BAB IHIMPUNAN

1.1. Himpunan

Himpunan atau set adalah kumpulan dari objek-objek yang didefinisikan dengan jelas, objek-objek yang menyusun himpunan disebut sebagai anggota atau elemen atau unsur dari himpunan. Himpunan dinotasikan dengan huruf besar seperti A, B, C,….. Sedangkan anggota himpunan dengan huruf kecil a,b,c,….. Pernyataan “a adalah anggota dari himpunan A” ditulis a A , sedangkan pernyataan “b bukan anggota A” ditulis b A.

Ada beberapa cara menuliskan himpunan yaitu :

1. Himpunan dinyatakan dengan menulis atau mendaftar anggota-anggotanya dalam tanda kurung kurawal, misalnya A = {a,b,c,d}, Himpunan bilangan asli N = {1,2,3,…..}Himpunan bilangan bulat Z = {…..,-2,-1,0,1,2,…..}Himpunan bilangan riil R

2. Menyebutkan atau mendefinisikan persyaratan keanggotaan himpunan.Jika P(x) merupakan pernyataan yang menentukan syarat keanggotaan x∈S, maka ditulis sebagai

{x∈S∨P (x)} Himpunan bilangan rasional Q = {m/n | m,n bilangan bulat dan n ≠ 0}Himpunan bilangan genap {2k∨k∈N }Himpunan bilangan ganjil {2k−1∨k∈N }I={ x∨0≤ x≤ 1 , x∈R }B = {x∈N∨x2−3 x+2=0}

3. Menggambar titik-titik sebagai anggota-anggota himpunan dalam diagram yang berbentuk kurva tertutup sederhana. Diagram tersebut dinamakan yang Diagram Venn.

A = {a,b,c,d}

Gambar 1.1 : Diagram Venn himpunan

A . a . b . c . d

Jika dalam himpunan ada angota yang sama maka anggota yang demikian hanya menggambarkan satu anggota saja.

Contoh 1.1:

A = {a,b,c,b,d,e}={a , b , c , d ,e } himpunan A tersebut hanya mempunyai lima anggota saja, yaitu a,b,c,d, dan e.

Banyaknya anggota suatu himpunan A dapat ditulis dengan simbol #(A), sehingga pada contoh 1.1 tesebut #(A) = 5.

1.2. Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian atau subset dari B jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Himpunan bagian dilambangkan dengan notasi ⊆, sehingga pernyataan “A himpunan bagian dari B” ditulis A ⊆ B. Secara singkat ditulis

A⊆B⟺∀ x∈ A⟹ x∈B

Simbol “⇔ ” menyatakan biimplikasi yang dibaca “Jika dan hanya jika“.Pernyataan A⊆B dapat ditulis B⊇ A dibaca B memuat A atau dikatakan B superset A.

Contoh 1.2:

2. Diketahui N = {1,2,3,.....}, G = {1,3,5,.....}, dan P = {2,3,5,7,....}, maka G⊆N dan N⊇P.

3. Dapat kita tunjukkan hubungan antara N , Z , Q, R, danC berturut-turut himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan riil, dan himpunan bilangan komplek, bahwa N⊆Z⊆Q ,⊆R⊆C

Dalam Diagram Venn A⊆B digambarkan bahwa A berada dalam B, sebagai berikut:

Gambar 2 : Diagram Venn A⊆B

Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika kedua himpunan mempunyai anggota yang sama, dengan kata lain setiap anggota A juga merupakan anggota B, demikian juga setiap anggota B juga merupakan anggota A. Berdasarkan pada pengertian himpunan bagian di atas diperoleh bahwa dua

B

A

himpunan A dan B sama jika dan hanya jika memenuhi A ⊆ B dan B ⊆ A. Secara simbolik dapat ditulis

A=B⟺ A ⊆ B dan B ⊆ A

Dalam hal A ⊆ B, tetapi A B dikatakan A himpunan bagian murni atau proper subset B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian murni atau proper subset dari B , ditulis A⊂B, jika ada paling sedikit satu anggota B yang tidak masuk dalam A, yaitu ∃ x∈B sedemikian hingga x∉ A

Contoh 1.3:

Jika A={x / x2+3 x−4=0 , x∈R} dimana R himpunan bilangan riil, dan B = {1,4}, maka A = B. Sedangkan B merupakan himpunan bagian murni atau proper subset dari N .

Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan atau comparable jika memenuhi salah satu A ⊆ B atau B ⊆ A. Misalnya himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan asli merupakan dua himpunan yang dapat dibandingkan tetapi himpunan bilangan genap dengan himpunan bilangan prima tidak bisa dibandingkan.

Teorema 1.1. :Jika A,B, dan C sebarang himpunan maka :(i) A⊆ A(ii) Jika A⊆B dan B⊆ A maka A=B

(iii) Jika A⊆B dan B⊆C maka A⊆C

1.3. Himpunan Kosong dan Semesta.

Himpunan kosong atau disebut void set atau null set dinotasikan dengan Ø atau { } adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, atau dengan kata lain himpunan yang mempunyai 0 elemen, dalam arti jika persyaratan keanggotaan himpunan dikenakan maka tidak ada obyek yang memenuhinya.

Contoh 1.4:

Misalnya {x∈R∨x2<0 , }=Ø adalah himpunan kosong karena tidak ada bilangan riil yang dikuadratkan hasilnya negatif, dan #(Ø) = 0

Proposisi 1.1:

∅ merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan termasuk himpunan kosong itu sendiri.

Hal ini bisa kita buktikan secara tidak langsung sebagai berikut : Misalkan Ø⊈A dimana A sebarang himpunan, tentunya harus ada anggota Ø yang bukan anggota A. Padahal Ø tidak memiliki anggota, berarti pernyataan tersebut adalah salah, yang benar bahwa Ø⊆A.

Himpunan semesta atau universe ditulis dengan notasi S adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. Sebagai contoh jika kita sedang membicarakan N himpunan bilangan asli, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, maka semestanya adalah himpunan bilangan riil R.

Himpunan berhingga atau finite kita definisikan sebagai himpunan kosong atau himpunan yang banyak anggotanya tertentu, dengan kata lain himpunan yang mempunyai n anggota, dengan n bilangan asli. Selain itu dinamakan himpunan tak berhingga atau infinite. Sedangkan suatu himpunan dikatakan mempunyai n anggota jika kita dapat mengkorespondensikan (memasangkan satu-satu) setiap anggotanya dengan Nn= {1,2,3 ,…. , n }

Contoh 1.5:

A={a , b , c ,d , e }

#(A) = 5, karena dapat dikorespondesikan dengan N5= {1,2,3,4,5 } , misalnya A Nn

Gambar 3: Korespondesnsi antara himpunan A dengan Nn

Jika suatu himpunan hanya mempunyai satu anggota saja disebut himpunan singelton.

Contoh 1.5:

1. A = {a,b,c,d}, B={x / x2=4 , x∈R }, dan C = {1,2,3,.....100} merupakan himpunan berhingga.

2. N = {1,2,3,.....}, I={x /−1≤x≤1 , x∈R} dan Z = {.....,-2,-1,0,1,2,.....} merupakan himpunan tak berhingga.

3. C = {c|c adalah bilangan prima genap} merupakan singelton karena C hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan 2 saja.

1.4. Kelas Himpunan dan Himpunan Kuasa

Kelas himpunan atau juga disebut keluarga himpunan atau famili himpunan adalah himpunan yang anggota-anggotanya himpunan. Kelas himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar latin seperti A,B, .... Sedangkan anggota kelas himpunan menggunakan huruf besar seperti A, B, ..... sebagai notasi himpunan biasa.

Contoh 1.6 :

1. Himpunan garis-garis, dimana garis merupakan himpunan titik-titik

abcde

12345

2. A = {{1,2},{2},{3,4,5}}. Di sini {2}∈A tetapi 2 ∉A

Jika A sebarang himpunan, himpunan dari semua himpunan bagian dari A ditulis dengan P (A) atau sering ditulis 2A juga merupakan kelas himpunan yang disebut himpunan kuasa atau power set dari A.

Contoh 1.7:

Jika A = {a,b,c}, maka himpunan kuasa dari A adalah 2A = {, {a},{b},[c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

Istilah kelas bagian atau subclass mengandung pengertian yang sama dengan himpunan bagian atau subset pada himpunan. Dari contoh 1.7. di atas B = {{a,b},{a,c},{b,c}} 2A

Secara induktif kita bisa menunjukkan jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A ada 2n. Namun perlu menjadi perhatian kita bahwa banyaknya himpunan bagian dari A ada 2n hanya proses induksi, belum menunjukkan bukti formal, yang masih perlu pembahaan lebih lanjut. Proses induksi dari banyaknya himpunan bagian bisa dilihat pada tabel berikut :

Himpunan A

Banyak anggota A #(A)

Kelas Himpunan Bagian 2A

Banyak Anggota Kelas Himpunan Bagian #(2A)Ø 0 {Ø} 1 = 20

{a} 1 {Ø,{a}} 2 = 21

{a,b} 2 {Ø,{a},{b},{a,b}} 4 = 22

{a,b,c} 3 {Ø,{a},{b},[c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

8 = 23

….. …..….. …..….. …..n 2A 2n

Tabel 1: Banyaknya himpunan bagian dari himpunan A

1.5. Operasi Himpunan

Operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dari satu atau beberapa unsur tertentu. Misal operasi berlaku dalam suatu himpunan semesta S, maka operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dalam S dari satu atau lebih unsur dalam S. Jika hasil dari suatu operasi termasuk dalam semesta S, maka operasi yang demikian disebut tertutup atau closure. Jika aturan dalam operasi berkenaan dengan satu unsur maka operasinya dinamakan operasi uner, dan jika berkenaan dengan dua unsur dinamakan operasi biner, tiga unsur terner, dan sebagainya. Beberapa contoh operasi uner misalnya operasi ingkaran (dalam logika), tambah satu (dalam bilangan), transpose (dalam matriks), maupun komplemen (dalam himpunan yang

akan dibahas dalam uraian berikutnya). Sedangkan operasi biner misalnya operasi tambah, pengurangan, perkalian, pembagian (dalam bilangan), “dan”, “atau” (dalam logika), tambah, pengurangan, perkalian (dalam matriks), gabungan, irisan (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikutnya).

Operasi dalam himpunan berkenaan dengan satu atau lebih himpunan untuk mendapatkan himpunan tunggal dalam suatu kelas himpunan. Bebeberapa operasi yang berlaku dalam himpunan didefinisikan sebagai berikut :

1. Operasi Gabungan atau Union

Gabungan dua himpunan A dan B, ditulis AB , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A atau B, secara simbolik ditulis :

AB = {x|xA atau xB}

Gambar 4 : Diagram Venn AB

Pada gambar AB adalah daerah yang diarsir, baik satu kali atau dua kali.

2. Irisan atau Interseksi

Irisan dua himpunan A dan B, ditulis AB , adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A dan B, yaitu :

AB = {x/xA dan xB}

Gambar 5 : Diagram Venn AB

A B

A B

A B

S

S

A

Pada gambar AB adalah daerah yang diarsir dua kali.Dua humpunan dikatakan saling asing atau disjoint jika dan hanya jika irisan kedua himpunan tersebut adalah Ø, yaitu AB = Ø, ditunjukkan pada diagram Venn sebagai berikut:

3. Selisih atau Komplemen Relatif

Selisih dua himpunan A dan B, ditulis A-B atau A\B, adalah himpunan yang unsur-unsurnya merupakan unsur dari A tetapi bukan unsur B, yaitu :

A-B = A\B = {x|xA dan xB}

Gambar 6 : Diagram Venn A-B

Pada gambar A-B adalah daerah yang diarsir

4. Komplemen atau Komplemen Mutlak

Komplemen dari himpunan A ditulis A atau AC adalah himpunan yang anggota-anggotanya tidak termasuk dalam A, tetapi masih termasuk anggota semesta S yaitu :

AC={ x∨x∈S dan x∉ A }=S−A

A B

Gambar 6 : Diagram Venn Ac , daerah yang diarsir

Pada gambar Ac adalah daerah yang diarsir diluar A tetapi masih berada di dalam S Contoh 1.8:

1. Jika S = {a,b,c,d, ..... ,x,y,z}A = {a,b,c,d} dan B = { c,d,e,f,g}, maka A a,b,c,d,e,f,g}A B = {c,d}A – B = {a,b}Ac = {e,f,g,h, ....., x,y,z}

2. Dalam semesta N himpunan bilangan asli dan B = {2,4,6,.....} merupakan himpunan bilangan genap maka Bc = {1,3,5,.....} adalah himpunan bilangan ganjil.

Proposisi 1.2:

1. Himpunan A memuat A-B sebagai himpunan bagian, berarti A-B A

2. Himpunan A-B, AB, dan B-A saling asing, yaitu irisan setiap dua himpunan tersebut merupakah himpunan kosong (A-B)(AB) = Ø, (AB)(B-A) = Ø, dan (A-B)(B-A) = Ø

3. Selisih A dan B sama dengan irisan A dengan komplemen B, yaitu A-B = ABc

Beberapa sifat atau teorema berikut merupakan hukum aljabar dalam himpunan.

Teorema 1.3:

HUKUM ALJABAR HIMPUNAN

Hukum Idempoten

1a. A¿ A = A 1b. A¿ A = A

Hukum Assosiatif

2a. (A¿ B)¿ C = A¿ (B¿ C) 2b. (A¿ B) ¿ C = A¿ (B¿ C)

Hukum Komutatif

3a. A¿ B = B¿ A 3b. A¿ B = B¿ A

Hukum Distributif

4a. A¿ (B¿ C) = (A¿ B)¿ (A¿ C)

4b. A¿ (B¿ C) = (A¿ B) ¿ (A¿ C)

Hukum Identitas

5a. A¿ = A6a. A¿ S = S

5b. A¿ S = A6b. A¿Æ = Æ

Hukum Komplemen

7a. A¿ Ac = S

8a.

7b. A¿ Ac = Æ

8b. Sc

= Æ, φc = S

Hukum De Morgan’s

9a. ( A∪B )c=Ac∩Bc9b. ( A∩B )c=Ac∪Bc

Penomoran dengan menggunakan indek huruf a dan b dibelakang angka dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa kedua pernyataan dalam hukum aljabar di atas saling dual, yaitu pernyataan yang diperoleh dengan mempertukarkan ¿ dengan ¿ dan Æ dengan S. Sebagai contoh bahwa dual dari 5a. A¿ = A adalah 5b. A¿ S = A.

Dalam hal dual, untuk membuktikan kebenaran kedua pernyataan yang saling dual tidak perlu membuktikan keduanya, cukup salah satu diantaranya. Dengan menggunakan prinsip dual yaitu suatu prinsip jika suatu pernyataan sudah terbukti kebenarannya maka kebenaran pernyataan dualnya terpenuhi.

Contoh 1.9:

Buktikan : (A¿ B) ¿ (A¿ Bc) = A

Bukti :

1. (A¿ B)¿ (A¿ Bc) = A¿ (B¿ Bc

) ………….................... hukum distributif

2. B¿ Bc= Æ ………………………………….................... hukum

komplemen

3. Jadi (A¿ B)¿ (A¿ Bc) = A¿Æ .…………................................... substitusi

4. A¿ Æ = A .......................................................................... hukum identitas

5. Jadi (A¿ B)¿ (A¿ Bc) = A ........................................................ substitusi

Kita tidak perlu membuktikan dualnya, yaitu (A¿ B)¿ (A¿ Bc) = A, dengan

menggunakan prisnsip dual kebenarannya terpenuhi.

Dalam prinsip dual tidak melibatkan hubungan subset atau himpunan bagian, oleh karena itu jika ada pernyataan dengan hubungan A⊆B untuk membuktikannya tidak menggunakan definisi himpunan bagian, jika x∈A maka x∈B, tetapi kita gunakan hubungan lain seperti dinyatakan dalam teorema berikut :

Teorema 1.4:

Jika A⊆B berarti : 1. A¿ B = A 2. A¿ B = B

3. A¿ Bc = 4. A¿ Bc = S5. B’ Ac

6. A (B-A) = B

1.6. Operasi Himpunan Yang Diperumum

Sebelumnya kita definisikan himpunan berindeks yang digunakan dalam mendefinisikan operasi himpunan yang diperumum. Himpunan yang dituliskan

dengan lambang Ai dinamakan himpunan berindeks, dan i disebut sebagai indeks, dengan I = {i/i∈N, N himpunan bilangan asli} disebut sebagai himpunan indeks.

Kelas dari himpunan berindeks ditulis { A i∨i∈ I } atau {A i}i∈ I

atau hanya ditulis {A i}

Contoh 1.10:

Dn = {x|x∈N, x kelipantan dari n∈N}D1 = {1,2,3,4,…..}D2 = {2,4,6,8,…..}D3 = {3,6,9,12,….}….. dan seterusnya

Pada uraian sebelumnya telah didefinisikan operasi gabungan dan irisan tetapi kedua operasi tersebut hanya diterapkan pada dua himpunan. Kedua operasi tersebut dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih dengan menggunakan sifat assosiatif.

Karena A∪( B∪C )=( A∪B )∪C maka selanjutnya operasi gabungan tersebut ditulis dengan menghilangkan tanda kurung, yaitu

A∪( B∪C )=( A∪B )∪C=A∪B∪C

Demikian juga untuk operasi irisan

A∩( B∩C )=( A∩B )∩C=A∩B∩C

Jika operasi tersebut dilakukan berulang dengan memperluas sifat assosiatif kepada sejumlah himpunan yang banyaknya berhingga yang termuat dalam kelas himpunan {A i}i∈ I dengan I = {1,2,3,…..,n} maka didefinisikan operasi yang diperumum sebagai berikut :

¿i∈ I A i=¿ i=1n A i=A1∪A2∪A3∪.. . ..∪An

intersect i∈ I Ai=intersect i=1n A i=A1∩A2∩A2∩. . .. .∩An

¿i∈ I A i terdiri dari unsur-unsur yang berada pada paling sedikit satu unsur dalam A i

dimana i I, atau lebih singkat ditulis

¿ i∈ I Ai={x∨∃ i∈ I , x∈ Ai }

Sedangkan untuk irisan

intersect i∈ I Ai terdiri dari unsur-unsur yang merupakan unsur dari setiap Ai, dimana i I , atau lebih singkat ditulis

¿ i∈ I Ai={x∨∀ i∈ I , x∈ A i }

Contoh 1.11:

1. Misalkan A1 = {1,10}, A2 = {2,4,6,10}, A3 = {3,6,9}, A4 = {4,8}. A5 = {5,6,10}Dan jika I = {2,3,5}, maka

intersect i∈ I Ai=A2∩A3∩A5={6}

2. Misalkan Bn=[0 , 1n ] , n∈N himpunan bilangan asli, maka

intersect i∈N B i={0} dan

intersect i∈N B i=[ 0,1 ]

Teorema 1.5 :

Hukum Distributif yang diperumum

Untuk sebarang kelas himpunan {A i}i∈ I dan sebarang himpunan B,

B∩(∪i∈ I Ai )=¿ i∈ I ( B∩A i)B∪( intersect i∈ I A i )=intersect i∉ I (B∪A i )

Teorema 1.6: Hukum De Morgan’s yang diperumum

Untuk kelas himpunan {A i}i∈ I dari himpunan bagian-himpunan bagian dalam semesta S, maka

i. (∪i∈ I A i)

c=intersect i∈ I Aic

ii. ( intersect i∈ I Ai )

c=¿i∈ I Aic

Teorema 1.7:

¿i∈ I A i=A2∪A3∪A5={2,3,4,5,6,9 , 10}

Misalkan A sebarang himpunan, untuk setiap pA, Gp himpunan bagian A yang

memuat p sehingga p∈G p A , maka A=¿{Gp / p∈ A}

Contoh 1.12:

Jika A = {a,b,c}, maka

{Ga}={{a},{a ,b},{a , c }, {a , b , c }}dan ¿{Ga}={a ,b , c }=A

{Gb}={{b},{a ,b},{b , c }, {a ,b , c}} dan ¿{Gb}={a ,b , c }=A

{Gc}={{c },{a , c }, {b , c}, {a ,b , c}} dan ¿{Gc}={a ,b , c}=A

Berdasarkan teorema di atas dalam hal A atau I himpunan φ maka didefinisikan :

1. Gabungan dan irisan kelas himpunan bagian dari φ adalah

¿{A / A∈φ }=φ dan intersect {A / A∈φ}=S

2. Gabungan dan irisan kelas himpunan bagian dengan himpunan berindeksnya φ adalah

¿{A i∈ I / I∈φ}=φ dan

intersect {A i∈ I / I∈φ}=S

1.7. Partisi

Partisi suatu himpunan adalah kelas himpunan bagian tak kosong dari suatu himpunan yang memenuhi sifat sebagai berikut :

1. Gabungan seluruh himpunan bagian dalam kelas tersebut merupakan himpunan itu sendiri.

2. Sebarang dua himpunan bagian yang tidak sama dari kelas tersebut saling asing.

Atau dengan kata lain jika himpunannya adalah A maka partisi dari A adalah kelas

himpunan bagian {Bi }i∈ I dari himpunan A yang memenuhi

1. ¿i∈ I Bi=A

dan

2. Untuk sebarang i,j berlaku salah satu Bi=B j atau Bi∩B j=φ

Contoh 1.13:

1. Misalkan A = {1,2,3,.....,9,10}B1={1,3}, B2={7,8 , 10}, B3={2,5,6 } dan B4={4,9}

Kelas B = {B1 , B2 , B3 , B4 ¿¿ memenuhi sifat sebagai berikut :B1∪B2∪B3∪B4={1,2,3,4,5,6,7,8,9 , 10}=A dan untuk sebarang

i,j dimana i,j I = {1,2,3,4} berlaku Bi=B j atau Bi∩B j=φ ,

maka B = {B1 ,B2 ,B3 , B4 ¿¿ disebut partisi dari A2. Jika N himpunan bilangan asli, B himpunan bilangan genap, dan G

himpunan bilangan gasal maka {B,G} merupakan partisi dari N.

SOAL :

1. Buktikan teorema-teorema yang belum dibuktikan.2. Buktikan

a. ( B∪C )∩(C∪A )∩( A∪B)=( B∩C )∪(C∩A )∪( A∩B)

b. ( A−B )∪C=( A∪B )−((B∪C )⇔C=φ

c. ( A∩B )×C=( A×C )∩( B×C )3. Tunjukkan bahwa :

a. A−B=A∩Bc

b. ( A−B )∩( A−C )=( A−( B∪C )=( A−B )−C

4. Jika diketahui dua kelas himpunan {A i} dan {Bi } sedemikian hingga

{A i}⊆{Bi}, tunjukkan bahwa ¿i Ai⊆∪i B i dan

intersect i Ai⊆ intersect i Bi