DESIGN OF SPECIAL FLANGES Per i serbatoi di processo sono spesso impiegate flange di dimensioni tali che le flange standard non sono utilizzabili. In questi casi devono essere calcolate flange speciali (non standard). Le flange di grandi dimensioni possono essere ottenute per laminazione da un anello circolare o possono essere ottenute per laminazione da una barra saldata. Se si deve usare una flangia tipo slip-on senza collare lanello per la flangia pu essere ottenuta tagliando con la fiamma una lamiera piena. Il primo metodo di calcolo delle flange fu quello indicato con il nome di metodo locomotiva del Risteen. Successivamente Crocker and Stanford svilupparono un metodo di calcolo nel quale si ipotizzava che le flange si comportassero come una trave. Den Hartog successivamente mise a confronto il metodo della locomotiva e il metodo di Crocker and Stanford con una analisi vettoriale e dimostr che malgrado la loro derivazione fosse diversa essi finivano con il coincidere. Successivamente Waters e Taylor svilupparono un metodo di analisi combinando la teoria della trave su fondazione elastica con la teoria delle piastre piane che rese possibile il calcolo delle tensioni in direzione radiale tangenziale e assiale. Il metodo di Taylor-Waters fu esteso da Waters Rossheim Wesstrom e Williams. Questo metodo costitu la base per la formulazione del calcolo secondo ASME. Un confronto fra i valori delle tensioni calcolate con il metodo analitico e quelli determinati sperimentalmente attraverso misurazioni delle deformazioni sono stati riportati in una relazione (175) per giunti flangiati di serbatoi e tubazioni in servizio a basse pressioni. Nel capitolo che segue si descrive un metodo di calcolo delle flange basato sul metodo sviluppato da Waters Rossheim Wesstrom e Williams.

Il metodo generale e si applica alle flange circolari di giunti imbullonati sotto pressione e libere di inflettersi sotto lazione dei carichi dei bulloni. Esso quindi comprende tutti i tipi di flange nelle quali la guarnizione o le superfici di contatto delle flange sono interamente comprese entro il cerchio dei bulloni ed esclude tutti i tipi di flange nelle quali ci sia qualche contatto fuori dal cerchio dei bulloni.

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Nella trattazione che segue si parte da alcuni presupposti:

1. che non si abbiano fenomeni di scorrimento plastico e deformazioni plastiche;

2. che il carico trasmesso dai bulloni sia noto; 3. che il braccio del carico dei bulloni sia dato; 4. che leffetto del momento esterno applicato alla flangia ed uguale al

prodotto del carico dei bulloni per il braccio indipendente dalla posizione del carico di applicazione della forza dei bulloni e di quella delle forze che bilanciano il carico dei bulloni.

5. che il carico trasmesso dai bulloni sia uniformemente distribuito Le flange con il colletto rastremato sono studiate svincolando la struttura e dividendo la flangia in 3 parti come mostrato in Figura 12.15 e considerando ogni parte come una unit indipendente e imponendo successivamente le condizioni di congruenza.

Si assume che i carichi agenti sul complesso sono dati da: 1. un momento agente sullanello e distribuito in modo tale da poter essere

sostituito da una coppia equivalente prodotta da una forza W1 applicata rispettivamente al diametro interno e al diametro esterno dellanello come mostrato in Figura 12.15

W1

W1

Figura 12.15 Carichi agenti su una flangia con colletto rastremato

2) pressione interna che agisce in direzione radiale sulla flangia e in direzione

assiale attraverso la trasmissione del carico agente contro un supposta chiusura come mostrato il figura 12.16

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Gli effetti di ognuno di questi carichi sulla flangia sono studiati separatamente avendo supposta valida la legge di Hooke e quindi che le deformazioni siano funzioni lineari dei carichi. La soluzione completa pu essere ottenuta con il metodo della sovrapposizione degli effetti come mostrato in figura 12.17. 1a) STUDIO DEL CILINDRO COLLEGATO ALLA FLANGIA

Si suppone che il cilindro collegato alla flangia reagisca come una trave su fondazione elastica. Lequazione di deformazione per queste condizioni di carico data dalla equazione 6.69 che pu essere scritta nella forma: y = e x (c1 sen x + c2 cos x) (12.4)

y

x 2 r1 p 2 r1 p 2 r1 p

Fig.12.16

Lasse x preso positivo nella direzione dellanello e lasse y preso positivo in direzione radiale verso lesterno. La costante ha il valore dato dalla espressione (6.86)

421

2

2 )1(12

d

= (6.86) Le costanti c1 e c2 possono essere determinate prendendo in considerazione le condizioni di congruenza allaccoppiamento cilindro - codolo.

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Il momento flettente dato dalla equazione 6.16:

2

2

dxydDM = (6.16)

dove D rigidezza flessionale dato dalla equazione 6.15:

)1(12 23

=sEtD (6.15)

Il taglio dato dalla equazione 6.17:

3

3

dxydDQ = (6.17)

Il carico dato dalla equazione 6.18:

4

2

dxydDw = (6.18)

Quindi differenziando successivamente dalla equazione 12.4 si ha:

[ ])sin(cos)cos(sin 21 xxcxxcedxdy x ++= (12.5)

( )xcxcedx

yd x sincos2 21222

=

[ ])cos(sin)cos(sin2 21333

xxcxxcedx

yd x ++=

( )xcxcedx

yd x cossin4 21444

+=

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pertanto le espressioni di M. Q e w diventano:

[ ]( )2 2123

16sincos

= xcxceEtM

x

(12.6)

[ ])sin(cos)cos(sin 2133 xxcxxceEtQ x ++= (12.7) )1(6 2

[ ]( )2 2143

13cossin

+= xcxceEw

x

(12.8)

)1(124 2 =

Sostituendo la 12.4 e il valore di nella 12.8 otteniamo:

22

3

ss tyEtw = (12.9)

Per determinare le costanti c1 e c2 si applicano le condizioni al contorno alla giunzione del cilindro con il codolo: per x=0 dalla 12.4 si ottiene c2 = y0 (12.10) e per x=0 dalla 12.6

( )2 123

0 16

=cEM

oppure:

= 232

01)1(6

EtMc (12.11)

La precedente equazione non pu essere risolta per il cilindro fintanto che non vengono sviluppate le corrispondenti relazioni per lanello e per il collare.

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1b) STUDIO DELLANELLO DELLA FLANGIA Il comportamento dellanello della flangia ipotizzato assimilabile a quello di una piastra piana anulare. La relazione che d landamento della curva di flessione di una piastra piana avente simmetria radiale in termini di taglio Q e rigidezza flessionale D data dalla equazione:

DQ

drdzr

drd

rdrd =

1 (6.38)

e per Q = 0

01 =

drdzr

drd

rdrdr

differenziando rispetto a r si ottiene:

01 =

drdzr

drd

rdrdr

drd

(12.12) dividendo la 12.12 per r e riaggregando si pu scrivere

011 22

2

2

=

+

+ z

drd

rdrd

drd

rdrd (12.13)

Waters, Rossheim, Wenstram e William, hanno mostrato che lequazione 12.12 ottenuta per Q = 0 pu anche essere ottenuta per il caso generale Q da 0 Con quattro successive integrazioni della 12.12 si ottiene:

43202

2

ln8

28

ln4

crcrccrcrcrz ++

+= (12.14)

ponendo 54cc = e 608

2 ccc =

si ottiene

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432

62

5 lnln crcrcrrcz +++= (12.15) Per successive differenziazioni si ottiene:

+++=rcrccrrc

drdz 3

655 )2ln2 (12.16)

23

6552

2

23ln2rcccrc

drzd ++= (12.17)

335

3

3 22rc

rc

drzd += (12.18)

Le equazioni del momento e del taglio per una piastra circolare piana sono date dalle equazioni 6.28 e 6.36 . Confrontando la Fig.6.2 con la Fig.12.18 si possono scrivere le seguenti relazioni:

z

M dr

M dr

d

Qr dr

Mr.r.d

(Q + dQ) (r + dr)d

(Mr + dMr) (r +dr)

dr

Figura 12.18 Taglio e momenti in un elemento unitario dellanello

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+=

drdz

rdrzdDMr 2

2

(12.19)

+= 2

21dr

zddrz

rDM (12.20)

rMrM

drdMrQ += (12.21)

Sostituendo le equazioni 12.16 e 12.17 nella 12.19 e 12.20 si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )

+++++= 23655 1123ln12 rcccrcDMr (12.22)

( ) ( ) ( ) ( )

+++++++= 23655 11231ln12 rcccrcDM (12.23)

Derivando lequazione 12.22 rispetto a r si ottiene: ( ) ( )

++= 3 351212

rc

rcD

drdMr (12.24) Sostituendo le equazioni 12.22,12.23 e 12.24 nella 12.21 si ottiene:

rcDQ 54 = (12.25)

ma

rW

nzacirconfereleWcaricoTotaQ 2

== pertanto

D

Wc 81

5 = (12.26) dove W1= carico equivalente dovuto ai bulloni o forza totale applicata allesterno

del diametro dellanello e, inversamente, allinterno del diametro dellanello che, moltiplicato, per la dimensione radiale dellanello d il momento totale agente sullanello.

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Pag. - 9 -

g + dg

s = g d x

Figura 12.19

ELEMENTO DEL COLLARE Q = Valore del taglio agente su un elemento unitario del collare indicato con

e come per Mh 0Q

1Q = Tensione nel collare Mh = Momento in un elemento generico in un punto qualunque. Con il pedice 0

o 1 e riferito rispettivamente alla estrmita meno spessa e piu spessa del codolo.

0M 1M

Con riferimento alla Figura 12.18 nella quale langolo d linclinazione della superficie media alla faccia interna dellanello, linflessione, linclinazione ed il momento in ogni punto possono essere espressi in funzione di , del carico delle dimensioni dellanello e delle costanti elastiche. Per un angolo di rotazione molto piccolo:

drdz= (12.27)

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Dalla sostituzione della equazione 12.26 e 12.16 nella 12.27 si ottiene: ( )

1

3161

1 21ln28 r

crcrD

W +++= (12.28)

risolvendo rispetto a C6 si ottiene:

( )1

21

31

16 22

1ln216 rr

crD

WC ++= (12.29)

Lesame della Figura 12.14 indica che il momento sullanello in corrispondenza del raggio r2 = 0. Sostituendo lequazione 12.26 al posto di c5 e l equazione 12.29 e al posto di c6 l equazione 12.22 per le condizioni che si hanno in corrispondenza di r = r2 si ottiene:

( ) ( )[ ] ( ) ++++== 123ln1280 212 rDWM r ( ) ( )

++ 2

2

3

12

1

31

1 122

1ln216 r

crr

crD

W Raggruppando si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )1

321

221

21 1112ln128

0r

crrr

rD

W ++

+

++=

( )[ ] ( ) ( ) ( )

+++

++++=

1112ln12

8 22

2

1

13 K

rr

KD

Wc (12.30)

dove

1

2

rrK =

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La costante c4 ottenuta dalla 12.15 osservando che quando r = r1 z = 0 e pertanto:

132

1612

154 lnln rcrcrrcc = Sostituendo i valori di c3, c5 e c6 ottenuti rispettivamente dalle equazioni 12.30 12.26 e 12.29, nelle equazioni 12.22 e 12.23 per il caso r = r1 si ottiene:

( ) ( )

++++

+

+

= KK

KWBD

K

KM r ln111

21

221

111

12

21

2

2

1

(12.31)

( ) ( )( ) ( )

+++

++

+

= KK

KWKK

BD

K

KMt ln)11

121

21121

111

11 22

12

2

2

2

(12.32)

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1c) ANALISI DEL COLLARE DELLA FLANGIA Nello studio del colletto o codolo si presuppone che le sollecitazioni e le deformazioni siano le stesse di quelle di una trave di sezione variabile su fondazione elastica. In questo caso la trave rappresentata da una striscia longitudinale del colletto di spessore unitario. La dimensione unitaria presa in corrispondenza della superficie interna dove r = r1Si consideri un segmento di collare avente sezione trasversale come quella rappresentata in Figura 12.19. Nel piano radiale la somma delle forze agenti sullelemento considerato deve essere uguale a 0 per ragioni di equilibrio; pertanto: ( ) 011 =+ ddxdQrdrdQQ oppure:

01 = dxdQr (12.33) da considerazioni di scienza delle costruzioni di ricava che:

1ryEcollaresulionesollecitaz

dxgdx

SuperficieForza ==

= vedi eq. ( 6.82) pertanto:

yrEg

rdxdQ

211

== (12.34) Facendo la somma dei momenti sul piano radiale si ottiene: ( )( ) ( ) ( ) 0111 =++ ddxrQdrMdrdMM hhh

dxdM

Q h= (12.35) Per una trave di larghezza infinita

( ) 22

2

3

112 dxydEgMh = (6.16)

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Differenziando lequazione precedente e sostituendo nella eq.12.35, differenziando di nuovo e sostituendo nella eq. 12.34 si ottiene: ( ) 0112 2

1

2

2

23

2

2

=+

rgy

dxydg

dxd (12.36)

che scritta in forma adimensonale

( ) ( ) 011 22

32

2

=++

+ wjdj

wdjdjd (12.37)

dove:

j = yx Fattore adimensionale che d la distanza assiale lungo il collare.

= fattore di conicit o rastremazione del collare = 0

01

ggg

w = fattore adimensionale funzione dello spostamento radiale del collare o del mantello in ogni punto

1ry

= modulo del colletto = 20

21

42 )1(12gr

h

g0 = spessore del cilindro in pollici g1 = spessore massimo del colletto in pollici g = spessore medio del colletto in pollici h = altezza del colletto. Lequazione 12.37 pu essere risolta in tre modi: 1) attraverso la risoluzione della equazione differenziale ponendo g come

variabile che pu dare una soluzione in termini di funzioni di Bessel;

2) con il metodo energetico, scrivendo cio lenergia totale del sistema in funzione della deformata e rendendo minima lequazione;

3) scrivendo lenergia di deformazione in funzione dei carichi e determinando la flessione in ogni punto.

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Il metodo seguito da Waters Rossheim e Williams quello dellenergia di deformazione che porta ad una soluzione approssimata.

Nel metodo dellenergia di deformazione sono selezionati tre parametri a1, a2 ,a3 e relazionati in modo tale che se usato soltanto a1 una soluzione approssimata ottenuta imponendo il rispetto delle condizioni al contorno.

Similarmente se si usano entrambi i parametri a1 e a2 o si usano i parametri a1, a2 e a3 imponendo che siano soddisfatte le condizioni al contorno, si ottengono rispettivamente soluzioni approssimate di secondo e terzo livello.

Ci sono quattro condizioni al contorno che devono essere soddisfatte; pertanto la soluzione implica la risoluzione di una equazione del quarto ordine.

Le quattro condizioni che devono essere imposte per il collare sono:

1) lo spostamento radiale della sezione terminale pi larga; 2) il momento alla estremita piu larga 3) il momento nella sezione meno larga; 4) il taglio nella sezione terminale pi stretta Si conosce soltanto la prima condizione al contorno (0 zero) le rimanenti sono ignote.

Posto:

Ao = odj

wd

2

2

che definisce il fattore di curvatura della parte terminale

meno spessa del collare quando x = 0 e j = 0. (12.38)

A1 = 1

2

2

djwd che definisce il fattore di curvatore alla parte terminale pi

spessa del collare laddove x = h e j = 1. (12.39)

BBo = 0

3

3

djwd che definisce il valore del fattore di taglio della parte pi

piccola del collare dove x = 0 e j = 0. (12.40)

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I momenti ad entrambe le estremit e il taglio nella parte terminale del mantello sono dati da:

Mho = ( ) 2213

112 hArgoE o

(12.41)

Mh1 = ( )( ) 22 11

3

1121

hArgoE

+

(12.42)

Qo = ( )( ) 32 00

31

1123

hBAgorE

+

(12.43)

O in termini di modulo del collare da:

Mho =

1

2

rAhgoE o (12.41a)

Mh1 = ( )

+

1

1231

rAhgoE (12.42a)

Qo = ( )

+

1

03r

BAhgoE o (12.43a)

Water e altri hanno mostrato che w per essere scritto come un polinomio in funzione di j dove a1, a2, a3, A0, A1 e BBo appaiono come coefficienti.

w = ( )

+

++

++ 04236542541 121

21

125

54

59

32

251 Ajjjajjjajjjaj

043

14

121

61

121

121

121 BjjjAjj

+

(12.44)

Le condizioni al contorno si applicano alla equazione 12.44.

Se j = 1 si ottiene w = 0 lequazione soddisfa questa condizione.

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Inoltre se lequazione 12.44 derivata e si sostituiscono in essa i valori j = 0 e j= 1 sono soddisfatte le tre condizioni al contorno espresse dalle equazioni 12.38, 12.39, e 12.40.

I parametri a2 e a3 rappresentano successive approssimazione e possono essere trascurate senza influenzare la validit dellequazione 12.44 con riferimento alle condizioni al contorno.

La risoluzione della equazione 12.44 stata trovata sulla base dellenergia totale del codolo che data dalla somma dellenergia di flessione U1; lenergia di allungamento U2; lenergia dovuta alla rotazione U3 e lenergia dovuta alla traslazione U4 . La somma di queste energie di deformazione Utotale = U1 + U2 + U3 + U4 deve essere minima nelle condizioni di equilibrio e pertanto la sua derivata deve essere uguale a 0.

0=u

totale

dadU

Questa condizione soddisfa approssimativamente lequazione 12.37 A questo punto possibile una soluzione dellequazione 12.37 in funzione di tre costanti di integrazione non note, la quarta tendente a 0 (zero) (w1 = 0) . Le tre equazioni risultano:

016115014313212111 BcAcAcacacac ++=++

026125024323222121 BcAcAcacacac ++=++

036135034333232131 BcAcAcacacac ++=++

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Waters e altri anno tabulato la soluzione per le costanti presenti nelle equazioni suscritte e hanno presentato le curve per la determinazione di a1, a2 e a3 in funzione di A0, A1 e Bo. Fissate le condizioni al contorno i valori di a1, a2 e a3 possono essere ora calcolati e le quantit A0, A1 e Bo determinate. Il calcolo per approssimazioni successive permette do trovare la flessione, inclinazione e il momento di ogni punto del codolo.

Se il codolo libero allestremit piccola (flange libere): A0, = Bo = 0.

1.d) RELAZIONI TRA IL CODOLO-MANTELLO E ANELLO QUANDO SONO ACCOPPIATILe relazioni per ogni singolo elemento della flangia (shell, anello e codolo) sono state sviluppate in modo indipendente con condizioni al contorno indeterminate.

Ad elementi assemblati, le parti adiacenti devono avere le stesse condizioni al contorno e in pi sono note le condizioni ai contorni liberi.

In accordo con la teoria usata nello sviluppo delle relazioni relative al codolo due costanti di integrazioni vengono a mancare per la condizione di cilindro di spessore costante e lequazione 12.4 pu essere risolta con:

h

4 4/ = (vedere lequazione 12.37 per la definizione). (12.45) Come trovato in precedenza i momenti e le sollecitazione di taglio sono identiche in ogni punto dellinterfaccia codolo mantello ed esistono quattro equazioni attraverso le quali C1, C2, A0 e B0 possono essere espresse in funzione di A1. Con queste relazioni langolo , il momento Mh1, e il taglio Q1 alla parte terminale pi larga del codolo possono essere espressi in funzione di A1.

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Per la giunzione codolo mantello, dalla equazione 12.44 e le sue derivate:

per x = 0 e j = 0 la flessione :

11120 rawrcy === (12.46) linclinazione data da

( )211102100 12

1125

12cc

hrAAaaB

dxdy

x

+=

+=

= (12.47)

il taglio dato da

( ) ( )( 21233

000

1 163 cc

EgBAkr

hEgo =+ ) (12.48)

e il momento da

( )2 123

00

1

20

16

=cEgA

krhEg (12.49)

I parametri di a1, a2 e a3 e le costanti c5, c6 , Ao e Bo .possono essere tutte espresse in funzione di A1 in corrispondenza della giunzione del codolo con lanello.

In ogni punto di tale giunzione linclinazione e i momenti sono uguali rispettivamente e lo scostamento considerato trascurabile.

Lanello trasmette al codolo un momento Mh, e un momento addizionale di tQ 12

1 risultante dal taglio Q1.

Pertanto la flessione e il momento con riferimento alla intersezione della superficie interna dellanello e il suo punto intermedio sono:

hrBAAaaaneInclinazio 1010321 12

141

21

51

32

+++==

(12.50)

( ) tQAr

hEgtQMMMomento hr 111

20

3

111 211

21

+===

(12.51)

Pag. - 19 -

Pag. - 20 -

Una espressione per Q1 pu essere ottenuto dalla integrazione della 12.34.

+=+= 10 01

0002

11 Qdjwr

hEgQdxgyrEQ

h

Q0 ricavato da equazione 12.43a, pertanto:

( )

++= 10 0021

00

31 BAdjwj

rhEgQ

++

+

++

++

++

+= 0103211

01

112060

17040

1336120

710570

184

1141

621 BAAaaa

rhEgQ

(12.52)

Abbiamo ora 4 equazioni: 12.31, 12.50, 12.51, e 12.52, nelle quattro incognite , Mr1, A1, e Q1.

La soluzione di queste quattro equazioni costituisce la soluzione del problema della progettazione delle flange. Osservando lequazione 12.52 per Q1 e lequazione 12.50 per , si osserva che queste grandezze sono definite in funzione di parametri geometrici noti, i fattori di carico A0, BB0, e A1 e i parametri di a1, a2 e a3. I fattori di carico e i parametri possono essere espressi in funzione di e . Pertanto se le equazione 12.52 e 12.50 sono divise per A1 e si fa la sostituzione per i parametri si ottengono i fattori di carico.

Fr

hEgAQ

+

=

3

4 )21

0

1

1 )1(1(3

(12.53)

( ) Vhr

A

+= 3432

1

1

)1(13 (12.54)

I due fattori F e V delle equazioni 12.53, e 12.54 sono funzione soltanto di e .

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Per definizione.

021

42 )1(12g

h

=

Pertanto:

( ) 0014 22

22

13 Bgh

grh ==

(12.55)

Pertanto F e V delle equazioni 12.53, e 12.54 possono essere diagrammati con il gruppo

0

2Bgh come un parametro.

Inoltre F e V sono funzione di , che per definizione ( )0

01

ggg = funzione di

0

1

gg

.

La figura 12.20 mostra i valori diagrammati di F e V in funzione dei gruppi valori indicati prima.

Il passo successivo nella soluzione del problema la determinazione del valore A1 e la determinazione, per sostituzione, delle tre variabili rimanenti. Per ottenere la

espressione di A1 le equazioni 12.51 e 12.31 sono divise per A1 e 1

1

AMr

eliminata

dalla equazione risultante.

Sostituendo per D e ( )4 213 le loro rispettive espressioni equivalenti ( ) 02

3 2112 Bg

heEt

si ottiene:

( )

+

+

+

=

411

11

1 12

03

2

2

1W

hEgB

K

KA ( )( )( )

++

+++

+

++

02

30

2

0

0

2

2

111

111

111

121

gBK

gtKFgB

gt

KnK

K

(12.56)

Pag. - 22 -

Figura 12.20 valori diagrammati di F e V in funzione dei gruppi valori indicati prima.

Pag. - 23 -

Questa equazione pu essere scritta come:

( ) MXrEg

hA1

31

22

112 = (12.57)

dove:

BWaM = (12.58)

( )0

30

0

011

1

gBgt

UVF

gBgt

T

X

+

+

= (12.59)

dove:

( )

++

++

=2

2

1111

3111213

KK

KnKT

(12.60)

( )( )( )11131

11213

2

2

+

++

=KK

KnKU

(12.61)

Le equazioni sopra riportate sono troppo complicate per essere usate come calcoli.

Pertanto sono state ridotte a quelle che danno le tre sollecitazioni critiche.

Uno studio della distribuzione delle tensioni mostra che per le flange con collare fig. 12.14 le tensioni critiche sono:

Le tensioni radiali e circonfereziali in corrispondenza del diametro interno dellanello

La sollecitazione assiale sul codolo in corrispondenza della superficie esterna del codolo alla sua giunzione della parte larga con lanello per codoli con piccola inclinazione o alla parte stretta della parte inclinata per codoli con inclinazione forte.

Nel secondo caso la sollecitazione pu aversi nel mantello per un codolo molto rigido.

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1.e LOCALIZZAZIONE DELLA SEZIONE CRITICA DEL CODOLO

Per un codolo per il quale il modulo di resistenza variabile:

=

=EIMhEgg

IMhfh

22 (12.62)

Poich dalla 6.16 si ha che :

( )EJ

Mhdx

yd 22

2 1 =

l equazione 12.62 pu essere riscritta nella seguente forma adimensionale:

= 2

2

21

2

2

djwd

hr

dxyd

Inoltre:

( ) ( jggghxgg +=+= 10010 ) (12.63)

Dalle equazioni 12.62,6.16 e 12.63

( ) ( ) 22

2210 1

12 djwdj

hrEgfh += (12.64)

Per ottenere il valore massimo della sollecitazione fh simpone 0=dj

fhd

Pertanto:

( ) 01 22

3

3

=++dj

wddj

wdj (12.65)

Sostituendo la derivata seconda e terza dellequazione 12.44 nellequazione 12.65 si ottiene un equazione del quarto grado:

( ) ( ) 0223

34

45 234 =++++

++

++ EDjDCjCBjBAAj (12.66)

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dove: 1

396A

A =

1

3

1

2 10890Aa

AaB =

1

0

1

0

3

3

1

2 2222460AB

AA

Aa

AaC ++=

0BD =

1

0

AA

E =

Anche qui tutte le costanti possono essere valutate in funzione di A1, che funzione delle grandezze relative al codolo e . Le soluzioni dellequazione 12.66 pertanto rappresentano i valori di j o X per i quali la sollecitazione assiale raggiunge il valore massimo nel colletto.

Il corrispondente valore massimo della sollecitazione potrebbe essere determinato introducendo le soluzioni nellequazione 12.64. Naturalmente le soluzioni esterne allintervallo 10 j sono di scarsa importanza e possono essere trascurate.

Attraverso le operazioni sopra riportate si trova che il valore massimo della sollecitazione assiale pu aversi alluna o allaltra estremit del codolo. Per risolvere lequazione 12.42 per Mh1 si pu sostituire a A1, il valore della 12.57 e si ottiene:

61MXMh = (12.67)

Pertanto la sollecitazione assiale nel codolo in corrispondenza della superficie interna della estremit pi larga data da:

21

1 gXMfh = (12.68)

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Il valore massimo della sollecitazione assiale fH in corrispondenza della superficie esterna del codolo o del cilindro pu essere messo in rapporto al valore corrispondente di fh1 in corrispondenza della superficie interna attraverso il fattore f1.

21

1

gMXff H = (12.69)

dove:

1

1

fhff H= o

1

)(

fhfh maj (12.70)

a seconda di quale maggiore.

Nel caso in cui il valore massimo fH si ha in corrispondenza della giunzione del codolo con lanello.

11 =f

I valori di sono determinati da Waters Rossheim Wesstrom e Williams sono riportati nella fig.12.21 in funzione delle grandezze relative al codolo

1f

( )oggehoh

1

.

Il valore massimo della sollecitazione radiale si ha in corrispondenza della circonferenza interna dellanello. Il momento 1M determinato sostituendo le equazioni 12.57 e 12.53 nella 12.51. La sollecitazione della fibra esterna determinata dal momento 1M ed sommata alla sollecitazione radiale dovuta a Q1, ottenendo.

+=

goBgot

Ft

MXfr 33,112 (12.71)

Allo stesso modo, il valore massimo della sollecitazione tangenziale al diametro interno dellanello determinato dalle equazioni 12.57, 12.53, 12.31 e 12.32 ottenendo:

RT ZftMYf = 2 (12.72)

dove:

X dato dallequazione 12.59 M dato dallequazione 12.58 F dato dalla fig. 12.20

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Y = ( ) ( )

++ KnK

KK

11

16131

12

2

(12.73)

Z = 11

2

2

+

KK (12.74)

I dati di T, U, Y e Z sono riportati in figura 12.22 per un valore di 3,0= .

Fig. 12.22

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1f) RAPPORTO CON GLI ALTRI TIPI DI FLANGE Le relazioni prima indicate si applicano ai casi generali di una flangia integrale composta di un anello, un codolo rastremato e un cilindro di spessore uniforme e di lunghezza infinita.

Quelle relazioni possono essere modificate per casi specifici come nel caso di flange libere.

Lanello e il codolo di una flangia libera sono indipendenti dal cilindro e non sono sottoposti alla pressione interna.

Il fattore di curvatura A0 e il fattore di taglio BB0 ,riportati nelle equazioni 12.38 e 12.40 sono entrambi uguali a 0 e quindi deve essere usato un gruppo di valori di F e V diverso.

Questi valori, indicati come F1 e V1 sono mostrati nella fig 12.23 La misurazione delle deformazioni sul codolo di flange libere hanno indicato che la sollecitazione di flessione massima si ha alla parte larga del codolo.

Pertanto f = 1 per le flange libere. Le equazioni che danno il valore delle tensioni critiche per le flange libere ( tarate su F1 e V1) sono:

21g

XMf H = (12.75)

2

33,11

..t

goBgot

FMXf R

+= (12.76)

frZt

MYf T *2 = (12.77)

Per il caso limite di una flangia libera senza codalo, le equazioni risultano:

fH = 0 (12.78) fR = 0 (12.79)

fT = 2tMY (12.80)

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1g) EQUAZIONI USATE IN CODICI

Nelle equazioni sviluppate precedentemente la quantit X o il suo reciproco L pu essere espresso in funzione di altri fattori.( vedi equazione 12.59)

Ci pu essere ottenuto notando che:

Bgoh =0

e ponendo il termine

20 gohV

Ud =

e il termine 0h

Fe =

Combinando questi fattori la quantit L pu essere definita come il reciproco di X o:

dt

Tt

XL

311 ++== (12.81)

Dalla sostituzione di questa equazione e della relazione: B

MoM = ed hoFe =

nelle equazioni 12.69, 12.71, e 12.72 e nelle 12.75 e 12.76 per le flange libere si ottengono le seguenti equazioni che danno il valore delle tensioni cercate.

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Per le flange integrali con codolo a spessore variabile.

Sollecitazione longitudinale sul codolo: BgL

Mff H = 210

1

(12.82)

Sollecitazione radiale: BLt

Mtf

e

R 2

0134

+

= (12.83)

Sollecitazione tangenziale: RT fZBtMYf

= 2 0 (12.84) Per lanello di una flangia libera

BtMYfT

= 2 0 (12.85)

fR = 0 (12.86) fH = 0 (12.87)

FIG. 12.24

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DESIGN OF SPECIAL FLANGES