beta e gamma (1)

Funcoes especiais: Beta e Gamma.Rodrigo Carlos Silva de Lima

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1

Sumario1 Funcoes Beta e Gamma1.1

4

Integrais Eulerianas:Gamma e Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

. . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . .

9

1.1.21.1.31.1.41.1.51.1.61.1.71.1.81.1.91.1.101.1.111.1.121.1.131.1.141.1.151.1.16

Somatorio dos termos da funcao gamma . .(a)(b)(a, b) =. . . . . . . . . . . . . .(a+b) 1xet dt = (1 + ). . . . . . . . . . . . .x0 1x2n11 1dx = (n + , ) . . . . . . .222 20 1 x21 n+1 m+1senn (x)cosm (x)dx = (,).2220 (n + 1)xn eax dx =. . . . . . . . . . .an+10)n1 1(1(n) =dy = (n). . . . . . .ln( )y0 11 1 1dx= ( , ). . . . . . . . . .nn n 2(1 x )0FuncaoGamma.. . . . . . . . . . . . . . .( )1= . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2 2 x2xedx = 3 . . . . . . . . . . . . .2(2n)! 1(n + ) = 2n. . . . . . . . . . . . .2 .n! 21 p+1txp ex dx = (). . . . . . . . . .tt0 (2n)! 2x2n ex dx = 2n. . . . . . . . . .2 (n!)xa1dx =. . . . . . . . . . .1+xsen(a)0Formula de reexao de Euler . . . . . . . .

1.1.17 Teorema de Bohr-Mollerup

. . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . . . . 11. . . . . . . . . . . . . 12. . . . . . . . . . . . . 12. . . . . . . . . . . . . 13. . . . . . . . . . . . . 13. . . . . . . . . . . . . 16. . . . . . . . . . . . . 17. . . . . . . . . . . . . 18. . . . . . . . . . . . . 19. . . . . . . . . . . . . 19. . . . . . . . . . . . . 22. . . . . . . . . . . . . 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

SUMARIO

3

1.1.18 Frmula de multiplicacao . . . . . . . o1xp1.1.19dx =. . . . .(p+1)n1+xn sen()0n1.1.20 Derivadasda funcao Gamma(. . ). . . . 12m1.1.21dx = 2m+1. . .2 + 1)m+1(x2m0 xn11.1.22dx = r n+1 (r+n) .r+n+1(q1 x + q0 )q0 q1 r n0 11t+11.1.23xt (1 xn )a dx = (a + 1,) .nn0 1 ( m)xm1 dxn. . . . . .1.1.24=m1n( n + 2 )(1 xn )01.1.25 Funcoes Gamma incompletas . . . . .1.2

Distribuicao gamma

. . . . . . . . . . . . . . . . 26. . . . . . . . . . . . . . . . 27. . . . . . . . . . . . . . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . 29. . . . . . . . . . . . . . . . 30. . . . . . . . . . . . . . . . 31. . . . . . . . . . . . . . . . 32. . . . . . . . . . . . . . . . 33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Captulo 1Funcoes Beta e Gamma1.1

Integrais Eulerianas:Gamma e Beta

As integrais1.

1

xm1 (1 x)n1 dx

(m, n) =0

com Re(m), Re(n) positivos.2.

(a) =

xa1 ex dx

0

com Re(a) > 0.Foram estudadas por Euler. Em honra a Euler, Legendre1 chamou essas integrais deintegrais Eulerianas do primeiro e do segundo tipo. A primeira chamamos de funcao Betae a segunda de funcao Gamma.

b

Propriedade 1. Se n R, n > 1 entao a integral impropria

xn1 ex dx, que

0

dene a funcao gamma converge. Demonstracao. Existe a > 0 tal que para x > a vale xn+1 < ex ex xn1 e o maximo= 1 , usamos annnnidentidaden1ksen= n21nnk=1da

n1

n2

1n

=

n1k=1

=

( nk )

k=1

=(1 nk )

()n1=n1 k n1 nk( n )( n )k=1

k=1

()n1()n1=n11n1 k( n )( n+k)[( nk )]2nk=1

de onde segue

k=1n1

k=n+1

k=1

n1

k(2)n1[( )]2 =.nnk=1

$ Corolario 10. Da identidadesen

k= kn( n )(1 nk )

CAPITULO 1. FUNC OESBETA E GAMMA

tomando a soma com k variando de 1 ate n 1 segue quen1

k sen=kn( n )(1 nk )k=1k=1n1

da usando uma propriedade ja demonstrada para a soma de senocotg=k2n k=1 ( n )(1 nk )n1

logo

n1k=1

1.1.17

cotg 2n1=.( nk )(1 nk )

Teorema de Bohr-Mollerup

Teorema 1 (Bohr-Mollerup). Seja f : (0, ) R+ , tal que f (1) = 1. f (x + 1) = xf (x). ln(f ) e convexa.

Nessas condicoes f =

.(0,)

Demonstracao.

1.1.18

Formula de multiplicacao

b Propriedade 19. Vale quen1

((z +

k=0

k 2)) = (2)n1 n12n (nz).n

Demonstracao.

Z Exemplo 20. Calcular

0

1dx.1 + xn

26


Fazendo y = xn tem-se

1dydy= dx e y n = x ecaon1 = dx os intervalos de integran1nxny n

sao os mesmos

1nDa

0

1.1.190

27

0

1n

y ndy.1+y

1.dx =n1+xn sen n

xp1dx=1 + xnn sen( (p+1) )n

Z Exemplo 21. Calcular a integral

0

Tomando y = xn tem-se

1dydycao= dx , y n = x en1 = dx os intervalos de integran1nxny n

sao os mesmos

1ntomamos a =

xpdx.1 + xn

0

p+1

y n 1dy1+y

p+1p+1b=1usamos os resultadosnn (a)(b)y a1=dy(a + b)(1 + y)a+b0(a)(1 a) =

da

0


xp1dx =.(p+1)n1+xn sen()n0

Temos

0

sena

1dx.1 + x4

1dx = = .41+x4 sen 42 2


28


(

Tomamos e3x + 1 =

exe3x + 1

)2dx.

11dt, da t = 3x,=te + 1 dx1dt= 1 tem-se 2 = 3(1 tt

3e3x, (e3x + 1)2 dt = 3e3x ,(e3x + 1)21dt)dx,= dx, vale tambemt3t(t 1)

dt= 3e3x dx como e3xt21(1 t) 3x, quando x tem-se t 0 e com x tem-se t 1, logo aque e =1t2integral ca como

0

2

1

2

t2 (1 t) 33t(t 1)t 3

dt =

1 1 23

t

0

(1 t) 3 11 2 41 ( 23 )( 43 )1 121 =dt = ( , ) == ( )( ) =33 3 33 (2)9 339 sen( 3 )2

2= .9 3

1.1.20

Derivadas da funcao Gamma

b Propriedade 20 (Derivadas da funcao gamma). Vale que

n

D (x) =

tx1 et [ln(t)]n dt,

0

onde aplicar Dn , signica aplicar o operador derivada em relacao `a x, n-vezes. Demonstracao. Demonstraremos por inducao, para n = 0 temos 0x1 t0D (x) =t e (ln(t)) dt =tx1 et dt = (x).0

0

Agora seja valida para n,

n

D (x) =

tx1 et [ln(t)]n dt

0

vamos provar para n + 1D

n+1

(x) = D

t

x1 t

n

e [ln(t)] dt =

0

tx1 et [ln(t)]n+1 dt

.

0x

A derivada de tx em relacao x fazemos da seguinte maneira tx = eln(t ) = exln(t) , derivandoresulta em D(tx ) = ln(t) exln(t) = ln(t) tx .


1.1.210

29

( )12m.dx = 2m+12m+1(x + 1)2m


(x2

0

1dx.+ 1)m+1

x2temos que com x = 0, y = 0 e com x , y = 1, temosFazendo a mudanca y =1 + x211y111tambem x2 =+1,x = y 2 (1 y) 2 , x2 + 1 =, (1 y) = 2,y=1y1yx +11 + x21113dy2xdy22 (1 y) 2 (1 y) dx = y 2 (1 y) 2 dx logologo=,=ydx(1 + x2 )2 2y

12

(1 y)2

32

dy

= dx

logo a integral ca como1 1 11 111 ( 21 )(m + 12 )m 122y (1 y)dy = ( , m + ) =2 02 222 (m + 1)se m natural, usamos identidades que ja provamos da gamma( )1 (2m)! 2m(2m)!==.2 (m)!22m m!22m+1 (m!)(m)!22m+1 m0


( )2m1dx=.(x2 + 1)m+122m+1 m0

xu1dx.(1 + bx)m+1

bxbxbx 1 bx1Fazemos a transformacao y =logo y 1 =1 ==1 + bx1 + bx1 + bx1 + bx11bx + 1 = (1 y)m+1 =, dy = (1 y)2 = dx, temos ainda1y(1 + bx)m+1bx + 1 =x=

111+y1 bx1== y(1 y)11y1y1y

y(1 y)1de onde segue a integralb1 1 u11y (1 y)mu dy = u (u, m + 1 u).ub 0b


Z Exemplo 26. Calcular( m+n)( m) 2 12n( m2 )( n2 )m

30

0

m

x2(1 +

m+nmx) 2n

dx.

(continuar depois) O exemplo anterior, fornece que m1x2mm+n m( + 1,+ 1) =m+n dx =m m+1m222(n)2(1 + n x) 20=

( m2 + 1)( n2 )11= m m +1m+nm m+1( 2 + 1)(n)2(n)2=

1.1.220

1m(m) 2 1n

m( m2 )( n2 )2m+n( m+n)22

=

m( m2 )( n2 )m2(mn2

+ n)( m+n)2

xn1( ).dx=n+1(q1 x + q0 )r+n+1q0r q1 r r+nn


0

xndx.(q1 x + q0 )r+n+10 xn1xndx =dx=(q1 x + q0 )r+n+1q0r+n+1 0 ( qq10 x + 1)r+n+1

usando o resultado do exemplo anterior=

1

(nq0r q1n+1

+ 1, r)

se r e n naturais podemos escrever 0

b Propriedade 21.


xn1dx = r n+1 (r+n) .r+n+1(q1 x + q0 )q0 q1 r n( )nk 2 (2)n1.] =[nnk=1

1

1 xn dx.

0

dydyy n 1 dyn1Tomando y = x tem-se y = x e= nx ,= dx,= dxdxnxn1n1111 11 1(1 y) 2 y n 1 dy = ( + 1, ).n 0n 2n1

n

1n


logo

31

1 111 xn dx = ( + 1, ).n 2n

1

0

1= p, p > 0 natural segue quen 11( 12 + 1)(p)1p.=1 x dx = p( + 1, p) = p 12( 2 + p + 1)0

$ Corolario 11. Se

1 p! 22p+2 (p + 1)!p!22p+1 (p + 1)!==2(2p + 2)!pi(2p + 2)!

1

1p

1

1 x dx =0

1

p

x dx =

0

1

xt (1 xn )a dx =

1.1.23

0

p!22p+1 (p + 1)!.(2p + 2)!

1t+1(a + 1,)nn


1

xt (1 xn )a dx.0

dydyy n 1 dyTomando y = x tem-se y = x e= nxn1 ,=dx,= dx logodxnxn1n11 1 t1t+1y n (1 y)a y n 1 dy = (a + 1,).n 0nn1

n

se

1n

1= p > 0 natural temosn 1p(a + 1)(p)(1 p x)a dx = p(a + 1, p) =(a + p + 1)0

1

(1

p

0


p!a!.(a + p)!

1

1

onde n e par e t e natural.

x)a dx =

xt (1 xn )a dx


32

Dividimos em dois casos. Se t e mpar a funcao integrada e mpar, logo a integral seanula. Se t e par a funcao e par, logo o resultado da integral e 1 12t+1tn ax (1 x ) dx = 2xt (1 xn )a dx = (a + 1,).nn10

Z Exemplo 31. Da identidade

1

(1 xn )a dx =0

11(a + 1, )nn

, tomando n = 2 tem-se 1(a + 1)( 12 )11a! a! 22a a!2 a =(1 x ) dx = (a + 1, ) ===22(2a + 1)(2a)! 2(a + 1 + 12 )2(a + 12 ) 2a+102=logo

(a!)2 4a(2a + 1)!

1

(1 x2 )a dx =0

(a!)2 4a.(2a + 1)!


1

ya(0

n1

(1 y)k )a dy.

k=0

Fazemos a transformacao y = 1 x, da camos com a integral

1

1 1n1n111k ak aa(1 xn )a = (a + 1, ).(1 x) ( (x) ) dx =(1 x) ( (x) ) dx =nn00k=0k=0a

0

1.1.240

1

( mxm1 dxn)=1 .+(1 xn ) n( mn2)

Z Exemplo 33. Calcule a integral

10

1

xm1 dx.(1 xn )

Fazendo a mudanca xn = u segue u n = x , du = nxn1 dx,

du1

nu1 n

= dx logo escrevemos

a integral comom1111 1 m 11 m 11 1 1 1u n (1 u) 2 u n du =u n (1 u) 2 du = ( , ) =n 0n 0n n 2


1

=0

33

) ( m)xm1 dx1 ( 12 )( mnn==.m1m1n ( n + 2 )n( n + 2 )(1 xn )

1

0

Z Exemplo 34. CalcularVale que

1

0

1

0

) ( mxm1 dxn=.n( m+ 12 )(1 xn )nxm1 dxonde n = 4m.(1 xn ) ( 14 )xm1 dx=n( 14 + 12 )(1 xn )

131 21mas pela formula de reexao de Euler ( )( ) == 3 substi logo ( )44sen( 4 )4 2( 4 )tuindo na integral temos 1 [( 14 )]2 2[( 1 )]2xm1 dx== 4 .n2(1 xn )2n2 0

1.1.25

Funcoes Gamma incompletas

m Definicao

2 (Funcao Gamma incompleta superior-GIS ). Denimos a funcao Gamma

incompleta superior por

(a, x) :=

ta1 et dt.

x

$ Corolario 12. Tem-se(a, 0) :=

ta1 et dt = (a).

0

b Propriedade 22. Temos a propriedade(n, x) = (n 1)!e

x

n1 kxk=0

k!

para n > 0 natural. Demonstracao. Por inducao sobre n. Para n = 1 temos(1, x) =x

x= (0)!ext0 et dt = et |x = e

0xkk=0

k!

.


34

supondo a validade para n(n, x) = (n 1)!ex

n1 kx

k!

k=0

vamos provar para n + 1x

(n + 1, x) = (n)!e

nxk

k!

k=0

pela denicao da Gamma tem-se

n tn t (n + 1, x) =t e dt = t e + nx

n1 t

t

n x

e dt = x e

+ n!e

x

x

( n n1 kn1 k )nxn xxxxkxx xx= n! e + n!e= n!e+= n!en!k!n! k=0 k!k!k=0k=0Da identidade(n + 1, x) = n!e

nxk

x

k=0

seguex (n

e

k!

+ 1, x) xk=n!k!k=0n

tomando em relacao `a n em ambos lados tem-seex

(n + 1, x)xn+1=n!(n + 1)!

ex

(n, x)xn=(n 1)!(n)!

caso x = 1 temos(n, 1)1=(n 1)!(n)!kxxe (k, x)=k!(k 1)!ke

m Definicao

3 (Funcao Gamma incompleta inferior-GII). x(s, x) =ts1 et dt.0

$ Corolario 13.(s, x) + (s, x) = (s)pois

x

s1 t

t0

e dt +

tx

s1 t

e dt =0

x

ts1 et dt = (s).

n1 kxk=0

.

k!


1.2

35

Distribuicao gamma

m Definicao

4 (Distribuicao gama). Uma v.a tem distribuicao gama coma parametros

e se sua funcao de densidade de probabilidade e dada por 1 x x e se x > 0() f (x) =0 se x 0Observe que se = 1, vale () = 1 e a funcao de densidade se resume a x e se x > 0f (x) = 0 se x 0que e uma distribuicao exponencial, logo conclumos que a distribuicao exponencial eum caso particular da distribuicao gama.Se uma v.a X tem distribuicao gama com parametros e , simbolizamos esse fatopor X (, ).A distribuicao gama dene realmente uma distribuicao de probabilidade pois, tomandoxa mudanca = y vale dy = dx, a integral ca como 1 y 1 ey dy = 1.(a) 0

b Propriedade 23. Vale E(X) = . Demonstracao.

E(X) =0

fazendo novamente a mudanca y =E(X) =0

x

x e dx()

xsegue

y +1 ey( + 1)()dy === .()()()

b Propriedade 24 (p-esimo momento). Vale queE(xp ) = p

( + p).()


Demonstracao.

p

E(X ) =0

fazendo novamente a mudanca y =

=0

Em especial vale E(x2 ) =

36

x

x+p1 e dx =()

xsegue

y +p1 +p ey p ( + P )dy=.() ()

2 ( + 2)()

$ Corolario 14. Vale var(X) = 2 poisvar(x) = E(x2 ) E 2 (x) = ( + 1) 2 2 2 = 2 .