petevis, Kirkwood Community CollegeMohsen Razzaghi, Mississippi State UniversityArthur Rosenthal, Salem State CollegeMansour Samimi, Winston-Scilem State UniversityAnthony Shershin, Florida International UniversityKen Shores, Arkansas Tech UniversityBrian Smith, Parkland CollegeNancy Smith, Kent State UniversityCharles Stanton, California State UniversitySan Bernardi-noJim Stein, California State University-Long Beach Hugo Sun, California State UniversityFresno Dinh Van Huynh, Ohio University Maria Elena Verona, University o f Southern California Kimberly Vincent, Washington State University Hiroko Warshauer, Southwest Texas State University Xiao-Dong Zhang, Florida Atlantic University Jay Zimmerman, Towson University

Revisores de ediciones anterioresDan Anderson, University oflowaDon Bensy, Sujfolk County Community CollegeRandall Brian, Vincennes UniversityJames F. Brooks, Eastern Kentucky UniversityLaura Cameron, University ofNew MxicoRick Carey, University o f KentuckyGerald R. Chachere, Howard UniversityWilliam Chin, DePaul UniversityCharles C. Clever, South Dakota State UniversityPeter Colwell, lowa State UniversityRal Curto, University oflowaKarabi Datts, Northern Illinois UniversityKen Dodaro, Florida State UniversityDan Dodero, Florida State UniversityEugene Don, Queens CollegeDora Douglas, Wright State UniversityBruce Edwards, University o f FloridaMaurice Ekwo, Texas Southern UniversityGeorge Evanovich, St. Peters CollegeRonnie Goolsby, Winthrop College

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xxii Prefacio i

John Gresser, Bow'ling Green State UniversityMurli Gupta, George Washington UniversityWilliam Hintzman, San Diego State UniversityJoel W. Irish, University o f Southern MaineErica Jen, University o f Southern CaliforniaSheldon Kamienny, University o f Southern CaliforniaMelvin Kieman, St. Peter's CollegeHarvey Lambert, University o f NevadaDonald R. LaTorre, Clemson UniversityMelvin Lax, California State University atLong BeachJames E. McClure, University ofKentuckyMark McCombs, University ofNorth CarolinaAnn B. Megaw, University o f Texas at AustinFabio Milner, Purdue UniversityMohammad Moazzam, Salisbury State UniversityJames Osterburg, University o f CincinnatiHiram Paley, University o f IllinoisMurray Peterson, College ofMarinCyril Petras, Lord Faiifax Community CollegeNatalie Priebe, Rensselaer Polytechnic JnstituteGeorgia Pyrros, University o f Delaware

Richard Randell, University oflowaNathan P. Ritchey, Youngstown State UniversityJudith Ross, San Diego State UniversityRobert Sacker, University o f Southern CaliforniaKatherine Safford, St. Peters CollegeDolores Schaffner, University o f South Da/cotaThomas J. Sharp, West Georgia CollegeRobert E. Sharpton, Miami-Dade Community CollegeMinna Shore, University o f Florida International UniversityJane E. Sieberth, Franklin UniversityJoseph F. Stokes, Western Kentucky UniversityKeith Stroyan, University oflowaMartin Tangora, University o f Illinois at ChicagoTuong Ton-That, University oflowaLee Topham, North Harris Community CollegeGeorge Trowbridge, University ofNew MxicoCharles C. Votaw, Fort Hays State UniversityPam Warton, Bowling Green State UniversityJonathan Weston-Dawkes, University o f North CarolinaHenry Wyzinski, Indiana University-Northwest

Nuestro agradecimiento espacial a quienes revisaron la precisin de problemas y pginas, incluyendo Devilyn Nichols, Paul Lorczak, Henri Feiner, Mary-Ellen Oliver y Jaqui Bradley. Reginald Luke fue clave para desarrollar el material de Explore! de esta edicin. Finalmente, deseamos agradecer al equipo de McGraw-Hill, Bob Ross, Nancy Anselment y Vicki Krug por su paciencia, dedicacin y continuo apoyo.

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El siguiente anlisis tiene la inalidad de ser una breve introduccin a las funciones estndar de una calculadora graficadora que se hallan en casi todas las mquinas de este tipo. Las calculadoras graficadoras tpicas que se pueden adquirir comercialmente son los modelos TI-83 Plus o la TI-84 Plus, producidas por Texas Instruments, Inc. Esta introduccin y las siguientes secciones Explore! Actualizacin y soluciones, usan como base la calculadora TI-83 Plus (edicin Silver). El teclado comn incorpora las teclas estndar numricas, de edicin y de flechas de cursor, as como las teclas para acceso a operaciones matemticas y cientficas, y funciones grficas y de programacin. Para instrucciones ms especficas, consulte el manual que acompaa a su calculadora.

jya ii ic p R prbiflpFrac.22 t>Dec4 2 3J-

Solucionados* de ecuaciones

Modo

Estilo de grficas

Pantallas

Un mtodo ms eficiente para resolver ecuaciones es accesible por medio EQUATION SOLVER de la tecla MATH, donde hemos escrito la ecuacin de Pitgoras que se ve en la figura 7, con todos los trminos del lado derecho de la ecuacin. Al presionar ENTER se obtiene la figura 8, con valores de entrada de 5 para A y 13 para C, en un intento por despejar el valor de B. Ponga ah un valor inicial razonable y luego ejecute el comando de color verde SOLVE (ALPHA ENTER) para obtener la solucin anticipada (figura 9). Note que tenemos la facilidad de despejar cualquier variable faltante, dados los valores deseados o pedidos para las otras variables.

EQURTION SOLVER efn5 =2+B2C2

|R2+EZ-C2=0 R = 5 B=i C=13bound=C 1 e99? 1...

F|2+B Z -C 2=0r=5

B=12. 000000000... C=13bound= "1e99? 1...

ale f t - r t = 0

FIGURA 7 FIGURA 8 FIGURA 9

La caracterstica predominante de una calculadora es su facilidad para presentar, exhibir visualmente y analizar las muchas funciones que hay en clculo. Supongamos que el lector est interesado en la relacin entre las dos funciones f(x) = x2 1 y g(x) = 5 x. Presione la tecla MODE, y observe los ajustes predeterminados que se ven en la figura 10. De la fila 4 observamos que estamos en el modo de funcin (Func), en oposicin a paramtrico (Par), polar (Pol), o secuencia (Seq). La posicin de Connected de la fila 5 se refiere al hecho de que las grficas se van a generar de un modo conectado en lugar de con puntos intermitentes. La posicin de Sequential de la fila 6 se refiera al orden en que se van a generar las grficas, una despus de la previa y no todas al mismo tiempo (simultneamente). Ahora presiona la tecla Y=, llamada editor de ecuaciones, localizada en la esquina superior izquierda del teclado, y escriba/(jc) en Y1 y g(x) en Y2, como se ve en la figura 11.

Se-i En9 0123456789

DeSree ar Pol Se i^

Dot1 Siroul

H oriz G-T

N ati. H ati F-lofcj:'Vi X2 1

^ V 3 = i vVh = x V s = xVfi ='Y? =

Nofcl No!* Nofc-

vVziS-K ^ 3 =x V h =*'*V5 =W f i =*^v?=

c R 'il 8GRA 12

Se seleccionan diferentes estilos de grficas para cada funcin, al mover el cursor a la izquierda del smbolo de funcin Y, y presionando la tecla ENTER en sucesin. Las opciones de estilo de grfica que aparecen en orden son negritas, sombreado arriba de la funcin, sombreado abajo, esfera con lnea que sigue, esfera sola, lnea desconectada y luego regresa al estilo de grfica inicial regular estndar. Si se presiona una vez la tecla ENTER cuando el cursor est a la izquierda de Y1 se obtiene un estilo de grfica en negritas para/(.v) = .y2 1, como se ve en la figura 12.

La mayor parte de las calculadoras graficadoras tienen varias pantallas opcionales puestas para dimensiones prescritas. En la TI-83 Plus, a estas pantallas se tiene acceso por medio de la tecla ZOOM (situada en la parte media de la fila superior del teclado). Si se presiona esta tecla se obtiene la figura 13. Una pantalla estndar, 6:Zstandard, genera una grfica que se muestra en la figura 14. Las dimensiones de esta pantalla estndar son 10 ^ X ^ 10 y- 10 < Y < 10, con los ejes a escala en marcas unitarias designadas por Xscl = 1 y Y scl = 1, respectivamente. Presione WINDOW y vea la pantalla que se muestra en la figura 15.

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122=T i

iUJM NENORV Z B ok Zoon In Zooro Out

45ZDecinal 52 ZS^uare giZStandard 7 Z T r i9

FIGURA 13

WINDOW Snin=10 Xnax=10 Ksc-l=l V n in = 10 Vnax=10 Vsc-l=l Xres=l

FIGURA 14 FIGURA 15

Otro tipo til de rectngulo de observacin es la pantalla decimal, a la que se tiene acceso por el men ZOOM, 4:Zdecimal. Las dimensiones de la pantalla decimal estn denotadas [ 4.7, 4.7] l por [ 3.1, 3.1 ] 1 para designar intervalos de valores X y Y, respectivamente, donde los valores 1 despus de los parntesis indican que Xsd = 1 y Yscl = 1 (vea la figura 16). Las dimensiones especiales de la pantalla decimal permiten que el cursor pueda rastrear valores decimales de la variable X, en incrementos de 0.1. La modificacin de las dimensiones Y de esta ventana permite una mejor observacin de las grficas de ambas funciones, como se ve en la figura 17, donde 2 < Y < 10. Cuando las dimensiones de la ventana se modifican, la tecla GRAPH (ubicada arriba a la derecha del teclado) debe usarse para obtener la grfica deseada, como se muestra en la figura 18.

WINDOW ftmin= "4b 7 ftrfiax=4H 7 feo 1=1 VFiin= -3 .1 Vnax=3B1V S G l = lKres=l

WINDOW fWiin= 4* 7 X m a K = 4 - 7 Ks&l=1 Vmin= _2 Vnax=10l3 V s c l= l K re s= l

FIGURA 16 '6URA 17

I razo El movimiento a lo largo de la grfica de la funcin se maneja con el uso de la tecla TRACE (fila superior del teclado), maniobrando a derecha o izquierda en una grfica con el uso de las teclas de flecha apropiadas derecha o izquierda, como se ve en la figura 19. Observe que los valores x del punto de trazo son decimales, puesto que la grfica se gener usando una ventana decimal modificada. Use las teclas de flecha arriba o abajo para saltar de esta funcin a la otra, en este caso la funcin g(x) = 5 x, como se ve en la figura 20. Podramos continuar haciendo trazos en ambas grficas para hallar el punto de interseccin, que parece ser el punto (2, 3), que se puede confirmar fcilmente en forma analtica.

Y1=p-iV-T" *-

/--V.

Jtr. .K=1.3 ^ Y=9 X=1.3 7=3.?

v=s:-K

K=2 ^ 7=3


u n ci n parainterseccin

Para demostrar una de las funciones de calculadoras de grficas, mostramos la funcin de hallar intersecciones de la TI-83 Plus, que se calcula con la tecla CALC (2nd TRACE), como se ve en la figura 22. Note que tambin podemos hallar valores funcionales, races, valores de mnimo y mximo, as como algunas operaciones de clculo. Encontremos el otro punto de interseccin d e /Cv) y g(x). Seleccione 5:intersect e identifique las dos curvas y un punto de interseccin estimado, presionando ENTER sucesivamente para alcanzar el siguiente paso del proceso. Entonces la calculadora tratar de buscar el punto exacto de interseccin, como se ve en la figura 24.

XXV

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xxvi

a a s f i ia a ia1valu2Szero35minimum45 mximumpH intersect&sdy''d x7 S tr f < x )d x

V1=K2-iH /

: /

\ N/\ : / > > *

FiFst c u m ? :K= 2.5 7=5.25

lftWHCKiOh H= -3


Representacin Otra funcin til de una calculadora graficadora es su capacidad de representar funcioness im b l ic a simblicamente. Ya hemos puesto funciones en Y1 y Y2 del editor de ecuaciones, Y =. Hay

muchas ocasiones cuando necesitamos usar estos smbolos en ecuaciones y expresiones. Por2 *ejemplo, suponga que deseamos escribir Y 1(5) para evaluar/(x) = x - 1 en * = 5. Cmo

se hace esto? El smbolo Y1 se puede hallar por medio de la tecla VARS, y moviendo la tecla de flecha derecha a Y-VARS, seleccionando l:Function, y luego escogiendo Y1 o Y2. Estos pasos se ilustran en la secuencia de pantallas que se ve en las figuras de la 25 a la 27.

m r n v -vfirsMlJandow...2Zoom...35GDB...45 Pie-ture...55 S ta tis tio s ... SsTable...75 5trin9...

VRR5 BfflBHB MFunction... zsparametric-... 35 Polar...45 OrVOf f ...

FIGURA 25 FIGURA'26 FIG J ' 27

Los smbolos Y1 y Y2 se pueden manipular en combinaciones funcionales, como lo haramos con/(jc) y #(*). Por ejemplo, sumas, productos y combinaciones as como traslaciones y transformaciones se construyen fcilmente. Con Y1 y Y2 como se define, escrita Y3 = Y1(X + 2). Primero, sin embargo, borre la seleccin de Y1 y Y2, de modo que sus grficas no aparezcan en la pantalla. Esto se hace al mover el cursor al signo de igualdad y presionando ENTER para quitar la seleccin de la funcin deseada, como se hace en la figura 28, donde a Y1 y Y2 se les ha quitado la seleccin. La grfica resultante, usando una pantalla estndar ZOOM y con la tecla TRACE activada, aparece en la figura 29. Qu ecuacin tiene esta funcin? Finalmente, quite la seleccin de Y3 y escriba Y4 = Y1(Y2), la combinacin de f(g(x)). Su grfica aparece en la figura 30. De nuevo, cul funcin es sta?

Plofcl Flot2 MotS

^Vz=5-X xV 3B V iX + 2J x V h = x V s = xVfi =vV? =

V3=rKK*2>

..JH=0

..........

7=3

uK=H.Q*125532

X j y -

7= -.IJ032S56

FIGURA 28 FIGURA 29 FIGU?'.- :-:-

Seleccin ele Uno de los desafos clave para presentar grficamente una funcin es crear la mejor pantalla pan ta llas Para ver Ia parte importante de esta grfica. La pantalla estndar o la decimal disponibles por

medio de la tecla ZOOM no pueden exhibir la grfica en forma apropiada. Ver una tabla de valores puede ser el mejor primer paso para obtener un fijo en comportamiento funcional. Como ejemplo, exploremos cmo presentar las mejores dimensiones de pantalla para la grfica de la funcin/ ( a ) = 15 + 30x/(x~ + 1), que ponemos en Y l. Primero, creamos un ajuste de tabla para poder ver el comportamiento de la funcin alrededor del origen. Presione 2nd WINDOW (TBL SET) y cambie los ajustes de tabla para obtener un valor inicial .v de A" = - 3 en valores de incremento unitarios, es decir, fije TblStart = - 3 y ATbl = 1, como se veen la figura 31. Ahora presione la tecla TABLE (2nd GRAPH) para obtener la tabla de valores que se muestra en la figura 32.

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TRBLE SETUPT b l5 ta r t= -3* T b l= l

In d p n ts pp.k? RskDepend nitral? sk

UUNDW Xmn= 4*7 X w a x = 4 m 7 sol=l V n i n = 5 Vmax=35 Vscl=l jires=l

La observacin de la tabla de valores da una buena idea de los mrgenes de valores funcionales y un dominio razonable con el cual trabajar. Parece que deberamos fijar el margen de valores y un poco mayores a [0, 30], por ejemplo 5 ^ Y ^ 35. Como el dominio de los valores x debe estar fuera de x = 3 a 3, usamos una pantalla decimal modificada, por ejemplo 4.7 < X < 4.7. Presione las siguientes teclas: ZOOM, 4:Zdecimal, y luego WIN- DOW, y cambie los ajustes como se dan en la figura 33. Estas dimensiones quedaran expresadas como [4.7,4.7] 1 por [-5, 35] 1. Finalmente, al presionar GRAPH se crea la grfica que se ve en la figura 34, donde la tecla TRACE identifica la funcin y puntos especficos en la grfica.

La grfica mostrada en la figura 34 tiene un punto mximo aparente, ubicado alrededor de x = 1. La tecla TRACE puede ser aqu muy til, especialmente, porque la pantalla decimal modificada permite trazar sobre valores decimales, como se ve en la figura 35. Casi todas las calculadoras graficadoras tienen una funcin de bsqueda mxima para ayudar a localizar este importante punto. Presione la tecla CALC (2nd TRACE), 4:maximum, como se ve en la figura 36. Ser necesario especificar un lmite izquierdo razonable, lmite derecho, y estimar, presionando la tecla ENTER segn sea necesario, antes que el programa rectifique sobre el punto mximo, que se identifica como .y = 0.99999881, como en la figura 40. Note que este punto es tcnicamente x = 1 dentro de los lmites de tolerancia de la calculadora, pero esto se puede verificar en forma analtica por mtodos de clculo como x 1 exactamente, como se demostrar ms adelante en el captulo 3.

BjBBBIBSBia15 valu 2= zeroT! mnimum H r o a x i m u m b* i n t e r s e s t ea d y ^ d *7* JT

. importante concepto en matematicas es el de una secuencia, un conjunto de nmeros que,por lo general, est indizado por los nmeros naturales, o enteros positivos. En clculo, se encuentran secuencias en aproximaciones y generalmente asociados con lmites y empleados para formar series (para un estudio de series, vea el captulo 9). Un ejemplo de una secuencia finita sencilla de enteros es {1,4, 7, 10, 13, 16}. Cmo puede introducirse esto en la calculadora? El comando de secuencia se encuentra por medio de la tecla LIST (2nd STAT), usando el men OPS, rengln 5.:seq(, como se ve en la figura 41. La sintaxis para este comando es seq(rule, variable, beginning ndex, ending ndex, increment), aun cuando el valor de incremento puede omitirse. La figura 42 muestra tres intentos diferentes de construir la secuencia de ejemplo al determinar la regla o ajustando los ndices, slo dos de los cuales son correctos.

FIGURA 41 FGURA 42

Tambin es til exhibir secuencias como listas en una calculadora graficadoras. Presione la tecla STAT, situada hacia la parte media del teclado, y seleccione la primera opcin l:Edit para exhibir las primeras tres de seis posibles listas, L1 a L6. (El usuario puede tener que analizar la opcin 5:SetUpEdidtor, si algunas de estas listas estn ocultas o faltantes.) List 1 contiene la lista de enteros del 1 al 6 (figura 43), y List 2 se gener al escribir L2 = seq(3X2,X, 1,6) en la lnea de comando de la parte superior de la columna (figura 43). Si hay otras listas de datos no deseados, por ejemplo como en List 3, mueva el cursor a la parte superior de esa lista (figura 44), presione la tecla CLEAR, y luego presione la tecla de flecha abajo. Esto borrar todos los datos anteriores y estar lista para los nuevos datos, como se hace para List 3 (figura 45).

L1 L:: 2i 3 b Bb

12Hr

9Hb

Li- =se-=i

superior de List 3, como se ve en la figura 47. Si se presiona ENTER se obtiene una lista de sumas parciales en L3, como en la figura 48. Al mover con la tecla de flecha abajo a la fila 50, se observa que la serie S(l//?2) slo suma hasta el valor de aproximadamente 1.625 para los primeros 50 trminos. Cmo se comportar cuando n se aproxime al infinito? Vea el captulo 9.

L1 LE

1 i1 > ri .11111H .0b5r .OHb M??E1 .020H1

L3 =

L1 L

i i.5.11111

H .0fi5r .OHb"11 .020H1

L5 =cur ibun . L )

L1 111 1 2 21 1.2E2 .11111 1.5611H .0b5 1.H236E .OH 1.H636b .0??B 1.H91H? .020H1 i.SlB

L31)=1

Las secuencias tambin pueden ser representadas en forma repetitiva por reglas que generan los trminos de una secuencia por medio de alguna combinacin de trminos previos. Una secuencia repetitiva muy famosa es la de Fibonacci (un gran matemtico de la Edad Media) {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...}. La regla repetitiva para generar esta secuencia es un = un. x + u,,2i donde = 1 y u2 = 1. Para construir secuencias en forma repetitiva en la calculadora graficadoras, el MODE debe ponerse en modo de secuencia, mostrado en la figura 49. El smbolo u se encuentra arriba del nmero 7 como opcin de la funcin 2nd, mientras que el smbolo /? se obtiene de la tecla [X,T,0,n]. El editor de ecuaciones (Y=) ahora exhibir funciones en forma repetitiva, como en la figura 50. En esta pantalla, ponga umn = 1, u(n) = u(n 1) -i- u(n 2), y u(umjn) = {1,1} como en la figura 50. Por ltimo, ai escribir se- q(u(n), n, 1, 10) en la pantalla de inicio se generan los primeros 10 trminos de la secuencia de Fibonacci, como en la figura 51.

F'lotl F'1*t2 seK u(n) ? f? 1 ? 10);vM i n= 1

\u < ) iu < ;v-1 )+u 0

u . wM i n > B L1 ? 1 > S( n > =

v'0?Min> =\m c! )=

"SUiUKA Dv *21 * *)

i . ; , Otra funcin importante de una calculadora graficadora es su facilidad de modelar datos estadsticos, es decir, hallar y exhibir la mejor funcin para representar un conjunto de datos obtenidos en forma experimental o terica. Considere la siguiente tabla de datos, la poblacin de Estados Unidos (en millones) de las encuestas del U.S. Census para las pasadas varias dcadas, como se cita en el Britannica Almanac 2003.

Ao 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Pobl. U.S. 131.67 151.33 179.32 203.30 226.54 248.72 281.42

El primer paso es guardar estos datos de poblacin en las listas de la calculadora graficadora. Introduzca el stat editor por medio de la tecla STAT y presione l:Edit (figura 52). Ponga los aos 1940 a 2000 en List 1 y la poblacin de Estados Unidos en List 2 (figura 53).

S e i E n 9 0123456789

p eg ree a r F u

Doi b i m u l

\ re"m Horiz n

xxix

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CflLC TESTS it . . .

5TSori< 3 : SoriD< 4 : C l r L is t 5 S e tU p E d ito r

L1 L Wl 519H019501960197019B01990000

151.67151.55179.5205.526.5HHB.722B1.HS

IIr--i

La segunda fase del proceso de presentacin de datos es establecer las grficas estadsticas. Presione la tecla STAT PLOT (2nd Y=) para dejar ver una pantalla con tres selecciones de grfica, como se ve en la figura 54. Escoja la primera opcin y seleccione los valores, lnea por lnea para los 5 renglones, para coincidir con la exhibicin de la pantalla de la figura 55. En Line2, especificamos el tipo de datos al mover la tecla de flecha a la derecha y presionar la tecla ENTER para seleccionar, en orden, una de las siguientes opciones: grfica de dispersin, grfica de lnea, histograma, grfica de caja con resultados aislados identificados, grfica de caja regular, grfica normal. Hemos escogido la primera seleccin, grfica de dispersin, para nuevos datos bivariados. La variable Ao en List 1 es nuestra Xlist, mientras que la poblacin de U.S. es List2 como Ylist. La marca de grfica es un pequeo smbolo cuadrado.

S T O F fL1 L2

2 = P lo t2 ...0 ffiDesj li

3 = P lo t3 ...0 ff\r~' Li L2

4 4 -P lo ts ff

f fs m fei

CTH I.-"X lis ts L i Vlist-SLs h a r k s l *

Ahora que los valores de grfica se han seleccionado, usamos la funcin ZOOM de la TI-83 Plus, seleccionando 9:ZoomStat, como se ve en la figura 56, para obtener una grfica instantnea, como se muestra en la figura 57, para la cual se puede presionar la tecla TRACE para identificar los valores de cada uno de los puntos de datos. La forma de la grfica parece lineal, de modo que intentamos hallar la mejor recta de la forma Y = aX + b, que se ajuste a los datos de poblacin. Este proceso se denomina de regresin lineal, con base en el mtodo de mnimos cuadrados de Gauss, que produce los coeficientes de regresin a y b para la funcin lineal que mejor aproxima los puntos de datos. Presione la tecla STAT, una vez la tecla de flecha a la derecha a CALC, y seleccione la opcin 4:LinReg(ax+b), que se muestra en la figura 58. Prepare una pantalla clara, presione esta seleccin, y luego escriba los tres smbolos: L l, L2, y Y l, separados por comas, como se muestra en la figura 59. Recuerde que Yl se obtiene por medio de la secuencia: VARS, Y-VARS, l:Function, 1:Y1. Por ltimo, presione ENTER para obtener los resultados deseados, como se muestra en la figura 60.

_ MEHORV ^iDec-imal

5sZ5u are 65 ZStandard 7 = ZTri9 8sZInte9er

F*1:L1j.L2o

a

a=13H)---------7=131.67 . . .

EDIT gaffi TESTS 1s1 -V a r i t a t s 2"2-V ar S ta ts 3sMed-Med |PLiriRe9

LinRe9

Regresin de polinomios

P ogm m acin simple

Concluimos este ejemplo de anlisis de datos al ajustar una funcin de polinomios a los datos de poblacin. Hay suficientes curvas en la figura de los datos para intentar una curva de la forma, Y3 = aX4 + bX3 + cX2 + dX + e, polinomio de cuarto grado llamado forma de regresin curtica. Presione STAT, tecla de flecha a la derecha a CALC, y escoja la seleccin 7:Quart-Reg, como se muestra en la figura 64. Prepare la pantalla que se exhibe en la figura 67, que da las figuras 68 y 69.

FIGURA 67 'IGURA 63 FIGURA 69

Finalmente, presiones Y= y quite la seleccin de Y1 y Y2 y slo muestre Y3, como se ve en la figura 70. Al hacer rastreo al ao 2003 se obtiene el valor pronosticado de 295.36 millones de habitantes, con base en la ecuacin de regresin curtica, como se ve en la figura 71.

VSri.HhfiSlliiiSSE-EK'K

K=2M3______ 7=295.359?

FIGURA 70 FIGURA 7 1

La U.S. Census Bureau utiliza refinadas tcnicas de modelado para pronosticar ms poblaciones de Estados Unidos [Projections ofthe Population ofthe U.S. by Age, Sex, and Lo- cation: 1995-2050K (2002), U.S. Bureau of the Census]. Cmo se comparan los tres modelos de regresin con esta proyeccin? La tabla siguiente presenta las comparaciones:

Modelo que pronostica poblacinen millones 2010 R2

Regresin lineal 301.94 0.998618Regresin exponencial 325.10 0.995751Regresin curtica 339.71 0.999914Proyeccin de la U.S. Census Bureau 299.86

Con base en los 7 puntos de datos (U.S. Population for Decades, 1940-2000), los tres modelos de regresin estiman demasiado la proyeccin de la U.S. Census Bureau, siendo la estimacin lineal la ms cercana. La regresin curtica se ajusta mejor a los puntos, donde R~ sirve como medida del ajuste del modelo.

En la seccin Explore! Actualizacin de algunos captulos de este libro de texto, se incluye programas sencillos para crear histogramas estadsticos y diagramas de campo pendiente. As, es oportuna una breve introduccin a las teclas de calculadora relacionadas con programacin. Presione la tecla PRGM de la parte media del teclado para obtener una lista de programas ya escritos o copiados (figura 72). Con flecha pase a NEW para iniciar, seleccione l'.CreatNew, y escriba un ame para el nuevo programa (figura 73). Entonces los pasos pa

xxxii

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ra el programa se pueden escribir despus de cada punto y coma. Un ejemplo de algunas lneas de programa para histogramas con binomios aparecen en la figura 74.

aaag edit new PROGRRM PRGGRM:BINOHISTMBTNHIST Har'ie=0 :Input "HUMBER T2: GEOMHIST RILS=";H3:HISTOGRfi : I r iP u t "PROB SUC4: MM CESS= " 7 P5:RNGER :se-=t

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El precio de un bien en el mercado es una funcin de la cantidad demandada por los consumidores.

UNCIONESAFICAS LIMITES

1 Funciones2 Grfica de una funcin3 Funciones lineales4 Modelos funcionales5 Lmites6 Lmites laterales y continuidad

Resumen del captuloTrminos im portantes, smbolos y frm ulas Problem as de verificacin del captu lo 1 Problem as de repaso

Explore! Actualizacin Reflexiones acerca de...

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2 CAPTULO 1 ! Funciones, grficas y lmites I

En muchas situaciones prcticas, el valor de una magnitud puede depender del valor de una segunda magnitud. Por ejemplo, la demanda del consumidor de carne puede depender del precio actual en el mercado; la cantidad de contaminacin en el aire de un rea metropolitana puede depender del nmero de automviles en los caminos; o el valor de una moneda rara puede depender de su antigedad. Con frecuencia estas relaciones pueden representarse matemticamente como funciones.

Dicho con sencillez, una funcin consta de dos conjuntos y una regla que relaciona los elementos en un conjunto con los elementos del otro. Por ejemplo, suponga que quiere determinar el efecto del precio sobre el nmero de unidades de un artculo en particular que se vender a ese precio. Para estudiar esta relacin, se necesita conocer el conjunto de precios permisibles, el conjunto de niveles de venta posibles y un criterio para asociar cada precio con un nivel de ventas particular. La definicin de funcin que se utilizar es

Funcin a Una funcin es una regla que asigna a cada objeto de un conjunto A exactamente un objeto de un conjunto B. El conjunto A se llama dominio de la funcin y el conjunto de objetos asignados de B se denomina rango.

Para la mayora de las funciones en este libro, el dominio y rango sern conjuntos de nmeros reales y la funcin misma se denotar con una letra/. El valor que la funcin/asigna al nmero x en el dominio se denota por/(:v) (y se lee como /d e jc), que es a menudo dada por una frmula, tal como/(x) = x2 4- 4.

FIGURA 1.1 Interpretacin de la funcin f{x).

EXPLORE!Guarde f{x) = x2 + 4 en su calculadora graficadora. Calcule parax = -3 , -1 , 0,1 y 3. Elabore una tabla de valores. Repita usando g(x) = x2 - 1. Explique en qu se diferencian los valores de /(*) y de g[x) en cada valor dex.

Puede ser til pensar que la funcin es como una transformacin de los nmeros de A en los nmeros de B (figura 1.1 a), o como una mquina que toma un nmero dado de A y lo convierte en un nmero de B a travs de un proceso indicado por la regla funcional (figura 1.1b). Por ejemplo, la funcin f(x) = x2 + 4 se puede considerar como una m quina/ que acepta una entrada a\ luego lo eleva al cuadrado y le suma 4 para producir una salida y = x2 + 4. No importa cmo decida considerar una relacin funcional, es importante recordar que asigna uno y slo un nmero del rango (salida) a cada nmero del dominio (entrada). Por ejemplo.

EJEM PLO I 1.1.1

Encuentre/(3) sif(x) = x2 + 4. Solucin

= 'X2 4 - = n

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Just

o-a-

tiem

po1-3 I SECCIN 1.1 I Funciones i 3

Observe la conveniencia y la simplicidad de la notacin funcional. En el ejemplo l . I. I, la frmula compacta f(x) = x 4- 4, define completamente la funcin, y se puede indicar que 13 es el nmero que la funcin asigna al 3 escribiendo simplemente/(3) = 13.

Con frecuencia es conveniente expresar una relacin funcional con una ecuacin y = /( .y), y en este contexto, x y y se denominan variables. En particular, como el valor numrico de y se determin por el valor de a\ entoncesse dice que y es la variable dependiente y que ,y es la variable independiente. Observe que no son exclusivos los smbolos jt y y. Por ejemplo, la funcin y = x2 + 4 se puede representar por s = t2 4-4o por w = u + 4 .

La notacin funcional tambin se puede usar para describir datos tabulados. Por ejemplo, la tabla 1.1 lista los promedios del costo de colegiaturas e inscripciones de universidades privadas con carreras de 4 aos, a intervalos de 5 aos, desde 1973 a 2003.

I B LA 1.1 C osto p rom ed io de inscripcin y coleg ia turas para universidades privadas con carreras de 4 aos

Ao acadmico que termina en Periodo n

Costo de inscripcin y colegiaturas

1973 1 $1 8981978 2 $2 7001983 3 $4 6391988 4 $7 0481993 5 $10 4481998 6 $13 7852003 7 $18 273

FUENTE: Animal Survey o f Coliches, The College Board, Nueva York.

Se pueden describir estos datos como una funcin/definida por la regla

_ promedio del costo de colegiatura e inscripcin al comienzo del periodo de 5 aos

As,/(1) = 1 898,/(2) = 2 700,. . . ,/(7 ) = 18 273. Observe que el dominio d e /e s el conjunto de enteros A = {1, 2 ,. . . , 7}.

El uso de la notacin funcional se ilustra tambin en los ejemplos 1.1.2 y 1.1.3. Se advierte que en el ejemplo 1.1.2 se usan letras diferentes d e /y x para denotar la funcin y su variable independiente.

REPASO________Recuerde que x a/b = \/x siempre que a y b sean enteros positivos. El ejemplo 1.1.2 usa el caso cuando a = 1 y b = 2; x1/2 es otra forma de expresarV i.

EJEMPLO I 1.1.2Si g(t) = (t ~ 2)1/2, encuentre (si es posible) (27), g(5), g{2) y g(l).

Solucin

Reescriba la funcin como g(t) = 'Vt 2. (Si se requiere un repaso de potencias fraccionarias, consulte el anlisis de notacin exponencial en el Repaso de lgebra que se encuentra al final de este libro). Entonces,

(27) = V 27 - 2 = V 25 = 5 g(5) = V 5 - 2 = V 3 1.7321

y g( 2) = V 2 ^ 2 = V 0 = 0

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4 CAPTULO 1 Funciones, grficas y lm ites 1-4

n

EXPLORE!Introduzca g{x) = V x - 2 en el editor de funciones de su calculadora graficadora como Y1 = V(x - 2). Ahora en HOME SCREEN construya Y1(27),Y1 (5) y Y1 (2), o alternativamente Y1 ({27, 5, 2}), donde las llaves se usan para encerrar una lista de valores. Qu sucede cuando usted escribe Y1 (1)?

XPLORE!Cree una funcin simple, definida por partes, usando la instruccin de lgebra booleana de la calculadora graficadora. Escriba Y1 = 2(X < 1) + (-1)(X > 1) en el editor de funciones. Examine la grfica de esta funcin, usando la pantalla decimal ZOOM. Qu observa en X = 1? Qu valores de Y1 se obtienen en X = -2 , 0,1 y 3?

Sin embargo, g(l) no est definida ya que

(1) = V T ^ 2 = V ^ T

y los nmeros negativos no tienen rafees cuadradas reales.

A menudo la funciones se definen usando ms de una frmula, donde cada frmula describe la funcin sobre un subconjunto del dominio. Una funcin definida as generalmente se llama funcin definida por partes. A continuacin se presenta un ejemplo de tal funcin.

EJEM PLO ! 1 .1 .3

Encuentre / [ -M ,/(l) y /(2) si

m =

i

X - 1 3x2 + 1

si x < 1

si x ^ 1

Solucin

1Como x = satisface x < 1, se usa la parte superior de la frmula para encontrar

1 1

- 1 / 2 - 1 -3 /2

Sin embargo, x = 1 y x = 2 satisfacen x > 1, de manera q u e /(l) y/(2) se determinan usando la parte inferior de la frmula

jf(l) = 3(1) + 1 = 4 y /(2 ) = 3(2)" + 1 = 13

E X P L O RIntroduzca en su calculadora graficadora f{x) = 1/(x - 3) como Y1, y despliegue esta grfica usando la pantalla decimal ZOOM. Utilice la instruccin TRACE para buscar los valores de la funcin desde X = 2.5 hasta 3.5. Qu observa en X = 3? Ahora guarde g(x) = V{x - 2) en Y1, y grafquela usando una ventana decimal ZOOM. Use TRACE para hallar los valores desde X = 0 a 3, en incrementos de 0.1. Cundo comienzan a aparecer los valores de Y?, y qu le indic

calculo aplicado, 8va ed-

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