BAB 3 Program Linear

3.1 Latar Belakang Sejarah Pemograman linear yang disingkat dengan program linear (linear programming) pada awalnya merupakan studi yang berkaitan dengan analisis suatu metode masukkan dan keluaran (metode output-input) yang dikembangkan oleh seorang ahli ekonomi W.W Leontief. Pada tahun 1941, Hilchock pertama kali mengkaji masalah problem trasportasi dan masalah yang sama juga di kaji oleh Koopmans pada tahun 1947. Pada tahun1945, Stigler mengkaji masalah problem diet bagi penderita penyakit tertentu untuk memperoleh kombinasi beberapa jenis makanan utama. Dan makanan tambahan (suplemen) sehingga diperoleh gizi terbaik (merupakan solusi optiimum) yag cocok bagi penderita penyakit tersebut. Kemudian baru tahun 1948 ditemukan langkah-langkah matematika (algoritma) yang dapat digunakan untuk menentukan solusi OpTimum tadi. Langkah

langkah matematika tadi dikenal sebagai metode Simpleks (sebuah metode dalam program linear) dan metode ini pertama kali diperkenalkan oleh G.B Dan Tzig. Selanjutnya metode simpleks diapliksikan dan disempurnakan oleh Angkatan Udara Amerika Serikat (US Air Foce) untuk menyelesaikan perhitungan perhitungan yang berkaitan dengan problem transportasi udara. Perkembangan teknologi informasi dewasa ini memancing minat bagi

pembuat program lunak computer (sofware) untuk membuat teknik perhitungan program linear sebagai salah satu bagian yang termuat dalam perangkat lunaknya. Beberapa program perangkat lunak komputer yang telah memuat teknik perhitungan program linear diantaranya adalah : EUREKA THE SOLVER dan MATCHAD.

3.2 Pengertian Program Linear. Secara formal, program linear didefinisikan sebagai salah satu cabang matematika terapan yang banyak dipakai pada masalah-masalah yang bersifat mengoptimalkan suatu kegiatan, terutama dalam bidang ekonomi. Lebih sederhana lagi , program linear diartikan sebagai suatu program yang didalamnya mengandung variabel-variabel yang berderajat satu (linear). Dengan program linear kita dapat merencanakan suatu kegiatan dengan arah yang jelas, baik waktu alokasi dana infrasktuktur yang dibutuhkan guna mendapatkan hasil optimum yng sesuai dengan yang diharapkan dengan resiko yang ditekan seminim mungkin di tunjang dengan syarat-syarat atau balasanbalasan yang disebut kendala atau konstrain yang jelas. Pada masalah yang berkaitan dengan program linear pada hakikatnya adalah tujuan meengoptimalkan suatu fungsi linear yang disebut tujuan atau fungsi sasaran atau fungsi objektif. Pengoptimuman itu dapat berupa memaksimumkan atau meminimumkan.

3.3. Sistem Pertidaksamaan Linear 3.3.1. Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat salah satu dari tanda-tanda ketidaksamaan seperti: lebih dari (>), kurang dari sama dengan ( ), kurang dari ( r px + qy < r px + qy > r Dari hubungan-hubungan diatas dapat diamati 2 hal yaitu: Hubungan itu memuat salah satu lambang ketidaksamaan => disebut pertidaksamaan. Hubungan itu memuat dua variabel (variabel x dan y) dan masingmasing variabel berpangkal satu (linear) => disebut linear dengan dua variabel. Dari pengamatan tersebut, maka bentuk-bentuk hubungan di atas dinamakan sebagai pertidaksamaan linear dengan dua variabel. Dengan demikian, pertidaksamaan linear dengan dua variabel dapat didefinisikan sebagai berikut yakni suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua

variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu.

3.3.2. Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabel Seperti halnya dalam pertidaksamaan pada umumnya,

pertidaksamaan linear dengan dua variabel biasanya ditampilkan dalam bentuk grafik yang digambarkan pada sebuah bidang carlesius. Daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua, variabel ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1 Gambarlah garis ax + by c pada bidang Cartesius. Garis itu akan membelah bidang cartesius menjadi dua belahan bidang. Langkah 2 Ambilah sembarang titik P (x1, y1) yang terletak di luar garis ax + by c, kemudian hitunglah nilai ax1 + by1. Nilai ax1 + by1 ini dibandingkan dengan nilai c. a) Jika ax1 + by1 < c maka belahan bidang yang memuat P (x1, y1) merupakan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan ax +b y < c. b) Jika ax1 + by1 < c maka belahan bidang yang memuat P (x1, y1) merupakan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan ax + by c. dapat

Langkah 3 Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian kita raster (arsir), sedangkan daerah yang bukan merupakan penyelesaian kita biarkan tetap bersih atau dapat juga dengan ketentuan sebaliknya, yakni daerah yang merupakan himpunan penyelesaian kita biarkan bersih sedangkan yang bukan merupakan daerah penyelesaian kita beri raster. Pada gambar 3.1. di bawah ini dapat kita perhatikan bagaimana cara menandai dengan raster pada daerah penyelesaian pertidaksamaan ax + by c.y (0, c ) 6 Daerah himpunan penyelesaian ax+by=c

0

(c , 0) a

x

gambar 3.1. Contoh soal: Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dengan dua variabel berikut ini: a) -2x y > 2 b) 4x 3y < 12

Penyelesaian: a) Langkah 1 Gambarlah garis -2x - y = 2 Untuk x = 0 diperoleh y = -2 => Titik potong sumbu Y (0, -2) Untuk y = 0 diperoleh x = -1 => Titik potong sumbu X (-1, 0)

Garis -2x - y = -2 digambar pada bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik (0, -2) dan titik (-1, 0).

Langkah 2 Ambil titik uji P (0,0) diperoleh hubungan -2 (0) 0 = 0 < 2 Ini berarti titik P (0,0) tidak terletak pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x y > 2. Jadi, daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x y > 2 adalah bagian belahan bidang yang tidak memuat titik P (0,0). Langkah 3 Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan -2x y > 2 ditandai dengan raster sebagaimana diperlihatkan pada gambar 3.2.a b) Langkah 1 Gambarlah garis 4x 3y = 12 Untuk x = 0 diperoleh y = -4 => Titik potong sumbu Y (0, -4)

y

y

( - 1 0

,

0

) - 2 ( 0 x - y , - 2 ) = 2x 0 4

( 3 x x

,

0 ) = 1 2

- 3 y

( a ) -> 2 x - y 2

( 0 , Untuk y = 0 diperoleh x -=4 3 )=> Titik potong sumbu X (3, 0)

Garis 4x 3y= 12 digambarkan pada bidang Cartesius dengan cara( b ) 4< x - 3 y 1 2

menghubungkan titik (0, -4) dan titik (3,0). Langkah 2 Ambil titik uji P (0,0) sehingga diperoleh hubungan 4 (0) 3 (0) = 0 < 12 Daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4x 3y < 12 adalah belahan bidang yang memuat titip P (0,0). Langkah 3 Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 4x 3y < 12 ditandai dengan raster sebagaimana pada gambar 3.2.6. Gambar :

3.3.3. Sistem Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah sistem yang komponen-komponennya terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear

dua variabel dengan variabel-variabel yang sama. Sebagai contoh. a) 3x 2y < 8 dan x + y > 4 membentuk system pertidaksamaan linear dengan dua variabel. b) 2p + 3q < 6 dan 3x 4y > 12 bukan merupakan sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel sebab pertidaksamaan pertama mempunyai variabel yang berbeda dengan pertidaksamaan yang kedua. Daerah himpunan penyelesaian himpunan system pertidaksamaan linear dua peubah ditentukan dari irisan dari tiap daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dari sistem

pertidaksamaan linear dua variabel itu. Contoh soal: Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan. y 2x < 5 1 + 2x < y xyr Penyelesaian : Untuk mendapat daerah penyelesaian system pertidaksamaan diatas, perhatikan langkah-langkah sebagai berikut: a) Gambarlah garis y 2x = 5 dan rasterlah daerah y 2x < 5

b) Gambarlah garis 1 + 2x = y dan rasterlah daerah 1 + 2x = y Gambar :y-2x=5

y

1+2x=y

(3, 0)-5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

x

4x-3y=12

y - 2x = 5 x y (x,y) 1 + 2x = y x y (x,y) 0 1(0,1

0 5(0,5)

-5/2 0(-5/2,0)

-1/2 0(-1/2,0)

Jadi daerah yang memiliki irisan itu merupakan penyelesaian dari sIstem pertidaksamaan linear dua variabel

y 2x < 5 1 + 2 x y x, y R

Namun kadang-kadang daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear dua variabel diketahui dan akan ditentukan sistem pertidaksamaan tersebut. Langkah-langkah menentukan system pertidaksamaan linear jika daerah himpunan penyelesaiannya diketahui adalah sebagai berikut: 1) a. Jika melalui sumbu-sumbu koordinal (0, a) dab (b,0) maka gunakan rumus ax + by = ab. b. Jika melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) maka gunakan rumus Y Y1 X X1 Y2 Y1 = X 2 X 1 c. Jika melalui titik (x,y) dengan

gradient m maka gunakan rumus y-y1 = m (x-x1) 2) Gunakan titik uji untuk menentukan tanda

pertidaksamaan. Contoh soal: Tentukan sistem pertidaksamaan dari gambar disamping:

Penyelesaian: a) Daerah yang diarsir dibatasi oleh i) L1 melalui titik (0,4) dan (8,4) maka persamaannya adalah y = 4, daerah teraster dibawah garis y = 4, memenuhi y < 4 atau y -4 < 0. ii) L2 melalui titik (3,0) dan (0,4) maka persamaannya adalah 4x + 3y = 12, daerah teraster sebelah kanan garis 4x + 3y = 12 memenuhi 4x + 3y > 12 atau 4x + 3y -12 > 0. iii) L3 melalui titik (0,0) dan (8,4) maka persamaannya adalah x-2y = 0, daerah teraster diatas garis x - 2y memenuhi x - 2y < 0.

Jadi daerah diraster tersebut merupakan himpunan penyelesaian system pertidaksamaan y 4 0 4 x + 3 y 12 0 x 2 y 0

b) Daerah yang diarsir dibatasi oleh i) ii) iii) Sumbu x, maka pertidaksamaannya y > 0 Sumbu y maka pertidaksamaannya x > 0 L1 melalui titik (5,0) dan (0, 6) maka persamaannya 6x + 5y = 30, karena daerah yang teraster ada dibawah garis 6x + 5y =3 0 memenuhi 6x + 5y 30 atau 6x + 5y - 30 0 iv) L2 melalui titik (8,0) dan (0, 3) maka persamaannya adalah 3x + 8y = 24, daerah teraster dibawah garis 3x + 8y = 24 memenuhi 3x + 8y 24 atau 3x+8y-24 0 Jadi daerah teraster tersebut merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan. x, y 0 6 x + 5 y 30 3 x + 8 y 24

3.4. Merancang Model Matematika Dalam kehidupan keseharian matematika mempunyai kaitan yang erat dengan persoalan real yang kita hadapi. Persoalan-persoalan seperti itu diantaranya dapat diselesaikan dengan menggunakan program linear. Penyelesaian dari system pertidaksamaan linear itu dapat disajikan dalam himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian tersebut, terdapat satu penyelesaian terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Jadi pada hakikatnya tujuan dari program linear adalah mencari penyelesaian optimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu fungsi obyektif. Hal ini akan kita bahas lebih mendalam pada sub bab pembahasan selanjutnya. Untuk dapat merancang suatu model matematika diperlukan langkahlangkah sebagai berikut: 1) Tetapkan besaran masalah yang ada dalam soal sebagai variable (dinyatakan dalam x dan y). 2) Rumuskan hubungan atau ekspresi matematika yang sesuai dengan ketentuan yang ada pada soal ke dalam bahasa matematika. Hal inilah yang disebut model matematika. Jadi model matematika dapat didefinisikan sebagai suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan dan fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran suatu masalah program linear ke dalam bahasa sehari-hari. Model matematika yang baik memuat bagian-bagian yang diperlukan. Hal ini dapat kita perhatikan pada contoh soal berikut:

Contoh soal: i) Luas suatu lahan parkir adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing-masing adalah 8m2 dan 24m2. Lahan parker tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut. Penyelesaian: Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y Jumlah Luas lahan Daya tampung Mobil (x) 8 1 Bus (y) 24 1 Persediaan 400 20

Dari tabel di atas diperoleh: Luas lahan adalah (luas lahan mobil dan bus tidak boleh melebihi luas lahan parkir). 8x + 24y < 400 x + 3y < 50 Daya tampung adalah (daya tampung mobil dan bus tidak boleh melebihi daya tampung total kendaraan). x + y < 20 Karena x dan y menunjukkan banyaknya mobil dan bus, maka x dan y harus berupa bilangan cacah. Jadi model matematika dari masalah tersebut adalah:

x + 3 y 50 x + y 20 x, y 0 x, y C ii) Sebuah pabrik obat berencana membuat 2 buah jenis obat suplemen, yaitu obat I dan obat II. Persediaan vitamin A, vitamin B dan vitamin C pabrik tersebut masing-masing 10 gram, 5 gram dan 15 gram. Jika obat jenis I memerlukan 75 mg vitamin A, 150 mg vitamin B dan 200 mg vitamin C, sedangkan obat jenis II memerlukan vitamin A, B dan C masing-masing 100 mg, 125 mg dan 225 mgmaka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut. Penyelesaian: Misalkan obat I sebagai x dan obat II sebagai y. Jumlah Vit. A Vit. B Vit. C Obat I (x) 75 mg 150 mg 200 mg Obat II (y) 100 mg 125 mg 225 mg Persediaan 10000 mg 5000 mg 15000 mg

Dari data diatas diperoleh : Vitamin A yang dibutuhkan adalah 75x + 100y < 10000 Vitamin B yang dibutuhkan adalah 150x + 125y < 5000 Vitamin C yang dibutuhkan adalah 200x + 225y < 15000 Karena x dan y menunjukkan banyaknya jumlah vitamin yang

diperlukan maka x dan y harus berupa bilangan cacah. Jadi model matematika dari masalah tersebut adalah: 75 x + 100 y 10000 150 x + 125 y 5000 200 x + 225 y 15000 x, y 0 x, y C

3.5 Nilai Optimum Suatu Fungsi Obyektif Pada pokok bahasan sebelumnya telah disinggung sedikit mengenai nilai optimum dari suatu fungsi obyektif dimana nilai optimum tersebut dapat berupa nilai maksimum atau dapat pula sebagai nilai minimum. Cara menentukan penyelesaian nilai optimum dari suatu fungsi obyektif akan dibahas secara rinci pada pokok bahasan ini.

3.5.1 Fungsi Obyektif ax + by Tujuan akhir pembuatan model matematika yang berbentuk program linear dinyatakan dalam bentuk fungsi linear dua variable. Bagian ini merupakan tujuan yang akan dioptimumkan (dimaksimalkan atau

diminimumkan). Oleh karena itu fungsi linear ini disebut juga tujuan atau fungsi sasaran atau fungsi obyektif. Jika variabel-variabel yang terlibat

dalam fungsi ini adalah x dan y maka fungsi obyektif tadi dilambangkan f(x,y). Dapat pula dilambangkan dengan variabel z. Maka secara umum fungsi obyektif mempunyai bentuk f(x,y) = ax + by atau z = ax + by dengan a dan b C tidak sama dengan nol. Perhatikan contoh berikut: a. Fungsi obyektif memaksimumkan z = x + y 2 x + y 30 2 x + 3 y 50 x, y 0 Kendala : x, y C b. Fungsi obyektif meminimumkan 25x + 10 y x + y 300 4 x + 3 y 1120 x, y 0 x, y C

Kendala :

Dari model diatas pada contoh a, pertidaksamaan 1,2,3,30 dan 50 serta pada contoh b yakni pertidaksamaan 1,3,4, 300 dan 1120 disebut pembatas atau kendala atau constraint. Sedangkan bentuk (x + y) pada contoh a dari (25x + 10y) yang akan dimaksimumkan dan bentuk (25x + 10y) pada contoh b yang akan diminimumkan disebut bentuk obyektif.

3.5.2 Menentukan Nilai Optimum Fungsi Obyektif Telah disinggung dalam pembahasan sebelumnya bahwa tujuan

utama dari program linear adalah menentukan nilai optimum dari suatu fungsi obyektif. Untuk mencari nilai optimum dari fungsi obyektif z = ax + by dapat ditentukan dengan dua metode, yaitu: a) Metode simpleks Perhitungan nilai optimum fungsi obyektif berdasarkan metode ini cukup rumit, Metode ini biasanya digunakan untuk memecahkan masalah program linear yang melibatkan lebih dari dua variabel. Sehingga metode ini belum diperkenalkan di jenjang SMA. Oleh karena metode ini tidak akan dibahas disini namun hanya sekedar untuk pengenalan. b) Metode Grafik Dalam penyelesaian masalah program linear yang sederhana yakni yang model matematikanya berbentuk system pertidaksamaan linear 2 variabel dan gungsi linear 2 variabel lebih cocok menggunakan metode ini. Metode grafik sendiri masih dibagi menjadi dua, yaitu: i) ii) Metode uji titik pojok, dan Metode garis selidik Pada dasarnya metode apapun yang dipakai adalah perhitungan coba-coba (trial and error). Sebab untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi obyektif z = ax + by kita harus menghitung

nilai fungsi obyektif z untuk beberapa nilai x dan y yang berada ada daerah himpunan penyelesaian. Terlebih lagi dalam pemecahan masalah program linear yang lebih rumit. Kita harus melakukan beberapa kali penghitungan yang memakan waktu cukup lama.

3.5.2.1 Menentukan Nilai Optimum Fungsi Obyektif dengan Metode Uji Titik Sudut. Metode uji titik sudut adalah suatu metode untuk menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif z = ax + by z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan. Nilai-nilai z = ax + by ini kita bandingkan, kemudian kita tetapkan: 1) Nilai terbesarnya sebagai nilai maksimum dari bentuk z = ax + by 2) Nilai terkecilnya sebagai nilai minimum dari bentuk z = ax + by

Contoh soal: 1.Diketahui suatu model matematika sebagai berikut: Fungsi obyektif memaksimumkan z = 5 x + 3 y

2 x + y 4 3 x + 2 9 x, y 0 Kendala: x, y C Tentukan nilai minimum dari model tersebut! Penyelesaian: Dari kendala yang ada yaitu 2x + y > 4 dan 3x + 2y < 9, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat Cartesius. 2x + y = 4 x y (x,y) x y (x,y) 0 4 (0,4) 0 4,5 (0,4,5) 0 4 (2,0) (3,0)

Dari kedua tabel di atas, diperoleh titik potong dengan sumbu-sumbu koordinal. Kemudian kita lukis pada bidang cartesius lalu kita hubungkan titititik potong tersebut dengan garis lurus. Lalu kita arsir daerah penyelesaiannya seperti gambar 3.5 berikut:

Dari gambar di atas didapat daerah penyelesaiannya berupa segitiga ABC. Dengan demikian diperoleh titik sudut dari daerah penyelesaian adalah A (2,0), B (-1,6) dan C (3,0). Selanjutnya akan diselidiki nilai z = 5x + 3y untuk masing-masing titik sudut tersebut agar didapati nilai maksimumnya. Titik x y z = 5x + 3y A (2,0) 2 0 10 B (-1,6) -1 6 13 z = min Dari tabel di atas diperoleh bahwa nilai maksimum dari z = 5x + 3y adalah 15 untuk x = 3 dan y = 0 C (3,0) 3 0 15

2. Diketahui suatu model matematika sebagai berikut: Fungsi obyektif meminimumkan z = 5x + 10y x + 2 y 8 0 < x 2 1 < y 4

Kendala :

Tentukan nilai minimum dari model matematika tersebut! Penyelesaian: Dari kendala x + 2y < 8 kita mencari titik potong garis tersebut dengan sumbu koordinat cartesius. x + 2y = 8

x y (x,y)

0 4 (0,4)

8 0 (8,0)

Dari tabel di atas diperoleh titik potong sumbu koordinat. Kemudian lukis pada bidang koordinat lalu hubungkan kedua titik tersebut. Setelah itu kita arsir daerah penyelesaiannya seperti tampak pada gambar 3.6.

Dari gambar di atas diperoleh daerah penyelesaian berupa trapezium ABCD. Dengan demikian diperoleh titik sudut A (0,1), B (0,4), C (2,3) dan D (2,1). Selanjutnya akan diselidiki nilai z = 5x + 10y untuk masing-masing titik sudut tersebut agar diperoleh nilai minimumnya. Titik X Y Z = 5x + 10y A (0,1) 0 1 10 z=min Dari table di atas diperoleh bahwa nilai minimum dari z = 5x + 10y adalah 10 untuk x = 0 dan y = 1 B (0,4) 0 4 40 C (2,3) 2 3 40 D (2,1) 2 1 20

3.5.2.2 Menentukan Nilai Optimum Fungsi Obyektif dengan Metode Garis Selidik ax + by = k.

Dalam menentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi obyektif z = ax + by sebenarnya dapat digunakan cara lain yang lebih sederhana yakni dengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut. 1) Gambar garis ax + by = ab yang memotong x di titik (6,0) dan memotong sumbu y di titik (0,0) 2) Tarik garis yang sejajar dengan ax+by=ab yang melalui titik-titik perpotongan pada batas-batas daerah himpunan penyelesaian. Untuk dapat mengetahui nilai maksimum atau minimumnya terlebih dahulu dipahami sifat-sifat dari garis selidik ax + by = k, yaitu: 1) Jika k=0, maka garis ax + by = k melalui titik asal O (0,0) 2) Jika nilai k semakin besar maka garis-garis ax+by=k semakin menjauhi titik asal O (0,0). Sifat ini juga berlaku sebaliknya, yakni jika garis-garis ax+by=k menjauhi titik pangkal, maka nilai k semakin besar akibatnya nilai ax+by=k juga semakin besar.

Contoh soal: Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi obyektif z = 2x + 3y yang memenuhi x + y < 7, x,y > 0, x,y R

Penyelesaian Daerah penyelesaian system pertidaksamaan tersebut adalah seperti gambar berikut:

Untuk menggunakan metode garis selidik ax + by = k, langkah-langkahnya adalah: a) Gambar garis 2x + 3y = . Anggap sebagai garis k0 b) Tarik garis k1 yang sejajar garis k0 melewati titik A (7,0). Tarik garis K2 yang sejajar k1 dan melalui titik B (0,7). Kemudian tarik garis k3 yang sejajar k2 dan melalui titik (0,0)

3.7 Penerapan Program Linear Beberapa masalah pengoptimuman yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan pogram linear, dengan kendala-kendala atau batasan-batasan yang haus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidaksamaan linear. Untuk

menejemahkannya digunakan model matematika, yaitu uaian secara matematika ( seing kali menggunakan fungsi atau persamaan ) dari fenomena dunia nyata. Langkah-langkah menuliskan pesoalan sehari-hari kedalam model matematika adalah sebagai berikut :

1. Buatlah sebuah permisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variable x dan y. 2. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada kedalam sebuah tabel. 3. Buatlah sistem petidaksamaan linea dai hal-hal yang sudah diketahui. 4. Tentukan fungsi objektif. 5. Selesaikan model matematika tesebut untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objektif.

Contoh Soal : 1. Roti jenis A memerlukan tepung sebanyak 75 gram dan mentega 75 gram, roti jenis B memerlukan tepung 150 gram dan mentega 50 gram. Akan dibuat roti sedemikian sehingga didapat jumlah kedua roti sebanyakbanyaknya. Tepung yang tersedia 2,25 kg dan mentega 1,75 kg. berapa banyak kentungan maksimum yang

akan diperoleh apabila setiap roti jenis A memperoleh keuntungan Rp 100/ biji dan roti B dengan

keuntungan Rp 125/ biji ? Pembahasan : Dimisalkan roti jenis A=x, roti jenis B =y.Tepung Mentega Roti A ( x ) 75 75 Roti B ( y ) 150 50 2250 1750

Dengan f (x,y) = 100x + 125y, dari tabel di atas diketahui kendalanya adalah : 75x + 150y 2250 x + 2y 30 75x + 50y 1750 x, y 0 koordinat titik potong : x + 2y 30x y (x,y) 0 15 (0,15) 30 0 (30,0)

3x + 2y 70

3x + 2y 70x y (x,y) 0 35 (0,35) 23 0 (23.0)

Daerah penyelesaian dari kendala di atas ditunjukkan oleh gambar 3.8 berikut:

Titik pojok (x,y) = (20,5) didapat dengan cara seperti dibawah ini : o Mencari titik x x + 2y = 30 3x + 2y = 70 _ -2x = -40 x = 20 o Mencari titik y x + 2y = 30 20 + 2y = 30 2y = 30 y = 15 titik pojok (x.y) adalah (20,15) f (x,y) = 100x + 125y f (0,15) = 100 (0) + 125 (15) = 1875 f (20,5) = 100 (20) + 125 (5) = 2625 nilai maksimum f (23 1/3,0) = 100 (23 1/3) + 125 (0) =2333 1/3 dari hasil di atas telihat bahwa keuntungan maksimum yang didapat adalah Rp

2.625,00 dengan memproduksi roti jenis A sebanyak 20 buah dan roti jenis B sebanyak 5 buah. 2. Seorang penjahit mempunyai

persediaan 16m kain sutea, 15m kain katun, dan 11m kain wool yang akan dibuat dua model pakaian dengan peincian sebagai berikut : Model A membutuhkan 2m sutera, 1m wool, dan 1m katun pe unit Model B membutuhkan 1m sutea, 2m wool, dan 3m katun pe unit Keuntungan pakaian model A sebesar Rp 3.000,00 per unit dan keuntungan pakaian B sebesar Rp 5.000,00 per unit. Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat aga didapat keuntungan yang sebesar-besarnya. Pembahasan : Misalkan model A = x dan model B = ySutera Wool Katun Model A ( x ) 2 1 1 Model B ( y ) 1 2 3 Persediaan 16 11 15

Dengan f (x,y) = 3000x + 5000y, dari tabel di atas diperoleh kendala sebagai berikut : 2 x + y 16 x + 2 y 11 x + 3 y 15 x, y 0

Koordinat titik potong : x y (x,y)

2x + y 160 16 (0,16) 8 0 (8,0)

x y (x,y)

x + 2y 110 5 1/2 (0,5 ) 11 0 (11.0)

x y (x,y)

x + 3y 150 5 (0,5) 15 0 (15,0)

Daerah penyelesaian dai kendala permasalahan tesebut ditunjukkan oleh gambar 3.9 berikut :

Titik pojok (x,y) = (7,2) dan (x,y) = (3,4) diatas didapat dengan menggunakan seperti

dibawah ini : o Mencari x 2x + y = 16 x + 2y = 11 4x + 2y = 32 x + 2y = 11 3x = 21 x= 7 o Mencari y x + 2y = 11 7 + 2y = 11 2y = 4 y=2 dari pesamaan diatas didapatkan nilai (x,y) yaitu (7,2). Lalu berikutnya mencari titik pojok kedua dengan menggunakan cara yang sama. o Mencari x x + 2y = 11 x + 3y = 15 3x + 6y = 33 2x + 6y =30 x=3 x3 x2 x2 x1

o Mencari y x + 3y = 15 3 + 3y = 15 3y = 12 y=4 maka didapat nilai (x,y) adalah (3,4) f (x,y) = 3.000x + 5.000y A (8,0) =3.000 (8) + 5.000 (0) = 24.000 B (7,2) = 3.000 (7) + 5.000 (2) = 31.000 C (3,4) = 3.000 (3) + 5.000 (4) = 29.000 D (0,5) = 3.000 (0) + 5.000 (5) = 25.000 Dari data di atas diketahui bahwa keuntungan maksimunnya sebesar Rp 31.000,00 diperoleh dengan memproduksi 7 unit model pakaian A dan 2 unit model pakaian B keuntungan maksimum

3.8 Soal dan Pengayaan 1. Jika P adalah himpunan titik yang dibatasi oleh garis g = 2x + y = 2, h:y = x + 1, dan sumbu y positif, maka P memenuhi A. x > 0, y > 0, x + 1 < y < -2x + 2 B. x > 0, y > 0, x + 1 < y < -2x + 2 C. x > 0, y > 0, -2x + 2 < y < x + 1 D. x > 0, y > 1, -2x + 2 < y < x + 1

E. x > 0, y > 0, x + 1 < y < -2x + 2

Jawab : B Pembahasan g: 2x + y = 2 x y (x,y) 0 2 x y 1 0 0 4,5 3 0 (3,0) h: y = x + 1

(0,2) (x,y) (1,0) (0,4,5)

Daerah P yang diarsir adalah

x 0 y > 0 x + 1 y 2 x + 2

2. Agar fungsi f(x,y) = ax + 10y dengan kendala 2x + y > 12, x + y > 10, x > 0, y > mencapai minimum hanya di titik (2,8), maka konstanta a memenuhi . A. -20 < a < -10 B. -10 < a < 10 C. 10 < a < 20 D. 10 < a < 20 E. 10 < a < 20 Jawaban : E Pembahasan: Dengan metode uji titik sudut, titik potong garis-garisnya didapat dari fungsi kendalanya, yakni: 2x + y > 12 x y (x,y) GAMBAR 0 2 (0,2) 6 0 (6,0) x y (x,y) x + y > 10 0 10 (0,10) 10 0 (10,0)

f(x,y)

= ax + 10y

A (10,10) = 10a + 1010 (0) = 109 B (2,8) = 2a + 80

C (0,12) = 0 + 120 Agar f(x,y) minimum di B maka 2 a + 8 a < 10 a dan 2 a +80 < 120 80 < 8a 2a < 40 a > 10 a < 20 Jadi 10 < a < 20

3. Nilai maksimum f (x,y) = 2x + 3y untuk x,y di daerah yang diarsir

adalah.

A. 25 B. 15 C. 2 D. 10 E. 5 Jawaban : D Pembahasan : Gambar

Titik pojok (2,2) didapat dengan cara berikut : Dari gambar di atas didapat persamaan sebagai berikut : Melalui titik (0,4) dan (4,0)

4 x + 4 y = 16 x + y = 4 . persamaan (1) Melalui titik pusat (0,0) dan (5,5)

Y2 Y1 m = X 2 X1 50 =50 =1 y-y1 = m ( x - x1 ) y0=1(x0) y=x x - y = 0 .. persamaan (2) persamaan (1) dan (2) dieliminasi seperti berikut : o Mencari x x+ y = 4 x y =0 + 2x = 4 x=2

o Mencari y x+y=4 2+ y=4 y=2 Jadi nilai (x,y) pertidaksamaan di atas adalah (2,2) f (x,y) = 2x + 3y A (0,4) = 0 + 3 (4) = 12 B (2,2) = 2 (2) + 3 (2) = 10 C (5,5) = 2 (5) + 3 (5) =25 nilai minimum

4. Nilai maksimum dari 4y x dengan

syarat y 2x , 3y 2x , 2y + x 20, dan x + y 3 adalah A. 32 B. 28 C. 19 D. 7 E. 4 Jawaban : B Pembahasan : f (x,y) = 4y x

y 2x 3 y 2 x 2 y + x 20 kendala : x + y 3 2y + x 20x y (x,y ) 0 10 (0,10) 20 0 (20,0)

x +y 3x y (x,y) 0 3 (0,3) 3 0 (3,0)

Gambar:

Titik pojok A : o Mencari x

x+ y =3 2x y = 0 + 3x = 3 x =1 o Mencari y x+y=3 1+y=3 y=2 Jadi titik pojok A adalah (1,2) Titik pojok B : o Mencari x x + 2y = 20 x 1 2x y = 0 x + 2y =20 4x 2y = 0 + 5x = 20 x=4 o Mencari y x + 2y = 20 4 + 2y = 20 2y = 16 x2

y=8 Jadi titik pojok B adalah (4,8) Titik pojok C : o Mencari x x + 2y = 20 2x 3y = 0 x 2 3x + 6y = 60 4x 6y = 0 + 7x = 60 60 x= 7 o Mencari y x + 2y = 20 60 7 + 2y = 20 140 60 2y = 7 - 7 80 2y = 7 40 y= 7 60 40 Jadi titik pojok C adalah ( 7 , 7 ) x3

Titik pojok D o Mencari x x+y=3 2x 3y = 0 3x + 3y = 6 2x 3y = 0 + 5x = 6 6 x= 5 o Mencari y x+y=3 6 5 +y=3 15 6 y= 5 - 5 9 y= 5 6 9 Jadi titik pojok D adalah ( 5 , 5 ) f (x,y) = -x + 4y A (1,2) = - (1) + 4 (2) = 7 B (4,8) = - (4) + 4 (8) = 28 nilai maksimum x3 x1

9 6 9 6 C(5,5 )=-(5)+4(5 )=3 60 40 60 40 100 D( 7 , 7 )=-( 7 )+4( 7 )= 7

5. Rokok A yang haga belinya p 1.000,00 dijual dengan haga Rp 1.000,00 pe bungkus, sedangkan rokok B yang haga belinya Rp 1.500,00 dijual dengan harga Rp 1.700,00 per bungkus. Seorang

pedagang okok yang mempunya modal Rp 300.000,00 dan kiosnya dapat menampung paling banyak 250 bungkus keuntungan okok akan mendapat jika ia

maksimum

membeli A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus rokok B C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B D. 250 bungkus rokok A saja E. 200 bungkus rokok B saja

Jawaban : E Pembahasan : Misalkan rokok A = x dan rokok B = y, makaHarga beli Daya tampung Rokok A (x) 1000 1 Rokok B (y) 1500 1 Persediaan 300.000 250

Dari tabel diatas, didapat pertidaksamaan sebagai berikut : 1000x + 1500y 300.000 2x + 3y 600 x + y 250 2x + 3y 600x y (x,y ) 0 200 (0,200) 300 0 (300,0)

x + y 250x y (x,y) 0 250 (0,250) 250 0 (250,0)

Gambar:

Titik pojok (150,100) didapat dengan cara berikut : o Mencari x 2x + 3y = 600 x 1 x + y = 250 2x + 3y = 600 3x + 3y = 750 _ -x = -150 x = 150 o Mencari y x + y = 250 150 + y = 250 y = 100 Jadi didapat nilai (x,y) = (100,150) f (x,y) = 100x + 200y A (250,0) = 100 (250) + 200 (0) = 25.000 x3

B (150,100) = 100 (150) + 200 (100) = 35.000 C (0,200) = 100 (0) + 200 (200) = 40.000 keuntungan maksimum

Jadi, aga didapat keuntungan maksimum maka harus membeli rokok B saja sebanyak 200 bungkus.

6. Daeah yang diarsir pada gambar berikut menunjukkan dari himpunan pembatasan-

penyelesaian

pembatasan untk bilangan-bilangan nyata x dan y dibawah ini

A. x > 0, y > 0, 2x + y > 8, 3x + 2y < 12 B. x x > 0, y > 0, x + 2y > 8, 3x + 2y < 12 C. > 0, y > 0, x + 2y < 8, 3x + 2y < 12 D. x > 0, y > 0, x + y < 8, 3x + 2y > 12 E. x > 0, y > 0, 2x + y < 8, 2x + 3y < 12

Jawaban : C Pembahasan :a) Persamaan garis yang melalui titik (0,a) dan (b,0)

adalah ax + by = ab , jadi persamaan garis yang melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah : 4 x + 8 y = 32 x + 2y = 8 Karena daerah yang diarsir berada di bawah maka pertidaksamaannya adalah x + 2y 8 b) Persamaan garis yang melalui (0,6) dan (4,0) adalah : 6 x + 4 y = 24 3x + 2y = 12 Karena daerah yang diarsir beada dibawah maka petidaksamaannya adalah 3 x + 2 y 12c) Daerah yang diarsir berada di kuadran I, maka x 0

dan y 0 . Jadi daerah pembatas-pembatasnya adalah : 3 x + 2 y 12 x 0, y 0, x + 2y 8 ,

7. Daerah yang merupakan himpunan-

himpunan

penyelesaian

sistem

pertidaksamaan x 0 y 0 2 x 2 4 x + 3 y 12 Pada gambar di bawah ini adalah ..

A. I B. II C. III D. IV E. V Jawaban : C Pembahasan :

2 y x 2 berarti daeah Hp berada di bawah garis 2 y x = 2 . Daerah

yang memenuhi adalah III, IV, atau V. 4 x 3 y 12 berarti daerah Hp berada di bawah garis 4 x + 3 y = 12 .

Daerah yang memenuhi adalah II, III, atau V.

x 0 , berarti daerahHp berada di kanan garis x = 0 . Daerah yang memenuhi adalah I, II, III, atau V.

y 0 , berarti daerah Hp berada di atas garis y = 0 . Daeah yang memenuhi adalah I, II, III, IV, atau V.

Jadi daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan diatas adalah daerah III.

8. gambar

Jika gambar segitiga OPQRS meupakan himpunan penyelesaian program linear, maka nilai maksimum fungsi sasaran x + 3 y terletak dititik. A. O

B. P C. Q D. R E. S Jawaban : D Pembahasan :

f (x,,y) = x + 3 y O (0,0) = 0 + 3 (0) = 0 P (6,0) = 6 + 3 (0) = 6 Q (5,3) = 5 + 3 (3) = 14 R (2,5) = 2 + 3 (5) = 17 S (0,3) = 0 + 3 (3) = 9 Jadi, nilai maksimum fungsi sasaran x + 3 y adalah 17 terletak pada titik R. nilai maksimum

9. Di sebuah kantin, Ani dan kawan-kawan membaya tidak lebih dai Rp 35.000,00 untuk 4 mangkuk bakso dan 6 gelas es yang dipesannya. Sedangkan Adi dan kawan-kawan membaya tidak lebih dari p 50.000,00 untuk 8 mangkuk bakso dan 4 gelas es. Jika memesan 5 mangkuk bakso dan 3 gelas es, maka harga maksimum yang harus kita bayar adalah ..

A. Rp 27.500,00 B. Rp 30.000,00 C. Rp 32.500,00 D. Rp 35.000,00 E. Rp 37.500,00 Jawaban : C Pembahasan : Misalkan bakso = x dan es = y, makaBakso Ani Adi 4 8 Es 6 4 Harga Total 35.000 50.000

Dari tabel di atas didapat pertidaksamaan, yakni : 4 x + 6 y 35.000 8 x + 4 y 50.000 Untuk mencari harga masing-masing semangkuk bakso dan es dapat menggnakan cara eliminasi, yaitu : o Harga semangkuk bakso (x) 4 x + 6 y 35.000 8x + 4y 50.000 8 x +12 y 70 .000 24 x + 12 y 150 .000 _ x2 x3

16x 80.000 x 5.000 o Harga es (y) 4 x + 6 y 35.000 4 (5.000) + 6y 35.000 20.000 + 6y 35.000 6y 15.000 y 2.500 Harga yang harus dibayar untuk 5 mangkuk bakso dan es ialah sebesar : 5x + 3 y 5(5.000 ) + 3(2.500 ) = 32 .500 Jadi, 5 x + 3 y 32.500

10. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan : 2 x + y 40 ,

x + 2 y 40 , x 0 , y 0 terletak pada daerah yang berbentuk .. A. Trapesium B. Empat persegi panjang C. Segitiga D. Segiempat

E. Segilima Jawaban : D Pembahasan : 2 x + y 40 x + 2 y 40 x 0 Sistem pertidaksamaan y 0 2 x + y 40x y (x,y) 0 40 (0,40) 20 0 (20,0)

x + 2 y 40x y (x,y) 0 20 (0,20) 40 0 (40,0)

Gambar:

-

2 x + y 40 , berarti daerah Hp berada di bawah garis 2 x + y = 40 . x + 2 y 40 , berarti daerah Hp berada di bawah garis x + 2 y = 40 . x 0 , berarti daerah Hp berada di bawah garis x = 0 . y 0 , berarti daerah Hp berada di atas garis y = 0 .

Jadi, daerah Hp-nya teletak pada daerah yang berbentuk segiempat.