basic geometric modeling tools

Basic Geometric Modeling Tools

1

1. Granini objekti

Definicija 1.1. Granini objekat objekta A je svaki objekat B koji sadri A.

U nekim oblastima raunarske grafike ponekad je potrebno odrediti presek dva sloena objekta, taj

postupak iziskuje mnogo sloenih izraunavanja i vremena. Sa druge strane, zato ne izbei tako

sloen postupak ako se na kraju ispostavi da se dati sloeni objekti ne seku. Upravo u takvim

situacijama nam pomau granini objekti, jer ako se granini objekti ne seku, onda se sigurno ne seku

ni sloeni objekti koji se nalaze unutar njih.

U ovoj glavi obradiemo neke osnovne granine objekte. Najvanije osobine koje granini objekti

treba da poseduju su sledee:

1) Lako se izraunavaju

2) Lako se uoavaju njihovi preseci

3) Objekat koji sadre treba da bude to blie njegovim granicama

Definicija 1.2. Kutija prostora je svaki podskup, [ ] [ ] [ ], skupa ,

gde . (posmatraemo [ ] kao segment i nije obavezno da je .) Granina kutija za

neki objekat je svaka kutija koja sadri taj objekat.

Postavlja se pitanje kako odrediti presek dve granine kutije. Lako se uoava da se dva segmenta

[ ] i [ ] seku akko

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

i ako se oni seku onda je interval preseka

[ ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))]

Primer 1.3. Posmatramo dve granine kutije u prostoru , [ ] [ ] i

[ ] [ ],

sa slike uoavamo da se kutije i seku ako i samo ako

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

i

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

Kada problem preseka generalizujemo na prostor imamo sledecu teoremu

Teorema 1.4. Dve kutije [ ] [ ] [ ] i [ ] [ ]

[ ] u prostoru se seku ako i samo ako

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

za svako . Ako se one seku, onda

[ ] [ ] [ ]


2

Dakle, da bi proverili da li se dve kutije seku, potrebno je proveriti da li se seku svi njihovi

segmenti po svim koordinatama, ovaj provera naziva se minimax test.

Primer 1.5. Upotrebu graninih kutija pokazeemo na primeru poligona. Granina kutija nekog

poligona moe se definisati iz minimalnih i maksimalnih vrednosti svih temena, po svim

koordinatama.

U slici iznad posmatramo poligon ( ), gde ( ) . Granina kutija

poligona odreuje se na sledein nain

( | ) ( | )

( | ) ( | )

odnosno granina kutija poligona je [ ] [ ].

Granine kutije su verovatno najei granini objekti jer je lako raditi s njima, ali daleko od toga

da su savreni. Osnovni problem je taj to granina kutija ne obezbeuje mali prostor izmeu nje i

objekta koji sadri. Na primer, najmanja granina kutija za liniju je ona gde linija predstavlja

dijagonalu granine kutije. Zbog toga se uvode i drugi granini objekti koji otklanjaju nedostatke koje

poseduje granina kutija.

Definicija 1.6. Hiperravan u prostoru je skup svih taaka takvih da je gde je

vektor normale na hiperravan, a .

Definicija 1.7. Ploa u prostoru je oblast izmeu dve paralelne hiperravni.

Za dati ogranien skup taaka i jedinini vektor plou odreujemo na sledei nain: Uzimamo

pravu koja prolazi kroz koordinantni poetak i ima vektor pravca , uoavamo dve hiperavni (sa

vektorom normale ) daleko jedna od druge na dva kraja prave. Transliramo te dve hiperavni jedna

prema drugoj u odnosu na vektor sve dok ne dotaknu neku taku skupa .

Definicija 1.8. Oblast izmeu dve hiperravni dobijena iz gornjeg postupka naziva se ploa za skup

odreena jedininim vektorom i oznaava se sa ( ).

Primer 1.9. U prostoru posmatramo dve hiperravni (sa isitim vektorom normale) koje

ograniavaju plou, one imaju sledee jednaine

gde je . Ukoliko take skupa projektujemo na pravu koja prolazi kroz koordinantni poetak

i ima vektor pravca , onda e projekcije biti u segmentu [ ]. Moemo uzeti i vie jedininih

vektora kako bi ograniili celi objekat, time dobijamo uoptenu graninu kutiju.


3

Definicija 1.10. Uoptena granina kutija za ogranien skup taaka odreena skupom jedininih

vektora { } je presek ploa koje ti jedinini vektori odreuju. Preciznije, ako oznaimo taj

skup sa ( ), onda

( ) ( )

Sada emo pokazati kako se uoptene granine kutije izraunavaju za neke objekte prostora .

Primetimo da je sve to je potrebno izraunati vrednosti i .

1) Linearni poliedar: Ovde moemo svaku ivicu poliedra projektovati na vektor , a zatim

uzeti minimum i maksimum tih vrednosti,

( )

( )

2) Implicitno definisane povri: Neka je povr definisana kao

( )

Vrednosti i bie minimum i maksimum linearne funkcije

( ) ( )

3) Sloeni objekti: Neka je objekat definisan nizom operacija unija, preseka i razlika dva objekta

poevi od osnovnih objekata spomenutih iznad. Vrednosti i sloenog objekta se izraunavaju iz

vrednosti i osnovnih objekata. Na primer, za uniju dva objekta i , izraunavamo minimum

vrednosti za oba objekta i maksimum vrednosti za oba objekta.

Izraunavanje preseka dve uoptene granine kutije i (definisanih nad istim jedininim

vektorima) takoe nije teko. Formule su sline onima za dve kutije, razlika je u tome to umesto

izraunavanja minimuma i maksimuma po koordinatama ( ortogonalne projekcije na osama) sada

izraunavamo minimum i maksimum ortogonalnih projekcija na vektore , pa je

( ) (

( ) ( ))

( ) ( ( )

( ))

Uoptene granine kutije i su disjunktne (ne seku se) ako i samo ako ( )

( ) za

neko .

Drugi oblici graninih objekata mogu biti granini krugovi i lopte, optije granine sfere. Takvi

granini objekti su takoe laki za izraunavanje, ali mogu bolje da prime neke objekte. Dve sfere sa

centrima i i poluprenicima i se seku ako i samo ako


4

| |

Izraunavanje odgovarajue granine sfere za neki objekat nije teko ako se radi runo. Meutim

generalizacija tog procesa nije tako jednostavna. Ovaj proces obuhvata nalaenje najmanje sfere koja

sadri skup od taaka. Najoptimalniji algoritam1 koji izraunava ovaj problem je brzine ( ).

2. Surrounding test

Pored izraunavanja preseka, odreivanje da li taka pripada ili ne nekoj dvodimenzijalnoj ili

trodimenzijalnoj oblasti je takoe vrlo vaan zadatak. U ovoj glavi baviemo se problemom koji treba

da odgovori na pitanje da li taka pripada ili ne poliedru , tzv. Surrounding test. Surrounding

testovi se prirodno mogu podeliti u dve grupe, oni koji ispituju konveksne poliedre i oni koji se bave

proizvoljnim poliedrom. Poeemo sa testovima koji proveravaju da li taka pripada konveksnom

poliedru. Pre nego to ponemo sa testovima, definiimo formalno pojam poluprostora i poliedra.

Definicija 2.1. Poluprostor prostora je skup svih taaka takvih da je gde je

vektor normale na poluprostor, a .

Definicija 2.2. Poliedar u prostoru je presek konano mnogo poluprostora.

Test normala: Posmatramo proizvoljan poluprostor nekog poliedra. Dakle neka je

nejednaina poluprostora . Uzmimo proizvoljnu taku koja se nalazi na ivici poliedra, dakle vai

( )

odnosno, poluprostor moemo zapisati u ekvivaletnom obliku ( ) , gde je vektor

normalan na poluprostor, a taka pripada ivici poluprostora. Taka pripada poliedru ako i samo

ako

( )

za svako .

Primer 2.3. Posmatramo kvadrat u prostoru koji je sastavljem od taaka

( ) ( ) ( ) ( )

Dakle, kvadrat je sastavljen u preseku 4 poluprostora, odreenim 4 vektora normale

( ) ( ) ( ) ( ) i takama koje pripadaju njihovim

ivicama. Ako taka ( ) pripada kvadratu, onda

( )

( ) ( )

( ) ( )

slino imamo

( )

( )

1 http://en.wikipedia.org/wiki/Smallest-circle_problem


5

( )

Test jednaine: Ovaj test je vrlo slian prethodnom. Posmatraemo recimo prostor dimenzije 2.

Neka je ( ) i . Sa ovakvim oznakama, poluprostor je skup taaka oblika

{( )| }

Sledi da taka ( ) pripada poliedru ako i samo ako

za svako .

Test baricentrinih koordinata: Ovde emo najpre definisati pojam baricentrinih koordinata.

Definicija 2.4. Neka su linearno nezavisne take prostora i neka je .

Koeficijenti u jednaini

za koje je

nazivaju se baricentrine koordinate take u odnosu na -torku taaka ( ).

Ovaj test moe se jedino upotrebiti za poliedar u ravni, odnosno za poligon. Neka je ,

izdvojimo sve trouglove oblika ( ) i proveramo da li taka pripada datom trouglu

izraunvajui baricentrine koordinate u odnosu temena datog trougla. Na primer, za trougao

ispitaemo da li taka pripada tom trouglu. Neka su , i baricentrine koordinate take u

odnosu na trojku ( ), tada imamo

( )

Taka pripada trouglu ako i samo ako i .

Wedge test: Ovaj test se takoe koristi za poliedre u ravni, odnosno poligone. Neka je dat poligon

, najpre odredimo cetralnu taku poligona , odnosno taku koja je na jednakoj

udaljenosti od svih temena poligona . Poluprave koje poinju iz take i prolaze kroz temena

poligona podilee ravan na neogranienih skupova, odnosno na tzv. beskonanih klinova

(wedge), koji su ispresecani ivicama poligona . Moemo pronai klin koji sadri taku tako to

emo odraditi binarno pretraivanje ugla koji obrazuje vektor sa recimo -osom po po svim


6

uglovima koji obrazuju vektori sa -osom. Konano, treba odrediti da li taka lei u trouglu koji

obrazuje ivica poligona i neogranien skup u kome se nalazi taka .

Sada emo videti i jedan test koji proveravaju da li taka pripada proizvoljnom poliedru.

Parity or crossings test: U ovom testu proverava se koliko puta neka poluprava, koja poinje iz

take , see ivice poliedra . Ako je broj tih preseka paran, taka se nalazi izvan poliedra , u

suprotnom taka se nalazi unutar poliedra . Meutim, da bi algoritam radio u svim sluajevima,

presek mora da se broji dva puta ako je poluprava tzv. tangenta za poliedar. U dvodimenzijalnom

smislu, to znai da ako je presek poluprave i ivice poliedra neka taka koju sadri i druga ivica, dakle

ako je presek teme, onda su date ivice sa iste strane poluprave. U tridimenzijalnom sluaju, stranice

poliedra koje sadre presenu taku nalaze se sa iste strane ravni koja sadri polupravu.

U prostoru uobiajenoje da se poluprava bira tako da bude paralelna sa -osom, dakle ima

vektor pravca ( ). Kako je poluprava paralena sa -osom, koordinata poluprave je konstanta,

obeleimo je recimo sa . To nam omoguava lako odreivanje da li poluprava see neku ivicu

poliedra. Uzimamo poetnu i krajnju taku neke ivice, i ispitujemo kordinate, obeleimo ih sa i

, i bez gubljenja optosti stavimo . Ako vai presek e postojati.

3. Osnovni algoritmi preseka

Pre nego to ponemo sa ovom i narednim glavama, najpre se treba podsetiti pojmova vektorskog i

meovitog proizvoda.

Definicija 3.1. Vektorski prozvod vektora i , u oznaci , je vektor za koji vai

1) Intenzitet vektora je povrina paralelograma konstruisanog nad vektorima i

2) Pravac vektora je normalan na ravan odreenu vektorima i

3) Smer vektora je takav da vektori , , obrazuju desni sistem

Iz definicije vektorskog proizvoda sledi

| | | || | ( )

Definicija 3.2. Meovitim proizvodom redom tri vektora , i naziva se skalarni proizvod

vektora i vektora , tj. ( )

Lako se pokazuje da meoviti proizvod predstavlja zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad

vektorima , i kao ivicama.


7

Problem 3.3. Potrebno je nai taku koja se dobija kao presek dva segnemta [ ] i [ ].

Reenje: Neka su i prave koje obrazuju take , i , respektivno. Kako taka pripada

obema pravama, vai

za neko i . Neka su i vektori normala u odnosu na prave i respektivno. Sledi

( ) ( )

odnosno

slino

( ) ( )

pa je

Naravno, ovde moe da se desi da i nisu definisani zbog deljenja nulom, to znai da su prave

i paralelne, pa prilikom reavanja problema imamo dva sluaja

1) Segmenti [ ] i [ ] nisu paralelni. U ovom sluaju koristimo prethodno opisane formule i

izraunavamo i . Ako onda se segmenti [ ] i [ ] seku u taki

2) Segmenti [ ] i [ ] su paralelni. Ovaj sluaj se sastoji iz dva koraka. Prvo proveravamo da li

je . To se moe postii proverom da li postoji zajednika taka . Na primer, ako je

onda je . Ako i nije ista linija to znai da se segmenti ne seku. Kada se ispostavi da je

jo uvek treba da proverimo da li se segmenti seku. To se moe proveriti kao u prvoj glavi,

prenosei problem na prostor .

Problem 3.4. Potrebno je nai presek prave i ravni u prostoru . Pretpostavimo da je prava

definisana kao prava kroz dve take i , da taka pripada ravni i da je njen vektor normale.

Reenje: Kako pripada pravi , to moemo zapisati u sledeem obliku

za neko t. tavie, je ortogonalan na vektor pa sledi

( )

izrauvajui gornju jednainu to dobijamo

Naravno, je definisano ako i nisu ortogonalni vektori, odnosno prava i ravan nisu

paralelne. U sluaju da su prava i ravan paralelne, treba ispitati da li prava lei u ravni.


8

Primer 3.5. Nai presek prave koja prolazi kroz taku ( ) i ( ) i ravni koja

sadri taku ( ) i normalna je na vektor ( ).

Kada upotrebimo formule iz problema 3.4. imamo

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Dakle

( )

( ) (

)

Problem 3.2. moe se lako uoptiti u sluaju da predstavlja hiperravan u prostoru . To emo i

pokazati u narednom delu.

Problem 3.6. Potrebno je nai presek prave i -dimenzionalne hiperravni u prostoru .

Pretpostavimo da su vektori normale hiperravni . Takoe, je prava definisana kao

prava kroz dve take i , a taka pripada hiperravni .

Reenje: Najpre definiimo , slino kao u prethodnom problemu

Naravno, je definisano pod uslovom da prava nije paralelna sa . Ako je onda

prava see hiperravan u taki

Primer 3.7. Odrediti presek prave i u prostoru , gde prolazi kroz take ( ) i

( ), a kroz take ( ) i ( ).

Pravu moemo posmatrati kao hiperravan dimenzije 1. Vektor pravca prave je vektor

( ), a vektori normale na hiperravan ( ) ( ) (mogu se dobiti Gramm-

Schmidt2 postupkom). Tada imamo

( ) ( )

( ) ( )

i

( ) ( )

( ) ( )

kako je , presek prava i je

( )

( ) ( )

Problem 3.8. Potrebno je nai presek tri ravni koje su definisane takama i

vektorima normala . Pretpostavljamo da su vektori normala linearno nezavnisni, jer bi u

suprotnom ravni bile paralelne.

2 http://hr.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtov_postupak


9

Reenje: Kako su ravni date jednainama ( ) , odnosno potrebno je

reiti sistem od tri jednaina po .

Ako vektore oznaimo sa (

), a ( ) dobijamo sledei ekvivalentan

sistem

Ovaj sistem moemo reiti pomou Kramerovog pravila, ako sa obeleimo matricu sistema, a sa

matrice gde u matrici sistema zamenimo -tu kolonu sa kolonom slobonih lanova, imamo

( )

( )

Sada je potrebno izraunati odgovarajue determinante

( ) |

| ( )

( ) |

|

(

)( ) (

)( ) (

)( )

( ) |

|

(

)( ) (

)( ) (

)( )

( ) |

|

(

)( ) (

)( ) (

)( )

pa imamo

( ) ( ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ))

( ( ) ( ) ( ))

( )

( )(

)

( )

( )(

)

( )

( )(

)

( )

odnosno


10

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

Sledea dva problema bave se presekom poluprave i krunice. U nastavku emo koristiti sledeu

notaciju: e biti poluprava koja polazi iz take i ima vektor pravca , a prava kroz taku sa

vektorom pravca .

Problem 3.9. Nai presek , ako postoji, poluprave i krunice sa centrom i poluprenikom .

Reenje: Kako taka pripada pravi nju moemo zapisati u obliku

Kako se taka nalazi na krunici, rastojanje od take do centra jednako je polupreniku, pa

imamo

| |

( ) ( )

( ) ( )

Neka je sada , ( ) i ( ) ( ) . Gornja jednakost sada moe

biti zapisana u obliku

Reavajui kvadratnu jednainu po dobijamo

( )

U zavisnosti od diskriminante imamo 3 sluaja

1) , prava preseca krunicu u jednoj taki, tj. prava je tangenta krunice. Ako je

to znai da i poluprava see krunicu.

2) prava , a samim tim i poluprava, nemaju presenih taaka sa krunicom.

3) , prava see krunicu u dve take. Neka su to take i , i bez gubljenja

optosti pretpostavimo da je . Ako je onda i poluprava see krunicu u dve take. Ako

onda poluprava see krunicu u jednoj taki. Konano ako je to znai da

poluprava i krunica nemaju presenih taaka.


11

Problem 3.10. Nai presek , ako postoji, poluprave i krunice sa poluprenikom i centrom

u koordinantnom poetku.

Reenje: U ovom sluaju treba pronai za koje vai

| |

Odnosno

| | ( ) | |

Sledi

( ) ( ) | | (| | )

| |

Ako obeleimo ( ) | | (| | ) problem se zasniva na prethodnom, za sluaje

1)

2)

3)

4. Formule za rastojanje

Rastojanje take i prave: Neka je prava definisana takom i vektorom pravca i neka je

taka do koje traimo rastojanje. Taka

(

| | )

| |

je jedinstvena taka na pravi najblia taki . Rastojanje taaka a i p moemo odrediti kao

| | | (

| | )

| | |

ili

| |

| |

Rastojanje take i ravni: Rastojanje take do ravni koja sadri taku i normalna je na

jedinine vektore iznosi

| ( ) ( ) |

tavie,

( ) ( )


12

je jedinstvena taka u ravni koja je najblia taki .

U prostoru ravan je data samo sa jednim vektorom normale , pa rastojanje iznosi

|

| ||

Taka

(

| |)

| |

je jedinstvena najblia taka taki .

Rastojanje hiperravni od koordinantnog poetka: Neka je hiperravan na prostoru definisana

koordinantno na sledei nain

gde je ( ) vektor normale na hiperravan . Tada se rastojanje hiperravni do

koordinantnog poeka izraunava na sledei nain

| |

Rastojanje izmeu dve prave: Neka je prava definisana takom i vektorom pravca , a prava

takom i vektorom pravca . Pretpostavimo da prave nisu paralelne. Pokazaemo dva naina za

izraunavanje rastojanja izmeu pravih i .

Kako su prave i mimoilazne to one imaju zajedniku normalu koja u preseku sa i daje

najkrae rastojanje, oznaimo to rastojanje sa . Sada pomou vektora , i moemo da

konstruiemo paralelopiped nad , i . Primetimo da upravo visina paralelopipeda predstavlja

zajedniku normalu pravih i . Znamo da zapreminu paralelopipeda moemo izraunati pomou

meovitog proizvoda, pa imamo

| ( )| ( )

sledi

( )

( )

Na drugi nain rastojanje izmeu prava i moe se izraunati formulom

| |

gde je


13

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

tavie, taka je jedinstvena najblia taka pravi . Slino, je jedinstvena

najblia taka pravi .

5. Formule zapremine i povrine

Povrina paralelograma: Povrina paralelograma u prostoru , obrazovanog nad vektorima i

iznosi

| | | (

)|

Kao to znamo, prva jednakost sledi iz definicije vektorskog proizvoda. Druga jednakost se takoe

moe dobiti direktnom upotrebom vektorskog proizvoda, ali postoji i jedan zanimljiv nain da se

dobije primenom skalarnog proizvoda

| || |

(| || | )

kada drugu stranu jednakosti sredimo, dobijamo

(| || | ) | | | | | | | | ( ) | | | | (| || |

)

(

)(

) ( )

(

)

( )

pa imamo

( )

| |

| (

)|


14

Zapremina parelelopipeda: Zapremina paralelopipeda obrazovanog nad vektorima i u

prostoru jednaka je

|( ) | | ( )|

Povrina trougla: Povrina trougla definisanog nad vektorima i u prostoru iznosi

| |

| ( )|

Povrina pologona: Povrina poligona definisanog takama u prostoru iznosi

| (

)

|

Zapremina tetraedra: Zapremina tetraedra sa temenima , , i u prostoru iznosi

| (

)|

basic geometric modeling tools

Documents