UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO DE CINCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE FSICA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO DE CINCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE FSICA

Buracos Negros Newtonianos e Relativsticos

Pedro Otavio Souza Baqui

Monografia de Concluso de Curso

Vitria-ES 2014

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Pedro Otavio Souza Baqui

Buracos Negros Newtonianos e Relativsticos

Monografia apresentada ao Departamento de Fsica/CCE, Universidade Federal do Esprito Santo, como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Bacharel em Fsica. Orientador: Prof. Dr. Srgio Vitorino de Borba Gonalves

Vitria-ES 2014

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Pedro Otavio Souza Baqui

Buracos Negros Newtonianos e Relativsticos

Monografia apresentada ao Departamento de Fsica/CCE, Universidade Federal do Esprito Santo, como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Bacharel em Fsica

Vitria, 28 de fevereiro de 2014

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________ Prof. Dr. Srgio Vitorino de Borba Gonalves Orientador ________________________________ Prof. Dr. Clisthenis Ponce Constantinidis ____________________________ Prof. Dr. Flvio Gimenes Alvarenga

Vitria-ES 2014

v

Aos meus pais e a minha irm querida

vi

Agradecimentos

Agradeo a minha famlia por todo apoio, compreenso e amor, aos meus grandes amigos pelos momentos felizes e aos meus mentores por seus ensinamentos. Ao professor Srgio Vitorino pela oportunidade concedida a mim de trabalharmos juntos. Agradeo tambm a todos que contriburam de uma forma direta ou indireta para a concluso desse trabalho.

vii

Disciplina liberdade.

Legio Urbana

viii

RESUMO

Em 1783 John Mitchell em uma carta enviada a Henry Cavendish da Royal Society, escreveu a respeito de corpos celestes to densos que possuiriam uma velocidade de escape maior do que a velocidade da luz, sendo assim toda luz emitida por tal corpo nele ficaria aprisionado e por consequncia no poderia ser visto. A previso destes corpos baseou-se nas leis de Newton, na teoria corpuscular da luz e ficaram conhecidos como estrelas escuras ou buracos negros newtonianos. A partir do sculo XIX a teoria corpuscular da luz foi aos poucos sendo questionada, assim como qualquer outro produto dela advinda, devido s experincias de Young e Fresnel a respeito do carter ondulatrio da luz. Entretanto, a partir de meados do sculo XX, com a publicao da teoria da relatividade geral e com avanos significativos em mecnica quntica foi possvel a previso de corpos que poderiam aprisionar luz, agora distorcendo o espao-tempo, formando assim os chamados buracos negros relativsticos. Em nosso trabalho estudaremos esses buracos negros clssicos e relativsticos analisando seu comportamento do ponto de vista terico a partir da teoria desenvolvida por Newton e das equaes de Einstein. A compreenso do comportamento de tais objetos de grande importncia para se entender, entre outras coisas, os modelos de evoluo estelar, os modelos cosmolgicos de evoluo do nosso Universo e a existncia das ondas gravitacionais. Palavras-chave: Colapso Gravitacional, Buracos Negros, Estrelas Escuras.

ix

SUMRIO

INTRODUO ..............................................................................................................1

1. BURACOS NEGROS NEWTONIANOS..................................................................4

1.1. Velocidades de Escape..............................................................................................4

1.2. Raio Crtico de um Buraco Negro Newtoniano.....................................................6

2. O ESPAO-TEMPO DE MINKOWSKI..................................................................9

2.1 A Matria Encurva o Espao-Tempo.....................................................................11

2.2 A Dilatao Temporal Gravitacional.....................................................................16 2.3 Limite dos Campos Gravitacionais Fracos...........................................................17

3. BURACOS NEGROS RELATIVSTICOS............................................................20

3.1 Formao de um buraco negro..............................................................................20

3.2 Elemento de linha de Schwarzschild.....................................................................21

3.3 Propriedades de um buraco negro.........................................................................22

3.3.1 Raio de Schwarzschild...........................................................................................22

3.3.2 Singularidades........................................................................................................24

3.4 Observaes sobre a Mtrica..................................................................................29

4. DETECTANDO BURACOS NEGROS..................................................................31

5. RESULTADOS E DISCUSSO...............................................................................36

6. CONCLUSO...........................................................................................................38

7.APNDICES...............................................................................................................39

8. REFERNCIAS........................................................................................................51

x

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 Evoluo de uma estrela segundo sua massa............................................2

FIGURA 2 Lanamento vertical para cima.................................................................5

FIGURA 3 Concepo artstica de uma estrela escura junto a seu horizonte de eventos.....................................................................................................................7 FIGURA 4 Cone de luz no espao de Minkowski......................................................11

FIGURA 5 Astronauta em queda livre em relao a um observador na Terra

parado..............................................................................................................................12

FIGURA 6 Esfera em R............................................................................................15

FIGURA 7 Soluo de Schwarzschild (t = const. e = /2) imersa em

R.....................................................................................................................................15

FIGURA 8 O tempo se comporta de maneira diferente para diferentes alturas.........................17

FIGURA 9 Princpio da correspondncia..................................................................19

FIGURA 10 Geodsicas tipo luz para a mtrica de Schwarzschild............................23

FIGURA 11 Partculas caindo de forma radial para tempos t e ...............................24

FIGURA 12 Geodsicas tipo luz para a mtrica de Eddington-Finkelstein (parmetro

tempo avanado).............................................................................................................25

FIGURA 13 Geodsicas tipo luz para a mtrica de Eddington-Finkelstein (parmetro

tempo retardado).............................................................................................................27

FIGURA 14 Geodsicas tipo luz para mtrica de Kruskal........................................28

FIGURA 15 Imerso da variedade em R para o caso t= constante e =90..............30

FIGURA 16 Plano contido em R...............................................................................30

FIGURA 17 Concepo artstica de um buraco negro sugando uma estrela..............31

FIGURA 18 Imagem do centro de nossa galxia durante um perodo de dezessete

anos..................................................................................................................................33

FIGURA 19 Os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, que ocupa um

dos focos da elipse...........................................................................................................39

FIGURA 20 O segmento que une o sol a um planeta descreve reas iguais em

intervalos de tempo iguais...............................................................................................40

FIGURA 21 Variao de uma curva...........................................................................43

FIGURA 22 Geodsicas tipo luz para a mtrica de Schwarzschild............................46

xi

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 Velocidades de escape de alguns corpos celestes ....................................6

TABELA 2 Estrelas consideradas como possveis companheiras de buracos

negros...............................................................................................................................32

TABELA 3 Galxias que atualmente suspeita-se possuir buracos negros

supermassivos em seus centros........................................................................................34

xii

LISTA DE SMBOLOS

K Energia cintica de uma partcula

m Massa de uma partcula

v Velocidade de uma partcula

G Constante de gravitao universal

h Altura de queda de um corpo

M Massa do Sol

c Velocidade da luz

T Perodo de rbita dos corpos estudados

a Semi eixo maior das elipses descritas pelos corpos celestes com perodo T

r Distncia entre dois corpos

(r) Energia potencial gravitacional de uma partcula

g Acelerao da gravidade da Terra

t Tempo

S[y] Funcional ao

L Lagrangiana de um sistema

R Escalar de Ricci

gab Coeficientes da mtrica

Gab Tensor de Einstein

Tab Tensor momento-energia

Rab Tensor de Ricci

u Parmetro afim ax Coordenadas generalizadas cab Smbolo de Christoffel

1

Introduo

De acordo com a teoria da evoluo estelar, as estrelas possuem origem nas

nebulosas, nuvens densas no espao sideral compostas essencialmente de hidrognio e

que podem ter dimenses de anos luz. Em forma gasosa esses elementos se atraem

formando uma estrutura gigantesca chamada protoestrela que aps atingir certa

temperatura, em seu centro, devido compresso desse gs, inicia o processo de fuso

transformando hidrognio em hlio e hlio em elementos mais pesados, at a formao

de ferro, sempre liberando energia que nos chega atravs de ondas eletromagnticas.

No pertencendo a um sistema binrio ou mltiplo, a evoluo de uma estrela

depende apenas de sua massa inicial.

Se a condensao de hidrognio se inicia com uma massa menor do que 0,8 M,

ento seu ncleo no alcanar uma temperatura suficiente para desencadear o processo

de fuso. Estas so conhecidas como ans marrons.

Se a estrela se forma com uma massa entre 0,8 e 10M, seu centro consegue

atingir tal temperatura desencadeando o processo de fuso do hidrognio. Aps a

queima do hidrognio, a estrela expandir passando pela fase gigante vermelha, super

gigante vermelha e ejetar uma nebulosa planetria terminando sua vida como uma an

branca.

Se a estrela inicia com uma massa maior que 10M em algum momento de sua

evoluo comear a produzir ferro. A partir desse momento o processo deixa de liberar

energia para consumir, desequilibrando o estado estvel do corpo dando origem a uma a

uma exploso que eliminar grande parte da matria da estrela original. Essa exploso

chamada supernova.

A matria remanescente da supernova dar origem a uma estrela de nutrons se a

massa inicial da estrela est entre 10 e 25M. Se sua massa inicial maior do que 25M

ento a matria remanescente se contrair at um ponto dando origem a um buraco

negro, um corpo celeste capaz de aprisionar a prpria luz em seu interior. O buraco

negro mais prximo da Terra est aproximadamente h 1600 anos-luz [1].

A Figura 1 ilustra a evoluo estelar discutida acima.

Objetos de muita curiosidade, os buracos negros so de grande importncia,

2

entre outras coisas, para um melhor entendimento das ondas gravitacionais. Sua coliso

com outro buraco negro gera um sistema que temporariamente se torna fonte

significativa das ondas gravitacionais. Como tal, os buracos negros devem revelar muito

sobre a gravidade. A sua existncia refora a confiana nos modelos atuais de evoluo

estelar e csmica, desde o Big Bang at o presente universo, alm de possurem alta

relevncia para um possvel entendimento das singularidades no universo.

Figura 1: evoluo de uma estrela segundo sua massa [2].

Os buracos negros so conhecidos pela propriedade de atrarem para seu interior

tudo que est em seu caminho como, por exemplo, estrelas e satlites naturais, e

tambm por no deixarem escapar nada de seu interior nem mesmo a prpria luz.

Podemos lanar um olhar newtoniano em cima do fenmeno de aprisionamento

da luz por corpos hipotticos de densidade suficientemente grande. Isto nos levar a

algumas propriedades interessantes desses corpos, chamados buracos negros

newtonianos.

Por outro lado, e de forma mais correta, podemos obter uma verso relativstica

deste fenmeno de aprisionamento da luz. Encontraremos, entretanto muito mais

propriedades para tais corpos. Estes so chamados buracos negros relativsticos.

Caracterizados por massa, carga e rotao, qualquer informao alm dessas so

perdidas ao adentrar o horizonte de eventos, regio que delimita buraco negro.

3

Ficaremos restritos aos estudos dos chamados buracos negros relativsticos de

Schwarzschild, corpos que possuem apenas massa, com rotao e carga nulas.

Tambm ficaremos restritos nessa monografia ao estudo dos fenmenos de

carter geomtrico dos buracos negros. Fenmenos de carter astrofsico como a

evoluo estrelar que dar origem tal estrutura, pode ser encontrado de uma forma

resumida em [2].

Comearemos este trabalho desenvolvendo uma teoria newtoniana para o

fenmeno de aprisionamento da luz, j sugerido por Mitchell/Laplace desde o sculo

XVIII, utilizando conceitos de fsica bsica. Introduziremos o espao-tempo de

Minkowski e veremos a influncia da massa sobre o mesmo. Em seguida,

desenvolveremos uma teoria relativstica para o fenmeno de aprisionamento da luz.

Por ltimo mostraremos como os buracos negros so detectados.

O trabalho que se segue foi estruturado de forma que um aluno de graduao

possa desenvolver seus conhecimentos a respeito do assunto aqui abordado de maneira

fcil e agradvel.

4

Captulo 1 1. BURACOS NEGROS NEWTONIANOS

Embora seja a relatividade geral atualmente a melhor teoria que descreve os

buracos negros, podemos atravs da mecnica newtoniana entender seus conceitos

bsicos. Vamos desenvolver esse estudo neste captulo.

1.1 Velocidade de escape

Quando lanamos uma pedra para o alto com uma velocidade v, observamos que

aps certo tempo, a pedra atinge uma altura h e comea a cair. Se lanarmos agora esta

pedra com uma velocidade maior, veremos que ela alcanar uma altura ainda maior do

que h. Conforme fazemos este processo para velocidades maiores chegamos a um ponto

em que lanaremos a pedra e esta no voltar mais. Esta velocidade crtica chamada

velocidade de escape. De uma forma simples, temos que:

Velocidade de escape: velocidade mnima inicial necessria para que um corpo de massa

m deixe a superfcie de uma estrela, ou outro corpo celeste, de forma definitiva.

Podemos calcul-la de forma simples utilizando conceitos de fsica bsica. Para

isso, imagine que estamos na superfcie, por exemplo, de uma estrela (Figura 2) e

definimos a energia potencial gravitacional o = 0 nesta superfcie. Utilizando a lei de

conservao de energia, temos que:

Energia inicial = Energia final

Ko + o = K + . (1.1)

Onde Ko e K so as energias cinticas inicial e final da pedra lanada respectivamente,

5

assim como o e so as energias potenciais gravitacionais inicial e final da mesma

pedra, respectivamente.

Obs.: para este clculo desprezamos a resistncia do ar.

Figura 2: lanamento vertical para cima [3].

No limite em que a altura da pedra lanada tende ao infinito, h , a energia cintica

final da pedra tende a zero, K 0, desta forma teremos que,

Ko = R

GMmmvo 2

21 , (1.2)

onde m a massa da pedra lanada, vo a velocidade inicial da pedra, R o raio do

corpo celeste, M massa do corpo celeste e G a constante de gravitao universal.

Portanto a velocidade de escape de uma estrela ou de outro corpo celeste

calculada como:

RGMvo

2 . (1.3)

Notemos que para o clculo da velocidade de escape, basta que saibamos a

massa e o raio do corpo celeste estudado. Segue abaixo uma tabela com velocidades de

escape de alguns corpos celestes.

6

Planetas Velocidade de Escape (Km/s)

Mercrio 4,4

Vnus 10,4

Terra 11,2

Lua 2,4

Marte 5,0

Jpiter 59,5

Saturno 35,5

Urano 21,3

Netuno 23,5

Sol 618

Tabela 1: velocidades de escape de alguns corpos celestes.

1.2 Raio Crtico de um Buraco Negro Newtoniano Suponha agora que ao invs de lanarmos uma pedra, lanarmos uma partcula

de luz com massa m, baseando-se na teoria corpuscular da luz de Newton.

Podemos imaginar a existncia de um corpo suficientemente denso tal que sua

velocidade de escape seja maior do que a velocidade da luz. Toda luz emitida por esta

estrela seria atrada para seu interior, formando assim um buraco negro newtoniano,

objetos impossveis de serem observados diretamente. O primeiro a sugerir a existncia

de tais estrelas foi o astrnomo amador John Mitchell em uma carta escrita a Cavendish,

que era membro da Royal Society em 1784 [4][5].

Podemos dar um passo alm no trabalho de Mitchell considerando que a

partcula de luz possui inicialmente uma velocidade c. Substituindo essa grandeza, c, na

equao (1.2) encontraremos um raio crtico, o qual nem a luz conseguir ir alm, que

nos permite classificar tal estrela como um buraco negro newtoniano.

7

2

crtico raio cGMR . (1.4)

A velocidade da luz no tempo de Mitchell ainda no era conhecida, mas sabia-se

que possua um limite segundo experincias de Ole Romer atravs de observaes do

perodo de uma lua de Jpiter. [6]. Apesar da busca por essa velocidade datar desde o

sculo XVII com Galileu, ela s foi medida com certa preciso por Fizeau no sculo

XIX.

Vamos utilizar aqui unidades naturais G =1 e c =1. Desta forma temos o raio

crtico escrito de forma mais simples

MR 2crtico raio . (1.5)

Se o raio da estrela R menor do que seu raio crtico Rraio crtico, (R < Rraio crtico)

ento a estrela ser classificada como buraco negro newtoniano (Figura 3).

Podemos dar um segundo passo no trabalho de Mitchell considerando que nada

pode ultrapassar a velocidade da luz c, logo nenhuma partcula conseguir atravessar a

regio de superfcie com R=Rraio crtico, de dentro para fora. As partculas que o

atravessam, de fora para dentro, ficam tambm retidas em seu interior.

Raio Crtico de um Buraco Negro Newtoniano: quantidade intrnseca a todo corpo

material associado a sua extenso.

Figura 3: concepo artstica de uma estrela escura junto a seu horizonte de eventos.

Por exemplo, para que o Sol se transforme em um Buraco Negro Newtoniano deve

8

contrair-se at um raio R < Rraio crtico = 2,9 Km

Kmsm

KgKgmNR 9,2)/100,3(

)1099,1)(/1067,6(28

3011

crtico raio

.

Ressaltando que segundo modelos de evoluo estelar nosso sol se expandir

passando pelos estados de gigante vermelha, super gigante vermelha, expelindo grande

parte se sua matria em uma nebulosa planetria e por fim tornando-se uma an branca.

Ou seja, no se tornar um buraco negro.

Devemos tambm deixar claro que o resultado do clculo do raio crtico de um

buraco negro newtoniano encontrado em mecnica newtoniana acidentalmente

idntico ao Raio de Schwarzschild, resultado encontrado em relatividade geral.

Em verdade utilizamos relatividade geral para o clculo desta grandeza uma vez

que a gravitao de Newton somente vlida no regime de campos gravitacionais

fracos. Nas vizinhanas de um buraco negro, como sabemos, o campo gravitacional

muito intenso devido quantidade de matria que existe em seu interior.

9

Captulo 2 2. O ESPAO-TEMPO DE MINKOWSKI At o incio do sculo XX, os fsicos entendiam o espao como sendo absoluto,

um palco onde todos os fenmenos ocorriam independentemente do tempo.

Para localizar uma partcula em determinada regio assumamos que vivamos

num espao vetorial tridimensional euclidiano, R, sendo necessrio uma trinca

ordenada de nmeros (x,y,z) mais um relgio. O elemento de linha ds, que em particular

neste espao a menor distncia entre dois pontos A e B, era calculada pelo teorema de

Pitgoras na forma infinitesimal:

dzdydxds , (2.1)

Elemento de linha em R.

A noo de um mundo descrito de forma exata pela geometria euclideana vem

de muito tempo, mais precisamente da Grcia antiga com a publicao do livro Os

Elementos, de Euclides. Esse grande matemtico grego lanou as bases da geometria

conhecida como euclidiana, utilizada ainda hoje para descrever uma gama de

fenmenos naturais [7].

A suspeita de que essa geometria de Euclides no representava a natureza de

forma totalmente exata veio aps dois mil e trezentos anos com a interpretao de

Minkowski sobre a relatividade restrita. Einstein, criador da teoria da relatividade

restrita, mostrou que para referenciais com velocidades prxima a da luz o elemento de

linha de R era alterado, de forma que observadores em referenciais diferentes mediam

comprimentos diferentes.

O trabalho de Einstein de impactos profundos influenciou vrios ramos do

conhecimento como a filosofia e as artes, culminando na comunidade dos fsicos numa

mudana de paradigma.

10

Os conceitos de simultaneidade e de tempo deixaram de ser absolutos. A luz

nesta teoria possui uma velocidade c = 299 792 458 m/s em todos os referenciais, nada

podendo super-la1.

Atravs de contrao do espao e dilatao do tempo uma nova fsica nasceu e

toda teoria clssica foi substituda, no limite das altas velocidades, por uma teoria

relativista.

Mais tarde Minkowski, ex-professor de Einstein em Zurique, ao ter contacto

com sua teoria conseguiu dar-lhe um carter matemtico mais formal, introduzindo a

ideia de espao-tempo fundida numa s entidade. No incio Einstein no deu muita

ateno ao trabalho de seu professor, tomando-a como um floreio matemtico que

obscurecia sem necessidade as ideias de sua teoria [8].

Apenas com a construo da teoria da relatividade geral que Einstein foi

perceber a importncia do feito de Minkowski.

O elemento de linha nesse espao-tempo em coordenadas cartesianas dado por:

dzdydxdtcds . (2.2)

Elemento de linha no espao de Minkowski.

A construo do espao de Minkowski, M 4 , pode ser vista de uma forma

simples na referncia [9]. bom deixar claro aqui que intervalo entre dois eventos, ds,

o mesmo para todos os referenciais em M 4 , diferentemente do elemento de linha em

R.

M 4 um espao abstrato com quatro dimenses, sendo difcil sua representao

ou imaginao. Apesar disso se fizermos a restrio z = constante conseguimos

observar um cone traado por ds = 0 (Figura 4), percorrido pela luz, dividindo este

espao em trs regies, passado, presente e futuro.

A mtrica se reduz em particular :

dydxdtcds . (2.3)

O conceito de que a velocidade da luz a mesma para todos os referenciais pode ser motivado pelos resultados da experincia de Michelson e Morley cujo objetivo era detectar o movimento relativo da Terra atravs do ter estacionrio [8].

11

Figura 4: cone de luz no espao de Minkowski [10].

O futuro e o passado podem ser subdivididos em regies causais e no causais.

Causal, ds>0: o sinal entre dois eventos nessa regio possui uma velocidade

menor do que a da luz.

No Causal ds

12

denominado de referencial S (Figura 5). No referencial do astronauta So , a mtrica

escrita como:

20

20

20

20 dzdydxdtcds , (2.4)

onde dto a diferencial do tempo no referencial do astronauta e dxo, dyo, dzo as

diferenciais do sistema de coordenadas tambm relativo ao referencial do astronauta.

Segundo Einstein o prprio astronauta no pode distinguir se est numa regio

livre de campo gravitacional ou se est em queda livre. Essa ideia um dos princpios

fundamentais da relatividade geral conhecido como princpio da equivalncia.

Para escrever a mtrica no referencial do observador S, devemos fazer uma

transformao de Lorentz entre S e So que na forma infinitesimal, com o movimento

acontecendo em (x,t) so escritas como:

dzdzdydy

dxdx

dtdt

o

o

o

o

11

1

Com cv

. (2.5)

Transformaes de Lorentz na forma infinitesimal.

.

Figura 5: astronauta em queda livre caindo em relao a um observador na Terra parado.

13

Substituindo (2.5) em (2.4), obteremos:

)1(

)1( 22 dzdydxdtcds

. (2.6)

Fazendo uma mudana de coordenadas de cartesianas para esfricas teremos, de (2.6), a

relao abaixo:

])([1

)1( 2 dsendrdrdtcds

. (2.7)

Com objetivo de escrevermos o fator 1- em funo do potencial gravitacional,

rGMr )( , (2.8)

onde M a massa do corpo celeste estudado em que se situa o observador, G a constante

de gravitao universal e r a distncia do centro da estrela, consideraremos a equao de

conservao de energia de uma partcula no sistema de referencial do observador S.

constErmcmm )()( 0 , (2.9)

onde mo a massa de repouso da partcula e 1 omm . esquerda temos a soma

da energia cintica mais potencial.

direita, tomaremos a energia como zero, pois medida que r temos que

mmo, assim como (r)0. Ento (2.9) ser escrito como:

0)()( 0 rmcmm . (2.10)

Dividindo a equao acima, por mc e utilizando a relao entre m e mo obteremos:

14

]

)(1[1c

r . (2.11)

Para o caso em que (r)/c

15

Figura 6: geometria exterior e interior de uma estrela esfrica para o caso t=constante e =/2 imersa em

R [11].

Embora seja difcil enxergar um espao 4-dimensional curvo, possvel

observar um espao 2-dimensional curvo contido em R. Podemos ter como exemplo

uma esfera (Figura 7).

])(sin[ ddRds . (2.15)

Mtrica de uma esfera.

Figura 7: esfera em R [12].

O conceito de curvatura de um espao foi desenvolvido durante o sculo XIX

por vrios matemticos a partir da rejeio do quinto postulado de Euclides.

5 axioma de Euclides: por um ponto fora de uma reta pode-se traar uma nica

reta paralela reta dada2.

2 Formulao moderna do quinto postulado de Euclides segundo o matemtico John Playfair

[13].

16

A rejeio do quinto postulado foi estudada por Gauss, Lobachevisk e por Bolay

e levou a descoberta de novas geometrias denominadas geometrias no euclidianas, to

aceitveis como a geometria de Euclides [13].

Uma consequncia notvel da rejeio do quinto postulado que a soma dos

ngulos internos de um tringulo, nessas geometrias, diferente de 180, conforme

podemos observar na figura 7

180 . (2.16)

A geometria utilizada em relatividade geral a chamada geometria pseudo-

riemanniana. O elemento de linha ds, neste espao assim como no espao de

Minkowski pode possuir os valores positivos, nulos ou negativos.

2.2 A Dilatao Temporal Gravitacional

Seja dt o intervalo de tempo entre dois eventos numa regio livre de fontes e dt

o intervalo de tempo entre os mesmos dois eventos a uma distncia r do centro da Terra.

A relao entre esses dois intervalos de tempo calculada como:

dtrdt ))(1(' , (2.17)

onde (r) o potencial gravitacional a uma distncia r do centro da Terra.

Imaginemos por outro lado, dois relgios em diferentes regies, nas

proximidades da Terra, a uma distncia ar e outro a uma distncia br do centro da Terra.

Ento a razo entre esses intervalos de tempo possui a forma:

/1/)(1/)(1 cgh

crcr

dtdt

b

a

b

a

, (2.18)

onde g o mdulo da acelerao da gravidade, c a velocidade da luz e h a diferena

entre os raios ra e rb.

17

Portanto o tempo passa de forma diferente para alturas diferentes! O resultado

acima foi comprovado com boa preciso utilizando relgios de csio e viagens de jatos

comerciais por Halefe e Keating [7].

Figura 8: O tempo se comporta de maneira diferente para diferentes alturas.

2.3 Limite dos Campos Gravitacionais Fracos

Aps observarmos que a mtrica alterada na presena de massa conclumos

que toda teoria da gravitao de Newton deve ser substituda por uma teoria da

gravitao que inclua os efeitos de dilatao temporal gravitacional, a curvatura do

espao-tempo gerado pela presena de massa, alm dos efeitos relativsticos gerados

pelas altas velocidades das partculas estudadas. Essa teoria foi construda por Einstein,

chamada de relatividade geral e publicada em 1915 [7].

A mtrica (2.13) pode ser obtida atravs dessa teoria de uma forma totalmente

diferente da forma utilizada no tpico 2.1. Para encontr-la resolvemos as chamadas

equaes de campo de Einstein, em particular com simetria esfrica, vide apndice D.

abab kTG (2.19)

Equao de campo de Einstein.

18

Onde Gab e Tab so os tensores de Einstein e Momento Energia, respectivamente, e k uma

constante. As equaes de Einstein de uma forma grosseira so equaes que descrevem

como a matria gera gravidade.

Nesta monografia preferimos chegar mtrica (2.13) por meio de

transformaes de Lorentz resolver as equaes de Einstein com simetria radial, por

questes de simplicidade.

A teoria da gravitao de Newton apesar de falha em determinadas situaes,

ainda explica muitos fenmenos. natural, portanto nos perguntarmos quando

possvel substituir a Relatividade Geral pela Teoria da Gravitao de Newton a fim de

obtermos bons resultados resolvendo apenas simples clculos?

Podemos responder isso procurando uma relao na qual a mtrica de

Schwarzschild se reduza a mtrica de Minkowski. Assim, efeitos de dilatao temporal

e deformao do espao gerada por um campo gravitacional podero ser desprezados.

Para essa condio devemos ter campos gravitacionais fracos, ou seja, M

pequeno.

1)21( rM

(2.20)

Se exigirmos tambm que as partculas teste que passam pelas proximidades

destes corpos celestes de massa M e simetria esfrica possuam baixas velocidades, ento

recuperamos a teoria newtoniana da gravitao. Se em particular M = 0 cairemos na

teoria newtoniana na ausncia de campos.

Podemos tambm tomar um caminho diferente, exigindo que o campo

gravitacional seja nulo, M = 0. Recuperamos ento a relatividade restrita. Se tambm

exigimos que as partculas em estudo possuam velocidades baixas, recuperamos como

era de se esperar a teoria newtoniana na ausncia de campos.

Essa sequncia lgica de impormos certas restries a uma teoria e chegar

outra teoria chamado princpio da correspondncia, princpio muito utilizado em

fsica, vide figura 8.

19

Figura 9: princpio da correspondncia.

20

Captulo 3 3. BURACOS NEGROS RELATIVSTICOS A abordagem newtoniana dos buracos negros bastante limitada uma vez que

nos diz respeito apenas ao seu raio crtico. Alm de se basear na teoria corpuscular da

luz que caiu em desuso, utiliza-se da lei da gravitao universal de Newton, vlida

apenas no regime de campo gravitacional fraco. Tambm no nos fala a respeito de

outros tipos de buracos negros existentes como os com rotao ou com carga.

Nas proximidades de um buraco negro o campo gravitacional muito intenso, de

forma que devemos utilizar uma teoria mais abrangente. Essa teoria que lida com

campos fortes foi apresentada por Einstein em 1915 e chamada relatividade geral.

Portanto para uma melhor descrio dos fenmenos que ocorrem nas proximidades dos

buracos negros utilizaremos aqui a teoria de Einstein3

Trataremos neste captulo basicamente dos chamados buracos negros de

Schwarzschild, objetos hipotticos que surgem de um colapso gravitacional com

simetria esfrica da massa remanescente de uma supernova.

3.1 Formao de Um Buraco Negro

As estrelas que possuem uma massa inicial maior do que 25M produziro ferro

em alguma na fase de sua vida. Quando isso ocorre o processo de liberao de energia

cessa dando origem a um processo consumidor de energia. Essa mudana no processo

energtico gera um desequilbrio que levar a estrela ejetar grande parte de sua massa

em forma de supernova [2].

3 O conceito atual de buracos negro s foi formulado aps a relatividade geral. Historicamente os buracos negros newtonianos nada influenciaram na descoberta ou em sua defesa no meio cientfico. A ideia de substituirmos uma teoria newtoniana por uma relativstica foi apenas para melhor compreenso do leitor.

21

A matria remanescente da exploso, esttica e eletricamente nula, entrar em

colapso contraindo-se totalmente a um ponto, dando origem a uma singularidade

munida com um horizonte de eventos, conhecido por buraco negro de Schwarzschild.

Existem, entretanto casos em que a matria remanescente a uma supernova

possui rotao ou carga ou ambas as grandezas. Estes corpos remanescentes aps o

colapso daro origem a buracos negros mais gerais como os de Kerr, Reissner-

Nordstrm e os de Kerr-Newman, cuja descrio matemtica mais complexa.

Ou quem sabe daro origem a singularidades nuas4, ou seja, buracos negros sem

horizonte de eventos.

3.2 Elemento de linha de Schwarzschild

O elemento de linha de Minkowski vlido apenas para regies livres de fontes

de campo gravitacional. Nas proximidades de um corpo altamente massivo o intervalo

entre dois eventos alterado, como j vimos. Schwarzschild em 1916 calculou o

elemento de linha nas proximidades de uma estrela utilizando as equaes de campo de

Einstein e a definio de espao tempo esfericamente simtrico5.

As equaes de Einstein, como j vistas no captulo anterior, so escritas como:

abab kTG . (3.1)

Equao de campo de Einstein.

A soluo de Schwarzschild5 , vlida apenas para o vcuo de maneira que para o interior

de uma estrela essa soluo no se verifica, escrita como:

4 Matematicamente possvel se obter uma singularidade nua destruindo um horizonte de eventos com alguns gedanken experiments.[11][14]. 5 O modo como Schwarzschild chegou ao elemento de linha conhecido por seu nome pode ser visto no apndice D.

22

])([)21(

1)21( dsendrdr

rMdtr

Mds

. (3.2)

Elemento de linha de Schwarzschild em coordenadas esfricas para regies r > 2M.

A Lei de Gauss para gravitao nos permite dizer que o elemento de linha para

uma estrela antes do colapso o mesmo para a estrela aps o colapso, de forma que o

resultado de Schwarzschild inicialmente calculado para estrelas, tambm vlido para

buracos negros r>2M. Aps o colapso, teremos vcuo para a regio r< 2M, sendo assim

a soluo de Schwarzschild agora tambm vlida para essa regio.

Estudaremos abaixo algumas propriedades de um buraco negro de

Schwarzschild obtidas a partir de sua mtrica.

A resistncia de Einstein e de grande parte dos fsicos da poca em acreditar

numa singularidade proposta pelo resultado encontrado por Schwarzschild levaram ao

esquecimento destes corpos por aproximadamente 25 anos. Em 1939 os estudos de

Snyder e Oppenheimer sobre evoluo estelar por processos termonucleares levaram a

modelos em que a massa superior a 3M remanescente a uma supernova se contrairia

totalmente a um ponto, nada podendo impedi-la. Esse estudo marcou o incio da fsica

dos buracos negros.

3.3 Propriedades de um Buraco Negro

Estudaremos neste tpico as propriedades de um buraco negro de Schwarzchild

a partir de sua mtrica.

3.3.1 Raio de Schwarzschild

Nos buracos negros newtonianos o raio crtico era a altura mxima que uma

partcula de luz massiva podia alcanar sob ao da fora peso. Em relatividade geral

esse raio crtico possui um anlogo chamado raio de Schwarzschild.

23

Nesta teoria relativista no existe o conceito de fora, no lugar disso dizemos

interao gravitacional; as partculas e a luz descrevem geodsicas.

O caminho que a luz percorre caracterizado por ds = 0 na quadrimensional

superfcie abstrata que estamos estudando, de forma que para o clculo do raio de

Schwarzschild de um buraco negro relativstico fazemos as seguintes restries:

])([)21()21( 1 dsendrdrrMdt

rMds . (3.3)

Mtrica de Schwazsrchild.

Restries mtrica

(1) Deslocamento radial 0)( dsendd ,

(2) Geodsicas para ftons 0 ds .

Segue ento de (3.3) que:

)21()21(0 1drrMdt

rM , (3.4)

)21(rM

dtdr

ou ainda 1)21( rM

drdt . (3.5)

Analisando as equaes anteriores (3.3)-(3.5) constatamos uma singularidade

em r = 2M. Abaixo, Figura 9, esboamos o grfico da equao (3.5).

Figura 10: geodsicas tipo luz para a mtrica de Schwarzschild [11].

24

A distncia entre a singularidade r = 0 e a singularidade r = 2M chamado raio

de Schwarzschild.

Sob um olhar fsico, um buraco negro encurva o espao tempo em suas

proximidades ao ponto que a luz no encontra um caminho para sua fuga. Portanto, um

fton que parte eventualmente da singularidade e percorre um caminho radial, ficar

aprisionado na regio Mr 2 .

De uma forma semelhante calculamos as geodsicas para uma partcula massiva

caindo de forma radial (Figura 10).

O clculo que nos permite encontrar geodsicas est explicado de forma

resumida no apndice B6

Figura 11: partculas caindo de forma radial para tempos t e [11].

Imagine que possamos enxergar, de uma nave espacial, um astronauta caindo de

forma radial em um buraco negro de Schwarzschild. Segundo a Figura 10 nunca o

veremos atravessar o horizonte de eventos, o que ocorrer que vamos v-lo cada vez

mais avermelhado devido ao desvio gravitacional para o vermelho, at sumir aos nossos

olhos, enquanto que em seu referencial essa travessia se dar de forma rpida.

3.3.2 Singularidades

Ao observar a mtrica de Schwarzschild em coordenadas esfricas notamos duas

6 Por fugir ao conhecimento do aluno recm-iniciado ao curso de fsica optei por explica-lo no apndice.

25

singularidades, uma em 01 r e outra em Mr 22 . Podemos, entretanto procurar outro

sistema de coordenadas de tal forma que a mtrica no seja degenerada em r = 2M.

Eddington e Finkelstein conseguiram encontrar tal sistema fazendo um processo

de extenso analtica tomando

)2ln(2 MrMttt

, (3.6)

de forma que ao substituir t por

t na soluo de Schwarzschild encontramos a mtrica

de Eddington-Finkelstein para o parmetro tempo avanada como sendo escrito

])([)21(4)21( dsendrrMtdrd

rMtd

rMds

. (3.7)

Mtrica de Eddington-Finkelstein para um parmetro tempo avanado

Observamos que a singularidade em 2r =2M no existe mais. Este tipo de

singularidade chamado singularidade removvel, pois reflete uma deficincia no

sistema de coordenadas utilizado e por isso so removveis utilizando um bom

sistema de coordenadas.

Essa extenso tambm soluo das equaes de Einstein esfericamente

simtrica, sendo regular para o intervalo 0 < r < . Utilizando-se do clculo variacional

podemos calcular as geodsicas desse espao (Figura 11).

Figura 12: geodsicas tipo luz para a mtrica de Eddington-Finkelstein (parmetro tempo

avanado) [11].

Existe uma regio em comum coberta pelas coordenadas de Schwarzschild e a

26

de Eddington-Finkelstein na variedade diferencivel 7. Podemos fazer ento nessa

regio uma simples mudana de coordenadas a fim de observar eventos iguais sob

pontos de vistas diferentes.

Retornemos ao caso em que temos um astronauta caindo em um buraco negro.

Se no interior da nave espacial eu estou parado, em relao estrela, observando o

astronauta cair de forma radial, d=0, ento como dito nunca o verei cruzar o

horizonte de eventos. Entretanto se eu piloto a nave de uma forma engenhosa tal que

consiga passar das coordenadas de Schwarzschild para as coordenadas de Eddington-

Finkelstein, ento o verei atravessar o horizonte de evento de forma rpida!

Talvez seja estranho, mas acontece que para se entender isso devemos ter em

mente que o tempo se comporta de maneira diferente para observadores diferentes.

Notemos que mesmo aps fazer a extenso analtica, a singularidade em r = 0

ainda permanece. Existem ainda outros sistemas de coordenadas, mas que possuem a

singularidade em r = 0. Quando calculamos a curvatura nas proximidades deste ponto

observamos que medida que r tende a zero essa quantidade tende ao infinito,

indicando a existncia de uma singularidade fsica.

Existe uma extenso matemtica de coordenadas, que alinham as geodsicas que

saem, dada por:

)2ln(2* MrMttt . (3.8)

De forma que, ao substituir t por t* na soluo de Schwarzschild encontramos a mtrica

de Eddington-Finkelstein para um parmetro tempo retardado.

])([)21()21()21( ** dsendrdrrMdrdt

rMdt

rMds .

(3.9) Mtrica de Eddington-Finkelstein para um parmetro tempo retardado

Essa extenso assim como a anterior uma soluo das equaes de Einstein

esfericamente simtrica regular no intervalo 0 < r < .

Observando suas geodsicas (Figura 12), constatamos que os ftons e as

partculas massivas apenas saem de seu interior nada conseguindo adentrar r=2M. Essa

7 Variedade diferencivel, de forma grosseira, uma generalizao da ideia de superfcie [13].

27

a mtrica nas proximidades de uma estrutura hipottica no universo chamada buraco

branco.

Figura 13: geodsicas tipo luz para a mtrica de Eddington-Finkelstein (parmetro tempo

retardado) [11].

Assim como um buraco negro uma regio no espao de que nada pode escapar,

a verso tempo-invertido do buraco negro uma regio no espao em que nada pode

cair.

Existe ainda uma soluo das equaes de Einstein obtidas a partir da extenso

analtica da mtrica de Schwarzschild encontrada por Kruskal. Esta pode ser encontrada

pela retificao simultnea das geodsicas tipo luz que entram e que saem8.

])([')2

exp(16')2

exp(16 222

dsendrdxMr

rMdt

Mr

rMds .

(3.10) Mtrica de Kruskal.

A mtrica de Kruskal tambm chamada de Kruskal-Szekeres. Para o caso em

que = = constante a mtrica de Kruskal, se reduz :

8 Os termos geodsicas tipos luz que entram e que saem so tradues dos termos ingoing e outgoing. radial null geodesics.

28

222

')2

exp(16')2

exp(16 dxMr

rMdt

Mr

rMds .

(3.11)

Estas coordenadas possuem a vantagem de cobrir todo o espao-tempo da

soluo de Schwarzschild maximamente estendida e so bem-comportadas em todos os

lugares fora da singularidade fsica.

Figura 14: geodsicas tipo luz para mtrica de Kruskal [11].

Na Figura 13 as regies I e II correspondem s solues de Eddington-

Finkelstein retardadas. Sendo a regio I a soluo de Schwarzschild e a regio II o

interior ao horizonte de eventos. As regies I' e II correspondem as solues de

Eddington-Finkelstein avanadas.

O que surpresa a existncia de uma nova regio geometricamente idntica a

soluo exterior de Schwarzschild assintoticamente plana. A estrutura que conecta I I

chamada buracos de minhoca.

29

3.4 Observaes Sobre a Mtrica

Como j mencionado anteriormente, embora seja difcil visualizar o espao de

Minkowski, podemos visualizar a influncia da massa sobre o tempo e sobre o espao.

Enxerguemos a mtrica de Minkowski como uma quantidade espacial

correspondendo mtrica da regio onde vivemos dx+dy+dz (em coordenadas

esfricas) subtrada de uma quantidade cdt, tal que

])([ dsendrdrdtcds . (3.12)

Podemos tentar dar uma interpretao de forma anloga para a mtrica de

Schwarzschild imaginando-a como uma quantidade cdt alterada pela presena da

matria, subtrada da mtrica de R, alterada tambm pela presena da matria presente

no espao.

(3.13)

De forma que no limite em que a matria se anula, M0, recuperamos a mtrica

de Minkowski (3.12).

difcil visualizar uma 3-superfcie com curvatura no nula. Entretanto, se

tomamos dt = 0 e caminharmos em uma direo onde = /2, a mtrica de

Schwarzschild se reduz a:

)21(

1 drdr

rMds

. (3.14)

Essa variedade pode ser mais bem entendida se fizermos sua imerso num

espao plano tridimensional euclidiano (Figura 14).

30

Figura 15: imerso da variedade em R para o caso t = constante e = /2 [11].

Podemos observar de forma mais clara na mtrica (3.14) que a distncia entre

dois pontos, nas redondezas do buraco negro, depende explicitamente de sua massa e da

distncia em que se encontram esses pontos.

31

Captulo 4 4. DETECTANDO BURACOS NEGROS

Os Buracos Negros, como j ditos, so corpos celestes hipotticos, altamente

densos que aprisionam a prpria luz emitida eventualmente. Com toda luz aprisionada,

nos perguntamos como poderamos verificar sua existncia, uma vez que qualquer

corpo celeste detectado, preferencialmente, a partir de ondas eletromagnticas

emitidas?

Em verdade, podemos observ-lo por certo perodo de tempo quando a matria

de uma estrela que orbita suas proximidades atrada para o seu interior (Figura 16).

Quando esse fenmeno ocorre, os elementos no estado gasoso que formam a estrela

comeam a ser sugados para o buraco negro formando um disco de acreo em torno

deste que aps ser comprimido e consequentemente aquecido torna-se ionizado. Como

sabemos, partculas carregadas descrevendo movimento circular geram ondas

eletromagnticas [2].

No caso do disco de acreo, antes que as partculas que o compem caiam para

o buraco negro, emitiro ondas na faixa dos raios-x e o papel dos astrnomos detectar

essa fonte de raios-x sendo a deteco feita, portanto, de forma indireta.

Figura 17: concepo artstica de um buraco negro sugando uma estrela [16].

32

Vrios candidatos a buracos negros j foram indiretamente encontrados, de

forma que a comunidade dos fsicos atualmente tem poucas dvidas sobre a sua

existncia, mesmo sendo sua forma de deteco indireta, como o caso de Cygnus X1,

uma fonte de raios-X muito compacta a cerca de 6000 anos luz da Terra, localizada na

constelao de Cygnus [1][4].

Cygnus X-1 um dos mais fortes candidatos a buraco negro conhecido. A tabela

abaixo nos apresenta estrelas acreditadas como possveis companheiras de buracos

negros. Tambm apresentada a massa estimada desses buracos negros.

Nome da estrela Massa do Buraco negro em unidades de

massas solares (Sol= 1M)

A0620-00 3 - 4

Cygnus X-1 (HDE 226868) 4 - 8

Sco X-1 3 - 10

GS2000+25 3 - 10

GX339-4 3 - 10

V 404 Cygni 8 - 12

Nova Muscae 1991 3 - 10

Nova Ophiuchi 1977 6 - 7

Tabela 2: estrelas acreditadas como possveis companheiras de buracos [15].

Podemos nos fazer a seguinte pergunta: caso um buraco negro no emita raios-X

seria possvel detecta-lo?

Na verdade podemos detectar uma classe de buracos negros chamados buracos

negros supermassivos observando seu efeito gravitacional sobre algumas estrelas em

suas proximidades. Por exemplo, utilizando-se imagens de alta resoluo, vide Figura

17, observamos que estrelas percorrem uma elipse em torno de um objeto invisvel.

Atravs destas imagens podemos obter o semi-eixo maior a dessas elipses assim como

seu perodo T.

33

Pela terceira lei de Kepler, calculamos a massa M do objeto que as estrelas

orbitam9.

GMaT

2/32 , (4.1)

Terceira Lei de Kepler ou ainda

4

GTaM . (4.2)

Figura 18: imagem da rbita de estrelas no centro de nossa galxia durante um perodo de

dezessete anos [4].

Como no emitem radiao do espectro visvel passam despercebidos nas

imagens de alta resoluo, como no caso da fonte de ondas de radio Sgr A*, localizada

a 2 600 anos-luz da Terra [4].

Em nmeros, percebemos que as estrelas possuem velocidades superiores a 1500

9Caso o aluno no se recorde das leis de Kepler, recorra ao apndice A.

34

Km/s orbitando um objeto invisvel que possui massa de 3,7 milhes de vezes a massa

do Sol. Observaes com radio telescpios nos mostram que o raio dessa fonte da

ordem de 1011 m, comparvel distncia Terra/Sol. Essas medidas e observaes

sugerem que essa fonte de ondas de radio um buraco negro com raio de Schwarzschild

r = 1,0 x 1010 m [4].

Esses buracos negros super massivos nos centros de uma galxia do origem, em um determinado instante, ao que chamamos Quasares, Quase Stellar Radio Sources,

intensas fontes de radio extremamente compacta e luminosa que emitem mais energia

do que centenas de galxias juntas [2]. Essas ondas so geradas de forma semelhante ao

processo de emisso de raios X por um buraco negro. No lugar de um buraco negro

temos um super buraco negro sugando agora vrias estrelas.

As galxias que possuem esse tipo de buraco negro so chamadas galxias

ativas. Segue abaixo, Tabela 3, uma relao com uma sequncia de galxias suspeitas de

abrigar buracos negros supermassivos em seus centros. Apresentamos tambm a massa

estimada desses buracos negros.

Nome da Galxia Massa do Super-Buraco negro em

unidades de massas solares (Sol= 1M)

IE1740.9-2942 10 mil

SgrA* 2 milhes

Messier 32 3 milhes

Centaurus A < 14 milhes

Messier 31 10 milhes

Messier 106 40 milhes

NGC 3379 50 milhes

NGC 3377 100 milhes

Messier 84 300 milhes

NGC 4486B 500 milhes

NGC 4594 1 bilho

NGC 4261 1 bilho

NGC 3115 2 bilhes

Messier 87 3 bilhes

35

Cygnus-A 5 bilhes

NGC 4151 No Conhecido

Messier 51 No Conhecido

Tabela 3: galxias que atualmente suspeita-se possuir buracos negros supermassivos em seus

centros [15].

Acredita-se atualmente que possivelmente toda grande galxia possua um buraco

negro supermassivo com massa equivalente a milhes ou bilhes de estrelas, em seu

centro, inclusive a Via Lctea.

Suspeita-se que esses braos negros tenham se formado no incio do Universo, a

partir de gigantescas nuvens de gs ou ento, a partir do "colapso" de imensos

aglomerados de estrelas que colapsaram sobre a sua prpria gravidade depois das

galxias j formadas [15].

36

5. RESULTADOS E DISCUSSES

Fizemos uma abordagem clssica dos buracos negros utilizando a fsica

newtoniana a fim de que um aluno de graduao possa familiarizar-se com suas

propriedades sem muitos clculos ou complicaes. Vimos como so detectados e

tambm apresentamos uma classe de buracos negros chamados super buracos negros

que so responsveis por um fenmeno muito energtico chamado quasar.

Mostramos que a abordagem newtoniana baseava-se no comportamento

corpuscular da luz, que caiu em desuso depois das experincias ondulatrias de Fresnel

e Huygens. Aps tais experincias esses corpos conjecturados por Mitchell/Laplace

foram esquecidos.

Mais tarde, no sculo XX, com a teoria da relatividade geral pudemos dar um

novo tratamento a esses corpos densos. Nessa teoria o espao-tempo torna-se to curvo

nas proximidades desses corpos ao ponto que a luz no encontra um caminho para sua

fuga. Sendo desnecessrias as hipteses de Mitchell/Laplace, essa abordagem ganhou

cada vez mais adeptos chegando ao ponto bastante grande de aceitao.

Para anlise dos eventos nas proximidades dos buracos negros estticos

utilizamos a mtrica de Schwarzschild, ferramenta matemtica o qual nos permite medir

distncias, desenvolvida inicialmente para estrelas e mais tarde generalizada para

buracos negros estticos descarregados, isto , sem rotao e sem cargas.

Estudamos o comportamento da luz e das partculas massivas nas redondezas

desses corpos segundo a relatividade geral chegando a resultados interessantssimos

como o raio de Schwarzschild e a existncia de uma singularidade fsica em seu centro,

regio de densidade infinita. Indicamos tambm outras solues das equaes de

Einstein que nos levam a estruturas igualmente curiosas como os buracos de minhocas e

os buracos brancos.

Tambm mostramos como os buracos negros so detectados.

Apesar de grande parte de o trabalho basear-se na determinao de trajetrias

das partculas de luz ou massivas, a partir da relatividade geral, ainda no conseguimos

explicar o que ocorre com tais partculas nas proximidades vizinhas ou na prpria

singularidade.

Se por outro lado reduzimos a ordem de grandeza em estudo no quais

37

fenmenos qunticos so levados em considerao, devemos ter em mente que todo seu

determinismo, nas proximidades ou no da singularidade devem ser desconsideradas,

devido ao princpio da incerteza de Heisenberg.

Isso sugere a necessidade de uma nova teoria da gravitao que descreva no

apenas fenmenos macroscpicos, mas tambm fenmenos qunticos.

Na monografia ainda deixamos de falar de vrios fenmenos associados a

geometria relativos aos buracos negros estticos, como os efeitos de mar e tambm o

desvio sofrido por um feixe de luz ao percorrer suas proximidades.

O objetivo do trabalho foi introduzir a um aluno que possui um curso de clculo

III a noo de buracos negros e elementos de relatividade geral sem as complexidades

da lgebra tensorial, de forma que no precisaria esperar quatro anos de graduao para

entrar em contacto com algumas dessas ideias.

38

6. CONCLUSO

Podemos nos perguntar o porqu de se estudar buracos negros ao invs de nos

preocuparmos com outras estruturas mais importantes como asterides que esto em

rota de coliso com a Terra ou mesmo com o desenvolvimento de novas fontes de

energia limpa.

Acontece que os buracos negros so objetos muito curiosos, sugam toda

matria e informao que atravessam seu caminho conduzindo-os para uma regio

pontual. O tempo e o espao se comportam de uma forma diferente para regies

distintas em suas proximidades.

razovel tomar esse comportamento extico de algumas grandezas fsicas sob

o ponto de vista da mecnica clssica como ponto de partida para sua pesquisa.

Se para voc necessrio algum motivo palpvel para estuda-los, tome ento sua

coliso com outro buraco negro. Este evento gera uma fonte temporria de ondas

gravitacionais, previstas teoricamente pela relatividade geral e ainda no detectadas.

Os buracos negros tambm podem ser fundamentais para se entender

corretamente a gravidade, uma das quatro interaes fundamentais, os modelos

cosmolgicos de evoluo de nosso Universo, assim como tambm para a confirmao

dos modelos de evoluo estelar.

verdade que talvez em um futuro prximo no encontremos nenhuma

aplicao do estudo que envolve os buracos negros na vida humana. Entretanto, se esse

fosse o critrio sobre o qual baseamos o que devemos estudar, no haveria

computadores para nos dizer isso.

39

7. APNDICES

APNDICE A

AS LEIS DE KEPLER

Durante o sculo XVI o astrnomo dinamarqus Tycho Brahe observando o cu,

em um trabalho patrocinado por nobres, registrou vrios dados a respeito da rbita dos

planetas. Para interpretao destes dados colhidos, Tycho Brahe contratou um talentoso

matemtico chamado Johannes Kepler que passou a ser seu assistente. S aps a morte

de Tycho Brahe, Kepler conseguiu dar uma interpretao a esses dados, enunciando o

que hoje conhecemos como Leis de Kepler [6].

1 Lei

Todos os planetas se movem segundo rbitas elpticas, com o Sol posicionado em um

dos focos, como podemos observar na Figura 18 abaixo.

.

Figura 19: Os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, que ocupa

um dos focos da elipse [17].

2 Lei

A linha que une qualquer planeta ao Sol varre reas iguais em tempo iguais, como

podemos observar na figura a seguir.

40

Figura 20: O segmento que une o sol a um planeta descreve reas iguais em

intervalos de tempo iguais [18].

3 Lei

O quadrado do perodo de qualquer planeta proporcional ao cubo do semi-eixo maior

de sua rbita.

CrT (A.1)

Devemos ter em mente que esses resultados deram fora a chamada Lei da

Gravitao Universal desenvolvida por Issac Newton [19]. Essa lei uma relao

matemtica mais fundamental do que as Leis de Kepler, de forma que podemos deduzir

as concluses de Kepler a partir da descoberta de Newton [6].

41

APNDICE B

CRONOLOGIA DOS BURACOS NEGROS

Apesar dos buracos negros serem um produto da relatividade geral (sculo XX) ,

previses sobre corpos semelhantes datam mais de 200 anos antes. A partir do

desdobramento das leis da gravitao universal de Newton com a teoria corpuscular da

luz o astrnomo amador britnico John Michell e posteriormente o grande matemtico

Laplace conjecturaram, no final do sculo XVIII, que estrelas densas suficientemente,

as quais a velocidade de escape fosse maior que a da luz no poderiam ser observadas.

Laplace, em seu livro Exposition du Systm Du Monde, as classificou como estrelas

escuras. Essas precursoras dos buracos negros tambm so chamadas hoje de buracos

negros newtonianos [28].

O conceito moderno de buraco negro surgiu durante o sculo XX. De forma

mais exata, aps a publicao de Oppenheimer e Snyder sobre os seus estudos a respeito

do colapso estelar em 1939. Embora esses corpos j pudessem ser descritos

geometricamente em 1916 com a soluo de Schwarzschild.

Segue abaixo uma linha do tempo a respeito das descobertas sobre estes corpos

celestes [20].

1783 John Michell e posteriormente Pierre Laplace (1796) concebem as estrelas

escuras.

1916 Karl Schwarzschild encontra a soluo de vcuo esfericamente simtrica das

equaes de Einstein que contempla buracos negros sem rotao.

1916 Hans Reissner e independentemente Gunnar Nordstrm (1918) obtm a soluo

das equaes de Einstein correspondente a buracos negros estticos com carga eltrica.

42

1939 Julius Oppenheimer e Hartland Snyder concluem que estrelas, ao colapsarem,

podem dar origem a buracos negros.

1963 Roy Kerr encontra a soluo de vcuo das equaes de Einstein para buracos

negros com rotao.

1965 Roger Penrose prova que dentro do horizonte de eventos de um buraco negro

sempre se esconde uma singularidade.

1967 John Wheeler cunha o termo buraco negro.

1971 Um grupo de astrnomos e fsicos experimentais observa fortes evidncias de

que Cygnus X-1 abriga um buraco negro.

1971 Stephen Hawking prova que a soma das reas dos horizontes de eventos de um

sistema de buracos negros nunca decresce por nenhum processo fsico clssico.

1973 Jacob Bekenstein associa entropia aos buracos negros e enuncia a Segunda Lei

Generalizada da Termodinmica.

1974 Stephen Hawking descobre que buracos negros podem evaporar quanticamente.

2004 Hawking volta atrs e afirma que a informao contida nos buracos negros

no desaparece.

43

APNDICE C

GEODSICAS

A geodsica a menor distncia que une dois pontos de forma que, para pequenas

variaes da forma da curva, o seu comprimento estacionrio. Para seu clculo,

recorremos ao princpio da mnima ao.

Definimos um funcional chamado ao, dado por:

dxxxyxyLySx

x

2

1

)),(),((][ ,

(C.1)

onde ),,( xyyL a lagrangiana do sistema; y e y so funes que possuem como

argumento x; de forma especfica y a derivada de y em relao a x.

Figura 21: Variao de uma curva [21].

Se exigirmos que a ao seja estacionria, Figura 20, ento temos:

0][ yS . (C.2)

44

Encontraremos, impondo certas condies, a relao abaixo:

0][)(

yS

xL

dud

xL

aa , (C.3)

Equaes de Euler Lagrange.

onde os parmetros ax e ax so chamadas coordenadas e velocidades generalizadas,

respectivamente.

Para o estudo de distncias mnimas utilizamos a lagrangiana abaixo:

ab

baab xxxgL 2

1])([ , (C.4)

Lagrangiana para o clculo de

geodsicas em superfcies, escrita de forma

compacta.

onde o smbolo . acima de uma funo denota derivada em relao a u e gab uma

matriz. Conhecendo a lagrangiana do sistema podemos ento calcular as geodsicas. A

princpio basta substituir (C.4) em (C.3). Entretanto isto nos levar a uma srie de

complicaes, sendo mais interessante trabalhar com as equaes de Euler-Lagrange

para o caso em que temos derivadas parciais de L.

0)(

aa xL

dud

xL

. (C.5)

Equaes de Euler-Lagrange para

o caso em que temos L.

Se conhecermos a matriz gab, que obtemos diretamente por meio mtrica estudada,

ento podemos calcular as geodsicas desta variedade.

Calculemos, por exemplo, as geodsicas da soluo de Schwarzschild, de um

modo mais elegante ao utilizado na seo 4.3.1.

L exigimos que

(1) Deslocamento radial .0 d

45

(2) Geodsicas para ftons .0 ds

A matriz gab para o caso do espao-tempo de Schwarzchild escrita em coordenadas

esfricas como:

10000100

00)21(0

000)21(

1

rm

rm

gab .

A mtrica, de forma alternativa, pode ser escrita de forma compacta como:

ab

baab dxdxgds . (C.6)

Para luz em particular, escrevemos a mtrica como:

0 ab

baab dxdxgds (C.7)

Seja a lagrangiana de nosso sistema:

])21()21[( 212 rrmt

rmL . (C.8)

Substituindo (C.8) nas equaes de Euler-Lagrange (C.5) obteremos duas relaes:

para txa teremos:

.)21( constrmt , (C.9)

para rx a teremos:

.)21( 1 constrmr . (C.10)

Substituindo (C.9) em (C.7), teremos:

kr . (C.11)

46

Podemos escrever t=t(r), de forma que a derivada de t em relao r escrita como:

rt

dudr

dudt

drdt

; (C.12)

segue de (C.9) e de (C.10) que ,

mrr

drdt

2 ; (C.13)

integrando teremos,

constmrmrt 2ln2 , (C.14)

ou

)2ln2( constmrmrt . (C.15)

A partir das relaes acima traamos o grfico da figura 21.

Figura 22: geodsicas tipo luz para a mtrica de Schwarzschild [11].

Da mesma forma que fizemos para a soluo de Schwarzschild podemos fazer para as

outras solues.

Para melhor entender a princpio variacional e o formalismo lagrangiano consulte [22].

47

APNDICE D

AS EQUAES DE CAMPO DE EINSTEIN

As equaes de campo de Einstein so equaes de sua prpria teoria da

gravitao, chamada relatividade geral, que descreve como a matria gera gravidade.

Ela escrita como

TcGG

8 . (D.1)

Equaes de campo de Einstein.

As equaes de campo de Einstein se reduzem equao de Poisson num limite

no relativista, isto , a velocidades baixas e campos gravitacionais pouco intensos.Para

saber como Einstein chegou a essa relao assim como as ideias que o influenciaram,

consulte as referncias [11][7].

A parte esquerda da equao (D.1) nos informa a respeito da geometria

deformada pela matria descrita na parte direita da equao. As letras com ndices so

chamados tensores. Para uma primeira leitura, podemos imagina-lo como uma forma

compacta de escrever equaes relativamente grandes como as de Einstein.

O tensor de Einstein escrito em funo de outros tensores da seguinte maneira:

RgRG 21

, (D.2)

Tensor de Einstein escrito em funo de outros

tensores.

onde esses outros tensores tambm possuem nome e so escritos em funo dos

coeficientes da mtrica gab, que seguem abaixo:

48

Tensor de Ricci,

R . (D.4)

Escalar de Ricci

RgR . (D.5)

Smbolo de Christoffel10,

)(21

gggg . (D.6)

O tensor momento energia para o fluido perfeito tambm escrito em funo de

outros tensores.

pguupT o )( , (D.3)

Tensor Momento-Energia para um fluido perfeito escrito em

funo de outros tensores para o caso de um fluido perfeito.

onde o a densidade prpria, p a presso escalar, u a quadri-velocidade referentes

ao fluido perfeito.

A partir de agora, nos preocuparemos em encontrar uma mtrica esfericamente

simtrica a partir das equaes de Einstein para o vcuo. Mtrica a qual podemos

utilizar de forma aproximada para corpos de lenta rotao.

Para o vcuo o = 0 assim como p = 0. Isso implica que T = 0. Por sua vez,

0R , pois 0T . (D.7)

Os coeficientes de uma mtrica esfericamente simtrica de uma forma genrica podem

ser escritos como [23]:

)sin,),(),(( rrrBrAdiagg . (D.8)

10 O smbolo de Cristoffel no um tensor.

49

Devemos nos incumbir de encontrar A(r) e B(r).

Substituindo a mtrica esfericamente simtrica nas equaes de Einstein

encontraremos o conjunto de equaes diferenciais

0')''(4

'2

''00 rB

ABB

AA

BA

BAR , (D.9)

0')''(4

'2

''11 rB

BBB

AA

AA

AAR , (D.10)

0)''(2

1122 BB

AA

Br

BR , (D.11)

0sin2233 RR . (D.12)

Para o clculo do tensor de Ricci devemos calcular antes todos os smbolos de

Christoffel assim como as derivadas dos coeficientes da mtrica.

Multiplicando a equao (D.10) por (B/A) e somando este resultado equao

(D.12) encontraremos que 0'' ABBA . Isso implica que AB = = constante.

Utilizando essa relao na equao (D.11) encontraremos que:

constkrAdrd

)( , (D.13)

e que

)1()(rkrA e 1)1()(

rkrB . (D.14)

No limite de campos fracos [9], encontramos a relao:

)

1(00 rcGMg . (D.15)

50

Por outro lado,

)1()(rkrA . (D.16)

Igualando (D.16) (D.15), obteremos:

)

21(

)(cc

rA , (D.17)

e escrevemos a mtrica como:

])([)21()21( 1 dsendrdrrMdt

rMds .

(D.18)

Essa a famosa mtrica encontrada por Karl Schwarzschild, fsico alemo que a

descobriu com um ms aps o lanamento da teoria da relatividade geral de Einstein.

Teve pouco tempo para estudar as consequncias de seu trabalho uma vez que veio

falecer pouco tempo depois de sua publicao.

Para mais detalhes a respeito destas contas consulte a referncia [23].

51

8. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

[1] NASA. Black Holes: From Here to Infinity. Disponvel em Acesso em 7 jan. 2014. [2] OLIVEIRA FILHO, Kepler de Souza; SARAIVA, Maria de Ftima Oliveira. Astronomia e astrofsica. 2. ed. So Paulo: Livraria da Fsica, 2004. xviii, 557 p. ISBN 8588325233. [3] Google Imagens. Lanamento vertical para cima. Disponvel em Acesso em 9 jan. 2014. [4] YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A.; SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo. Fsica. 12. ed. So Paulo: Addison-Wesley: Pearson, 2008. 4 v. ISBN v.1 9788588639300 : v.2 . [5] MITCHELL, John, Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1784 74, doi: 10.1098/rstl.1784.0008, published 1 January 1784 . [6] TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Fsica: para cientistas e engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 3 v. ISBN v.1 9788521614623. ISBN: v.2 9788521614.

[7] M. Cattani, Deduo das equaes da Teoria de Gravitao de Einstein em um Curso de Graduao, Revista Brasileira de Ensino de Fsica, So Paulo, vol.20, n1, p.27-37, maro 1998.

[8] GAZZINELLI, Ramayana. Teoria da relatividade especial. 2. ed. So Paulo: Blcher, 2009. viii, 147 p. ISBN 9788521204886. [9] NUSSENZVEIG, H. Moyses. Curso de fsica bsica. 5. ed. rev. e atual. So Paulo: Edgard Blcher, 2013. ISBN 9788521207450: v. 4.

[10] Google Imagens. Cone de Luz no Espao de Minkoski. Disponvel em Acesso em 9 jan. 2014. [11] D'INVERNO, Ray. Introducing Einstein's relativity. Oxford (England): Clarendon Press; New York: Oxford University Press, 1992. 383 p. ISBN 0198596863. [12] Google Imagens. Esfera em R. Disponvel em Acesso em 9 jan. 2014. [13] GREENBERG, Marvin Jay. Euclidean and non-euclidean geometries: development and history. 3rd ed. New York: W. H. Freeman, c1993. xvi, 483p. ISBN 0716724464 (enc.)

52

[14] R. Wald, Gedanken experiments to destroy a black hole, Maryland, Ann. Physics, v. 82, p. 548-556, 1974. [15] UFMG- Observatrio Astronmico Frei Rosrio. Buraco Negro. Disponvel em < http://www.observatorio.ufmg.br/pas19.htm> Acesso em 7 jan. 2014. [16] Google Imagens. Concepo Artstica de um Buraco Negro Sugando uma Estrela. Disponvel em Acesso em 9 jan. 2014. [17] Google Imagens. Os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse. Disponvel em Acesso em 23 jan. 2014. [18] Google Imagens. O segmento que une o sol a um planeta descreve reas iguais em intervalos de tempo iguais. Disponvel em Acesso em 23 jan. 2014. [19] NEWTON, Isaac. Principia: princpios matemticos de filosofia natural. So Paulo: Nova Stella: Edusp, 1990. nv. [20] J.Castieiras, L.C. Crispino, G. A. Matsas. Horizonte de eventos. Disponvel em Acesso em 7 jan. 2014. [21] Google Imagens. Variao de uma curva. Disponvel em Acesso em 9 jan. 2014. [22] LEMOS, Nivaldo A. Mecnica analtica. 2. ed. So Paulo: Ed. Livraria da Fsica, 2007. vi, 386 p. ISBN 9788588325241. [23] HOBSON, M. Efstathiou, G. Lasenby,A. General Relativity: an introduction for physicists..ed.Cambridge University Press,2006. 572 p. ISBN 978-0-521-53639-4. [24] R. Wald, General relativity. Chicago: University of Chicago Press; 1984. 491 p. ISBN 0226870332. [25] COUPER, Heather. Buracos negros. So Paulo: Moderna, 1997. 45p. ISBN (Enc). [26] FABER, Richard L. Differential geometry and relativity theory: an introduction. New York: Marcel Dekker, c1983. 255p. ((Monographs and textbooks in pure and applied mathematics ; 76)) ISBN 082471749X (enc.) [27] FEYNMAN, Richard P.; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew L. Feynman, lies de fsica. Ed. definitiva. Porto Alegre: Bookman, 2008. 3 v. ISBN v.1 9788577802555 (enc.). [28]LAPLACE, Pierre S. Exposition du systme du monde, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-1-108-00209-7.