ausgleichungsrechnung ii gerhard navratil zufallsprozesse einleitung stochastische prozesse...

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Zufallsprozesse

• Einleitung

• Stochastische Prozesse

• Empirische Schätzung stochastischer Prozesse


Einleitung

• Bisher: zeitliche Komponente irrelevant• Untersuchung dynamischer Systeme

benötigt Auswertemodelle, die den Faktor Zeit berücksichtigen

• Ausgangspunkt: Messwerte in enger zeitlicher Abfolge Zeitreihe

• Neue Denkweise: Aufeinanderfolgende Realisierungen sind nicht voneinander unabhängig


Stochastische Prozesse (1)

• Stochastischer Prozess = Menge von Zufallsgrößen, die durch Parameter geordnet sind: {X(t)}

• t ist nicht zufällig, muss nicht die Zeit sein• Wenn nach Zeit geordnet: zeitvariater

stochastischer Prozess oder stochas-tischer Prozess im engeren Sinne

• Stochastische Prozesse mit räumlicher Struktur: Geostatistik



• Sind theoretische Größen ähnlich Grundgesamtheit

• Können zu jedem Zeitpunkt unendlich viele Werte annehmen

• Zu jedem Zeitpunkt kann nur eine endliche Menge davon beobachtet werden

• Stichprobe = Zeitreihe• Registrierte Messungen bilden Funktion

des Parameters t – eine Realisierung



• Mehrere Messwerte je Zeitpunkt: verschiedene Realisierungen

• Gesamtheit der Zeitreihen: Menge aller Realisierungen

• In der Praxis notwendig: Konstante Schrittweite t

• Fehlende Daten: Interpolation• Sinnvolle Aussagen: große Anzahl von

Realisierungen (>50)



Modellierung meist kontinuierlich

• Vereinfacht graphische Darstellung

• Hinweis darauf, dass beobachtetes Phänomen auch zwischen den Beobachtungszeitpunkten einen Wert hat


Parameter

• Erwartungswert

• Varianz

• Kovarianz

• Korrelation


Erwartungswert

• Messwerte zum Zeitpunkt ti: Realisierungen einer Zufallsgröße Xi

• Somit Erwartungswert definiert

• Erwartungswert des Prozesses:

• Wert an der Stelle ti:

• Definiert eine mittlere Funktion – i.A. keine Gerade

tXEt ii XEt


Varianz

•

• Für jeden Zeitpunkt gleich der Varianz von Xi

• Diagramm mit Mittelwert und Standard-abweichungen gibt das Streuungsband


Kovarianzfunktion

• Stochastischer Prozess zu den Zeit-punkten t1 und t2: Zufallsgrößen X(t1) und X(t2)

• Lineare stochastische Abhängigkeit

• 2-dimensionale Autokovarianzfunktion

22112121 ,Cov, ttXttXEtXtXttxx


Korrelationsfunktion

• Normierung der Autokovarianzfunktion

• Korrelation der Zufallsgrößen zu verschie-denen Zeitpunkten = innere Zusammenhänge

• Aussagen über Erhaltungstendenz – schnell abfallend: „short memory“-Effekt

221

2

2121

,,

tt

tttt xx

xx


Kreuzkovarianz/Kreuzkorrelation

• Betrachtung zweier Prozesse, neuer zwei-dimensionaler Prozess

• Kreuzkovarianzfunktion

• Kreuzkorrelationsfunktion

• Informationen über Wechselbeziehungen zweier Prozesse

221

2

2121

,,

tt

tttt

yx

xyxy


Stationäre Prozesse (1)

• Verteilungsparameter invariant gegenüber zeitlicher Verschiebung: stationärer Prozess

• Gültig für alle Parameter: starke Stationarität• Nur Erwartungswert und Varianz: schwache

Stationarität – Autokorrelationsfunktion nur von Zeitdifferenz abhängig

• Beispiele: Rauschen in Elektronenröhren, Fading, Abweichungen selbstregelnder Systeme unter konstanten Bedingungen


Stationäre Prozesse (2)

• Möglicher Grund für Instationarität: Trend (unperiodische zeitliche Veränderung) oder periodische Komponente

• Trend und Periode sind deterministische Größen – oft aus physikalischen Modellen bestimmt – entspricht Signal


Prüfung auf Instationarität

• Möglichkeiten:– Zufallskriterium von Cornu

mit

– Kriterium von Abbefrei von syst. Einflüssen bei A/B=2

• Prüfung auf systematische Einflüsse

• In der Praxis oft nur Augenschein

ns

t )2(21

2 2

2

ns

n

sv

tT

i

i

Pvv

2und

1

1

21

1

2 )(,n

iii

n

ii vvBvA


Gaußsche/Ergodische Prozesse

• Gaußscher Prozess: Zufallsgrößen sind normalverteilt – die ersten beiden Momente reichen zur Beschreibung aus keine Unterscheidung zwischen starker und schwacher Stationarität nötig

• Ergodischer Prozess wenn eine Realisierung für die Beschreibung ausreicht:– Erwartungswert und Varianz konstant– Kovarianzfunktion stetig, nur von Zeitdifferenz

abhängig– Statistische Informationen aus zeitlicher Mittelbildung

ableitbar


Empirische Schätzung (1)

Allgemeiner stochastischer Prozess (1)

• Voraussetzung: Hinreichend große Anzahl n unabhängiger Realisierungen

• Wahl des Anfangspunktes t0 = 0, davon gleich lange Intervalle t abgetragen

• In jedem Intervall: arithm. Mittel der Werte

• Annäherung der Werte durch geeignete Funktion Mittelwertfunktion



Allgemeiner stochastischer Prozess (2)• Kovarianzfunktion: Schätzwert über

mit den Werten der j-ten Realisierung xj

• Durchläuft t1, t2 alle Werte: Reihe von Schätzwerten Annäherung durch ge-eignete Fläche gibt Autokovarianzfunktion

• Kreuzkovarianzfunktion analog

n

jjjxx txtxtxtx

nC

12211

1

n

jjjxy tytytxtx

nC

12211

1



Ergodischer stochastischer Prozess (1)

• Anfangspunkt t0 = 0, gleich lange Intervalle t abgetragen

• Erwartungswert: arithmetisches Mittel der Klassenmittel

• Autokovarianzfunktion:

• Bedingung: mind. 10 Werte pro Klasse

kn

ikiixx xxxx

knkC

1

1




• Zugehöriger zeitlicher Abstand = k t

• Gesamter Verlauf der Autokovarianz-funktion: geeignete Funktion durch Stützwerte gelegt

• Kreuzkovarianzfunktion analog

kn

ikiixy yyxx

knkC

1

1




• Stützwerte der Korrelationsfunktion durch Normierung

• Autokorrelationsfunktion

• Kreuzkorrelationsfunktion

0xx

xxxx C

kCkR

0xy

xyxy C

kCkR

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