8/14/2019 bonifacio 1993 0448

1/5

NUCLEARI NSTRUMENTS

Nu c l e a rI n s t r u m e n t sa n d Me t h o d si nP hy s i c sR e s e a r c hA 3 4 1 ( 1 9 9 4 )1 8 1 - 1 8 5 & MET HODSNo r t h - Ho l l a n d I NPHYSI CS

RESEARCHSe c t i o nA

A s t u d yo f l i n e w i d t h ,n o i s ea n df l u c t u a t i o n si n a FEL o p e r a t i n gi nSASER . B o n i f a c i oa , L . De S a l v oa , P . P i e r i n ia ,* , N . P i v v e l l aa , C . P e l l e g r i n ib D c p a r t t m e n t od i F i s c c ad e l l ' U m v e r s t t ad i Mi l a n o , V i aC e l o r i a1 6 ,2 0 1 3 3Mi l a n o ,I t a l y6 C e n t e rf o rAdvanc edAc c e l e r a t o rP hy s i c s ,UCLA, 4 0 5Hd g a r dAv e n u e ,L o sA n g e l e s ,CA 9 0 0 2 4 ,USA

We s t u d yt h e e v o l u t i o n o f t h eFEL r a d i a t i o ni n t e n s i t ya n d s p e c t r u ms t a r t i n gf r o mn o i s ei n t h ee l e c t r o nb e aml o n g i t u d i n ad i s t r i b u t i o n. Du e t o t h es l i p p a g eb o t ht h e t i mea n df r e q u e n c ys t r u c t u r eo f t h ee m i t t e dr a d i a t i o np u l s es h o wa v e r yd i f f e r e n t

b e h av i o rwhent h eb u n c hl e n g t hi smuchl o n g e rt h a no r o ft h eo r d e ro ft h ec o o p e r a t i o nl e n g t hh

.

Th eo c c u r r e n c eo fs u p e r r a d t a n ts p i k e si sd i s c u s s e d. We p r e s e n ta n a l y t i c a la n dn u me r i c a lr e s u l t s.

1 . I n t r o d u c t i o n

I n t h i sp a p e rwe s t u d yt h ee v o l u t i o no f t h e r a d i a t i o ni n t e n s i t ya nd t h es p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c so f a h i g h g a i nF r e e E l e c t r o nL a s e r ( F EL ) o p e r a t i n gi n t h e S e l f -A m p l i f i e dSp o n t a n e o u sE mi s s i o n( SASE) mod e [ 1 ] ,i. e.s t a r t i n gf r o mn o i s ei n t h ei n i t i a le l e c t r o nb e am l o n g i t u -d i n a ld e n s i t y d i s t r i b u t i o n. T h i sp r ob l em i s i m p o r t a n tf o r t h ed e v e l o pme n to f XUV FELs, s u c ha s t h eS o f t

X- Ra y FEL p r o p o s e dr e c e n t l yb y a SLAC- UCLA-L BL - L L NL c o l l a b o r a t i o n[ 2 ]. I n f a c tt h i s e v o l u t i o nd e t e r m i n e s t h eu n d u l a t o rl e n g t hn e e d e dt o r e a c hs a t u -r a t i o n ,a nd a l s ot h ec ha r a c t e r i s t i c s p e c t r a lw i d t h , i n t e n -s i t y a nd i n t e n s i t yf l u c t u a t i o n s. T h e s e a r e i mp o r t a n tp a r a m e t e r s ,d e t e r m i n i n gt h e p o s s i b i l i t yo f u s i n gt h eFEL i n a n ew w a v e l e n g t hr e g i o n ,f o re x p e r i me n t s s u c ha s s i n g l es h o tX - r a yi ma g i n go f b i o l o g i c a ls a mp l e s.

T h e FEL s t a r t u pf r o mn o i s eh as b ee ns t u d i e db e -f o r e[ 3 - 6 ]e i t h e rn eg l e c t i n g s l i p p a g eo r i n t h el i mi to fi n f i n i t e l yl o n gbunch e s . He r e we g e n e r a l i z et h e oned i me n s i o n a l t h e o r yt o i n c l u d e" s h o r t "a nd " l o n g "b u n c h e se f f e c t s ,i n t r o d u c i n ga s t h e i mp o r t a n tp a r ame -t e rt h eb u n c h l e n g t hmea s u r e d i n u n i t so f t h ec o o p e r a -t i o n l e n g t h ,l c .

T h e p r ob l emi s s t u d i e da n a l y t i c a l l ya nd n u m e r i c a l l y.I n s e c t i o n2 we p r e s e n tt h ea n a l y t i c a lmo d e l ,d e s c r i b i n gt h es y s t e mi n t h ee x p o n e n t i a lg r o wt h r e g i m e. I n s e c t i o n3 we u s e a n u me r i c a ls i m u l a t i o nmodel t o c omp a r ew i t ht h ea n a l y t i c a lmod el a nd e x t e n di t s r e s u l t st o t h es a t u r a t i o nr e g i me. I n t h e n u me r i c a lc o d et h e b e amn o i s ei s i n t r o d u c e da s s i g n i n ga r a nd omGa u s s i a nd i s t r i -b u t i o nt o t h e i n i t i a ll o n g i t u d i n a l e l e c t r o n p o s i t i o n[ 7 ].I n s e c t i o n4 we d i s c u s st h es h o tt o s h o tf l u c t u a t i o n si nt h e e mi t t e dp owe r a nds a t u r a t i o n l e n g t h.

* Co r r e s p o n d i n ga u t h o r.

T h e p r ob l em u nd er s t u d yi s c h a r a c t e r i z e db y t h ee x i s t e n c eo f s e v e r a lc h a r a c t e r i s t i c ss c a l el e n g t h s: t h ee l e c t r o nb u n c h l e n g t h ,t h eg a i n l e n g t ha nd t h ec o o p e r -a t i o nl e n g t h. An i m p o r t a n tp a r a me t e rd e t e r m i n i n gt h ee v o l u t i o n o ft h es y s t e mi s t h er a t i oo f t h eb u n c h l e n g t ht o t h e c o o p e r a t i o nl e n g t h. Wh en t h i sr a t i oi s l a r g e rt h a n2 - r r- l o n gb u n c h c a s e- we r e c o v e rt h er e s u l t so ft h ep r e v i o u sa u t h o r sf o rt h eu n d u l a t o rs a t u r a t i o nl e n g t ha n d l i n ew i d t h ,a n d we a l s oh a v enew r e s u l t s: t h e

e v a l u a t i o no f t h es a t u r a t i o nl e n g t hf l u c t u a t i o n sa n d t h ei n t e n s i t yf l u c t u a t i o n s ,a s w e l la s t h es t u d yo f t h e t e m-p o r a la nd f r e q u e n c ys t r u c t u r eo f t h e FEL r a d i a t i o np u l s e. I n p a r t i c u l a rwe s h o w t h a t a l t h o u g ht h e l i n ew i d t ha t s a t u r a t i o ni s o f t h eo r d e ro f t h eFEL p a r ame -t e r , p , o r t h e i n v e r s e o ft h e nu mbe r o f u n d u l a t o rp e r i o d s[ 3 , 5 ]t h er a d i a t i o np u l s ec o n t a i n sma ny s p i k e s ,e a c h one h a v i n ga d u r a t i o nc o r r e s p o n d i n gt o a b o u t2 ,r r l , ,a nd w i t hl a r g ei n t e n s i t yf l u c t u a t i o n s. I f t h er a t i oo f t h eb u n c h l e n g t ht o t h ec o o p e r a t i o nl e n g t hi s s m a l l e rt h a n2 , r - s h o r tb u n c h c a s e- t h e s a t u r a t i o n l e n gt e n d st o b e s omewha t l o n g e rt h a ni n t h el o n gb u n c hc a s e. One s i n g l er a d i a t i o np u l s ei s p r e s e n ti n t h i sc a s e ,w i t hn o i n n e rs p i k e s. T h e f l u c t u a t i o nl e v e l sa r emuchl a r g e rt h a ni n t h el o n gb u n c h c a s e. I n b o t hc a s e sonec a n o b s e r v es u p e r r a d i a n tb e h a v i o rf o r s u f f i c i e n t l yl o n gu n d u l a t o r s.

2. A n a l y t i c a lmod el

We c on s i d e r h e r et h eone d i me n s i o n a ll i n e a rmodeli n t h eu n i v e r s a ls c a l i n go f r e f. [ 8 ]:

a A a A-+- =b +i 6 A ; =i A .

a2b

_ 6 Z

8/14/2019 bonifacio 1993 0448

2/5

8/14/2019 bonifacio 1993 0448

3/5

As d i s c u s s e dp r e v i o u s l y , t h eGr e e n f u n c t i o n1 6 1 2

h a sa b a nd wi d t hAk = 1 / 1 wh e r e a st h en o i s ep o w e r ,p r o po r t i o n a l t o( Ib o 1 2) , i s a s u p e r p o s i t i o n o fr a n d o ms p i k e sw i t ha b a n dwi d t ht 1k a 1 / lb o v e ra r a n g eo ff r e q u e n c i e se q u a lt o t h er e c i p r o c a lo f t h en o i s ec o r r e -l a t i o nl e n g t h ,wh i c hi s t h er a d i a t i o nwa v e l e n g t hA.

I n t h eh i g h g a i nl o n g - b u n c hr e g i m e ,I b > >2 , , r 1 h e

b an dwi t ho f t h eGr e e n f u n c t i o n c o n t a i n sma n y r a n d oms p i k e s ,s o t h a twe c a n a s s ume i n Eq . ( 5 ) ( I b 2 )2 p lb/ NA:

1EL ( z ) _

3 4 Tr ~ z N

wh e r e N, = N , , ( l , / A )i s t h e numbe r o f e l e c t r o n si n ac o o p e r a t i o nl e n g t h1 ,. E x p r e s s i o n( 6 ) a g r e e sw i t ht h er e s u l t sd e r i v e dp r e v i o u s l y[ 3 , 4 ]f o rc o n t i n u o u se l e c t r o nb e ams. S i n c ebo( z , ) c an b et h o u g h t ,i n t h el o n gb u n c hc a s e ,a s a s u mo f r a n d omd e l t af u n c t i o n sa nd G( z ,z 1)h a s a t e m p o r a lw i d t ho f t h e o r d e ro f 2 T r 1 Eq . ( 4 )s t a t e st h a t t h e t e m p o r a ls t r u c t u r eo f t h e r a d i a t i o n

p u l s ei s a r a n d o ms u p e r p o s i t i o n o fmany s p i k e s ,e a c ho n e h a v i n ga d u r a t i o n2 T r l ,. T h e s e r e s u l t sa r e o b t a i n e da l s o f r o mt h e n ume r i c a l mo d e l ,a s s h ow n i n F i g s. lba n d l c.

Co n v e r s e l y ,i n t h es h o r tb u n c h c a s e ,lb < 2 T r l o n l yo n e s p i k el i e su n d e r t h e g a i nb a nd wi d t h ,a n d we c a na s s ume( I b o 1 2) = l b / NA, l e a d i n gt o

lELM 6 e v z.

3 4 T r _ z N

t h = s e , t h = z o t ~ e b= s o ~

R. Bo ni f a c oe t a l. / Nu c l. I n s t ra n d Me t h.

We n o t et h a t i n t h i sc a s e t h e n o i s es t a r t u pp owe r i sm o d i f i e db y a f a c t o rlb/ A w i t hr e s p e c tt o t h e l o n gb u n c hc a s e. S i n c ei n t h es h o r tb u n c h c a s ebo( z1) h a sa

t e m p o r a lwi d t h c omp ar a b l et o o r s h o r t e rt h a n t h ewi d t ho f G( z , z t ) , i t f o l l o w sf r o mEq . ( 4 )t h a t a s i n g l es u p e r r a d i a n t p u l s ei s e m i t t e d ,a s c a n b e o b s e r v e di nF i g. l a.

Fr o mEq s . ( 6 )a n d ( 7 )i t i s p o s s i b l et o e v a l u a t et h es a t u r a t i o nl e n g t h. S i n c e ,i n t h e l o n gb u n c h c a s e , t h e

F i g. 1. R e s u l t so f t h e i n t e g r a t i o n o f t h en u me r i c a lm o d e l:t e m p o r a ls t r u c t u r eo f t h er a d i a t e dp u l s e ,iA

1 2 v s. z r, a t t h ef i r s ts a t u r a t i o n ,f o rt h r e e v a l u e so f t h ee l e c t r o nb u n c hl e n g t h ,a t z = 1 4 1 ,a n df o r( I bo12) =1 0 - 6: ( a ) Ib = 5 1 ,; ( b )lb = 2 0 1 ,;( c ) 1 1 ,= 5 0 1c. Th e t e m p o r a ls c a l ei s i n u n i t so f z ,= ( z -

V1101 1' .

i nPh y s. R e s.A 3 4 1( 1 9 9 4 )1 8 1 - 1 8 5 1 8 3

EL

z

F i g. 2. L o n g b u n c hc a s e ,In= 1 0 0 1 ,. Av e r a g ee mi t t e dp o w e ra sa f u n c t i o n o f t h ed i m en s i o n l e s sd i s t a n c ea l o n gt h ew i g g l e r ,

z = z / 1g, s h o wi n gt h ef i r s ta n ds e c o n ds a t u r a t i o n v a l u e s.

s c a l e dp owe r E L a t t h e u s u a l s t e a d y - s t a t es a t u r a t i o nr e a c h e sa v a l u ec l o s et o o n e , i . e. P a , ,~ p Pb e a mf o rN , = 1 / p ,o r , i ns c a l e du n i t s ,f o r z = 4 r r ,f r o mEq . ( 6 )we c a n e v a l u a t et h e s a t u r a t i o nl e n g t ha s z s =( 1 / C) I n [1 2 T r 31/ 4N, ] = 2 . 2 5+ ( 1 /V) I n N, ,. T h i se s t i m a t ei s i ng o o d a g r e eme n tw i t ht h es i m u l a t i o n s ,a si t w i l lb e d i s c u s s e di n t h ef o l l o w i n g( s e eF i g. 2 ).

I n t h e s h o r tb u n c h l i m i t( lb < 1 , ) , i t i s p o s s i b l e

t o d e m o n s t r a t e[ 9 ] t h a t , a ts a t u r a t i o n ,P a v e= P P b e a mI b/ 1c a n e /2. T h i sc a nb e s h ow n a n a l y t i c a l l yf r o mt h e

s u p e r r a d i a n ts e l f - s i m i l a rs o l u t i o n ,p r e v i o u s l y d es c r i b e d ,a n d b y t h e f o l l o w i n gi n t u i t i v ea r g ume n t: t h e a v e r a g ep owe r i s g i v e na p p r o x i m a t e l yb y t h e p r o d u c to f t h ep e a k p o w e r ,IA 1 2a ( lb/ 1 ,) 2, a n d t h e w i d t h ,Oz , a( l , / l b ) 1 / 2 ,d i v i d e db y t h es c a l e db u n c h l e n g t h1 60 ot h a t E L = l b / l e. Fr o m Eq . ( 7 ) a n d i mp o s i n gt h a t

EL = P a v e / p p b e a m= l b / l c wev r3 ) I n [ N A ( l , / l b ) t / 2 ].

I n t h el o n gb u n c h c as e , a f t e rt h eu s u a ls t e a d y - s t a t es a t u r a t i o n( EL = 1 ) , t h e a v e r a g ep owe r c o n t i n u e st oi n c r e a s e( s e eF i g. 2 ) d u e t o t h eg r o w t ho f t h es u p e r r a -

d i a n ts p i k e se m i t t e db y t h e e l e c t r o nb u n c h ,u p t o as e c o n ds a t u r a t i o nv a l u e. T h i ss e c o n ds a t u r a t i o nv a l u es c a l e sa s n/ 2, s i n c et h ep e a ki n t e n s i t yo f t h es p i k e si sp r o p o r t i o n a lt o n 2 a n d t h e i rt i me d u r a t i o ni s p r o p o r -t i o n a l t o1 / ne [ 9 ].

3 . Nume r i c a ls i mu l a t i o n s

h a v e z = 1. 6 2+ ( 1 /

We h a v eu s e d t h e 1D t i m ed e p e n d e n t n u me r i c a lmode l p r e v i o u s l yemp l o y e d f o rt h es t u d yo f t h es u p e r -r a d i a n td y n a mi c so f t h e f r e ee l e c t r o nl a s e r( s e e r e f.[ 1 1 1 ). I n t h e s i mu l a t i o n s ,t h e s l i p p ag eb e t we e n t h ee l e c t r o nb u n c h a n d t h e r a d i a t i o np u l s ei s p r o p e r l y

t a k e ni n t oa c c o u n t. Th e e l e c t r o nb e a mi s " s a mp l e d "a te a c hr a d i a t i o nwa v e l e n g t h ,wh e r e t h es h o tn o i s ei n t h ee l e c t r o np h a s e si s g e n e r a t e d t h r o u g ha s i m p l ea l g o -r i t h m. Th e s i m u l a t i o ne l e c t r o n sa r e f i r s ts p a c e du n i -f o r m l ya l o n gt h er a d i a t i o nwa v e l e n g t h ,t h e nt h e i rp o s i -t i o n i s p e r t u r b e db y a s ma l l r a n d om amo u n t ,d i s -t r i b u t e dw i t ha Ga u s s i a np r o b a b i l i t yo f w i d t hd [ 7 , 1 2 ].Th e p a r a me t e r4 i sd e t e r mi n e db y t h er e q u i r e me n to n

I V. THEORY

8/14/2019 bonifacio 1993 0448

4/5

1 8 4

0ee= s c ~

6

WI Z4

2

0- 4 0 4 - 4 0 4 - 4 0 4

4 0

3 0

W1 ' 2 0

i o

0

R Bo ni f a c i oe t a l / Nu c l . I n s t r. a n d Me t h. in Phy s. Re s . A 3 41 ( 1 9 9 4)1 8 1 - 1 8 5

t b = 2 0 e~ e , = s 0 e ~1 0 0

6 0

6 0w i ,

4 0

F i g. 3 . Sp e c t r u mo f t h e r a d i a t e dp u l s e s ,f o r t h e s am e c a s e s o ff i g. 1 ; h er e a i = A( o / 2 p c o.

t h e i n i t i a la v e r a g e b un c h i n g a l o n g t h e e l e c t r o n be am,

( J b 0 1 2) . I mp o s i n gt h at ( ( b 01 2 ) = 11N, t h e p a r a me t e r

A t u r n s o u t t o b e A = n / N, , whe r e n i s t h e nu mber

o f s i mu l a t i o n el e c t r o n s i n e a c h r a d i a t i o nwa v e l e n g t h.

I n t h i s wa y i t i s p os s i b l e t o o bt a i n a " r e a l i s t i c " s h o t

n o i s e i n t h e e l e c t r o n p h a s e s wi t h a s ma l l nu mber o f

e l e c t r o n s.

We f i r s t c o n s i d e r t h e l o n g p ul s e l i mi t. I n t h e t i me

d oma i n , t h e n o i s y p a t t e r n o f t h e e l e c t r o n b un c h i n g

a l o n g t h e b e am l e a d s t o a s u pe r r a d i a n t s p i k i n g i n t h e

r a d i a t i o np ul s e . Th e i n i t i a li r r eg ul a r s p i k i n g , s e e d e d b y

n o n un i f o r mi t i e so n t h e s c a l e o f a r a di a t i o nwa v e l e n g t h ,

c l ea n s u p a n d t e n d s t o a mo r e r e gu l a r p at t e r n , wi t h t h e

o c c u r r e n c e o f o n e s p i k e e v er y 2 r r c o o pe r a t i o nl e ng t h s.

H e n c e , d u e t o t h i s " i n t r i n s i c "wi d t h o f t h e s up e r r a d i -

a n t s p i k i n g , e v e n i n t h e c a s e o f r a nd o m n o i s e a l o n g t h e

b u n c h , n o mo r e t h an o n e s p i k e c a n d e v el o p e v er y

2 ,r r l , , a s s ho wn i n F i g. 1 f o r t h r e e d i f f e r e nt p ul s e

l e n g t h s . Th e p o s i t i o no f t h e s p i k e s , h o we v e r , i s r a nd o m

a n d d e p e n d s s t r o n g l yo n t h e i n i t i a ln o i s e p a t t e r n b 0 ( z 1) .

Ea c h s p i k e ex hi b i t s t h e s u pe r r a d i a n t s c a l i n g o f i n t en -

s i t ya s t h e s qu a r e d en s i t y o f t h e e l e c t r o n b e a m . I f t h e

p ul s e i s s h o r t e r t h a n 2 r r l c, o n l y o n e

" c l e a n "s p i k e

o c c u r s , a s i t c a n b e s e e n i n t h e f i g u r e.

Fo r s ma l l u nd ul a t o r l e ng t h s we h a v e f o un d t h at t h e

s p ec t r a l ba nd w d t h s hr i n k s a s 1 / N, i n a g r e eme n t wi t h

t h e un du l a t o r r a di a t i o n s p ec t r u m wi d t h [ 1 3 ]. I n t h e

h i g h g ai n r e g i o n t h e e n v e l o pe r e a c he s t h e we l l kn own

ba nd w d t h [ 3 , 5 ]Ak / k = 2 p , i. e. Ak = 2 k p = 1/ l , a s

o n e e x p ec t s f r o mt h e F o u r i e r t r a n s f o r mo f t h e t e mp o -

r a l s t r u c t u r e d es c r i b ed a b o v e . I f l b < 2 r r l , , ,t h e s p e c -

t r u m i s co mpos ed b y a s i n g l el i n e , a s s ho wn i n F i g. 3 .

On l y t h e s mo o t h e n v e l o pe h a s b e e n o bj e c t o f mo s t

o f t h e p r e v i o u s t h eo r i e s ( s e e r e f s . [ 3 , 5 ] ) ,e v e n i f a

p r e l i mi n a r ywor k o n t h e f r e qu en c y s pi k i n gf o r i n f i n i t e l y

l o ng e l e c t r o n bun ches c a n b e f o un d i n r e f . [ 1 4 ]. I n

o r d e r t o mod el c o r r e c t l y t h e t i me s t r u c t u r e a n d s p e c -t r u m o f t h i s s p i k i n g be ha v i o r , i t i s n e c es s a r y t o t a k e

p r o pe r l y i n t o a c c o u n t n o t o n l y t h e s l i p pa ge be t ween

t h e r a di a t i o n a n d e l e c t r o n p ul s e s , bu t a l s o t h e f i n i t e

b u n c h l e ng t h , wh i c h i mp l i e s t h e c l e a n i n g u p o f t h e

p ul s e s .

F ur t h er mo r e , i t i s v e r y d i f f i c u l tt o o b s er v e t h e s t r u c -t u r e o f a r e g ul a r e n v el o p e o f t h e r a di a t i o ns p e c t r u m i n

a s i n gl e r e a l i z a t i o no f t h e n o i s e i n t h e e l e c t r o n p ha s es ,a n d t h e p r ev i o us l y p r e di c t e d s hr i n k i n g o ft h i se n ve l o p ea s 1 / Vff i n a s i n g l e e x p er i me n t a l r e a l i z a t i o n[ 5 ] ,d u e t o

t h e s t r o n g s p i k i n gi n t h e f r e qu en c y d o ma i n .

Th e a v er a g e e mi t t e d po wer ( d e f i n ed a s t h e a v e r a g eo v e r t h e wh o l e r a di a t i o n p u l s e ) g r ows e x po n en t i a l l ya l o n g t he wi g gl e r , u p t o a s a t u r a t i o nv a l u e n e a r t o t he

u s u a l p P, , e am, a s i t c a n b e s e e n i n F i g. 2 . How e v e r ,a f t e r t h i s f i r s t s a t u r a t i o n , un l i k e t h e p r e v i o u s t h eo r i es ,

t h e a v e r a g e e n er g y c o n t i n ue s t o i n c r e a s e u p t o a s e c -

o n d s a t u r a t i o n v a l u e, e v e n f o r a l o ng b u n c h . Th i s

b eh a v i o r c a n be e x p l a i n ed by t h e s up e r r a d i a n t c ha r a c -

t e r o f t h e s p i k i n g s t a r t i n gf r o m n o i s e. I n f a c t ,a s i n g l e

s p i k e s l i p p i n g o v e r f r e s h e l ec t r o n s c o n t i n ue s t o g r o wa n d n a r r o wwi t h o ut t r a pp i n g t h e e l ec t r o n s a n d e x t r a c t -

i n g e n e r g y f r o mt h em wi t h l a r ge ef f i c i e nc y. How e v e r ,

t h e s u pe r r a d i a n t s p i k es g e n er a t e d f r o m n o i s e s t o p t o

g r o w whe n t h ey s l i po v e r e l e c t r o n s t h at h a v e a l r e a dy

i n t e r a c t e d wi t h a p r e v i o u s s p i k e, t h a t h a s l e f t t h e m

wi t h a l a r g e amou nt o f e n er g y s p r e a d .

4 . S h o t t o s ho t f l u c t ua t i o n s

Our n u me r i c a l a na l y s i s a l l o ws u s t oma k e a n u me r i -

c a l e s t i ma t e o f t h e i n f l ue n c eo f t h e s h o t t o s h o t f l u c t u a-

t i o ns i n t h e i n i t i a le l e c t r o n b un c h i n g o n t h e s a t u r a t i o n

l e n g t h f o r t he a v er a g e emi t t e d po wer . I n p ar t i c ul a r , we

k e p t t h e s ame a v e r a g e i n i t i a lv a l u e o f t h e b un c h i n g o n

t h e i n i t i a lp ul s e f o r a s e r i e so f s i mu l a t i o n sp er f o r me d

wi t h d i f f er e nt s e e d s f o r t he r a n d o m n umb e r g en e r a t o r .

Si n c e t h e s u pe r r a d i a n t e v o l u t i o n h a s a " c o h e r e n c e

l e ng t h " g i v en b y t h e c o op er a t i o nl e ng t h , l , t h e a v er a g e

e mi t t e dpo wer E c a n b e t h o ug h t o f a s a n a v e r a g e o v e r

I b / l cs t a t i s t i c a l l yi n d e pe n d en t

p r o c e s s e s . W t ht h i s

s t a -

t i s t i c a la s s u mp t i o n t h e f l u c t u a t i o ns i n t h e phy s i c a l l y

i n t e r e s t i n g q ua n t i t i es , a s t h e s a t u r a t i o n l e n g t h a n d t h e

s a t u r a t e d p o we r , s ho ul d d e p e n d a s 1/ l , / l c , i. e . a s

t h e i n v e r s e s q ua r e r o o t o f t h e s t a t i s t i c a l l yi n d e p en d e n t

r e g i o n s o f t h e e l e c t r o n b u n c h . A n u me r i c a l t e s t ha s

c o n f i r me d t h i s d e p e n d e n c e a n d i s s ho wn i n F i g. 4 f o r

t h e f l u c t u a t i o ns i n t h e s a t u r a t i o n l en g t h . Due t o t h i s

f a c t t h e s h o t t o s ho t f l u c t ua t i o n sc a n v a r y f r o ms e v er a l

g a i n l e ng t h s i n t h e s h o r t b u n c h r e g i me t o a f r a c t i o no f

a g ai n l en gt h i n t h e l o ng b u n c h r e g i me .

o t1 0 1 0 0

F i g 4. Sho t t o s h o t f l u c t u a t i o n s. Fl uc t u a t i o no f t h es a t u r a t i o nl e ng t h a s af u n ct i o no f 1 / 16 / h .

8/14/2019 bonifacio 1993 0448

5/5

5. Co n c l u s i o n s

R. B o n i f a c i oe t a l./ Nu c l. I n s t ra n dMe t h. in Ph y s. Re s. A 3 4 1( 1 9 9 4 )1 8 1 - 1 8 5

Th e s h o t t o s h o t f l u c t u a t i o n si n e a c ho n e o f t h es t a t i s t i c a l l yi n d e p e n de n tr e g i o n so f t h e e l e c t r o nbeam ,i n t h ee x po n en t i a lr e g i m e,c a n b e e a s i l yi n t e r p r e t e di nt e r mso f t h e f l u c t u a t i o n si n t h e i n i t i a ln o i s epowe rP ( xIbo

12. S i n c ewe h a v ea s s um e d a Ga u s s i a nd i s t r i b u -

t i o n ,t h e r e l a t i v ef l u c t u a t i o n8 P 0 / P , ,w i l lb e a p p r o x i -m a t e l ye q u a lt o o n e. Fr o m t h i sf a c ta n d t h ee x p o n e n -

t i a ll a wP ( z )= Po e x p ( 3 z ) , i t f o l l o w st h a tt h ee m i t t e dpowe r f l u c t u a t i o n6 P/ P i s o f t h eo r d e ro f o n e. F u r -t h e r m o r e ,8Po / Po = 1 i m p l i e s8 z s a t= 1 , o r 8 z t = l g ,i. e. t h es a t u r a t i o nl e n g t hf l u c t u a t i o n sf o re a c h s t a t i s t i -c a l l yi n d e p e n de n tp o r t i o n o ft h e b u n c h a r e o f t h eo r d e ro f t h eg a i n l e n g t h.

I n t h i sp a p e rwe h a v e u s e da mode l t o d e s c r i b et h eFEL s t a r t u pp r o c e s sf r o mt h e r a n d om n o i s ei n t h ep a r t i c l ep h a s e s. Th e ma i nc h a r a c t e r i s t i c so f t h e e mi t t e dr a d i a t i o n ,b o t hi n t h e t i m ea n d f r e q u e n c yd oma i n ,a r ea n a l y z e df o r t h ec a s e o fs h o r ta n d l o n g( w i t hr e s p e c tt ot h ec o o p e r a t i o nl e n g t h )e l e c t r o nb u n c h e s. I n b o t hc a s e st h e s y s t eme x h i b i t sa s u p e r r a d i a n te v o l u t i o ns e e d e db yt h es h o t n o i s en o n u n i f o r m i t i e so f t h ee l e c t r o nb e a m.Th e n o r ma ls t e a dys t a t eb e h a v i o rf o r l o n gb u n c h e si ss h o w no n l yb y t h ea v e r a g e e mi t t e dp o w e r ,wh e r e a s t h et i m ea n d f r e q u e n c ys t r u c t u r eo f t h e p u l s e si s d omi -n a t e db y a r a n d omp a t t e r n o f s u p e r r a d i a n ts p i k e s. Ana n a l y s i so f t h es h o t t os ho t f l u c t u a t i o n so f t h e o u t p u tpowe r a n d s a t u r a t i o nl e n g t hs h ow st h a t t h e f l u c t u a -

Re f e r e n c e s

1 8 5

t i o n s t e n d t o b e s ma l l i n t h e l o n gb u n c h r e g i m e ,wh e r e a st h e y c a n b e h u g e i n t h e s h o r tp u l s ec a s e ,r e a c h i n g t h es ame o r d e ro f ma g n i t u d eo f t h e a v e r a g ev a l u eo f t h eo b s e r v a b l e.

[ 1 ]R. B o n i f a c i o ,C P e l l e g r i ma n dL . N ar d u c c i ,Op t. Com-mu n. 5 0 ( 1 9 8 4 )3 1 3.

[ 2 ] C. P e l l e g r i me t a ]. , N u c l. I n s t r. a n dMe t h. A 3 3 1( 1 9 9 3 )2 2 3.

[ 3 ] J . M. Wang a n dL . H. Yu ,N u c l. I n s t r. a n dMe t h. A 2 5 0( 1 9 8 6 )4 8 4.

[ 4 ]K. J. K i m,N u c l. I n s t ra n dMe t h. A 2 5 0( 1 9 8 6 )3 9 6.[ 5 ]K. J. K i m,P h y s. Re v. L e t t. 1 5( 1 9 8 6 ) 1 87 1.[ 6 ] W M F a wl e y ,A . M. S e s s l e ra n dE . T. S c h a r l e ma n n ,P r o c.

1 9 9 3P a r t i c l eA c c e l e r a t o rC o n f. , Wa s h i n g t o n ,DC[ 7 ]R. Gr a h ama n dS. I s e r ma n n ,P h y s. Re v. A 4 3 ( 1 9 9 1)

3 9 8 2.

[ 8 ] R. B o n i f a c i o ,C. Ma r o l ia n dN. P i o v e l l a ,Op t. Commun.6 8 ( 1 9 88 )3 6 9.

[ 9 ] R. B o n i f a c i o ,L. De S a l v o ,P. P i e r i n ia n dN. N o v e l l a ,N u c l. I n s t r. a n dMe t h. A 2 9 6 ( 1 9 9 0 )3 5 8.

[ 1 0 ]R B o n i f a c i o ,N P i o v e l l aa n dB. WJ. Mc Ne i l , Ph ys. Re v.A 4 4 ( 1 9 9 1 )3 4 4 1.

[ 1 1 1R. B o n i f a c i o ,B. WJ. Mc Ne i l a ndP. P i e r m i ,P h y s. Re v. A4 0 ( 1 9 89 )4 4 6 7.

[ 1 2 ]C Penmana n dB. W. J. M c N e i l ,Op t. Commun. 9 0 ( 1 9 9 2 )8 2.

[ 1 3 ]D . F. A l f e r o ve t a l. , So v. P h y s. Te c h. P h y s. 18 ( 1 9 7 4 )1 3 3 6.[ 1 4 ]C. P e n m a n ,Op t. Commun. 9 1 ( 1 9 9 2 )3 7 7

I V. THEORY