bruchzahlen - robert-mades.de · pdf file(7) 2 3 5 2 8 9 8 7 9 1 8 9 9 9 10 8 3 16 1 11 5 (7)...
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Bruchzahlen Aufgabe: Zeichne Rechtecke von 3 cm Länge und 2 cm Breite. Dieses Rechteck soll 1 Ganzes (1 G) darstellen.
a.) Färbe 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ;2 4 6 3 8 12 24
von diesem Rechteck.
b.) Färbe 3 2 5 3 5 7 13
; ; ; ; ; ;4 3 6 8 12 8 24
von diesem Rechteck.
Hinweis: 1 1 3 4
; ; ;2 4 4 5
sind Brüche oder Bruchzahlen. Jeder Bruch besteht aus zwei natürlichen Zahlen, von de-
nen sich eine über dem so genannten Bruchstrich und eine unter dem Bruchstrich befindet. Jede dieser bei-den Zahlen hat eine bestimmte Bedeutung.
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
3
1
3
1
3
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
ein Halbes: 1
2 (ein Ganzes = 2 Halbe) 1 G : 2 =
1
2
ein Viertel: 1
4 (ein Ganzes = 4 Viertel) 1 G : 4 =
1
4
ein Drittel: 1
3 (ein Ganzes = 3 Drittel) 1 G : 3 =
1
3
ein Sechstel: 1
6 (ein Ganzes = 6 Sechstel) 1 G : 6 =
1
6
ein Achtel: 1
8 (ein Ganzes = 8 Achtel) 1 G : 8 =
1
8
ein Zwölftel: 1
12 (ein Ganzes = 12 Zwölftel) 1 G : 12 =
1
12
ein Vierundzwanzigstel: 1
24 (ein Ganzes = 24 Vzstel)1 G : 24 =
1
24
1
8
1
12
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MERKE:
1.) Eine Bruchzahl besteht aus:
(natürliche Zahl)
(na
1 Zähl
türli5 Nenne cher
er
Zahl)
2.) Ist der Zähler eines Bruches 1 1 1 1 1
; ; ; usw.2 3 8 24
, so gibt der Nenner an, in wie viele gleich große
Teile ein Ganzes zerlegt wird. 3.) Je größer der Nenner eines solchen Bruches ist, desto kleiner sind die Teile, die man erhält.
34
2
3
5
6
3
8
512
7
8
1324
Teile 1G in 4 Teile (Nenner), färbe 3 davon (Zähler).
Teile 1G in 3 Teile (Nenner), färbe 2 davon (Zähler).
Teile 1G in 6 Teile (Nenner), färbe 5 davon (Zähler).
Teile 1G in 8 Teile (Nenner), färbe 3 davon (Zähler).
Teile 1G in 12 Teile (Nenner), färbe 5 davon (Zähler).
Teile 1G in 8 Teile (Nenner), färbe 7 davon (Zähler).
Teile 1G in 24 Teile (Nenner), färbe 13 davon (Zähler).
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MERKE: 1.) Der Nenner eines Bruches gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. 2.) Der Zähler eines Bruches gibt an, wie viele solcher Teile genommen werden sollen. Aufgabe:
Stelle den Bruch 2 4 7
;7 9 11
a.) an einem geeigneten Rechteck und b.) an einer geeigneten Strecke dar.
zu a.) (1 mögliches Beispiel):
zu b.) (1 mögliches Beispiel)
27
4
9
711
27
4
9
711
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Gemischte Schreibweise Aufgabe: Zeichne Rechtecke von 3 cm Länge und 2 cm Breite. Dieses Rechteck soll 1 Ganzes (1 G) darstellen.
a.) Färbe 4 8 12
; ;4 4 4
von diesem Rechteck.
b.) Färbe 5 7 11
; ;4 4 4
von diesem Rechteck.
zu a.)
zu b.)
44
= 1 Ganzes = 1 Rechteck = 4 Viertel
84
= 2 Ganze = 2 Rechtecke = 8 Viertel
124
= 3 Ganze = 3 Rechtecke = 12 Viertel
74
= 1 Ganze + 3 Viertel= 3 3
1 14 4
+ =
114
= 2 Ganze + 3 Viertel= 3 3
2 24 4
+ =
1
1 1
1 11
1
1 1
54
= 1 Ganzes + 1 Viertel = 1 1
1 14 4
+ = 1
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Umwandlung: Unechter Bruch �������� Gemischte Schreibweise 1.) Unechter Bruch � Gemischte Schreibweise: Aufgabe: Wie viele Ganze sind in den folgenden Brüchen enthalten, und welcher Bruchteil bleibt übrig? 7 15 23 16 31 47
; ; ; ; ;5 6 4 3 7 10
7 15 23 162 3 3 1 3 7
1 2 5 531 47
; ; ; ; ;5 6 4 3 7
4 45 6 5 103 7 10
= = = = = =
2.) Gemischte Schreibweise � Unechter Bruch: Aufgabe: Verwandle folgende Brüche aus der gemischten Schreibweise in unechte Brüche:
1 7 1 3 9 73 ; 2 ; 8 ; 7 ; 9 ; 8
8 9 3 5 10 11
1 1 7 7 1 13 3 G 2 2 G 8 8 G
8 8 9 9 3 324 18 24
3 G 2 G 8 G8 9 3
24 1 25 18 7 25 24 1 25
8 8 8 9 9 9 3 3 3
3 3 9 9 7 77 7 G 9 9 G 8 8 G
5 5 10 10 11 1135 90 88
7 G 9 G 8 G5 10 11
35 3 38 90 9 99 88 7 95
5 5 5 10 10 10 11 11 11
= + = + = +
= = =
+ = + = + =
= + = + = +
= = =
+ = + = + =
7
5
51G
5=
2
5
21
5
15
6
122 G
6=
3
6
32
6
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Einteilung der Brüche 1.) Echte Brüche: Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist, bezeichnet man als echte Brüche.
Echte Brüche sind: 3 1 3 2 4 7
; ; ; ; ;5 6 4 3 7 10
Für diese Brüche gibt es keine andere Schreibweise. 2.) Unechte Brüche: Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist, bezeichnet man als unechte Brüche.
Unechte Brüche sind: 7 11 9 4 10 13
; ; ; ; ;5 6 4 3 7 10
Alle unechten Brüche lassen sich in gemischte Brüche umwandeln. 3.) Gemischte Brüche: Brüche, die aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch bestehen, bezeichnet man als gemischte Brüche.
Gemischte Brüche sind: 3 1 1 2 3 3
2 ; 7 ; 5 ; 8 ; 9 ; 55 6 4 3 7 10
Alle gemischten Brüche lassen sich in unechte Brüche umwandeln. 4.) Scheinbrüche: Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, bezeichnet man als Scheinbrüche.
Scheinbrüche sind: 10 18 12 21 28 60
; ; ; ; ;5 6 4 3 7 10
Alle Scheinbrüche lassen sich in eine natürliche Zahl umwandeln.
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Einteilung der Brüche 1.) a.) Ordne die folgenden Brüche untereinander in die richtige Spalte der unteren Tabelle ein:
359
175
827
183
749
1823
2324
77
107515
655
1712
719
729
739
7475
78
1235
2417
9910
2223
568
5616
564
565
989
725
177
10
; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ;
b.) Wandle alle Brüche, die sich auch in einer anderen Darstellung schreiben lassen, in der Tabelle um.
Echte Brüche Unechte Brüche Gemischte Brüche Scheinbrüche gem.Bruch unechter B. natürl.Zahl
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Einteilung der Brüche (Lösung) 1.) a.) Ordne die folgenden Brüche untereinander in die richtige Spalte der unteren Tabelle ein:
359
175
827
183
749
1823
2324
77
107515
655
1712
719
729
739
7475
78
1235
2417
9910
2223
568
5616
564
565
989
725
177
10
; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ;
b.) Wandle alle Brüche, die sich auch in einer anderen Darstellung schreiben lassen, in der Tabelle um.
Echte Brüche Unechte Brüche Gemischte Brüche Scheinbrüche gem.Bruch unechter B. natürl.Zahl
8
2723
2474
757
87
25
(5)
17
574
971
973
999
10
5616565
(7)
23
52
898
791
899
9108
3161
115
(7)
=
=
=
=
=
=
=
18
375
1565
572
956
856
4
(6)
53
92
1837
710
117
23
1251
2472
223
89
97
1710
(9)
32
956
377
1035
263
5169
76
(9
8
389
9
)
177
10
=
=
=
=
=
=
=
=
=
6
5
13
8
7
4
6
1
( )
=
=
=
=
=
=
Seite 9 von 26
Brüche als Divisionsaufgaben Aufgaben: 1.) 13 Äpfel sollen gerecht unter 4 Kindern verteilt werden. Wie viel erhält jedes Kind? 1. Kind 2. Kind 3. Kind 4. Kind Jedes Kind erhält erst einmal 3 ganze Äpfel: 12 : 4 = 3 Der übrig gebliebene Apfel wird nun in 4 gleich große Teile aufgeteilt:
Jedes Kind erhält noch einmal 1
4 Apfel.
Also insgesamt: 1 1
3 34 4
+ = Apfel.
Dafür lässt sich auch folgende Divisionsaufgabe schreiben:
13 113 Äpfel : 4 Äpfel 3 Äpfel
4 4= =
2.) 3 Mädchen wollen sich 2 Tafeln Schokolade teilen. Wie viel erhält jede?
22 : 3
3=
Jedes Kind erhält 2
3 der 2 Tafeln Schokolade.
3.) Drei Mädchen wollen sich 5 Tafeln Schokolade teilen.
5 2
5 : 3 13 3
= = Jede erhält 2
13
Tafeln Schokolade.
3.) Fünf Jungen wollen sich 8 Pizzen teilen.
8 3
8 : 5 15 5
= = Jede erhält 3
15
Pizza.
1. Kind
1. Kind
2. Kind
2 Kind
3. Kind
3. Kind
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Aufgabe: Berechne:
3
89 1
24 417 2
35 5
3 33 : 8 0 (3 : 8) 0
8 81 1
9 : 4 2 (1: 4) 2 24 4
2 217 : 5 3 (2 : 5) 3 3
5
1.) 3 : 8
2.) 9 : 4
3.) 17 : 5
4.100 1
119
) 100 : 9
51 1
100 : 9 11 (1: 9) 11 1199 9
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = +
=
=
= =
=
=
=
=
MERKE: Den Quotienten zweier natürlicher Zahlen kann man auch als Bruch schreiben:
12 2 31 912 : 5 2 oder : 31:11 2
5 5 11 11= = = =
Dabei wird der Dividend zum Zähler des Bruches und der Divisor zum Nenner des Bruches.
Dividend (Zähler)Dividend : Divisor
Divisor (Nenner)=
Brüche mit Maßeinheiten Aufgabe: Wandle in eine kleinere Maßeinheit um:
:2 1
:4 1
:3 2
1000 ml
60 m
1 1 11.) Liter l von
2 2 21000 ml 500 ml 500 ml
1 1 12.) Stunde h von
4 4 460 min 15 min 15 min
2 2 23.) Schulstund
i
e
n
1v
sh von3 3 3
45 min 15 min 3
on 1l (1G)2
1von 1h (1G)
4
2von 1sh (1G
0 min
)3
45 min
⋅
⋅
⋅
= = =
= → →
= = =
= → →
= = =
= → →
:5 4
:8 3
4 4 44.) Meter m von
5 5 5
100 cm 20 cm 80 cm
3 3 35
4von 1m (1G)
5
3von 1.) Tonnen t von
8 8 8
100 cm
1000
1000 g
t (1G)
125 g 375 g
g8
⋅
⋅
= = =
= → →
= = =
= → →
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MERKE: Wendet man einen Bruch auf eine Maßeinheit an, so muss man folgendes beachten: Der Zähler des Bruches ist der „Mal-Operator“. Der Nenner des Bruches ist der „Durch-Operator“. 4
5 Liter bedeutet also: Teile die nächst mögliche kleinere Maßeinheit durch 5 und multipliziere dieses Er-
gebnis mit 4: :5 44 4Liter von 1000 ml 1000 ml 200 ml 800 ml
5 5⋅
= = → →
4 :5Zähler Mal Operator( ) 4
Nenner Durch Operator(:) 5⋅
− ⋅⇒ → →
−
Gemischte Schreibweise bei Maßeinheiten Aufgabe: Was bedeutet:
31.) 1 m
4
22.) 3 l
5
73.) 4 kg
1
31m m 100 cm 75 cm 175 cm 1,75 m
4
23 l l 3000 ml 400 ml 3400 ml 3,4 l
5
74 kg kg 4000 g 700 g 4700 g 4,7 kg
10
52 h h 120 min 25 min 145 min 2 h 25 min
1
0
54.) 2 h
12 2
= + = + = =
= + = + = =
= + = + = =
= + = + = =
Seite 12 von 26
Brüche und ihre Eigenschaften 1.) Wandle die folgenden Brüche in unechte, gemischte Brüche oder in eine natürliche Zahl um:
49 48 10 5 81 67 72 45a.) b.) c.) 9 d.) 25 e.) f.) g.) h.)
3 6 13 7 16 5 6 476 2 2 34 75 9 2 65
i.) j.) 3 k.) 9 l.) m.) n.) 7 o.) 12 p.)9 5 9 8 5 11 3 8102 71 133 12 156 101
q.) r.) s.) t.) 7 u.) v.)7 6 13 17 12 15
2.) Verwandle in die nächst kleinere Einheit:
4 3 2 1 3 8a.) kg b.) Liter c.) 2 cm d.) 5 d e.) 8 h f.) 7 km
5 8 5 6 4 257 9 9 7 2 5
g.) ha h.) g i.) 4 h j.) t k.) 3 min l.) 4 d10 250 20 5 5 12
2 4 2 2 13 5m.) 6 € n.) a o.) 5 dm p.) 2 w q.) 7 g r.) 4 sh
5 25 5 7 50 9
3.) Gib die Ergebnisse der folgenden Divisionsaufgaben mit Hilfe eines gemischten Bruches an:
a.) 35 : 9 b.) 79 : 7 c.) 83 : 8 d.) 100 :11 e.) 97 : 6
f.) 58 : 3 g.) 70 : 12 h.) 63 : 4 i.) 82 : 5 j.) 92 : 3
k.) 76 : 5 l.) 92 :15 m.) 73 : 8 n.) 99 : 4 o.) 57 : 7
= = = = =
= = = = =
= = = = =
4.) Markiere den Bruch 83
in den folgenden Figuren:
5.) Färbe stets den Teil, der angegeben ist:
1
2
1
3
1
6
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Brüche und ihre Eigenschaften (Lösungen) 1.) Wandle die folgenden Brüche in unechte, gemischte Brüche oder in eine natürliche Zahl um:
1 127 180 1 2 1a.) 16 b.) 8 c.) d.) e.) 5 f.) 13 g.) 12 h.) 11
3 13 7 16 5 44 17 83 2 86 38 1
i.) 8 j.) k.) l.) 4 m.) 15 n.) o.) p.) 89 5 9 8 11 3 8
4 5 3 131 11q.) 14 r.) 11 s.) 10 t.) u.) 13 v.) 6
7 6 13 17 15
2.) Verwandle in die nächst kleinere Einheit:
2
a.) 800 g b.) 375 ml c.) 24 mm d.) 124 h e.) 525 min f.) 7320 m
g.) 70 a h.) 36 mg i.) 267 min j.) 1400 kg k.) 204 s l.) 106 h
m.) 640 C n.) 16 m o.) 54 cm p.) 18 d q.) 7260 mg r.) 205 min
3.) Gib die Ergebnisse der folgenden Divisionsaufgaben mit Hilfe eines gemischten Bruches an:
8 2 3 1 1a.) 3 b.) 11 c.) 10 d.) 9 e.) 16
9 7 8 11 61 10 3 2 2
f.) 19 g.) 5 h.) 15 i.) 16 j.) 303 12 4 5 31 2 1 3 1
k.) 15 l.) 6 m.) 9 n.) 24 o.) 85 15 8 4 7
4.) Markiere den Bruch 83
in den folgenden Figuren:
5.) Färbe stets den Teil, der angegeben ist:
1
2
1
3
1
6
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Bruchteile von beliebigen Größen (3 Grundaufgaben) 1.) Bestimmen eines Teils von einer Größe Aufgabe:
Ein neu geplanter Autobahnabschnitt ist 105 Kilometer lang. Im ersten Bauabschnitt sollen 2
7, im zweiten
Bauabschnitt 4
7 und im letzten Bauabschnitt
1
7 des ganzen Autobahnabschnitts fertig gestellt werden.
a.) Veranschauliche die einzelnen Bauabschnitte mit Hilfe einer Zeichnung. b.) Wie viele Kilometer sind die einzelnen Bauabschnitte jeweils lang?
zu a.) 105 km (1 Ganzes) 1. Abschnitt 2. Abschnitt 3. Abschnitt zu b.)
:7 2
:7 4
:7 1
2von 105 km : 105 km 15 km 30 km
7
4von 105 km :105 km 15 km 60 km
7
1von 105 km : 105 km 15 km 15 km
7
2von 105 km 30 km
7
4von 105 km 60 km
7
1von 105 km 15 km
7
⋅
⋅
⋅
→ →
=
→ →
→ = →
=
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
2
7
4
7
1
7
15 km 15 km 15 km 15 km 15 km 15 km 15 km
2
7⋅
4
7⋅
1
7⋅
Seite 15 von 26
MERKE:
Die Rechenanweisung: 2
7 von 105 km bedeutet:
1.) Dividiere 105 km durch 7. 2.) Multipliziere das Ergebnis (15) mit 2. oder: 1.) Multipliziere 105 km mit 2. 2.) Dividiere das Ergebnis (210) durch 7. Der Zähler des Bruches ist also der Mal-Operator, der Nenner des Bruches der Durch-Operator.
2 :72 Mal Operator(2): : Das Ganze Ergebnis
7 Durch Operator(7)⋅
−→ →
−
2.) Bestimmen des Ganzen Aufgabe:
Wegen einer Grippeerkrankung fehlen 12 Schüler einer Klasse, das sind genau 2
5 der Klasse. Wie viele
Schüler gehören zu der Klasse? Operator
:
5 :2
5 2
(Das Ganze
(Das Ganze) x
)
12 (Erg
30
ebnis
6 12 (Ergebnis)
)⋅
⋅
→
← ←
→
Gegenoperator Die Klasse zählt insgesamt 30 Schüler. MERKE:
1.) Der Bruchoperator „5
von2
“ macht das rückgängig, was der Bruchoperator „2
von5
“ bewirkt hat.
2.) Man nennt „“ den Gegenoperator (Kehrwert) zu „2
von5
“.
3.) Der Gegenoperator (Kehrwert) wird immer dann benutzt, wenn das Ganze (Anfangswert) gesucht ist.
2
7⋅
2
5⋅
5
2⋅
Seite 16 von 26
3.) Bestimmen des Bruchteils Aufgabe: Jonas hat von 16 Aufgaben 12 richtig gelöst. Welchen Bruchteil aller Aufgaben hat er richtig?
⋅
⋅
⋅
⋅
→ →
→ →
→
→
→
→
:8 6
:
:y
16 2
x
1
:4 3
2
4
1 12
1
6
MERKE: Um den richtigen Bruchoperator bestimmen zu können, muss man eine Zahl finden, die sowohl im Anfangs-wert als auch im Endwert enthalten ist. Diese gemeinsam enthaltene Zahl soll dabei möglichst groß sein. Beispiele dazu: Welcher „beste“ Bruchoperator führt den Anfangswert in den Endwert über?
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅⋅
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→ → →→
:4 3
:3 2
:
:y x
9 5
:3 2
:
:y x
:y x
:y x
:y 4x 5
12 3 9
18 6 12
36 4 20
30 10
1.) 12 9
2.)18 12
3.) 36 20
4.)30 20
5.)
20
110 0 00 0 280 80
Übersicht über die drei Grundaufgaben: Gesucht ist der Endwert (das Ergebnis):
→Bruchoperator1.) Anfangswert (Das Gan Endwert (Ergeze) bnis)
Beispiel: Wie viel sind 3
8 von 40 €:
⋅
→
3840 € 15 €
Gesucht ist der Anfangswert (das Ganze):
→
→
Bruchoperator
Gegenoperator
2.) Endwert (Ergebnis)Anfangswe
Endwert (Erg
rt (Das Ganze)
Anfangswert (Das Geb anis) nze)
Beispiel: Von welchem Betrag sind 4
5 32 €:
⋅ ⋅
→ →
4 545 32 € 32 €x € 40 €
Gesucht ist der Bruchoperator:
⋅
→
→ →
Bruchoperator
: Nenner Zähler
3.) Anfangswert (Das Ganze) Endwert (Ergebnis)
Anfangswert ( ZwiscDas Ganze) Endwert (Erghenwert ebnis)
Beispiel: Welcher Bruchteil sind 30 € von 45 €: ⋅
⋅
→ → →
2:3 2 345 € 30 € 45 €15 € 30 €
⋅3
4
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Das Ganze - Operator - Gegenoperator 1.) Bestimme jeweils den Wert des Platzhalters � . a.) 45 � j.) � 84 b.) � 63 k.) 64 � d.) 80 60 l.) � 100 e.) 56 � m.) 75 85 g.) � 144 n.) 12 � h.) 90 120 o.) 50 75 i.) 72 64 p.) � 66 2.) Bestimme den (Bruch-) Anteil; versuche jeweils den „besten Bruch“ zu finden: a.) 24 min von 60 min b.) 45 cm von 120 cm c.) 9 h von 39 h d.) 625 g von 800 g
3.) Selina hat von ihrem Opa 60 € zu Weihnachten erhalten. Davon spart sie 3
5 für die Skiferien.
a.) Wie viel Euro spart sie für die Skiferien? b.) Wie viel Euro bleiben ihr übrig? c.) Wie heißt der Bruchteil für die Euro, die ihr übrig bleiben?
4.) Landwirt Pflüger besitzt 18 ha Wald. Das sind 2
5 seiner gesamten Nutzfläche.
a.) Über wie viel Hektar Nutzfläche verfügt Landwirt Pflüger insgesamt? b.) Wie viel m2 sind das?
c.) Auf 4
9 seiner Nutzfläche pflanzt Landwirt Pflüger Kartoffeln an. Wie viel Hektar und wie viel m2
sind das?
5
9⋅ 7
12⋅
9
11⋅ 7
8⋅
⋅ 5
7⋅
7
8⋅ ⋅
12
17⋅ 5
4⋅
⋅ ⋅
⋅ 11
12⋅
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3
5
Das Ganze - Operator – Gegenoperator (Lösungen) 1.) Bestimme jeweils den Wert des Platzhalters � . a.) 45 25 j.) 144 84 b.) 77 63 k.) 64 56 d.) 80 60 l.) 140 100 e.) 56 49 m.) 75 85 g.) 204 144 n.) 12 15 h.) 90 120 o.) 50 75 i.) 72 64 p.) 72 66 2.) Bestimme den (Bruch-) Anteil; versuche jeweils den „besten Bruch“ zu finden: a.) 24 min von 60 min b.) 45 cm von 120 cm c.) 9 h von 39 h d.) 625 g von 800 g zu 3.)
:5 3
:5 2
3a.) von 60 € : 60 € 12 €
5
b.) 60 € 36 €
c.) 24 € von 60
36 €
€ :
24 €
2
560 € 12 € 36 €
⋅
⋅
→ →
− =
→ →
zu 4.)
:5 2
5 :
:9 4
2
2
a.) 18 ha
9 ha 18 ha
b.
45 ha
450.000) 45 ha
c.) 4
m
5 ha 5 h 20 haa
⋅
⋅
⋅
→ →
← ←
=
→ →
5
9⋅ 7
12⋅
9
11⋅ 7
8⋅
3
4⋅ 5
7⋅
7
8⋅
17
15⋅
12
17⋅ 5
4⋅
4
3⋅ 3
2⋅
8
9⋅ 11
12⋅
2
5⋅ 3
8⋅
3
13⋅ 25
32⋅
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Gleichheit von Brüchen (Erweitern und Kürzen) Aufgabe 1:
Zeichne 3 Rechtecke mit jeweils 3 cm Länge und 1 cm Breite. Vergleiche dann die Brüche 2 4 8
; und3 6 12
mit
Hilfe dieser Rechtecke. Was stellst du fest?
Aufgabe 2:
Anke hat zum Geburtstag 75 € bekommen. Vergleiche die Brüche 2 6 10
; und5 15 25
.
:5 2
:15 6
:25 10
2von 75 € : 75 € 15 € 30 €
5
6von 75 € : 75 € 5 € 30 €
15
10von 75 € : 75 € 3 € 30
2von 75 € 30 €
5
6von 75 € 30 €
15
10von 75 €€
52530 €
2
⋅
⋅
⋅
→ →
→ →
→ → =
=
=
MERKE:
Die Brüche 2 4 8
; und3 6 12
(Aufgabe 1) und die Brüche 2 6 10
; und5 15 25
(Aufgabe 2) sind wertgleich, da sie bei
Anwendung auf das Ganze (Rechteck, 75 €) das gleiche Ergebnis erzielen. Wie erhält man nun wertgleiche Brüche? Aufgabe:
Bilde 3 Brüche, die zu dem Bruch 3
5 wertgleich sind.
Erweiterungszahl 3 6
5 103 9
5 153 18
5 30
=
=
=
Erweitern eines Bruches! (mit den Zahlen 2, 3 und 6)
2
3
4
6
8
12
2
3
6
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MERKE: Man erhält wertgleiche Brüche, in dem man Zähler und Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl (Erweite-rungszahl) multipliziert. Diesen Vorgang nennt man Erweitern von Brüchen. Man kann durch das Erweitern unendlich viele wertgleiche Brüche herstellen. Aufgabe:
Bilde 3 Brüche, die zu dem Bruch 18
24 wertgleich sind.
18 9
24 1218 6
24 818 3
24 4
=
=
=
Kürzen eines Bruches! (mit den Zahlen 2, 3 und 6)
Kürzungszahl
Welche Bedeutung besitzt dabei der Bruch 3
4?
18 9 3
24 12 4= =
3
4 ist der letzte Bruch in der Kürzungskette. Man bezeichnet
3
4 als die Grunddarstellung
des Bruches 18
24.
MERKE: Man erhält wertgleiche Brüche, in dem man Zähler und Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl (Kürzungs-zahl) dividiert. Diesen Vorgang nennt man Kürzen von Brüchen. Ein Bruch, der sich nicht mehr kürzen lässt, bezeichnet man als Stammbruch oder die Grunddarstellung des Bruches.
2
3
6
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Grundaufgaben zum Erweitern
1.) Erweitere den Bruch 5
8 nacheinander mit den Erweiterungszahlen 4, 7, 9, 25, 36:
5 5 5 5 5
8 8 8 8 8= = = = =
2.) Erweitere die Brüche 3 5 1 6 15
; ; ; ;4 8 10 5 20
so, dass a.) der Nenner 40 ist; b.) der Zähler 30 ist.
Gib jeweils die Erweiterungszahl über dem Gleichheitszeichen (=) an!
a.) Nenner 40: 3 5 1 6 15
4 8 10 5 20= = = = =
b.) Zähler 30: 3 5 1 6 15
4 8 10 5 20= = = = =
3.) Setze für die passende Zahl ein. Gib auch die Erweiterungszahl über dem Gleichheitszeichen an:
5 3 18 25 11 33
a.) b.) c.) d.)9 45 5 7 35 51
3e.)
5 10 20 40 200
= = = =
= = = =
4.) Erweitere die Brüche so, dass sie dann (1) einen gemeinsamen Nenner haben; (2) einen gemein-samen Zähler haben:
(1) gemeinsamer Nenner:
3 7 3 4 5 3 1a.) ; b.) ; c.) ; ;
5 10 4 5 6 8 12
(2) gemeinsamer Zähler:
3 7 3 4 5 3 1
a.) ; b.) ; c.) ; ;5 10 4 5 6 8 12
5.) Erweitere die Brüche; sie sollen einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner haben:
2 3 5 1 5 11 4a.) ; ; b.) ; ; ;
3 4 6 4 8 6 3
4 7 3 2 17 7 3 3 19c.) ; ; ; d.) ; ; ; ;
9 15 5 3 20 10 15 4 30
!! Wenn du alle Aufgaben gelöst hast, klebe bitte dieses Arbeitsblatt in dein Merkheft ein !!
4 9 7 25 36
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Grundaufgaben zum Kürzen
1.) Kürze den Bruch 72
96 nacheinander mit den Kürzungszahlen 3, 4, 8, 12, 24:
72 72 72 72 72
96 96 96 96 96= = = = =
2.) Kürze die Brüche 12 24 60 64 140
; ; ; ;18 30 80 72 210
schrittweise bis zur Grunddarstellung (Stammbruch):
Gib jeweils die Kürzungszahl unter dem Gleichheitszeichen (=) an!
a.) 12
Grunddarstellung :18
=
b.) 24
Grunddarstellung :30
=
c.) 60
Grunddarstellung :80
=
d.) 64
Grunddarstellung :72
=
e.) 140
Grunddarstellung :210
=
3.) Setze für die passende Zahl ein. Gib auch die Kürzungszahl unter dem Gleichheitszeichen an:
25 18 3 25 11 33a.) b.) c.) d.)
45 9 30 7 35 51= = = =
4.) Kürze schrittweise bis zur Grunddarstellung:
36 18a.) b.)
45 30
48 32c.) d.)
80 48
96 42e.) f.)
120 30
84 90g.) h.)
112 135
120 180i.) j.)
200 720
= =
= =
= =
= =
= =
!! Wenn du alle Aufgaben gelöst hast, klebe bitte dieses Arbeitsblatt in dein Merkheft ein !!
3 8 4 12 24
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Ordnen von Brüchen Aufgabe: Zeichne 4-mal eine Strecke von 6 cm.
a.) Färbe 5 7
und12 12
der Strecke. (Die Brüche besitzen den gleichen Nenner!)
b.) Färbe 5 5
und12 6
der Strecke. (Die Brüche besitzen den gleichen Zähler!)
zu a.)
zu b.)
MERKE Bruchzahlen lassen sich leicht der Größe nach vergleichen, wenn sie a.) gleiche Nenner oder b.) gleiche Zähler besitzen: a.) Haben 2 Brüche den gleichen Nenner, so ist derjenige kleiner (größer), der den kleineren (größeren)
Zähler besitzt. b.) Haben 2 Brüche den gleichen Zähler, so ist derjenige kleiner (größer), der den größeren (kleineren)
Nenner besitzt. Aufgabe: Ordne folgende Brüche nach der Größe. Beginne mit dem kleinsten Bruch. 5 7 3 1 2 3 7
; ; ; ; ; ;8 8 10 4 5 4 10
Möglichkeit 1: Man wendet alle Brüche auf eine Einheit an, z.B. 1 km = 1000 m:
:8 5 :8 7
:10 3 :4 1
:5 2 :4 3
:
5 7km 1000 m 125 m km 1000 m 125 m
8 83 1
km 1000 m 100 m km 1000 m 250 m10 42 3
km 1000
(4) (7)
(2) (1)
(3) (6)m 200 m km 1000 m 250 m5 47
km 1000 m1
625 m 875 m
300 m 250 m
400 m 750
0
m
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= → → = → →
= → → = → →
= → → = → →
=10 7100 m 70 m( )0 5⋅
→ →
Man erkennt: 5 7
denn12
712
5< <
Man erkennt: Zwölftel5 5
de Senn12
ch6
stel< <
Seite 24 von 26
Möglichkeit 2: Man versucht, alle Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, um dann die Zähler vergleichen zu können:
25 35 12 10 16 30 28
40 40 40 40 40 40 4010 12 16 25 28 30 35
40 40 40 40 4
5 7 3 1 2 3 7
8 8 10 4 5 4 10
1 3 2 5 7 3 7
4 10
0 40 4
5 8 10 4 8
0< < < < <
< < < < <
<
<
MERKE: Um Brüche, die verschiedene Nenner besitzen, in ihrer Größe vergleichen zu können, erweitert man sie auf einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner und vergleicht dann die Zähler. Den Vorgang, Brüche auf einen gleichen Nenner zu bringen, bezeichnet man als „Brüche gleichnamig ma-chen“.
Brüche auf dem Zahlenstrahl Aufgabe: Entwicklung eines Zahlenstrahles, an dem man auch die Position von einigen Brüchen erkennen kann:
0 1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8 1
9
8
10
8
11
8
12
8
13
8
14
8
15
8 2
1
4
1
2
3
4
5
4
3
2
7
4
1
14
1
12
3
14
Zwischen 0 und 1 befinden Hinter der 1 liegen alle unechten sich alle echten Brüche Brüche und gemischten Brüche MERKE: 1.) Alle echten Brüche liegen zwischen 0 und 1 auf dem Zahlenstrahl. 2.) Alle unechten und gemischten Brüche liegen hinter der 1 auf dem Zahlenstrahl. 3.) Alle Scheinbrüche liegen an der Stelle der natürlichern Zahlen.
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Anordnung der Brüche auf dem Zahlenstrahl Welche Brüche werden durch die Pfeile am Zahlenstrahl dargestellt? Notiere für jeden Buchstaben den entsprechenden Bruch in der GRUNDDARSTELLUNG oder als GEMISCHTEN BRUCH. 1.) 0 1
A B C D E F G H 2.) 0 1
A B C D E F G H 3.) 0 1
A B C D E F G H 4.) 0 1
A B C D E F G H 5.) 0 1
A B C D E F G H 6.) 0 2
A B C D E F G H 7.) 0 2
A B C D E F G H 8.) 0 ½
A B C D E F G H
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Anordnung der Brüche auf dem Zahlenstrahl (Lösungen)
zu 1.)
1 7 3 17A B C D
5 20 5 203 1 3 5 1 15 3
E 1 1 F 1 G 1 1 H 1 120 4 10 10 2 20 4
= = = =
= = = = = = =
zu 2.)
2 1 7 12 5A B C 1 D 1
6 3 12 12 1211 1 3 1 11
E 1 F 2 G 2 2 H 212 6 6 2 12
= = = = = =
= = = = =
zu 3.)
2 1 7 6 3 1A B C D 1
8 4 16 8 4 167 5 7 3
E 1 F 1 G 1 H 216 8 8 16
= = = = = =
= = = =
zu 4.)
2 1 7 6 1 17A B C D
12 6 24 12 2 2423 1 3 1 11
E F 1 G 1 1 H 124 12 12 4 24
= = = = = =
= = = = =
zu 5.)
2 1 7 6 3 17A B C D
16 8 32 16 8 3223 13 15 3
E F G H 132 16 16 32
= = = = = =
= = = =
zu 6.)
2 7 1 7A B C 1 D 1
5 10 5 103 3 5 1
E 2 F 2 G 3 H 3 310 5 10 2
= = = =
= = = = =
zu 7.)
2 7 6 2 17A B C D
9 18 9 3 185 4 6 2 17
E 1 F 1 G 1 1 H 118 9 9 3 18
= = = = =
= = = = =
zu 8.)
2 1 7 1 6 3 17A B C D
14 7 28 4 14 7 2823 13 1 7 1
E F G 1 H 1 128 14 14 28 4
= = = = = = =
= = = = =