breno mecanica racional

Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Baha Blanca

Ingeniera Mecnica

Ingeniera Mecnica Mecnica Racional Breno Alejandro

1

Mecnica Racional

Ejercicio de Mecnica Vectorial y

Analtica

Profesor

Dr. Ercoli Liberto

Alumno

Breno Alejandro

Ao

2012


Ingeniera Mecnica


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Ejercicio N 1

Mecnica Vectorial

Cinemtica y cintica del cuerpo rgido:

El soporte inclinado C gira con velocidad angular respecto al soporte fijo A y con respecto al

soporte B. Sobre l gira el disco M con una velocidad angular . Ver figura 1. a.

Figura 1.1. a) Representacin grfica del sistema y nomenclatura. b) Imagen del sistema.

Datos:

e: espesor del disco = 20 mm ; R: radio del disco = 75 mm ; M: masa del disco = 1000 g

; ; ; ; ;


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El marco de referencia ofrecido por el vnculo A es absoluto, mientras que el representado por el

sistema coordenado {G, X, Y, Z} es mvil y est animado de las rotaciones y .

Calcular:

1. Invariantes y tipo de movimiento del disco M.

2. Velocidad de un punto D genrico de la periferia de M.

3. Aceleracin angular del disco.

4. Aceleracin del punto D.

5. Energa cintica de M.

6. Encontrar los valores de los incisos precedentes en el caso que .

7. Momento cintico en .

8. Momento dinmico en .

Ayuda:

Utilizar los conceptos cinemticos del movimiento absoluto, tomando como centro de reduccin.

Desarrollo:

1. Invariante y tipo de movimiento

Invariante vectorial

As se le llama al vector rotacin , resultante de todas las rotaciones que afectan al sistema,

debido a que no se ve afectado sea cual sea el punto de reduccin elegido.

Para este ejercicio,

Expresndolo respecto a la terna mvil:

( ) ( ) [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Invariante escalar

Se le denomina a la constante que surge de proyectar los vectores velocidad de un sistema material

rgido sobre la direccin del vector rotacin.


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siendo la velocidad de cualquier punto del cuerpo.

Tomaremos como centro de reduccin al punto dado que conocemos a priori su velocidad ya que

ninguna rotacin le imprime velocidad.

Ya que es:

Dado que es una solucin arbitraria, tomaremos para el clculo tambin un punto con velocidad no

nula, el punto D, por ejemplo.

[ ]

Luego queda demostrado que:

Tipo de movimiento.

Los invariantes vectorial y escalar definen el tipo de movimiento. Con el invariante escalar

existen dos posibilidades:

con movimiento de rotacin con punto perteneciente al eje de rotacin, el

considerado para el clculo, en este caso el .

con movimiento de rotacin instantnea.

Luego, el movimiento resultante es una rotacin pero con un solo punto fijo que es el . Esto da

lugar a una Rotacin instantnea.


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Figura 1.2.

2. Velocidad de un punto D genrico de la periferia de M

Sea el ngulo que forma respecto al eje para poder indicar la posicin del punto genrico D.

Ver figura 1.2.

( ) [ ]

3. Aceleracin angular del disco.

Se obtiene derivando el vector velocidad angular del disco respecto al tiempo.

( )

Debido a que el vector velocidad angular est referido a la terna mvil, es decir que las direcciones

de los ejes coordenados de la terna son funciones del tiempo y deben ser derivadas, es que se

recurre a unas expresiones llamadas frmulas de Poisson. Estas permiten expresar a las derivadas de


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los versores en funcin de un sencillo producto vectorial entre la velocidad angular impuesta a la

terna mvil y el mismo versor.

Luego tenemos:

( ) ( ) ( )

siendo la velocidad angular impuesta a la terna mvil {G, X, Y, Z}, es decir:

[ ]

Luego:

( ) ( )

[ ]

4. Aceleracin del punto D.

[ ]

5. Energa cintica de M.

Para ello utilizamos la expresin:

El primer sumando, , es la energa cintica de arrastre o traslacin y es la que tendra el sistema en

el supuesto de que toda la masa estuviera concentrada en el centro de reduccin.

El segundo sumando, , es la energa cintica relativa o de rotacin y est originada por el

movimiento relativo de cada punto respecto al del centro de reduccin.


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El tercer sumando, , es la energa cintica que depende del centro de reduccin llamada fuerza

viva compuesta. En este caso es nula debido a que tomamos como centro de reduccin al baricentro,

es decir:

Luego:

( ) ( )

[ ]

| | [ ]

[ ]

Momentos de inercia del disco M.

( )

[ ]

[ ]

El momento de inercia del disco respecto al eje se obtiene por:

siendo los cosenos directores entre el eje y los ejes y respectivamente. En la

figura se muestra el ngulo , el cual est comprendido entre el eje y el eje , en el plano YZ.

( )

( ) ( )

( )

Luego:


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[ ]

La energa cintica queda:

[ ]

6. Incisos precedentes con y .

Para ello se utiliza un nuevo sistema coordenado { } el cual gira con . Figura 1.3.

Las velocidades angulares respecto a la terna mvil nueva son:

[ ]

[ ]

[ ]

Entonces, la velocidad angular con el sistema cambiado queda:

[ ]

Velocidad del punto D


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[ ]

Aceleracin angular del disco.

( )

Luego se tiene que:

( ) ( )

Se recuerda que es la velocidad angular impuesta a la nueva terna mvil.

Luego:

[ ]

Aceleracin del punto D.

[ ]

Energa cintica de M.

Volvemos a utilizar la expresin:

Dado que:

Luego:


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[ ]

| | [ ]

[ ]

Los momentos de inercia del disco M eran:

( )

[ ]

[ ]

El momento de inercia del disco respecto al eje se obtiene por:

siendo los cosenos directores entre el eje y los ejes y respectivamente.

En la figura se muestra el ngulo , el cual est comprendido entre el eje y el eje , en el plano

.

( )

( ) ( )

( )

Luego:

[ ]

La energa cintica queda:

[ ]


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7. Momento cintico en .

[ ]

[

] [

] [

]

( ) ( )

[ ]

8. Momento dinmico en .

Para obtener el Momento dinmico o Momento de todas las fuerzas exteriores respecto del centro

de momento , se parte de la ecuacin de Euler, esta es:

En el primer sumando, la derivada es cero dado que es respecto a la terna relativa. No sera nula si la

terna no fuese mvil.

En el trmino siguiente, se recuerda que la velocidad angular es la de la terna mvil, es decir , ya

calculada en el inciso 3.

En el tercer sumando, ya que el punto de reduccin no tiene velocidad: , el producto

vectorial tambin es nulo.

Luego queda que:

( )

[ ]


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Ejercicio N 2

Mecnica Analtica

Obtencin de la ecuacin rectora del movimiento del siguiente sistema. Ver figura 2.

Figura 2. Vista lateral del sistema y nomenclatura.

Desarrollo:

Primero se eligen las coordenadas generalizadas. En este caso son:

Como segundo paso se deben obtener las fuerzas generalizadas. Para ello utilizamos:


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en donde es el vector posicin en donde la fuerza se aplica; y es la velocidad

angular del sistema con respecto al eje a lo largo del cual se aplica el momento.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Ya calculadas ambas fuerzas generalizadas , proseguimos por determinar la energa cintica

, la potencial y la funcin de disipacin del sistema.

[( ) ] ( )

[ ( ) ( ) ]

[ ]

( )

( )

( )


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Aplicamos las Ecuaciones de Lagrange de movimiento:

(

)

Calculamos:

( )

(

) ( )

(

)

Por ltimo, las ecuaciones rectoras del movimiento son:

( ) ( )

( ) ( )


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Para Ambos ejercicios utilizamos

Software

Microsoft Word

Solid Edge Academic V17

AutoCad 2009 Versin acadmica

Libros de consulta

Monografa de la ctedra, Mecnica Racional, Profesor Ing. Liberto Ercoli, 2006

Mecnica Vectorial para Ingenieros, Dinmica, Octava Edicin, Ferdinand P. Beer E. Russell

Johnston Jr. William E. Clausen, Mc. Graw Hill

Anlisis Dinmicos de los Sistemas Mecnicos, 2da Edicin, Luciano Chiang S., Alfaomega

Mecnica Analtica. Spagnolo Zubcov, Nueva Librera, Primera Edicin 2002

Vibraciones, Balakumar Balachandran - Edward B. Magrab, Cengage Learning Editores S.A

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