aula 23 funÇÕes trigonomÉtricas de um Ângulo...

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AULA 23 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO: PROF. PAULO AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DEFINIÇÕES: Para os ângulos agudos, temos as seguintes definições das funções trigonométricas: hipotenusa oposto cateto seno = hipotenusa adjacente cateto seno = cos adjacente cateto oposto cateto gente = tan ou seno seno gente cos tan = oposto cateto adjacente cateto angente = cot , seno seno angente cos cot = ou tagente angente 1 cot = adjacente cateto hipotenusa ante = sec ou seno ante cos 1 sec = oposto cateto hipotenusa ante = sec cos ou seno ante 1 sec cos = a b sen = a a c = a cos c b tg = a b c g = a cot c a = a sec b a = a sec cos . a 90 o -a A B C a b c

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AULA 23FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO:PROF. PAULOAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICASDEFINIÇÕES:Para os ângulos agudos, temos as seguintes definições das funçõestrigonométricas:

• hipotenusa

opostocatetoseno =

• hipotenusa

adjacentecatetoseno =cos

• adjacentecateto

opostocatetogente =tan ou

seno

senogente

costan =

• opostocateto

adjacentecatetoangente =cot ,

seno

senoangente

coscot = ou

tagenteangente

1cot =

• adjacentecateto

hipotenusaante =sec ou

senoante

cos

1sec =

• opostocateto

hipotenusaante =seccos ou

senoante

1seccos =

a

bsen =a

a

c=acos

c

btg =a

b

cg =acot

c

a=asec

b

a=aseccos

. a

90o-a

A B

C

a

b

c

Observação:Das definições acima, temos:

( )a

bsen =-= aa 090cos ( )

a

csen =-= aa 090cos

ÂNGULOS NOTÁVEIS

Os ângulos de 300, 450 e 600 são utilizados com muita freqüência epor isso convém memorizá-los. Para isto temos uma tabela que resumeesses valores:

300 450 600

sen 2

1

2

2

2

3

cos2

3

2

22

1

tg3

3 1 3

OUTRAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICASNa trigonometria temos uma relação muito importante chamada:

RELAÇÃO FUNDAMENTAL 12cos2 =+ aasen ÔÓ

ÔÌÏ

-=

-=

aa

aa22

22

cos1

1cos

sen

sen

Relações auxiliares: aa 22 sec1 =+tg

aa 22 seccoscot1 =+ g

Exemplos:

1) Calcule o seno, o cosseno , a tangente, a cotangente, a secante e acossecante de a na figura seguinte:

Resolução:Inicialmente vamos calcular a hipotenusa.a2 = 72 + 242 fi a2 = 625 \ a = 25

Então, temos:

25

77=fi= aa sen

asen

25

24cos

24cos =fi= aa

a

25

7=atg

7

25cot =ag

24

25sec =a

7

25seccos =a

2) Uma pessoa sobe uma rampa de 10m de comprimento e se elevaverticalmente 5m. Qual o ângulo que a rampa forma com o planohorizontal?

Resolução:

a

A B

C

a7

24

.q

10m

5m

Seja q a medida do ângulo procurado. Então, temos:030

2

1

10

5=\=fi= qqq sensen

3) Um observador enxerga uma montanha segundo um ângulo a.Caminhando 420m em direção à montanha, passa a enxergá-lasegundo um ângulo b. Calcule a altura da montanha, sabendo que

2

1=atg e

3

2=btg .

Resolução: Observe, na figura, que:

2

3

3

2 hx

x

htg =fi==b (1)

42022

1

420+=fi=

+= xh

x

htga (2)

De (1) e (2) temos:

2h -2

3h= 420

8404202

=fi= hh

Resposta: 840m.

4) Simplificando a fração senx

x2cos1-, obteremos:

Resolução:

==-

senx

xsen

senx

x 22cos1senx

a b

h

420m x

EXERCÍCIOS:1) Calcule o seno, cosseno e a tangente de a e de b na figura a

seguir:

2) (Vunesp) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, faz umângulo de 300 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe estarampa inteira eleva-se verticalmente:

a) 17mb) 10mc) 15md) 5me) 8m

3) (Fuvest) Calcule x indicado na figura.

4) (U.F.Viçosa) Satisfeitas as condições de existência, a expressão

xgx

xsenE seccos.

cot

1 2

˜¯

ˆÁÁË

Ê -= , é idêntica a:

a) senxb) cosxc) 1d) 0e) secx

.

a

A B

C

a5

12

b

.

x

y

300 600

100m

5) Se 00<x<900 e 2

1=senx , então o valor da expressão

E = cossecx + cosx.tgx é:

a)2

5

b)2

3

c)2

1

d)3

6

f) 1

Resolução dos exercícios:1)

5

12

13

5cos,

13

1212

5

13

12cos,

13

5

13169125 2222

===

===

=fi=fi+=

bbb

aaa

tgesen

tgesen

aaa

2) Observe a figura:

mxxx

sen 10202

1

20300 =fi=fi=

Resposta: b

3) Observe, na figura, que:

33600 yxy

x

y

xtg =fi=fi= (1)

( ) 310031003

3

100300 +=fi

+=fi

+= yx

y

x

y

xtg (2)

De (1) e (2) temos:

.300

20m

x

( ) 310033 += yy

35050 =fi= xy

Resposta: .350 m

4) xsenx

senx

xx

xgx

xsenE cos

1.

coscos

seccos.cot

1 22

==˜¯

ˆÁÁË

Ê -=

Resposta : b

5)

0

00

30

2

1

900=fi

Ô

Ô˝

¸

=

<<x

senx

x

portanto, 3

3

2

3cos,2

1seccos ==== tgxex

senxx

Assim: 2

5

2

12

3

3.

2

32 =+=+=E

Resposta: a