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Mecanica clasicaTRANSCRIPT
1
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICA
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ
BITÁCORA DE EQUIPO
MECÁNICA CLÁSICA
ALUMNOS: LEÓN FONSECA IVETTE DE LOS ANGELES
LÓPEZ PAZ MARÍA MAGDALENA MARTÍNEZ ALDAZABA JORGE LUIS
MARTÍNEZ HERNÁNDEZ CINTLI XÓCHITL MÉNDEZ MENDO LUIS ALBERTO
NAVARRO FLORES SILVIA FABIOLA PÉREZ OCHOA ARELY
CLAVE:
AEF-1042 GRUPO: 2U2-A
ING. QUÍMICA
CATEDRÁTICO:
GONZALEZ ARREGUI VICENTE
H. VERACRUZ, VER. ENERO-JUNIO 2013
2
ÍNDICE
1. Aspectos del Ingeniero .................................................................................. 6
Tarea Extra clase ................................................................................................ 9
“Ley de la gravitación universal” .................................................................. 9
Problemas resueltos ........................................................................................ 10
1.1 Integración y Convivencia ............................................................................ 12
1.2 Conceptos Fundamentales ....................................................................... 13
1.3 La Física y Su relación con otras Ciencias ................................................. 15
1.4 Física Clásica ................................................................................................. 19
1.6 LEYES DE NEWTON ...................................................................................... 26
1.6.1. Primera Ley de Newton.......................................................................... 26
1.6.2 Segunda Ley de Newton ......................................................................... 30
1.7. Física .......................................................................................................... 51
Actividad Extra Clase (Conceptos) ................................................................. 53
Exposición 1 ........................................................................................................ 54
1.9 Sistema de Unidades .................................................................................... 57
1.10 El sistema internacional de unidades ........................................................ 58
1.11. Vectores ...................................................................................................... 59
1.11.1 Clasificación de los vectores. .............................................................. 60
1.12 Representación de vectores ....................................................................... 62
1.12.1 Método del polígono ............................................................................. 62
1.12.2 Método del paralelogramo .................................................................... 64
1.13 Vectores Unitarios ....................................................................................... 66
Actividad Extra clase (Ejercicios) ................................................................... 67
1.14 Producto Escalar ......................................................................................... 68
Actividad Extra clase ....................................................................................... 73
1.16. Producto Vectorial...................................................................................... 75
1.18 Concepto de Espacio .................................................................................. 81
1.19 Marco de Referencia ................................................................................... 82
1.20 Concepto de Tiempo ................................................................................... 82
1.22. Concepto de Masa y Peso ......................................................................... 85
3
1.23 Unidades de Peso........................................................................................ 86
Tarea Extra clase .............................................................................................. 88
1.24 Ley de Senos ............................................................................................... 90
1.25. Ley de Cosenos .......................................................................................... 91
EXAMEN UNIDAD UNO MECÁNICA CLASICA .................................................. 93
2.2 CONCEPTO Y ESTUDIO DE LA DINAMICA ................................................. 99
2.2.1. Dinámica ................................................................................................. 99
2.3 CONCEPTO Y ESTUDIO DE LA DINAMICA, CINETICA Y CINEMATICA .. 101
2.4 MOVIMIENTO RECTILINEO ......................................................................... 102
2.5 VELOCIDAD MEDIA ..................................................................................... 105
2.6 VELOCIDAD INSTANTANEA ....................................................................... 107
TAREA EXTRA CLASE .................................................................................. 107
FORMULARIO DE ACELERACIÓN Y VELOCIDAD.......................................... 110
3. DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA .................................................................. 111
3.1 CONCEPTOS ................................................................................................ 111
3. 1. 1 CONCEPTO DE PARTÍCULA ........................................................... 111
3. 1. 2 CONCEPTO DE MASA ..................................................................... 111
3. 1. 3 CONCEPTO DE FUERZA ................................................................. 112
3. 2 LEYES DE NEWTON ................................................................................... 113
3. 2. 3 Segunda Ley de Newton ................................................................. 115
3. 2. 5 Tercera Ley de Newton .................................................................... 117
3. 2. 6 Aplicación de la Tercera Ley de Newton ....................................... 117
TAREA EXTRA CLASE .................................................................................. 117
TAREA EXTRACLASE 2 ................................................................................ 119
TAREA EXTRACLASE 3 ................................................................................ 121
TAREA EXTRACLASE 4 ................................................................................ 122
3. 2. 7 Cuarta Ley de Newton o Ley de la Gravitación Universal ............ 125
3. 2. 8 Aplicación de la Cuarta Ley de Newton ......................................... 125
3. 3 FRICCIÓN .................................................................................................... 126
3. 4 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA ........................................... 133
3. 5 FUERZAS CENTRALES .............................................................................. 137
4
4.1 CONCEPTO DE TRABAJO....................................................................... 139
4.2 POTENCIA................................................................................................. 142
4.2.1 POTENCIA INSTANTÁNEA ................................................................ 142
4.2.3 UNIDAD DE POTENCIA EN EL SI ...................................................... 143
4.3 ENERGÍA CINÉTICA ................................................................................. 146
4.4 ENERGÍA POTENCIAL ............................................................................. 148
4.6 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA .......................... 152
4.7 CONSERVACIÓN EN EL TRABAJO MECÁNICO .................................... 154
4.8 FUERZAS NO CONSERVATIVAS ............................................................ 157
5.1 DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS.......................................... 158
5.1.1 ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE PARTICULAS? ......................................... 158
5.1.2 FUERZAS EN EL SISTEMA DE PARTICULAS ..................................... 159
5.1.3 CENTRO DE MASA ............................................................................... 160
5.1.4 CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS..... 160
5.1.5 LEY DE LA DINÁMICA PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. ......... 161
5.1.6 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. .............................................................. 161
5.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA ...................................................... 161
5.2.1 FUERZAS EXTERNAS Y MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA ...... 165
5.3 TEOREMA DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ... 167
5.3.1 UNIDADES ............................................................................................. 167
5.3.2 VARIACIÓN EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ............................... 168
5.3.3 FUERZA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ............................................. 168
5.3.4 VALIDEZ DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DEL
MOVIMIENTO .................................................................................................. 169
5.4 TEOREMA DE CONSERVACION DE LA ENERGÍA ................................... 170
5.4.1 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL ........................................... 171
5.4.2 ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA ....................................................... 173
5.4.3 LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA .................................. 176
5.5 COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS ............................................... 180
5.5.1 CHOQUE INELASTICO .......................................................................... 180
5
5.5.2 CHOQUE TOTALMENTE INELÁSTICOS .............................................. 181
5.5.3 CHOQUES ELÁSTICOS......................................................................... 184
5.6 CUERPO RIGIDO ......................................................................................... 187
5.6.1 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULARES ..................................... 187
5.6.2 VELOCIDAD ANGULAR ........................................................................ 188
5.6.3 ACELERACIÓN ANGULAR ................................................................... 191
6 SISTEMAS DE PARTÍCULAS ......................................................................... 195
6.1 DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ...................................... 195
6.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA .................................................. 195
6.3 Teorema de la conservación de la cantidad de movimiento ................ 196
6.4 Teorema de conservación de la energía ................................................ 200
6.5 COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS........................................... 202
6.5.1 COLISIONES ELÁSTICAS................................................................. 202
6.5.2 COLISIONES INELÁSTICAS .............................................................. 203
6.6 MECANICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS .................................................. 203
6.6.1 CUERPO RIGIDO ................................................................................ 203
6.6.2 MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO ................................................ 205
6.6.3 TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE CUERPOS ..................................... 205
6.6.3.1 TRASLACIÓN .................................................................................. 205
6.6.3.2 ROTACIÓN:...................................................................................... 206
6.6.4 MOMENTO DE INERCIA .................................................................... 208
GLOSARIO ......................................................................................................... 209
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 214
6
1. Aspectos del Ingeniero
Análisis y diseño
El orden y la disciplina en el estudio y experimento, sin olvidar aplicar
estos principios básicos para alcanzar el éxito que consiste en la
satisfacción del deber y la ética como estudiante que se cumple.
¿Qué es la ética?
La ética, es una de las tantas ramas de la filosofía. Es aquella ciencia,
ya que estudia las cosas por sus causas, de lo universal y necesario,
que se dedica al estudio de los actos humanos. Pero aquellos que se
realizan tanto por la voluntad y libertad absoluta, de la persona. Todo
acto humano que no se realice por medio de la voluntad de la persona
y que esté ausente de libertad, no ingresan en el estudio o campo de
la ética.1
¿Qué es la Ética Profesional?
La ética profesional pretende regular las actividades que se realizan
en el marco de una profesión. En este sentido, se trata de una
disciplina que está incluida dentro de la ética aplicada ya que hace
referencia a una parte específica de la realidad.2
¿Qué es saber?
Es recordar el conocimiento aprendido.
¿Cuál es la relación que existe en la Ingeniería y la Ética
Profesional?
El Ingeniero realiza sus actividades dentro de un marco de Ética
Profesional por lo cual es necesario recordar la definición de Ética y
comentar los conceptos básicos de lo que es el trabajo profesional.
La ética es una ciencia práctica y normativa que estudia racionalmente
la maldad y la bondad de los actos humanos, da normas para la vida, 1http://www.misrespuestas.com/que-es-etica.html
2http://definicion.de/etica-profesional/
7
orienta la conducta práctica, dirige, encauza las decisiones libres del
hombre; en resumen es rectora de la conducta humana para ejecutar
actos buenos acordes con la razón. La profesión es la actividad
personal puesta de una manera estable y honrada al servicio de la
sociedad y en beneficio propio a impulsos de la vocación y con la
dignidad que corresponde a la persona. La finalidad del trabajo
profesional es el bien común; un profesionista debe ofrecer una
preparación especial en el sentido de capacidad intelectual, moral y
física.3
El maestro instruye y educa, orienta y asesora y por naturaleza propia
es el tutor de nosotros.
Leer con cuidado (e interpretando los conceptos de lo leído en para lo
cual en nuestra bitácora, al final anotaremos en un glosario.)
3www.funlam.edu.co/lampsakos/n1/n1a8.pdf
Proverbio Oriental
“Escucho y observo
Leo y comprendo
Veo y recuerdo
Hago y aprendo”.
8
Estudio
Valor
Saber: Recordar el
conocimiento adquirido.
Física Clásica
Entrega de Trabajos
La forma de evaluación consta de los siguientes requisitos:
Diseño
Fecha y Periodo
Logotipos
Formatos de reportes de visitas, tareas y actividades extra-
clases.
Formatos para prácticas de Laboratorio (Lleva numeración
temática)
9
Tarea Extra clase
“Ley de la gravitación universal”
Esta ley fue deducida por Isaac Newton, a partir de las leyes de Kepler, que describe el movimiento de los planetas. Su enunciado es el siguiente:
Dos masas M1 y M2, entre cuyos centros existe una distancia d, se
atraen con una fuerza cuyo módulo es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia que los separa.
También se puede expresar de la siguiente manera
Todos los cuerpos se atraen mutuamente con fuerzas que son directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
La expresión matemática de la ley es:
Dónde G, es una constate, llamada Constate de la Gravitación Universal.
En la figura 22 observamos dos masas M1 y M2, que se atraen mutuamente con unas fuerzas F12 y F21. Siendo d la distancia que separa dichos cuerpos.
10
De acuerdo con esta ley todoslos cuerpos se atraen entre sí, ya que dos piedras se atraen, la piedra atrae a la tierra, la tierra atrae a la piedra, laguna y la tierra se atraen, la luna no cae sobre la tierra porque gira alrededor de la tierra, de la misma forma como gira una piedra atada a un hilo. La fuerza de gravitación que existe entre dos cuerpos no son más, que fuerzas y de atracción.
El peso de los cuerpos varía de acuerdo a la masa del planeta donde se encuentre, ya que mientras más grande sea la masa, mayor será el peso del cuerpo.
El valor de G, obtenido experimentalmente es:
A continuación se realizarán algunos ejercicios que servirán como ejemplo para complementar dicha información.4
Problemas resueltos
1. Hallar la fuerza con que se atraen dos masas de 5,5 (1024 Kg) y 7,3 (1022 Kg) separados por una distancia de 3,8 (108 m.)
Solución
F = ?
M1 = 5,5 (1024 Kg.)
M2 = 7,3 (1022 Kg.)
d = 3,8 (108 m)
4http://www.monografias.com/trabajos81/leyes-de-newton/leyes-de-newton2.shtml
11
Para calcular la fuerza de atracción entre las masas M1 y M2, sustituimos en la fórmula de la cuarta ley de Newton el valor de cada una de ellas, así como los valores de G, y de la distancia d:
Quedando la fórmula como sigue:
2. Calcular la masa de un cuerpo, si fuerza de atracción entre dos masas es de 1,8 (10^-2 N) y la masa de una de ellas 0,6 (102 Kg.) y las separa una distancia de 0,2 (10^-1 m.)
Solución
F = 1,8 (10^-2 N)
M1 = 0,6 (102 Kg.)
M2 =?
d = 0,2 ( 10^-1 m)
Despejando M2 de la fórmula de la cuarta ley de Newton tenemos
12
Ser
Hacer
Saber
Sustituyendo en la fórmula los valores tenemos:
1.1 Integración y Convivencia
Ser-Implica (Convivencia)
Nos integramos para hacer
(Comunicación)
Hacemos para obtener el saber
(Conocimiento)
Estos son las bases para que a la hora de
conformar un equipo como un grupo social, pueda existir la
participación por cada uno de sus entes para futuras tareas.
Para ver una buena convivencia tiene que haber
comunicación.
Es necesario hacer un plan (Organización) en la vida
cotidiana.
Para éste curso los Libros que se deben usar:
Física conceptos y aplicaciones
Editorial: Mc Graw Hill
Autor: Paul E. Tippens
13
Física universitaria, volumen 1
Editorial: personAdison-wesley
Autor: Sears/ Zamansky/ Young/ Freedman
―Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la
energía atómica: LA VOLUNTAD‖
Albert Einstein
1.2 Conceptos Fundamentales
Ciencia
Es el conjunto sistemático de conocimiento, métodos y conceptos con
el que el hombre describe y explica los fenómenos que observa.
Es necesario aclarar previamente que se llama conocimiento a un
conjunto de información adquirida a través de la experiencia o de la
introspección y que puede ser organizado sobre una estructura de
hechos objetivos accesibles a distintos observadores. Se
denomina ciencia a ese conjunto de técnicas y métodos que se
utilizan para alcanzar tal conocimiento. El vocablo proviene del
latín scientia y, justamente, significa conocimiento.5
La ciencia se divide en 3 partes principalmente:
Ciencias Exactas Ciencias Naturales Ciencias Sociales
Dónde cada una de estas ciencias presenta lo siguiente:
5http://definicion.de/ciencia/
14
Ciencias Exactas
Son aquellas que sólo admiten principios, consecuencias y hechos
demostrables por medio de sistemas matemáticos aplicados en
experimentación, cuantificación repetible o deducciones calculables.
Cuerpos rígidos
Cuerpos deformables
Fluidos
Ciencias Naturales
Son aquellas ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza siguiendo la
modalidad del método científico conocida como método experimental. Estudian los aspectos físicos; y no los aspectos de la
humanidad
Astronomía
Geografía
General M.
Biología
Microbiología
Zoología
Anatomía
Botánica
Agricultura
Geología
15
La física es la más fundamental y general de las ciencias, y ha tenido un profundo efecto en todo el desarrollo científico. En realidad, la física es el equivalente actual de lo que se acostumbra a llamar filosofía natural, de la cual provienen la mayoría de nuestras ciencias modernas. Estudiantes de muchas disciplinas se encuentran estudiando física a causa del papel básico que esta juega en todos los fenómenos.6
1.3 La Física y Su relación con otras Ciencias
Para entender los fenómenos que ocurren en la naturaleza, la Física se relaciona con otras ciencias, como: Ciencia Que estudia:
Matemática Los números y las figuras. Química La composición de la materia.
6http://pioneros.puj.edu.co/lecturas/iniciados/Otras%20Ciencias.pdf
Ciencias Sociales
Agrupan a todas las disciplinas científicas cuyo objeto de
estudio está vinculado a las actividades y el
comportamiento de los seres humanos.
Historia Universal
Educación Política
Antropología
Filosofía
Psicología
16
Geología La estructura y transformaciones de la Tierra Biología La vida y sus manifestaciones Astronomía Los cuerpos celestes Mineralogía Los minerales Geografía La superficie terrestre Su relación se establece de la siguiente manera: Las Matemáticas permiten cuantificar los diversos fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza. La Química explica con leyes físicas las interacciones moleculares de la materia. La Geología aplica leyes físicas para comprender la estructura, evolución y transformación de la Tierra. La Biología aplica leyes físicas para explicar la vida orgánica. La Astronomía aplica leyes de óptica para desarrollar sus observaciones.
La Mineralogía aplica la Física a las estructuras atómicas de la materia. La Meteorología aplica conceptos de presión y temperatura. La Geografía aplica leyes físicas en la descripción de la Tierra y los cambios en la superficie.7 Por lo tanto, todas estas ciencias aplican leyes y métodos físicos lo que ha permitido su avance y desarrollo, así como también la creación de nuevos campos de estudio en las llamadas ciencias intermedias como:
Fisicoquímica
Biofísica
Geofísica
Astrofísica
7http://issuu.com/ernestoyanezrivera/docs/la_f_sica_y_su_relaci_n_con_otras_ciencias?mode=window&pa
geNumber=1
17
Física Escalar y Vectorial
La física es una ciencia experimental. Los físicos observan los fenómenos naturales e intentan encontrar los patrones y principios que los describen. Tales patrones se denominan teorías físicas o, si están muy bien establecidos y se usan ampliamente, leyes o principios físicos8.
La física se divide en Escalar y Vectorial.
Cantidad Escalar Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo número y tiene el mismo valor para todos los observadores. Por ejemplo, la temperatura de un cuerpo se expresa con una magnitud escalar. Una magnitud física se denomina escalar cuando puede
representarse con un único número (única coordenada) invariable en cualquier sistema de referencia. Así la masa de un cuerpo es un escalar, pues basta un número para representarla (por ejemplo: 75 kg).
Cantidad Vectorial Una magnitud es vectorial o más generalmente tensorial, cuando se necesita algo más que un número para representarla completamente. Por ejemplo, la velocidad del viento es una magnitud vectorial, ya que además de su módulo (que se mide como una magnitud escalar), debe indicarse también su dirección (norte, sur , este, etc.), que se define por un vector unitario. En cambio, la distribución de tensiones internas de un cuerpo requiere especificar en cada punto una matriz llamada tensor tensión y por tanto el estado de tensión de un cuerpo viene representado por una "magnitud tensorial".9
Cómo resolver problemas de Física En algún punto de sus estudios, casi todos los estudiantes de física sienten que, aunque entienden los conceptos, simplemente no pueden resolver los problemas. Sin embargo, en física, entender
8 Física Universitaria, La naturaleza de la física, pag 2
9http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar
18
verdaderamente un concepto o principio es lo mismo que saber aplicarlo a diversos problemas prácticos. Aprender a resolver problemas es absolutamente indispensable; es imposible saber física sin poder hacer física.
¿Cómo estudiar Física? Se debe de dar especial atención a los significados específicos de las palabras para poder entender el material. Con frecuencia se incluyen gráficas, dibujos, tablas y fotografías en la literatura técnica. Deberán estudiarse detenidamente para entender claramente los principios físicos involucrados. Se deberá aprender a anotar exclusivamente las partes significativas de cada lección. Asegúrese de escuchar con atención la explicación de los variados temas. Apréndase a reconocer las palabras claves como trabajo, fuerza, energía y cantidad de movimiento.
Se deberá llevar un cuaderno de notas limpio y ordenado con las notas de clase, completadas con apuntes tomados del estudio del texto. Hágase esto tan pronto como sea posible después de la clase, mientras los conceptos sigan vigentes en la memoria. Esto servirá a tres propósitos:
1) Proporcionará un conjunto de notas claras e inteligibles para repaso
2) Ayudará a detectar las áreas débiles de conocimientos 3) Permitirá formar hábitos de estudio regulares y organizados.
Probablemente, la sección más importante del cuaderno de apuntes sea la de los problemas resueltos. Hay que resolver todos los ejemplos vistos en clase y los dejados como tarea.10
División de la Física
La Física se divide para su estudio en dos grandes grupos: la Física clásica y la Física moderna. La primera estudia todos aquellos fenómenos de los cuales la velocidad es muy pequeña comparada con la velocidad de propagación de la luz. La segunda se encarga de todos aquellos fenómenos producidos a la velocidad de la luz o con valores cercanos a ella. Esto debido a que la física clásica no describe
10
Física conceptos y aplicaciones, Tippens ,pag 6.
19
con precisión los fenómenos que se suceden a la velocidad de la luz. En la física moderna también se estudian los fenómenos subatómicos.11
1.4 Física Clásica
La Física Clásica compone entonces:
1. MECÁNICA (Es la parte de la física clásica que estudia las fuerzas)
2. ESTÁTICA (Estudia las fuerzas en cuerpos en reposo en equilibrio,
respecto a determinado sistema de referencia)
1) Fuerza. a) interacción gravitatoria. b) Interacción electromagnética.
c) Interacción nuclear fuerte y débil. 2) Condiciones de equilibrio 3) Maquinas simples
Hay que saber distinguir entre problemas de aritmética, estática y dinámica.
Todos los cuerpos rígidos no son estrictamente rígidos (tienen movimiento).
Los cuerpos deformables son aquellos que estudian la resistencia de materiales y sufren deformaciones y rangos de deformaciones elásticas y plásticas.
Dentro de los rangos de elasticidad se pueden hacer pruebas. como: a) tensión b) flexión c) torsión. d) Compresión
Sistema mecánico y de fluidos (sistema termodinámico del fluido en razón).
11
http://es.wikibooks.org/wiki/F%C3%ADsica/Divisi%C3%B3n_de_la_F%C3%ADsica
20
Termodinámica. Es el estudio de la dinámica de los gases. Un ejemplo de la termodinámica en la aplicación del funcionamiento en Ingeniería sería los sistemas mecánicos. A los refrigerantes también se les llama freones.
El clima tiene 2 sistemas: un sistema mecánico y un sistema
termodinámico de fluido.
Hay sistemas administrativos conformados por:
Sistemas de operación
Sistemas de organización
Oleodinámica
Dinámica de los aceites.
Hidráulica (Parte de la mecánica que estudia los líquidos). La fuerza
neta es la resultante de varias fuerzas.
Electromagnetismo (Interacción de los campos eléctricos y magnéticos).
Óptica (Fenómenos relacionados con la luz).
Acústica: (Sonido y fenómeno de la audición).
Física Moderna
Se divide en:
A) FISICA CUÁNTICA :(energía formada de "cuantos")
B) FISICA RELATIVA :(Materia y Energía son dos entidades
relativas)
21
Cuerpo en
equilibrio
N=0
ΣF=0 = R=0
V=K En línea recta
a=0 En reposo Movimiento
Reposo
1.5 Mecánica
La mecánica clásica (también conocida como mecánica de Newton, llamada así en honor a Isaac Newton, quien hizo contribuciones fundamentales a la teoría) es la parte de la física que analiza las fuerzas que actúan sobre un objeto.
La mecánica clásica se subdivide en las ramas de la estática, que trata con objetos en equilibrio (objetos que se consideran en un sistema de referencia en el que están parados) y la dinámica, que trata con objetos que no están en equilibrio (objetos en movimiento).
La Mecánica Clásica reduce su estudio al dominio de la experienciadiaria, es decir, con eventos que vemos o palpamos con nuestros sentidos.12
Un cuerpo en equilibrio esta cuando cumple las siguientes
condiciones; estática se aplica a un cuerpo rígido, que puede estar en:
12
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica
22
MECÁNICA
-Estática: es la rama de la mecánica clásica que
analiza las cargas (fuerza, par / momento) y
estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas
físicos en equilibrio estático, es decir, en un
estado en el que las posiciones relativas de los
subsistemas no varían con el tiempo. De los
cuerpos en reposo o en movimiento. F=k.
(Mantiene una velocidad constante)
-Dinámica: Es la parte de
la física (específicamente de la mecánica clásica) que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con las causas que
provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. De las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento y los conceptos a fines de trabajo, energía y potencia.
-Mecánica de los materiales.(Resistencia de los
materiales)La resistencia de un elemento se
define como su capacidad para resistir cosas y
algo aplicadas sin romperse, adquirir
deformaciones permanentes o deteriorarse de
algún modo.
-Incomprensibles: Hidráulico.
-Comprensibles: Termodinámica.
Mecánica de los cuerpos deformables
Estudia el comportamiento de los cuerpos
sólidos deformables ante diferentes tipos
de situaciones como la aplicación
de cargas o efectos térmicos.
Mecánica de los fluidos
Estudia el movimiento de los fluidos
(gases y líquidos) así como
las fuerzas que los provocan. También
estudia las interacciones entre el fluido y
el contorno que lo limita. La hipótesis
fundamental en la que se basa toda la
mecánica de fluidos es la hipótesis del
medio continuo.
Mecánica de los Cuerpos rígidos.
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian.
23
Lenguaje de la Física
Son las Matemáticas.
¿Qué papel desempeñan las matemáticas?
Las matemáticas sirven a muchos propósitos. Estos valores se
subordinan a su uso principal como herramienta profesional para el
científico, el ingeniero o el técnico.
Supóngase que deseamos predecir el tiempo que se precisará para
detener un automóvil que viaja a una velocidad dada. Deberemos
tomar nota del peso del automóvil, su velocidad inicial, el cambio de
velocidad que sufre, la distancia recorrida y el tiempo necesario para
hacer que el automóvil se detenga. Después de medir todos estos
elementos, el siguiente paso será relacionarlos entre sí. No podremos
hacerlo sin el empleo de las matemáticas.
Si se hiciera un experimento, sus mediciones, más el conocimiento de
las matemáticas, llevarían a la siguiente relación:
𝑠 = 𝑣𝑡 +1
2𝑎𝑡2
Dónde
s= distancia en que se detiene
v= velocidad inicial
t= tiempo en que se detiene
a= rapidez de cambio de la velocidad
Esta proposición es una hipótesis viable. De esta ecuación podemos
predecir el tiempo en que se detendrán otros vehículos. Cuando lo
hayamos usado el tiempo suficiente para asegurarnos razonadamente
que la proposición es verdadera, la llamaremos, teoría científica. En
otras palabras, cualquier teoría científica no es sino una hipótesis
viable que ha soportado la prueba del tiempo.
24
Así las matemáticas son un instrumento que nos permite derivar
relaciones experimentales que describan con exactitud los fenómenos
físicos. Nuestro estudio posterior nos revelará que las matemáticas
juegan un papel todavía mayor en la solución de ecuaciones por
valores específicos.13
Teoría. Es un sistema lógico que está compuesto de observaciones.
El significado de la palabra ―teoría‖ Decir que una idea es una teoría no implica que se trate de una divagación o de un concepto no comprobado. Más bien, una teoría es una explicación de fenómenos naturales basada en observaciones y en los principios fundamentales aceptados. Un ejemplo es la bien establecida teoría de la evolución biológica, que es el resultado de extensas investigaciones y observaciones de varias generaciones de biólogos. El desarrollo de la teoría física exige creatividad en cada etapa. El físico debe aprender a hacer las preguntas adecuadas, a diseñar experimentos para tratar de contestarlas y a deducir conclusiones apropiadas de los resultados. Para cualquier problema tenemos que hacer un diseño y un análisis;
un esquema; saber sí los resultados son factibles.14
El tiempo influye en la velocidad, la aceleración es constante, no varía.
Experimento Procedimiento mediante el cual se trata de comprobar
una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno.
Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de
comprobar (confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas
con un determinado fenómeno, mediante la manipulación de la/s
variables que presumiblemente son su causa. La experimentación
constituye uno de los elementos clave del método científico y es
fundamental para poder ofrecer explicaciones causales.15
La aceleración en la caída libre es constante.
Variable La velocidad Constante Aceleración = 0
13 Física conceptos y aplicaciones, tippens, pag 5. 14
Física Universitaria, pag 2 15
http://www.proyectosalonhogar.com/Hagamos_experimentos.htm
25
Elementos que actúan sobre un
cuerpo
Fuerza
Masa
Aceleración
Aceleración: Es el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
Mecánica de los cuerpos Rígidos La condición de la
estática se aplica para los cuerpos sólidos.
La ciencia depende de una forma sistemática (se aprende)
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1.6 LEYES DE NEWTON
1.6.1. Primera Ley de Newton
Primera Ley de Newton Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza externa no equilibrada actué sobre él. Hemos visto algunas propiedades de las fuerzas, pero no hemos dicho como afectan el movimiento. Por principio de cuentas, consideremos que sucede cuando la fuerza neta sobre un cuerpo es cero. Sin duda estamos de acuerdo en que, si un cuerpo está en reposo y ninguna fuerza neta actúa sobre el (es decir, no hay empujón ni tirón netos), el cuerpo permanecerá en reposo. Pero, ¿Qué sucedería si la fuerza neta es cero? y ¿Actúa sobre un cuerpo en movimiento?. Para saber que sucede en este caso, suponga que usted desliza un disco de hockey sobre una mesa horizontal, aplicándole una fuerza horizontal con la mano (figura 4.9a). Cuando deja de empujar, el disco no sigue moviéndose indefinidamente; se frena y se detiene. Para mantenerlo en movimiento, hay que seguirlo empujando (es decir, aplicando una fuerza). Podríamos llegar a la conclusión de ―sentido común‖ de que los cuerpos en movimiento naturalmente se detienen y que se necesita una fuerza para mantener el movimiento. Imagine ahora que empuja el disco en una superficie lisa de hielo (figura 4.9b). Al dejar de empujar, el disco se desliza mucho más lejos antes de detenerse. Ponga el disco y empújelo en una mesa de hockey de aire, donde flota sobre un delgado ―cojín‖ de aire, y llegara aún más lejos (figura 4.9c). En cada caso, lo que frena el disco es la fricción, una interacción entre la superficie inferior del disco y la superficie sobre la que se desliza. Cada superficie ejerce una fuerza de fricción sobre el disco, la cual reduce su movimiento; la diferencia entre los tres casos es la magnitud de la fuerza de fricción. El hielo ejerce menos fricción que la superficie de la mesa, y el disco viaja más lejos. Las moléculas de gas de la mesa de hockey de aire son las que menos fricción ejercen. Si pudiéramos eliminar totalmente la fricción, el disco nunca se frenaría y no necesitaríamos fuerza alguna para mantener el disco en movimiento, una vez que empieza a hacerlo. Así, la idea de ―sentido común‖ de que se requiere una fuerza para conservar el movimiento es incorrecta.
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Experimentos como el que describimos demuestran que, si ninguna fuerza neta acta sobre un cuerpo, este permanece en reposo, o bien, se mueve con velocidad constante en línea recta. Una vez que un cuerpo se pone en movimiento, no se necesita una fuerza neta para mantenerlo en movimiento; a tal observación la conocemos como primera ley del movimiento de Newton: Primera ley del movimiento de Newton:un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero. La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez iniciado su movimiento es resultado de una propiedad llamada inercia. La tendencia de un cuerpo en reposo a permanecer en reposo también se debe a la inercia. Es importante señalar que lo que importa en la primera ley de Newton es la fuerza neta.
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Suponga que un disco de hockey descansa en una superficie horizontal con fricción despreciable, como una mesa de hockey de aire o una plancha de hielo húmedo. Si el disco esta inicialmente en reposo y luego una sola fuerza horizontal F S1actúa sobre el (figura 4.10a), comenzara a moverse. Si el disco ya se estaba moviendo, la fuerza cambiara su rapidez, su dirección, o ambas, dependiendo de la dirección de la fuerza. En este caso, la fuerza F S1 neta es no es cero. (También hay dos fuerzas verticales, la atracción gravitacional terrestre y la fuerza normal hacia arriba de la superficie pero, como ya dijimos, estas dos fuerzas se cancelan.) Suponga ahora que aplicamos una segunda fuerza F S2 (figura 4.10b), igual en magnitud a
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pero de dirección opuesta. Una fuerza es el negativo de la otra, F S2 5 2F S1 y su suma vectorial es cero:
Otra vez, vemos que, si el cuerpo esta inicialmente en reposo, sigue en reposo; y si se está moviendo, sigue moviéndose en la misma dirección con rapidez constante. Estos resultados muestran que, en la primera ley de Newton, una fuerza neta de cero equivalea ninguna
fuerza. Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante (en línea recta con rapidez constante), decimos que el cuerpo está en equilibrio. Para que este en equilibrio, sobre un cuerpo no deben actuar fuerzas, o deben actuar varias fuerzas cuya resultante —es decir, la fuerza neta— sea cero:
Para que esto se cumpla, cada componente de la fuerza neta debe ser cero, así que
Estamos suponiendo que el cuerpo puede representarse adecuadamente con una partícula puntual. Si el cuerpo tiene tamaño finito, tendremos que considerar también en que parte del cuerpo se aplican las fuerzas.
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1.6.2 Segunda Ley de Newton
Al tratar la primera ley de Newton, vimos que cuando ninguna fuerza, o una fuerza neta cero, actúa sobre un cuerpo, este se mueve con aceleración cero y su velocidad es constante. En la figura 4.13a, un disco de hockey se desliza a la derecha sobre hielo húmedo, donde la fricción es despreciable. No actúan fuerzas horizontales sobre el disco; la fuerza de la gravedad hacia abajo y la fuerza de contacto hacia
arriba ejercida por el hielo se cancelan. Así la fuerza neta Σ𝐹 que actúa sobre el disco es cero, el disco tiene aceleración cero y su velocidad es constante. Sin embargo, ¿Qué sucede si la fuerza neta no es cero? En la figura 4.13b se aplica una fuerza horizontal constante al disco en la dirección
de su movimiento. Entonces, Σ𝐹 es constante y en la misma dirección horizontal que 𝑣 . Vemos que, mientras la fuerza actúa, la velocidad del disco cambia a ritmo constante; es decir, el disco se mueve con aceleración constante. La rapidez del disco aumenta, así que 𝑎 tiene la
misma dirección que 𝑣 y Σ𝐹 . En la figura 4.13c se invierte la dirección de la fuerza sobre el disco,
de modo que Σ𝐹 actúe en la dirección opuesta a 𝑣 . Aquí también el disco tiene una aceleración: se mueve cada vez más lentamente a la
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derecha. La aceleración 𝑎 en este caso es a la izquierda, en la misma
dirección que Σ𝐹 . Como en el caso anterior, el experimento muestra
que la aceleración es constante si Σ𝐹 es constante. La conclusión es que una fuerza neta que actúa sobre un cuerpo hace que este acelere en la misma dirección que la fuerza neta. Si la magnitud de la fuerza neta es constante,como en las figuras 4.13b y 4.13c, también lo será la magnitud de la aceleración.
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Un enunciado alterno establece que la aceleración de un cuerpo es la misma dirección que la fuerza neta que actúa sobre él, y es igual a la fuerza neta dividida entre la masa del cuerpo.
La segunda ley de Newton es una ley fundamental de la naturaleza, la relación básica entre fuerza y movimiento.
1.6.3. Tercera Ley de Newton
Una fuerza que actúa sobre un cuerpo siempre es el resultado de su interacción con otro cuerpo, así que las fuerzas siempre vienen en pares. Al patear un balón de futbol, la fuerza hacia adelante que el pie ejerce sobre él lo lanza en su trayectoria, pero sentimos la fuerza que el balón ejerce sobre el pie. Si pateamos un peñasco, el dolor que sentiríamos se debería a la fuerza que el peñasco ejerce sobre el pie. En todos estos casos, la fuerza que ejercemos sobre el otro cuerpo
tiene dirección opuesta a la que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Los experimentos muestran que, al interactuar dos cuerpos, las fuerzas
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que ejercen mutuamente son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Esta es la tercera ley del movimiento de Newton.16
16
Física Universitaria, pag 123.
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Aplicaciones y Problemas de las Leyes de Newton Primera Ley de Newton
Problema No. 1 Equilibrio unidimensional: Tensión en una cuerda sin masa
Una gimnasta de masa mG 5 50.0 kg se cuelga del extremo inferior de una cuerda colgante. El extremo superior esta fijo al techo de un gimnasio. ¿Cuánto pesa la gimnasta? .Que fuerza (magnitud y dirección) ejerce la cuerda sobre ella?. ¿Qué tensión hay en la parte superior de la cuerda? Solución La gimnasta y la cuerda están en equilibrio, así que podemos aplicar la primera ley de Newton a ambos cuerpos. La gimnasta y la cuerda ejercen fuerzas entre sí, es decir, interactúan, así que también usaremos la tercera ley de Newton para relacionar tales fuerzas.Las incógnitas son el peso de la gimnasta, wG, la fuerza que la cuerda ejerce sobre la gimnasta (llamémosla TR sobre G) y la tensión que el techo ejerce sobre la parte superior de la cuerda (llamémosla TC sobre R).
Planteamiento y desarrollo Dibujaremos diagramas de cuerpo libre individuales para la gimnasta (figura 5.lb) y la cuerda (figura 5.1c). Tomaremos el eje 1y hacia arriba, como se muestra. Todas las fuerzas actúan verticalmente, así que solo tienen componente en y. Las dos fuerzas TR sobre G y TG sobre R son la fuerza hacia arriba de la cuerda sobre la gimnasta (en la figura 5.1b) y la fuerza hacia debajo de la gimnasta sobre la cuerda (en la figura 5.1c) respectivamente. Estas fuerzas forman un par acción-reacción, así que deben tener la misma magnitud. Vemos también que el peso de la gimnasta wG es la fuerza de atracción (hacia abajo) que la Tierra ejerce sobre la gimnasta. Su fuerza de reacción es la fuerza de atracción igual y opuesta (hacia arriba) que la gimnasta ejerce sobre la Tierra.
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La magnitud del peso de la gimnasta es el producto de su masa y la aceleración debida a la gravedad, g:
Esta fuerza apunta en la dirección 2y, así que su componente en esa dirección es 2wG. La fuerza hacia arriba que la cuerda ejerce sobre la gimnasta tiene magnitud desconocida TR sobre G y una componente y positiva 1TR sobre G. Dado que la gimnasta esta en equilibrio, la suma de las componentes y de fuerza que actúan sobre ella debe ser cero:
La cuerda tira de la gimnasta hacia arriba con una fuerza TR sobre G de magnitud 490 N. Por la tercera ley de Newton, la gimnasta tira de la cuerda hacia abajo con una fuerza de la misma magnitud, TG sobre R= 490 N. La cuerda también está en equilibrio. Hemos supuesto que no tiene peso, así que la fuerza hacia arriba de magnitud TC sobre R que el techo ejerce sobre su extremo superior deberá hacer que la fuerza vertical neta que actúa sobre la cuerda sea igual a cero. Expresado como ecuación:
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Problema No. 2 Tensión de una polea sin fricción
Se están sacando bloques de granito de una cantera por una pendiente de 158. Por razones ecológicas, también se está echando tierra en la cantera para llenar los agujeros. Para simplificar el proceso, usted diseña un sistema en el que una cubeta con tierra (de peso w2 incluida la cubeta) tira de un bloque de granito en un carro (peso wl incluido el carro) sobre rieles de acero, al caer verticalmente a la cantera (figura 5.5a). Determine qué relación debe haber entre w1 y w2 para que el sistema funcione con rapidez constante.
Solución
El carro y la cubeta se mueven con velocidad constante (es decir, en línea recta con rapidez constante). Por lo tanto, los dos cuerpos están en equilibrio y podemos aplicar la primera ley de Newton a cada uno. Las dos incógnitas son los pesos w1 y w2. Las fuerzas que actúan sobre la cubeta son su peso w2 y una tensión hacia arriba ejercida por el cable. Sobre el carro actúan tres fuerzas: su peso w1, una fuerza normal de magnitud n ejercida por los rieles y una fuerza de tensión del cable.
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(Estamos ignorando la fricción, así que suponemos que los rieles no ejercen ninguna fuerza paralela a la pendiente.) Esta situación es idéntica a la del automóvil en la rampa del ejemplo 5.4. Igual que en ese ejemplo, no todas las fuerzas que actúan sobre el carro tienen la misma dirección, así que necesitaremos usar ambas componentes de la primera ley de Newton de la ecuación (5.2). Estamos suponiendo que el cable no tiene peso, así que las fuerzas de tensión que la cuerda ejerce sobre el carro y la cubeta tienen la misma magnitud T. Planteamiento y Desarrollo
La figura 5.5b es nuestro modelo idealizado del sistema. Las figuras 5.5c y 5.5d son los diagramas de cuerpo libre que dibujamos. Cabe señalar que podemos orientar los ejes de forma distinta para cada cuerpo. Los ejes que se muestran son la opción que más nos
conviene. Aplicando ∑𝐹𝑦 = 0 a la cubeta llena de tierra en la figura 5.5c, tenemos
Aplicando ∑𝐹𝑥 al bloque y al carro en la figura 5.5d, obtenemos
Igualando las dos expresiones para T,
Problema No. 3 Un Plano Inclinado
Un automóvil de peso w descansa sobre los rieles inclinados de una rampa que conduce a un remolque (figura 5.4a). Solo un cable conectado al auto y a la armazón del remolque evita que el auto baje la rampa. (Los frenos y la transmisión del auto están desactivados.) Calcule la tensión en el cable y la fuerza con que los rieles empujan los neumáticos.
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Solución El automóvil está en equilibrio, así que usaremos otra vez la primera ley de Newton. La rampa ejerce cuatro fuerzas sobre el auto, una en cada neumático. Por sencillez, juntaremos todas estas fuerzas en una sola. Otra simplificación es que hay muy poca fricción sobre el auto, de manera que despreciaremos la componente de esta fuerza que actúa paralela a los rieles. Por lo tanto, podemos decir que la rampa solo ejerce una fuerza sobre el auto que es perpendicular a los rieles. Esta fuerza aparece porque los átomos de la superficie de los rieles se resisten a que los átomos de los neumáticos penetren entre ellos. Llamaremos a esta fuerza ―fuerza normal‖. Las dos incógnitas son la magnitud n de la fuerza normal y la magnitud T de la tensión en el cable.
Planteamiento y Desarrollo
La figura 5.4b muestra un diagrama de cuerpo libre para el auto. Las tres fuerzas que actúan sobre el auto son su peso (magnitud w), la tensión del cable (magnitud T) y la fuerza normal (magnitud n). Esta última actúa hacia arriba y hacia la izquierda porque está evitando que el auto penetre en los rieles sólidos. Tomamos los ejes de coordenadas x y yparalelos y perpendiculares a la rampa, como se muestra. Esto facilita el análisis del problema porque así solo la fuerza del peso tiene componentes tanto en x como en y.
Para escribir las componentes x y yde la primera ley de Newton, necesitamos obtener las componentes del peso. Una complicación es
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que el ángulo a en la figura 5.4b no se mide del eje 1x al eje 1y, así que no podemos usar las ecuaciones (1.6) directamente para obtener las componentes.
Una estrategia para obtener las componentes de 𝑤 es considerar los
triángulos rectángulos de la figura 5.4b. El seno de a es la magnitud de la componente x de
𝑤 (esto es, el cateto opuesto al ángulo 𝑎 del
triángulo) dividida entre la magnitud w (la hipotenusa). Asimismo, el coseno de 𝑎 es la magnitud de la componente y (el cateto adyacente
al ángulo 𝑎 del triángulo) dividida entre w. Ambas componentes son negativas, así que 𝑤𝑥= -w sen𝑎 y 𝑤𝑦= -wcos𝑎.
En la figura 5.4b marcamos con una línea ondulada el vector original que representa el peso para recordar que no debemos contarlo dos veces. Las condiciones de equilibrio nos dan
Por definición, T, w y n son magnitudes de vectores y por lo tanto positivas. Despejando T y n, obtenemos
Aplicaciones y Problemas de las Leyes de Newton
Segunda Ley de Newton
Problema No. 1 Cálculo de aceleración por una fuerza
Un trabajador aplica una fuerza horizontal constante con magnitud de 20 N a una caja con masa de 40 kg que descansa en un piso plano con fricción despreciable. .Que aceleración sufre la caja?
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Solución En este problema intervienen fuerza y aceleración. Siempre que usted se tope con un problema de esta clase, abórdelo empleando la segunda ley de Newton. Planteamiento y Desarrollo
En cualquier problema que implique fuerzas, el primer paso consiste en elegir un sistema de coordenadas y después identificar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. Suele ser conveniente elegir un eje que apunte en la dirección de la aceleración del cuerpo o en la dirección opuesta que, en este caso, es horizontal. Por lo tanto, tomamos el eje 1x en la dirección de la fuerza horizontal aplicada (es decir, la dirección en la que se acelera la caja), y el 1y, hacia arriba (figura 4.18b). En casi todos los problemas de fuerzas, todos los vectores de fuerza están en un plano, así que no se
usa el eje z. Las fuerzas que actúan sobre la caja son i) la fuerza horizontal
𝐹
ejercida por el trabajador, cuya magnitud es 20 N; ii) el peso 𝑤 de la
caja, es decir, la fuerza hacia abajo producida por la atracción gravitacional que ejerce la tierra, y iii) la fuerza de soporte hacia arriba
𝑛 ejercida por la superficie horizontal plana. Como en la sección 4.2,
llamamos a 𝑛 fuerza normal porque es perpendicular a la superficie de
contacto. (Usamos una n cursiva para evitar confusiones con la abreviatura N, de newton.) Consideramos que la fricción es despreciable, así que no hay fuerza de fricción. Puesto que la caja no se mueve verticalmente, la aceleración y es cero: 𝑎𝑦=0. Nuestra incógnita es la componente x de la aceleración,
𝑎𝑥 . La obtendremos usando la segunda ley de Newton en forma de componentes,
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Por la figura 4.18, solo la fuerza de 20 N tiene una componente x distinta de cero. Por lo tanto, la primera relación de las ecuaciones nos indica que
Problema No. 2 Cálculo de la fuerza a partir de una aceleración
Una camarera empuja una botella de salsa de tomate con masa de 0.45 kg a la derecha sobre un mostrador horizontal liso. Al soltarla, la botella tiene una rapidez de 2.8 m>s, pero se frena por la fuerza de fricción horizontal constante ejercida por el mostrador. La botella se desliza 1.0 m antes de detenerse. .Que magnitud y dirección tiene la fuerza de fricción que actúa sobre la botella?
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Solución Al igual que el ejemplo anterior, en este problema intervienen fuerzas y aceleración (el frenado de la botella de salsa), así que usaremos la segunda ley de Newton para resolverlo. Lo primero es elegir un sistema de coordenadas e identificar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo (en este caso, la botella de salsa). Como indica la figura 4.19, elegimos el eje 1x en la dirección en que se desliza la botella, y tomaremos como origen el punto donde la botella sale de la mano de la camarera a 2.8 m>s. En la figura 4.19 se muestran también las fuerzas que actúan sobre la botella. La fuerza de fricción
𝑓 frena la botella, así que su dirección debe ser opuesta a la
dirección de la velocidad. Nuestra incógnita es la magnitud f de la fuerza de fricción. La obtendremos usando la componente x de la segunda ley de Newton, ecuación.
Para ello, primero necesitamos conocer la componente x de la aceleración de la botella 𝑎𝑥 . No nos dan el valor de 𝑎𝑥en el problema, pero nos indican que la fuerza de fricción es constante. Por lo tanto, la aceleración también es constante, así que calculamos 𝑎𝑥usando una de las fórmulas para aceleración constante de la sección 2.4. Dado
que conocemos la coordenada x y la velocidad x inicial de la botella
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Por la ecuación
El signo negativo indica que la aceleración es a la izquierda; la velocidad tiene la dirección opuesta a la aceleración, como debe ser, pues la botella se está frenando. La fuerza neta en la dirección x es 2f dela fuerza de fricción, así que
Otra vez, el signo negativo indica que la fuerza sobre la botella está dirigida a la izquierda. La magnitud de la fuerza de fricción es f 5 1.8 N. Recuerde que ¡Las magnitudes siempre son positivas!
Problema No. 3
Movimiento rectilíneo con una fuerza constante Un velero para hielo descansa en una superficie horizontal sin fricción (figura 5.7a). Sopla un viento constante (en la dirección de los patines del trineo), de modo que 4.0 s después de soltarse el velero adquiere una velocidad de 6.0 m>s (unos 22 km>h o 13 mi>h). .Que fuerza constante FW ejerce el viento sobre el velero? La masa total del velero más el tripulante es de 200 kg. Solución Nuestra incógnita es una de las fuerzas (FW) que actúan sobre el velero, así que necesitaremos usar la segunda ley de Newton. Esa ley implica fuerzas y aceleración; pero no nos dan la aceleración, así que habrá que calcularla. Se supone que el viento es constante, así que las fuerzas no cambian con el tiempo y la aceleración producida es constante. Esto implica que podremos usar una de las fórmulas de aceleración constante.
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La figura 5.7b muestra el diagrama de cuerpo libre para el velero y el tripulante considerados como una unidad. Las fuerzas que actúan sobre este objeto son el peso w, la fuerza normal n ejercida por la superficie y la fuerza horizontal FW (nuestra incógnita). La fuerza neta y por lo tanto la aceleración está dirigida a la derecha, así que elegimos el eje 1x en esa dirección. Para obtener la aceleración, observe lo que se nos dice acerca del movimiento del velero. Este parte del reposo, así que su velocidad inicial es 𝑣 0𝑥= 0 y alcanza la velocidad 𝑣𝑥= 6.0 m>s después del tiempo transcurrido t = 4.0 s. Una
ecuación que relaciona la aceleración 𝑎𝑥 con esas cantidades es la ecuación (2.8), 𝑣𝑥= 𝑣 0𝑥+ 𝑎𝑥𝑡. Las cantidades conocidas son la masa m 5 200 kg, las velocidades
inicial y final 𝑣 0𝑥= 0 y 𝑣𝑥= 6.0 m>s, y el tiempo transcurrido t = 4.0 s. Las tres incógnitas son la aceleración 𝑎𝑥 , la fuerza normal n y la fuerza horizontal FW (la incógnita). Por lo tanto, necesitamos tres ecuaciones. Las primeras dos son las ecuaciones x y ypara la segunda ley de Newton. La fuerza 𝐹𝑤 tiene la dirección + x; en tanto que las fuerzas n y mg tienen las direcciones + y y -y, respectivamente. Por lo tanto, tenemos
La tercera ecuación que necesitamos es la relación de aceleración constante
Para obtener 𝐹𝑤 , primero despejamos 𝑎𝑥de la ecuación para
aceleración constante y la sustituimos en la ecuación de ∑𝐹𝑥
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Observe que no necesitamos la ecuación ∑𝐹𝑦 para obtener 𝐹𝑤 . La
necesitaríamos si quisiéramos obtener la fuerza normal n:
Aplicaciones de y problemas de las Leyes de Newton
Tercera Ley de Newton
Problema No. 1 Objetos en reposo
Una manzana está en equilibrio sobre una mesa. ¿Qué fuerzas actúan
sobre ella? .Cual es la fuerza de reacción para cada una de ellas? ¿Cuáles son los pares acción-reacción? Solución
La figura 4.26a muestra las fuerzas que actúan sobre la manzana. En el diagrama,
𝐹 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 es el peso de la manzana, es
decir, la fuerza gravitacional hacia abajo ejercida por la Tierra (primer subíndice) sobre la manzana (segundo subíndice). Asimismo,
𝐹 𝑀𝑒𝑠𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 es la fuerza hacia arriba ejercida
por la mesa (primer subíndice) sobre la manzana (segundo subíndice). Al tirar la Tierra de la manzana, esta ejerce una fuerza igualmente intensa hacia arriba,
𝐹 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 sobre la Tierra como se
indica en la figura 4.26b.
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𝐹 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎y
𝐹 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 son un par acción-
reacción y representan la interacción mutua entre la manzana y la Tierra, así
𝑭 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 =−
𝑭 𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂
Además, la mesa empuja la manzana hacia arriba con fuerza
𝐹 𝑚𝑒𝑠𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 y la reacción correspondiente es la fuerza
hacia abajo 𝐹 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑎 que la manzana ejerce sobre la
mesa (figura 4.26c). De manera que tenemos
𝑭 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒆𝒔𝒂 =−
𝑭 𝒎𝒆𝒔𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂
Las dos fuerzas que actúan sobre la manzana son
𝑭 𝒎𝒆𝒔𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 y
𝑭 𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂. ¿Son un par
acción-reacción? No, aunque sean iguales y opuestas. No representan la interacción de dos cuerpos; son dos fuerzas distintas que actúan sobre el mismo cuerpo. Las dos fuerzas de un par acción-reacción nunca actúan sobre el mismo cuerpo. Veámoslo de otra forma. Si quitáramos repentinamente la mesa de debajo de la manzana (figura
4.26d), las fuerzas 𝑭 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒆𝒔𝒂 y
𝑭 𝒎𝒆𝒔𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 serían cero, pero
− 𝑭 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 y −
𝑭 𝒕𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 (la
interacción gravitacional aun estaría presente). Puesto que mesa sobre manzana ahora es cero, no puede ser el negativo de Tierra sobre manzana, y estas fuerzas no pueden ser un par acción-reacción.
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Problema No. 2 Objetos en movimiento
Un cantero (picapedrero) arrastra un bloque de mármol sobre un piso
tirando de una cuerda atada al bloque (figura 4.27a). El bloque podría estar o no en equilibrio. ¿Qué relaciones hay entre las diversas fuerzas? ¿Cuáles son los pares acción-reacción? Solución
Usaremos subíndices en todas las fuerzas por claridad: B para el bloque, R para la cuerda y M para el hombre. El vector
𝐹 M sobre R
representa la fuerza ejercida por el hombre sobre la cuerda; su
reacción es la fuerza igual y opuesta 𝐹 R sobre M ejercida por la
cuerda sobre el hombre. El vector 𝐹 R sobre B es la fuerza ejercida
por la cuerda sobre el bloque; su reacción es la fuerza igual y opuesta
𝐹 B sobre R que el bloque ejerce sobre la cuerda. Por estos dos pares
acción-reacción (figura 4.27b), tenemos
𝑭 𝑹 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝑴 =
𝑭 𝑩 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝑹 y
𝑭 𝑩 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝑹==
𝑭 𝑹 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝑩
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Tenga claro que las fuerzas 𝐹 M sobre R y
𝐹 B sobre R no son un par
acción- reacción (figura 4.27c); ambas actúan sobre el mismo cuerpo (la cuerda); una acción y su reacción siempre deben actuar sobre
cuerpos distintos. Además, las fuerzas 𝐹 M sobre R y
𝐹 B sobre R no
necesariamente tienen la misma magnitud. Si aplicamos la segunda ley de Newton a la cuerda, obtenemos
Si el bloque y la cuerda tienen una aceleración (es decir, si su rapidez está aumentando o disminuyendo), la cuerda no está en equilibrio y
𝐹 M sobre R deberá tener distinta magnitud que
𝐹 B sobre R. En
contraste, las fuerzas de acción-reacción 𝐹 M sobre R y
𝐹 R sobre M
siempre tienen la misma magnitud, al igual que 𝐹 R sobre B y
𝐹 B
sobre R. La tercera ley de Newton se cumple, estén los cuerpos acelerando o no. En el caso especial en que la cuerda esta en equilibrio, las fuerzas
𝐹 M sobre R y
𝐹 B sobre R tienen igual magnitud;
pero esto es un ejemplo de la primera ley de Newton, no de la tercera. Otra forma de ver esto es que, en el equilibrio, en la ecuación anterior. Entonces,
𝐹 B sobre R= -
𝐹 M sobre R por la primera o la segunda ley
de Newton. Esto se cumple también si la cuerda está acelerando pero tiene masa insignificante en comparación con el bloque o el hombre. En este caso, M cuerda = 0 en la ecuación anterior y, otra vez, B sobre C 5 2 M sobre R. Puesto que B sobre R siempre es igual a -
𝐹 R sobre
B por la tercera ley de Newton (son un par acción-reacción), en estos
mismos casos especiales 𝐹 R sobre B es igual a
𝐹 M sobre R (figura
4.27d), es decir, la fuerza de la cuerda sobre el bloque es igual a la del hombre sobre la cuerda y podemos pensar que la cuerda ―transmite‖ al bloque, sin cambio, la fuerza que la persona ejerce sobre la cuerda. Esta perspectiva es útil, pero hay que recordar que solo es válida si la cuerda tiene masa insignificante o está en equilibrio.
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Problema No. 3 ¿Cuál fuerza es mayor?
Después de que su automóvil deportivo se descompone, usted comienza a empujarlo hacia el taller mecánico más cercano. Cuando el auto comienza a moverse, ¿cómo es la fuerza que usted ejercesobre el auto en comparación con la que este ejerce sobre usted? ¿Y cuando ya va empujando al auto con rapidez constante? Solución
En ambos casos, la fuerza que usted ejerce sobre el automóvil es igual en magnitud y opuesta en dirección a la que el auto ejerce sobre usted. Es cierto que usted debe empujar con más fuerza para poner en movimiento el auto que para mantenerlo en movimiento; sin embargo, de cualquier manera el auto lo empuja a usted con tanta fuerza como usted a él. La tercera ley de Newton da el mismo resultado si los cuerpos están en reposo, moviéndose con velocidad constante o acelerando. Quizá se pregunte como el automóvil ―sabe‖ que debe empujarlo a usted con la misma magnitud de fuerza que usted ejerce sobre él. Podría ser útil recordar que las fuerzas que usted y el auto se ejercen mutuamente en realidad son interacciones entre los átomos de la superficie de sus manos y los átomos de la superficie del auto. Tales
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interacciones son análogas a diminutos resortes entre átomos adyacentes, y un resorte comprimido ejerce fuerzas de la misma magnitud en ambos extremos. No obstante, la razón fundamental por la que sabemos que objetos con distinta masa ejercen fuerzas de la misma magnitud entre si es que los experimentos nos demuestran que así es. Nunca debemos olvidar que la física es algo más que una mera colección de reglas y ecuaciones; más bien, es una descripción sistemática del mundo natural basada en experimentación y observación.
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1.7. Física ¿Qué es la física?
Es la ciencia que investiga los conceptos fundamentales de la materia, la energía y el espacio, así como las relaciones entre ellos. La física puede definirse como la materia que investiga los conceptos
fundamentales, energía y espacio y las relaciones entre ellos. En los términos de esta amplia definición, no hay fronteras claras entre las ciencias físicas. Esto queda demostrado por los campos yuxtapuestos de la biofísica, la fisicoquímica, la astrofísica, la geofísica, la electroquímica, etc. Aquí se verá lo más fundamental, donde verdaderamente el estudio comienza, es en la mecánica. La mecánica estudia lo concerniente a la posición (estática) y el movimiento (dinámica) de la materia en el espacio. La estática es el estudio de los fenómenos físicos asociados con los cuerpos en reposo. La dinámica toca lo concerniente a la descripción del movimiento y sus causas. En ambos casos, el ingeniero o técnico debe medir y describir las cantidades físicas en términos de sus causas y efectos. Un ingeniero, por ejemplo, usa los principios físicos para determinar qué tipo de estructura será la más eficiente para la construcción de un puente en una situación dada. Su preocupación está en los efectos de las fuerzas. Si el puente que construyera se cae, la causa de la falla deberá ser analizada para aplicar este conocimiento en una futura construcción. Es importante notar que el científico entiende por causa la secuencia de hechos físicos que llevan a un efecto.17 Fueron los griegos, quienes comenzaron a desarrollar, incipientemente, la física. Ya que ellos dejaron de entender todo, como
17
Física conceptos y aplicaciones, Tippens, pag 4.
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un hecho de los dioses, por lo que quisieron comprender la naturaleza que los rodeaba. Al igual que el espacio y su composición. Claro que los primeros atisbos de la física, fueron bastante pobres. Pero hay que tomar en cuenta, las nulas o precarias herramientas, con que contaban los griegos. De hecho, la mayoría de las investigaciones realizadas, tuvieron un corte, netamente filosófico. Fueron ellos, quienes desarrollaron la teoría, de que la tierra era el centro del universo. La cual fue derribada, recién en el siglo XVII, por Galileo Galilei, el que apoyó férreamente las teorías de Copérnico, sobre el sistema heliocéntrico. O sea, la tierra no era el centro del universo e incluso algo peor, que los astros no giraban alrededor de la tierra, sino que esta giraba alrededor del sol. Posteriormente, Isaac newton, realizó grandes descubrimientos en el
campo de la física. Aportando con invalorables teorías. Como la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación. Asimismo, desarrolla el cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores. Luego vendrían otros aportes a la estructura de la física, como la termodinámica y la física de los fluidos.18 ¿Qué estudia la Física?
La física estudia los conceptos esenciales Mecánica Calor Luz Sonido Electricidad Estructura Ató
18
http://www.misrespuestas.com/que-es-la-fisica.html
53
Actividad Extra Clase (Conceptos)
18-FEBRERO-2013
Energía: Se define como la capacidad para realizar un trabajo. La ley
universal de conservación de la energía —que es el fundamento
del primer principio de la termodinámica—, indica que la energía ligada
a un sistema aislado permanece constante en el tiempo. Eso significa
que para multitud de sistemas físicos clásicos la suma de la energía
mecánica, la energía calorífica, la energía electromagnética, y otros
tipos de energía potencial es un número constante
Manifestación de la energía: Es aquella capacidad que tiene la
energía para manifestarse en algún lugar como, la energía eólica,
calorífica, cinética, mecánica, etc.
Metro: Es la unidad principal de longitud del sistema internacional de
unidades. Un metro es la distancia que recorre la luz en el vacío
durante un intervalo de 1/299 792 458 de segundo. Su símbolo es m.
Segundo: Es la unidad de tiempo en el Sistema Internacional de
Unidades, el Sistema Cegesimal de Unidades y el Sistema Técnico de Unidades. Su símbolo es s. En 1967 se redefinió bajo la precisión del reloj atómico: siendo la duración de: 9 192 631 770 periodos (t) de radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles híper-
finos de átomo de 𝐶𝑒𝑠𝑖𝑜133
El tiempo en el universo no existe.
El escalar forma parte del vector pero NO son lo mismo.
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Exposición 1
Cantidades Físicas
Cantidad Física
Son aquellas que se combinan con un número y que se representan con una magnitud. La física es una ciencia experimental. Los experimentos requieren mediciones, cuyos resultados suelen describirse con números. Un número empleado para describir cuantitativamente un fenómeno físico es una cantidad física.19
Cantidad Escalar
Cantidades de magnitud positiva o negativa. Por ejemplo. Una cantidad = 5 kg (forma parte del vector, ya que consta de una magnitud, mts, kg, lts)
19
Física universitaria, Estándares y unidades, pág. 4
Cantidades físicas
Cantidades vectoriales
Magnitud
Positiva
Dirección Sentido
Cantidades escalares
Magnitud
Positiva
Negativa
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Cantidad Vectorial
Representadas por un vector, tienen dirección, magnitud y sentido. (El desplazamiento, fuerza, velocidad y se representan por una flecha, es decir, vector). Todos los vectores, tienen una cantidad, magnitud, dirección (punto de aplicación, sentido, línea de acción).
Escalar y vector
¿Qué es un escalar?
Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo
número y tiene el mismo valor para todos los observadores. Por ejemplo, la temperatura de un cuerpo se expresa con una magnitud escalar. Una magnitud física se denomina escalar cuando puede representarse con un único número (única coordenada) invariable en cualquier sistema de referencia. Así la masa de un cuerpo es un escalar, pues basta un número para representarla (por ejemplo: 75 kg). Por el contrario una magnitud es vectorial o más generalmente tensorial, cuando se necesita algo más que un número para representarla completamente.20
¿Qué es un vector?
En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).21
20
http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(f%C3%ADsica) 21
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector
56
Unidades derivadas para cantidades física derivadas
CANTIDAD
MAGNITUD
Puede ser cualquier número: 0,1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, etc.
Cualquier unidad de medida: metros,
kilogramos, kilómetros, segundos, etc.
ESCALAR
VECTOR
DIRECCION
LINEA DE ACCIÓN
MAGNITUD
Punto de aplicación
Sentido
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1.9 Sistema de Unidades
Los sistemas de unidades son conjuntos de unidades convenientemente relacionadas entre sí que se utilizan para medir diversas magnitudes (longitud, peso, volumen, etc.). Universalmente se
conocen tres sistemas de unidades: mks o sistema internacional, cgs y Técnico. Las unidades correspondientes a las magnitudes (longitud, tiempo y masa) expresadas en cada uno de estos sistemas, se presentan a continuación.
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1.10 El sistema internacional de unidades
59
1.11. Vectores
VECTORES.
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
60
Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
1.11.1 Clasificación de los vectores.
• Vectores equipolentes
Equi significa igual y polente significa valor. Esto nos dice que son dos vectores equipolentes cuando tienen el mismo valor, módulo, dirección y sentido.
• Vectores libres Conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí. Tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
61
• Vector fijo Es representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen pero la diferencia está en que no se mueven en la acción que están desarrollando.
• Vectores ligados
Son equipolentes que actúan en la misma recta, es decir los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido, sentido y se encuentran en la misma recta.
Pueden tener la misma línea de acción y diferente o igual magnitud. (Son iguales)
• Vectores opuestos Tienen el mismo módulo, misma dirección pero diferente sentido.
• Vectores concurrentes
Tienen el mismo origen
62
• Vectores de posición
Es aquél que vector que une el origen de coordenadas O con P
• Vectores linealmente dependientes Son vectores libres que contienen una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero.
• Vectores linealmente independientes Son varios vectores libres si ninguno de ellos se puede expresar como
combinación lineal de otros.
• Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su producto es cero.
1.12 Representación de vectores
Los vectores en un plano también se puede estudiar y analizar en los vectores en el espacio. Motivo de estudio de la geometría analítica en el espacio.
1.12.1 Método del polígono
Éste es el método gráfico más utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se pueden sumar o restar dos o más vectores a la vez. El método consiste en colocar en secuencia los vectores manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta flecha del anterior. El vector resultante ésta dado por el segmento de recta que une el origen o la cola del primer vector y la punta flecha del último vector.
63
Ejemplo. Sean los vectores:
Encontrar:
Resolviendo por el método del polígono, la figura
resultante es:
Si se utilizan los instrumentos de medición prácticos, se obtiene que:
y que θ es aproximadamente 80ª.
Cuando dos vectores se restan, el procedimiento anterior es el mismo, lo único que cambia es el sentido del vector que le sigue al signo menos. Por ejemplo, al restar el vector D2 del vector D1 se tiene:
D1- D2 = D1+ (-D2).
La expresión del miembro derecho de la ecuación anterior designa un cambio en el sentido del vector D2; entonces, la expresión queda como una suma, y por lo tanto, se sigue el procedimiento del método gráfico mostrado anteriormente.
Los métodos gráficos ofrecen una manera sencilla de sumar o restar dos o más vectores; pero cuando las magnitudes de los vectores son demasiado grandes o poseen una gran cantidad de decimales, estos métodos se vuelven imprecisos y difíciles de manipular a escalas de
medición menores. Es por eso, la necesidad de un método matemático
64
nemotécnico, que permita dar una mayor precisión en el cálculo de vectores resultantes, no sólo en la magnitud, sino además en la
dirección de ellas. 22
1.12.2 Método del paralelogramo
Es conveniente para sumar solo dos vectores a la vez. En ambos casos la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmento de recta, la dirección se marca colocando una punta de flecha en el extrema del segmento de dicha recta. (fig. 1.1)
EJEMPLO
. Un barco recorre 100km hacia el norte durante el primer día de viaje, 60 km al noroeste el segundo día y 120 km hacia el este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante con el método del polígono. (fig. 1.2)
22
http://www.aulafacil.com/curso-fisica-movimiento/curso/Lecc-4.htm
Fig. 1.1
Fig. 1.1
65
PLAN: Tome como punto de inicio el origen del viaje y decida una escala apropiada. Use un transportador y una regla para dibujar la longitud de cada vector de manera que sea proporcional a su magnitud. El desplazamiento resultante será un vector dibujado desde el origen a la punta del último vector. SOLUCIÓN: Una escala conveniente puede ser 20 km = 1 cm. Al realizar la medición con una regla, a partir del diagrama a escala se observa que la flecha resultante tiene 10.8 cm de longitud. Por tanto, la magnitud es 10.8 cm = 216 km
ESTRATEGIA PARA RESOLVER EL PROBLEMA Para sumar vectores
1. Elija una escala y determine una longitud de las flechas que corresponden a cada vector
2. Dibuja a escala una flecha que representa la magnitud y dirección del primer vector
3. Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su cola coincida con la punta del primer vector
4. Continúe el proceso de unir el origen de cada vector con las puntas hasta que la magnitud y la dirección de todos los vectores queden bien representadas.
5. Dibuja el vector resultante con el origen ( punto de partida) y con la punta de flecha unida a la punta del ultimo vector.
6. Mida con regla y transportador para determinar la magnitud y dirección del vector resultante.
66
1.13 Vectores Unitarios
Un vector unitario es un vector con magnitud 1. Su única finalidad
consiste en direccionar, es decir, describir una dirección en el espacio . Los vectores unitarios ofrecen una notación cómoda para muchas expresiones que incluyen componentes de vectores . Siempre incluiremos un acento circunflejo o ―sombrero‖ ( ) sobre el símbolo de un vector unitario para distinguirlo de los vectores ordinarios cuya magnitud podría o no ser 1. En un sistema de coordenadas x-y podemos definir un vector unitario que apunte en la dirección del eje 1x y un vector unitario que apunte en la dirección del eje 1y. Así, expresamos la relación entre vectores componentes y componentes, como sigue:
Āx = AxiĀy= Ay ĵ (1.13) Asimismo, escribimos un vector en términos de sus vectores componentes como
Ā = Axi + Ay ĵ (1.14) Las ecuaciones (1.13) y (1.14) son vectoriales; cada termino, como Axi es, una cantidad vectorial. Los signos igual y más en negritas indican igualdad y suma de vectores. Cuando representamos dos vectores Ā y Ē y en términos de sus componentes, podemos expresar la resultante Ṝ usando vectores unitarios como sigue: (1.15) Ā = Axi + Ay ĵ Ē = Exi + Ey ĵ (1.15) Ṝ = Ā + Ē = (Axi + Ay ĵ) + (Exi + Ey ĵ) = (Ax+ Ay ) i + (Ex+ Ey ) ĵ = ṜX i + ṜY ĵ
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La ecuación (1.15) replantea el contenido de las ecuaciones (1.10) en forma de una sola ecuación vectorial, en vez de dos ecuaciones de componentes. Si todos los vectores no están en el plano xy, necesitaremos una tercera componente. Introducimos un tercer vector unitario k que apunta en la dirección del eje +z. Las ecuaciones (1.14) y (1.15) se vuelven, entonces, Ā = A x i+ A y ĵ+ A z k Ē = E x i+ E y ĵ+ E z k Ṝ = (Ax+ EX ) i + (Ay+ Ey ) ĵ + Az+ Ez) k = ṜX i + ṜY ĵ + Ṝzk
Actividad Extra clase (Ejercicios)
EJEMPLO 1.9
Dado los dos desplazamientos
Ā = (6 i + 3 ĵ – k) m y Ē = (4 i - 5 ĵ + 8 k) m
Obtenga la magnitud del Desplazamiento 2Ā – Ē
SOLUCIÓN:
Identificar, plantear y ejecutar: Si Ī = 2Ā – Ē, tenemos
Ī =2(6 i + 3 ĵ – k) m – (4 i - 5 ĵ + 8 k) m
= [(12-4) i + (6+5) ĵ (-2-8) k] m
= (8 i + 11 ĵ -10 k) m
Las unidades de los vectores Ā, Ē, Ī son metros, así que las componentes de estos vectores también están en metros.
Ī =√ Ī 2x + Ī2
y + Ī2z
= √(8m)2 + (11m)2 + (-10m)2 = 17 m
68
EVALUAR: Trabajar con vectores unitarios hace que la suma y la resta de vectores no sean más complicadas que la suma y resta de números ordinarios. Aun así, no olvide verificar que no haya cometido errores de aritmética básica.
1.14 Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores Ā y Ē, se denota con Ā ∙ Ē Por esta notación, el producto escalar también se denomina producto punto. Aun cuando Ā y Ē sean vectores, la cantidad Ā ∙ Ē es un
escalar. Para definir el producto escalar Ā ∙ Ē dibujamos Ā y Ē con su cola en el mismo punto (figura 1.25a). El ángulo φ (la letra griega fi) puede tomar valores entre 0 y 180°. La figura 1.25b muestra la proyección del vector Ē sobre la dirección de Ā esta proyección es la componente de Ē paralela a Ā y es igual a B cosφ. (Podemos obtener componentes en cualquier dirección conveniente, no solo en los ejes x y y.) Definimos Ā ∙ Ē como la magnitud de Ā multiplicada por la componente de Ē paralela a Ā Expresado como por la ecuación,
También podemos definir Ā ∙ Ē como la magnitud de Ē multiplicada por la componente de Ā paralela a Ē como en la figura 1.25c. Así, Ā ∙ Ē = Ā ∙ ĒB(A cosφ) = AB cos φ, igual que en la ecuación (1.18).
El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo, negativo o cero. Si φ está entre 0 y 90°, cos φ > 0 y el producto escalar es positivo (figura 1.26a). Cuando φ está entre 90 y 180°, cos φ < 0, la componente de Ē paralela a Ā es negativa y Ā ∙ Ē también es negativo (figura 1.26b). Por último, cuando φ = 90°, Ā ∙ Ē = 0 (figura 1.26c). El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero. Para dos vectores Ā y Ē cualesquiera, AB cos = φ BA cos φ. Esto implica que Ā ∙ Ē = Ē ∙Ā. El producto escalar obedece la ley conmutativa de la multiplicación; el orden de los dos vectores no importa.
69
Usaremos el producto escalar en el capítulo 6 para describir el trabajo realizado por una fuerza. Si una fuerza constante F se aplica a un cuerpo que sufre un desplazamiento ŝ el trabajo W (una cantidad escalar) realizado por la fuerza es El trabajo hecho por la fuerza es positivo si el ángulo entre F y ŝ y está entre 0 y 90°, negativo si el ángulo está entre 90 y 180°, y cero si F y ŝ son perpendiculares. (Este es otro ejemplo de un termino con significado especial en física; en el lenguaje cotidiano, ―trabajo‖ no es algo que pueda ser positivo o negativo.)
70
Cálculo del Producto Escalar usando componentes Podemos calcular el producto escalar Ā y Ē directamente si conocemos las componentes x, y y z de Ā y Ē. Para saber cómo se hace, obtengamos primero los productos escalares de los vectores unitarios. Esto es fácil, pues i, ĵ y k tienen magnitud 1 y son perpendiculares entre sí. Por la ecuación (1.18),
Ahora expresamos Ā y Ē en términos de sus componentes, expandimos el producto y usamos estos productos de vectores unitarios:
Por las ecuaciones (1.19), es evidente que seis de estos nueve términos son cero, y los otros tres que quedan simplemente dan
71
Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus respectivas componentes. El producto escalar permite calcular directamente el ángulo φ entre dos vectores Ā y Ē cualesquiera cuyas componentes conocemos. En este caso, obtenemos el producto escalar de Ā y Ē y con la ecuación (1.21). Por la ecuación (1.18), dicho producto escalar también es igual a Ā Ē cos
φ. Las magnitudes vectoriales de A y E pueden obtenerse de los vectores componentes utilizando la ecuación (1.12), así que podemos determinar cos φ y de ahí el ángulo φ
Cálculo de un Producto Escalar
Obtenga el producto escalar de los dos vectores. La magnitud de los
vectores son A= 4.00 y E= 5.00
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Hay dos formas de calcular el producto
escalar. La primera usa las magnitudes de los vectores y el ángulo
entre ellos; la segunda usa las componentes de los vectores.
EJECUTAR: Usando el primer enfoque, el ángulo entre los vectores
es: φ = 130° - 57° = 77°, así que
Ā ∙ Ē = AB cosφ = (4.00) (5.00) cos 77.0° = 4.50
Esto es positivo porque el ángulo entre Ā y Ē está entre 0° y 90°.
Para el segundo enfoque necesitamos las componentes de los dos
vectores. Como los ángulos de Ā y Ē se dan con respecto al eje +x,
medidos hacia el eje +y:
A x =(4.00) cos 53° = 2.407
A y = (4.00) sen 53° = 3.195
A z = 0
E x = (5.00) cos 130° = -3.214
72
E y = (5.00) sen 130° = 3.830
E z = 0
Las componentes z son cero porque ambos vectores están en el plano
xy. El producto escalar es
Ā ∙ Ē = A x E x + A y Ey + A z E z
= (2.407) (-3.214) + (3.195) (3.830) + (0) (0)
= 4.50
EVALUAR: Obtenemos el mismo resultado para el producto escalar con ambos métodos, como debería ser.
Cálculo de ángulos con el Producto Escalar Determine el ángulo entre los dos vectores SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Se nos dan las componentes x, y y z de dos vectores.
Nuestra incógnita es el ángulo φ entre ellas. PLANTEAR: La figura 1.28 muestra los dos vectores. El producto escalar de dos vectores Ā y Ē y está relacionado con el ángulo φ entre ellos y con las magnitudes A y B por la ecuación (1.18). También está relacionado con las componentes de los dos vectores. Si nos dan las componentes (como en este ejemplo), primero determinamos el producto escalar Ā ∙ Ē y los valores de A y E, y luego determinamos la incógnita φ. EJECUTAR: Igualamos entre si nuestras dos expresiones para el producto escalar, ecuación (1.18) y ecuación (1.21). Reordenando, obtenemos: Cosφ = A x E x + A y E y + A z E z / AE Esta fórmula puede utilizarse para encontrar el ángulo entre cualesquiera dos vectores Ā y Ē. En nuestro ejemplo, las componentes de:
73
Ā son Ax = 2, Ay = 3 y Az = 1, y las componentes de Ē sonEx= -4, Ey= 2 y Ez = -1. Entonces, Ā ∙ Ē = Ax Ex+ AyEy+ Az Ez
= (2) (-4) + (3)(2) + (1) (-1) = -3 Ā = √ Ax
2 + Ay2 + Az
2 = √ (2)2 + (3)2 + (1)2 = √ 14 Ē = √ Ex
2 + Ey2 + Ez
2 = √ (-4)2 + (2)2 + (-1)2 = √ 21 Cosφ = A x E x + A y E y + A z E z / AE = -3 /√ 14 √ 21 = -0.175 Φ = 100°
EVALUAR: Para verificar el resultado, observe que el producto escalar Ā ∙ Ē es negativo, lo cual significa que Φestá entre 90° y 180° (que concuerda con nuestra respuesta.
Actividad Extra clase
EJEMPLO 1.52
a) Use componentes de vectores para demostrar que dos vectores conmutan tanto para la suma como para el producto escalar.
b) Demuestre que dos vectores no conmutan para el producto vectorial, es decir, demuestre que Ā ∙ Ē = -Ē ∙ Ā
SUMA DE VECTORES
Calculando los vectores del vector Ā si se conoce la magnitud Ā y su
dirección, solo si el ángulo se mide desde x positivo.
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Ax / A = cos φ1 por tanto Ax = A cos φ1 y Ay / A = sen φ1 por tanto Ay =
A sen φ1
Ex / E = cos φ2 por tanto Ex = E cos φ2 y Ey / E = sen φ2 por tanto Ey =
E sen φ2
PRODUCTO ESCALAR
Ā ∙ Ē = AxE x + A y E y + A z E z
Ā ∙ Ē = (A cos φ1) + (E cos φ2) + (A sen φ1) (E sen φ2)
EJERCICIO 1.53
Para los vectores Ā, Ē, Ī, obtenga los productos escolares.
a) Ā ∙ Ē b) Ē ∙ Ī c) Ā ∙ Ī
a) Ā ∙ Ē = A ∙ E cosΦ = (8.00) (15.00) cos 150° = -103.9 u
Φ = (90°-30°) +90° = 150°
b) Ē ∙ Ī = E ∙ I = cosΦ = (8.00) (12.00) cos 65° = 40.5 u
Φ = 90°-25° = 65°
c) Ā ∙ Ī = A ∙ I = cosΦ = (8.00) (12.00) cos 65° = 40.5 u
Φ = 90°-25° = 65°
EJERCICIO 1.55 Calcule el ángulo entre estos pares de vectores
a) Ā = 2.00 i + 6.00 ĵ y Ē = -2.00 i - 3.00 ĵ
b) Ā = 3.00 i + 5.00 ĵ y Ē = 10.00 i + 6.00 ĵ
c) Ā = -4.00 i + 2.00 ĵ y Ē = 7.00 i + 14.00 ĵ
a) Ā = 2.00 i + 6.00 ĵ y Ē = -2.00 i - 3.00 ĵ
Ā ∙ Ē = AxE x + A y E y + A z E z = (2.00)(-2.00) + (6.00)(-3.00) = -4-12
= - 16
Ā = √ Ax2 + Ay
2 + Az2 = √ (2)2 + (6)2 + (0)2 = √ 40
75
Ē = √ Ex2 + Ey
2 + Ez2 = √ (-2)2 + (3)2 + (0)2 = √ 13
Cosφ = A x E x + A y E y + A z E z / AE = -16 /√ 40 √ 13 = -0.701 Φ = 134.50°
b) Ā = 3.00 i + 5.00 ĵ y Ē = 10.00 i + 6.00 ĵ
Ā ∙ Ē = AxE x + A y E y + A z E z = (3.00)(10.00) + (5.00)(6.00) = 30+30
= 60
Ā = √ Ax2 + Ay
2 + Az2 = √ (3)2 + (5)2 + (0)2 = √ 34
Ē = √ Ex2 + Ey
2 + Ez2 = √ (10)2 + (6)2 + (0)2 = √ 136
Cosφ = A x E x + A y E y + A z E z / AE = 60 /√ 34 √ 136 = 0.88
Φ = 28.07°
c) Ā = -4.00 i + 2.00 ĵ y Ē = 7.00 i + 14.00 ĵ
Ā ∙ Ē = AxE x + A y E y + A z E z = (-4.00)(7.00) + (7.00)(14.00) = -
28+28 = 0
Ā = √ Ax2 + Ay
2 + Az2 = √ (4)2 + (7)2 + (0)2 = √ 20
Ē = √ Ex2 + Ey
2 + Ez2 = √ (7)2 + (14)2 + (0)2 = √ 245
Cosφ = A x E x + A y E y + A z E z / AE = 0 /√ 20 √ 245 = 0
Φ = 90.0°
1.16. Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores Ā y Ē también llamado producto cruz, se denota con Ā x Ē. Como su nombre lo indica, el
producto vectorial es un vector en sí mismo. Para definir el producto vectorial Ā y Ē de dos vectores Ā y Ē otra vez dibujamos los dos vectores con sus colas en el mismo punto (figura 1.29a). Así, los dos vectores están en un plano. Definimos el producto vectorial como una
76
cantidad vectorial perpendicular a este plano (es decir, perpendicular tanto a Ā como a Ē) con una magnitud igual a AB sen φ. Esto es, si
entonces,
C= AB sen φ (magnitud del producto vectorial cruz de Ā y Ē) (1.22) Medimos el ángulo φ de Ā hacia Ē tomando el más pequeño de los
dos ángulos posibles, de manera que φ está entre 0 y 180°. Por lo tanto, sen φ ≥ 0 y C en la ecuación (1.22) nunca es negativo, como debe ser toda magnitud de vector. Observe también que cuando Ā y Ē son paralelos o antiparalelos, φ = 0 o 180°, y C = 0. Es decir, el producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero. En particular, el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero. Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cada lado del plano. Elegimos la dirección de Ā x Ē como sigue.
Imagine que gira el vector Ā sobre la línea perpendicular hasta alinearlo con Ē, eligiendo el ángulo más pequeño entre Ā y Ē. Gire los dedos de su mano derecha sobre la perpendicular, con las puntas señalando en la dirección de la rotación; el pulgar señalara en la dirección de Ā x Ē. Esta regla de la mano derecha se ilustra en la figura 1.29a. Asimismo, determinamos la dirección de ĒxĀ girando Ē hacia Ā como en la figura 1.29b. El resultado es un vector opuesto a Ā x Ē. El
producto vectorial no es conmutativo De hecho, para cualesquiera dos vectores Ā x Ē,
Ā x Ē = - Ē x Ā (1.23)
Como hicimos con el producto escalar, podemos interpretar geométricamente la magnitud del producto vectorial. En la figura 1.30a, B sen φ es la componente del vector Ē que es perpendicular a la dirección del vector Ā Por la ecuación (1.22), la magnitud de Ā x Ē es igual a la magnitud de Ā multiplicada por la componente de Ē perpendicular a Ā. La figura 1.30b muestra que la magnitud de Ā x Ē también es igual a la magnitud de Ē multiplicada por la componente de Ā perpendicular a Ē.
77
Observe que la figura 1.30 ilustra el caso en que φ está entre 0 y 90°; usted debería dibujar un diagrama similar para φ entre 90 y 180°, para comprobar que es válida la misma interpretación geométrica de la magnitud de Ā x Ē.
78
Cálculo del producto vectorial usando componentes Si conocemos las componentes de Ā y Ē podremos calcular las componentes del producto vectorial usando un procedimiento similar al del producto escalar. Primero deducimos la tabla de multiplicación de los vectores unitarios i, ĵ y k que son mutuamente perpendiculares. El producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero, así que
El cero en negritas nos recuerda que cada producto es un vector cero; es decir, uno con todas sus componentes iguales a cero y con dirección indefinida. Usando las ecuaciones (1.22) y (1.23), y la regla de la mano derecha, tenemos
Puede verificar estas ecuaciones usando la figura 1.31a. Ahora expresamos Ā y Ē en términos de sus componentes y los vectores unitarios correspondientes, y expandimos la expresión del
producto cruz También podemos reescribir los términos individuales como en la ecuación (1.25) Como Ā x i x Ē yĵ = (Ā x Ē y) i x ĵ etcétera. Evaluamos estos usando la tabla de multiplicarde los vectores unitarios en las ecuaciones (1.24) y luego agrupamos términos, para obtener
79
Por lo tanto las componentes de Ī= Ā x Ē están dadas por
El producto cruz también puede expresarse en forma determinante: Con el sistema de ejes de la figura 1.31a, si invertimos la dirección del eje z, obtenemos el sistema de la figura 1.31b. Aquí, como podrá
comprobar el lector, la definición del producto cruz da en
vez de . De hecho, todos los productos vectoriales de i, ĵ y k tendrán signos opuestos a los de las ecuaciones (1.24). Vemos que hay dos tipos de sistemas de coordenadas, que difieren en los signos de los productos cruz de los vectores unitarios. En un
sistema derecho, como en la
figura 1.31a.
80
Cálculo de un Producto Vectorial
81
1.18 Concepto de Espacio
El espacio físico es el espacio donde se encuentran los objetos y en
el que los eventos que ocurren tienen una posición y dirección relativas. El espacio físico es habitualmente concebido con tres dimensiones lineales, aunque los físicos modernos usualmente lo consideran, con el tiempo, como una parte de un infinito continuo de cuatro dimensiones conocido como espacio-tiempo, que en presencia de materia es curvo.
El espacio es una de las pocas magnitudes fundamentales de la física, en el sentido de que no se puede definir a través de otras magnitudes físicas fundamentales, al no conocerse nada más fundamental en la actualidad. Por otra parte, puede estar relacionada con otras magnitudes fundamentales. Así, como otras magnitudes fundamentales (como tiempo y masa), el espacio puede ser explorado a través de la medición y el experimento.
DIMENSIONES LINEALES DEL ESPACIO
Un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Por ejemplo, anchura, longitud y profundidad.
El espacio a nuestro alrededor es tridimensional a simple vista, pero en realidad hay más dimensiones, por lo que también puede ser considerado un espacio tetra-dimensional si incluimos el tiempo como cuarta dimensión.
82
1.19 Marco de Referencia
El primer paso en el estudio del movimiento es establecimiento de un marco de referencia. El mismo nos ayuda a establecer parámetros relacionados con la localización en el espacio. Por ejemplo, en la descripción del movimiento de un objeto requiere la descripción de la posición del objeto. Un marco de referencia consiste de un sistema de coordenadas que ayuda a describir la posición del objeto. Un punto en una línea, puede ser descrito con una coordenada. Un punto en un plano, se localiza con dos coordenadas y se requiere de tres coordenadas para localizar un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas utilizado para determinar la posición de un objeto consiste de un punto fijo de referencia, llamado el origen y un conjunto de ejes con una escala apropiada.
1.20 Concepto de Tiempo
La materia, en su movimiento, manifiesta ciclos. La magnitud que esta propiedad genera se le llama tiempo. El tiempo es la magnitud física que mide la duración o separación de las cosas sujetas a cambio, esto es, el período que transcurre entre dos eventos consecutivos que se miden de un pasado hacia un futuro, pasando por el presente. Es la magnitud que permite el cambio y ordenar los sucesos en secuencias, estableciendo un pasado, un presente y un futuro, y da lugar al principio de casualidad, uno de los axiomas del método científico. Su unidad básica en el Sistema Internacional es el segundo. Su símbolo es s; debido a que es un símbolo y no una abreviación, no se debe escribir ni con mayúscula, ni como "seg", ni agregando un punto posterior.
1.21 Concepto de Unidad de Longitud
Las unidades del sistema métrico son:
El metro como unidad de longitud.
El segundo como unidad de tiempo.
El kilogramo como unidad de masa.
83
Si a estas unidades agregamos las de temperatura: ºC, ºF, ºK, ºR. Carga eléctrica Q= culombio. Se define este conjunto de unidades como el sistema internacional de unidades o ―si‖.
(1M) METRO ES LA LONGITUD QUE RECORRE UNA ONDA DE LUZ EN EL VACIO EN UN INTERVALO DE:
1 = T = seg.
/ Ciclo
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO.
TETA. Tetametro 1021 mts.
EXA. Exámetro 1018 mts.
PETA. Pentámetro 1015mts.
TERA. Terametro 1012 mts.
GIGA. Gigametro 109 mts.
Mega. Mega metro 106 mts.
Km. Kilómetro 103mts
Hm. Hectómetro 100 mts.
Dm. Decámetro 10 mts.
m. Metro 1 mts.
cm. Mentímetro 10-2mts.
mm. Milímetro 10-3mts.
299 792 458 seg.
84
µm. Micrómetro (micra) 10-6mts.
Nm. Nanómetro 10-9mts.
Aº. Angstrom 10-10mts.
Pm. Picometro 10-12mts
f m. Fentometro (Fermi) 10-15mts
Atto. Attometro 10-18mts.
Zepto. Zeptometo 10-21mts.
1 milla. (mi) = 5280 pies. = 1607.38 mts.
1 yarda. (yd) = 3 pies. = 0.914 mts.
1 pie. (pie) = 12 pulg. = 0.304 mts.
1 pulg. (Pulg.) = 1/12 pie. = 2.54 mts.
MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS DEL SEGUNDO.
1 DIA = 84600 Seg.
1 hora= 3600 Seg.
1 minuto= 60 Seg.
1 milisegundo= 1 mts 10-3 Seg.
1microsegundo= 1 µs 10-6 Seg.
1 nanosegundo= 1 ns 10-9 Seg.
1 picosegundo= 1ps 10-12 Seg.
1 femtosegundo 1fs 10-15 Seg.
85
MULTIPLOS Y SUB MULTIPLOS DEL KILOGRAMO (Kg.).
1 tonelada métrica =1 t = 103 Kg.
1 kilogramo =1 Kg.
1 gramo =1 g. =10-3 Kg.
1 miligramo =1 mg. =10-6Kg.
1 microgramo =1µg. =10-9Kg.
1 unidad de masa atómica =1 u =1.66x10-27 Kg.
1 libra =1 lb. =0.454 Kg.
1onza =1 oz. =28.3 Kg.
1 tonelada inglesa =1 ton. =907 Kg.
1.22. Concepto de Masa y Peso
El peso de un cuerpo es una fuerza que nos es familiar: es la fuerza con que la Tierra atrae al cuerpo. (Si usted estuviera en otro planeta, su peso seria la fuerza gravitacional que ese planeta ejerce sobre usted.) Por desgracia, es común usar incorrecta e indistintamente los términos masa y peso en la conversación cotidiana. Es absolutamente indispensable que el lector entienda claramente las diferencias entre estas dos cantidades físicas. La masa caracteriza las propiedades inerciales de un cuerpo; es lo que mantiene a la vajilla en la mesa cuando sacamos el mantel de un tirón. A mayor masa, se necesitara más fuerza para causar una aceleración dada; esto se refleja en la segunda ley de Newton.
∑𝐹 =
𝑚𝑎
El peso, en cambio, es una fuerza ejercida sobre un cuerpo por la atracción de la Tierra. La masa y el peso están relacionados: los cuerpos con masa grande tienen un peso grande. Sería difícil lanzar
86
un peñasco por su gran masa, y sería difícil levantarlo del suelo por su gran peso. Para entender la relación entre masa y peso, note que un cuerpo en caída libre tiene una aceleración igual a g y, por la segunda ley de Newton, una fuerza debe producir esa aceleración. Si un cuerpo
de 1 kg cae con una aceleración de 9.8 𝑚/𝑠2, la fuerza requerida tiene la magnitud.
La fuerza que hace que el cuerpo se acelere hacia abajo es su peso. Cualquier cuerpo con masa de 1 kg, cercano a la superficie de la Tierra, debe tener un peso de 9.8 N para sufrir la aceleración que observamos en la caída libre. En términos más generales, un cuerpo de masa m debe tener un peso de magnitud w dada por
Por lo tanto, la magnitud w del peso de un cuerpo es directamente proporcional a su masa m. El peso de un cuerpo es una fuerza, una cantidad vectorial, y podemos escribir la
ecuación (4.9) como ecuación vectorial (figura 4.21): Recuerde que g es la magnitud de la aceleración debida a la gravedad, así que g
siempre es positiva, por definición. Así, w, dada por la ecuación (4.9) es la magnitud del peso y también es positiva siempre.23
1.23 Unidades de Peso
Como el peso es una fuerza, se mide en unidades de fuerza. Sin embargo, las unidades de peso y masa tienen una larga historia compartida, en parte porque su diferencia no fue bien entendida cuando dichas unidades comenzaron a utilizarse.
23
Física Universitaria, Masa y peso, pag 120
87
Sistema Internacional de Unidades
Este sistema es el prioritario o único legal en la mayor parte de las naciones (excluidas Birmania y Estados Unidos), por lo que en las publicaciones científicas, en los proyectos técnicos, en las especificaciones de máquinas, etc., las magnitudes físicas se expresan en unidades del sistema internacional de unidades (SI). Así, el peso se expresa en unidades de fuerza del SI, esto es, en newtons (N): 1 N = 1 kg · 1 m/s²
Sistema Técnico de Unidades
En el Sistema Técnico de Unidades, el peso se mide en kilogramo-fuerza (kgf) o kilopondio (kp), definido como la fuerza ejercida sobre un kilogramo de masa por la aceleración en caída libre (g = 9,80665 m/s²)41 kp = 9,80665 N = 9,80665 kg·m/s²
Otros sistemas
También se suele indicar el peso en unidades de fuerza de otros sistemas, como la dina, la libra-fuerza, la onza-fuerza, etcétera.
La dina es la unidad CGS de fuerza y no forma parte del SI. Algunas unidades inglesas, como la libra, pueden ser de fuerza o de masa. Las unidades relacionadas, como el slug, forman parte de sub-sistemas de unidades.
88
Tarea Extra clase
Plano con dos dimensiones
Encontrar la resultante vectorial por descomposición de componentes rectangulares.
→ F
∞ Fx= F Cos Φ Fy= F Sen Φ
5N 45° Fx1=(5N)(Cos 45) Fx1=3.53N
Fy1=(5N)(Sen 45) Fy1=3.53N
10N 110° Fx2=(10N)(Cos 110) Fx2=3.42N
Fy2=(10N)(Sen 110) Fy2=9.39N
8N 270° Fx3=(8N)(Cos 270) Fx3=0
Fy3=(8N)(Sen 270) Fy3= -8N
Total Fx= 0.11N Fy= 4.92N
FIGURA1.3
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9 FIGURA 4.5
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
FIGURA1.4
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
89
La resultante y el arctg se muestran en la siguiente imagen. El vector se muestra en la imagen de a
continuación:
FIGURA 1.5
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
FIGURA1.6
4.8
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
90
1.24 Ley de Senos
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es
útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.24
La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante. Sí observamos la figura 1.7, la ley de senos se escribirá como sigue:
Figura 1.7
Resolución de triángulos por la ley de los Senos
Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos.
Ejemplo:
Supongamos que en el triángulo de la figura
1.7 . Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos.
24
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index12.htm
91
Solución:
Calculemos el ángulo
como los tres ángulos internos deben sumar 180º , podemos obtener el ángulo ,
Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos:
1.25. Ley de Cosenos
La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos
92
dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1.8 obtenemos tres ecuaciones:25
Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.
Ejemplo
Supongamos que en el triángulo de la figura
1.8 . Encontrar la longitud del tercer lado.
Solución:
Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:
25
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index13.htm
Figura 1.8
93
EXAMEN UNIDAD UNO MECÁNICA CLASICA
FECHA: 16 de Marzo 2013
1.- A TRAVES DE UN CUADRO SINOPTICO DE RESPUESTA CORRECTA A
LA CLASIFICACION DE LA MECANICA.
2.- DEFINA CON CLARIDAD LA PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE NEWTON, ANOTA SUS ECUACIONES Y UNIDADES.
PRIMERA LEY DE NEWTON: ―Partículas en equilibrio‖ Enunciado Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero.
aF X=0 (partícula en equilibrio, forma vectorial) Normalmente usaremos esta ecuación en forma de componentes:
aFx =0, aFy 0 (partícula en equilibrio, forma de componentes)
MECÁNICA
-Estática: De los cuerpos en reposo o en
movimiento F=k y en línea recta.
-Dinámica: De las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo en movimiento y los conceptos a fines de
trabajo, energía y potencia.
F= Newton F= 1 kg. 1 m/1 s². 1 N.
-Mecánica de los materiales.
(Resistencia de los materiales)
-Incomprensibles: Hidráulico.
-Comprensibles: Termodinámica.
M. de los cuerpos
deformables
M. de los fluidos
M. de los cuerpos
rígidos.
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SEGUNDA LEY DE NEWTON ―Dinámica de partículas‖ Enunciado Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección de aceleración es la misma que la1| dirección de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración. Fórmula
3.- LA FUERZA EJERCIDA POR LA TIERRA SOBRE UNA PARTICULA SE DEFINE R= FUERZA DE GRAVEDAD 4.- REALICE LAS CONVERSIONES SIGUIENTES
a) 2.15KL a DL b) 8.1 x 108 a mm c) 2.19 x 106 dg a kg d) 18 x 109 mm3 a m3
a) (2.15KL) (10DL)/ 1KL= 21.5DL b) (8.1X108 Hm) (100,000) /1 Hm =8.1-13 c) (2.19X106dg) (1Kg) /10 dg= 219000 kg d) (18X109) (1Hm3)/100,000mm3=180000 Hm3 (180000Hm)(100m3) /1Hm =18000000m3 5.- EL MOMENTO DE UNA FUERZA CUYO VALOR FUE:
32.2lb-----pie transfórmala a N----mtrs
(143.2256N)(1mtrs)/9.8N=14.61485714 mtrs 6.- DIGA QUE REPRESENTA UNA FUERZA Y POR QUE SE CARACTERIZA
R= Representa trabajos, newton y se caracteriza por newton metros sobre segundo al cuadrado 7.- A TRAVES DE UNA REPRESENTACION GRAFICA SEÑALA LA CLASIFICACION DE LOS VECTORES •Vectores equipolentes •Vectores libres
95
•Vectores ligados •Vectores opuestos
•Vectores concurrentes •Vectores de posición
8.-DEFINA LA TERCER LEY DE NEWTON
TERCERA LEY DE NEWTON
―Cada reacción hay una reacción‖
Enunciado Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una ―acción‖), entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una ―reacción‖). Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre diferentes cuerpos.
Fórmula
9.- SEÑALE LAS CONDICIONES DE VENTAJAS O DIFICULTADES AL APLICAR LA LEY DEL PARALELOGRAMA O DEL TRIANGULO EN LOS PROBLEMAS DE EQUILIBRIO.
VENTAJAS: Es el más útil, más práctico y más gráfico.
DESVENTAJAS: No se puede usar, por ejemplo, en el triángulo, más de dos vectores.
96
10.-UN KILOGRAMO MASA ¿CUÁNTOS NEWTON PRODUCE?
R= 9.8N
11.- ¿POR QUE SE CARACTERIZA UNA CANTIDAD ESCALAR?
Una cantidad=5
Una magnitud=mtrs, kg,hs,sg, forma parte del vector
12.- ¿POR QUÉ SE CARACTERIZA UNA CANTIDAD VECTORIAL?
Dirección, Magnitud, Línea de acción
13.- DEMOSTRAR POR MEDIO DE UN ANALISIS DIMENSIONAL QUE LA SIGUIENTE FORMULA TIENE VALIDEZ
d= vt+ at2/2
d= (m/s)(s) + (m/s2)(s2)/2
d=m+m/2= 2m/2
d= m
14.-PROBLEMA: CUATRO FUERZAS COPLANARES ACTÚAN SOBRE UN CUERPO EN UN PUNTO 0 COMO SE MUESTRA ENCUENTRE LA RESULTANTE
a) POR EL MÉTODO GRAFICO b) POR EL MÉTODO COMPONENTE X Y COMPONENTE Y c) A NOTE LA RESULTANTE CON VECTORES UNITARIOS
POR EL METODO GRAFICO
30°+45°+20°+0°=95°
0°+150-250=100°
FUERZA ANGULO FX=F COS FX= F SEN
80N 0 80 0
100N 45° 52.53 85.09
110N 30° -16.96 -108.68
160N 20° -65.29 -146.07
97
X=50.28
Y= -169.66
RAIZ DE (50.28)2 (-169.66)2=RAIZ DE 31312.594=176.95
Tg=b/a=169.66/50.28= -3.37 arctg= - 1.2823°
y
x
98
99
2.2 CONCEPTO Y ESTUDIO DE LA DINAMICA
2.2.1. Dinámica
La dinámica clásica estudia el movimiento de los cuerpos por medio
de principios establecidos por Newton y Euler.
Isaac Newton puso los cimientos de la mecánica clásica con la
publicación de su obra Principia en 1687, tiempo después las leyes del
movimiento como las utilizamos hoy en día fueron perfeccionadas pro
Leonhard Euler más de 60 años después.
Las leyes del movimiento son:
• Primera ley.- En ausencia de fuerzas exteriores, una partícula
inicialmente en reposo o que se mueva con velocidad constante
seguirá en reposo o moviéndose con velocidad constante a lo
largo de una recta.
∑𝐹𝑥 = 0 ∑𝐹𝑦 = 0
100
• Segunda ley.- Si sobre una partícula se ejerce una fuerza
exterior, aquélla se acelerará en la dirección y sentido de la
fuerza y el módulo de la aceleración será directamente
proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa
de la partícula.
F = m a
• Tercera ley.- Para toda acción existe una reacción igual y
opuesta. Las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en
contacto son de igual módulo e igual recta soporte, pero de
sentidos contrarios.
𝐹𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 = −𝐹𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴
101
2.3 CONCEPTO Y ESTUDIO DE LA DINAMICA, CINETICA Y
CINEMATICA
La primera parte se refiere a la dinámica de partículas. Una partícula
es una masa puntual que posee masa pero no dimensiones. La
partícula es un modelo aproximado de un cuerpo cuyas dimensiones
son insignificantes en comparación con todas las otras dimensiones
que aparecen en la elaboración del problema.
Por ejemplo, al estudiar el movimiento de la tierra alrededor del sol, se
permite considerar a aquélla como una partícula debido a que su
diámetro es mucho menor que las dimensiones de la órbita.
La segunda parte se refiere a la dinámica de cuerpos rígidos. Se dice
que un cuerpo es rígido si la distancia entre dos puntos materiales
cualesquiera del mismo permanece constante, esto es, si el cuerpo no
se deforma. Debido a que cualquier cuerpo sufre alguna deformación
cuando se le aplican cargas, un cuerpo verdaderamente rígido no
existe.
102
Sin embargo, en muchas aplicaciones la deformación es tan pequeña
(con relación a las dimensiones del cuerpo) que se da la idealización
de un cuerpo rígido.
Como se ve en el cuadro sinóptico las ramas principales de la
dinámica son:
• LA CINEMÁTICA.- es el estudio de la geometría del movimiento;
no analiza a las causas del movimiento.
• LA CINÉTICA.- estudia las relaciones entre las fuerzas que
actúan en el cuerpo y el movimiento resultante.
La cinemática no es sólo un tema importante en sí mismo, sino que
también es un requisito para estudiar la cinética. Por lo tanto, el
estudio de la dinámica siempre empieza con los fundamentos de la
cinemática.
2.4 MOVIMIENTO RECTILINEO
En mecánica clásica es la trayectoria que describe un móvil que viaja
en línea recta. Para estudiar este movimiento necesitaremos un
sistema de coordenadas para así describir la posición de dicho móvil.
Una forma útil de describir el movimiento de un objeto es en términos
del cambio de posición de este a lo largo de un intervalo de tiempo.
Supongamos que una piloto de autos de arrancones conduce su vehículo por una pista recta (figura 1). Para estudiar su movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas. Elegimos que el eje x vaya a lo largo de la trayectoria recta del auto, con el origen O en la línea de salida. También elegimos un punto en el auto, digamos su extremo delantero, y representamos todo el vehículo con ese punto y lo tratamos como una partícula. Una forma útil de describir el movimiento de la partícula —es decir, el punto que representa el automóvil— es en términos del cambio en su coordenada x durante un intervalo de tiempo. Suponga que 1.0 s
103
después del arranque el frente del vehículo está en el punto P1, a 19 m del origen, y que 4.0 s después del arranque está en el punto P2, a 277 m del origen. El desplazamiento de la partícula es un vector que apunta de Pl a P2. La figura 1 muestra que este vector apunta a lo largo del eje x. La componente x del desplazamiento es simplemente el cambio en el valor de x, (277 m - 19 m) = 258 m, que hubo en un lapso de (4.0 s - 1.0 s) = 3.0 s. Figura 5.1. Posiciones de un auto de arrancones en dos instantes durante su recorrido.
Cuando la velocidad es positiva significa que durante el intervalo, la
coordenada x aumento y el objeto se movió en dirección +x.
Si un objeto se mueve en dirección x negativa durante un intervalo de
tiempo, su velocidad media será negativa.
FIGURA 5.1
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
104
Figura 5.2. Representación del desplazamiento de un carro.
FIGURA 5.2
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
105
2.5 VELOCIDAD MEDIA
La velocidad es una cantidad vectorial, y no se debe de confundir con
su contraparte escalar, la rapidez.
La velocidad promedio, es la razón entre el desplazamiento Δ𝑥 que
ocurre durante un intervalo particular de tiempo Δt:
𝒗 =𝜟𝒙
𝜟𝒚=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝒕𝟐 − 𝒕𝟏
Ejemplo:
Una persona viaja en una vieja furgoneta a lo largo de un camino recto
en un tramo de 8.4 km a 70 km/h, en cuyo punto se le agota la
gasolina al vehículo y se detiene. En los siguientes 30 min, la persona
camina otros 2 km a lo largo del camino hasta una gasolinera.
a) ¿Cuál es el desplazamiento total desde el inicio de su viaje hasta
que llega a la gasolinera?
Solución:
Supongamos, por comodidad, que se desplaza en dirección positiva
en el eje x, desde una primera posición x1= 0, hasta una segunda
posición de x2 en la gasolinera. Esta última posición debe estar en x2
= 8.4 km + 2 km = 10.4 km. De la ecuación obtenemos:
Δx = x2 – x1 = 10.4 km – 0 = 10.4 km
b) ¿Cuál es el intervalo de tiempo Δt desde el principio del viaje
hasta la llegada a la gasolinera?
Solución:
Ya conocemos el intervalo Δtcaminar (0.50 h) para caminar, pero no el
intervalo de tiempo Δtcond para la conducción. No obstante, sabemos
106
que está el desplazamiento Δxcond y la velocidad promedio 𝑣 cond es 70
km/h. Por lo que se despeja Δtcond de la ecuación:
Δtcond=Δxcond
𝑣 cond=
8.4 𝑘𝑚
70 𝑘𝑚 /= 0.12
Por tanto ∆𝑡 = ∆𝑡𝑐𝑜𝑛𝑑 + ∆𝑡𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟
= 0.12 h + 0.50 h = 0.62h
c) ¿Cuál es la velocidad media desde el principio del viaje hasta la
llegada a la gasolinera?
Solución:
𝑣 =Δ𝑥
Δ𝑡=
10.4 𝑘𝑚
0.62
𝑣 = 16.8 𝑘𝑚/
Figura 5.3. Representación gráfica del problema.
FIGURA 5.3
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
107
2.6 VELOCIDAD INSTANTANEA
La velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo no
nos dice con qué rapidez; o en qué dirección, la partícula se estaba
moviendo en un instante dado del intervalo. Para describir el
movimiento con mayor detalle, necesitamos definir la velocidad en
cualquier instante específico o punto específico. Esta es la velocidad
instantánea y debe definirse con cuidado.
La palabra instante tiene un significado un poco distinto en física que
en el lenguaje cotidiano. En física un instante no tiene duración; es un
solo valor de tiempo. Al usar el término ―velocidad‖, siempre nos
referimos a la velocidad instantánea, no a la media, a menos que se
diga otra cosa.
Para obtener la velocidad instantánea utilizamos esta fórmula:
𝑉𝑥 = lim∆𝑡 0
∆𝑥
∆𝑡=𝑑𝑥
𝑑𝑡
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo se acerca a 0; es igual a la tasa instantánea de
cambio de posición con el tiempo. La velocidad instantánea, al igual
que la media, es una cantidad vectorial. La ecuación define su
componente x, que puede ser positiva o negativa.
La velocidad instantánea mide con qué rapidez y en qué dirección se
mueve.
TAREA EXTRA CLASE
Un guepardo acecha 20 m al este del escondite de un observador(figura 4). En el tiempo t = 0, el guepardo ataca a un antílope y empieza a correr en línea recta. Durante los primeros 2.0 s del ataque, la coordenada x del guepardo varia con el tiempo según la ecuación x = 20 m + (5.0 m/s2)t2.
108
Figura 5.4. Un guepardo agazapado en un arbusto ataca a un antílope. Los animales no están a la misma escala que el eje.
a) Obtenga el desplazamiento del guepardo entre t1 = 1.0 s y t2 = 2.0 s. b) Calcule la velocidad media en dicho intervalo. c) Calcule la velocidad instantánea en t1 = 1.0 s tomando ∆t = 0.1 s, luego ∆t = 0.01 s, luego ∆t = 0.001 s. d) Deduzca una expresión general para la velocidad instantánea en función del tiempo, y con ella calcule vx en t = 1.0 s y t = 2.0 s. IDENTIFICAR: Este problema requiere usar las definiciones de desplazamiento, velocidad media y velocidad instantánea. El uso de las dos primeras implica algebra; la última requiere cálculo para derivar. PLANTEAR: La figura 4b muestra el movimiento del guepardo. Para analizar este problema, usamos la ecuación del desplazamiento, la ecuación de la velocidad media y la ecuación de la velocidad instantánea. EJECUTAR:
a) En tl = 1.0 s, la posición xl del guepardo es x1 = 20 m + (5.0 m/s2)(1.0s)2 = 25 m En t2 5 2.0 s, su posición x2 es X2 = 20 m + (5.0 m/s2)(2.0s)2 = 40 m El desplazamiento en este intervalo es ∆x = x2 – x1 = 40 m – 25 m = 15 m
FIGURA 5.4
FIGURA 2.7
FIGURA 1.9
109
b) La velocidad media durante este intervalo es
𝑣𝑚𝑒𝑑 −𝑥 =𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1=
40𝑚 − 25𝑚
2.0𝑠 − 1.0𝑠=
15𝑚
1.0𝑠= 15𝑚/𝑠
c) Con ∆t = 0.1 s, el intervalo es de t1 = 1.0 s a t2 = 1.1 s. En t2, la posición es x2 = 20 m + (5.0 m/s2)(1.1 s)2 = 26.05 m La velocidad media durante estos intervalos es
𝑣𝑚𝑒𝑑 −𝑥 =26.05𝑚 − 25𝑚
1.1𝑠 − 1.0𝑠= 10.5𝑚/𝑠
Siga este método para calcular las velocidades medias de los intervalos de 0.01 s y 0.001 s. Los resultados son 10.05 m/s y 10.005 m/s. Al disminuir ∆t, la velocidad media se acerca a 10.0 m/s, por lo que concluimos que la velocidad instantánea en t = 1.0 s es de 10.0 m/s. d) Al calcular la velocidad instantánea en función del tiempo, derive la expresión de x con respecto a t. La derivada de una constante es cero, y para cualquier n la derivada de tn es nt n-1, así que la derivada de t2 es 2t. Por lo tanto,
𝑣𝑥 =𝑑𝑥
𝑑𝑡= (5.0𝑚/𝑠2) 2𝑡 = (10𝑚/𝑠2)𝑡
En t = 1.0 s, vx = 10 m/s, como vimos en el inciso c). En t = 2.0 s, vx = 20 m/s. EVALUAR: Nuestros resultados muestran que el guepardo aumento
su rapidez de t = 0 (cuando estaba en reposo) a t = 1.0 s (vx = 10 m/s) a t = 2.0 s (vx = 20 m/s), lo cual es razonable: el guepardo recorrió solo 5 m durante el intervalo t = 0 a t = 1.0 s; sin embargo, recorrió 15 m en el intervalo t = 1.0 s a t = 2.0 s.
110
FORMULARIO DE ACELERACIÓN Y VELOCIDAD
VELOCIDAD MEDIA
La velocidad media o promedio, es la razón entre el desplazamiento
Δ𝑥 que ocurre durante un intervalo particular de tiempo Δt:
𝑣 =Δ𝑥
Δ𝑦=
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo se acerca a 0.
𝑣𝑥 = lim∆𝑡 0
∆𝑥
∆𝑡=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
ACELERACIÓN MEDIA
Definimos la aceleración media de la partícula al moverse de P1 a P2 como una cantidad vectorial cuya componente x es 𝑎𝑚𝑒𝑑 −𝑥x igual a ∆𝑣𝑥, el cambio en la componente x de la velocidad, dividido entre el
intervalo de tiempo ∆𝑡:
𝑎𝑚𝑒𝑑 −𝑥 =𝑣2𝑥 − 𝑣1𝑥
𝑡2 − 𝑡1=
∆𝑣𝑥∆𝑡
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la velocidad con el tiempo. Así,
𝑎𝑥 = lim∆𝑡 0
∆𝑣𝑥∆𝑡
=𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡
111
3. DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA
3.1 CONCEPTOS
3. 1. 1 CONCEPTO DE PARTÍCULA
Se considera una partícula un cuerpo puntual con masa o carga. Por
ejemplo, en el estudio del movimiento de un vehículo entran un
número de variables considerablemente alto: la potencia que alcanza
el motor, el pavimento sobre el que rueda, el rozamiento del vehículo
con el aire, el rozamiento de las ruedas contra el pavimento, etc.
Figura: 3.1
Figura 3.2
3. 1. 2 CONCEPTO DE MASA
La unidad de medida de masa es el kilogramo,
también se usa el gramo, donde un gramo es la
milésima parte de un kilogramo (1 gr = 0,001 kg).
La masa es una magnitud medible, la materia
aparte de ser algo concreto también se puede
expresar como una explicación cualitativa de un
cuerpo cualquiera.
Figura 3.3
112
Que en la naturaleza se encuentra en tres estados posibles, visibles o
―sensorialmente‖ captables: sólido, líquido y gas.
La masa es una constante universal igual a la relación del peso de un
cuerpo con la aceleración gravitacional debida a su peso.
En cualquier sistema de unidades: (1) La masa de una partícula es
igual a su peso dividido entre la aceleración de la gravedad, (2) el
peso tiene las mismas unidades que la unidad de fuerza, y (3) la
aceleración de la gravedad tiene las mismas unidades que la
aceleración.
Por consiguiente se resume:
SIW (N) = m (Kg) X g(9.8 m/s²)
SUEU: W (lb) = m (slug) X g(32 ft/s²)
3. 1. 3 CONCEPTO DE FUERZA
FUERZA (N) = MASA (Kg) X ACELERACIÓN (m/s²), ES LA ACCIÓN
DE UN CUERPO SOBRE OTRO.
La fuerza de un Newton (1N) es la fuerza resultante que le imparte a
una masa de 1 Kg una aceleración de 1 m/s².
Figura: 3.4
113
3. 2 LEYES DE NEWTON
3. 2. 1 Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia
Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con
velocidad constante (que puede ser cero) y cero aceleración y en línea
recta"
La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez iniciado su
movimiento es resultado de una propiedad llamada inercia. La
tendencia de un cuerpo en reposo a permanecer en reposo también se
debe a la inercia.
3. 2 . 2 Aplicaciónde laPrimera Ley de Newton
Una gimnasta de masa mG= 50.0 kg se cuelga del extremo inferior de
una cuerda colgante. El extremo superior esta fijo al techo de un
gimnasio.
a)¿Cuánto pesa la gimnasta?
b)¿Que fuerza (magnitud y dirección) ejerce la cuerda sobre ella?
c)¿Que tensión hay en la parte superior de la cuerda? Suponga que la
masa de la cuerda es despreciable
114
Figura 3.5
a) La magnitud del peso de cualquier objeto es el producto de la masa
de ese objeto y la aceleración debida a la gravedad, g. En el caso de
la gimnasta, el peso es
(Peso del Gimnasta) 𝑤𝐺 = 𝑚𝐺𝑔 = 50.0 𝑘𝑔 9.80𝑚
𝑠2 = 490 𝑁
b) Esta fuerza apunta en la dirección –y, así que su componente es -
490 N. La fuerza hacia arriba que la cuerda ejerce sobre la gimnasta
tiene una magnitud desconocida TC sobre G. Dado que la gimnasta está
en equilibrio, la suma algebraica de las componentes y de fuerza que
actúan sobre ella debe ser cero.
Gimnasta: ∑𝐹𝑦 = 𝑇𝐶 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐺 + −𝑤𝑔 = 0, así que 𝑇𝐶 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐺 =
𝑤𝐺 = 490 𝑁
c) La cuerda tira de la gimnasta hacia arriba con una fuerza TC sobre G
de magnitud 490 N. Por la tercera ley de Newton, la gimnasta tira de la
cuerda hacia abajo con una fuerza de la misma magnitud, TG sobre C=
490 N.
La cuerda también está en equilibrio. Hemos supuesto que no
tiene peso, así que la fuerza hacia arriba de magnitud TT sobre C
que el techo ejerce sobre su extremo superior deberá hacer que
la fuerza vertical neta que actúa sobre la cuerda sea igual a cero.
Cuerda: ∑𝐹𝑦 = 𝑇𝑇 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶 + (−𝑇𝐺 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶) = 0 por tanto,
𝑇𝑇 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶 = 𝑇𝐺 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶 = 490 𝑁
115
3. 2. 3 Segunda Ley de Newton
«Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, este se acelera. La
dirección de aceleración es la misma que la de la fuerza neta. El valor
de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su
aceleración».
En símbolos:
𝐹 = 𝑚𝑎
La aceleración tiene la misma dirección que la fuerza neta.
Aspectos de la segunda ley de Newton:
1. La ecuación es vectorial. La usaremos en forma de componentes,
con una ecuación para cada componente de fuerza y la aceleración
correspondiente.
∑𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 , ∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 , ∑𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧
2. El enunciado de la segunda ley se refiere a fuerza externas, es
decir, fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de su
entorno. Un cuerpo no puede afectar su propio movimiento ejerciendo
una fuerza sobre sí mismo. Por eso solo incluimos fuerzas externas en
∑𝐹
3. Las ecuaciones solo son válidas si la masa m es constante.
4. La segunda ley de Newton solo es válida en marcos de referencia
inerciales, al igual que la primera.
116
3. 2. 4 Aplicación de Segunda Ley de Newton
Un trabajador aplica una fuerza horizontal constante con magnitud de
20 N a una caja de 40 kg que descansa en un piso plano con fricción
despreciable. ¿Qué aceleración sufre la caja?
figura 3.6
Por la figura, solo la fuerza de 20 N tiene una componente x distinta de
cero. Por tanto, la primera relación de las ecuaciones nos dice que
∑𝐹𝑥 = 𝐹 = 20𝑁
Por tanto, los componentes x de la aceleración son
𝑎𝑥 =∑𝐹𝑥
𝑚=
20 𝑁
40 𝑘𝑔=
20 𝑘𝑔∙𝑚/𝑠2
40 𝑘𝑔= 0.50 𝑚/𝑠2
117
3. 2. 5 Tercera Ley de Newton
Una fuerza que actúa sobre un cuerpo siempre es el resultado de su
interacción con otro cuerpo, así que las fuerzas siempre vienen en
pares.
La fuerza que ejercemos sobre el otro cuerpo tiene dirección opuesta
a la que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Los experimentos muestran
que, al interactuar dos cuerpos, las fuerzas que ejercen mutuamente
son iguales en magnitud y opuestas en dirección.
“Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una “acción”),
entonces B ejerce una fuerza sobre A (una “reacción”). Estas fuerzas
tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre
diferentes cuerpos.”
𝐹𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 = −𝐹𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴
3. 2. 6 Aplicación de la Tercera Ley de Newton
Alguien que empieza a subir una escalera comienza por poner un pie
sobre el primer escalón y empujar sobre él. El escalón debe entonces
ejercer una fuerza igual y opuesta sobre el pie para no romperse.
Cuanto más grande sea la fuerza que ejerce el pie sobre el escalón,
mayor fuerza deberá ser la reacción contra el pie. Desde luego que el
peldaño no puede crear una fuerza de reacción hasta que el pie
aplique fu fuerza. La acción actúa sobre el objeto y la reacción actúa
sobre el agente que ejerce la acción.
TAREA EXTRA CLASE
Kg masa del planeta Tierra
Calculo de la masa de la tierra
La masa terrestre o masa de la Tierra (M⊕) es una unidad de medida de masa utilizada en astronomía y astrofísica para medir comparativamente la masa de los planetas, exoplanetas y otros objetos astronómicos poco masivos, tales como
118
los asteroides o planetas enanos. Es equivalente a la masa de la Tierra (M⊕ = 5,9722 × 1024 kg.1 2 , o sea, casi 6 mil trillones de
toneladas).
Se obtiene a partir del conocimiento detallado proporcionado por la geodesia espacial de la constante geocéntrica (GM) y el conocimiento mucho menos preciso proporcionado por la física de la constante de gravitación universal (G) de Newton.
La masa de la Tierra se utiliza a menudo para describir las masas de los planetas rocosos o terrestres. Los cuatro planetas terrestres del Sistema Solar son Mercurio, Venus, la Tierra y Marte, y tienen unas masas de 0,055; 0,815; 1,000 y 0,107 veces la masa terrestre, respectivamente.
El cálculo de la masa de la Tierra se realiza mediante la aplicación de la ley de la gravitación universal, existiendo diversos métodos, más o menos precisos, entre los cuales el más utilizado emplea la balanza de torsión
Calculo:
Por la 2ª ley de Newton, el cuerpo en caída libre está sometido a una
fuerza que es F = m g. Como además sabemos también que F = G M
.m / R^2 y conocemos G y R, que resulta ser 6.37•10^6 m, igualando
ambas fuerzas, tendremos que
G M .m / R^2 = m .g
Quitando m, dado que está a ambos lado de la ecuación, y
despejando M,
M = (g/G) . R^2
Lo cual nos da un valor de 5,96 .10^24 Kg.
Notas:
1.- El símbolo ^ indica, elevado a
2.- 10 ^n indica 1 seguido del número de ceros que indica n, así 10^2
es 100 y 10^24, pues eso… diez elevado a veinticuatro.
119
TAREA EXTRACLASE 2
Masa de cualquier cuerpo humano sobre la Tierra
En física clásica, el peso es una medida de la fuerza gravitatoria que
actúa sobre un objeto.1 El peso equivale a la fuerza que ejerce un
cuerpo sobre un punto de apoyo, originada por la acción del campo
gravitatorio local sobre la masa del cuerpo. Por ser una fuerza, el peso
se representa como un vector, definido por su módulo, dirección y
sentido, aplicado en el centro de gravedad del cuerpo y dirigido
aproximadamente hacia el centro de la Tierra. Por extensión de esta
definición, también podemos referirnos al peso de un cuerpo en
cualquier otro astro (Luna, Marte,...) en cuyas proximidades se
encuentre.
Unidades de medida
Como el peso es una fuerza, se mide en unidades de fuerza. Sin embargo, las unidades de peso y masa tienen una larga historia compartida, en parte porque su diferencia no fue bien entendida cuando dichas unidades comenzaron a utilizarse.
Sistema Internacional de Unidades
Este sistema es el prioritario o único legal en la mayor parte de las naciones (excluidas Birmania y Estados Unidos), por lo que en las publicaciones científicas, en los proyectos técnicos, en las especificaciones de máquinas, etc., las magnitudes físicas se expresan en unidades del sistema internacional de unidades (SI). Así, el peso se expresa en unidades de fuerza del SI, esto es, en newtons (N):
1 N = 1 kg · 1 m/s²
Sistema Técnico de Unidades
En el Sistema Técnico de Unidades, el peso se mide en kilogramo-fuerza (kgf) o kilopondio (kp), definido como la fuerza ejercida sobre un kilogramo de masa por la aceleración en caída libre (g = 9,80665 m/s²)4
1 kp = 9,80665 N = 9,80665 kg·m/s²
120
Otros sistemas
También se suele indicar el peso en unidades de fuerza de otros sistemas, como la dina, la libra-fuerza, la onza-fuerza, etcétera.
La dina es la unidad CGS de fuerza y no forma parte del SI. Algunas unidades inglesas, como la libra, pueden ser de fuerza o de masa. Las unidades relacionadas, como el slug, forman parte de sub-sistemas de unidades.
En estos casos tambien influye la fuerza utilizada del ser humano
durante sus actividades
La masa y el peso también influyen en el movimiento no solo de la fuerza:
La masa
Es la cantidad de materia que posee un cuerpo. La masa de un cuerpo es igual en cualquier sitio donde se encuentre, sea en la Tierra o en la Luna. Para medir la masa se utiliza la balanza, su unidad de medida es el gramo pero como es tan pequeño se utiliza el Kilogramo que equivale a 1000 gramos.
El peso
Es la medida de la atracción que ejerce la Tierra sobre un cuerpo determinado, es la medida de la fuerza que la gravedad ejerce sobre las cosas. Se expresa en una unidad de medida muy especial, llamada Newton (Nw), en honor al famoso físico inglés que descubrió la fuerza de la gravedad.
El peso se mide con un aparato llamado dinamómetro, con él se determina el peso científico de los cuerpos y se calcula multiplicando la masa por 10 m /seg2, valor aproximado de la fuerza de gravedad (g). Se usa la fórmula matemática
Peso (P) = masa (m) x fuerza de gravedad (g).
Entonces al colocarse una persona en la balanza se determina su masa y a partir de ese valor es que puedes hallar el peso.
121
Figura 3.7
TAREA EXTRACLASE 3
Distancia del radio de la tierra
El radio de la Tierra es un valor que se utiliza como unidad de distancia, especialmente en astronomía y geología. En general se
denota por .
Debido a que la Tierra no es perfectamente esférica, no hay ningún valor único que sirva para representar su radio natural. Hay varias distancias desde los puntos de la superficie hasta el centro de la Tierra en un rango que va desde el radio polar de 6357 kilómetros, al radio ecuatorial de 6378 kilómetros. Así como también diversas formas de modelar la Tierra como una esfera dan un radio medio de 6371 kilómetros.
La primera estimación científica del radio de la Tierra fue dada por Eratóstenes.
Mientras que el "radio" normalmente es una característica de esferas perfectas, para poder tratar el radio de la Tierra se define el término de una manera más general, como la distancia de algún "centro" de la Tierra a un punto de la superficie o sobre una superficie idealizada del modelo de la Tierra. También puede expresar algún tipo de media de tales distancias, o del radio de una esfera con una curvatura que
122
coincide con la curvatura del modelo elipsoidal de la Tierra en un punto dado, haciendo referencia principalmente a los modelos esféricos y al elipsoide de referencia de la Tierra.
CÁLCULO DEL RADIO DE LA TIERRA
Para el cálculo del radio de la Tierra existen varias metodologías y
técnicas, siendo el primero y el más difundido el método de
Eratóstenes:
Método de Erastótenes para calcular el radio de la Tierra:
Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el Sol
se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los
rayos solares llega a la tierra paralelos, Erastótenes el día del solsticio
de verano (21 de junio), a las doce de la mañana, midió, en Alejandría,
con ayuda de una varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de
inclinación del Sol, 7.2°; es decir, 360°/50. Al mismo tiempo no sabía
que en la ciudad de Siena (Actualmente Assuán), los rayos del Sol
llegaban perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de
un pozo profundo.
TAREA EXTRACLASE 4
Balanza de Cavendish
La balanza de gravitación o también llamada de Cavendish, es un
instrumento de medida muy sensible, el cual permite demostrar la
atracción entre dos masas, además de determinar el valor de la
constante de gravitación universal G.
En el experimento de Cavendish, se trataba de un péndulo de torsión
con una vara horizontal de seis pies de longitud, en cuyos extremos se
encontraban dos esferas metálicas. Esta vara colgaba suspendida de
un largo hilo. Cerca de las esferas Cavendish dispuso dos esferas de
plomo de unos 175 kg cuya acción gravitatoria debía atraer las masas
de la balanza produciendo un pequeño giro sobre esta. Para impedir
123
perturbaciones causadas por corrientes de aire, Cavendish emplazó
su balanza en una habitación a prueba de viento y midió la pequeña
torsión de la balanza utilizando un telescopio.
(Hoy en día, las medidas se han podido realizar con mayor resolución
gracias a disponer de instrumentos tales como el láser, que mediante
un haz que incide en un espejo cóncavo, permite medir el ángulo
mucho mejor).
Estas pequeñas esferas son atraídas por dos esferas fijas de M=1.5 kg
de masa y de 32 mm de radio.
Para determinar la constante G, mediante la balanza de gravitación es
necesario medir la posición inicial y la final de equilibrio y el
movimiento oscilatorio amortiguado entre estas dos posiciones.
1.- Se parte de la posición de equilibrio inicial.
Figura 3.8
2.- Una vez que el péndulo se mantiene estable en la posición inicial
de equilibrio, las esferas grandes se mueven rápidamente a la posición
diametralmente opuesta. El péndulo empieza a oscilar con un periodo:
P = 2 ? ?(2 m d2/K) siendo K = 8 ?2 m d2 / P2
Como la fuerza de atracción entre la esfera grande y la pequeña es:
124
F = G M .m / b2
Disponiendo una regla a una distancia L del espejo cóncavo, el ángulo
que forma el ángulo incidente y reflejado es ? y viene dado por:
Figura 3.9
Siendo b la distancia entre los centros de la bola pequeña y la bola
grande.
El valor experimental de G es:
6,67 . 10 -11 N m2 Kg-2
125
2. 2. 7 Cuarta Ley de Newton o Ley de la Gravitación Universal
«Toda partícula de materia en el universo atrae a todas las demás
partículas con una fuerza directamente proporcional a la masa de las
partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
las separa».
𝑭𝒈 =𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝟐
Donde 𝐹𝑔 es la magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre
cualesquiera de las partículas, 𝑚1 y 𝑚2 son sus masas, r es la
distancia entre ellas y G es una constante llamada constante
gravitacional. El valor numérico de G es 6.67 × 10−11 𝑁 ∙ 𝑚2
𝑘𝑔2
Las fuerzas gravitacionales siempre actúan sobre la línea que une las
dos partículas, y forman un par acción-reacción. Aun si las masas de
las partículas difieren, las fuerzas de interacción tienen la misma
magnitud.
3. 2. 8 Aplicación de la Cuarta Ley de Newton
La masa m1 de una de las esfera pequeñas de una balanza de
Cavendish es de 0.0100 kg, la masa m2 de una de las esferas grandes
es de 0.500 kg, y la distancia de centro a centro es de 0.0500 m.
Calcule la fuerza gravitacional Fg que actúa sobre cada esfera debida
a la otra esfera.
Cada esfera experimenta la misma magnitud de fuerza por la
otra esfera, aunque las masas sean muy distintas (como en este
caso). La magnitud de cada fuerza es:
𝐹𝑔 = (6.67 × 10−11𝑁∙𝑚2/𝑘𝑔2)(0.0100 𝑘𝑔)(0.500 𝑘𝑔)
(0.0500𝑚)2
𝐹𝑔 = 1.33 × 10−10𝑁
126
3. 3 FRICCIÓN
Siempre que un cuerpo se mueve estando en contacto con otro objeto,
existen fuerzas de rozamiento que se oponen al movimiento relativo.
Estas fuerzas son consecuencia de la adhesión de una superficie a la
otra y por la trabazón de las irregularidades en las superficies en roce.
Es precisamente este rozamiento lo que mantiene a un clavo dentro
de una tabla, la que nos permite caminar y la que hace que los frenos
del automóvil funcionen. En todos estos casos el rozamiento tiene un
efecto deseable. En muchas otras consecuencias, sin embargo, es
deseable minimizar el efecto del rozamiento.
Por ejemplo, el rozamiento aumenta el trabajo necesario para operar
alguna máquina, causa desgaste y genera calor, que en muchos
casos provoca a su vez daños adicionales. Los automóviles y los
aviones son diseñados aerodinámicamente para reducir el rozamiento
con el aire, que resulta ser muy grande a altas velocidades. Siempre
que una superficie se desliza sobre otra, la fuerza de rozamiento
ejercida por cada cuerpo sobre otro es paralela o tangente a las dos
superficies y actúa de tal manera que se opone al movimiento relativo
de las superficies. Es importante notar que estas fuerzas no solo
existen cuando ocurre un movimiento relativo, sino que también están
presentes en cuanto uno de los cuerpos tiende a deslizarse sobre otro.
Suponga que se ejerce una fuerza sobre un bloque que se encuentra
en reposo sobre una superficie horizontal, como muestra la figura 1.
Al principio el bloque que no se mueve, debido a la acción de una
fuerza llamada fuerza de fricción estática FS Pero a medida que
aumenta la fuerza aplicada llega un momento en que el bloque se
pone en movimiento; a esta fuerza de fricción ejercida por la superficie
horizontal mientras se mueve el bloque se le llama fuerza de fricción
cinética FK.
127
a) En la fricción estática, el movimiento está impedido.
Figura 3.10
b) En la fricción cinética, las dos superficies están en movimiento
relativo.
Figura 3.11
Puede decirse que la máxima fuerza de rozamiento estático es
directamente proporcional a la fuerza normal entre las dos superficies.
Esta proporcionalidad puede escribirse como:
𝐹𝑠 = 𝜇𝑠𝑁
En la que µs es una constante de proporcionalidad denominada
coeficiente de rozamiento estático. Dado que µs es una relación
constante entre dos fuerzas, es una cantidad sin dimensiones. Por
tanto, la fuerza de rozamiento cinético Fk debe ser menor que Fs para
las mismas superficies. En otras palabras, se requiere de más fuerza
para iniciar el movimiento de un bloque que para mantenerlo
moviéndose a una velocidad constante.
128
En este último caso la primera condición de equilibrio también se
satisface; así, el mismo rozamiento que nos llevó a derivar la ecuación
anterior del rozamiento estático, nos dará la siguiente proporcionalidad
para el rozamiento cinético:
𝐹𝑘 = 𝜇𝑘𝑁
Donde µk es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de
rozamiento cinético. Se puede demostrar que los coeficientes de
proporcionalidad µs yµk dependen de la rugosidad de las superficies
pero no del área del contacto entre las superficies. Y lo podemos ver
en las ecuaciones anteriores que µ depende tan sólo de la fuerza de
rozamiento ―F‖ y de la fuerza normal ―N‖ entre las superficies.
Los problemas que incluyen fricción se resuelven como otros
problemas de fuerzas, excepto que se deben considerar los siguientes
puntos:
Las fuerzas de rozamiento son paralelas a las superficies y se
oponen directamente al movimiento relativo de las superficies
entre sí.
La fuerza de rozamiento estático es mayor que la fuerza de
rozamiento cinético para los mismos materiales.
Al dibujar diagramas de cuerpo libre, generalmente resulta más
sencillo elegir el eje x paralelo al plano de movimiento y el eje ―y‖
normal al plano del movimiento.
Se puede aplicar la primera condición de equilibrio para obtener
dos ecuaciones que representan las fuerzas a lo largo del plano
del movimiento y normales a él.
Las relaciones 𝐹𝑠 = 𝜇𝑠𝑁 y 𝐹𝑘 = 𝜇𝑘𝑁 se pueden aplicar para
obtener la cantidad deseada.
129
Casos en plano horizontal
Para comenzar a mover un bloque:
∑𝑓𝑦 = 0 ∑𝑓𝑥 = 0𝑓𝑠 = 𝜇𝑠𝑁
𝑁 −𝑊 = 0𝐹 − 𝑓𝑠 = 0
𝑁 = 𝑊 𝐹 = 𝑓𝑠
Para empezar a mover a una velocidad constante 𝑉 = 𝑘:
∑𝑓𝑦 = 0 ∑𝑓𝑥 = 0𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁
𝑁 −𝑊 = 0 𝐹 − 𝑓𝑘 = 0
𝑁 = 𝑊 𝐹 = 𝑓𝑘
Para mover con una aceleración dada:
∑𝑓𝑦 = 0 ∑𝑓𝑥 = 𝑚𝑎𝑥𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁
𝑁 −𝑊 = 0 𝐹 − 𝑓𝑘 = 𝑚𝑎𝑥
𝑁 = 𝑊 𝐹 = 𝑓𝑘 + 𝑚𝑎𝑥
Para los 3 casos debemos tener en cuenta que: 1 > µ > 0.
130
Ejercicio ejemplo 1
1.- Un bloque cuya masa es de 30kg se encuentra sobre un plano
horizontal. ¿Qué empuje paralelo al plano y dirigido hacia la derecha
se debe aplicar: a) Para empezar a mover; b) Para moverlo a
velocidad constante; c) Para moverlo con una aceleración de 4 m/s2;
si el coeficiente de µs entre el bloque y el plano es de 0.2 y el
coeficiente de µk es de 0.1?
µs = 0.2 b) Fk = µkN
µk = 0.1 Fk = (0.1) (2943.3 N)
F = ma Fk = 294.3 N
w = mg ∑𝑓𝑥 = 0
w = (30 kg) (9.81 m/s2) F – Fk = 0
w = 2943.3 N F = Fk
a) ∑𝑓𝑦 = 0 F = 294.31 N
𝑁 −𝑊 = 0 c) ∑𝑓𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
N = W F – Fk = max
N = 2943.3 N F = Fk + max
Fs= µsN F = 294.3 + (30 kg) (4m/s2)
Fs = (0.2)(2943.3N) F = 414.3 N
Fs = 588.6 N
∑𝑓𝑥 = 0
F – Fs= 0
F = Fs
F = 588.61 N
131
Casos en plano inclinado
a) Para empezar a mover un bloque
sin 𝜃 = 𝑊𝑥
𝑊 𝛴𝐹𝑦 = 0 𝛴𝐹𝑥 = 0
𝑊𝑥 = 𝑊 sin 𝜃 𝑁 −𝑊 cos 𝜃 = 0 𝐹 − 𝑓𝑠 −𝑊 sin 𝜃 = 0
cos𝜃 =𝑊𝑦
𝑊 𝑁 = 𝑊 cos 𝜃 𝐹 = 𝑓𝑠 + 𝑊 sin 𝜃
𝑊𝑦 = 𝑊 cos𝜃 𝑓𝑠 = 𝜇𝑠 𝑁
b) Mover con una velocidad constante
𝛴𝐹𝑦 = 0 𝛴𝐹𝑥 = 0
𝑁 −𝑊 cos𝜃 = 0 𝐹 − 𝑓𝑘 −𝑊 sin𝜃 = 0
𝑁 = 𝑊 cos 𝜃 𝐹 = 𝑓𝑘 + 𝑊 sin 𝜃
𝑓𝑘 = 𝜇𝑘 𝑁
c) Mover con una aceleración dada.
𝛴𝐹𝑦 = 0 𝛴𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
𝑁 −𝑊 cos 𝜃 = 0 𝐹 − 𝑓𝑘 −𝑊 sin𝜃 −𝑚𝑎𝑥 = 0
𝑁 = 𝑊 cos 𝜃 𝐹 = 𝑓𝑘 + 𝑊 sin 𝜃 + 𝑚𝑎𝑥
𝑓𝑘 = 𝜇𝑘 𝑁
d) Mover con una fuerza formando un ángulo.
𝛴𝐹𝑦 = 0 𝛴𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
𝑁 −𝑊 cos𝜃 + 𝐹 sin 𝛼 = 0 𝐹 cos𝛼 = − 𝑓𝑘 −𝑊 sin 𝜃 − 𝑚𝑎𝑥 = 0
𝑁 = 𝑊 cos𝜃 − 𝐹 sin𝛼 𝐹 =𝑓𝑘 + 𝑊 sin𝜃 + 𝑚𝑎𝑥
cos 𝛼
𝑓𝑘 = 𝜇𝑘 𝑁
132
Ejercicio ejemplo 2
2.- Un bloque de 100 lb descansa sobre un plano inclinado de 30º. Si
µk = 0.1, ¿Qué empuje ―P‖ paralelo al plano y dirigido hacia arriba se
requerirá para que el bloque se mueva: a) Hacia arriba a velocidad
constante y b) Hacia abajo a velocidad constante?
𝛴𝐹𝑦 = 0 𝛴𝐹𝑥 = 0
P – Fk – Wx = 0
N – Wy= 0
Wx= (100 lb) (sen 30º) = 50 lb
Wy = (100 lb) (cos 30º) = 86.6 lb
N = Wy
N= 86.6 lb
P = Fk + Wx
P = 𝜇𝑘 𝑁+ Wx
P = (0.1) (86.5 lb) + 50 lb
P = 58.7 lb
133
3. 4 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
Se define momento angular de una partícula respecto del punto
O, como el producto vectorial del vector posición por el vector
momento Lineal .
El momento angular, es una cantidad vectorial denotada con
Figura 3.12
DEFINIMOS EL MOMENTO ANGULAR COMO:
VECTOR POSICIÓN
VECTOR MOMENTO LINEAL
MASA
VELOCIDAD
134
Las unidades del momento angular son:
El valor de L depende del origen O elegido, ya que en él interviene el
vector de posición de la partícula relativo al origen.
La magnitud de L es igual a:
Donde L es la distancia perpendicular desde la línea de V a O
3. 4. 1Método de la mano derecha
Su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha.
Método de la mano derecha
Gire los dedosde su mano
derecha sobre la
perpendicular con las puntas
señalando en la dirección de
la rotación; el pulgar señalara
la dirección del producto
vectorial.
Una partícula se mueve en el
plano xy; se muestran su
vector de posición r y su
momento lineal.
Figura 3.13
135
El vector momento Langular es perpendicular al plano xy.
Figura 3.14
Un LP de vinilo (de 30 cm de diámetro) gira en sentido horario a 33
rpm. Una mosca se posa en el extremo del disco y da vueltas al
mismo ritmo. Calcular el momento angular de la mosca respecto al
centro del disco.
La tendencia a girar de la misma respecto al punto de referencia O
que hayamos escogido. Viene dado por la expresión
En este problema calcularemos por separado módulo, dirección y
sentido del vector.
136
Figura 3.15
Una esfera de 500 g de masa está
atada a una cuerda de masa
despreciable de 1 m de longitud y
gira con una velocidad de 4 m·s-1
en un plano horizontal en torno a
un punto O, tal y como se indica en
la figura. En un determinado
momento, la cuerda comienza a
enrollarse alrededor de dicho
punto, disminuyendo con ello su
longitud y por tanto el radio de giro.
Figura 3.16
137
Calcula el momento angular inicial respecto al punto O.
El modulo del momento angular viene dado por la expresión
Sustituyendo los valores del enunciado:
3. 5 FUERZAS CENTRALES
La condición de que el momento sea nulo también se satisface si F es
paralela a r; en otras palabras, si la recta directriz de la fuerza pasa
siempre por el punto O elegido como centro u origen de momentos.
Una categoría especial de este tipo de fuerzas está constituida por las
llamadas fuerzas centrales; entonces, el punto O recibe el nombre de
centro de fuerza. Por ello podemos establecer que cuando una
partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central, su momento
angular con respecto al centro de fuerzas es una constante del
movimiento, y viceversa.
Se denominan centrales a las fuerzas que pasan constantemente por
un punto dado, «centro» de las fuerzas. Es evidente que respecto a
este punto el momento de las fuerzas es nulo, por lo que se deduce
que el momento cinético se conserva: HO = cte
Se obtienen inmediatamente 2 características importantes del
movimiento:
1. La trayectoria es plana; ya que al ser HO = r ^ mv, r es
constantemente perpendicular a una dirección HO fija, definiendo por
tanto un plano.
2. La velocidad areolar es constante; puesto que el área barrida por
unidad de tiempo (figura 2.4) es:
138
Figura 3.17
El movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central
tiene características muy importantes. Como ya hemos visto, el
momento angular de la partícula con respecto al centro de fuerzas es
constante. El que sea L = cte significa, debido a su carácter vectorial,
que lo será en módulo, dirección y sentido. La constancia de la
dirección del momento angular significa que la trayectoria de la
partícula estará confinada en un plano perpendicular a la dirección del
momento angular. En consecuencia, podemos enunciar:
La trayectoria de una partícula que se mueve bajo la acción de una
fuerza central se encuentra en un plano que contiene al centro de
fuerzas.
139
4.1 CONCEPTO DE TRABAJO
En física la definición de trabajo es:
En cualquier movimiento, por complicado que sea, el trabajo total
realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre
ella es igual al cambio en su energía cinética: una cantidad
relacionada con la rapidez de la partícula.
Realizamos un trabajo ejerciendo una
fuerza sobre un cuerpo mientras éste
se mueve de un lugar a otro, es decir,
sufre un desplazamiento de magnitud
s en línea recta.
Mientras el cuerpo se mueve, una
fuerza constante F actúa sobre él en
la dirección del desplazamiento s.
Definimos el trabajo W realizado por
esta fuerza constante en dichas
condiciones como el producto de la
magnitud F de la fuerza y la magnitud
s del desplazamiento:
W = F · s (fuerza constante en
dirección del desplazamiento
rectilíneo)
El trabajo efectuado sobre el cuerpo es mayor si la fuerza F o el
desplazamiento s son mayores.
La unidad de trabajo en el SI es el joule (J).
1 joule = (1 newton) (1 metro) o bien 1 J = 1 N · m
Sin embargo puede llevarse a cabo un trabajo respecto a un ángulo.
W = F s cos𝝋 (fuerza constante, desplazamiento rectilíneo)
FIG. 4.1 El trabajo realizado por
una fuerza constante que actúa en
la misma dirección que el
desplazamiento.
140
Si el automóvil se mueve con un desplazamiento 𝑠 mientras una
fuerza constante 𝐹 actúa sobre él, con un ángulo 𝜑 con respecto al
desplazamiento, el trabajo efectuado por la fuerza sobre el auto es
W = Fǁ s = (F cos𝝋) s = Fs cos 𝝋
Figura 4.2 El trabajo realizado por una fuerza constante que actúa con
un ángulo relativo al desplazamiento.
EJEMPLO:
a) Esteban ejerce una fuerza constante de magnitud 210 N
(aproximadamente 47 lb) sobre el automóvil averiado de la figura.
Mientras lo empuja a una distancia de 18 m. Además, un neumático de
desinfló, así que, para lograr que el auto avance de frente, Esteban
debe empujarlo con un ángulo de 30° con respecto a la dirección del
movimiento. ¿Cuánto trabajo efectúa Esteban?
b) Con ánimo de ayudar, Esteban empuja un segundo automóvil un
segundo automóvil averiado con una fuerza constante
𝐹 = (160 N) 𝑖 - (40 N) 𝑗
El desplazamiento del automóvil es 𝑠 = (14 m) 𝑖 + (11 m) 𝑗 ¿Cuánto
trabajo efectúa Esteban en este caso?
SOLUCIÓN
Identificar: En ambos incisos, a) y b), la incógnita es el trabajo W
efectuado por Esteban. En ambos casos, la fuerza es constante y el
141
desplazamiento es rectilíneo, así que podemos usar cualquiera de las
dos ecuaciones.
W = F · s W = F s cos𝝋
Plantear: El ángulo entre 𝐹 y 𝑠 se da explícitamente en el inciso a), de
manera que podemos aplicar directamente la ecuación W = F s cos𝝋.
En el inciso b) no se da el ángulo así que nos conviene más calcular el
producto escalar de la ecuación W = F · s a partir de las componentes
de 𝐹 y 𝑠 , como en la ecuación
𝐴 ·𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧
Ejecutar:
a) W = Fscos𝜑 = (210 N) (18 m) cos 30° = 3.3 × 103 J
b) Las componentes de 𝐹 son 𝐹𝑥 = 160 𝑁 y 𝐹𝑦 = −40 N, en tanto que
las componentes de 𝑠 son x = 14 m y y=11 m. (No hay componentes z
para ningún vector.)
W = 𝐹 · 𝑠 = 𝐹𝑥 x + 𝐹𝑦 y
= (160 N ) (14 m) + (-40 N) (11 m)
= 1.8 × 103 J
Evaluar:
En cada, caso el trabajo que efectúa Esteban es mayor que 1000 J.
nuestros resultados muestran que 1 joule es relativamente poco
trabajo.
142
4.2 POTENCIA
Potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo; al igual que el
trabajo y la energía, la potencia es una cantidad escalar.
Si se realiza un trabajo ΔW en un intervalo Δt, el trabajo medio
efectuado por unidad de tiempo o potencia media Pmed se define como:
4.2.1 POTENCIA INSTANTÁNEA
La rapidez con que se efectúa trabajo quizá no sea constante.
Podemos definir la potencia instantánea P como el cociente de la
ecuación cuando Δt se aproxima a cero:
FIG. 4.3La misma cantidad de trabajo se efectúa en ambas
situaciones, pero la potencia (la rapidez a la que se realiza el trabajo)
es diferente.
143
4.2.3 UNIDAD DE POTENCIA EN EL SI
En mecánica, también podemos expresar la potencia en términos de
fuerza y velocidad. Suponga que una fuerza F actúa sobre un cuerpo
que tiene un desplazamiento Δs.
Si FII es la componente de F tangente a la trayectoria (paralela a Δs),
el trabajo realizado por la fuerza es ΔW = FII Δs, y la potencia media
es:
La potencia instantánea P es el límite de esta expresión cuando Δt→0:
P = FII
Donde v es la magnitud de la velocidad instantánea. También
podemos expresar la anterior ecuación en términos del producto
escalar:
P= F * v
144
EJEMPLO
Un ―potente ascenso‖
Una maratonista de 50.0 kg sube corriendo las escaleras de la Torre
Sears de Chicago de 443 m de altura, el edificio más alto de Estados
Unidos (figura 6.28). ¿Qué potencia media en watts desarrolla si llega
a la azotea en 15.0 minutos? ¿En kilowatts? ¿Y en caballos de
potencia?
Figura 4.4 ¿Cuánta potencia se necesita para subir corriendo las
escaleras de la Torre Sears de Chicago en 15 minutos?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Trataremos a la corredora como una partícula de masa
m. La potencia media que desarrolla Pmed debe ser suficiente para
subirla a una rapidez constante contra la gravedad.
145
PLANTEAR: Podemos calcular Pmed que desarrolla de dos maneras:
1. Determinando primero cuánto trabajo debe efectuar y dividiendo
luego ese trabajo entre el tiempo transcurrido, como en la
ecuación (6.15).
Para levantar una masa m contra la gravedad se requiere una
cantidad de trabajo igual al peso mg multiplicado por la altura h
que se levanta. Por lo tanto, el trabajo que la corredora debe
efectuar es:
W = mgh = (50.0 kg) (9.80 m/s2) (443 m) = 2.17 x 105 J
El tiempo es 15.0 min = 900 s, así que, por la ecuación (6.15), la
potencia media es:
Pmed= 241 W = 0.241 kW = 0.323 hp
2. Calculando la fuerza media hacia arriba que la corredora debe
ejercer (en la dirección del ascenso) y multiplicándola después
por su velocidad hacia arriba, como en la ecuación (6.17).
Intentemos ahora los cálculos empleando la ecuación (6.17). La fuerza
ejercida es vertical, y la componente vertical media de la velocidad es
(443 m) / (900 s) = 0.492 m/s, así que la potencia media es
Pmed = FIIvmed = (mg) vmed
= (50.0 kg) (9.80 m/s2) (0.492 m/s) = 241 W
Que es el mismo resultado de antes. EVALUAR: La potencia total desarrollada por la corredora será muchas veces más que 241 W, porque ella no es una partícula, sino un conjunto de partes que ejercen fuerzas unas sobre otras y realizan trabajo, como el necesario para inhalar y exhalar y oscilar piernas y brazos. Lo que calculamos es sólo la parte de su gasto de potencia que se invierte en subirla a la azotea del edificio.
146
4.3 ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética de una partícula es igual al trabajo total que se efectuó para acelerarla desde el reposo hasta su rapidez actual. Otra interpretación: La energía cinética de una partícula es igual al trabajo que puede efectuar una partícula mientras se detiene.
Igual que el trabajo, la energía cinética de una partícula es una cantidad escalar; sólo depende de la masa y la rapidez de la partícula, no
de su dirección de movimiento. Un automóvil (visto como partícula) tiene la misma energía cinética yendo al norte a 10 m/s que yendo al este a 10 m/s. La energía cinética nunca puede ser negativa, y es cero sólo si la partícula está en reposo. El joule es la unidad del SI tanto del trabajo como de la energía cinética. Figura 4.5 Comparación entre la
energía cinética de cuerpos distintos
147
Figura 4.6 La relación entre el trabajo total efectuado sobre un cuerpo y la manera en que cambia la rapidez del cuerpo.
Teorema trabajo-energía El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula
148
4.4 ENERGÍA POTENCIAL
La energía que posee el sistema en virtud de sus posiciones o
condiciones se llama energía potencial. Como la energía se expresa a
sí misma en forma de trabajo, la energía potencial implica que debe
haber un potencial para realizar trabajo. Se mide en Joules, que es
equivalente a N*m.
El potencial es la rapidez con que se realiza un trabajo y sus
unidades son watts (j/s) o caballos de fuerza.
Supongamos que el martinete de la figura 8 .6 se utiliza para levantar
un cuerpo cuyo peso es W hasta una altura h por arriba del pilote
colocado sobre el suelo.
Decimos que el sistema Tierra-cuerpo tiene una energía potencial
gravitacional, es decir, existe la posibilidad de que la fuerza de
gravitación realice trabajo sobre ella.
Cuando se deje caer ese cuerpo, realizará un trabajo al golpear el
pilote. Si es lo suficientemente pesado y cae desde una altura
suficientemente grande, el trabajo realizado hará que el pilote recorra
una distancia y, la fuerza externa F necesaria para elevar el cuerpo
debe ser por lo menos igual al peso W.
Figura 4.7 (a) levantamiento de la masa, (b) cálculo de la energía
potencial, (c) caída de la masa sobre el pilote.
149
Entonces, el trabajo realizado por el sistema está dado por:
Trabajo = Wh = mgh
Esta cantidad de trabajo también puede ser efectuada por el cuerpo
después de caer una distancia h. Por tanto, el cuerpo tiene una
energía potencial igual en magnitud al trabajo externo necesario para
elevarlo.
Esta energía no proviene del sistema Tierra-cuerpo, sino que resulta
del trabajo realizado sobre el sistema por un agente externo. Solo una
fuerza externa, como F en la figura 8 .6 o la fricción, puede añadir o
extraer energía del sistema formado por el cuerpo y la Tierra.
La energía potencial U se determina a partir de:
U = Wh = mgh Energía potencial
DondeW y m son, respectivamente, el peso y la masa de un objeto
situado a una distancia h arriba de un punto de referencia.
Ejemplo de energía potencial gravitacional
Una caja de herramientas de 1.2 kg se halla 2 m por encima de una
mesa que está a la vez a 80 cm del piso. Determine la energía
potencial respecto a la parte superior de la mesa y respecto al piso.
Plan: La altura por encima de la mesa y la altura arriba del piso son los
dos puntos de referencia de la energía potencial. El producto del peso
por la altura nos dará la energía potencial respecto a ellos.
Solución (a): La energía potencial respecto a la parte superior de la
mesa es:
U = mgh
U= (1.2 kg)(9.8 m/s2)(2 m) = 23.5 J
150
Observe que kilogramos, metros y segundos son las únicas unidades
de masa, longitud y tiempo que pueden ser congruentes con la
definición de joule.
Solución (b): La altura total en el segundo caso es la suma de la
altura de la parte superior de la mesa a partir del piso y la altura de la
caja de herramientas por encima de la mesa.
U = mgh = mg(2 m + 0.80 m)
U= (1.2 kg) (9.8 m/s2)(2.8 m) = 32.9 J
4.5 FUERZAS CONSERVATIVAS
Decimos que una fuerza que ofrece esta oportunidad de conversión
bidireccional entre energías cinética y potencial es una fuerza
conservativa.
La fuerza elástica es la ejercida por objetos tales como resortes, que
tienen una posición normal, fuera de la cual almacena energía
potencial y ejercen fuerzas.
La fuerza elástica se calcula como:
F = - k ΔX
ΔX = Desplazamiento desde la posición normal
k = Constante de elasticidad del resorte
F = Fuerza elástica
Una característica fundamental de las fuerzas conservativas es que su
trabajo siempre es reversible.
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza en un camino
cerrado es cero. Por ejemplo si levantas un paquete de 1 kgf de
azúcar hasta una altura de un metro la fuerza peso, que es la fuerza
resistente, hace un trabajo de -1 kgf·m.
151
Si ahora lo bajas nuevamente a la posición inicial la fuerza peso será
fuerza motriz y producirá un trabajo igual a +1 kgf·m.
Finalmente si los sumas el resultado final será cero, por eso es una
fuerza conservativa.
Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para ir desde un
punto a otro no depende del camino, solo depende de las posiciones
inicial y final.
Figura 4.8 El trabajo realizado por una fuerza conservativa como la
gravedad depende sólo de los extremos de la trayectoria del
movimiento, no sobre la trayectoria específica seguida ente esos
puntos.
El trabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene estas
propiedades:
1. Puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final
de una función de energía potencial.
2. Es reversible.
3. Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende sólo de los
puntos inicial y final.
152
4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.
Si las únicas fuerzas que efectúan trabajo son conservativas, la
energía mecánica total
E = K + U es constante.
4.6 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Las fuerzas no conservativas no pueden representarse en términos de
energía potencial; no obstante, podemos describir sus efectos en
términos de energías distintas de la cinética y la potencial.
Un ejemplo de ello es cuando un automóvil con frenos bloqueados se
derrapa hasta detenerse, se calientan los neumáticos y el camino. La
energía asociada a este cambio en el estado de los materiales se
denomina energía interna, por ende cuando se eleva la temperatura
de un cuerpo, aumenta su energía interna; si se reduce su
temperatura, disminuye su energía interna.
El aumento en la energía interna es exactamente igual al valor
absoluto del trabajo efectuado por la fricción.
Dicho de otro modo:
∆𝑈𝑖𝑛𝑡 = 𝑊𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠
Donde∆𝑈𝑖𝑛𝑡 es el cambio de energía interna. Si sustituimos esto en la
ecuación (7.7) o (7.14), vemos que
153
Si escribimos ∆𝑈 = 𝐾2-𝐾1 y ∆𝑈= 𝑈2-𝑈1, podemos expresar finalmente
esto como
Este notable enunciado es la forma general de la ley de
conservación de la energía.
En un proceso dado, las energías cinética, potencial e interna de un
sistema pueden cambiar; pero la suma de todos los cambios siempre
es cero.
Una disminución en una forma de energía se compensa con un
aumento en las otras. Si ampliamos nuestra definición de energía para
incluir la energía interna, la ecuación dice que la energía nunca se
crea ni se destruye, sólo cambia de forma.
Por ejemplo, si lanzamos una pelota hacia arriba, convertimos parte de
la energía interna de las moléculas de nuestro cuerpo en energía
cinética de la pelota, que se convierte en energía potencial
gravitacional conforme la pelota sube, y otra vez en energía cinética al
bajar. Si hay resistencia del aire, parte de la energía calienta el aire y
la pelota, aumentando su energía interna.
La energía se convierte en la forma cinética cuando la pelota cae. Si
atrapamos la pelota al caer, la energía que no se perdió en el aire se
convertirá otra vez en energía interna; la pelota y su mano ahora están
más calientes que al principio.
154
4.7 CONSERVACIÓN EN EL TRABAJO MECÁNICO
Cuando consideramos el trabajo de varias fuerzas que actúan sobre el
mismo objeto, con frecuencia es útil distinguir entre el trabajo positivo
y el negativo. El trabajo es positivo si la componente de la fuerza se
encuentra en la misma dirección que el desplazamiento.
El trabajo negativo lo realiza una componente de fuerza que se opone
al desplazamiento real. Así, el trabajo que realiza una grúa al levantar
una carga es positivo; pero la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra
sobre la carga, realiza un trabajo negativo. En forma similar, si
estiramos un resorte, el trabajo sobre el resorte es positivo y será
negativo cuando el resorte se contrae. Otro ejemplo importante de
trabajo negativo es aquel que se realiza mediante una fuerza de
fricción que se opone a la dirección del desplazamiento.
Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo
resultante, es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas
individuales.
Esto también será igual al trabajo de la fuerza resultante. La
realización de un trabajo neto requiere la existencia de una fuerza
resultante. Se intentará aclarar estas ideas con el siguiente ejemplo:
Una fuerza de impulsión de 80 N, mueve un bloque de 5 kg hacia
arriba por un plano inclinado a 30º, como lo muestra la figura siguiente.
El coeficiente de fricción dinámico es de 0.25, y la longitud del plano
es de 80 metros.
Calcule el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan
sobre el bloque.
Demuestre que el trabajo neto realizado por estas fuerzas tiene el
mismo valor que el trabajo de la fuerza resultante.
Figura 4.9 Trabajo entre fuerzas.
155
Solución a) Son cuatro las fuerzas que actúan sobre el bloque: La
fuerza normal N, la fuerza fx para subir el bloque, la fuerza de fricción
dinámica que se opone al desplazamiento Fd, y el peso W del bloque.
La fuerza normal N, no realiza trabajo alguno porque no tiene una
componente a lo largo del desplazamiento.
(Trabajo)N=0.
La fuerza de impulsión fx se ejerce por completo a los largo del
desplazamiento y en la dirección de dicho desplazamiento. O sea:
(Trabajo) fx = fx s = (80 N) (80 m) = 3600 Joules.
Para calcular el trabajo de la fuerza de fricción Fd, y el trabajo del peso
W, primero debemos determinar las componentes del peso tanto a lo
largo del plano como perpendicularmente a él.
W = mg = (5 kg) (9.8 m/s2) = 49 Newtons.
Wx = 49 N x sen 30º = 49 N x 0.5 = 24.5 N
Wy = 49 N x cós 30º = 49 N x 0.8660 = 42.4 N.
Pero La fuerza de fricción dinámica 𝐹𝑑= μd N y la normal N = 𝑊𝑦 , así
que:
𝐹𝑑= μd 𝑊𝑦= - (0.25) (42.4 N) = -10.6 Newtons.
156
El signo negativo, significa que la fuerza de fricción dinámica Fd, se
dirige hacia abajo del plano. Por lo tanto el trabajo será negativo,
puesto que el desplazamiento se dirige hacia arriba del plano.
(Trabajo) F= 𝐹𝑑 d= (-10.6 N) (80 m) = -848 Joules.
El peso W del bloque también realiza un trabajo negativo, ya que su
componente 𝑊𝑥 tiene dirección opuesta al desplazamiento.
(Trabajo) W = - (24.5 N) (80 m) = -1960 Joules.
Solución b) El trabajo neto se obtiene sumando los trabajos de las
fuerzas individuales.
Trabajo neto = (trabajo)N + (trabajo)fx + (trabajo)fd + (trabajo) W.
= 0 + 3600 Joules – 848 Joules-1960 Joules = 792 Joules.
Para demostrar que éste es también el trabajo de la fuerza resultante,
calculamos primero la fuerza resultante. De acuerdo con los métodos
vistos anteriormente, tenemos:
FR = fx-Fd-Wx
FR = 80 N-10.6 N-24.5 N = 44.9 N.
Por lo tanto, el trabajo de la fuerza resultante FR es:
Trabajo neto = FR d = (44.9 N) (80 m) = 3600 Joules.
157
4.8 FUERZAS NO CONSERVATIVAS
Las fuerzas No Conservativas o también llamadas Fuerzas Disipativas
son aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para
mover una partícula entre dos puntos, depende de la trayectoria que
se realice ya sea recta, curva o en zigzag.
La fricción es un ejemplo de fuerzas no conservativas.
EJEMPLO
Un hombre arrastra un objeto durante un recorrido de 25 m, tirando de
él con una fuerza de 450 N mediante una cuerda que forma un ángulo
de 30° con la horizontal.
158
5.1 DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Todas las partículas que forman la masa del cuerpo tienen el mismo
tipo de movimiento. El movimiento del conjunto coincide con el
movimiento de una de las partículas. No todas las partículas que
forman una masa han de tener necesariamente el mismo movimiento.
El conjunto de partículas o cuerpos que se tiene en cuenta los propios
movimientos de cada componente recibe el nombre de sistema de
partículas
5.1.1 ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE PARTICULAS?
Un sistema de partículas es un conjunto de partículas con alguna
característica común que permita delimitarlo y en el que la posición y
movimiento de una partícula depende de la posición y movimiento de
las demás. Un sistema de partículas puede ser:
Discreto.
• Un sistema es discreto cuando está formado por un número finito de partículas y éstas están localizadas. En un sistema discreto la masa total del sistema se obtiene sumando las masas de todas las partículas que lo forman.
Continuo
• Un sistema es continuo cuando las partículas que lo forman no se pueden delimitar. El número de partículas deja de ser finito y se pasa de una a otra sin solución de continuidad.
159
5.1.2 FUERZAS EN EL SISTEMA DE PARTICULAS
Hay que distinguir dos tipos de fuerzas:
Solamente las fuerzas externas modifican la cantidad de movimiento
del sistema
EJEMPLO
Un ejemplo podría ser un sistema de partículas formado por la Tierra y
la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto
de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores
serían la
atracción mutua
entre estos dos
cuerpos
celestes.
Fuerza externa
• Son las fuerzas que actúan sobre las partículas y que proceden del exterior del sistema.
Fuerza interna• Son las fuerzas de interacción que ejercen unas
partículas sobre otras. Estas fuerzas cumplen el principio de acción y reacción.
160
5.1.3 CENTRO DE MASA
El centro de masas de un sistema de partículas se define como el
punto en el que se considera aplicada la resultante de todas las
fuerzas exteriores y concentrada toda la masa del sistema.
Mediante el concepto de CM el movimiento de un sistema se reduce al
movimiento de una partícula.
El centro de masas de un sistema de partículas discreto
El centro de masas de un sistema de partículas continuo
5.1.4 CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS
La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual a la
cantidad de movimiento de una partícula que teniendo toda la masa
del sistema estuviera situada en el centro de masas. Esto quiere decir
que el movimiento de un sistema se puede reducir al movimiento de
una partícula (CM).
161
5.1.5 LEY DE LA DINÁMICA PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.
El movimiento de un sistema de partículas es igual al movimiento del
CM suponiendo que toda la masa está concentrada en él y que las
fuerzas exteriores están aplicadas en ese punto. El CM se mueve
como si la resultante de las fuerzas exteriores actuase sobre la masa
total del sistema concentrada en dicho punto.
Las fuerzas internas no afectan al CM.
5.1.6 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.
Si un sistema está aislado, la cantidad de movimiento del
sistema permanecerá constante. Un sistema está aislado cuando
no se ve afectado por fuerzas exteriores.
La cantidad de movimiento del sistema solamente puede variar
por la acción de fuerzas exteriores al sistema.
Si un sistema está aislado, la cantidad de movimiento de las
partículas individuales puede variar, pero la suma ha de
permanecer constante.
Si no hay fuerzas exteriores la velocidad del CM permanece
constante.
5.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Para comprender la importancia del centro de masa de un conjunto de partículas, debemos preguntar qué le sucede cuando las partículas se mueven. Las componentes x y y de velocidad del centro de masa, vcm-x y vcm-y son las derivadas de xcm y ycm respecto al tiempo. Así mismo, dx1>dt es la componente x de velocidad de la partícula 1 (v1x), y así sucesivamente, por lo que dx1>dt 5 v1x, etcétera.
162
Al derivar las ecuaciones
Respecto al tiempo, obtenemos:
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación de un solo vector que se obtiene al derivar la ecuación
Respecto al tiempo:
163
Denotamos la masa total con M. Así, podemos reescribir la ecuación anterior como:
El lado derecho es el momento lineal total del sistema. Así, hemos demostrado que el momento lineal total es igual a la masa total multiplicada por la velocidad del centro de masa. Al atrapar una pelota, realmente estamos atrapando un conjunto de un gran número de moléculas de masas m1, m2, m3, . . . El impulso que sentimos se debe al momento lineal total de ese conjunto, pero es el mismo que si estuviéramos atrapando una sola partícula de masa M 5 m1 1 m2 1 m3 . . . que se mueve con velocidad la velocidad del centro de masa del conjunto. Así, la ecuación anterior ayuda a justificar la representación de un cuerpo extendido como partícula. En un sistema de partículas sobre el que la fuerza neta externa que actúa es cero, de manera que el momento lineal total es constante, la velocidad del centro de masa también es constante. Suponga que marcamos el centro de masa de una llave ajustable, que está en algún punto del mango, y deslizamos la masa con cierto giro sobre una mesa lisa horizontal. El movimiento global parece complicado, pero el centro de masa sigue una línea recta, como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto. EJEMPLO:
Planteamiento del problema: Santiago y Ramón están de pie, con una separación de 20.0 m, sobre la resbalosa superficie de un estanque helado. Ramón tiene una masa de 60.0 kg, y Santiago, de 90.0 kg. A medio camino entre ellos está un
tarro de su bebida favorita. Los dos tiran de los extremos de una cuerda ligera que hay entre ellos. Cuando Santiago se ha movido 6.0 m hacia el tarro, ¿cuánto y en qué dirección se ha movido Ramón?
164
SOLUCIÓN: IDENTIFICAR: La superficie congelada es horizontal y casi sin fricción, así que la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema de Santiago, Ramón y la cuerda es cero, y se conserva su momento lineal total. Inicialmente, no hay movimiento, así que el momento lineal total es cero y la velocidad del centro de masa es cero, pues está en reposo. Podemos usar esto para relacionar las posiciones de Santiago y Ramón. PLANTEAR: Tomemos el origen en la posición del tarro, con el eje 1x hacia Ramón. Puesto que la cuerda es ligera, podemos despreciar su masa al alcular la posición del centro de masa con la ecuación:
BOSQUEJO DE NUESTRA SITUACIÓN:
EJECUTAR: Las coordenadas x iniciales de Santiago y Ramón son -10.0 m y +10.0m, respectivamente, así que la coordenada x del centro de masa es:
165
Al moverse Santiago 6.0 m hacia el tarro, su nueva coordenada x es +4.0 m; llamaremos a la nueva coordenada x de Ramón x2. El centro de masa no se mueve, así que:
Santiago se ha movido 6.0 m en la dirección 1x y aún está a 4.0 m del tarro, pero Ramón se movió 9.0 m en la dirección 2x y está a sólo 1.0 m de él. EVALUAR: La razón de las distancias que los hombres se mueven,(6/9)=(2/3) es igual a la razón inversa de sus masas. ¿Puede decir por qué? Si los dos hombres siguen moviéndose (y, si la superficie no tiene fricción, así será), Ramón llegará primero al tarro. Este resultado es totalmente independiente de la fuerza con que ellos tiran; si Santiago tira con más fuerza, sólo logrará que Ramón apague su sed antes.
5.2.1 FUERZAS EXTERNAS Y MOVIMIENTO DEL CENTRO DE
MASA
Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas no es cero, el momento lineal total no se conserva y la velocidad del centro de masa cambia. Veamos la relación entre el movimiento del centro de masa y las fuerzas que actúan sobre el sistema. Las ecuaciones: Y
166
Dan la velocidad del centro de masa en términos de las velocidades de las partículas individuales. Dando un paso más, derivamos las ecuaciones respecto al tiempo para demostrar que las aceleraciones están relacionadas de la misma forma. Sea la aceleración del centro de masa; entonces; Ahora 𝑚1𝑎1, es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula, y así sucesivamente, por lo que el lado derecho de la ecuación anterior es igual a la suma vectorial ∑𝐹 de todas las
fuerzas que actúan sobre todas las partículas. Podemos clasificar cada fuerza como interna o externa. La suma de todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas es entonces; Por la tercera ley de Newton, todas las fuerzas internas se cancelan en pares, y ∑𝐹𝑖𝑛𝑡 = 0. Lo que queda en el lado izquierdo es la suma
sólo de las fuerzas externas:
Cuando fuerzas externas actúan sobre un cuerpo o un conjunto de partículas, el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto y sobre ella actuara una fuerza neta igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.
167
Este resultado quizá no suene muy impresionante, pero es básico en mecánica. De hecho, hemos estado usándolo todo el tiempo; sin él, no podríamos representar un cuerpo extendido como una partícula puntual al aplicar las leyes de Newton. Este resultado explica por qué sólo fuerzas externas pueden afectar el movimiento de un cuerpo extendido. Si usted tira de su cinturón hacia arriba, éste ejercerá una fuerza igual hacia abajo sobre sus manos; éstas son fuerzas internas que se cancelan y no afectan el movimiento global del cuerpo.
5.3 TEOREMA DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
El principio de conservación de la cantidad de movimiento es una de
de las más importante leyes de la naturaleza, demuestra la interacción
de dos cuerpos.
Es la base sobre la que se construye la solución a diversos problemas
que implican dos o más cuerpos que interactúan, especialmente en la
comprensión del comportamiento del choque o colisión de objetos.
Newton le dio el nombre de movimiento a esta cualidad de un objeto
en movimiento. Hoy se le llama cantidad de movimiento o momento
lineal.
Y se define del modo siguiente:
Cantidad de movimiento = masa x velocidad
Donde es el símbolo con que se representa la cantidad de
movimiento.
es un vector que apunta en la misma dirección que .
5.3.1 UNIDADES
La cantidad de movimiento es grande si el objeto tiene gran masa y
velocidad.
La cantidad de movimiento de un objeto de masa m y velocidad es
igual al producto de la masa y la velocidad.
= m.
168
5.3.2 VARIACIÓN EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Cuando ocurre un cambio en la masa y en la velocidad, en ambas a la
vez, existirá un cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo
considerado.
Si la masa permanece constante pero la velocidad del cuerpo cambia
de a se tendrá que
La variación de la cantidad de movimiento será:
- = m . - m. => - = m.( - ) luego =m.
5.3.3 FUERZA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La fórmula F= m*a expresa la segunda Ley de Newton, se puede
escribir recordando que la aceleración es igual a la rapidez de
variación de la velocidad del cuerpo.
El producto de la masa del cuerpo por la velocidad es una magnitud
física que tiene una denominación especial y recibe el nombre de
cantidad de movimiento o impulso del cuerpo. Llamamos cantidad de
= m. en el primer instante
= m. en el segundo instante
169
movimiento de un cuerpo al producto de la masa por su velocidad y la
variación de movimiento de un cuerpo es igual al impulso de la fuerza.
5.3.4 VALIDEZ DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA
CANTIDAD DEL MOVIMIENTO
Este principio es válido cuando la suma geométrica de las cantidades
de movimiento de los cuerpos, que forman un sistema cerrado, queda
constante para toda clase de interacciones de los cuerpos de este
sistema entre sí.
EJEMPLO
170
SOLUCIÓN
5.4 TEOREMA DE CONSERVACION DE LA ENERGÍA
Una partícula gana o pierde energía cinética porque interactúa con otros objetos que ejercen fuerzas sobre ella. En cualquier interacción, el cambio de energía cinética de una partícula es igual al trabajo total efectuado sobre la partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella. En muchas situaciones, parece que se almacena energía en un sistema para recuperarse después. Por ejemplo, hay que efectuar trabajo para levantar una roca pesada sobre la cabeza. Parece razonable que, al levantar la roca en el aire, se está almacenando energía en el sistema, la cual se convierte después en energía cinética al dejar caer la roca. El trabajo efectuado sobre una partícula por una fuerza gravitacional constante puede representarse en términos de un cambio en la energía potencial gravitacional Ugrav = m g y. Esta energía es una propiedad compartida de la partícula y la Tierra. Una energía potencial también se asocia con la fuerza elástica Fx=-kx
171
ejercida por un resorte ideal, donde x es la distancia de estiramiento o compresión. El trabajo efectuado por esta fuerza puede representarse como un cambio en la energía potencial elástica del resorte, Uel = ½ kx2.
5.4.1 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
La energía potencial gravitacional: Es la energía potencial asociada
al peso de un cuerpo y a su altura sobre el suelo.
No obstante, para empezar, deduzcamos la expresión para energía potencial gravitacional. Consideremos un cuerpo de masa m que se mueve en el eje y (vertical). Las fuerzas que actúan sobre él son su peso, de magnitud w =mg, y tal vez otras; llamamos a la suma vectorial (resultante) de todas las otras fuerzas otras. Suponemos que el cuerpo permanece tan cerca de la superficie terrestre que el peso es constante. Queremos determinar el trabajo efectuado por el peso cuando el cuerpo cae de una altura y1 sobre el origen a una altura menor y2. El peso y el desplazamiento tienen la misma dirección, así que el trabajo Wgrav efectuado sobre el cuerpo por su peso es positivo; Ecuación de la energía potencial
gravitacional:
Ugrav = m g y.
172
¿A qué cuerpo “pertenece” la energía potencial gravitacional? No es correcto llamar a Ugrav=m g y la ―energía potencial gravitacional del cuerpo‖, ya que la energía potencial gravitacional Ugrav es una propiedad compartida del cuerpo y la Tierra. El valor de Ugrav aumenta si la Tierra permanece fija y la altura aumenta; también aumenta si el cuerpo está fijo en el espacio y la Tierra se aleja de él. Observe que en la fórmula Ugrav=m g y intervienen características tanto del cuerpo (su masa m) como de la Tierra (el valor de g).
ECUACIÓN DEL DIFERENCIAL DEL
POTENCIAL GRAVITACIONAL
Esta expresión también da el trabajo correcto cuando el cuerpo sube y y2 es mayor que y1 (figura:2 b). En tal caso, la cantidad y1 -y2 es negativa y Wgrav es negativa porque el peso y el desplazamiento tienen direcciones opuestas. La ecuación muestra que podemos expresar Wgrav en términos de los valores de la cantidad m g y al principio y al final del desplazamiento. Esta cantidad, el producto del peso mg y la altura y sobre el origen de las coordenadas, es la energía potencial gravitacional
∆Ugrav = W (y2-y1) = mgy2- mgy1
173
5.4.2 ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA
Hay muchas situaciones donde encontramos energía potencial que no sea de naturaleza gravitacional. Un ejemplo es la banda de hule de una resortera. El trabajo es efectuado por la fuerza que estira la banda, y ese trabajo se almacena en la banda hasta que ésta se suelta. Entonces, la banda imparte energía cinética al proyectil. Éste es el mismo patrón que vimos en el martinete de la sección 7.1: efectuar trabajo sobre el sistema para almacenar energía, que después se convierte en energía cinética. Describiremos el proceso de almacenar energía en un cuerpo deformable, como un resorte o una banda de hule, en términos de energía potencial elástica. Un cuerpo es elástico si recupera su forma y tamaño originales después de deformarse. Específicamente, consideraremos el almacenamiento de energía en un resorte ideal. Para mantener un resorte ideal estirado una distancia x, debemos ejercer una fuerza F=kx, donde k es la constante de fuerza
del resorte. Ésta es una idealización útil porque muchos cuerpos elásticos exhiben tal proporcionalidad directa entre la fuerza y el desplazamiento x, siempre que x sea lo suficientemente pequeña. Procedemos igual que con la energía potencial gravitacional. Comenzamos con el trabajo realizado por la fuerza elástica (del resorte) y lo combinamos con el teorema trabajo-energía. La diferencia es que la energía potencial gravitacional es una propiedad compartida de un cuerpo y la Tierra; no obstante, la energía potencial elástica sólo se almacena en el resorte (u otro cuerpo deformable).
174
La siguiente figura muestra el resorte ideal, con su extremo izquierdo fijo y el extremo derecho conectado a un bloque de masa m que puede moverse sobre el eje x. En la figura 7.13a, el cuerpo está en x=0 con el resorte ni estirado ni comprimido. El trabajo que debemos efectuar sobre el resorte para mover un extremo desde un alargamiento x1
hasta otro alargamiento distinto x2 es: Ahora nos interesa el trabajo efectuado por el resorte. Por la tercera ley de Newton, un trabajo es el negativo del otro. Cambiando los signos en la ecuación, vemos que, al desplazarse de x1 a x2, el resorte efectúa un trabajo Wel dado por:
175
EJEMPLOS
El tendón de Aquiles, que va de la parte de atrás del tobillo al hueso
del talón, actúa como un resorte natural. Cuando se estira y luego se
relaja, el tendón almacena y después libera energía potencial elástica.
Esta acción de resorte reduce el trabajo que al correr deben efectuar
los músculos de la pierna.
Un deslizador de masa m=0.200 kg descansa en un riel de aire
horizontal, sin fricción, conectado a un resorte con constante de fuerza
k=5.00 N/m. Otro tira del deslizador, estirando el resorte 0.100 m, y
luego se suelta con velocidad inicial cero.El deslizador regresa a su
posición de equilibrio (x=0). ¿Cuáles son los valores de la energía
potencial elástica en los diferentes 2 puntos?
U1=1/2 K X2
1 = ½(5.0N/m)(0.100m) 2
=
=0.0250J
U2=1/2 K X2
2 = ½(5.0N/m)(0.080m) 2
=
=0.0160J
176
5.4.3 LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Al estudiar la energía potencial hemos hablado de ―almacenar‖ energía cinética convirtiéndola en energía potencial, pensando siempre que podremos recuperarla después como energía cinética. Por ejemplo, una pelota lanzada hacia arriba se frena al convertir su energía cinética en potencial; sin embargo, al bajar la conversión se invierte y la pelota se acelera al convertir su energía potencial otra vez en energía cinética. Si no hay resistencia del aire, la pelota se mueve con la misma rapidez cuando regresa al punto de lanzamiento que cuando se lanzó. Otro ejemplo es el de un deslizador que se mueve sobre un riel de aire horizontal sin fricción que choca contra un amortiguador de resorte en el extremo del riel. El resorte se comprime y el deslizador se detiene; luego rebota. Como no hay fricción, el deslizador tiene la misma rapidez y energía cinética que tenía antes de chocar.
Aquí también hay una conversión bidireccional: de energía cinética a potencial y viceversa. En ambos casos, podemos definir una función de energía potencial tal que la energía mecánica total, cinética más potencial, es constante o se conserva durante el movimiento.
177
Fuerzas conservativas
Decimos que una fuerza que ofrece esta oportunidad de conversión bidireccional entre energías cinética y potencial es una fuerza conservativa. Ejemplos Fuerzas conservativas: la gravitacional y la de resorte. Una característica fundamental de las fuerzas conservativas es que su trabajo siempre es reversible. Algo que depositamos en el ―banco‖ de energía puede retirarse después sin pérdida. Otro aspecto importante de las
fuerzas conservativas es que un cuerpo puede moverse del punto 1 al punto 2 siguiendo varios caminos; pero el trabajo realizado por una fuerza conservativa es el mismo para todos. Fuerzas no conservativas
No todas las fuerzas son conservativas. Considere la fuerza de fricción que actúa sobre la caja que se desliza por la rampa. El cuerpo sube y luego regresa al punto de partida, pero el trabajo total efectuado por la fricción sobre él no es cero. Al invertirse la dirección del movimiento, se invierte la fuerza de fricción, que realiza trabajo negativo en ambas direcciones. Si un automóvil con frenos bloqueados se derrapa por el pavimento con rapidez (y energía cinética) decreciente(s), la energía cinética perdida no se puede recuperar invirtiendo el movimiento ni de ninguna otra manera, y la energía mecánica no se conserva. No hay función de energía potencial para la fuerza de fricción. Asimismo, la fuerza de resistencia de fluidos no es conservativa.
178
Las fuerzas no conservativas no pueden representarse en términos de energía potencial; no obstante, podemos describir sus efectos en términos de energías distintas de la cinética y la potencial. Cuando un automóvil con frenos bloqueados se derrapa hasta detenerse, se calientan los neumáticos y el camino. La energía asociada a este cambio en el estado de los materiales se denomina energía interna. Cuando se eleva la temperatura de un cuerpo, aumenta su energía interna; si se reduce su temperatura, disminuye su energía interna. Para captar el significado de la energía interna, consideremos un bloque que se desliza por una superficie áspera. Cuando se desliza, la fricción realiza trabajo negativo sobre el bloque, y el cambio de energía interna del bloque y la superficie es positivo (ambos se calientan). Experimentos cuidadosos demuestran que el aumento en la energía interna es exactamente igual al valor absoluto del trabajo efectuado por la fricción. Dicho de otro modo:
La expresión algebraica de la ley de la conservación de la energía es:
K=Energía cinética (J)
U=Energía potencial (J)
∆Uint=Energía interna (J)
ΔUint = -Wotras
∆K+ ∆U +∆Uint =0
179
Este notable enunciado es la forma general de la ley de conservación de la energía.
En un proceso dado, las energías cinética, potencial e interna de un sistema pueden cambiar; pero la suma de todos los cambios siempre es cero. Una disminución en una forma de energía se compensa con un aumento en las otras. Si ampliamos nuestra definición de energía para incluir la energía interna, dice que: ―la energía nunca se crea ni se destruye, sólo cambia de forma.” No se ha observado aún una excepción a esta regla. Observe que el concepto de trabajo no aparece en la ecuación (7.15). Esta ecuación nos invita a pensar sólo en términos de conversión de energía de una forma a otra. Por ejemplo, si lanzamos una pelota hacia arriba, convertimos parte de la energía interna de las moléculas de nuestro cuerpo en energía cinética de la pelota, que se convierte en energía potencial gravitacional conforme la pelota sube, y otra vez en energía cinética al
bajar. Si hay resistencia del aire, parte de la energía calienta el aire y la pelota, aumentando su energía interna. La energía se convierte en la forma cinética cuando la pelota cae. Si atrapamos la pelota al caer, la energía que no se perdió en el aire se convertirá otra vez en energía interna; la pelota y su mano ahora están más calientes que al principio. Cuando se quema un litro de gasolina en el motor de un automóvil, libera 3.3 3 x107 J de energía interna. Por lo tanto, ∆Uint =-3.3 3 107 J, donde el signo menos indica que disminuyó la cantidad de energía almacenada en la gasolina. Esa energía se puede convertir en energía cinética (para que aumente la rapidez del auto) o en energía potencial (para que el auto suba una cuesta).
180
5.5 COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS
5.5.1 CHOQUE INELASTICO
Un choque en el que la energía cinética total final es menor que la
inicial es un choque inelástico. Una albóndiga que cae en un plato de
espagueti y una bala que se incrusta en un bloque de madera son
ejemplos de choques inelásticos. Un choque inelástico en el que los
cuerpos se pegan y se mueven como uno solo después del choque es
un choque totalmente inelástico. En la figura 8.15 se presenta un
ejemplo; reemplazamos los protectores de resorte de la figura 8.14 por
una cinta Velcro® que hace que los dos cuerpos se adhieran.
La figura 8.14 muestra un
modelo de choque elástico.
Al chocar los deslizadores,
los resortes se comprimen
momentáneamente y parte
de la energía cinética
original se convierte por un
momento en energía
potencial elástica. Luego los
deslizadores rebotan, los
resortes se expanden y la
energía potencial se
convierte en cinética.
Recuerde esta regla: En
todo choque en el que se
pueden ignorar las fuerzas
externas, el momento lineal
se conserva y el momento
lineal total es el mismo antes y después. La energía cinética total sólo
es igual antes y después si el choque es elástico.
Un choque inelástico no tiene que ser totalmente inelástico.
181
Es un error común pensar que los únicos choques inelásticos son
aquellos en que los cuerpos quedan pegados. En realidad, los
choques inelásticos incluyen muchas situaciones en que los cuerpos
no se pegan. Si dos autos chocan violentamente y rebotan, el trabajo
efectuado para deformar las defensas no puede recuperarse como
energía cinética de los autos, de manera que el choque es inelástico
(Figura 8.16)
5.5.2 CHOQUE TOTALMENTE INELÁSTICOS
Veamos qué sucede con el momento lineal y la energía cinética en un
choque total- mente inelástico de dos cuerpos A y B, como en la figura
8.15. Dado que los cuerpos quedan pegados después del choque,
tienen la misma velocidad final Sv2:
182
La conservación del momento lineal da la relación choque totalmente
inelástico
Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podremos calcular
la velocidad final común v2
Suponga, por ejemplo, que un cuerpo con masa mA y componente x
inicial de velocidad vA1x choca inelásticamente con un cuerpo de
masa mB en reposo (VBX=0).
Por la ecuación, la componente x de velocidad después del choque
v2x, común a ambos cuerpos, es
Verifiquemos que la energía cinética total después de este choque
totalmente inelástico es menor que antes. El movimiento es sólo sobre
el eje x, por lo que las energías cinéticas K1 y K2 antes y después del
choque, respectivamente, son
El lado derecho siempre es menor que la unidad porque el denomina-
dor siempre es mayor que el numerador. Aun si la velocidad inicial de
mB no es cero, no es difícil verificar que la energía cinética después
de un choque totalmente inelástico siempre es menor que antes.
183
EJEMPLO
Los deslizadores no rebotan, sino que quedan pegados después del
choque. Calcule la velocidad final común v2x .
Puesto que v2x es positiva, los deslizadores se mueven juntos a la
derecha (dirección+x) después del choque. Antes del choque, las
energías cinéticas de los deslizadores A y B son
La energía cinética total antes del choque es de 1.6 J. La energía
cinética después del choque es
184
5.5.3 CHOQUES ELÁSTICOS
Como vimos en la sección 8.3, un choque elástico en un sistema
aislado es uno en el que se conserva la energía cinética (al igual que
el momento lineal). Estos choques ocurren cuando las fuerzas entre
los cuerpos que chocan son conservativas.
Parte de la energía cinética
se almacena temporalmente
como energía potencial
elástica, pero al final se
convierte una vez más en
energía cinética (figura 8.21).
Examinemos un choque
elástico entre dos cuerpos A y
B. Comencemos con un
choque en una dimensión,
con todas las velocidades en
la misma línea, a la que
llamamos eje x. Así, los
momentos lineales y
velocidades sólo tienen
componentes x.
185
Llamamos vA1x y vB1x a las componentes x de velocidad antes del
choque, y vA2x y vB2xa las componentes x después del choque. Por
la conservación de la energía cinética tenemos
EJEMPLO
186
187
5.6 CUERPO RIGIDO
5.6.1 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULARES
Al analizar el movimiento rotacional, pensemos primero en un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo, es decir, un eje que está en reposo en algún marco de referencia inercial y no cambia de dirección relativa al marco. El cuerpo podría ser una flecha de motor, un trozo de asado en una brocheta o un carrusel. La figura 9.1 muestra un cuerpo rígido (en este caso, la aguja indicadora de un velocímetro) que gira sobre un eje fijo, el cual pasa por el punto O y es perpendicular al plano del diagrama, que llamamos plano xy. Una forma de describir la rotación de este cuerpo sería elegir un punto específico P del cuerpo y seguir la pista a sus coordenadas x y y. Este método no es el más conveniente, pues requiere dos números (las dos coordenadas) para especificar la posición rotacional del cuerpo. En vez de ello, observamos que la línea OP está fija en el cuerpo y gira con él. El ángulo u que esta línea forma con el eje 1x describe la posición rotacional del cuerpo; usaremos sólo esta cantidad u como coordenada de rotación. La coordenada angular u de un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo puede ser positiva o negativa. Si hacemos que los ángulos positivos se midan en sentido
antihorario desde el eje 1x, entonces el ángulo u en la figura 9.1 es positivo. En cambio, si elegimos la dirección horaria como la rotación positiva, u será negativo en la figura 9.1. Cuando consideramos el movimiento rectilíneo de una partícula, fue indispensable especificar la dirección del desplazamiento positivo sobre esa línea; al analizar la rotación sobre un eje fijo, es igualmente indispensable especificar la dirección de rotación positiva. Al describir un movimiento rotacional, la forma más natural de medir el ángulo uno es en grados, sino en radianes. Como se muestra en la figura 9.2a, un radián (1 rad) es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo. En la figura 9.2b, un ángulo u es subtendido por un arco de longitud s en un círculo de radio r. El valor de u (en radianes) es igual a s entre r:
188
5.6.2 VELOCIDAD ANGULAR
La coordenada de la figura 9.1 especifica la posición rotacional de un cuerpo rígido en un instante dado. Podemos describir el movimiento rotacional del
cuerpo en términos de la razón de cambio de . En la figura 9.3a
una línea de referencia OP en un cuerpo que gira forma un ángulo
con el eje 1x en el instante t1, En un instante posterior t2, el ángulo
cambió a . Definimos la velocidad angular media (con la
letra griega omega) del cuerpo en el intervalo como la razón del desplazamiento angular
El subíndice z indica que el cuerpo de la figura 9.3a está girando en torno al eje z, que es perpendicular al plano del diagrama. La
velocidad angular instantánea es el límite de
cuando tiende a cero, es decir, la derivada de con respecto a t:
189
190
191
5.6.3 ACELERACIÓN ANGULAR
Si cambia la velocidad angular de un cuerpo rígido, tiene una
aceleración angular.
Cuando una persona pedalea una bicicleta con más vigor para hacer
que las ruedas giren más rápidamente, o aplica los frenos para
detener las ruedas, se produce una aceleración angular sobre éstas.
También se produce una aceleración angular cuando alteramos la
rapidez de rotación de una pieza giratoria de una maquinaria, como el
cigüeñal del motor de un automóvil.
Si son las velocidades angulares instantáneas en ,
definimos la aceleración angular media en el intervalo Δt 5 t2
2 t1 como el cambio de la velocidad angular dividido entre Δt
La aceleración angular instantánea az es el límite de amed-z cuando
Δt S 0:
¿QUÉ ES ACELERACIÓN ANGULAR?
La unidad que se suele utilizar para la aceleración angular es el radián
por segundo (rad>s2). De ahora en adelante, emplearemos el término
―aceleración angular‖ para referirnos a la aceleración angular
instantánea, no a la aceleración angular media. Dado que
también podemos expresar la aceleración angular como la segunda
derivada de la coordenada angular:
192
Cuando un cuerpo rígido gira sobre un eje fijo, todas sus partículas se
mueven en una trayectoria circular. El círculo yace en un plano
perpendicular al eje y está centrado en el eje. La rapidez de una
partícula es directamente proporcional a la velocidad angular del
cuerpo; cuanto más rápidamente gire el cuerpo, mayor será la rapidez
de cadapartícula. En la figura 9.9, el punto P está a una distancia
constante r del eje de rotación, así que se mueve en un círculo de
radio r. En cualquier instante, el ángulo (en rad) y la longitud de arco
s están relacionadas por
Derivamos esto con respecto al tiempo, observando que r es
constante para una partícula específica, y obtenemos el valor absoluto
de ambos lados:
Ahora, es el valor absoluto de la razón de cambio de la longitud de
arco, que es igual a la rapidez lineal instantánea v de la partícula. De
manera análoga, es el valor absoluto de la razón de cambio del
ángulo, que es la rapidez angular instantánea v, es decir, la magnitud
de la velocidad angular instantánea en rad>s. Así,
Cuanto más lejos del eje esté del eje un punto, mayor será su rapidez
lineal. La dirección del vector de velocidad lineal es siempre tangente
a la trayectoria circular.
193
194
195
6. SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Un sistema de partículas es un modelo de sistema físico formado por partículas o cuerpos cuyas dimensiones y estado interno son irrelevantes para el problema bajo estudio. Eso hace que en un sistema de partículas conocidas las magnitudes cinemáticas de cada una de las partículas y sus acciones a distancia toda la dinámica del sistema esté completamente especificada a dinámica del punto material. Eso hace que en un sistema de partículas conocidas las magnitudes cinemáticas de cada una de las partículas y sus acciones a distancia toda la dinámica del sistema esté completamente especificada a dinámica del punto material.
6.1 DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos
partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior f1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, f12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior f2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, f21. Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la tierra y la luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el sol (y el resto de los planetas) sobre la tierra y sobre la luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.
6.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor. El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema.
196
Figura 6.1 Esquema del movimiento del centro de masa
6.3 Teorema de la conservación de la cantidad de movimiento
El concepto de momento lineal tiene especial importancia en situaciones en las que dos o más cuerpos interactúan. Para ver por qué, consideremos primero un sistema idealizado de dos cuerpos que interactúan entre sí. Por ejemplo, dos astronautas que se tocan mientras flotan libremente en el espacio exterior en un ambiente de gravedad cero. Consideremos a los astronautas como partículas. Cada partícula ejerce una fuerza sobre la otra; según la tercera ley de Newton, las dos fuerzas siempre son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Por lo tanto, los impulsos que actúan sobre las dos partículas son iguales y opuestos, y los cambios de momento lineal de las dos partículas serán iguales y opuestos. En cualquier sistema, las fuerzas que las partículas del sistema ejercen entre sí se denominan fuerzas internas; las ejercidas sobre cualquier parte del sistema por algún objeto externo son fuerzas externas.
Las fuerzas internas son, F BsobreA ejercida por la partícula B sobre la
A, y F AsobreB ejercida por la partícula A sobre la B. No hay fuerzas externas, así que tenemos un sistema aislado.
FIGURA 6.2 Dos astronautas se empujanmutuamente mientras flotan libres en el entorno de gravedad cero del espacio exterior.
197
La fuerza neta sobre la partícula A es F BsobreA y sobre la partícula B,
F AsobreB , así que las razones de cambio del momento lineal de ambas partículas son. El momento lineal de cada partícula cambia, pero estos cambios están relacionados entre sí por la tercera ley de Newton: las dos fuerzas,
F BsobreA y F AsobreB siempre son iguales en magnitud y opuestas en
dirección. Es decir, F BsobreA = −F AsobreB .
Así queF BsobreA + F AsobreB = 0. Sumando las dos ecuaciones de la ecuación, tenemos:
Las razones de cambio de los dos momentos lineales son iguales y
opuestas, así que la razón de cambio de la suma vectorial P A + P B es
cero. Ahora definimos el momento lineal total P del sistema de dos partículas como la suma vectorial de los momentos lineales de las partículas individuales. Esto es,
Así, la ecuación se convierte finalmente en
Esto nos dice que la razón de cambio del momento lineal total P es cero. Por lo tanto, el momento lineal total del sistema es constante.
198
Dos patinadores se tocan mientras patinan en
una superficie horizontal sin fricción. Aunque
las fuerzas normales y gravitacionales son
fuerzas externas, su suma vectorial es cero,
por lo que el momento lineal total se conserva.
Aunque las fuerzas normales y gravitacionales
son fuerzas externas, su suma vectorial es
cero, por lo que el momento lineal total se
conserva.
Podemos generalizar este principio para un
sistema con cualquier número de partículas A,
B, C, … que sólo interactúan entre sí. El
momento lineal total del sistema es
La razón total de cambio del momento lineal del
sistema debido a cada par acción-reacción de
fuerzas internas es cero. Así, la razón total de
cambio del momento lineal del sistema entero
es cero siempre que la resultante de las
fuerzas externas que actúan sobre él es cero.
Ejercicio del Teorema de la conservación de
Dos deslizadores se acercan uno al otro sobre
un riel de aire sin fricción. Después de chocar
(figura 8.12b), el deslizador B se aleja con
velocidad final de 12.0 m>s (figura 8.12c).
La ley de la conservación de la cantidad de movimiento señala que si
la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, el
momento lineal total del sistema es constante.
Figura. 6.3 Dos patinadores se
tocan mientras patinan en una superficie horizontal sin
fricción.
Figura. 6.4Dos deslizadores
chocan en un riel de aire.
199
¿Qué velocidad final tiene el deslizador A? Compare los cambios del
momento lineal y velocidad de los dos deslizadores.
La componente x del momento lineal total antes del choque es:
La componente x del momento lineal total vale lo mismo después del
choque, así que
Despejando vA2x , la componente x final de la velocidad de A,
tenemos
El cambio en la componente x del momento lineal del deslizador A es
y el cambio en la componente x del momento lineal del deslizador B
es:
Los dos deslizadores en interacción sufren cambios de momento
lineal, que son iguales en magnitud y opuestos en dirección, pero los
cambios de velocidad no son iguales y opuestos.
200
Para A
Para B
6.4 Teorema de conservación de la energía
Indica que el trabajo total efectuado sobre el cuerpo es igual al cambio
en su energía cinética
Si la gravedad es la única fuerza que actúa, entonces
Juntando esto tenemosque podemos reescribir como
O bien
Dado que las posiciones y1 y y2 son puntos arbitrarios en el
movimiento del cuerpo, la energía mecánica total E tiene el mismo
valor en todos los puntos durante el movimiento:
Obtenemos lo que se conoce como teorema de conservación de la
energía mecánica:
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• Una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad
que se conserva. Si sólo la fuerza de gravedad efectúa trabajo la
energía mecánica total es constante, es decir, se conserva.
Figura 6.5 Conservación de la energía
EJEMPLO: Altura de una pelota por conservación de la energía
Usted lanza una pelota de béisbol con
masa de 0.145 kg hacia arriba, dándole
una velocidad inicial hacia arriba de 20.0
m/s. Determine qué altura alcanza,
despreciando la resistencia del aire.
Puesto que y1 = 0, la energía potencial en
el punto 1 es Ugrav,1 = mgy1 =0. Además,
dado que la pelota está en reposo en el
punto 2, la energía cinética en ese punto es
K2 = 1/2 mv22 = 0.
Entonces en el punto 1, la energía cinética es
y es igual a la energía potencial Ugrav,2 = mgy2 , asi que
Figura 6.6 Lanzamiento de una pelota
de beisbol, conservando energía
202
También podemos resolver K1 = Ugrav,2algebraicamente despejando y2
6.5 COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS
DEFINICIÓN DE COLISIONES
Usamos el término colisión para describir un proceso durante el cual dos partículas interaccionan por medio de fuerzas Las fuerzas debidas a la colisión son muchos mayores que cualquier otra fuerza externa presente. Podemos utilizar la aproximación del impulso. El intervalo de tiempo durante el cual las velocidades de las partículas cambian de sus valores iniciales a los finales se supone que es pequeño Una colisión puede ser el resultado del contacto físico entre dos objetos. Esta situación resulta habitual cuando se trata de dos objetos macroscópicos (bolas de billar…)Pero debe generalizarse a situaciones en las que las partículas que han colisionado (interaccionando por medio de fuerzas) no han llegado nunca a estar ―en contacto‖ . 6.5.1 COLISIONES ELÁSTICAS Se define una colisión elástica como aquella en la que la energía cinética se conserva, así como la cantidad de movimiento. Las colisiones reales en el mundo macroscópico, por ejemplo, las colisiones entre dos bolas de billar, son solo aproximadamente elásticas. Parte de la energía cinética se transforma y una cierta energía abandona el sistema en forma de ondas mecánicas (el sonido
del choque).Entre partículas subatómicas si que se pueden producir choques perfectamente elásticos. Las colisiones elásticas y perfectamente inelásticas son casos límite: hay un gran número de colisiones posibles que caen dentro del rango comprendido entre estos dos límites
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6.5.2 COLISIONES INELÁSTICAS Se define una colisión inelástica como aquella en la que la energía cinética no se conserva, aunque el momento total del sistema se conserve. Cuando dos objetos colisionan y quedan unidos después de la colisión, se produce una transformación del máximo porcentaje posible de la energía cinética inicial, y decimos que la colisión es perfectamente inelástica. Cuando dos objetos colisionan y no quedan unidos después de la colisión, pero se pierde parte de la energía cinética inicial, se dice que la colisión es inelástica sin más adjetivos . Una pelota de goma que choca contra una superficie dura (parte de la energía cinética se transforma en energía interna cuando la bola se deforma mientras está en contacto con la superficie). Sucede que en condiciones elásticas y inelásticas: El momento del sistema se conserva en todas las colisiones La energía cinética se conserva únicamente en las colisiones
elásticas
6.6 MECANICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS
6.6.1 CUERPO RIGIDO
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre de ellos. Representa cualquier cuerpo que no se deforma; para fines de movimiento se puede suponer que el neumático de un automóvil es un cuerpo rígido.
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Figura 6.7 Ejemplo de un cuerpo rígido.
El movimiento de cuerpo rígido, se analizará considerando que la tierra se encuentra en reposo total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación El movimiento de cuerpo rígido, se puede explicar con las tres leyes de Newton y la ley de Coulomb. Para desplazamientos de un cuerpo rígido en un plano, las cuestiones son más simples pues es bastante evidente que un cambio de posición de un cuerpo rígido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslación paralela seguida de una rotación en tordo a un punto fijo, o bien la rotación seguida de la traslación. En el movimiento plano de un cuerpo rígido, siempre existe un punto de él (o de una extensión rígida de él) que tiene velocidad instantánea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotación instantánea del cuerpo en torno de ese punto. Tal punto se conoce como centro instantáneo de rotación. En el movimiento de un cuerpo rígido siempre existe un punto de él, o de una extensión rígida del cuerpo, que tiene velocidad instantánea cero. Esto significa que en todo instante el cuerpo está moviéndose como si solamente rotara respecto a ese punto, pero ese punto en general se mueve, de manera que el centro instantáneo describe un cuerpo. El movimiento de ese punto puede ser mirado desde un sistema fijo y en ese caso la curva que describe se denomina curva riel. Si el movimiento de ese punto es observado desde un sistema de referencia fijo al cuerpo, la curva que se observa, se denomina curva rueda.
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6.6.2 MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO
El movimiento del cuerpo rígido, en el caso planar, se puede describir de la siguiente manera:
6.6.3 TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE CUERPOS Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma velocidad, tal como se ilustra en la figura 1a. Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran alrededor de un mismo eje (llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular, tal como se ilustra en la figura 1b (en este caso el eje de rotación es perpendicular al plano representado por la hoja de papel que estamos observando y pasa por elPunto O). En general el
movimiento del cuerpo será una combinación de ambos. 6.6.3.1 TRASLACIÓN Una traslación es la operación que modifica las posiciones de todos los cuerpos según la fórmula:
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Figura 6.8 Traslación
6.6.3.2 ROTACIÓN: Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo. Una rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. Un movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular W, que es un vector de carácter deslizante, situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo». Según la fórmula: Figura 6.9 Rotación
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Cuando el cuerpo está en traslación pura (o cuando el intereses en analizar su movimiento de traslación), se puede asumir como si fuera una partícula. Son ejemplos: - Un esquiador deslizándose por una montaña (figura 6.10a). - Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay interés en lo que pasa con la bicicleta, sino con el sistema como u n todo - figura 6.10 b -). - El análisis de la traslación de la tierra alrededor del sol (en este caso la tierra se consideraría una partícula).
Figura 6.10
a)Esquiador deslizándose por una montaña b)Ciclista trasladándose En el caso de querer estudiar la rotación del cuerpo no se puede asumir como una partícula. En la figura 6.11a se ilustra la rotación del planeta Tierra alrededor de su eje (eje que pasa por los polos). En la figura 6.11b se ilustra la transmisión. n de movimiento de rotación entre dos piñones.
Figura 6.11
a)Rotación del planeta Tierra b)Trasmisión
Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, éste se mantiene siempre paralelo a sí mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto continuo de puntos
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materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los demás puntos materiales describirán trayectorias equidistantes entre sí. Movimiento complejo de un sólido rígido, que presenta precesión alrededor de la dirección del momento angular además rotación según su eje de simetría 6.6.4 MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que
forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
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GLOSARIO ÁTOMO: Es la cantidad menor de un elemento químico que tiene existencia propia y que está considerada como indivisible CIENCIA: Es el conjunto sistemático de conocimiento métodos conceptos con que
el hombre describe y explica los fenómenos que observa. COMPONENTES: Es el sustituir del efecto de una resultante. CONGRUENCIA: Término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural, llamado el módulo DERIVADA: La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que
cambia de valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su
variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir,
se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función es un cierto
intervalo, cuando el intervalo es considerado para la variable independiente se
toma cada vez más pequeño.
DIFERENCIAL: El diferencial representa la parte principal del cambio en la
linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable
independiente. El diferencial queda definido por la expresión
DIRECCION: Es la acción y efecto de dirigir ESCALAR: Es el número real o complejo que sirve para describir un fenómeno
físico con magnitud, pero sin las características vectorial de dirección ESCUCHAR: Prestar atención a lo que se oye, aplicar el oído para oír algo ETICA: Es la rama de la filosofía que se ocupa del estudio racional de la moral, virtud, el deber y la felicidad y el buen vivir. ETICA PROFESIONAL: Es una disciplina que está incluida dentro de la ética
aplicada pretende re guiar las actividades que se realizan en el marco de la profesión. ÉXITO: Resultado, a menudo feliz o muy bueno, de algo
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EXPERIMENTO: Es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar
(confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionados con un determinado fenómeno, mediante la manipulación de las variables que presumiblemente son causa. FISICA: ciencia fundamental relacionada con las compresiones de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo FLUIDOS: Es el conjunto de sustancia donde existe entre sus moléculas poca
fuerza de atracción, cambiando su forma, lo que ocasiona que la posición que tomen sus moléculas varia ante la fuerza aplicada sobre ellos. FUERZA: es la acción de un cuerpo sobre otro cuerpo. FUERZA EQUILIBRANTE: Que en la misma línea de acción o del mismo valor de
la resultante del sentido contrario. FUERZA DE GRAVEDAD: Es un fenómeno por el cual todos los objetos con masa determinada se atraen entre ellos. Esta atracción depende de la masa del objeto en cuestión mientras más masa mayor será la fuerza de atracción. FUERZA NETA: la resultante de de todas las fuerzas netas o puras FUERZA NORMAL: Fn (on) como la fuerza que ejerce una superficie sobre un
cuerpo apoyado sobre la misma. Esta es igual en magnitud y dirección, pero de sentido contrario a la fuerza ejercida por el cuerpo sobre la superficie. GAS: Materia que tiene poca densidad y que por lo tanto, puede extenderse de
manera definida GRAVEDAD: Es una fuerza física que la tierra ejerce sobre todos los cuerpos hacia su centro. También trata de la fuerza de atracción de los cuerpos en razón a su masa. INTEGRAL: Para otros usos de este término, véase Integración
(desambiguación). La integral definida de una función representa el área limitada
por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores
positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.
LIQUIDO: Estado de agregación de la materia en forma de fluido altamente in
compresible MASA: es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo MATERIA: s. F. Elemento o conjunto de elementos que pueden transformarse por la acción de otros elementos que actúan sobre él.
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METRO: (símbolo m) es la unidad principal de longitud MEZCLA: s. F. Operación de unir o combinar elementos o personas distintas 1 Sustancia que resulta de la unión de dos o más componentes distintos. MOLÉCULA: Es la partícula más pequeña que presenta todas las propiedades
físicas y químicas de una sustancia.se encuentran formadas por dos o más átomos. OBSERVAR: Mirar, con atención y rescato, atisbar, OIR: Percibir con los oídos los sonidos. ORGANIZACIÓN OPERATIVA: es el corazón de la institución y estado formado
por las comisiones de trabajo. ORTOGONAL: Adjetivo que se emplea para nombrar a aquello que se encuentra en un ángulo de 90º. Se trata de una noción que, en el caso de los espacios euclídeos, es equivalente al concepto de perpendicularidad. PARTÍCULA: s. F. Parte muy pequeña de alguna cosa o cuerpo muy pequeño PESO: es una medida de la fuerza gravitatoria que actúa sobre un objeto
QUEBRADO: El concepto de fracción como una parte de una unidad, puede
expresarse no solamente en base al sistema decimal a partir de considerar a la
unidad subdividida sucesivamente en décimos. Los quebrados son una forma de
expresar una fracción indicando la cantidad de partes en que ha sido dividida, y la
cantidad de esas partes que se toma en consideración.
QUEBRADO PROPIO: Fracción en que el denominador es mayor que el
numerador.
QUEBRADO IMPROPIO: en donde el numerador es mayor que el denominador.
RAPIDEZ: Es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el
tiempo. RESULTANTE: Es el sustituir de la función de los componentes. SEGUNDO: es la unidad de tiempo en el Sistema Internacional de Unidades, el Sistema Cegesimal de Unidades y el Sistema Técnico de Unidades
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SENTIDO: Cada una de las 2 orientaciones opuesta de la misma dirección SISTEMA: Es un objeto compuesto cuyos componentes se relacionan con al menos algún otro componente, puede ser materia y conceptual todo tienen composición, estructura y entorno SUSTANCIA: Es toda porción de materia que comparte determinadas propiedades intensivas. VELOCIDAD: Es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o
desplazamiento) con el tiempo VER: Percibir con los ojos los objetos mediante la acción de la luz TEORIA: es un sistema lógico compuesto de observaciones, axiomas y posturas, así como predicciones y reglas de inferencias que sirve para explicar de manera económica cierto conjunto de datos e incluso hacer predicciones sobre los hechos serán observados bajo cierta condición.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Young, Freedman, Sears, Zemansky / Física Universitaria / Volumen 1
/ Decimo Segunda Edición / Editorial Pearson
Tippens, Mcgraw Hill.
http://fisica1paratodos.blogspot.mx/2011/11/mecanica-del-cuerpo-
rigido.html
http://www.molwick.com/es/relatividad/135-masa-energia.html
http://www.molwick.com/es/movimiento/100-leyes-newton.html
http://www.iesalandalus.com/joomla3/images/stories/FisicayQuimica/Fi
s2B/t1_momentoangular_ejercicios.pdf
https://sites.google.com/site/timesolar/fuerza/friccion
http://www.fing.edu.uy/if/cursos/mecnew/Teorico/Cap4.pdf