bloque 1 cÁlculo diferencial 1 cÁlculo diferencial 1.-sucesiones de números reales def: se llama...

pág. 1 Apuntes de cálculo diferencial matemáticas II

BLOQUE 1 CÁLCULO DIFERENCIAL

1.-Sucesiones de números reales Def: Se llama SUCESION de números reales a un conjunto infinito de números reales ordenados por su puesto. Ejemplo: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 …… a1= 1, a2=4, a3=9 ,….an= n2. Tipos especiales PROGRESIÓN ARITMÉTICA : Cada término se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante llamada diferencia .

Término general : an = a1 +(n-1) d

Suma : Sn(a1 an ) n

2

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA : Cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad constante llamada razón .

Término general : an a1 rn 1

Suma : Snran a1

r 1S

a1

r 1

Producto:Pn (a1 an)n

2.-Límite de sucesiones .Indeterminaciones Def : Se dice que L es el límite de la sucesión (an ) cuando n->∞

L lim

n an si para

cualquier entorno de L , la sucesión entra en él y no sale . Def: Se dice que ∞ (-∞)es el límite de la sucesión (an ) cuando n->∞ si para cualquier número real K ,existe un término , a partir del cuál todos los siguientes son mayores ( menores ) que K. Nota : El cálculo de límites se realiza aplicando la aritmética del ∞ siempre y cuando no se obtenga una indeterminación . Def : Las siete indeterminaciones son ∞-∞, ∞•0 , ∞/∞, 0/0 , 1∞ , ∞0 , 00. En sucesiones sólo suelen aparecer tres ( con los conocimientos actuales) ∞/∞:Para resolverla , hay que dividir numerador y denominador por la máxima potencia de n del denominador.


∞-∞ : (en un polinomio) .La sucesión tiende a lo que tienda su término de mayor grado. ( con radicales) Se multiplican numerador y denominador por el conjugado de la expresión radical.

1∞ : se aplica e lim EXPONENTE ( BASE -1).

3. Funciones .Primeros conceptos. Def : Se llama FUNCION REAL DE VARIABLE REAL a una relación entre dos conjuntos de números reales , de modo que a cada elemento del primer conjunto se le asocie un único nº real del segundo. Ejemplo: f(x) = x3 -5x+1 :

f :R R

x y f (x) x 3 5x 1

0 f (0) 1

1

2f1

2

11

4

Def : Se llama DOMINIO de una función a un subconjunto de R en el que eestán todos los números cuya imagen es un nº real. No están en el dominio aquellos

valores cuya imagen sea

k

0, NºNEG,log(NºNEG ó 0) ...

Ejemplo: f (x)

1

x 1

x Dom f si x+1= 0 ,luego Dom f = R- 1 .

Def : Se llama RECORRIDO de una función al subconjunto de R En el que están

todos los valores que la función alcanza.

Ejemplos:

(1) f(x) = x2 .Dom f = R , Rec R = [0, ∞)

(2) f(x) = sen x . Dom f = R , Rec R = [-1, 1]

Def : Una función se dice CRECIENTE ( DECRECIENTE) en I si dados dos

valores cualesquiera de I talers que x<x’ se cumple que f(x)<f(x’) (f(x)>f(x’))

Ejemplos :

(1) f(x) = x3 es creciente en cualquier intervalo de la recta real .

(2) f(x) = x2 es decreciente en los negativos y creciente en los positivos.

Def : Una función se dice ACOTADA SUPERIORMENTE (INFERIORMENTE)

si existe un nº real K tal que f(x) K (f(x) K) para cualquier valor x del dominio .


Nota : Si una función está acotada superior e inferiormente se dice ACOTADA.

Ejemplos :

(1) f(x) = x2 está acotada inferiormente pues x2 0 .

(2) f(x) = sen x está acotada pues -1 sen x 1.

Def: f se dice PAR si f(-x) = f(x) x Dom f .En ese caso la gráfica es simétrica

respecto al eje OY (ordenadas).

Def: f se dice IMPAR si f(-x) = -f(x) x Dom f .En ese caso la gráfica es simétrica

respecto al origen de coordenadas.

Ejemplos :

(1) f(x) = x2 f(-x)= (-x)2 = x2 = f(x) f es PAR.

(2) f(x) =

1

xf ( x)

1

x

1

xf (x) f es IMPAR.

4.-Algunas funciones importantes :

1.Funciones potenciales (polinomios)

Su dominio siempre es R

Si son de primer grado son rectas: Se dibujan mediante dos puntos.

Si son de segundo grado son parábolas : Se dibujan calculando el vértice y

los puntos de corte. V(b

2a, )

Para dibujar polinómicas de grado superior hay que calcular los puntos de

corte y los máximos y mínimos.

Las potenciales de exponente par tienen su gráfica similar a f(x) = x2 y las de exponente impar a f(x) = x3.

2.Funciones exponenciales y = f(x) = ax ( a>0 , a 1)

Su dominio es R y son siempre positvas.

Pasan todas por (0,1)

Si a>1 crecen y si a<1 decrecen.

3.Funciones logarítmicas y = logax . ( a>0 , a 1)

Su dominio es (0, ∞) y su recorrido es R

Todas pasan por (1,0)


Resultan más importantes las de base >1 .Las otras son fáciles de dibujar si

recordamos que log 1a

x loga x.


4.Funciones trigonométricas ( y= sen x ,y= cos x , y = tg x)

Son funciones periódicas, es decir sus valores se repiten .

PERIODO DOMINIO RECORRIDO

sen x 2 R [-1, 1]

cos x 2 R [-1, 1]

tg x R-2

k R

5.-Operaciones con funciones :

Def : Se llama SUMA de funciones a (f+g)(x) = f(x)+g(x).

Def : Se llama RESTA de funciones a (f-g)(x) = f(x)-g(x).

Def : Se llama PRODUCTO de funciones a (f•g)(x) = f(x) •g(x).

Def : Se llama COCIENTE de funciones a (f/g)(x) = f(x) /g(x).

Def : Se llama POTENCIA de funciones a (fg)(x) = f(x)g(x).

Def : Se llama COMPOSICIÓN de funciones a (fog)(x) = f(g(x)).

Ejemplos:

(1) f(x) = sen x ,g(x) = x2 .

(fog)(x) = f(g(x)) = f(x2) = sen x2 .

(gof)(x) = g(f(x)) = g(sen x) = sen2x.

(2) f(x) = x+1 , g(x)= x , h(x) = 1

x

(fogoh)(x)= f(g(h(x)))=f(g(1

x)=f

1

x=

1

x1

Elementos neutros y simétricos de las operaciones

NEUTRO SIMETRICO

Suma 0 Función opuesta


f(x) = sen x -> (-f)(x) = -sen x

Producto 1

Función inversa

f(x) = sen x -> (1/f)(x) = 1

senxcosecx

Composición i(x)=x Función recíproca

f(x) = sen x -> (f-1)(x) = arc sen x

Modo de cálculo de la función recíproca

1º) Cambiamos la x por la y y la y por la x

2º) Despejamos la y .

Ejemplo :

y f (x)x 1

2x 5(1º) x

y 1

2y 52xy 5x y 1 (2º)

2xy y 1 5x y(2x 1) 1 5x y1 5x

2x 1f 1(x)

1 5x

2x 1


LÍMITES DE FUNCIONES

1.-Concepto de límite

a) Estudio de limx 2x2

Consideremos dos posibilidades :

limx 2

x2=4

Cualquier otra sucesión que se acerque a 2 por la izquierda cumple que sus imágenes

se acercan a 4

limx 2

x2=4

Cualquier n otra sucesión que se acerque a 2 por la derecha cumple que sus imágenes

se acercan a 4.

En general se cumple que CUALQUIER SUCESIÓN que se acerca a 2 , sus

imágenes se acercan a 4 .Es decir : Si xn 2 f (xn ) 4, xn

b) Estudio de limx 0

1

x

Consideremos nuevamente dos posibilidades :

limx 0

1

x

Cualquier otra sucesión que se acerque a 0 por la izquierda cumple que sus imágenes

se acercan a -

x 2- 1 1,5 1,9 1,99 1,999 ….

f(x) 1 2,25 3,61 3,96 3,996 ….

x 2+ 3 2,5 2,1 2,01 2,001 ….

f(x) 9 6,25 4,41 4,04 4,004 ….

x 0- -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 ….

f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000 ….

x 0+ 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ….

f(x) 1 10 100 1000 10000 ….


limx 0

1

x

Cualquier otra sucesión que se acerque a 0 por la derecha cumple que sus imágenes

se acercan a

En este caso no se cumple que CUALQUIER SUCESIÓN que se acerca a 0 , sus

imágenes se acercan a algo fijo y se dice que NO lim

x 0

1

x.

Def : Se dice que L limx af (x)si CUALQUIER SUCESIÓN que se acerca a a , sus

imágenes se acercan a L, es decir 4 .Es decir : Si xn a f (xn ) L, xn

NOTA : Si los términos de la sucesión cumplen que :

(1) xn a L = lim

x af (x) LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA.

(2) xn a L = lim

x af (x) LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA.

2.-Propiedades de los límites

(1) Si una función tiene límite en un punto ,este es único.

(2) Si los límites laterales no coinciden se dice que no existe límite.

(3) Y viceversa, si limx af (x) L lim

x af (x) L lim

x af (x)

NOTA : Gráficamente la existencia de límite, quiere decir que un poco antes y un

poco después la función vale aproximadamente L pero no indica que la función pase

por el punto (a,L)

3.- Cálculo del límite de funciones

Si L'g(x)limy Lf(x)limaxax

se cumple que:

L

y=f(x)

a


')()(lim LLxgxfax

')()(lim LLxgxfax

'/)(/)(lim LLxgxfax

')(lim ')( Lxg

axLxf

siempre que tenga sentido la operación(no salga una indeterminación)

Ejemplo : 3

1

6

2

3

7lim

2

3 x

x

x

3. Indeterminaciones. Resolución

Si se obtiene una indeterminación es necesario hacerla desaparecer

Hay siete indeterminaciones 00 0,,1,,0

0,0,

1) :

En un polinomio : Tiende a lo que tienda el de mayor grado.

Con raíces : Multiplicar el numerador y denominador por el conjugado de la

expresión RADICAL.

2) :Hay que dividir numerador y denominador por la máxima potencia de x del

denominador estando desarrollados los polinomios y teniendo en cuenta las raíces.

3) 1 : Se aplica la técnica del nºe :

1)-(BASEEXP lime

NOTA : Hay ocasiones en las que las otras indeterminaciones exponenciales pueden

llevarse a ésta mediante un cambio de variable adecuado.

4)0

0:

Con raíces : multiplicar numerador y denominador por el conjugado

Con polinomios : Factorizar y simplificar .

5) )0

k: Aunque no es estrictamente una indeterminación (sale o nada) , hay que

resolverla :para ello se calculan los límites laterales .Si coinciden , hay límite .Si son

distintos no hay límite.


4. Funciones equivalentes en un punto

Def : Se dice que dos funciones f y g son equivalentes en x=a si se cumple que

1g(x)

f(x)lim

ax.En ese caso y siempre que actúen como factor se puede sustituir una

por otra.

TABLA DE EQUIVALENCIAS

a) Si f(x) -> 0

sen f(x) ≈ f(x)

tg f(x) ≈f(x)

arc sen f(x) ≈ f(x)

arc tg f(x) ≈ f(x)

ln (1+f(x)) ≈ f(x)

2

f(x)cos(f(x))1

f(x)1e

2

f(x)

b)Si f(x) -> 1

lnf(x) ≈ f(x) -1

c) Si f(x) ->±∞

Un polinomio equivale a su término de mayor grado.

Ejemplos :

1.- 1x

xlim

x

x senlim

0x0xEQ

2.- 2

22

2

2

1

1-x

1-x

limx ln

1)-cos(x-1lim

1x1xEQ

3.- 596

13 2 1

5x

xlim

5x

xlim

3

3

x3

3

xEQ

x

x

5.-Regla de L’Hôpital

Si LLg(x)

f(x)lim

(x)'g

(x)' flim y ó

0

g(x)

f(x)lim

axaxax 0

Nota : a y L pueden ser números finitos o infinitos.


Ejemplo :

11

elim

x

elim

x

0x

x

0xHL'

0

01

Nota : Es muy importante reseñar que la regla de l´Hôpital sólo pude ser usada si la

indeterminación es 0/0 ó ∞/∞ ; en cualquier otro caso ( dterminado o

indeterminado el resultado no tiene porqué ser cierto.

Nota : La regla de l´Hôpital resulta especialmente eficaz combinada con las

equivalencias (pues simplifican las derivaciones)

6.-Uso conjunto de la regla de l´Hôpital y de las

equivalencias para resolver ¿todas? las indeterminaciones

0/0 ó ∞/∞ :Se aplica la regla de l´Hôpital

∞ - ∞ : Se suele hacer común denominador para que resulte un cociente

Ejemplo :

0222

2

11'

0

011

22

2

x

x

xEQ

x

xtg

x

xtgHLEQ

xtgx

tgxx

xtgx

0x0x0x

0x20x0x0x

limlimlim

limx

tgx-xlimlimlim

∞● 0 : Hay que pasar una de las funciones a denominador del denominador.

Ejemplo :

0'1

ln0ln xHL

x

xxx

0x

2

0x0x0xlim

x

1-x

1

limlimlim

1∞ , ∞0 , 00 : Se aplica que es igual a elim EXPONENTE ● LN( BASE)

Nota : Cuando la base tiende a 1 queda transformado en elim EXPONENTE ● (base -1)


CONTINUIDAD

Todo el mundo tiene muy claro el concepto de continuidad de una función en un

punto ,pero ¿Cómo podemos detectar si una función es continua en un punto sin

conocer su gráfica?

1.- Continuidad local

Definición : f es continua en x=a si )()(lim afxfax

Esto obliga a que

1. Exista límite ( por tanto los límites laterales deben coincidir)

2. Exista f(a) ( a debe estar en el dominio de la función )

3. Ambos valores deben ser iguales.

NOTA : Todas las funciones elementales ( entendidas como no definidas a trozos)

son continuas en su dominio.

x

y = f(x)

X

f(a)

f(a+h)

a a+h


Ejemplo : 1

1)(

2

x

xxf . su dominio es R –{1}

f es continua en x =2 pues )2()(lim2

fxfx

En efecto 31

3

12

12)2(

2

f

Mientras que : 31

3

1

1lim)(lim

2

22 x

xxf

xx

En x = 1 la función no está definida pero el límite si se puede calcular

21̀lim0

0

1

1lim)(lim

1

2

11x

x

xxf

xxx:Si f(1)=2 la función sería continua .

La función se puede ampliar de modo que sea continua

12

11

12

six

sixx

x

NOTA : Más problemas para la continuidad traen las funciones definidas a trozos ,

sobre todo en los puntos de unión.

Ejemplo:

0 xsi 3x

0 xsi 2

x


Como se puede apreciar en el dibujo es continua en todos los puntos excepto en x=0

( Aunque si en vez de x+3 hubiese sido x si que hubiese sido continua)

2.-Discontinuidades:

1. DISCONTINUIDAD EVITABLE

Se dice que en x=a hay una discontinuidad evitable si )()(lim afxfax

Ejemplo : f (x) =

0 xsi 1x

0 xsi 2

¿Es continua en x=0?

f(0)=2

11̀lim0x, 0 )(lim00

xxComoxfxx

f no es continua en x=0

2. DISCONTINUIDAD INEVITABLE

Se dice que en x=a hay una discontinuidad inevitable si )(lim xfNOax

.Pueden

ser de salto finito o infnto

Ejemplo:

0 xsi 3x

0 xsi 2

x

F(0)=02 =0


33̀lim)(lim

0lim)(lim

0 xó 0 xsi sabemos no, 0

laterales límtes los Hacemos)(lim

00

2

00

0

xxf

xxf

xComoxf

xx

xx

x

Como los límites laterales no coinciden )(lim xfNOax

y se dice que en x=0 hay una

discontinuidad inevitable.

NOTA : Gráficamente , las discontinuidades evitables son huecos en la gráfica ,

mientras que la inevitables son saltos en la función.

3. DISCONTINUIDAD ESENCIAL

No existe el límite pues no existen los límites laterales.

P.ej f(x) = sen x

1

4. CONTINUIDAD GLOBAL

Def: Se dice que una función es continua en (a,b) si es continua en cada punto del

intervalo

Def: Se dice que una función es continua en [a,b] si es continua en cada punto del

interior del intervalo , por la derecha de a y por la izquierda de b.

Nota:La continuidad en intervalos cerrados trae como consecuencia un conjunto de

resultados teóricos muy amplios

Teorema : ( de Weierstrass)

Si f en continua en [a,b] →Toma valor máximo y mínimo en dicho intervalo.

Teorema ( de Bolzano)

Si f en continua en [a,b] y f(a)f(b)<0 →Existe al menos un punto c (a,b) t.q f(c)=0


Aplicación : Localización de raíces irracionales p.ej: Resolver x3-x-1=0

La regla de Ruffini sólo localiza raíces enteras .Pero en este caso :

x=1 →1-1-1≠0

x=-1 →-1+1-1≠0

Para resolver aproximadamente se usa el teorema de Bolzano con f(x)= x3-x-1 y un

intervalo en el que sepamos que f(x) toma valores de distinto signo , por ejemplo

:[1,2]

Así pues , aplicamos el método de bisección

f(1)<0 y f(2) >0 →Calculo f(1,5) = (1,5)3 –(1,5) -1 >0 →la raíz está entre [1, 1,5 ] →

Calculo f(1,25) = (1,25)3 –(1,25) -1 <0 →la raíz está entre [1,25 , 1,5 ] → Y así

sucesivamente

Propiedad (la imagen de un intervalo cerrado es otro intervalo cerrado ) Si f es cont en [a,b] →TOMA TODOS LOS VALORES ENTRE f(a) y f( b)


Teorema : ( de Darboux) Si f es cont en [a,b] →TOMA TODOS LOS VALORES ENTRE su máximo y su mínimo

DERIVABILIDAD

Def: Se llama derivada de una función en un punto x=a al nº real resultado del

siguiente límite

ax

afxf

h

afhaf

x

yaf

axhx

)()(lim

)()(limlim)´(

00

NOTA: Cuando este límite existe y es un nº real la función se dice derivable en

x=a .En caso contrario la función no es derivable .

PROPOSICIÓN: Si f es derivable en x=a f es continua en x=a

NOTA : El recíproco no es cierto en general .

CONTRAEJEMPLO: f(x) = |x| en x=0

La función valor absoluto se define |f(x)| =

0xfsixf

0xfsi0

0xfsixf

)()(

)(

)()(

.


Luego en nuestro caso sale |x| =

0xsix

0xsi0

0xsix

.

Entonces :

f es continua en x=0 pues f(0) = )(lim0

xfx

En efecto f(0)=|0| = 0 y 0|0|||lim0

xx

.

Sin embargo f no es derivable en x=0 pues no existe Rx

fxf

x

)0()(lim

0

DEF : Una función se dice derivable en (a,b) si es derivable en todos los puntos entre a y b . Teorema de Rolle

Sea f

f(b)f(a)

b)(a, en derivable

b][a, encontinua

→Se cumple que existe un valor c en el intervalo (

a,b) en el que f’(c) = 0 Dem: Sea f es cont en [a,b] →Weiersstrass → Existe máximo y mínimo absolutos en [a,b] Esto unido a la hipótesis de que f(a) = f( b) nos reducen las hipótesis a cuatro casos


Teorema ( del Valor medio o de Lagrange)

Sea f b)(a, en derivable

b][a, encont →Se cumple que existe un valor c en el intervalo (

a,b) en el que f’(c) = ab

afbf )()(


MONOTONIA Y

CURVATURA 1.- Funciones crecientes y decrecientes Def: Se dice que una función es CRECIENTE [DECRECIENTE] en un intervalo I si para todo x, x´ tales que x<x’ , se cumple que f(x) <f(x’) [f(x) >f(x’)]

2.- Crecimiento y decrecimiento en funciones derivables Def : Se cumple que si :

f ’(a) >0 →f es creciente en x= a

f ’(a) <0 →f es decreciente en x= a

f ’(a) =0 →

o f puede ser creciente en x= a. EJ f(x) = x3 en x=0

o f puede ser decreciente en x= a. EJ f(x) = -x3 en x=0

o f puede tener máximo o mínimo en x= a

JUSTIFICACIÓN : ( para el caso de creciente , para el otro igual)

Si f ’(a) >0→ 0ax

f(a)f(x)lim

ax→

ax

f(a)f(x)>0 .Entonces :

si x>a →f(x)>f(a) →f crece a la derecha

si x<a →f(x)<f(a) →f crece a la izquierda

NOTA : Este concepto local , se generaliza en intervalos y de este modo

f ’(x) >0 Ix →f es creciente en I

f ’(x) <0 Ix →f es decreciente en I

3.- Máximos y mínimos relativos


Def : Se dice que en x=a hay un MÁXIMO RELATIVO[MÍNIMO RELATIVO] si f(x)<f(a)[ f(x)<f(a)] )(Ex a .Es decir si alcanza el

menor valor en un entorno de a

Condición necesaria para la existencia de máximos y mínimos ( en funciones derivables) Si en x= a hay un máximo o mínimo relativo → f ’(a) =0 Condiciones que añadidas al hecho de que f ‘ ( a ) = 0 garantizan la existencia de máximos y mínimos relativos CRITERIO 1 : Con f

Si f(a-)<f(a) y f(a+) <f(a) →En x=a hay un máximo

Si f(a-)>f(a) y f(a+) >f(a) →En x=a hay un mínimo

En otro caso → No hay ni máximo ni mínimo

CRITERIO 2: Con f ‘

Si f ’(a-)>0 y f ‘(a+) <0 →En x=a hay un máximo

Si f ’(a-)<0 y f ‘(a+) >0 →En x=a hay un mínimo


CRITERIO 3: Con f ´´

Si f ´´(a)<0 →En x=a hay un máximo

Si f ´´(a)>0 →En x=a hay un mínimo

En otro caso → No se puede concluir nada

4.- Problemas de máximos y mínimos Para resolverlos seguiremos los siguientes pasos

1. Localizar la función a maximizar o minimizar( normalmente con

dos variables)

2. Localizar en el enunciado un dato que nos permita relacionar las

dos variables


3. Despejar del dato una de las dos variables en función de la otra y

sustituir en la función ( que ahora sólo dependerá de una)

4. Derivar la función , igualar a 0 para hallar máx/ mín y

COMPROBAR que realmente lo son

5. Una vez obtenido un valor de una variable ,hallar la otra y

contestar en términos del enunciado

5.- Curvatura Def: Una región se dice CONVEXA si para cualquier pareja de puntos incluidos en ella , el segmento que los une está totalmente incluido en la región . En caso contrario se dice CÓNCAVA

Def: Una función es CONVEXA[CÓNCAVA]si la región superior asociada de su gráfica es convexa[cóncava]

6.- Curvatura en funciones derivables Def : Se cumple que si :

f ´´(a) >0 →f es convexa en x= a

f ´´(a) <0 →f es cóncava en x= a

f ´´(a) =0 →

o f puede ser convexa en x= a. EJ f(x) = x4 en x=0

o f puede ser cóncava en x= a. EJ f(x) = -x4 en x=0

o f puede tener un punto de inflexión en x= a

JUSTIFICACIÓN : ( para el caso de convexa , para el otro igual)


Si f ´´(a) >0→f es creciente en x=a →sup que f´(a) = 0 → f´(a-) < 0, f´(a+) >0 ANTES :decrece , DESPUÉS : crece .

7.- Puntos de inflexión Def : Se dice que en x=a hay un PUNTO DE INFLEXIÓN si la función pasa de cóncava a convexa o viceversa en ese lugar .

Condición necesaria para la existencia de ountos de inflexión ( en funciones derivables ,2 veces) Si en x= a hay un punto de inflexión → f ´´(a) =0 Condiciones que añadidas al hecho de que f ´´( a ) = 0 garantizan la existencia de puntos de inflexión

CRITERIO 1: Con f ´´

Si f ´´(a-)>0 y f ´´(a+) <0 →En x=a hay un P.I convexo -cóncavo

Si f ´´(a-)<0 y f ´´(a+) >0 →En x=a hay un P.I cóncavo - convexo


CRITERIO 2: Con f ´´´


Si f ´´´(a)<0 →En x=a hay un P.I convexo -cóncavo

Si f ´´´(a)>0 →En x=a cóncavo - convexo

En otro caso → No se puede concluir nada

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