calc taylor

CALCULUSDERET TAYLOR

Atok Zulijanto,[email protected]

Jurusan MatematikaUniversitas Gadjah Mada

Today

Initial of name CALCULUS DERET TAYLOR

Apabila f terdiferensial di c mk f dpt didekati dengan fungsisuku banyak P1(x) = f (c) + f ′(c)(x − c) asalkan x cukup dekatdgn c. Grafik fungsi suku banyak P1 mrpkan grs singgungfungsi f di c. Perhatikan bahwa

P1(c) = f (c)

P ′1(c) = f ′(c)


Pendekatan yang lebih baik untuk fungsi f di sekitar x = c adldgn fungsi polinomial derajat duaP2(x) = k + m(x − c) + n(x − c)2, dengan ketentuan

P2(c) = f (c)

P ′2(c) = f ′(c)

P ′′2 (c) = f ′′(c)


Diperolehk = f (c)Krn P ′2(x) = m + 2n(x − c), supaya P ′2(c) = f ′(c) mk m = f ′(c)Krn P ′′2 (x) = 2n, supaya P ′′2 (c) = f ′′(c) mk n = 1

2 f ′′(c)

f (x) ≈ P2(x) = f (c) + f ′(c)(x − c) +f ′′(c)

2(x − c)2


Dengan cara sama fungsi f di sekitar c dapat didekati olehfungsi polinomial derajat n:

Pn(x) = f (c) + f ′(c)(x − c) +f ′′(c)

2!(x − c)2 + ... +

f (n)

n!(x − c)n

Fungsi polinomial Pn di atas disebut fungsi polinomial Taylor(Taylor Polynomial) derajat n untuk fungsi f di c.


Contoh

Tentukan polinomial Taylor derajat 3 untuk f (x) = x√

x di x = 1

jawab

f (x) = x√

x , f (1) = 1

f ′(x) =32

√x , f ′(1) =

32

f ′′(x) =3

4√

x, f ′′(1) =

34

f ′′′(x) = − 38x3/2

, f ′′′(1) = −38


Jadi, fungsi suku banyak Taylor derajat 3 utk f (x) = x√

x dix = 1 adl

P3(x) = f (1) + f ′(1)(x − 1) +f ′′(1)

2!(x − 1)2 +

f ′′′(1)

3!(x − 1)3

= 1 +3(x − 1)

2+

3(x − 1)2

8− (x − 1)3

16


Teorema

Jk fungsi f memp turunan sampai tingkat n + 1 danmasing-masing kontinu pada suatu interval I yg memuat c, mkutk setiap x ∈ I, tdp ξ diantara x dan c shg berlaku

f (x) = f (c)+f ′(c)(x−c)+f ′′(c)

2!(x−c)2+...+

f (n)

n!(x−c)n+Rn+1

dengan

Rn+1(x) =f n+1(ξ)

(n + 1)!(x − c)n+1

Rumus di atas dinamakan rumus Taylor dan Rn+1(x) di sebutsisa Lagrange.


Apabila

Pn(x) = f (c) + f ′(c)(x − c) +f ′′(c)

2!(x − c)2 + ... +

f (n)

n!(x − c)n

mk rumus di atas dpt ditulis

f (x) = Pn(x) + Rn+1(x)

Pn(x) dpt dipandang sbg polinomial yg nilainya mendekati nilaif (x) utk x cukup dekat dg c. Sedangkan sisa Rn+1(x) akanmemberikan ukuran ketepatan pendekatan tsb.


Contoh

Tentukan nilai pendekatan√

1, 2 dg menggunakan fungsipolinomial Taylor derajat 3 utk f (x) =

√x di x = 1. Tentukan

pula batas kesalahan yg terjadi

Polinomial Taylor derajat 3 utk f (x) =√

x di x = 1 adl

P3(x) = 1 +x − 1

2− (x − 1)2

8+

(x − 1)3

16

Diperoleh

√1, 2 ≈ P3(1, 2) = 1 +

0, 22

− (0, 2)2

8+

(0, 2)3

16= 1, 0955


Nilai kesalahan dr pendekatan ini adl

R4(x) =f (4)(ξ)

4!(x − 1)4

dg f (4)(ξ) = − 1516ξ7/2 dan 1 < ξ < 1, 2. Krn ξ > 1 mk 1

ξ < 1, shg

|R4(1, 2)| = | f(4)(ξ)

4!(0, 2)4| = 15

(4!)(16ξ7/2)(0, 2)4

<15(0, 2)4

384= 0, 0000625


Perhatikan deret

∞∑k=0

ak (x−c)k = a0 +a1(x−c)+a2(x−c)2 + ...+an(x−c)n + ...

dg interval kekonvergenan (c − r , c + r), utk suatu r > 0.Misalkan utk sebarang x ∈ (c − r , c + r), fungsi f dptdinyatakan sbg

f (x) =∞∑

k=0

ak (x − c)k

mkf ′(x) = a1 + 2a2(x − c) + 3a3(x − c)2 + ...

f ′′(x) = 2a2 + 6a3(x − c) + 12a4(x − c)2 + ...

...


Apabila diambil x = c, didpt a1 = f ′(c), a2 = f ′′(c)2! ,

a3 = f ′′′(c)3! . . . an = f (n)(c)

n! sehingga

f (x) = f (c)+f ′(c)(x−c)+f ′′(c)

2!(x−c)2+. . .+

f (n)(c)

n!(x−c)n+. . .


Teorema

Jk fungsi f dpt dinyatakan dlm deret pangkat∑∞

k=0 ak (x − c)k

dg jari-jari kekonvergenan r maka

f (x) = f (c)+f ′(c)(x−c)+f ′′(c)

2!(x−c)2+. . .+

f (n)(c)

n!(x−c)n+. . .

utk setiap x ∈ (c − r , c + r).

Deret di atas disebut Deret Taylor fungsi f di sekitar x = c. Jkc = 0, deret Taylor di atas menjadi

f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + . . . +

f (n)(0)

n!xn + . . .

Deret ini disebut Deret MacLaurin fungsi f .


Contoh

Deret Taylor fungsi f (x) = ln x di sekitar x = 1 adalah

ln x = f (1) + f ′(1)(x − 1) +f ′′(1)

2!(x − 1)2 +

f ′′′(1)

3!(x − 1)3 + . . .

= (x − 1)− (x − 1)2

2+

(x − 1)3

3

−(x − 1)4

4+ . . . + (−1)n−1 (x − 1)n

n+ . . .


Definisi

Fungsi f dikatakan analitik di x0 jk f dpt disajikan dlm Derettaylor di suatu persekitaran x0.

Syarat perlu dan cukup agar suatu fungsi dpt dideretkan secaraTaylor diberikan dlm teorema berikut

Teorema

Diket fungsi f (n) ada dan kontinu utk setiap n pd suatupersekitaran x0. Fungsi f analitik di x0 jhj

limn→∞

f (n+1)(cn)

(n + 1)!(x − x0)

(n+1) = 0

utk setiap x pada persekitaran x0 dg cn diantara x0 dan x


Beberapa deret macLaurin

11− x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . x ∈ (−1, 1)

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ . . . x ∈ R

ln(1+x) = x− x2

2+

x3

3− x4

4+. . .+(−1)n xn+1

n + 1+. . . x ∈ (−1, 1]


sin x = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ . . . x ∈ R

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ . . . x ∈ R

arctan x = x − x3

3+

x5

5− x7

7+ . . . x ∈ [−1, 1]

sinh x = x +x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+ . . . x ∈ R

cosh x = 1 +x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+ . . . x ∈ R


calc taylor

Documents