Axiomas de los nmeros reales De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsquedaPara que todos los procedimientos matemticos usados sean vlidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lgico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmacin no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmacin. Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Sern, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son. El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmacin no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamar corolario. Hay tres tipos de axiomas: -Los axiomas algebraicos -Los axiomas de orden -El axioma topolgico. El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicacin y divisin; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la nocin de continuidad. Existe un conjunto que tiene estas propiedades. Nace entonces el primer axioma Contenido [ocultar]-1 Axioma Fundamental -2 Axiomas Algebraicoso2.1 Anlisis axiomtico -3 Axiomas de Ordeno3.1 Anlisis axiomtico -4 Axioma topolgicoo4.1 Anlisis axiomtico -5 Vase tambin [editar] Axioma Fundamental Existe un conjunto que se denota porque satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden, algebraicos y topolgicos. El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los Nmeros Reales y sern los axiomas de este conjunto, las bases de una rama muy importante de la matemtica: el Anlisis matemtico. Se puede observar que, usando el lenguaje lgico matemtico, los teoremas que se demuestren, sern vlidos si los axiomas son vlidos, por lo que los teoremas sern del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmacin es cierta. [editar] Axiomas Algebraicos Los axiomas algebraicos, pudindose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adicin y de la multiplicacin. 1. Axiomas de la adicin A1.1 Para todo, existe un nico elemento, tambin en , denotado porque llamamos la suma dee. A1.2para todo. A1.3para todo. A1.4 Existe un elemento de, denotado portal que para todo. A1.5 Para cadaexiste untal que. 2. Axiomas de la multiplicacin A2.1 Para todo, existe un nico elemento, tambin en , denotado porque llamaremos el producto dee. A2.2para todo. A2.3para todo. A2.4 Existe un elemento de, que denotaremos portal que A2.5 Para cadatal que no sea cero, existe untal que . 3. Axioma de distribucin Este axioma conecta la suma con la multiplicacin: A3.1 Para todo. [editar] Anlisis axiomtico -El axioma (1.2)conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es vlido slo para sumas finitas. -El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la asociacion de la suma no altera el valor de sta. -El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los nmeros reales que, al ser sumado con cualquier nmero real, sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce tambin como el elemento neutro aditivo de este conjunto. -El axioma (1.5) dice que dado un nmero real cualquiera existe otro (nico) tal que la suma de ambos es nula. Si este elemento es, el nmero tal que la suma de ste y el otro nmero sea cero es. Este elemento se llama inverso aditivo de. -El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto. -El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conoce como propiedad asociativa de la multiplicacin. -El axioma (2.4) dice que existe un nmero real tal que el producto de ste con otro real, sigue siendo este ltimo. Este elemento denotado porse conoce como neutro multiplicativo. -El axioma (2.5) dice que para cualquier realno nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado porse conoce como inverso multiplicativo de. [editar] Axiomas de Orden Los axiomas de orden establecen una relacin de "cantidad" (vase construccin de los naturales). Esta relacin es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un nmero es menor que otro si est contenido en ste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra. Para establecer una relacin de orden, es necesario introducir el smboloque nos dir si un nmero es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el smboloque ya conocemos. Se dir queoslo sies menor que. O dicho de otra forma, sies mayor que. De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjuntotal que si y slo si. Se dan a continuacin los Axiomas de Orden O1.1 Si, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones: ;; O1.2 Siy adems, entonces. O1.3 Si, entoncespara todo O1.4 Siy, entonces. [editar] Anlisis axiomtico -El axioma (1.2) dice geomtricamente que siest a la izquierda dey ste a su vez a la izquierda de, entonces debe estara la izquierda de. Esta interpretacin es bastante til. (R,+, , ) es un cuerpo ordenado. [editar] Axioma topolgico Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un nmero irracional, como raz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topolgico que dice lo siguiente. Toda sucesin creciente y acotada superiormente es convergente. [editar] Anlisis axiomtico Hay varios conceptos en esta breve afirmacin (pero muy importante), que deben conocerse para entender el significado de este axioma. stos, son los de sucesin, creciente, acotado superiormente y convergencia. [editar] Vase tambin -Nmero real -Principio de buena ordenacin -Teorema -Clculo -Sucesin -Convergencia (matemticas) -Acotado LOS NUMEROS REALES VAMOS A EXPLICAR EL CONCEPTO, PROPIEDADES Y CARACTERISTICAS DE LOS NUMEROS REALES CONCEPTO DE CONJUNTO DE NUMEROS REALES El conjunto de los nmeros REALES se simboliza por 9El conjunto de los nmeros REALES contiene a los nmeros RACIONALES (R) y a los nmeros IRRACIONALES (I). De esta manera se cumplen estos enunciados: 1.Los REALES, resultan de unir los RACIONALES Y LOS IRRACIONALES:RI = 9 2.Los RACIONALES son el complemento de los IRRACIONALES:RC = I 3.Los IRRACIONALES son el complemento de los RACIONALES:IC = R 4.Los RACIONALES son un subconjunto propio de los REALES:R c 95.Los IRRACIONALES son un subconjunto propio de los REALES:I c 96.Los RACIONALES y los IRRACIONALES no tienen elementos comunes:R I = C AXIOMAS QUE DEFINEN LOS ELEMENTOS DE LOS NUMEROS REALES Axiomas de la suma Los elementos del conjunto de nmeros reales son de tal manera que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas: x, y, z e 9 Propiedad de cerradura de la suma(x + y) e 9Propiedad conmutativa de la sumax + y = y + xPropiedad asociativa de la suma(x + y) + z = x + (y + z)Propiedad del neutro aditivox + 0 = x, 0 e 9Propiedad del inverso aditivoSi x + y = 0, y = - xAxiomas del producto x, y, z e 9 Propiedad de cerradura del producto(x y) e 9Propiedad conmutativa del productox y = y xPropiedad asociativa del producto(x y) z = x (y z)Propiedad del neutro del producto1 x = x, 1 e 9Propiedad del inverso del productoSi x y = 1, y = 1/xAxiomas de orden x, y, z e 9 Exclusin del conversoSi (x = y) (x < y) (x > y)Propiedad de transitividad de la ordenacinSi (x < y) . (y < z) (x < z)Conservacin del orden en la sumaSi (x < y) (x + z) < (y + z)Conservacin del orden en el productoSi (x < y) . (0 < z) (xz < yz)Variacin del orden en el productoSi (x < y) . (z < 0) (xz > yz) Ecuaciones resueltos de primer gradoEjerci ci osresuel tos ecuaci onesdeprimergrado 14 Ejerci ci osresuel tos ecuaci onesdeprimergrado 13 Qui t amoscor chet e: Qui t amospar nt esi s: Qui t amosdenomi nador es: Qui t amospar nt esi s: Agr upamost r mi nos: Sumamos: Di vi di mosl osdosmi embr ospor :9 Ecuaciones de grado superiorEcuaci onesdegradosuperi ora dos Esunaecuaci ndecual qui ergradoescr i t adel af ormaP(x) =0, el pol i nomi oP(x)sepuededescomponer enf act or es depri mer ysegundogrado, ent oncesbast ai gual aracerocadaunodel os f actoresyresol verl asecuaci onesdepri mergradoyde segundogradoresul tantes.2x4+x38x2x+6=0 Uti l i zamosel teoremadel restoyl aregl adeRuf f i ni .P(x)=2x4+x38x2x+6 Tomamosl osdi vi soresdel trmi noi ndependi ente: 1, 2,3.Apl i candoel teoremadel restosabr emospar aqueval or esl a di vi si nesexact a.P(1)=2 14+138 121+6=2+181+6=0 Di vi di mosporRuf f i ni . Porserl adi vi si nexacta, D=d c (x1) (2x3+3x25x6)=0 Unar a zesx=1.Cont i nuamosr eal i zandol asmi smasoper aci onesal segundo f act or .Vol vemosapr obar por 1por queel pr i mer f act or podr aest ar el evadoal cuadr ado.P(1)=2 13+3 125x60 P(1)=2 (1)3+3 (1)25 (1)6=2+3+5 6=0 (x1) (x+1) (2x2+x6)=0 Ot r ar a zesx=-1.Losot r osf act oresl opodemosencont r ar apl i candol aecuaci n de2gr ado. Lassol uci onesson: x=1, x=1, x=2yx=3/2 INTERVALOSInterval oabi ertoycerrado Def i ni ci ndei nterval o Sel l amai nterval oal conj unt odenmerosreal es compr endi dosent reot r osdosdados:aybquesel l amanextremos del i nterval o.Interval oabi erto Interval oabi erto, (a, b), esel conj untodetodosl os nmerosreal esmayoresqueaymenoresqueb.(a, b)={x/a >cbcay bc ac( ) ( ) 151571) 5 + < + x x0 123456 78 -8 -7 -6 -5 -4 -3-2-1 Inecuaciones complejas Lasinecuacionescomplejassonaquellasqueconsistendedosinecuaciones que estn unidas por la conjuncin (or) por la conjuncin y (and). Ejemplos:Resuelve para xyrepresenta la solucin en la recta numrica: 1)3x + 2 > 14 2x 1 < -7 2)5x 1 - 4y3x 4 < 8 3)-3x + 1 7 3x + 1 -4 4)-43x 15 Prctica:Resuelvelassiguientesinecuacioneslinealeseinecuaciones compuestas (ejercicios 4 y 5)y representa la solucin en la recta numrica. 1) 5x + 2 < 4 x 2) 7(x 3) 4(1 + 2x) 4) 3x 4 < -1 2x + 3 13 5) 3x + 6 > -6 y 4x + 5 x = -13 x = -14 x = -12 Signo del producto + + + + + + + |- - - -- - - - - - - - - - -|+ + + + + + + + -1311/15 Ntese que al sustituir los valores de x de los puntos de referencia en la ltima desigualdad, se transforma en una proposicin verdadera. Esto es, si, entonces; tambin, si, entonces. En consecuencia, dichos puntos pertenecen al conjunto solucin. Como el signo del lado derecho de la ltima desigualdad es ">=0 ", interesa para la solucin los intervalos del producto con signo (+). Esto es, S = ( , -13] U [11/5, + ) es el conjunto solucin. Regresar a la Pgina Principal MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma La matriz anterior se denota tambin por (aij), i=1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por(aij).Los trminos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n.Las matrices se denotarn usualmente por letras maysculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minsculas, a, b, ...Ejemplo: donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

TIPOS DE MATRICESSegn el aspecto de las matrices, stas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradasUna matriz cuadrada es la que tiene el mismo nmero de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.Ejemplo:Sean las matrices Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. Matriz identidadSea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann.La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posicin, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,A I = I A = A. Matrices triangularesUna matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. As pues, las matrices son matrices triangulares superiores de rdenes 2, 3 y 4. Matrices diagonalesUna matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo, son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, pordiag(3,-1,7)diag(4,-3)ydiag(2,6,0,-1).

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.As, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m n, entonces AT = es la matriz n m. La trasposicin de una matriz cumple las siguientes propiedades:1.(A + B)T = AT + BT.2.(AT)T = A.3.(kA)T = kAT (si k es un escalar).4.(AB)T = BTAT. Matrices simtricasSe dice que una matriz real es simtrica, si AT = A; y que es antisimtrica,si AT = -A.Ejemplo:Consideremos las siguientes matrices: Podemos observar que los elementos simtricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo as, A es simtrica.Para Blos elementos simtricos son opuestos entre s, de este modo B es antisimtrica.A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simtrica ni antisimtrica. Matrices ortogonalesSe dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.Consideremos una matriz 3 3 arbitraria: Si A es ortogonal, entonces: Matrices normalesUna matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simtrica, antisimtrica u ortogonal, es necesariamente normal.Ejemplo: Puesto que AAT = ATA, la matriz es normalSUMA Y RESTA DE MATRICES Para poder sumar o restar matrices, stas deben tener el mismo nmero de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es as ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los trminos que ocupan el mismo lugar en las matrices.Ejemplo:

Para sumar o restar ms de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, stas tienen que ser cuadradas.Ejemplo: PRODUCTO DE MATRICES Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo nmero de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedar con el mismo nmero de filas de la primera y con el mismo nmero de columnas de la segunda.Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante ser de orden 2 5.(2 3) (3 5) = (2 5)Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podramos efectuar la operacin.3 5 por 2 3,puesto que la primera matriz no tiene el mismo nmero de columnas que filas la segunda.Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B; es decir, A es una matriz m p y B una matriz p n. Entonces el producto AB es la matriz m n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.Esto es,

Ejemplo:1.

2.

- Producto por un escalarEl producto de un escalar k por la matriz A, escrito kA o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k: Ejemplo:

Entonces:

DIVISIN DE MATRICES La divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y Btal que A/B = AB-1:Si una matriz est dividida entre un escalar, todos los trminos de la matriz quedarn divididos por ese escalar.Ejemplo: MATRICES INVERTIBLESSe dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de queAB = BA = Isiendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.Ejemplo:

Puesto queAB = BA = I,A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra MTODO DE GAUSS Sea A = (ai j) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: Paso 1. Construir la matriz n 2n M = (A I ) esto es, A est en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.Paso 2. Se deja tal y como est la primera fila de M, y debajo del primer trmino de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.Ejemplo:Consideremos una matriz 3 3 arbitraria

Paso 1. Paso 2. El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo trmino de la diagonal principal.Al llegar al ltimo trmino de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el ltimo trmino de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo est, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.Ejemplo:Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matriz M = (A I),

La mitad izquierda de M est en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operacin habra terminado (A no es invertible).A continuacin, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de ste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal. Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar ms. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1: La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A: Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.Comprobacin:AA-1 = I EJERCICIOS CON MATRICES Sean a) Qu clase de matrices son?b) Calcular: - A- B + C. A + B- C. 3A + C/2.c) Calcular:(A B) /C.d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado. Resolucin:a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimtrica porque los elementos simtricos son opuestos entre s. b)

c)Puesto que (A B) /C = A B C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.

- Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad, - Por lo tanto, la matriz inversa de C es: - A continuacin, se calcula el producto de las matrices A y B, - Por ltimo, calculamos (AB)C-1.

= - Sacando factor comn 1/3, el resultado puede escribirse como:

d)Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. As pues: - Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene .Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro, .- Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39, As pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor comn 1/78 se puede escribir como: - Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplirAA-1 = I. Procedamos a la comprobacin:

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESLa matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incgnitas es la siguiente: Cada fila de M corresponde a una ecuacin del sistema y cada columna a los coeficientes de una incgnita, excepto la ltima, que corresponde a las constantes del sistema.Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, especficamente, reducindola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.Mtodo de GaussPara resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el mtodo de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.Ejemplo:Sea el sistema, su matriz ampliada asociada es Ahora resolvemos por el mtodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los trminos independientes:

De este modo, el sistema tiene la solucin nicax = 2, y = -1, z = 3. La resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el mtodo de Gauss u otros, es una de las mltiples aplicaciones que tienen stas.Ejercicio:Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:

a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

La tercera fila se suprime, puesto que es mltiplo de la segunda y resultara una fila nula. As, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incgnitas: La solucin del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.x = -9 - y + 10tz = 7t - 7 (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t).Dependiendo de qu valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. As, para y = t = 0 tendremos la solucin del sistemax = -9, y = 0, z = -7, t = 0. b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

No hay necesidad de continuar calculando nada ms, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solucin. Especficamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacin0x + 0y + 0z + 0t = -5obteniendo como resultado0 = -5,que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solucin.

DETERMINANTESA cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o Una tabla ordenada n n de escalares situada entre dos lneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz.La funcin determinante apareci por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencin de stas.DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOSLos determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: = a11

As, el determinante de una matriz 1 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.Ejemplos:a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5. b)

DETERMINANTES DE ORDEN TRESConsideremos una matriz 3 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue: a12a21a33 - a32a23a11 Obsrvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos: Ejemplo:Calcular el valor del determinante: = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 3 A = (ai j ) puede reescribirse como: det (A) = a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31) =

que es una combinacin lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinacin lineal puede indicarse de la forma siguiente: Ntese que cada matriz 2 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente. Ejemplo:Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTESLas propiedades bsicas del determinante son las siguientes: 1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir, 2. Sea A una matriz cuadrada, -Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente= 0. -Si A es triangular, esto es, A slo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonceses igual al producto de los elementos de la diagonal. 3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operacin elemental entre filas o columnas,-Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|.-Si se ha sumado un mltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|. -Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|. 4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:-A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.- AX = 0 tiene solamente la solucin trivial.- El determinante de A no es nulo: |A| = 0. 5. El determinante es una funcin multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|. 6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.

DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIOSea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n n (siendo n un nmero par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera: Los signos se van alternando segn la posicin que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

Ejemplo: Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. As pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero. + = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140. EJERCICIOS CON DETERMINANTES Calcular los siguientes determinantes:

Soluciones:

= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.

= 1(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2(-56) == 74+112 = 186.

ADJUNTO DE UNA MATRIZConsideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado poradj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A: Ejemplo:

Los cofactores de los nueve elementos de A son: La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A: - Aplicacin del adjunto para hallar la matriz inversaPara toda matriz cuadrada A, A(adj A) = (adj A) A = |A|I De este modo, si |A| = 0, Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro mtodo la inversa de una matriz.Ejemplo:Consideremos la matriz y el det A: As pues, aplicando la propiedad anterior:

Ejercicio: Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:a) b) a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A: El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, as pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son: B11 =5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3y el adjunto de B, denotado por adj B, ser b) Empezaremos por hallar el det A, Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A: Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

CLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZConsideremos la matriz A = (aij): 1. El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la lneas (filas o columnas) cuyas entradas estn slo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.2. Consideremos la matriz:A1 = (a11, a12, ..., a1N)y supongamos que

entonces : rango (A) > rango(A 1) = 1 3. Aadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla: tal que posea un menor no nulo de la forma:

Por consiguiente,rango (A) > rango(A 2) = 2. Si esto no hubiese sido posible, entonces: rango (A) = 1. Supongamos que rango (A) > rango (A2) y que i = 2 y j = 2. 4. Aadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla: de forma que posea un menor de orden tres de la forma: Entonces:rango (A) > rango (A2) = 3.En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:rango (A) = rango (A2) = 2.Suponiendo que rango (A) > rango (A3) y que i = 3 y j = 3, se procedera como en los casos anteriores, y as sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A. Ejemplos:a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A). Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como mximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. As pues

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.Aadimos ahora una columna y una fila ms para ver si el rango puede ser tres: Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango(A) = 3.No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, sta tiene que ser cuadrada. As, en el siguiente ejemplo: b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 4. Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuacin los determinantes de orden superior: Probamos con un segundo determinante de orden tres: As pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recurdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, stas tienen que ser cuadradas

REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones segn la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna est formada por las entradas de los coeficientes de la primera incgnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incgnita, y as hasta llegar a la ltima columna, que estar constituida por las entradas de los trminos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los trminos independientes; b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incgnita; c) continuar sustituyendo los trminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incgnitas. Ejemplo:Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incgnitas: Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales: El segundo paso es calcular el determinante de A. As pues: Y el tercero y ltimo paso consiste en calcular las incgnitas:

ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A continuacin, se estudiar la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucin y si tienen una nica o infinitas soluciones.El estudio o discusin de los sistemas de ecuaciones se efecta aplicando el teorema de Rouch-Frbenius. ste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:1. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solucin. 2. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solucin. El primer caso puede dividirse en dos: a) que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una nica solucin; b) que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones. Sea un sistema no homogneo: En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es: y el sistema ser compatible cuando: rango (A) = rango (A b), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.Si el sistema anterior es compatible yrango (A) = rango (A b) = nmero de incgnitas,el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una nica solucin. Si, por el contrario, tenemos querango (A) = rango (A b) < nmero de incgnitas,el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Si rango (A) = rango (A b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucin. Ejemplos:Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

Puesto que rango (A) = 1 = rango (A b) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solucin.

Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nmero de incgnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una nica solucin. Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 < nmero de incgnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones. Ejercicio:Discutir y calcular el valor de las incgnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a)

Calculamos a continuacin el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b): El rango de la matriz A ser: El rango de la matriz ampliada (A b): Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nmero de incgnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una nica solucin. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer: Calculamos el det (A): Aplicando la regla de Cramer: x = 68/23; y = -53/23; z = -42/23.

1.4Ejercicios resueltos de matrices -Apunt es-Ej er ci ci os1-Ej er ci ci os2-Ini ci o -Ej erci ci os -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 Ejerci ci osdedetermi nantes 1Cal cul ael val or del det er mi nant e: 2Apl i candol aspr opi edadesdel osdet er mi nant es, cal cul ar : 3Apl i candol aspr opi edadesdel osdet er mi nant es, cal cul ar : 4Pasandoadet er mi nant est r i angul ar es, cal cul ar el val or de: 5Cal cul ar l osdet er mi nant esdeVander monde: 6Cal cul ar el val or del ossi gui ent esdet ermi nant es: 7Demost r ar , si ndesar r ol l ar , quel ossi gui ent esdet er mi nant es val encer o: 8Si el val or del det er mi nant e. Cal cul arel val or de: 9Sabi endoque|A|=5, cal cul al osot r osdet er mi nant es. 10Demost r arquel ossi gui ent esdet er mi nant essonml t i pl os de5y4r espect i vament e, si ndesar r ol l arl os 11Demost r ar , si ndesar r ol l ar , queel si gui ent edet er mi nant ees ml t i pl ode15: 12Demost r ar queel si gui ent edet er mi nant eesdi vi si bl epor 21: 13Demust r esel asi gual dadesquesei ndi can, si nnecesi dad dedesar r ol l ar l osdet er mi nant es: 1 2 14Resol ver l assi gui ent esecuaci onessi ndesar r ol l ar l os det er mi nant es.1 2 15Hal l ar l amat r i zi nver sade: 16Par aquval or esdexl amat ri zno admi t emat r i zi nver sa? 17Par aquval or esdexl amat r i z no admi t emat r i zi nver sa? 18Cal cul ar el r angodel assi gui ent esmat r i ces:1 2 3 19Resol ver l assi gui ent esecuaci onesmat r i ci al es: 1A X=B 2X A+B=C 20Resol ver l asecuaci nmat r i ci al : A X+2 B=3 C -Apunt es-Ej er ci ci os1-Ej er ci ci os2-Ini ci o -Ej erci ci os -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 Ejerci ci osresuel tosdedeterminantes 10 Demost r arquel ossi gui ent esdet er mi nant essonml t i pl osde5 y4r espect i vament e, si ndesar r ol l ar l os