BÖLÜM 3: ÇEKİRDEK KUVVETLERİ VE ÇEKİRDEK MODELLERİ

3.1 ÇEKİRDEK KUVVETLERİ

3.1.1. GENEL KARAKTERİSTİK

Çekirdek hakkında çok fazla bir şey bilmezden önce yalnızca iki farklı etkileşim kuvveti bilinmekteydi. Bunlar yerçekimi kuvveti ve elektromanyetik kuvvet şeklindeydi. İki yüklü parçacık arasındaki elektromanyetik kuvvet, yerçekimi kuvvetinden kat kat daha güçlüdür. Atom çekirdeği çok küçük kütlesi ve yükü ile birlikte belirgin bir şekilde keşfedildiğinde, tabiatta yeni bir çeşit kuvvetin olacağı ve çekirdeği bu kuvvetlerin bir arada tuttuğu düşüncesi açık bir hale geldi. Pozitif yükler arasındaki itici Coulomb kuvveti 10-14 m’den daha az olduğu durumlarda çok daha büyüktür. Bu durumda nükleer kuvvet elektromanyetik kuvvetten çok daha çekici ve güçlüdür. Çekirdek içerisinde nötron ve protonları birbirine bağlayan çekirdek kuvveti inanılmaz ölçüde kuvvetlidir. Çekirdek yoğunluğu yaklaşık 1014g/cm3 tür. 1911 yılında çekirdeğin keşfedilmesi ve nükleer kuvvetlerin ortaya konması ve 1932 yılında nötronun keşfedilmesinden bu zamana kadar çekirdeğin içeriği bir araştırma konusu olmuştur. Çekirdeğin yalnızca iki cins parçacığa sahip olduğu tahmin edilmekteydi. Bunlar iyonize hidrojen ve elektrondu. Böylece 238 çekirdek kütlesi birimi yani 238U ve Z=92, çekirdeğin 238 protondan ve 146 elektrona sahip olduğu kabul edilmekteydi. Bununla birlikte bu kabullenme birçok probleme sahipti. Örneğin elektronları çekirdek boyutu hacmine nasıl konulacağı ve çekirdeğin rotasyonel spin özelliklerinin nasıl hesaba katılacağı tartışılmaktaydı. Nötronun keşfedilmesiyle bu problem çözüldü ve bilim adamları nükleonlar arasındaki çekirdek kuvvetini açıklayabilme yeteneğine sahip olmaya başladılar. Bugünlerde çekirdek kuvvetleri hakkında birçok bilgiye sahibiz. Bununla birlikte hala nükleer çekim kuvveti ve elektromanyetik kuvvetler hakkında matematiksel bir form yazılamamaktadır. Ama yinede gerçekçi çekirdek kuvvetleri modelleri çekirdek özelliklerinin hesaplanması ile bugüne kadar geliştirilmi ştir. Burada çekirdek kuvvetlerinin özelliklerini deneysel yollarla belirleyen durumlar sıralanacaktır,

1- Çok kısa mesafe: Çekirdek kuvvetleri çok kısa menzillidir. Bu kısa menzil gerçeği çekirdek keşfedilmeden önce gözlemlenememiştir. Çekirdek kuvvetleri çekirdek boyutunda (10-14 m) hissedilebilir. Bu mesafenin dışında düşük enerjili alfa parçacıkları uzun menzilli Coulomb kuvveti tarafından saçılabilir.

2- Doyumluluk: Eğer tek bir nükleonun çekirdek kuvveti bütün nükleonlarla Coulomb

kuvvetinde olduğu gibi 1 / R2 ile orantılı uzun menzilli bir etkileşim yapmış olsaydı çekirdek bağlanma enerjisi çekirdek çiftleri sayısıyla doğru orantılı olurdu. A(A-1). Yani A2 ile doğru orantılı olurdu. Fakat deneylerden toplam bağlanma enerjisi B, A ve çekirdek hacmiyle doğru orantılıdır(A=R3). Şekil 9.2’yi hatırlayacak olursak B/A oranı

hemen hemen sabittir. Bu sıvı damla modelini destekler. Örneğin 2 lt suyu kaynatmak için gerekli enerji 1lt suyu kaynatmak için gerekeli enerjinin 2 katıdır. Böylece çekirdek kuvvetleri çekirdek içerisinde bütün nükleonlarla değil birkaç komşu nükleonla etkileşim içerisindedir. Bu etkileşim sıvı içerisinde moleküller arasındaki etkileşime benzemektedir. Diğer bir yaklaşımda, çekirdek kuvvetlerin doyumluluk özelliğine sahiptir. 1 proton ya da nötron yalnızca birkaç komşu nükleonla etkileşim içerisindedir ve doyumludur. Çekirdek kuvvetlerinin doyumlu olduğunun diğer bir delili ise çekirdek yoğunluğunun merkezden kenarlara kadar belirgin bir şekilde sabit olup kütle numarası A=10’dan 250’ye kadar değişmektedir. Eğer tek bir nükleonun çekirdek kuvveti diğer nükleonlarla tamamen etkileşim içerisinde olsaydı çekirdek yoğunluğu merkezde daha fazla olacak ve A’nın artmasıyla artacaktı.

3- Çok güçlü etkileşim: Çekirdek kuvvetleri son derece güçlü etkileşim içerisindedir.

Çekirdek içerisinde çekirdek kuvveti Coulomb kuvvetinden 100 kat daha büyüktür. Gerçekten böyle olmalı yâda uzun erişimli Coulomb itici kuvveti çekirdeği iki parçaya ayırmalı ve ne çekirdek ne de evren olmamalıydı. Bununla birlikte uzun menzilli itici Coulomb kuvveti doyumlu değildir fakat çekirdek içerisinde Z nin artmasıyla her bir proton arasında bu kuvvet hissedilir. Bu durum kararlılık çizgisini N=Z den N>Z ye doğru eğilmesini ve B/A oranının A≈ 60 üzerinde B/A oranının yavaşça azalmasının kaynağıdır.

4- Yük bağımsızlığı: Heisenberg 1932 yılında p-p arasında ki çekirdek kuvvetinin n-n

arasındaki çekirdek kuvvetine ve p-n arasında ki çekirdek kuvvetine eşit olduğunu önerdi.

��� = ��� = ���

Buna göre çekirdek kuvvetleri yük simetrisine ve yükten bağımsız olduğu gerçeği aşikârdır. Bunun için ilk deneysel deliller 1937 yılında ortaya kondu. 1946 dan 1955 e kadar birçok hassas deney bu konu üzerinde yapıldı. Şimdilerde ise p-p arasında ki çekirdek kuvvetiyle n-n arasında ki çekirdek kuvvetinin birbirine eşit olduğu %99 oranında belirlenmiş iken p-p ,n-n,n-p arasında ki çekirdek kuvveti hakkında %98 oranında bilgiye ulaşılmıştır. İşte burada bu yüzdelikten sapan değerler şu andaki araştırma konusudur.

5- Çok güçlü itici merkez: çekici nükleer kuvvet çok güçlü olmasına rağmen nükleonlar

birbirlerine sonsuz oranda yaklaşamazlar. Çekirdek sonlu bir boyuta sahiptir. Böylece nükleonlar arasında çok güçlü itici bir kuvvetin olduğu muhakkaktır.

6- Spin bağımlılığı: nükleonlar arasında ki çekirdek kuvveti onların spin yönelimlerine

bağlıdır. Deteron çekirdeği bu durum için çok iyi bir örnektir. Proton ve nötron L=0 düzeyinde parelel olacak şekilde toplam spin ve açısal momentumu S =J=1 olabilir. Ya da S=J=0 antiparelel olarak da birleşebilir. Birinci durum triplet düzey ikinci durum singlet düzeydir. Eğer çekirdek kuvvetleri spinden bağımsız olsalardı bu her iki düzeyin enerjisi de aynı olması gerekirdi. Bunula birlikte deteronun temel düzey gözlemlenen spin değeri 1 olup S=0 düzeyi bağlı bir düzey olarak gözlenmemiştir. Böylece p ve n unu spinleri parelel olduklarında çekirdek kuvveti çok güçlü olup n ve p u bir arada tutarak deteronu oluşturmuştur. Bu yüzden çekirdek kuvvetleri spin bağımlı olmalıdır. Benzer şekilde n-p saçılmalarında , n-p S=1 düzeyinin oluşturmakta ve tesir kesiti S=0 da oldukça farklı olmaktadır.

Şekil 11.1a da görüldüğü üzere p-p arasındaki potansiyel p-p saçılmalarında tespit edilmiştir. Aynı şekilde 11.1b de ise p-n saçılması deneysel olarak gösterilmiştir. Burada dikkat edilecek olursa n-n saçılma deneyleri saf bir n hedefi oluşturulamayacağından dolayı çalışılamamıştır. Fakat yapılan bir çok dolaylı deneysel çalışmalarla n-n potansiyelinin şekil 11.1b ye benzer olduğu görülmüştür.

Çekirdek kuvvetleri için yapılan araştırmalar sonucunda elde edilen bilgiler şu şekilde özetlenebilir. İki nükleon arasında ki mesafe 0.8-2 fm civarında ise çekirdek kuvveti çekicidir. 0.8 fm den daha az ise bu durmda iticidir. 10 fm den daha büyük durumlarda çekirdek kuvveti gözlenmez. Çekirdek kuvvetleri hakkında ki bilgilerimimz r > 2fm civarında oldukça iyidir. Fakat r ≈ 0.8-2 fm arasındaki bilgilerimiz kısıtlıdır. r < 0.8 fm civarın da ki bilgilerimiz ise oldukça zayıftır. 3.2. ÇEKİRDEK KUVVETLERİNİN MEZON TEORİSİ

Elektrik yüklü iki parçacığın nasıl etkileştiği gayet iyi bilinmektedir. Aynı işaretli yükler birbirlerini iterler ve zıt işaretli yükler birbirlerini çekerler. İlk başta çok garipsenecek bir durum olsa da yüklü iki cisim birbirlerine temas etmeden de birbirleriyle etkileşebilirler. İşte bu durum elektrik alan kavramının ortaya konmasında önderlik etmiştir. Benzer şekilde nükleon kuvvet alanı hakkında da aynı şeyi düşünebiliriz. Bununla birlikte elektromanyetik etkileşim iki yük arasında değişim kuvveti üretmekte ve zahiri foton alışverişi meydana gelmektedir, gibi alternatif bir yaklaşımı geliştirmek zorundayız. Örneğin şekil11.2 iki elektronun etkileşimini göstermektedir. Bir elektron soldan sağa köşegen doğrultusunda gelirken diğeri sağdan sola yaklaşmaktadır. Yatay eksen x uzunluğuna, dikey eksen zamana karşı gelir. A noktasında soldan gelen elektron zahiri foton yayar ve yönünü değiştirir. Sağdan gelen elektron bu zahiri fotonu soğurur ve yönünü değiştirir. Bu işlev, yani zahiri foton alışverişi, bu iki A,B noktaları arasında sürekli devam eder.

1935 yılında Japon fizikçi H. Yukawa çekirdek kuvvetlerinin mezon teorisini ortaya koydu. Ona göre çekirdek kuvvetleri bir çeşit değiş tokuş kuvveti olduğu düşüncesiydi. İki nükleon arasındaki etkileşim bazı parçacıklar vasıtasıyla gerçekleştiğini ileri sürdü. Ayrıca nükleonlar arasındaki değiş tokuş parçacıklarının boyutu çekirdek kuvvetlerini de düzenlemekte olduğunu tahmin etti. Ortaya koyduğu metot şöyle özetlenebilir: zahiri bir parçacık nükleon tarafından serbest bırakılabilir (a) nükleon tarafından soğrulabilir (b) ∆� mesafesi kadar yol alabilir (şekil11.3) bu mesafeyi geçene kadar geçen zaman ∆� olsun. Zahiri parçacık ışık hızında hareket ediyor olsa bile ∆� mesafesi c.∆� den daha büyük olamaz. Belirsizlik ilkesinden ∆� zamanı boyunca maksimum enerji transformasyonu

∆ = ℏ∆� =

ℏ∆� ⁄ = ℏ

∆� 11.1

Eğer bu enerji tamamen zahiri parçacığın durgun kütlesine transfer edilirse onun durgun kütlesi m

∆ = ℏ ∆� = ��� � = ℏ

∆� 11.2

Olur. Eğer bu gerçek bir enerji ise burada bir yanlışlık olmalı. Bu durum enerji korunum prensibini bozar. Bu yüzden deneysel metotlarla değiş tokuş parçacıklarını bu enerji de gözlemleyemeyiz. Bununla birlikte zahiri parçacıklar belirsizlik ilkesinin izin verdiği ölçüde ∆enerjisinde bulunabilir ve ∆� zaman aralığında korunmaz. Elektromanyetik etkileşimde kuvvet sınırsız bir şekilde büyük olduğundan değiş-tokuş parçacıklarının kütlesi sıfır olmalıdır. Fotonlar burada değiş-tokuş parçacıklarıdır. ∆� Yaklaşık 2 fermi olduğu durumda çekirdek kuvvetlerini düşünelim. Değiş-tokuş parçacıklarının durgun kütle enerjisi

��� = ℏ ∆� ≅ �����.���

�.��� ≅ 100� ! 11.3

Bu parçacığın kütlesi elektronun durgun kütlesinden yaklaşık 200 kat daha büyüktür. Bununla birlikte proton ve nötronun kütlesinden 10 kat daha küçüktür. Yukowa bu değiş-tokuş parçacıklarına mezon adı verdi. Yukowa bu teoriyi orta koyduğunda bu parçacıklar bilinmiyordu. Bilim adamları hızlı bir şekilde mezon hakkında araştırmalara başladılar. 1936-1937 yıllarında elektronun kütlesinden 207 kat büyük olan µ mezon bulundu. Bu teori için oldukça büyük bir sevinç kaynağı oldu. Fakat bundan kısa bir süre sonra µ mezonların yalnızca zayıf nükleonlarla etkileşim içinde olduğu bulundu. Güçlü çekirdek kuvvetleri etkileşimine cevap vermediği için bulunan bu mezon Yukowa’nın tahmin ettiği değildi. 1947 yılında π mezon bulundu. Nükleonlar arasındaki güçlü etkileşimin bu parçacıklarla olduğu kabul edilmiştir. Elektronun kütlesinden 273 kat büyük olan π+ ve π- mezonlar, elektronun kütlesinden 264 kat büyük olan π 0 mezonları belirlenmiştir. (Şekil-11.4)

Şekil 11.4 Feyman diyagramları olarak adlandırılır. Değiş-tokuş parçacığı teorisi birçok deneyle test edilmiş ve çekirdek teorisine büyük katkılarda bulunmuştur.

3.3. ÇEKİRDEK MODELLERİ

Çekirdeği anlamak için temel tanımlamamız şu şekilde özetlenebilir: çekirdeğin içerisinde nükleonların nasıl hareket ettikleri ve nükleer kuvvetlerin nasıl davrandıklarıdır. Protonlar, nötronlar, elektronlar ve atomların elektrodinamik ve kuantum mekanik kanunlarına nasıl uyduklarını bilmekteyiz. Burada problem çekirdeği bir arada tutan kuvvetlerdir. Atomda etkileşim kuvvetleri Coulomb kuvvetidir ve özellikleri çok iyi bilinmektedir. Coulomb kuvveti elektron ve çekirdek arasındaki Coulomb etkileşimi hareketi hakkında önemli rol oynar böylece problem rahatlıkla çözülebilir. Fakat çekirdekte en etkin etkileşim kuvveti çekirdek kuvvetidir. Son bölümde tartıştığımız üzere bu kuvvet hakkında bir çok şey bilmekteyiz fakat Coulomb kuvveti gibi kapalı bir form yazamamaktayız. Çekirdek kuvvetlerini tamamen anlamış olsak bile hala başka problemlerle karşılaşabiliriz. Atomda elektronların etkileşimleri küçük pertürbasyonlar şeklindedir. Bununla birlikte çekirdek içerisinde bir çok nükleonun karşılıklı etkileşimleri çekirdeği bir arada tutar dolayısıyla iki cisim Coulomb problemi gibi (elektron ve atom çekirdeği arasında ) bir çözüme ulaşmak mümkün olamamaktadır. Bir düşünce istatistiksel yaklaşımla bunun yapılabileceğidir fakat istatistiksel metotları kullanabilmek için de yeterince nükleon sayısının olmaması gibi bir problemle karşı karşıya gelinir. İşte bu problemler çekirdeği çok ilginç ve araştırmaya değer sebepler şeklinde adlandırılabilir. Çekirdek çok cisim kuantum sistemidir ve birçok parçacık birbirinden bağımsız etkileşim içinde olup bir kaç parçacık istatistiksel metotlara uyar. Bu zorlukların sonucunda farklı çekirdek modelleri çekirdek içindeki

nükleonların hareketlerini tasvir eder ve çekirdek yapıları hakkında bilgi verir. Bazen özel bir model sadece bir tek özelliğini açıklayabilir. Bununla birlikte teorik çalışmaların gelişmesi ve büyük kapasiteye sahip bilgisayar teknolojileri kullanmakla mikroskobik çekirdek model hesaplamaları çekirdek hakkında geliştirilmektedir. Nükleon-nükleon etkileşimlerinden çekirdek özellikleri gözlemlenebilmektedir. Dikkat edilecek olursa iki nükleon arasındaki kuvvete ilave olarak üç cisim etkileşimleri de hesaba alınmalıdır. Mikroskobik ve makroskobik çekirdek modelleri ve yeni deneysel sonuçların arasındaki ilişki bugünkü nükleer fizik çalışmalarında en güncel olan durumlardır. 1932 yılından beri birçok çekirdek modeli ortaya konmuştur. En erkeni daha önceden de belirttiğimiz gibi sıvı damla modelidir. Bu modele göre nükleonlar çekirdek içerisinde kolektif olarak hareket ederler bu yüzden kolektif model olarak ta adlandırılır. Bunun zıttı bir model ise birbirinden bağımsız parçacık modelidir. Bu da fermi gaz modeli olarak adlandırılır. Nükleonlar çekirdek içerisinde birbirinden bağımsız hareket ederler. Şimdi bu modeli kısaca açıklayalım; daha sonra iki başarılı çekirdek modelini, küresel çekirdek kabuk modeli ve çekirdek kollektif modeli ele alalım. Küresel çekirdek kabuk modeli 1949 yılında M. G. Mayer ve J.H.D. Jensen ve arkadaşları tarafından ortaya konmuş ve 1963 yılında Nobel fizik ödülünü almışlardır. Çekirdek kollektif model 1952 yılında A.Bohr ve B.Mottelson tarafından ortaya konmuş ve 1975 yılında Nobel fizik ödülünü almıştır. Gerçekte çekirdekler bu iki geniş kategoriye ayrılırlar. Şekil 11.5a’da görüleceği üzere 2+ ilk uyarılma enerjileri şekil11.5b de bu uyarılma enerjisine ait elektrik kuadrupol geçiş olasılıkları görülmektedir. Şekil 11.5a da görüldüğü üzere 2+ enerji düzeyleri 0.5-4 MeV arasında oldukça büyük ve geçiş olasılıkları oldukça küçüktür. Şekil 11b’de dikkat edilecek olursa A=120 ve 200 arasında geçiş olasılıkları oldukça büyük buna karşın 2+ enerji düzeyleri daha küçüktür. Bu şekillerden anlaşılacağı üzere nadir toprak elementleri ve aktinitlerin enerjileri oldukça düşük ve geçiş olasılıklarının ise oldukça büyük olduğudur.

Nükleonlar arasındaki etkileşimde kritik durum hem kabuk modelinde hem de kolektif modelde çok önemli bir durumdur. Nükleon –nükleon etkileşimleri spin bağımlı olduğundan proton ve nötron birleşerek deteryum çekirdeğini oluşturur ve deteryumun gözlenen toplam spini S=J=1 şeklindedir. Buradan da anlaşılmaktadır ki çekirdek içerisinde çok güçlü bir çiftlenim kuvveti vardır. Çekirdek içerisinde her bir proton diğer protonla ve her bir nötron

diğer nötronla çiftelenerek S=0 spininde birleşmektedir. Böylece çift Z ve çift N ye sahip çekirdeklerin spinleri daima sıfırdır. M.Mayer bu kuralı kullanarak kendi kabuk modelinde tek A çekirdeklerinin spinlerinin çiftlenmemiş son parçacıktan belirlenebileceğini açıkladı. Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS teorisi) Süperiletkenlik teorisi çekirdeklerdeki çiftlenim durumlarını anlamada önemli bir mihenk taşı olmuştur. Süperiletkenliğin kalbi olan bu fikir zıt spine sahip olan iki elekron(S=0) çiftlenim oluşturarak malzeme içerisinde bir çeşit bağlı düzey oluşturur. Cooper çiftleri bozon gibi davranır. A.Bohr,B.R.Notelson ve D.Pines ve S.Belyaev nükleer fiziğe BCS teorisini uygulamıştır. Çift-çift çekirdeklerde nükleonların çiftlenmesinden dolayı yasak bir enerji oluşmaktadır. Aynen süperiletkenlerde olduğu gibi fakat burada bu enerji aralığı protonlar ve nötronlar arasında olmaktadır. Çiftlenim aralığının altında yalnızca kolektif rotasyonel ve vibrasyonel uyarılmalar çift-çift çekirdeklerde olmaktadır. Tek bir parçacığın bir yörüngeden diğer yörüngeye ulaşabilmesi için bu çiftlenimi kıracak bir enerjiye ihtiyaç vardır. Kabuk modeli ve kolektif modeli ele aldığımızda bu modellerin uzantılarını mikroskobik tanımlamalarda araştırmamız gerekir.

Bir çekirdek, diğer kuantum mekaniksel sistemler gibi, bir set karakteristik enerji, veya uyarılmış durumalrı içerir. Bunların en önemlisi, stabil (durağan) bir durumdadır ki bu da temel durum olarak adlandırılır. Çekirdekler normal olarak bu durumda bulunmazlar. Bir nükleer modelin gayesi nükleer özellikleri açıklamak için bir pratik yöntem oluşturmaktır. Ideal olarak nükleer yapıların hesaplanması, nükleer içerikteki kuvvetlerle ilgili yasaların bilinmesini gerektirir. En basit çekirdek için bu yönde bir geşilme kaydedilmiştir. Fakat daha büyük çekirdekler için bir model uygulaması gerekmektedir. Çok erken ortaya konan modeller çeşitli şekillerde başarızısız olmuştur. Faydalı bazı modeller şu şekilde özetlenebilir. a-)Fermi Gaz Modeli Bu modelde nötronlar ve protonlar bağımsız olarak bulunurlar ve çiftler halinde nükleer hacime eşit bir hacim içerisinde bulunurlar ve düzlem dalgalarla açıklanırlar. Bir R nükleer boyutu ve kütleleri M olan A tane parçacık için de Broglie dalga boyu

31

/ AR≈λ ve buna karşılık gelen momentum

R

hAP

31

=

Parçacık kinetik enerjisi:

2

322

2 MR

A

M

PT ≈≈

ve tüm çekirdekler için ∼ A5/3/MR2 dir. Potansiyel enerji ise etkileşen çiftlerin sayısı ile

orantılıdır. Yani 2

)1( −AA . A yeterli büyüklükte ise potansiyel enerji temel terimlerdir. Bu

modele göre çekirdek yıkılacağından nötron –proton etkileşiminin bunu önliyecek şekilde açıklanması gerekir. Bu model büyük çekirdeklere iyi uygulanabilir. Bu model yüksek enerji çarpışma problemlerinde çok faydalı açıklamalar getirmiştir. Bu modelin temeli birbirinden bağımsız parçacık modeline dayanmaktadır. Çekirdeğin içerisindeki nükleonlar bir potansiyel kutusu içerisinde birer gaz molekülü gibi birbiriyle etkileşim içerisinde olmadan hareket ederler. Nükleonlar fermionlar olduğundan dolayı çekirdek fermi-gaz olarak ele alınabilir. Nükleonların hareketlerini belirleyen en önemli faktör onların Pauli dışarlama ilkesidir. Nükleonlar birbirinden bağımsız olarak çekirdek içerisinde etkileşmeden hareket edebilirler çünkü bütün izinli temel düzeyler doludur. Fermi düzeyi ve bu düzeyin üzerinde ki durumlar daha alt fermi düzeyi altında bulunan nükleonlar tarafından

ulaşılamaz enerji değerindedir. Bunu açıklamak için şöyle bir şey söylenebilir iki protonun çarpıştığını düşünelim bir proton fermi düzeyinin altında ki daha yüksek enerji düzeyine gidebilir. Diğer proton daha düşük bir enerji düzeyinde enerjinin korunumu gereği daha düşük bir enerji düzeyine gitmelidir. Fakat bütün düşük enerji düzeyleri doludur dolayısıyla iki parçacık birbirleriyle etkileşim içine girmezle ve enerji değişimi yapmazlar. n ve p lar farklı yüklere sahip olduklarından potansiyelin derinliği ve şekli şekil11.6 da görüldüğü üzre aynı değildir. Burada B deneysel bağlanma enerjsi ve Ec coulomb enerjisidir. P kuyusunun tabanı n kuyusun tabanından Ec kadar daha yüksektedir. p kuyusunun üst kısmı coulomb bariyerine sahip olup içte bulunan parçacıkların dışarı çıkmasını dışarıda bulunanlarında içeri girmesini engeller. Eğer dışarıdan bir p gelip çekirdek içine girmek isterse enerjisi bu bariyeri aşabilecek boyutta olamlıdır. Bu bariyerin daha düşük enerjili parçacıkları tünelleme etkisi ile delinme ihtimali vardır.

Potansiyel kuyusunda kesikli enerji düzeyleri bulunmaktadır. Çekirdek temel düzeyde iken Pauli dışarlama ilkesinin izin verdiği ölçüde nükleonlar en düşük enerji düzeyindedir. n kuyusu içinde her bir enerji düzeyi iki n , p kuyusu içinde ise iki tane p bulunmaktadır. Bunların spinleri yukarı ve aşağı şeklindedir. Çekirdek temel düzeyde bulunduğunda nükleonların doldurduğu en yüksek düzey fermi enerji düzeyi olarak adlandırılır. Bir boyutta kare kuyu potansiyel içerisinde bulunan bir parçacığın enerji düzeyleri

� = �"#"

$�%" 11.4

Burada m parçacık kütlesi ve d potansiyel derinlkği şeklindedir. Bunu üç boyuta genişletirsek

�&�"�' =ℏ

$�%" ()�� + )�� + )+

�) 11.5

)� = 1,2,3, …. )� = 1,2,3, …. )+ = 1,2,3… Bir boyuttaki durumun aksine enerji dejenelerliği artar. Bir tek temel düzey bulunmaktadır. (n1,n2,n3) =(1,1,1) fakat üç tane aynı enerjide uyarılmış düzey vardır.(2,1,1), (1,2,1),(1,1,2,) Fermi enerji düzeyi ve onun altında kaç tane düzey olduğunu bilmek zorundayız. Kaç tane (n1,n2,n3) kombinasyonu bu şartı sağlar

)�� + )�� + )+

� ≤ $�23%"

#" 11.6

4� ≡ $�23%"

#" 11.7

)�� + )�

� + )+� ≤ 4� 11.8

Eğer n1,n2,n3 kartezyen koordinat sisteminin üç ana ekseni olduğu kabul edilirse R kürenin çapı olacaktır. Aynı enerjiye sahip düzeyler kürenin yüzeyinde R yarıçapsında olacaktır. Her bir (n1,n2,n3) kristal örgüye karşılık gelir. En yüksek enerji , en büyük küresel yüzeye , en büyük kristal örgüye ve en yüksek dejenereye sahiptir. Kaç tane n1,n2,n3 grubu eşitlik 11.6 yı sağlar? Bu soru kaç tane kristal örgü R yarıçaplı küre yüzeyinde bulunabilir? Demeye eşittir. Bütün pozitif n1,n2,n3 ler için kürenin 1/8 lik kısmının hacmi

�$67+ 4+ = 7

8 9$�:23%"

#" ;+ �⁄

11.9

Şimdi n ları düşünelim her bir enerji düzeyinde iki tane n vardır(pauli dışarlama ilkesinden dolayı) d3 lük bir hacimde n sayısı

< = 7+ 9

$�:23,:%"

#" ;+ �⁄

11.10

Çekirdek hacmi aşağısdaki şekilde yazılır

=+ = 67+ 4�

+ = 67+ >�+? 11.11

Böylece n un max kinetik enerjisi elde edilmiş olur yani fermi enerji düzeyi

@,� = ℏ"��:AB"

9�7C6D ;� +⁄

11.12

Şeklinededir. Aynı benzer yolla p max kinetik enerjiyi de hesaplayabiliriz

@,� = ℏ"��:AB"

9�7E6D ;� +⁄

11.13

Burada ro çekirdek çapıdır(1.20f). p ve n un max momentumlarının aşağıdaki eşitlikle yazabiliriz.

F� = ℏAB9�7C6D ;

� +⁄ 11.14

FG = ℏAB9�7E6D ;

� +⁄

Yukarıdaki eşitli ği elde etmek için göreceli olmayan enerji ve momentum bağıntılaraı kullanıldı

@ = �3"�� 11.15

Buna göre ortalam kinetik enerjiyi hesaplayacak olursak

⟨⟩ = J 2%'�K3BJ %'�K3B

= +L 9

�3"��; 11.16

Çekirdeğin toplam kinetik enerjisi

⟨(M, <)⟩ = <⟨C⟩ + M⟨E⟩ = +��� N<��

� + M�G�O 11.17

= +���

ℏ"AB"9�76 ;

� +⁄9C

P '⁄ QEP '⁄

D" '⁄ ;

Burada heriki p ve n kütleleri m olarak ele aldık aynı zamanda potansiyel kuyu genişliğini p ve n için aynı değer aldık. Elbetteki başlangıçta heriki p ve n un birbirinden bağımsız hareket ettiği varsayımını yaptık. Eşitlik 11.17 de Z=N, ⟨(M, <)⟩ değeri minimumdur. Z-N=δ, alırsak ve Z+N=A olarak tanımlarsak

< = ��? 91 − S

D; M = ��? 91 + S

D;

Eğer δ/A ≪ 1 ise binom açılımını kullanırsak;

(1 + �)� = 1 + )� + )() − 1)2 �� +⋯

O halde N=Z olursa (11.17) eşitli ği

⟨(M, <)⟩ = +���

ℏ"AB"9�7$ ;

� +⁄9? + L

�(EYC)"

D +… ; 11.18

İlk terim A ile doğru orantılıdır ve hacim enerjisine katkıda bulunur. İkinci terim

Z[\�(EYC)"

D 11.19

Burada

Z[\� = �8 9

�7$ ;

� +⁄ ℏ"�AB"

11.20

Eşitlik 11.18 den açıkça görüleceği üzere aynı A ya sahip çekirdeklerde Z=N olduğunda çekirdek enerjisi minimum olmakta dır. Yani Z=N çekirdekler en kararlı çekirdeklerdir. b-) Sıvı Damlası Modeli �N.Bohr ve F. Kalckan) Bu model çok parçacık sisteminde nötronlar ve protonlar arasında güçlü etkileşimi ele alan ve nükleer maddenin sürekliliğinden başlayan bir modeldir. Deneyde bulunan yakın aralıklı pek çok düzeyin varlığına işaret eder. Bu modelle Bohr’un birleşik çekirdek teorisi tabii açıklamasını bulur. Bu model aynı zamanda nükleer bağlanma enerjilerini ve yarı amprik nükleer bağlanma formülü için temel teşkil eder. Büyük çekirdekler için geçerlidir. c-) Yarı atomik kabuk Modeli: Burada küresel simetrik bir potansiyelde hareket eden parçacık dalga fonksiyonları kullanılır. Bu model spektroskopik sınıflandırma ve gözlenen periyodik özelliklerin açıklanmasında faydalıdır.