BAHAN AJAR DAN LEMBAR KEGIATAN SISWA I

Materi : Pengertian Program Linier dan Sistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelSatuan Pendidikan: SMAMata Pelajaran: MatematikaKelas/ Semester : XI / IAlokasi Waktu : 2 X 45 menit (1 X pertemuan)Pada materi-1 Bahan Ajar ini Anda akan mempelajari pengertian program linier dan pertidaksamaan linier dua variabel bagaimana membuat model pertidaksamaan linear dua variabel (PtLDV) berdasarkan masalah yang diberikan. Pada bagian ini, Anda juga berlatih untuk menuliskan contoh sendiri pertidaksamaan linier dua variabel.

Program LinierDalam kegiatan produksi dan perdagangan, baik industri skala besar maupun kecil tidak terlepas dari masalah laba yang harus diperoleh oleh perusahan tersebut. Tujuan utamanya adalah untuk memperoleh pendapatan yang sebesar-besarnya dengan meminimumkan pengeluarannya (Optimasi). Untuk tujuan utama tersebut, tentunya pihak perusahaan membuat beberapa kemungkinan strategi yang harus ditempuh untuk mencapainya. Misalnya, pedagang buah-buahan, pedagang hendak membeli buah kelengkeng dan buah papaya karena dua jenis buah tersebut persediaanya menipis. Tentunya pedagang buah akan mengeluarkan biaya untuk membeli dua jenis buah tersebut dengan memperhitungkan keuntungan sebesar-besarnya yang mungkin dapat diperoleh dari masing-masing buah dalam kg dan sebagainya. Untuk menyesaikan masalah tersebut digunakan program linier. Program linier diartikan sebagai cara untuk menyelesaikan suatu persoalan (penyelesaian optimum) dengan menggunakan metode matematik yang dirumuskan dalam bentuk persamaan-persamaan atau pertidaksamaan linier.

Selesaikan masalah 1 pada tempat yang tersedia berikut.

Seorang pedagang buah-buahan menjual buah Semangka dengan Harga Rp. 25.000,00 perbuah dijual dengan laba Rp. 5000,00 per buah. Adapun buah Nanas dengan harga Rp. 18.000,00 per buah di jual dengan laba Rp. 3000,00 perbuah. Pedagang buah-buahan tersebut mempunyai modal Rp. 500.000,00 dan kiosnya maksimum dapat menampung 800 buah-buahan. Apakah permasalahan di atas merupakan masalah Program Linier? Buatlah contoh dalam kehidupan sehari-hari yang dapat menggunakan program linier!.Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Untuk membuat kue bagea khas kota Kendari, kelompok ibu-ibu PKK Kelurahan Wowanggu memerlukan bahan bahan yang sudah tersedia di Koperasi PKK. Bahan yang dibutuhkan diantaranya, tepung sagu dan gula putih. Dua jenis bahan yang dibeli masing-masing kelompok yakni tepung terigu dan gula putih tidak lebih dari 6 kg. Masalah 2 Berdasarkan cerita Membuat kue Bagea diatas selesaikan masalah a sampai c berikut : a. Setelah membaca dan memahami cerita Membuat Kue Bagea, tentukan berapa kg tepung sagu dan gula yang mungkin dibeli oleh masing-masing kelompok, dengan melengkapi tabel berikut:

Banyaknya tepung terigu (kg)Banyaknya gula (kg)Jumlah (kg)

.

b. Buatlah model matematika berdasarkan tabel di atas.Model Matematika:c. Berapa banyak pangkat tertinggi dari variabel-variabel pada pertidaksamaan yang Anda peroleh pada jawaban masalah 1bd. Manakah dari model berikut yang berupa pertidaksamaan linier dua variabel dan bukan pertidaksamaan linier dua variabel1. 4x + 6y 162. 9x + 2y > 173. 2x + 5y 244. 6 +7y < 195. 2x2 + 5y > 47. 2x + y 3z6. 3x + 2 c atau ax + by c atau ax + by c dengan x, y adalah variabel dan a, b, dan c R di mana a, b keduanya tidak nol. Anda sudah mempelajari sebelumnya bahwa penyelesaian persamaan a x + b y = c adalah himpunan pasangan (x, y), secara geometri dinyatakan dengan garis lurus. Bagaimana kita dapat menggambar pertidaksamaan linear ax + by c dan ax + by c di mana a, b, dan c adalah konstanta? Langkah-langkah menggambar pertidaksamaan ax + by c adalah:(1) buat garis ax + by = c, dengan terlebih dahulu mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. Atau mencari dengan tabel nilai pasangan (x,y) yang memenuhi ax + by = c, kemudian menghubungkan kedua titik itu setelah digambar pada bidang Cartesius. (2) ambil titik (p,q) yang tidak terletak pada garis ax + by = c, (sering dipilih titik (0,0) asalkan garis tersebut tidak melalui (0,0), substitusikan titik tersebut pada ax + by c. Jika menjadi pernyataan yang benar maka daerah dimana titik itu berada merupakan daerah selesaian ax + by cUntuk lebih jelas, selesaikanlah masalah 1 berikut ini

Bu Tina hendak membuat kue baruasa kacang. Untuk membuat kue baruasa kacang bahan-bahan yang dibutuhkan adalah 3 kg tepung beras dan 1 kg kacang mede, uang yang ditidak lebih dari Rp 120.000,00. 1. Berdasarkan cerita membuat kue baruasa kacang diatas, selesaikan masalah berikut ini: a. Jika banyaknya tepung beras yang dibeli dilambangkan dengan x dan banyaknya kacang mede dilambangkan dengan y, maka tulislah model matematikanya ................................... b. Tujuan anda adalah menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel pada bidang cartesius. Dari jawaban masalah 1a, ubahlah model matematika tersebut menjadi bentuk persamaan: .. i. Jika bu Tina tidak membeli kacang mede tetapi hanya membeli 3 kg tepung beras, karena uang yang dibawa hanya cukup untuk membeli 3 kg tepung beras, maka model matematikanya adalah ...? ii. Jika Bu Tina tidak membeli tepung beras tetapi hanya membeli 1 kg kacang mede, karena uang yang dibawa hanya cukup untuk membeli kacang mede, maka model matematikanya adalah.. .? iii. Berdasarkan jawaban 1b, i dan ii lengkapi tabel berikut ini:

Model Matematikanya..

X.0

Y0..

(x,y)(.., 0)(0, )

iv. Buatlah grafik himpunan penyelesaian berdasarkan tabel yang anda telah lengkapi!

a. Jika koordinat titik uji memenuhi PtLDV maka daerah yang mengandung titik uji memenuhi PtLDV maka daerah ini diarsir.b. Jika koordinat titik uji tidak memenuhi PtLDV maka daerah yang tidak memenuhi PtLDV. Ini berarti daerah yang memenuhi adalah daerah di sebarang titik uji, dan daerah inilah yang diarsirc. Variabel x yang digunakan meyatakan banyaknya tepung beras maka x 0 dan variabel y menyatakan banyaknya kacang mede maka y 0 ( x dan y adalah bilangan bulat positif).

Masalah 2

Sebuah Toko Kue memproduksi dua jenis cake, yaitu cake cokelat dan cake keju. Pembuatan cake cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5 gram mentega, sedangkan untuk cake keju diperlukan 4 gram terigu dan 5 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah 2.400 gram terigu dan 2.500 gram mentega.Berdasarkan cerita membuat cake keju dan cake cokelat, selesaikanlah masalah berikut:a. Jika banyaknya tepung terigu yang dibeli dilambangkan dengan x dan banyaknya mentega dilambangkan dengan y, maka tulislah model matematika untuk cake cokelat. dan tulislah model matematika untuk cake keju ............................ b. Berdasarkan jawaban a, lengkapi tabel berikut ini:Model Matematika cake cokelat..

X.0

Y0..

(x,y)(.., 0)(0, )

Model Matematika cake keju..

X.0

Y0..

(x,y)(.., 0)(0, )

c. Buatlah grafik himpunan penyelesaian dari jawaban yang kamu peroleh pada masalah 2b ( Tabel yang sudah kamu lengkapi dari kelompok 1 dan kelompok 2), pada bidang cartesius.

Daerah penyelesaian yang memenuhi SPtL, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah-daerah yang memenuhi tiap PtLDV Variabel x dan y menyatakan banyaknya tepung terigu dan mentega. Maka x dan y merupakan bilangan bulat positif.

Latihan 2

1. Tentukan pasangan titik-titik yang memenuhi 4x + 3y = 24. Gambarkan kedudukan titik-titik ini pada system koordinat kartesius.2. Tentukan daerah penyelesaian dengan menggambar pertidaksamaan linier berikut.a. x > 2b. y < -5c. 2x + y 3d. 2x y < 3e. 2x + 3y 63. Tentukan penyelesaian dari system pertidaksamaan linier berikut.a. x 0; y 0, 4x + 2y 60; 3x + 5y 75b. x 0; y 0,5x +2y 30; 3x +4y 24c. x 1; y 2,y 6 x; 3y + 2x 124. Tulislah suatu system pertidaksamaan linier untuk daerah yang diarsir pada kurva-kurva berikut

a.c.

b.d.BAHAN AJAR DAN LEMBAR KEGIATAN SISWA III

Materi : Memahami pengertian model matematika dan mengubah kalimat verbal dalam bentuk model matematikaSatuan Pendidikan: SMAMata Pelajaran: MatematikaKelas/ Semester : XI / IAlokasi Waktu : 2 X 45 menit (1 X pertemuan)Pada materi-3 Bahan Ajar ini Anda akan mempelajari materi program linier yaitu mengubah kalimat verbal menjadi model matematika dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier. Masalah yang akan kalian selesaikan pada LKS 3 ini masih ada hubungannya dengan LKS 1 dan 2.

1. Pengertian Model Matematika

Hal terpenting dalam masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke dalam bentuk model matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah dimengerti. Jadi model matematika adalah suatu cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan-persamaan atau petidaksamaan-pertidaksamaan matematika.Ide Program linier pertama kali dikembangkan dalam bidang kemiliteran selama Perang Dunia Kedua, kemudian dikembangkan di dalam bidang pemerintahan, manajeman, komersial dan perdagangan, aplikasi dalam bidang industri, dan lainnya. Kapankah suatu masalah itu merupakan masalah program linier? Suatu masalah dikatakan masalah program linier jika memenuhi: 1. Terdapat tujuan yang dicapai, dan dalam model matematika fungsi tujuan ini dalam bentuk linier. 2. Terdapat sumber daya atau masukan (input) yang berada dalam keadaan terbatas, dapat dirumuskan dalam hubungan yang linear yaitu pertidaksamaan linear.

2. Mengubah kalimat verbal menjadi model matematika dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier

Sebuah Toko Kue memproduksi dua jenis cake, yaitu cake keju dan cake cokelat. Pembuatan cake cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5 gram mentega, sedangkan untuk cake keju diperlukan 4 gram terigu dan 5 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah 2.400 gram terigu dan 2.500 gram mentega. Keuntungan dari satu resep cake keju Rp. 4.000,00 dan satu resep cake cokelat Rp. 3000,00Berdasarkan cerita membuat cake keju dan cake cokelat, permasalahan ini dapat disajikan;Misalnya banyak cake keju dilambangkan dengan x dan banyak cake coklat dilambangkan dengan y, variabel yang lain adalah tepung terigu dan mentega. Susunlah data tersebut kedalam tabel. BahanXyPersediaan bahan

.......

..

Keuntungan .

Pertidaksamaan (1) :.. Pertidaksamaan (2) :.. Karena x dan y menyatakan banyaknya cake, maka x dan y adalah bilangan bulat positif. Pertidaksamaan (3) :.. Pertidaksamaan (4) :.. Jadi Model matematikanya adalah : Fungsi Obyektif : Z = .Kemudian, buatlah grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan (daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian):

Masalah 2Roti Sosis dan Roti Pisang

Untuk membuat roti sosis diperlukan tepung 200 gram dan mertega 25 gram. Jenis roti pisang diperlukan tepung 100 gram dan mentega 50 gram. Misalkan kita ingin membuat roti sebanyak mungkin, tetapi kita hanya mempunyai tepung 4 kg dan mentega 1,2 kg, sedangkan bahan-bahan lain cukup. Direncanakan setiap roti sosis dijual R. 1.500,00 dan roti pisang Rp. 1.000,00 sebuah.Misalnya banyak roti sosis dilambangkan dengan x dan banyak roti pisang dilambangkan dengan y, variabel yang lain adalah tepung terigu dan mentega. Susunlah data tersebut kedalam tabel. BahanXyHarga

.......

..

Persediaan.

Pertidaksamaan (1) :.. Pertidaksamaan (2) :.. Karena x dan y menyatakan banyaknya cake, maka x dan y adalah bilangan bulat positif. Pertidaksamaan (3) :.. Pertidaksamaan (4) :.. Karena roti yang dibuat akan dijual, tidak mungkin banyaknya roti bilangan pecahan. Untuk menentukan nilai maksimum, dipilih nilai x = dan nilai y = ..Fungsi Obyektif : Z = .Untuk titik (.,0) 250 . + 200 0 = titik (,..) 250 .. + 200 = ...titik (0, .) 250 0 + 100 = ..penghasilan := . Dipilih (.,..)Dengan cara membuat roti sosis . Biji dan roti pisang . Kemudian, buatlah grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan (daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian): Rangkuman Untuk menyelesaikan suatu masalah program linier maka langkah utamanya adalah mengubah masalah itu dalam model matematika,kemudian model itu diselesaikan dan dibawa ke penyelesaian masalah nyata. Model matematika dari masalah program linier disajikan dalam bentuk: Carilah x dan y sehingga memaksimumkan/meminimumkan fungsi tujuan f = ax + by, dengan kendala : 1) p x + q y r, p, q dan r konstanta 2) kx + ly m, k, l, dan m konstanta

Latihan 31. Suatu roti jenis I membutuhkan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, roti jenis II membutuhkan 75 tepung dan 75 mentega. Tersedia tepung sebanyak 4,5 kg dan mentega 3 kg. 2. Seorang penjaga buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan jeruk. Harga pembelian apel Rp 20.000,00 tiap kg dan jeruk Rp 8.000,00 tiap kg. Pedagang tersebut hanya mempunyai modal Rp 5.000.000,00 dan muatan gerobah tidak melebihi 400 kg. 3. Untuk membuat satu adonan roti jenis A Ibu memerlukan terigu 400 gram dan mentega 50 gram. Untuk membuat satu adonan roti jenis B diperlukan terigu 200 gram dan mentega 100 gram. Bahan yang tersedia adalah terigu 6 kg dan mentega 2,4 kg. Jika satu roti jenis A mendapatkan keuntungan Rp 1.000,00 dan satu roti jenis B mendapatkan keuntungan Rp 2.000,00, tentukan banyaknya roti jenis A dan B yang harus dibuat Ibu agar untung sebanyak-banyaknya. Buatlah model matematika dari masalah di atas dengan terlebih dahulu membuat tabel untuk memudahkan dalam menjawabnya. Tentukan pula fungsi obyektifnya4. Sebuah Firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model, yaitu A dan B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan 3 m2 papan dan tiap unit B memerlukan 4 m2 papan. Firma memperoleh 1.700 m2 papan tiap minggu dari pemasok sendiri. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30 menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan (profit) tiap unitNA sebesar Rp 20.000,00 dan tiap unit B sebesar Rp 40.000,00 Buatlah model matematika dari masalah di atas dengan terlebih dahulu membuat tabel untuk memudahkan dalam menjawabnya. Tentukan pula fungsi obyektifnya.5. Sebanyak 70 siswa SMA 6 mengadakan kemah di suatu bumi perkemahan. Untuk keperluan itu disewa dua jenis tenda. Tenda besar dapat menampung 7 siswa dan sewanya Rp 20.000,00. Tenda kecil dapat menampung 2 siswa dan sewanya Rp 15.000,00. Banyaknya tenda yang disewa tidak boleh lebih dari 19 buah. Berapakah banyaknya tenda besar dan kecil yang harus disewa agar biaya sekecil mungkin?. Buatlah model matematika dari masalah di atas dengan terlebih dahulu membuat tabel untuk memudahkan dalam menjawabnya. Tentukan pula fungsi obyektifnya.

BAHAN AJAR DAN LEMBAR KEGIATAN SISWA IV

Materi : Menghitung nilai optimum (maksimum/minimum) dari sistem pertidaksamaan linier dua variabelSatuan Pendidikan: SMAMata Pelajaran: MatematikaKelas/ Semester : XI / IAlokasi Waktu : 2 X 45 menit (1 X pertemuan)Pada materi-4 Bahan Ajar ini Anda akan mempelajari materi program linier yaitu cara menghitung nilai maksimum/minimum (optimum) fungsi obyektif.Uraian MateriUntuk memperoleh nilai optimum (maksimum atau minimum) dari fungsi obyektif dengan kendala-kendala tertentu, dapat kita lakukan dengan menggambar daerah penyelesaian memenuhi yaitu daerah yang titik-titiknya merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. Nilai optimum dari fungsi obyektif biasanya dipenuhi oleh absis dan ordinat titik sudut dalam daerah himpunan penyelesaian.Tentukan nilai maksimum dari permasalahan yang model matematikanya sebagai berikut. Mencari x dan y yang memaksimumkan f = 4x + y, Dengan kendala:a. 3x + 4y 12 b. 7x + 2y 14c. x 0d. y 0Pemecahan masalah sistem pertidaksamaan linier dua variable merupakan penerapan cara pemecahan sistem pertidaksamaan linear yang anda pelajari di kegiatan belajar 1. Jika 3x + 4y = 12 dan 7x + 2y =14 dicari titik potongnya (dengan eliminasi dan/atau substitusi) didapat titik Titik potong 3x + 4y = 12 dengan sumbu x adalah (..,0) dan titik potong dengan sumbu y adalah (0,). Titik potong 7x + 2y =14 dengan sumbu x1 adalah (.,0) dan titik potong dengan sumbu x2 adalah (0,..). Gambarlah pada bidang cartesius di bawah ini:

Tanda panah menunjukkan arah daerah yang memenuhi kendala. Untuk titik sudut O(0,0) didapat nilai f = 4.0 + 3.0 = .. Untuk titik sudut A(..,0) didapat nilai f = 4.2 + 3.0 = .Untuk titik sudut P P didapat f = Untuk titik sudut D(0,..) didapat nilai f = 4.0 + 3.3 = Jadi nilai maksimum f dicapai pada titik sudut P dari poligon daerah memenuhi OAPD yaitu .. untuk x = dan y = ..

Masalah 1

Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 40 lembar dan pita 30 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A Rp. 2.500,-/buah dan kado jenis B Rp. 2.000,-/buah, maka upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut adalah .Penyelesaian:1. Ubahlah ke dalam bentuk model matematika (dalam bentuk PtLDV) masalah di atas dan tentukan pula fungsi objektif dan kendala dari masalah di atasModel Matematika:

Fungsi Objektif:Kendala:

Nilai fungsi maksimum:

2. Gambarkan daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan linier di atas

3. Tentukan nilai maksimum fungsi objektifGaris batas Kendala (1) memotong sumbu x di (..,0) dan sumbu y di (0,) Garis batas Kendala (2) memotong sumbu x di (,0) dan sumbu y di (0,..) Daerah memenuhi adalah daerah tertutup OABC dengan O(0,0), A(..,0), B (..,) dan C(0,.) Untuk titik A(,0) didapat f = . Untuk titik B (......,) didapat f = .Untuk titik C (0,...) didapat nilai f = . Untuk titik O (0,0) didapat nilai f = 0 Jadi upah maksimum karyawati adalah Rp jika membuat kado jenis A dan . Kado jenis B.

Masalah 2Seorang penjahit mempunyai 60 m wol dan 40 m katun. Dengan bahan yang tersedia itu, alumni tersebut membuat setelan jas dan rok kepada beberapa orang pelanggan. Satu stel jas memerlukan 3 m wol dan 1m katun, satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rok harus dibuat oleh penjhit tersebut kalau harga satu stel jas Rp. 500.000,00 dan harga satu stel rok Rp. 375.000,00 untuk memperoleh pendapatan maksimum.Penyelesaian:1. Ubahlah ke dalam bentuk model matematika (dalam bentuk PtLDV) masalah di atas dan tentukan pula fungsi objektif dan kendala dari masalah di atas

Model Matematika:

Fungsi Objektif:Kendala:

Nilai fungsi maksimum:

2. Gambarkan daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan linier di atas

3. Tentukan nilai maksimum fungsi objektifGaris batas Kendala (1) memotong sumbu x di (..,0) dan sumbu y di (0,) Garis batas Kendala (2) memotong sumbu x di (,0) dan sumbu y di (0,..) Daerah memenuhi adalah daerah tertutup OABC dengan O(0,0), A(..,0), B (..,) dan C(0,.) Untuk titik A(,0) didapat f = . Untuk titik B (......,) didapat f = .Untuk titik C (0,...) didapat nilai f = . Untuk titik O (0,0) didapat nilai f = 0 Jadi upah maksimum adalah Rp jika membuat jas dan . rok.

Rangkuman 1. Sistem pertidaksamaan (1) ax + by c, a, b, c konstanta (2) px + qy r; p, q, r konstanta (3) x 0 (4) y 0 Dengan bantuan gambar garis ax + by = c dan px + qy = r dan arsiran daerah penyelesaian dapat ditemukan beberapa penyelesaian yang ditunjuk oleh titik sudut pada daerah memenuhi. 2. Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari daerah memenuhi yang sudah digambar, carilah nilai fungsi tujuan di titik sudut daerah memenuhi. Substitusikan koordinat titik sudut, pada fungsi tujuan. Nilai maksimum akan didapat pada titik sudut dengan nilai fungsi tujuan paling besar, dan nilai minimum didapat pada titik sudut dengan nilai fungsi tujuan paling kecil.

Latihan 41. Seorang pedagang buah-buahan menjual buah Semangka dengan Harga Rp. 25.000,00 perbuah dijual dengan laba Rp. 5000,00 per buah. Adapun buah Nanas dengan harga Rp. 18.000,00 per buah di jual dengan laba Rp. 3000,00 perbuah. Pedagang buah-buahan tersebut mempunyai modal Rp. 500.000,00 dan kiosnya maksimum dapat menampung 800 buah-buahan. Tentukan jumlah buah Semangka dan buah Nanas yang harus dibeli, jika ia ingin memperoleh keuntungan yang besar.2. Seorang pedagang kaki lima menyediakan uang Rp. 1.650.000,00 untuk membeli kemeja dengan harga Rp. 20.000,00 per buah dan celana Rp. 50.000,00 per buah. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan Rp. 3.000,00 untuk setiap potong celana dan Rp. 1000,00 untuk setiap potong kemeja. Jika barang-barang tersebut terjual habis, berapa keuntungan sebesar-besarnya yang dapat ia peroleh.3. Tentukan nilai maksimum dari fungsi obyektif P = 3x + 5y, yang memenuhi sistem petidaksamaan linier: a. x + y 4 b. x + 2y 6 c. x 0 d. y 04. Carilah x dan y yang meminimumkan f = 12x + 5y, dengan kendala:a) 2x + 3y 6 b) 4x + y 4 c) x 0 d) y 05. Carilah x dan y yang meminimumkan f = 4x + 3y, dengan kendala:a) x + 2y 0 b) x + y 7 c) 6x + y 12d) x 0 e) y 0

BAHAN AJAR DAN LEMBAR KEGIATAN SISWA V

Materi : Metode garis selidik untuk menentukan titik optimum

Satuan Pendidikan: SMAMata Pelajaran: MatematikaKelas/ Semester : XI / IAlokasi Waktu : 2 X 45 menit (1 X pertemuan)Pada materi-4 Bahan Ajar ini Anda akan mempelajari materi program linier yaitu pengertian garis selidik, membuat garis selidik menggunakan fungsi objektif, menentukan nilai optimum menggunakan garis selidikUraian Materi1. Untuk masalah memaksimumkan: fungsi objektif/fungsi tujuan , geser garis selidik primitif ax + by =0 secara sejajar sampai memotong titik paling jauh dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier. Titik yang paling jauh biasanya adalah titik pojok yang paling atas atau paling kanan dari daerah yang memenuhi SPtLDV.2. Untuk masalah meminimumkan: fungsi objektif/fungsi tujuan , geser garis selidik primitif ax + by =0 secara sejajar sampai memotong titik paling dekat dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier. Titik yang paling jauh biasanya adalah titik pojok yang paling bawah atau paling kiri dari daerah yang memenuhi SPtLDV.3. Jika fungsi obyektik dari suatu masalah adalah f = ax + by, maka garis selidik nya adalah ax + by = k, untuk beberapa nilai k, dengan k R.ContohDiketahui fungsi obyektif dari suatu masalah adalah f = 3x + 4y. Buatlah garis selidik dengan menggunakan fungsi tujuan.Penyelesaian Garis selidiknya adalah 3x + 4y = k, untuk beberapa k R. Untuk k = 0, 12, 24 didapat: garis 3x + 4y = 0 untuk k = 0, garis ini disebut garis senilai, sebab untuk (x,y) yang memenuhi garis itu nilai f selalu sama yaitu 0. garis 3x + 4y = 12 untuk k = 12, garis ini disebut garis senilai, sebab untuk (x,y) yang memenuhi garis itu nilai f selalu sama yaitu 12. garis 3x + 4y = 24 untuk k = 24, garis ini disebut garis senilai, sebab untuk (x,y) yang memenuhi garis itu nilai f selalu sama yaitu 12. Tiga garis senilai yang di lukis di atas diperlukan guna menyelidiki kemiringan garis senilai dan arah membesarnya (arah pergeserannya) maka ketiga garis senilai secara bersama-sama disebut garis selidik. Dengan demikian untuk dua nilai k atau lebih, garis senilai disebut garis selidik. Atau garis senilai disebut garis selidik jika minimal terdapat dua garis senilai. Dari contoh di atas ternyata:a) garis selidik makin menjauhi (0,0) (atau ke kanan/ke atas) jika nilai k bertambah besar atau sebaliknya garis selidik makin mendekat (0,0) (atai ke kiri/ke bawah) jika nilai k bertambah kecib) garis selidik selalu sejajar atau gradiennya sama yaitu Masalah 1Dengan menggunakan garis selidik, tentukan x dan y yang memaksimumkan f = 4x + 3y, dengan kendala a. 3x + 4y 12 b. 7x + 2y 14 c. x 0 d. y 0 Penyelesaian Untuk k = .. didapat garis senilai 4x + 3y = Untuk k = didapat garis senilai 4x + 3y =

Ternyata garis selidik makin menjauhi (0,0) jika nilai f makin besar. Gambarkan pada diagram cartesius himpunan daerah penyelesaiannya adalah daerah tertutup OABC, dengan O(0,0),A(.,0), B (.., ) yang merupakan titik potong garis 3x + 4y = 12 dan 7x + 2y =14, dan C (0,..).

Jika garis selidik digerakkan ke atas/kekanan dengan bantuan dua penggaris siku-siku maka nilai f makin besar, dan nilai f paling besar saat garis selidik menyinggung daerah himpunan penyelesaian yang paling luar, yaitu titik B. Jadi nilai maksimum f = 4. + 3 .. = .. untuk x = dan y = Masalah 2

Suatu toko kue meproduksi dua macam donat yaitu donat coklat dan donat keju. Masing-masing donat dibuat dengan tiga komposisi utama dengan ukuran dalam kilogram yang tertera pada tabel berikutBahanJenisPersediaan

Donat CokelatDonat Keju

Terigu 2112

Mentega 5874

Gula1624

Bila harga donat cokelat Rp 2000,00 dan donat keju Rp 3000,00 per buah, berapa buah donat cokelat dan donat keju yang harus dijual untuk memaksimalkan keuntungan. Gambarkan grafik himpunan penyelesaiannyaPenyelesaian: Susunlah data tersebut ke dalam tabelBahanJenisPersediaan

Donat CokelatDonat Keju

Terigu 212

Mentega ..874

Gula124

Harga..

Misal banyaknya donat cokelat adalah x buah dan banyaknya donat keju adalah y buah.Model matematikanya adalah: Fungsi tujuan f = 2000 x + .y Kendalaa) 2x + .y 12 b) .x + 8y 74c) x + . y 24 d) x 0e) y 0 Garis 2x + .. y =12 pada kendala (1) memotong sumbu x di (,0) dan sumbu y di (0, )Garis x + 8y =74 pada kendala (2) memotong sumbu x di (.,0) dan sumbu y di (0, .) Garis x + .y =24 pada kendala (3) memotong sumbu x di (,0) dan sumbu y di (0, )Untuk k = 0 didapat garis senilai 2000x + 3000y = 0, Untuk k = didapat garis senilai 200x + 300y =100,Ternyata garis selidik makin menjauhi (0,0) jika nilai f makin besar.Gambarlah pada diagram cartesius di bawah ini, kendala-kendala di atas maka akan diperoleh daerah layak OABC dengan O(0,0), A(., 0), B(.,), C(.,..) dan D(0,..).

Gambar garis selidik 200x + 300y = 0, gradien dan melalui (0,0) kemudian gerakkan ke atas/ke kanan dengan bantuan dua penggaris siku-siku maka nilai f makin besar, jika digerakkan ke kiri nilai f makin kecil dan nilai f paling kecil saat garis selidik menyinggung daerah himpunan penyelesaian yang paling luar, yaitu; Nilai f di O adalah f = .. Nilai f di A adalah f = . Nilai f di B adalah f = .. Nilai f di C adalah f = Nilai f di D adalah f = . Jadi pendapatan maksimum Rp . jika donat cokelat . buah dan donat keju ... buah.RangkumanUntuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari daerah layak yang sudah digambar, gambarlah garis selidik yang melalui titik sudut daerah layak. Substitusikan koordinat titik sudut terjauh dari (0,0) untuk soal maksimum atau titik terdekat untuk soal minimum. Nilai yang didapat merupakan penyelesaian dari fungsi tujuan

Latihan 51. Carilah x dan y yang meminimumkan f = 12x + 5y, dengan kendala: a) 2x 3y 6 b) 4x + y 4 c) x 0 d) y 0 2. Carilah x dan y yang memaksimumkan f = 4x + 3y, dengan kendala: a) x + y 0 b) x + y 7 c) 6x + y 12 d) x 0 e) y 0 3. Carilah x dan y yang meminumkan f = 12x + 5y, dengan kendala a) 4x + y 2 b) x - y 3 c) 3x - 4y 5 d) x 0 e) y 04. Suatu pabrik farmasi menhasilkan dua macam obat batuk tablet yang diberi nama OBH dan Siladex. Masing-masing tablet mengandung tiga unsur utama dengan kadar kandungan untuk OBH per tablet mengandung unsur paracetamol 5 mg, Ephedrine HCL 1 mg, ammonium chloride 3 mg dan untuk Siladex per tablet mengandung unsur paracetamol 8 mg, Ephedrine HCL 2 mg, ammonium chloride 6 mg. Menurut dokter orang yang batuk flu dapat sembuh dalam waktu tiga hari paling sedikit menelan 15 grain paracetamol, 12 grain Ephedrine HCL dan 24 grain ammonium Chloride. Bila harga OBH Rp.200,00 dan Siladex Rp.100,00. Berapa tablet OBH dan Siladex yang harus dibeli supaya cukup untuk menyembuhkan dengan biaya minimum.5. Seorang kontraktor membangun 2 jenis rumah, yaitu tipe 36 dan tipe 45. Biaya untuk membangun sebuah rumah tipe 36 adalah 40 juta rupiah dan untuk sebuah rumah tipe 45 adalah 70 juta rupiah. Satu rumah tipe 36 memerlukan waktu 8 minggu per rumahnya karena tenaga kerjanya sedikit, sedangkan untuk tipe 45 memerlukan waktu 3 minggu per rumahnya. Jika modal kontraktor tersebut 410 juta dan waktu yang tersedia 490 minggu maka jumlah rumah maksimum yang dapat dibangun adalah?

BAHAN AJAR DAN LEMBAR KEGIATAN SISWA VI

Materi : Metode grafik untuk menentukan titik optimum

Satuan Pendidikan: SMAMata Pelajaran: MatematikaKelas/ Semester : XI / IAlokasi Waktu : 2 X 45 menit (1 X pertemuan)Pada materi-4 Bahan Ajar ini Anda akan mempelajari materi program linier yaitu metode grafik dengan menggunakan fungsi objektif, menentukan nilai optimum menggunakan metode grafik.Uraian MateriLangkah-langkah untuk menentukan titik optimum dari masalah program linier dengan metode grafik:1. Menentukan fungsi obyektif dan menyatakannya ke dalam model matematika berupa satu persamaan dengan bentuk umum : z = ax + by, dengan a,b R serta a 0 dan b 0.2. Mengidentifikasinkendala serta menyatakannya ke dalam model matematika.3. Menggambar semua garis pada fungsi kendala dalam satu koordinat kartesius.4. Menentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi semua pertidaksamaan linier, kemudian di arsir.5. Menentukan koordinat (x,y) dari semua titik pojok dari daerah yang diarsir.6. Mensubsitusi x dan y dari setipa titik pojok pada langkah 5 ke dalam fungsi obyektif z = ax + by untuk menentukan nilai z optimum (maksimum/minimum)Masalah 1

Seorang petani sedang membeli pupuk NPK yang mengandung tiga unsur utama Nitrogen (N), Fosfat (P205) dan Kalium (K20). Kebutuhan minimum yang dibutuhkan pak Tani adalah 160 satuan Nitrogen, 200 satuan Fosfat, dan 80 satuan Kalium. Petani menggunakan dua merek pupuk. Merek Kuda Laut harga Rp. 4000,00 per kantong mengandung 3 satuan N, 5 satuan P205, dan 1 satuan K20. Merek Berlian, ia beli dengan harga Rp.3000,00 per kantong, mengandung 2 satuan untuk ketiga unsur utama dari NPK. Jika pak Tani ingin meminimalkan biaya dengan kebutuhan unsur utama tetap terjaga, berapa banyak kantong dari setiap merek yang harus dibeli?Penyelesaian:1. Susunlah informasi dari masalah di atas dalam tabel Kandungan Unsur Utama Pupuk NPK:Jenis pupukUnsur Utama NPKHarga

Nitrogen (N)Fosfat (P205)Kalium (K20)

Kuda Laut.........

Berlian......

Kebutuhan Minimum....

2. Tentukan Fungsi Obyektif z = ax + byMisalkan, x = merek Kuda Laut dengan harga Rp. 4000,00 dan y = merek Berlian dengan harga Rp. 3000,00. Maka untuk meminimalkan biaya fungsi obyektifnya:..3. Fungsi Kendala:a. b. ...c. ...d. ...e. ..4. Gambarkan setiap garis pada fungsi kendala dalam satu koordinat kartesius

Arsir daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier pada langkah di atas.5. Tentukan semua koordinat titik pojokDaerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir dengan titik-titik pojok A(0,..), B(,..), C(..,..), D(..,0). Titik B adalah titik potong dari fungsi kendala . Dan

Dengan demikian;

Jadi B (.,..)

Titik C adalah titik potong dari fungsi kendala . Dan Dengan demikian;

Jadi B (.,..)

6. Mensubsitusikan titik pojok pada fungsi obyektif z = ax + byTitik PojokBiaya Pembelian Pupuk z = ax +by

A (0,.)B(.,)C(.,)D(..,0)Z =Z =Z =Z =

Dari tabel di atas tampak bahwa titik minimum adalah C (..,..) dengan biaya pembelian pupuk minimum adalah Rp. ..Jadi untuk meminimalkan pembelian pupuk maka petani seharusnya membeli ..Masalah 2

Suatu toko kue meproduksi dua macam donat yaitu donat coklat dan donat keju. Masing-masing donat dibuat dengan tiga komposisi utama dengan ukuran dalam kilogram yang tertera pada tabel berikutBahanJenisPersediaan

Donat CokelatDonat Keju

Terigu 2112

Mentega 5874

Gula1624

Bila harga donat cokelat Rp 2000,00 dan donat keju Rp 3000,00 per buah, berapa buah donat cokelat dan donat keju yang harus dijual untuk memaksimalkan keuntungan.Penyelesaian:1. Tentukan Fungsi Obyektif z = ax + byMisalkan, x = donat cokelat dengan harga Rp. 2000,00 dan y = donat keju dengan harga Rp. 3000,00. Maka untuk memaksimumkan biaya fungsi obyektifnya:..2. Fungsi Kendala:a. b. ...c. ...d. ...e. ..3. Gambarkan setiap garis pada fungsi kendala dalam satu koordinat kartesius

Arsir daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier pada langkah di atas.4. Tentukan semua koordinat titik pojokDaerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir dengan titik-titik pojok A(0,..), B(,..), C(..,..), D(..,0). Titik B adalah titik potong dari fungsi kendala . Dan Dengan demikian;

Jadi B (.,..)

5. Titik C adalah titik potong dari fungsi kendala . Dan Dengan demikian;

Jadi B (.,..)

6. Mensubsitusikan titik pojok pada fungsi obyektif z = ax + byTitik PojokBiaya Pembelian Pupuk z = ax +by

A (0,.)B(.,)C(.,)D(..,0)Z =Z =Z =Z =

Dari tabel di atas tampak bahwa titik maksimum adalah (..,..) dengan biaya penjualan donat adalah Rp. ..Jadi untuk memaksimumkan keuntungan donat cokelat dan donat keju toko kue tersebut seharusnya menjual..Rangkuman:Sistem pertidaksamaan (1) ax + by c, a, b, c konstanta (2) px + qy r; p, q, r konstanta (3) x 0 (4) y 0 Dengan bantuan gambar garis ax + by = c dan px + qy = r dan arsiran daerah penyelesaian dapat ditemukan beberapa penyelesaian yang ditunjuk oleh titik sudut pada daerah memenuhi, kemudian disubsitusi ke fungsi obyektif z = ax + by

Latihan 61. Sebuah pabrik roti mempunyai bahan A, B dan C dengan banyak yang tersedia berturut-turut 300 unit, 180 unit, dan 300 unit. Dengan bahan yang tersedia, pabrik roti tersebut membuat dua macam roti sesuai dengan pesanan langganan. Alumni Tata Boga menetapkan keperluan bahanJenis RotiBahan ABahan BBahan C

I224

II1042

Harga roti I sebesar Rp. 350,00 dan ke II Rp. 800,00. Berapa banyak tiap macam harus dibuat untuk memperoleh hasil penjualan terbanyak? Berapa rupiah jumlah terbesar yang diperoleh pabrik roti tersebut.2. Pemilik suatu perusahaan mempunyai bahan mentah I, II dan III, masing2 tersedia 100 satuan, 160 satuan dan 280 satuan. Dari ke tiga bahan mentah itu akan dibuat 2 macam barang produksi yaitu barang A dan B. Satu satuan barang A memerlukan bahan mentah I, II, dan III masing2 sebesar 2, 2 dan 6 satuan . Satu satuan barang B memerlukan bahan mentah I, II, dan III masing2 sebesar 2,4 dan 4 satuan. Jika barang A dan B dijual dan masing2 laku Rp 8.000 dan Rp 6.000 per satuan, berapa besar jumlah produksi barang A dan B agar jumlah bahan mentah yg digunakan tdk melebihi persedian yg ada. 3. Seorang ahli gizi menyarankan orang yang kekurangan zat besi dan vitamin B untuk mengkonsumsi paling sedikit 2.400 mg besi, 2100 mg vitamin B1 dan 1500 mg vitamin B2. Untuk itu 2 tablet vitamin dipilih, yaitu merk A dan B. setiap tablet merk A hanya mengandung 40 mg zat besi, 10 mg vitamin B1, dan 5 mg vitamin B2 dengan harga Rp. 1.500,00. Setiap tablet merk B mengandung 10 mg zat besi, 15 mg vitamin B1 dan vitamin B2 dengan harga Rp. 1.700,00. Berapa banyak vitamin A dan B yang harus dibeli agar kebutuhan minimal zat besi dan vitamin B terpenuhi dengan biaya murah.

1