Prof. Dr. Jos Carlos Rodrigues

07/03/2015

Dinmica dos Fluidos

Equao da Continuidade

Velocidade e Acelerao

Escoamento Turbulento

Aplicao

Aplicaes

07/03/2015

OPERAES UNITRIAS I 07/03/2015 3

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https://www.youtube.com/watch?v=MfMXwhs0gTk

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No tubo da Figura determinar a Vazo em Volume ( ) e a velocidade mdia na seo (2) sabendo-se que o fluido gua e que 1 = 10

2 2 = 5 2.

A1 A2

1 = 1

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1 1 =

=1 1

=1 10 2

5 2= 2

= = 2 52

= = 2 52 100

1 = 200

5 2 = 1000

3

= 1

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leo

gua

Um tubo admite gua ( = 1000 3)num reservatrio com umavazo de 20 L/s. No mesmo reservatrio trazido leo ( = 800 3)por outro tubo com uma vazo de 10 L/s. A mistura homognea formada descarregada por um tubo cuja seo tem rea igual a 3 = 30

2 .Determinar a massa especfica da mistura no tubo de descarga e avelocidade da mesma.

A1

A2

A3

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1 + 2 = 3

11 + 22 = 33

Vazo em massa:

111 + 222 = 333

11 + 22 = 33

3 =11 + 22

3=1000 3 20 + 800 3 10

30 = 933,33 3

3 = 933,33 /3

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Vazo em Massa:

3 = 333 = 933,33

3 3 30

2 12

1042

30 1 3

1000 933,33

3= 933,33

3 3 30

2 12

1042

3 = 10

3 = 33 = 333

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Os sistemas que iremos utilizar so inerciais ou em movimento, dependendo da convenincia do problema estudado.

O que realmente nos interessa o movimento relativo entre o fluido e o objeto.

Assim, no movimento de umbarco dentro da gua, poder nosinteressar fixar o sistema aobarco e pensar no fluido emmovimento em torno do barco.

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Quando um objeto se move mais rpido que a velocidade do som, coisasengraadas acontecem. A bala na imagem acima est se movendo to rpido queo ar na frente dela no consegue sair do caminho com a rapidez necessria. Entoele comea a se acumular na frente da bala, formando uma rea de arcomprimido: uma onda de choque.

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Fixado o observador ao barco, como nos slides anteriores, aconfigurao do fluido em torno do barco ser sempre a mesma,sendo o regime permanente.

Vejamos como determinar a acelerao das partculas de um fluido no caso de regime permanente e no caso de variado.

= + +

Se o regime for permanente, nem a velocidade nem suas componentes sero funo do tempo, sendo somente funo do ponto. Logo:

= , ,

= , ,

= , ,

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=

Como funo de funo permite escrever:

=

+

+

=

; =

; =

Mas:

Ento:

=

+

+

(Regra da Cadeia)

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Considerando que: = + +

Temos que:

=

+

+

=

+

+

=

+

+

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As equaes em coordenadas cartesianas ficaro segundo suas componentes:

= =

+

+

= =

+

+

= =

+

+

PRODUTO ESCALAR DE VETORES

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=

+

+

=

+

+

=

+

+

Acelerao de Transporte

Indicam a variao da velocidadesomente com a mudana de posio

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No caso do fluido em REGIME VARIADO teremos que levar em conta tambm a variao da velocidade com o tempo

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

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As parcelas:

Representam a acelerao local, pois indicam a variao da velocidade num certo ponto, somente com o tempo.

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=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

As equaes abaixo mostram que as partculas de um fluido podem apresentaracelerao mesmo quando a velocidade constante em cada ponto com otempo, pois podemos ter variaes de ponto para ponto.

Somente se a velocidade for a mesma em todos os pontos, em qualquer instante, a acelerao ser nula.

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Alguns livros trazem a seguinte expresso para o clculo da velocidade mdia em condutos quando o regime de escoamento TURBULENTO:

=

1

Esta abordagem envolve um perfil de Lei de Potncia, a qual resulta em boaaproximao para a velocidade mdia no conduto, embora no to exata quanto autilizao de Perfil Semi-Log (o qual no ser discutido em nosso curso).

(1)

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Para tubos lisos o valor do coeficiente n dado em funo do nmero de Reynolds, conforme Tabela 1.

= >

n 6 7 9 10

Tabela 1. Expoente n para tubos lisos

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Onde n situa-se entre 5 e 10, usualmente um inteiro. A relao pode ser integrada para dar a velocidade mdia no tubulao:

=1

2 0

2 =22

( + 1)(2 + 1)

Onde o valor de n na Equao (1) est empiricamente relacionado a (fator de frico ) pela equao:

= 1 2 =1

2(2)

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Rr

y

Do perfil temos que:

=

Ento:

=

Das condies de contorno temos que quando:

= 0 = = = 0

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Temos ainda que:

= 2 = 2

=1

=

1

0

2

=1

2 1

12

= 1

1

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=22

1

1 =

22

1

=22

1 =

22

1

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=22

0

1 =

22

0

1 ()

=22

0

1

1 ( ) =

22 1

0

( 1 1+1)

=2

2 1 0 1 0

1

+1 y

=22 1

0

( 1 1+1)

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=22 1

0

1 0

1+1 y

=22 1

0

1 0

1+1 y

=22 1

+1

+ 1

2+1

2 + 1

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=22 1

+1

+ 1

2+1

2 + 1

=22 1

2+1

+ 1

2+1

2 + 1

=22 1

2+1 1

+ 1

1

2 + 1

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=22 1

2+1 1

+ 1

1

2 + 1

=2 2+1

2+1 1

+ 1

1

2 + 1

= 2

+ 1

2 + 1

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= 2

+ 1

2 + 1

= 2 2 + 1 ( + 1)

+ 1 (2 + 1)

= 222 + 2

+ 1 (2 + 1)

= 22

+ 1 (2 + 1) C.Q.D