BAB X

APLIKASI FUNGSI TAN LINEAR DALAM EKONOMI

10.1 Pengantar

Pada abad 4 telah dipelajari mengenai aplikasi fungsi linear dalam

ekonomi dan bisnis. Kadang kala untuk menggambarkan hubungan antara

dua variabel ekonomi tidak cukup dan kurang tepat kalau didekati dengan

fungsi linear. Dalam keadaan demikian itu maka pendekatan atau

penggambaran hubungan antara dua variabel ekonomi tersebut akan lebih

baik digunakan fungsi tan-linear.

Di dalam bab ini akan dibahas mengenai aplikasi fungsi tan-linear

dalam ekonomi dan bisnis, yang mencakup fungsi permintaan dan

penawaran, keseimbangan pasar, keseimbangan pasar yang dikaitkan dengan

pajak dan subsidi, fungsi penerimaan dan fungsi biaya dan kaitannya dengan

analisis pulang pokok. kurva fungsi transformasi produk dan hukum Pareto

tentang distribusi penghasilan. Penerapan optimisasi fungsi kuadrat, yang

menyangkut mengoptimalkan laba, penerimaan, dan biaya serta penerapan

fungsi eksponen dan logaritma.

Tujuan bab ini. Setelah mempelajari bab ini peserta didik

(mahasiswa) diharapkan mampu menerapkan fungsi tan-linear khususnya

fungsi kuadrat, fungsi pecah, fungsi eksponen, dan logaritma dalam ekonomi

dan bisnis.

10.2 Aplikasi Fungsi Kuadrat dan Fungsi Pecah Dalam Bidang Ekonomi

Fungsi permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar Contoh 6-1=

- dan q = dengan p = harga per unit barang dan q =

kuantitas barang,

(a). buatlah grafik fungsi permintaannya

(b). Buatlah grafik fungsi penawarannya

(c). Tentukanlah titik keseimbangan pasar dan buatlah grafiknya

Penyelesaian

(a). Grafik fungsi permintaan

Cara I

1

0 dan c = 9

(1). Sumber simetri adalah p =

(2). Titik puncak fungsi adalah (p=

(3). Titik potong fungsi dengan sumbu q diperoleh p = 0,

(4). Titik potong fungsi dengan sumbu q diperoleh bila p = 0,

q =

P1,2 =

P1 =

P2 =

D =

=

= 72 > 0 memiliki dua akar, P1

dan P2 dan fungsi memotong

sumbu pada P di dua titik.

Jadi, titik potong kurva dengan sumbu P pada titik ( ) dan (-

Gambar grafik

Gambar 10.1

Cara II

Dengan mengingat sifat fungsi permintaan, dan demikian juga untuk fungsi

penawaran, hanya kurva / segmen (penggalan) garis / kurva yang terletak pada

2

kuadrat pertama yang bermakna dalam analisa ekonomi. Maka dari itu akan lebih

mudah membuat grafik fungsi permintaan maupun fungsi penawaran dengan

bantuan tabel hubungan/pasangan nilai q dan p berdasarkan atas nilai q dan p yang

memenuhi fungsi permintaan atau pun fungsi penawaran tersebut.

Agar lebih jelas perhatikan penyelesaian berikut ini.

fd : q = -2p2 + 9

pasangan nilai p dan q

p 0 1 2 4

q 9 7 1 0

(p,q) (0,9) (1,7) (2,1) (4 ,0)

Gambar grafik

Gambar 10.2

(b) Grafik fungsi penawaran

Cara I

q = p2 + 5p + 1 → a = 1, b = 5 dan c = 1

(1) Sumbu simetrinya adalah p =

(2) Titik puncak kurva adalah (p = )

(3) Titik potong kurva dengan sumbu q, bila p = 0 dan diperoleh (0,1)

(4) Titik potong kurva dengan sumbu p, bila q = 0, diperoleh

q = p2 + 5p + 1 D = b2 – 4ac

3

0 = p2 + 5p + 1 = (5)2 – 4 (1) (1) = 21 > 0 → jadi

Kurva tersebut memotong sumbu p di dua titik.

=

P1 = -0,2 = -

P2 = 4,8 = - 4

Jadi, titik potong kurva fungsi tersebut dengan sumbu q, adalah titik (- , 0)

Gambar grafik

Gambar 10.3

Cara II

q = p2 + 5p + 1

hubungan nilai p dan q

p 0 1 2 3

q 1 7 15 25

4

Gambar grafik

Gambar 10.4

(c) Keseimbangan pasar akan terjadi bila, qd = qs :

qd = qs

- 2p2 + 9 = p2 + 5p + 1

- 3p2 + 8 – 5p = 0

3p2 + 5p = 0

(3p + 8) (p – 1) = 0

(3p + 8) = 0 → p = - (tak bermakna)

(p – 1) = 0 → p = pE = 1 (bermakna)

Bila p = 1, q = ....... ?

q = p2 + 5p + 1

= 7

q = qE = 7

E (pE, qE) = E (1,7)

Jadi, harga dan kuantitas keseimbangan pasar masing-masing adalah 1 per unit

dan 7 unit

(d) Gambar grafik

5

Gambar .5

Untuk selanjutnya dan pada bab-bab berikutnya, agar lebih muda menggambarkan

grafik fungsi ekonomi akan dipakai cara II.

Contoh 6 - 2

Bila fungsi permintaan sejenis barang berbentuk pq = 30 dan fungsi

penawarannya berbentuk q = 3p – 9, tentukanlah titik keseimbangan pasar (titik

equilibrium) dan buatlah grafiknya.

(a) fd : p . q = 30 → q

f : q = 3p – 9

keseimbangan pasar akan terjadi, bila qd = qs

qd = qs

p2 – 3p – 10 = 0

30 = 3p2 - 9p (p – 5) (p+2) = 0

3p2 – 9p – 30 = 0 (p – 5) = 0 → p1 = 5 (bermakna),

(p +2) = 0 → p2 = -2 (tak bermakna)

Jadi, titik keseimbangan pasar adalah E(pE, qE) = E (5,6)

(b). Gambar grafik

6

fd : q = filsafat : q = 3p - 9

Gambar 9.6

Fungsi Penerimaan, Biaya dan Profit

Contoh 9 – 3

Fungsi penerimaan total sebuah perusahaan yang merupakan hasil penjualan

barang yang diproduksinya berbentuk R = 200q – 4q2

R = penerimaan total, dan q = kuantitas barang

Pertanyaan

Berapa unit sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar diperoleh penerimaan

total yang maksimum ? berapa besar total penerimaan maksimum yang

diperoleh ?

Penyelesaian

R = 200q – 4q2

= - 4q2 + 200 q y = ax2 + bx + c

a = - 4, b = 200 dan c = 0

Titik puncak kurva R adalah (q =

q =

R = -

7

q 0 1 3 6 10p 30 10 5 3 0

q 0 6p 3 5

Jadi, titik puncak kurva R adalah (25, 2500)

Oleh karena a = - 4 < 0, maka kurva R tersebut terbuka ke bawah dan titik

puncaknya disebut titik maksimum.

Jadi agar perusahaan tersebut memperoleh penerimaan total yang maksimum

sebaiknya berproduksi sebanyak 25 unit dan besarnya penerimaan total maksimul

tersebut 2500.

Contoh 9 – 4

Biaya total untuk memproduksi sejenis barang dari sebuah perusahaan berbentuk,

C = q2 – 16q + 68. C = biaya total dan q = kuantitas barang.

Pertanyaan

(a) Berapa besar biaya tetap (fixed cost) yang dikeluarkan oleh perusahaan

tersebut ?

(b) Berapa sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar biaya total yang

dikeluarkan minimum dan berapa besar biaya total minimum tersebut ?

(c) Gambar grafiknya

Penyelesaian

(a) Biaya tetap diperoleh bila q = 0

C = q2 – 16q + 68

= (0)2 – 16 (0) + 6

Jadi, besarnya biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut 68.

(b) C = q2 – 16q + 68 y = ax2 – bx + c

a = 1, b = - 16, c = 68

titik puncak kurva adalah (q = )

q =

C =

Oleh karena a = 1 > 0, maka kurva fungsi C terbuka ke atas dan titik puncak

kurva disebut titik minimum.

8

Jadi, agar biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan minimum, sebaiknya

perusahaan tersebut berproduksi sebanyak 8 unit barang, dan besarnya biaya

total minimum tersebut sama dengan 4

(c) Gambar grafik

C = q2 – 16q + 68

q 0 8 16

C 68 4 68

(q,C) (0,68) (8,4) (16,68)

(16,68) → Titik lainnya yang dilalui kurva fungsi

(8,4) → Titik puncak kurva fungsi

(0,68) → Titik potong kurva dengan sumbu C

P = 8 → Sumbu simetri

Gambar 10.7

Contoh 6 – 5

Fungsi permintaan suatu bareng, q = - 0,5p + 7 sedangkan fungsi

penawarannya, q = p – 2. pemerintah mengenakan pajak sebesar t per unit

terhadap bareng yang dijual. Agar pemerintah memperoleh penerimaan

maksimum dari pajak (penerimaan pajak yang maksimal),

(a) Berapa besarnya pajak total maksimum yang diperoleh pemerintah ?

(b) Berapa besarnya t tersebut ?

Penyelesaian

fd : - 0,5p + 7 → p = - 2q + 14

9

fs : q = p – 2 → p = q + 2

(a) Sebelum pajak Sesudah pajak

fd : p = -2q + 14 fdt : p = -2q + 14

fs : p = 2 + q fst : p = 2 + q + t

keseimbangan setelah pajak bila, pdt = pst sebagai berikut :

pdt = pst

- 2q + 14 = 2 + q + t

t = -3q + 12

pajak total yang diperoleh pemerintah ( T )

T = t. q

= (- 3q + 12) (q)

= -3q2 + 12q

T = - 3q2 + 12q y = ax2 + bx + c

a = -3, b = 12, dan c = 0

Titik puncak kurva adalah T ( q =

q =

T =

Jadi, titik puncak kurva T adalah (2, 12)

Oleh karena a = - 3 < 0, maka kurva fungsi T terbuka ke bawah dan titik

puncak disebut titik maksimum.

Jadi, pajak total maksimum yang diperoleh pemerintah sebesar 12.

(b) t = ....... ?

q = 2 → T = t . q

12 = t. 2

t = 6

10

jadi, besarnya pajak per unit (t) yang kenakan pemerintah terhadap barang

yang dijual agar diperoleh penerimaan yang maksimum dari pajak, sama

dengan 6.

Contoh 6 – 6

Seorang produsen menghadapi fungsi permintaan konsumen terhadap

baranya, q = - 0,2p + 20. sedangkan biaya total untuk memproduksi

barangnya, C = 50 + 25 q.

Tentukanlah

(a) Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum dan besarnya

keuntungan maksimum itu.

(b) Harga jual per unit agar diperoleh keuntungan yang maksimum.

(c) Buatlah grafik fungsi keuntungan terhadap q.

Penyelesaian

(a) q = - 0,2p + 20 → p = 100 – 5q, C = 50 + 25q

R = qp

= q (100 – 5q)

= 100q – 5q2

R = 5q2 + 100q

Laba → = R – C

= (-5q2 + 100q) – (50 + 25q)

= - 5q2 + 75q – 50 y = ax2 + bx + c

a = -5, b = 75, dan

c = - 50

Titik puncak kurva adalah (q = =

q =

=

Oleh karena a = - 5 < 0 → kurva fungsi membuka ke bawah dan titik

puncak kurva disebut titik maksimum.

11

Jadi, tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan (laba) yang

maksimum sebanyak 7,5 unit barang.

Maksimum sebanyak 7,5 unit barang

Besarnya laba maksimum yang diperoleh produsen tersebut sebesar

231,25

(b) p = ..... ? (harga jual per unit)

q = - 0,2p + 20

7,5 = - 0,2p + 20 → -12,5 → p = 62,5

Jadi, harga jual per unit agar diperoleh keuntungan maksimum sama

dengan 62,5.

(c) Gambar grafik

= - 5q2 + 75q – 50

q 0 7,5 15 14,3 0,7

-50 231,25 -50 0

(q, ) (0,50) (7,5, 231,25) (15, -50) (14,3,0) (0,7 ,0)

(1) Titik potong kurva dengan sumbu

(2) Titik puncak kurva

(3) Titik lainnya yang dilalui kurva

(4) Titik potong kurva dengan sumbu q

Sumbu simetri adalah q = 7,5

Gambar 6.8

Fungsi (Kurva) Transpormasi Produk

12

Fungsi transpormasi produk menyatakan hubungan antara kuantitas dari

dua jenis barang (joint products) yang dihasilkan oleh perusahaan dengan

menggunakan tenaga kerja dan bahan mentah (material) yang sama. secara

matematis, kurva transportasi produk adalah tempat kedudukan kombinasi

kuantitas dua jenis barang yang dapat dihasilkan dengan masukkan (imput)

tertentu.

Apabila kuantitas kedua jenis barang yang dihasilkan tersebut adalah q1

dan q2, kurva transpormasi produk akan menunjukkan hubungan antara q1 dan q2

berbanding terbalik, yang memiliki arti bila kuantitas q1 bertambah maka

kuantitas q2 akan berkurang dan sebaliknya.

Dalam prakteknya banyak proses produk industri dapat menghasilkan

lebih dari satu keluaran (output), misalnya sejenis barang tetapi dengan kualitas

yang berbeda (kualitas satu, kualitas dua, dan seterusnya).

Kurva transpormasi produk ini bila digambar, cekung terhadap titik 0

seperti pada gambar berikut :

Gambar 6.9

Contoh 6 – 7

Sebuah perusahaan memproduksi sejenis barang dengan kualitas yang berbeda

yaitu A1 dan A2, masing-masing sebanyak q1 dan q2 unit. Fungsi / kurva

transpormasi produk untuk masukkan (input) tertentu yang digunakan adalah q2 =

100 - q12

(a) Berapa unit maksimal A1 dan A2, yang dapat diproduksi ?

(b) Berapa unit A1 dan A2 diproduksi agar kuantitas A1 dan A2 sama banyak ?

13

Penyelesaian

(a) Bila q2 = 0, q1 = ...... ? Bila q1 = 0, q2 = ...... ?

q2 = 100 - q12 q2 = 100 - q1

2

0 = 100 - q12 q2 = 100

q12 = 400

q1 = 400 → (q1) 1, 2 = 20

(q1) 1 = 20 (bermakna)

(q1) 2 = -20 (tak bermakna)

Jadi, kuantitas A1 dan A2 yang maksimal dapat diproduksi masing-masing 20

unit dan 100 unit.

(b) Bila q1 = q2, maka q1 = ...... ? dan q2 = ...... ?

q2 = 100 - q12

q1 = 100 - q12

q12 + 4q1 – 400 = 0 → a = 1, b = 4, c = - 400

(q1) 1, 2 =

=

(q1) 1 = 18,09 (bermakna)

(q1)2 = -22,09 (tidak bermakna)

Jadi, kuantitas A1 dan A2 yang harus diproduksi masing-masing agar A1 dan

A2 sama banyak adalah q1 = q2 = 18,09 unit

Contoh 6 – 8

Suatu perusahaan menghasilkan dua jenis keramik dengan kualitas yang berbeda

melalui proses produksi yang sama, dengan jumlah masing-masing sebanyak q1

14

dan q2. kurva transpormasi produk untuk sejumlah masukan (input) yang

digunakan, dinyatakan oleh persamaan.

q2 – 9 q12 + 56 = 0

berapa unit masing-masing keramik harus diproduksi agar jumlah keramik

kualitas satu kali jumlah keramik kualitas dua ?

Penyelesaian

q2 – 9 q12 + 56 = 0

bila q1 = q2, maka q1 = ....... ? dan q2 = .... ?

q2 – 9 q12 + 56 = 0

q2 – 9 ( q2)2 + 56 = 0

q2 – q22 + 56 = 0

q2 – q2 + 56 = 0

(q2 – 8) (q2 + 7) = 0

q2 = 8 (bermakna)

q2 = -7 (tak bermakna)

q1 = ..... ?

q1 = q2 = (8) =

jadi, agar kuantitas keramik kualitas satu kali kuantitas keramik kualitas

dua, maka masing-masing keramik harus diproduksi sebanyak unit dan 8

unit.

Hukum Pareto Mengenai Distribusi Penghasilan

15

Hubungan antara banyaknya individu (N), jumlah penduduk tertentu (a),

dengan batas penghasilan terendah (x) dinyatakan dalam persamaan hiperbola

Fermat, sebagai berikut :

N = (6.1)

0 < N a dan

0 < x < penghasilan maksimum penduduk

N = banyak individu

a = jumlah penduduk

x = batas penghasilan terendah

b = parameter penduduk, yang biasanya diperkirakan 1,5

perdifinisi n dan x adalah diskret, akan tetapi dalam prakteknya, x dipandang

sinambung (kontinyu). Untuk penduduk yang berpenghasilan di atas subsisten,

hukum Pareto umumnya cukup teliti dan nilai b dianggap sama dengan 1,5 (b =

1,5).

Sedangkan grafik persamaan di atas secara umum seperti gambar di bawah ini:

Gambar 6.10

Contoh 6 – 9

Hukum Pareto tentang penghasilan dari sekelompok orang adalah :

N =

x = penghasilan (satuan dalam rupiah), N = banyak individu

pertanyaan

16

(a) Berapa orangkah yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah

(b) Berapa orangkah yang berpenghasilan antara Rp. 6.400,00 dan Rp.

10.000,00

(c) Berapa penghasilan terendah dari 10 orang yang berpenghasilan tertinggi

Penyelesaian

(a) Banyaknya orang yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah

x = 106 → N = ..... ?

N =

Jadi, yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah sebanyak 2480 orang

(b) Banyak orang yang berpenghasilan di atas Rp. 6.400,00

x = 6.400 → N = .... ?

N =

Jumlah yang berpenghasilan di atas Rp. 10.000,00

x = 10.000,00 → N = .... ?

N =

Jadi, jumlah orang yang berpenghasilan antara Rp. 6.400,00 sampai dengan

Rp. 10.000,00 adalah 4.843.750 orang – 2.480.000 orang = 2.363.750 orang.

(c) N = 10

x = .... ?

N = → 10 =

x3/2 = 248.109

=

= (248.109)

= (248.109)2/3

= (83. 109)2/3

= 82 . 106

= 64 . 106

17

Jadi, penghasilan terendah dari 10 orang yang berpenghasilan tertinggi adalah

sebesar 64. 106 atau 64 juta rupiah.

Soal-Soal Latihan

6-1 Tentukanlah titik keseimbangan pasar sejenis barang yang memiliki fungsi

permintaan dan penawaran sebagai berikut, dan buatlah grafiknya

Permintaan Penawaran

(a) q = 64 – 8p – 2p2 q = 10 + 5p2

(b) q = - p2 + 25 q = p2 – 2p + 1

(c) qp = 15 q = p – 2

6 – 2 Fungsi laba dari sebuah perusahaan dinyatakan dalam bentuk fungsi

kuadrat. Kepala bagian pemasaran memperkirakan bahwa: jika pihak

perusahaan tidak menjual barangnya perusahaan rugi 50 juta rupiah. Bila

perusahaan dapat menjual 4 unit, perusahaan untung 170 juta rupiah, dan

bila yang terjual sebanyak 12 uit, pihak perusahaan untuk sebesar 130 juta.

Bila menyatakan laba (dalam jutaan rupiah) dan q menyatakan kuantitas

barang (dalam ton)

(a) Tentukanlah fungsi laba tersebut, = f(q)

(b) Agar perusahaan tersebut mendapat laba yang maksimum sebaiknya

berapa unit barang yang dijual (diproduksi) ?

(c) Buatlah grafiknya

6 - 3 Bila fungsi permintaan terhadap sejenis barang adalah q =

q = kuantitas barang dan p = harga per unit

berapakah kuantitas yang diminta, bila harga per unit

(a) (b) 1

6 – 4 Bagian produksi sebuah perusahaan manufaktur yang bergerak dalam

bidang farmasi yang menghasilkan cairan kimia tertentu, memperkirakan

bahwa biaya total untukmemproduksi barangnya mengikuti fungsi kuadrat.

Dengan perkiraan sebagai berikut : Bila perusahaan tidak berproduksi

sama sekali biaya total yang dikeluarkan sebesar 44, bila berproduksi

sebanyak 4 unit biaya total yang dikeluarkan sebesar 20, dan bila

18

berproduksi sebanyak 10 unit biaya total yang dikeluarkan sebanyak 14,

jika C menyatakan kuantitas barang (satuan dalam liter).

(a) Tentukanlah fungsi biaya totalnya, C = f(q)

(b) Agar biaya fungsi biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan manufaktur

tersebut sekecil – kecilnya (minimum) sebaiknya berapa liter cairan

kimia yang diproduksi ?

(c) Buatlah grafiknya

6 – 5 Fungsi permintaan sejenis barang adalah q = - 0,5p + 18 dan fungsi

penawarannya q =

Hitunglah harga dan kuantitas keseimbangan yang baru, jika :

(a) Terhadap barang yang dijual dikenakan pajak per unit sebesar t = 2

(b) Terhadap tiap unit barang yang terjual dikenakan pajak penjualan

sebesar 25%.

(c) Terhadap barang yang dijual diberikan subsidi per unit sebesar s = 1

(d) Buatlah grafik untuk masing-masing keadaan a, b, dan c di atas.

6 – 6 Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan untuk memproduksi

sejenis barang ditunjukkan oleh fungsi :

C = 5q2 - 40q + 200

q = kuantitas barang yang diproduksi dan C = biaya total

pertanyaan

(a) Pada tingkat produksi berapa unit biaya totalnya minimum ?

(b) Hitunglah besar biaya total minimum tersebut

(c) Hitunglah pula biaya tetap dan biaya rata-rata pada saat biaya totalnya

minimum.

6 – 7 Total penjualan sebuah perusahaan ditaksir mengikuti fungsi kuadrat

sebagai berikut : R = - 5q2 + 20q

Pertanyaan

(a) Berapa unit sebaliknya barang yang dijual agar total penjualannya

maksimum ?

(b) Berapa besar nilai total penjualan yang maksimum tersebut ?

19

(c) Buatlah garafiknya

6 – 8 Suatu pabrik kertas memproduksi kertas kualitas no. 1 sebanyak q1 m2 /

hari dan kualitas no. 2 sebanyak q2 m2/hari. Antara q1 dan q2 terdapat

hubungan sebagai berikut :

q2 = 500 -

harga kertas no. 2 adalah 2/5 harga kertas no. 1 tiap m2.

Berapa m2 masing-masing kertas diproduksi untuk memperoleh total

revenue (penerimaan total) yang maksimum ?

6 – 9 Kepala again riset dari suatu perusahaan berpendapat bahwa dalam jangka

pendek biaya rata-rata dapat dinyatakan dalam fungsi,

Bila = biaya rata-rata per unit dan q = kuantitas barang yang diproduksi.

Berapa unit sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar biaya rata-

ratanya menjadi terkecil (minimum) ? Dan berapa besar biaya rata-rata

minimumnya ?

6 -10 Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis manisan dengan bahan yang

sama dan teknik produksi yang sama pula. Kurva transformasi produknya,

q2 = 20 -

Bila q1 = kuantitas manisan kualitas satu dan q2 = kuantitas manisan

kualitas dua.

(a) Berapa jumlah terbanyak dari masing-masing manisan dapat

diproduksi ?

(b) Bila permintaan manisan kualitas satu, dua kali permintaan manisan

kualitas dua, berapa unit masing-masing sebaiknya diproduksi ?

(c) Buatlah sketsa grafiknya.

6 – 11 Fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang masing-masing sebagai

berikut,

q = 10 – 2p dan q = 4p – 2

q = kuantitas barang dan p = harga per unit barang

20

bila pemerintah mengenakan pajak sebesar t per unit terhadap barang yang

dijual.

(a) Tentukanlah penerimaan maksimum dari pajak yang diperoleh

pemerintah (pajak total maksimumnya)

(b) Tentukan besar t tersebut, agar diperoleh pajak yang maksimum dari

pajak.

6 – 12 Fungsi permintaan terhadap sejenis komoditi berbentuk,

q = - 5p + 20

q = Kuantitas komoditi, p = harga per unit komoditi tersebut,

pertanyaan

(a) Tentukanlah fungsi penerimaan / penjualan totalnya

(b) Berapa unit sebaiknya ia menjual barangnya agar total penjualan

maksimum ?

(c) Berapa harga per unit barang yang ia harus jual agar total penjualan

maksimum

(d) Gambarlah grafik dari fungsi penerimaan totalnya

6 – 13 Hukum pareto mengenai distribusi penghasilan dari sekelompok orang

tertentu, dinyatakan oleh fungsi :

N =

N = Jumlah individu, x = pendapatan (satuan dalam rupiah)

Pertanyaan :

(a) Berapa orang mempunyai penghasilan antara Rp. 125.000,00 dan Rp.

1.000.000,00

(b) Berapa distribusi penghasilan terendah dari 100 orang terkaya ?

6 – 14 Fungsi distribusi penghasilan dari sekelompok penduduk menurut hukum

Pareto dinyatakan oleh :

21

N =

N = Jumlah individu, x = penghasilan (satuan dalam jutaan rupiah)

Pertanyaan :

(a) Berapa orang yang punya penghasilan melebihi 2 juta rupiah

(b) Berapa orang mempunyai penghasilan antara 4 juta dan 10 juta rupiah

(c) Berapa besar pendapatan terendah dari 12 orang terkaya ?

6 – 15 Jika fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang

q = p2 – 12p + 36 dan q = p2 - 1

terhadap barang ini dikenakan pajak penjualan sebesar 20% per unit. Bila

p = harga per unit barang dan q = kuantitas barang tentukanlah :

(a) Harga dan kuantitas keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak

(b) Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen dan konsumen (dalam

%)

(c) Besarnya pajak yang diterima oleh pemerintah

6 – 16 Permintaan terhadap sejenis barang diperkirakan mengikuti fungsi pecah

yaitu hiperbola fermat. Data empiris menunjukkan keadaan sebagai berikut

: bila harga per unit barang tersebut 2, kuantitas barang yang diminta

sebanyak 25 unit. Bila harga per unit barang tersebut 5, kuantitas yang

diminta sebanyak 4 unit. Tentukanlah fungsi permintaan barang tersebut.

buatlah sketsa grafiknya. Berapa unit barang yang akan diminta harga per

unit barang tersebut 10.

6.3 Aplikasi Fungsi Eksponen dan Logaritma dalam Ekonomi

Fungsi pertumbuhan adalah salah satu contoh aplikasi fungsi

eksponen dan logaritma dalam bidang ekonomi dan bisnis (analisa ekonomi).

Sifat utama fungsi ini adalah meningkat secara menoton. Fungsi

pertumbuahan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa asimtut yang

merupakan batas atas.

22

Pembahasan fungsi pertumbuhan pada bagian ini dibatasi hanya pada

fungsi bunga majemuk, pertumbuhan penduduk / biologis, kurva (fungsi)

Gomperrtz dan kurva (fungsi) pengajaran.

Fungsi Bunga Majemuk

Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal

dibungakan asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesarnya k0

dibungakan k kali per tahun dengan bunga sebesar 100 r % (atau r) per tahun

maka setelah n tahun, modal tersebut akan menjadi :

Kn = K0 (6.2)

Apabila k sangat besar yaitu k → , maksudnya bunga yang dibayarkan secara

kontinyu atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaan

(6.2) di atas akan menjadi :

Kn = Ko.er.k (6.3)

Dengan,

Ko = Modal awal atau besar modal pada tahun yang ke nol.

Kn = Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke n.

e = Bilangan basis dalam logaritma Natural (e = 2,718 ...)

k = Kelipatan bunga yang dibayar per tahun

n = Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan

r = Besarnya bunga per tahun

jika fungsi Kn = Ko er.n dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut :

23

Gambar 6.11

Contoh 6 – 10

Seseorang menabung uang sebesar 4 juta rupiah dengan bunga 5 % per tahun.

Berapakah jumlah uangnya (pokok tabungan + bunga) setelah 10 tahun.

(a) Bila bunga dibayarkan sekali setahun

(b) Bila bunga dibayarkan per triwulan

(c) Bila bunga dibayarkan secara kontinyu per tahun

Penyelesaian

(a) Bunga dibayarkan sekali setahun, berarti k = 1

Ko = 4 juta n = 10 tahun r = 5 % = 0,05 Kn = ....?

Kn = Ko (1 + )n.k

= 4 ( 1 + )1x10

= 4 ( 1 + 0,05)10

= 4 (1,05)10

Kn = 6,515785 (pergunakan kalkulator)

Jadi, jumlah uang yang diterima setelah 10 tahun sebanyak 6,515785 juta

rupiah

Contoh 6 – 11

Seorang petani membutuhkan uang sebesar 5 juta rupiah pada 10 tahun yang akan

datang. Berapa jumlah uang yang harus ditabung mulai sekarang dengan bunga

24% per tahun untuk memperoleh jumlah uang yang diharapkan ?

Penyelesaian

Kn = 5 juta rupiah = Rp. 5.106

n = 10 tahun, r = 24 % = 0,24 dan k = 1

Ko = .... ?

Kn = Ko ( 1 + )1xn

5.106 = Ko (1 + 0,24)10

24

5.106 = Ko (1,24)10

K0 =

= 581.772,49

Jadi, uang yang harus ditabung mulai sekarang sebesar Rp. 581.772,49

Pertumbuhan Penduduk / Biologis

Bila penduduk suatu negara (daerah) pada suatu saat Po mengalami

pertumbuhan sebesar 100 r% per tahun (atau r pertahun), maka setelah t tahun,

jumlah penduduk menjadi :

PT = Po (1 + r )t (6.4)

Bagi suatu negara (daerah) dengan jumlah penduduk yang besar, maka

pertumbuhan penduduk berlangsung hampir kontinyu, maka jumlah penduduk

setelah t tahun menjadi :

PT = Po. er.t (6.5)

Misalkan (r + 1) pada persamaan (6.4) sama dengan R yaitu (r + 1) = R, maka

persamaan (6.4) di atas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Pt = Po Rt (6.6)

Pt = Jumlah penduduk pada tahun yang ke t’

Po = Jumlah penduduk pada tahun awal yaitu tahun yang ke nol

r = Tingkat pertumbuhan

R = (r + 1) = tingkat pertumbuhan + 1

25

Persamaan (6.6) di atas diperoleh juga pada model penduduk dengan setiap

anggota / individu menimbulkan R – 1 anggota / individu baru dalam satu satuan

waktu, dengan anggapan tidak ada anggota yang meninggal.

Teoritisi organisasi menyatakan bahwa fungsi Pt = Po Rt dapat dipergunakan untuk

menggambarkan pertumbuhan awal suatu perusahaan yang tumbuh dengan pesat.

Jika fungsi Pt = Po Rt dibuat grafiknya secara umum bentuknya sebagai berikut :

Gambar 6.12

Contoh 6 – 12

Pada tahun 1981 penduduk sebuah kota adalah 629.039 jiwa. Sedangkan pada

tahun 1986 jumlah penduduknya adalah 771.186 jiwa.

Pertanyaan :

(a) Berapa tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut

(b) Perkirakan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 1996

Penyelesaian

Persoalan di atas akan diselesaikan melalui sifat-sifat logaritma, walaupun juga

dapat diselesaikan melalui sifat-sifat eksponen.

(a) Po = 629.039

Pt = 771.186

t = 5 (dari tahun 1981 s.d 1986)

r = ....... ?

Pt = Po ( 1 + r )t

Log Pt = Log Po (1 + r )t

Log Pt = Log Po + Log (1 + r)t

Log Pt = Log Po + t Log (1 + r)

Log 771.186 = Log 629.039 + 5. log ( 1 + r )

26

5,8872 = 5,7987 + 5 . Log ( 1 + r )

5 Log ( 1 + r ) = 5, 8872 – 5,7987

= 0,0885

Log ( 1 + r ) =

( 1 + r ) = 1,0415

r = 1,0415 – 1

= 0,0415

= 4,15 %

Jadi tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut per tahun adalah 4,15 %.

(b) Dari tahun 1981 s.d 1996, ini berarti

t = 15

Po = 629.039

r = 0,0415

t = 15

Pt = ..... ?

Pt = Po (1 + r )t

Log Pt = Log Po ( 1 + r )t

Log Pt = Log Po + t . Log ( 1 + r )

= Log 629.039 + t. Log (1 + 0,0415)

= 5,7987 + 15 Log ( 1,0415)

= 5,7987 + 15 ( 0,0177 )

= 5,7987 + 0,2655

= 6,0642

Pt = 1159311,1

Jadi, jumlah anggota organisasi profesi tersebut setelah 5 tahun adalah 10.240

anggota (orang)

Fungsi Gompertz

27

Fungsi ini menggambarkan perkembangan yang lambat waktu mulai

tumbuh, dan waktu mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan

sebagai berikut :

N = C.aRt (6.7)

N = adalah jumlah penduduk pada tahun ke t

R = tingkat pertumbuhan (dengan 0 < R < 1 )

a = proposi pertumbuhan awal

C = tingkat pertumbuhan dewasa (yaitu asimtot tertinggi)

Sifat utama dari fungsi Gompertz digambarkan dengan dua jenis kurva di bawah

ini.

Type I : 0 < a <

Type II : < a < 1

Gambar 6.13

Kurva I, untuk nilai t kecil yang positif kurva cembung terhadap sumbu t

(berakselerasi positif) dan untuk nilai t besar yang positif, kurva cekung terhadap

sumbu t (berakselerasi negatif).

Sedangkan kurva II, untuk semua nilai t positif, kurva cekung terhadap sumbu t

(berakselerasi negatif).

Teoritisi organisasi menemukan dan menggunakan kurva Gompertz ini untuk

menggambarkan pertumbuhan organisasi. Kurva ini juga dapat dipergunakan

28

untuk fungsi ekonomi dan bisnis, seperti fungsi pendapatan total dan produksi.

Contoh 6 – 14

Penjualan setiap bulan dari sebuah perusahaan memenuhi fungsi

p adalah jumlah pengeluaran untuk promosi dan advertensi. S adalah penjualan /

omzet setiap bulan.

Pertanyaan

(a) Berapa besar penjualan bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi sama

dengan nol atau berapa besar penjualan awalnya ?

(b) Berapa penjualan maksimumnya ?

(c) Berapa besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 ?

Penyelesaian

(a) Jika P = 0, maka S adalah

S =

= 100

Jadi, penjualan awalnya adalah 100

(b) Penjualan maksimum terjadi saat, tingkat pertumbuhannya nol (R = 0)

= 1000 (1)

Jadi, penjualan maksimumnya adalah 1000

(c) Jika p = 5, maka S adalah

S = 1000(0,976697)

S = 976,697

Jadi, besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 adalah

976,697.

Fungsi Pengajaran

Fungsi pengajaran umumnya dipakai oleh psikolog untuk menggambarkan

taraf pertumbuhan pendidikan manusia, yang sifatnya meningkat cepat pada

29

awalnya dan semakin lambat ketika mendekati asimtot batas pertumbuhan. Fungsi

ini dinyatakan sebagai berikut :

y = C – a.e-k x (6.8)

C, a dan k adalah konstanta positif

y = keaktifan belajar, dan

x adalah variabel pendorong

sedangkan bentuk grafiknya secara umum adalah sebagai berikut :

Gambar 6.14

Fungsi pengajaran ini juga dapat digunakan untuk menjelaskan fungsi biaya dan

fungsi produksi.

Contoh 6 – 15

Biaya produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat

dinyatakan sebagai berikut :

C = 100 – 50 e – 0,02 q

C menyatakan biaya produksi dan q menyatakan kuantitas produksi.

Pertanyaan

(a) Berapa besar biaya tetapnya ?

(b) Bila berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya

terhadap biaya produksi totalnya ?

Penyelesaian

(a) Jika q = 0, maka C = ... ?

C = 100 – 50. e- 0,02(0)

30

= 100 – 50 . eo

= 100 - 50. 1 = 50

Jadi, biaya tetapnya (maksudnya jika tidak berproduksi atau jika q = 0) = 50

juta rupiah.

(b) Bila q = 100, maka biaya total (C) adalah,

C = 100 – 50 . e- 0,02(0)

= 100 – 50. e-2

= 100 –

= 100 -

= 100 – 6,7682

= 93,2318 juta rupiah

Jadi, proposi biaya tetap terhadap biaya total (untuk berproduksi 100 unit)

adalah :

=

= 53,63 %

Soal-soal Latihan

6 - 7 Seorang petani menabung Rp. 100.000,00 salama 15 tahun. Dua

kemungkinan dapat dilakukan, bunga majemuk 12 % per tahun dengan

bunga digabungkan setiap bulan atau bunga majemuk 15 % per tahun

dengan bunga digabungkan per kwartal. Pilihan manakah yang lebih baik

?

6 - 18 Jika anda ingin memiliki uang sebanyak dua juta rupiah sesudah 20 tahun

(20 tahun dari sekarang), berapa besarnya anda harus menabung mulai

sekarang bila tingkat bunga majemuk 15 % per tahun ?

6 - 19 Seorang mahasiswa menabung uang sebesar Rp 500.000,00 dalam jangka

waktu 20 tahun dengan tingkat bunga 15 % per tahun. Berapakah jumlah

uang yang terima setelah 20 tahun, jika

(a) Bunga dibayarkan tiap bulan ?

31

(b) Bunga dibayarkan 2 kali setahun ?

(c) Bunga dibayarkan per triwulan ?

(d) Bunga dibayarkan secara kontinyu ?

6 - 20 Jika suatu barang yang dihasilkan sebanyak q unit per hari dan selama t

hari kerja produksi berlaku fungsi,

q = 500 – 200. e -0,01 t

Pertanyaan

(a) Berapa unit barang per hari (q) yang dihasilkan setelah 10 hari kerja (

t = 10 ) ?

(b) Berapa unit kapasitas produksi maksimumnya ?

(c) Berapa persenkah hasil produksi selama 10 hari kerja dibandingkan

kapasitas produksi maksimumnya ?

6 – 21 Jumlah perusahaan dalam sebuah industri dinyatakan oleh fungsi,

N = 8(0,5)0,75t

t menyatakan jumlah tahun sejak industri itu mulai beroperasi.

Pertanyaan :

(a) Berapa Perusahaan berada dalam industri sesudah 6 tahun ?

(b) Berapa jumlah perusahaan berada dalam industri secara maksimum ?

6 – 22 Suatu organisasi massa mulai beroperasi dengan 5 orang anggota, setiap

anggota diperkenakan memasukkan 2 orang anggota baru setiap tahunya.

Berapa anggota organisasi tersebut setelah 10 tahun beroperasi ?

6 - 23 Pada tahun 2000 penduduk sebuah kota sebanyak 2,53 jiwa. Jika tingkat

pertumbuhan penduduk kota tersebut r = 1,2 % per tahun. Berapa jumlah

penduduk negara tersebut tetap r = 1,2 % per tahun. Berapa jumlah

penduduk kota tersebut pada tahun 2010, jika penduduk bertambah

secara kontinyu tiap tahun ?

6-24 Pada tahun 2000 penduduk sebuah negara sebanyak 203 juta jiwa. Jika

tingkat pertumbuhan penduduk negara tersebut tetap r = 1,2 % per tahun.

Berapa jumlah penduduk negara tersebut pada tahun 2005 ?

32

REFERENSI

Budnick, S. Frank. Applied Mathematics for Business, Economics, and The Social

Sciences. Ed. Ke-4, Singapore : Mc Graw – Hill, 1993. Bab 6 dan 7

Chiang, C. Alpha. Fundamental Methods of mathematical Economics. Ed. Ke – 3,

New York : Mc Graw – Hill, 1984. Bab 2

Dowling, Edward T. Mathematical for Economists. Singapore : MccGraw-Hill,

1980. Bab 2 dan 8

Purcell, Edwin J. dan Vargerg, Dale. Calculus With Analytic Geometry. Ed. Ke -

4. New York : Prentice – Hall, 1984 Bab 2

Weber, Jean E Mathematical Analysis, Business and Economics Application. Ed.

ke 4 New York : Harper dan Row Publishers , Bab 1

33