beton armat 2 partea a 1-a

B.A. II

STAREA LIMITĂ ULTIMĂ LASTAREA LIMITĂ ULTIMĂ LASTAREA LIMITĂ ULTIMĂ LA STAREA LIMITĂ ULTIMĂ LA FORŢĂ TĂIETOAREFORŢĂ TĂIETOARE

Bibliografie recomandată:1. Comportarea şi calculul elementelor din beton armat

Radu Pascu

2. Beton Armat (Note de curs) – Partea a II-aTudor Postelnicu şi Mihai MunteanuTudor Postelnicu şi Mihai Munteanu

3. SR EN 1992-1-1: Eurocod 2 – Proiectarea structurilor de beton

4. Reinforced Concrete – Mechanics and design (4th edition)

Şef lucrări dr.ing. Eugen LozincăCatedra Construcţii de Beton Armat

UNIVERSITATEA

TEHNICA

g ( )James MacGregor şi James Wight

B.A. II Consideraţii introductive

V

M

Pe măsură ce forţa tăietoare creşte, sporeşte şi ţ ş p ş şunghiul α dintre orizontală şi direcţia eforturilor

principale, astfel încât în zonele de reazem di ţiil f t il i i l d i î li t


UNIVERSITATEA

TEHNICA

2

direcţiile eforturilor principale devin înclinate.


În consecinţă, în zonele de reazem fisurile vor ţfi de asemenea înclinate, urmărind direcţiile

eforturilor principale de compresiune, iar l d ă ţi i î li t


UNIVERSITATEA

TEHNICA

3

ruperea va avea loc după secţiuni înclinate.


Grindă cu secţiune rectangulară dintr-un material omogen şi elastic

medmax . ττ 51= medmax

SV ⋅IbSV⋅⋅

=τFormula lui Juravski:

2hbS ⋅Momentul static: V⋅= 51τ

8S =

12

3hbI ⋅=

Momentul static:

Momentul de inerţie:hb

,max ⋅⋅= 51τ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

4

12


Grindă cu secţiune rectangulară din beton armat

zbV

max ⋅=τ

IbSV⋅⋅

=τFormula lui Juravski:

( )

( )zxd

SI

dAxbI

xdAnxbS se=−=⇒

⎪

⎪⎪⎬

⎫

⋅

−⋅=⋅

=

32

23

12

Momentul static:

Momentul de inerţie: ( )xdAnxbI se ⎪⎪⎭

−⋅+=12

21Momentul de inerţie:

Vcs

e EEn = - coeficientul de echivalenţă


UNIVERSITATEA

TEHNICA

5zb

Vmax ⋅

=τ


Grindă cu secţiune rectangulară din beton armat

zbV

max =τ

Deoarece sub axa neutra betonul este solicitat la forfecare pură, această relaţie poate fie utilizată ca măsură a eforturilor principale

zb ⋅

această relaţie poate fie utilizată ca măsură a eforturilor principale.Totuşi, ea are un caracter convenţional, pentru că presupune că betonul fisurat poate transmite eforturi de forfecare.În norme, efortul tangenţial calculat cu această relaţie este utilizat pentru a exprima nivelul de solicitare la forţă tăietoare. În plus, pentru a simplifica calculul, se admite:p p ,

dbVdz⋅

≅⇒≅ τ - INDICE al intensităţii solicitării la forţă tăietoare


UNIVERSITATEA

TEHNICA

6

db


Grindă din beton armat cu secţiune variabilă

La evaluarea indicelui intensităţii solicitării la forţă tăietoare trebuie luată în considerare şi componenta

verticală a compresiunii din beton sau a întinderii din armăturile înclinate faţă de axa elementului.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

7

ţ


Grindă din beton armat cu secţiune variabilă

( ) ( )2

tgMdb

Vdb

tgz

MV ⋅±≅

±=

ββτ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

8

2dbdbdb ⋅⋅⋅

B.A. II Evaluarea nivelului de solicitare la forţă tăietoare

Solicitarea la forţă tăietoare generează o stare biaxială de eforturi, ÎNTINDERE-COMPRESIUNE


UNIVERSITATEA

TEHNICA

9



Pentru ca betonul să poată prelua forţa tăietoare este necesar să se respecte condiţiile:să se respecte condiţiile:

[ ][ ]⎪

⎪⎨⎧ ≤≤

''

'tI

'tI Rf σσ

[ ]⎪⎩ ≤≤ cIIcII Rf σσ

Daca rezistenţa la întindere a betonului este depăşită, respectiv dacă prima relaţie nu este satisfăcuta, trebuie prevăzute armături transversale.

D i t ţ l i b t l i t d ă ităDaca rezistenţa la compresiune a betonului este depăşită, respectiv a doua relaţie nu este satisfăcută, trebuie mărită secţiunea de beton.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

10



Din cauza existenţei unor eforturi iniţiale de întindere din contracţia împiedicată şi amorsării unor fisuri produse de momentul încovoietor, se consideră că ft'=0,5ft.

Prezenţa simultană a eforturilor de întindere reduce semnificativ rezistenţa betonului la compresiune astfel încâtsemnificativ rezistenţa betonului la compresiune, astfel încât se consideră că fc'=4ft faţă de cca. (10÷20)ft în cazul unei stări uniaxiale de compresiune.

Astfel, conform STAS 10107-0/90, dacă:

tf.db

V 50< - armăturile de forţă tăietoare nu sunt necesare;

tt

t

V

fdb

Vf.

db

450 ≤⋅

≤

⋅

- trebuie prevăzute armături de forţă tăietoare;


UNIVERSITATEA

TEHNICA

11

tfdbV 4>⋅ - trebuie mărită secţiunea de beton;

B.A. II Mecanisme de rezistenţă

Forţa tăietoare este egală cu variaţia momentului încovoietor în lungul grinzii. Cum, într-o grindă de beton armat, momentul încovoietor este produsul dintre forţa de întindere din armături şi braţul de

pârghie al eforturilor interne rezultă că:pârghie al eforturilor interne, rezultă că:

Mecanism de Mecanism

D i f ăi fi hilib ă fi i

GRINDĂ de ARC

Deci, forţa tăietoare poate fi echilibrată fie prin variaţia forţei de întindere din armături, fie prin

variaţia braţului de pârghie al eforturilor interne


UNIVERSITATEA

TEHNICA

12

variaţia braţului de pârghie al eforturilor interne.


Mecanismul de GRINDĂ

Se bazează pe transmiterea eforturilor de forfecare în secţiuni orizontale prin aderenţă,

de la armătura întinsă la betonul fisurat şi apoi i b t ăt i tă ţi ii


UNIVERSITATEA

TEHNICA

13

prin beton către zona comprimată a secţiunii


Mecanismul de ARC

Este bazat pe transmiterea forţei tăietoareEste bazat pe transmiterea forţei tăietoare prin componenta verticală a forţei de

compresiune din biela înclinată de beton


UNIVERSITATEA

TEHNICA

14


Mecanismul de GRINDĂ

Mecanismul de ARCde GRINDĂ de ARC

Cele două mecanisme se pot dezvolta simultan, dar importanţa fiecăruia depinde de rigiditatea relativă

a celor două mecanisme la deplasări verticale.

Raportul rigidităţilor depinde în principal deRaportul rigidităţilor depinde în principal de raportul dimensiunilor (l/h) ale grinzii


UNIVERSITATEA

TEHNICA

15


* În acest capitol este studiată doar comportarea grinzilor lungidoar comportarea grinzilor lungi

• Grinzi lungi (l/h>5): predomină mecanismul de grindă;

• Grinzi-pereţi (l/h<1.5): predomină mecanismul de arc;

• Grinzi intermediare (1.5≤l/h≤5): ambele mecanisme.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

16

( )

B.A. II Modele de calcul la forţă tăietoare

Modelul la echilibru limită

utilizat în normele româneşti (STAS 10107/0-90)

La rupere, grinda este modelată ca două corpuri rigide care pot avea o rotire relativă în jurul unei articulaţii situată în zona comprimată a secţiuniip ţ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

17


Modelul grinzii cu zăbrele plastice

A fost propus în 1899 de inginerul elveţian Ritter şi în 1902, independent, de inginerul german Mörsch

Modelul Ritter-Mörsch este utilizat în mai multe coduri de proiectare naţionale si internaţionale (DIN 1045, CEB Model Code 1990 Eurocode 2)Code 1990, Eurocode 2)

Grinda este modelată ca o grindă cu zăbrele plană, în care:

talpa comprimată reprezintă zona comprimată de betontalpa comprimată reprezintă zona comprimată de beton (din încovoiere)

talpa întinsă reprezintă armătura longitudinala întinsătalpa întinsă reprezintă armătura longitudinala întinsă

montanţii întinşi reprezintă etrierii

diagonalele modelează bielele comprimate din beton


UNIVERSITATEA

TEHNICA

18

diagonalele modelează bielele comprimate din betonformate în inima grinzii


Modelul grinzii cu zabrele plastice

Grinda lungă cu armăturile principale (de rezistenţă)Zona Bielă

comprimată de beton

comprimată înclinată

Armătura întinsă Etrieri întinşi


UNIVERSITATEA

TEHNICA

19

Modelul de grindă cu zăbrele

B.A. II Modelul la echilibru limită (STAS 10107-0/90)

Qb – forţa tăietoare preluată de beton;Qb forţa tăietoare preluată de beton;Tej, Tik – forţele care se dezvoltă în armătura verticală (etrierul) j,

respectiv în armătura înclinată k;zej, zik – distanţele armăturilor verticale, respectiv înclinate, faţă

de punctul de aplicaţie al rezultantei eforturilor de compresiune din beton;


UNIVERSITATEA

TEHNICA

20

psi – proiecţia pe orizontală a fisurii înclinate.

B.A. II Modelul la echilibru limită (STAS 10107-0/90)

Condiţiile asociate SLU se exprimă prin :Condiţiile asociate SLU se exprimă prin :

Prima ecuaţie este verificată printr-un calcul directPrima ecuaţie este verificată printr-un calcul direct

A doua ecuaţie este verificată în mod indirect, prin măsuri constructive


UNIVERSITATEA

TEHNICA

21

B.A. II Verificarea condiţiei: Q ≤ Qcap

Forţa tăietoare prel ată de beton

În cazul unui element de beton armat fără armături transversale,

Forţa tăietoare preluată de beton

,forţa tăietoare este preluată, într-o secţiune înclinată fisurată prin:

Forfecare în zona comprimată Qb’


UNIVERSITATEA

TEHNICA

22






Efectul de dorn („dowel effect”) al armăturilor longitudinale Qa


UNIVERSITATEA

TEHNICA

23






Întrepătrunderea („interlock”) neregularităţilor betonului de pe cele două feţe ale fisurii τin


UNIVERSITATEA

TEHNICA

24



C f STAS 10107/0 90


Conform STAS 10107/0-90:

b lăţi ţi ii d b tb – lăţimea secţiunii de beton;

h0 – înălţimea utilă a secţiunii de beton;

Îp – procentul armăturilor longitudinale ÎNTINSE în secţiunea respectivă, exprimat în %;

R * rezistenţa “corectată” la întindere a betonului careRt* – rezistenţa corectată la întindere a betonului, care depinde de tipul de solicitare;

si – proiecţia pe orizontală a fisurii critice.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

25

i p ţ p



C f STAS 10107/0 90



Q t ţi lă di i il (i i ii) ţi ii bhQb este proporţională cu dimensiunile (inimii) secţiunii bh0;

Qb este proporţională cu rezistenţa la întindere a betonului Rt;

Qb creşte cu procentul de armături întinse; de fapt, creşterea cantităţii de armătură întinsă implică o mărire a zonei comprimate de beton;

Qb creşte cu unghiul fisurii h0/si = tgθ pentru că Qb = Cb tgθ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

26



C f STAS 10107/0 90



Cu cât fisura este mai “abruptă” cu atât forţa


UNIVERSITATEA

TEHNICA

27

Cu cât fisura este mai abruptă cu atât forţa tăietoare preluată de beton este mai mare.


Forţa tăietoare prel ată de etrieriForţa tăietoare preluată de etrieri


UNIVERSITATEA

TEHNICA

28


Forţa tăietoare prel ată de etrieriForţa tăietoare preluată de etrieri


UNIVERSITATEA

TEHNICA

29


Forţa tăietoare prel ată de armăt rile înclinateForţa tăietoare preluată de armăturile înclinate


UNIVERSITATEA

TEHNICA

30


Calculul practic

Forţele preluate de etrieri şi de armăturile înclinate depind de unghiul fisurii înclinate cu axa grinzii.

Forţa tăietoare preluată de beton variază şi ea în funcţie de înclinarea fisurii, dar invers decât forţa din armăturile transversale.

Încercările şi consideraţiile teoretice arată ca acest unghi este în domeniul:

Pentru a găsi rezistenţa minimă (capacitatea la forţă tăietoare) trebuie calculată suma forţelor din armături şi

b t t di hi i ibilŞef lucrări dr.ing. Eugen LozincăCatedra Construcţii de Beton Armat

UNIVERSITATEA

TEHNICA

31

beton pentru diverse unghiuri posibile.


Calculul practic pentru grinzile doar cu ETRIERI

Cum şi Qb şi Qe sunt funcţii continue de “si”, trebuie găsit minimul sumei forţelor din beton şi etrieri îngăsit minimul sumei forţelor din beton şi etrieri în funcţie de unghiul de înclinare θ al fisurii înclinate


UNIVERSITATEA

TEHNICA

32




UNIVERSITATEA

TEHNICA

33




UNIVERSITATEA

TEHNICA

34



Problema de VERIFICARE


UNIVERSITATEA

TEHNICA

35



Problema de DIMENSIONARE


UNIVERSITATEA

TEHNICA

36nec,e

ataeeeaee q

RAnaAşinalegSe ≤⇒


Grinzile cu ETRIERI şi BARE ÎNCLINATE

În cazul când există şi bare înclinate, nu mai este posibil sa se găsească direct soluţia (si,cr) şi trebuie făcute mai

multe încercări considerând diferite înclinări ale fisurii în domeniul 0 5h < s < 2 5 h


UNIVERSITATEA

TEHNICA

37

în domeniul 0,5h0 < si < 2,5 h0.


Grinzile cu ETRIERI şi BARE ÎNCLINATE

Totuşi, la construcţiile civile uzuale, dacă sunt respectate regulile constructive, pentru simplificare se poate admite

ă fi î li tă i i l ă î tâl tcă fisura înclinată cea mai periculoasă întâlneşte un singur plan de armături înclinate.

( )⇓

++= ataiae sinRAQQQ α

( )⇓

+=−⇓

aeatai QQsinRAQ α

Soluţie analitică (si,cr) a funcţiei Qeb(si)


UNIVERSITATEA

TEHNICA

38


Elemente fără armătură transversală

sunt, în general, plăcile şi unele grinzi secundare slab solicitate la forţă tăietoare

forţa tăietoare capabilă este asociată valorii la care se produce fisurarea înclinată a betonului:

* Pentru plăci s-a considerat o valoare mai mare a rezistenţei f ti l î ti d b t l i d ât l i i t ă ţi tefective la întindere a betonului decât la grinzi pentru că s-a ţinut

cont de posibilitatea redistribuirii eforturilor pe lăţimea reazemului, precum şi de slaba probabilitate de a atinge valoarea


UNIVERSITATEA

TEHNICA

39

minimă a rezistenţei betonului pe toată lăţimea reazemului.

B.A. II Verificarea condiţiei: M ≤ Mcap

( ) ( ) MQQA⇓

( ) ( )

M

MsxQ;sxQzA aa

2

2

=

⇓

=++=

σ

σ

Dacă ruperea are loc după o secţiune înclinată, efectul

zAaa =σ

p p ţ ,este o creştere a efortului de întindere în armătura întinsă faţă de situaţia corespunzând unei ruperi în


UNIVERSITATEA

TEHNICA

40

secţiune normală (depinde de M2, nu de M1)


( ) zRAM;zRAzRAAM aariaaiaaiar =+−= −− 2211

* Pentru a evita cedarea elementului în secţiuni înclinate:

D ă b l t î li t l 45° tă diţi t

⇒≥ −− 2211rr MM zzi ≥

Dacă barele sunt înclinate la 45° această condiţie este îndeplinită dacă punctul de ridicare al armăturii înclinate este decalat cu 0 41z sau acoperitor h /2


UNIVERSITATEA

TEHNICA

41

înclinate este decalat cu 0,41z sau, acoperitor, h0/2.


În practică, în loc să se facă verificările prin calcul, se construieşte o diagramă de momente „dilatată” cu 0,5h şi se fac verificările (rezistenţa

la încovoiere, lungimile de ancorare, secţiunile de întrerupere alela încovoiere, lungimile de ancorare, secţiunile de întrerupere ale barelor) în secţiuni normale, dar faţă de diagrama „dilatată”:

ţi î ăt il 1

Momente capabile corespunzătoare aportului fiecărei bare

a – secţiunea în care armăturile 1 nu mai sunt necesare din calcul;

b – secţiunea dincolo de care barele marca 1 sunt utilizate în întregime, iar bara 2 nu mai este necesarăiar bara 2 nu mai este necesară din calcul, astfel încât se poate începe ridicare barei de marcă 2;

c - secţiunea dincolo de care bara 2 este utilizată în întregime, iar bara

ă


UNIVERSITATEA

TEHNICA

42

3 nu mai este necesară din calcul;

d – secţiunea dincolo de care bara 3 este utilizată în întregime

beton armat 2 partea a 1-a

Documents