bin omul lui newton

Binomul lui Newton - probleme propuse la examenul de bacalaureat Virgil-Mihail Zaharia

1

Analiz combinatorie

1. Permutri Definiia 1. O mulime mpreun cu o ordine bine determinat de dispunere a elementelor sale

este o mulime ordonat i se notaz (a1,a2,,an). Definiia 2. Se numesc permutri ale unei mulimi A cu n elemente toate mulimile ordonate

care se pot forma cu cele n elemente. Numrul permutrilora n elemente, nN*, este Pn=123n = n!; 0! = 1 (prin definiie).

Factorial (proprieti): n! = (n 1)!n; n! = ( 1)!

1

n

n

++

2. Aranjamente

Definiia 1. Se numesc aranjamente a n elemente luate cte m (mn) ale unei mulimi A cu n elemente, toate submulimile ordonate cu cte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale

mulimii A. Se noteaz mnA .

Numrul aranjamentelor a n elemente luate cte m este:

mnA = n(n 1)(n m + 1) = !

( )!

n

n m, nm.

Proprieti: nnA = Pn; nnA =

!

0!

n sau nnA = n!;

1 0; 1n nn n nA A A = = .

3. Combinri

Definiia.1. Se numesc combinri a n elemente luate cte m (mn) ale unei mulimi A cu n elemente toate submulimile cu cte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulimii A. Se

noteaz mn

C .

Proprieti:

1. 1 0 00; 1n

n n nC n C C C= = = = ; 2. 1

1 1; .n n m m m mn n n n nC C C C C

= = +3 ;

4. Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n ;

5. 1 1 1 1 11 1 1 1...m m m m m mn n n m m mC C C C C C

+ = + + + + + ;

6. 211 11

( ... )1 2

!...

! !... ! mpp

n n p pn pn

nC C C

p p p + += unde p1 + pm-1 < n

4. Binomul lui Newton

(x + a)n = 0 1 1 ... ...n n k n k k n nn n n nC x C x a C x a C a + + + + +

(x a)n = 0 1 1 ... ( 1) ... ( 1)n n k k n k k n n nn n n nC x C x a C x a C a + + + + unde nN.

Proprieti:

1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k k

nC xn-k

ak;

2. 1 11;1 1k k k kn n n n

n k n kC C C C

k k

+ ++

= =

+ +;

3. Tk+2 = 1

n k a

k x

+ Tk+1 sau Tk+2 =

1

n k a

k x

+Tk+1;

4. Numrul termenilor dezvoltrii (x a)n este n+1; 5. Coeficienii termenilor egal deprtai de extremi sunt egali.


2

Relaii importante: 0 1 0 1

0 2 4 1 1 3 5 1

0 2 1 2 22

... 2 ; ... ( 1) 0;

... 2 ; ... 2 ;

( ) ( ) ... ( )

n n n nn n n n n n

n nn n n n n n

n nn n n n

C C C C C C

C C C C C C

C C C C

+ + + = + + =

+ + + = + + + =

= + + +

Dezvoltri particulare uzuale: 1. (a b)2 = a2 2ab + b2; 2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); 3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3; 5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc; 6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Dac 1 2 3 ...p p p ppS n= + + + + , pN, atunci avem:

2

1 2 3

3 2 2 2 2

4 5

( 1) ( 1)(2 1) ( 1; ;

2 6 2

( 1)(6 9 1) ( 1) (2 2 1);

30 12

n n n n n n nS S S

n n n n n n n n nS S

+ + + + = = =

+ + + + + = =

O relaie care permite calculul lui Sp, cnd se cunosc Sp-1, Sp-2,, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1

= 1+ 1 21 1 1 11...p

p p P p pC S C S C S n+ + ++ + + +

Progresii

1. Progresii aritmetice

Definiia 1. Se numete progresie aritmetic un ir de numere a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel precedent prin adugarea unui numr constant numit raia progresiei. Se noteaz a1,a2,a3,an, Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n2 (prin definiie) an = a1 + (n 1)r, n2 (prin definiie)

Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 1( )

2na a n+ , 12 ( 1)

2na n r

S n+

=

Termenii echidistani de extremi. ntr-o progresie aritmetic suma termenilor echidistani de extremi este egal cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an. Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci exist un termen n mijloc, am+1, astfel nct 2am+1 = a1 + a2m+1. Condiia necesar i suficient pentru ca trei termeni a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o progresie aritmetic, este s avem 2b = a + c.


3

2. Progresii geometrice Definiia 1. Se numete progresie geometric un ir de numere a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel precedent prin nmulirea acestuia cu un acelai numr q

(q0) numit raie. Se noteaz

a1,a2,a3,an,

Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = qan-1, n2 (prin definiie) an = a1q

n-1, n2 (an n funcie de a1, q i n)

Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 11

1

nqa

q

; Sn = 1 , 11

na a q qq

Termeni echidistani de extremi. ntr-o progresie geometric, produsul a doi termeni echidistani de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.

Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci exist un termen la

mijloc, am+1, astfel nct 1212

1 ++ = mm aaa . Condiia necesar i suficient ca trei numere a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o

progresie geometric este s avem b2 = ac.


4

Probleme rezolvate

1. Se consider dezvoltarea 16

*16

2 32, ,

8 2

nx

xn x

+

N R .

a) Determinai n astfel nct 1 2

0 , ,2 4n n

nC C

C s fie termeni succesivi ai unei progresii aritmetice.

b) Pentru n=8, verificai dac exist valori ale lui x astfel nct diferena dintre termenii al aselea i al patrulea ai dezvoltrii s fie 56.

R. 1) a) 1 2

0 , ,2 4n n

nC C

C sunt termenii succesivi ai unei progresii aritmetice, atunci

21 0 21 1 1 1 1 ( 1)1 8 8

2 2 4 2 2 4 2n

n nC n n

C C n n n n + = + = + = +

n2-9n+8=0Yn=8 (n=1 nu satisface).

b) Pentru n=8 T6-T4=56

( )

5 38 5 8 35 5

16 162 25 38 83 3

16 2 16 2

3 9 25 5 5 15 15 312 16 16 2 2 16 16 2

2

2 2 2 256

2 22 2

8 7 6 8 7 62 2 56 2 2 1

3 2 3 22

2 1 2 2 2 0 2 1, 2 22

x x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x

C C

sau

+ +

=

= =

= + = = =

Soluia x=0 pentru c 2x>0, x0R.

2. Se consider dezvoltarea 2 * *2

, R ,n

x x nx

N .

a) S se determine n astfel nct suma coeficienilor primilor trei termeni ai dezvoltrii s fie 97. b) Pentru n=8, verificai dac exist un termen care conine pe x4. Justificai rspunsul.

R. a) 1k n k k

k nT C a b

+ = 0 1 2 21 ( 2) 1 ( 2) 97n n nC C C+ + =

Rezolvarea ecuaiei ( 1)

1 2 4 97 82

n nn n

+ = = N

b) Pentru n=8Y ( )82 2(8 )1 8 82 ( 2)k

kk k k k k

kT C x C x xx

+

= =

2(8-k)-k=4Yk=4 YT5 conine pe x4.

3. Se consider a,b,c i x numere reale strict pozitive i diferite de 1. S se demonstreze c urmtoarea echivalen este adevrat: a,b,c sunt termenii succesivi ai unei

progresii aritmetice dac i numai dac 1 1 1

, , ilog log loga b cx x x

sunt termeni succesivi ai unei progresii

aritmetice.


5

R. Utililiznd relaia 1

logloga b

ba

= obinem: 1 1 1

log , log , loglog log logx x xa b c

a b cx x x

= = = .

i) Presupunem a,b,c progresie geometric, atunci b2=aAc i prin logaritmare n baza x avem:

( )2 log loglog log log2

x xx x x

a cb a c b

+= = , deci este adevrat ii).

ii) Presupunem ( ) 2log loglog 2log log2

x xx x x

a cb b a c b a c

+= = = .

4. Se consider dezvoltarea ( )5lg , , 0.xx x x x+ >R S se determine x, tiind c al treilea termen al dezvoltrii este 106 R. 1

k n k k

k nT C a b

+ =

( )22 3 lg 3 2lg3 2 1 5 10x xT T C x x x ++= = = ( )3 2lg 5 3 2lg 510 lg lg10 3 2lg lg 5x xx x x x+ += = + =

2lg2x+3lgx-5=0Y 5

lg , lg 12

x x= =

5

21 210 , 10.x x

= =

4. Se consider dezvoltarea: *4

1, , 0, , 2

n

x x x x n nx

+ >

R R .

a) S se determine n astfel nct 2 1 44n nC C= + .

b) Pentru n=11, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care nu conine pe x. Justificai rspunsul.

R. ) a) 2 1( 1)

44 44 112n n

n nC C n n

+= + = + = N .

b) Pentru n=11 din ( )113

421

k

kk

k nT C x x

+

=

se obine

33 34 0

2

kk

=

cu k=3, deci 44 11T C= nu conine pe x.

6. Se consider dezvoltarea 2 *1

,n

x nx

+

N .

a) S se determine n0N*, tiind c suma primilor trei coeficieni ai dezvoltrii este 46. b) Pentru n=9, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care nu conine pe x. R. a) 1

k n k k

k nT C a b

+ = , deci coeficienii cerui sunt 0 1 2,n n nC C i C

Obinem ecuaia 0 1 2( 1)

46 1 46 92n n n

n nC C C n n

++ + = + + = = N .

b) Pentru n=9, ( )92 18 21 9 91k

kk k k k

kT C x C xx

+

= =

, care nu conine pe x 18 3k=0k=6.

7. Se consider dezvoltarea *41

, , 0,n

x x x x nx

+ >

R N .

a) S se determine n astfel nct coeficientul binomial al termenului al treilea s fie 36. b) Pentru n=9, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care conine pe x3. Justificai rspunsul.

R. ) a) 2( 1)

36 362n

n nC

= = n2-n-72=0Y n1=9 i n2=-8 nu este soluie


6

pentru c nu este numr natural.

b) ( )5(9 )9

4 4 21

1k k k

kk k

k n nT C x x C xx

+

= =

. Avem:

5(9 )3

4 2

k k =

45-5k-2k=12 Y 7k=33 Y 33

7k = N , deci nu exist termeni care s conin pe x3.

8. Se consider dezvoltarea 3

9 , , 03

n

x x xx

>

R i n0N, n$3.

a) S se determine n0N*, astfel nct coeficientul binomial al termenului al treilea s fie 105. b) Pentru n=15, verificai dac exist un termen al dezvoltrii care conine pe x5. Justificai rspunsul. R. a) Punem condiia: 2 105nC = Y n=15

b) Folosind formula termenului general, obinem: ( )151 153

93

k

kk

kT C xx

+

=

i presupunnd c exist

termenul care-l conine pe x5 vom avea de determinat pe k din relaia 15 52

kk = , cu soluia

20

3k =

care nu convine deoarece nu este numr natural. Deci nici un termen al dezvoltrii nu-l conine pe x5.

9. Se consider dezvoltarea *4

1, , 0 i n

2

n

y y yy

+ >

R N .

a) S se determine n pentru care coeficienii termenilor 1, 2, respectiv 3 ai dezvoltrii, formeaz o progresie aritmetic.

b) Pentru n=8, verificai dac exist termeni ai dezvoltrii astfel nct puterea lui y s fie numr natural.

R. a) ( ) ( ) ( )2

10 1 2

4 4 4

1 1 1...

2 2 2

nn n n

n n ny C y C y C yy y y

+ = + + +

i

atunci 21

2

( ) ( )( )1 0 2 11 ! 1 !1 1

4 1 ! 4 2 2 ! 8n n nn nn n

C C C nn n

= + = + = +

21 29 8 0 cu soluiile 1, 8n n n n + = = = n=8.

b) Pentru n=8 dezvoltarea va fi:

8

4

1

2y

y

+

i termenul general:

( )8 16 2 16 3

82 4 4 4

1 8 8 8 84

1 1 1 1

2 2 22

kk k k k k

kk k k k

k k k kT C y C y y C y C y

y

+

= = = =

. Avem:

16 3

4

k N pentru n=4 vom avea y1 n termenul T5.

10. Se consider dezvoltarea lg8

1n

xxx

+

, n0N*, x0R, x>0.

a) S se determine n dac diferena dintre coeficientul binomial al celui de al treilea termen i coeficientul binomial al celui de al doilea termen al dezvoltrii este 27.

b) Pentru n=9, verificai dac exist valori ale lui x, astfel nct al doilea termen al dezvoltrii s fie 900.


7

R. a) ( ) ( )

( )2 1 21! !27 27 27 2 3 54 02! 2 ! 1! 1 ! 2n n

n nn nC C n n n

n n

= = = =

cu

soluiile n1=-6 i n2=9, atunci n=9.

b) Pentru n=9 dezvoltarea va fi: ( )9 9 8

lg 0 1 lg9 98 8 8

1 1 1...x xx C C x

x x x

+ = + +

i termenul al

doilea este ( )8

1 lg lg lg 1 lg 1 lg 19 8

1 19 9 9 900 100x x x x xC x x x x x

xx

= = = =

i logaritmm

ecuaia ( ) ( )lg 1 2lg lg100 lg 1 lg 2 lg lg 2 0xx x x x x = = = . Notm lg x=y i obinem 2

1 22 0, cu 1, 2y y y y = = = . Revenim la notaie, avem lg x=1 x1=10 i lg x=2 x2=100.

11. n dezvoltarea binomului ( ) *N+ nnxx ,22 1 , suma coeficienilor ultimilor trei termeni este egal cu 22. S se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenii al treilea i al cincilea este egal cu 135.

R. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2

1 0 1 1 2 12 2 2 2 2 ... 2 2n n n n

x x x x x n x x

n n nC C C

+ = + + + +

( ) ( )1

1 1 12 2 2n n

n x x n x

n nC C

+ + i obinem

( ) ( )( )2 1 1! ! !22 22 1 22

2 ! 2! 1 ! 1! ! 2n n n

n n n

n nn n nC C C n

n n n

+ + = + + = + + =

21 242 0 6, 7n n n n+ = = = i atunci n=6, iar dezvoltarea va fi ( )

612 2x x+ .

( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 4

2 1 4 13 5 6 6

6!2 2 2 2x x x xT T C C + = + =

5 6

2! 4!2 1 6!2 2x x +

5 6

4! 2!( )2 12 2 xx

( )21 215 2 15 2 135 :15 2 2 4 2 9 2 2 2 4 9 2x x x x x x x+ + = + = + = , notm 2x=y i obinem: 2

1 2

12 9 4 0 , 4

2y y y y + = = = .

Revenim la necunoscuta x : 1 21

2 1 i 2 4 22

x xx x= = = = .

bin omul lui newton

Documents