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    Aula 02Vetores

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    CursoEdificaes 2Fsica Aplicada

    Professor Formador Adolfo tila Cabral MoreiraRede e-Tec Brasil

    Meta da aula

    Introduzir o conhecimento sobre vetores e as operaes de soma e subtrao dos vetores.

    Objetivos

    Ao final desta aula, voc dever ser capaz de:

    1. Diferenciar as grandezas escalares das grandezas vetoriais;

    2. Identificar vetores e suas representaes;

    3. Somar e subtrair vetores.

    4. Decomposio de vetores.

    Pr-requisito

    Nesta aula voc vai precisar relembrar trigonometria e geometria plana, assuntos aprendidos na disciplina de matemtica.

    Introduo

    Voc sabe o que grandeza fsica?

    A fsica trabalha com inmeras grandezas. Uma boa parte dessas grandezas representada por um nmero e uma unidade

    de medida.

    o caso do tempo, por exemplo: a durao da viagem de Juazeiro do Norte a Fortaleza, foi de 6 horas e 20 minutos. Estas

    grandezas so chamadas de grandezas escalares.

    Imagine agora, que voc esteja dirigindo um carro em uma estrada e, de repente, voc se depare com um tronco de rvore

    atravessado no caminho, impedindo a passagem do seu automvel. Para retir-lo do local, voc deve empurrar esse tronco.

    Mas como voc deve fazer isso? Como voc deve fazer para retirar o tronco da maneira correta, sem se machucar?

    Onde voc deve colocar as mos? Para que lado empurrar? Qual deve ser a fora necessria para conseguir movimentar esse

    tronco?

    Como voc pode perceber, existem algumas grandezas fsicas que necessitam de algo a mais para poderem ser

    caracterizadas por completo. Como mostra o exemplo anterior, apenas o nmero e a unidade no o suficiente para voc

    conseguir definir essa grandeza (a fora). Esse algo a mais denominado direo e sentido.

    Direo definida como o ngulo que uma reta faz com a horizontal ou vertical dependendo da referncia utilizada pelo

    observador. Retas paralelas tm a mesma direo e retas transversais tm direes diferentes.

    Podemos percorrer uma direo de duas maneiras diferentes (da esquerda para direita ou da direita para esquerda), essas

    maneiras foram denominadas de Sentido.

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    CursoEdificaes 3Fsica Aplicada

    Professor Formador Adolfo tila Cabral MoreiraRede e-Tec Brasil

    Figura 5.1 Direo e sentido tambm so grandezas da fsica.

    Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1186848- Sergio Roberto Bichara

    Nesta aula, voc estudar o vetor, sua representao e as operaes de soma e subtrao para assim entender e trabalhar

    com as grandezas vetoriais usadas neste curso, como por exemplo, as foras atuantes nas estruturas dos edifcios, nas

    pontes, nas vigas dos telhados, a localizao de um prdio em relao a um referencial, entre outros.

    Captulo 2 Os vetores e suas representaes

    Como foi dito anteriormente, existem dois tipos de grandezas fsicas:as escalares e as vetoriais. Na realizao de

    clculos com as grandezas escalares, basta utilizar as operaes aritmticas, como por exemplo, a soma das massas de duas

    melancias (2,5 kg + 1,8 kg = 4,3 kg).

    Porm, em se tratando da grandeza vetorial, preciso levar em considerao a direo e sentido, tornando os

    clculos um pouco mais complexos. Por isso, ser necessrio introduzir um ente matemticodenominado de vetor. A palavra

    vetor vem do latim vector, e tem vrios significados. Um deles aquele que conduz. Na fsica, usada uma definio

    simplificada, como sendo um segmento de reta orientado que representa uma grandeza fsica.

    Ente matemtico um termo usado na matemtica para nomear todo e qualquer elemento da

    matemtica.

    A notao do vetor feita por uma nica letra com uma seta sobre ela (

    ), ou por uma nica letra, com fonte em

    negrito e itlico (b). Essa a notao mais utilizada em livros e a que ser adotada nesta disciplina.

    Para o mdulo do vetor, ou seja, para o comprimento do segmento de reta usado a mesma notao de vetores,

    colocado entre duas barras paralelas ( ) ou simplesmente pela letra em itlico (b). Essa ltima ser adotada nestadisciplina.

    J graficamente, um segmento de reta com uma seta em uma das extremidades representa um vetor, pois mostra a

    direo, atravs da inclinao do segmento e o sentido, pela a ponta da flecha. Tambm se pode identificar o mdulo pelo

    comprimento da flecha. Veja figura 2.2:

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    Figura 2.2 Representao grfica de vetores

    Como saber que dois vetores so iguais?

    Dois vetores so considerados iguais quando possurem o mesmo mdulo, direo e sentido, independente da sua

    localizao no espao. Veja os vetores ae bda figura a seguir: a= b.

    P3P1

    P2 P4

    Atividade 1

    Atende aos objetivos 1 e 2

    Com relao a vetores e grandezas vetoriais, observe as afirmaes abaixo e marque Vpara verdadeira e Fpara falso.

    1. ( ) A massa de um corpo uma grandeza vetorial.

    2. ( ) Velocidade e acelerao so grandezas vetoriais.

    3. ( ) Uma grandeza vetorial necessita de direo, sentido e intensidade para ser totalmente definida.

    4. ( ) ||representa um vetor, denominado de a.5. ( ) A representao grfica de um vetor dada por um segmento de reta orientado.

    Captulo 3 Soma de vetores

    Como os vetores so entes matemticos, ento podemos tambm realizar operaes com eles (vetores). Essas

    operaes podem ser de soma, subtrao e multiplicao. Para voc entender bem as operaes, comearemos com a soma

    de vetores.

    As operaes com vetores se diferenciam um pouco das operaes matemticas com nmeros, pois necessitamos

    identificar a direo e o sentido do resultado da operao. Para realizar a operao de soma, os matemticos descobriram

    dois mtodos grficos, a regra do paralelogramo, a regra do polgono e um mtodo analtico. Comearemos os nossos

    estudos pelos mtodos grficos.

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    Figura 2.3 O sinal de soma +

    Fonte: http://www.sxc.hu/photo/910922 - blumik (nick)

    3.1.Mtodo geomtrico

    Para realizar operaes com vetores ser utilizada, primeiramente, a representao grfica e, a partir dela, chegar

    aos clculos algbricos.

    Imagine F1e F2como vetores, como mostra a figura a seguir:

    F1

    F2

    Figura 2.4: Vetores F1 e F2

    Para realizar a soma dos vetores, ser necessrio recorrer a um princpio prtico denominado regra do

    paralelogramo.

    Paralelogramo um polgonode quatro lados (quadriltero) cujos lados opostos so iguais e

    paralelos. Por conseguinte, tem ngulos opostos iguais.

    A lei do paralelogramo para a adio de vetores to intuitiva que sua origem desconhecida. Pode ter aparecido

    em um trabalho, agora perdido, de Aristteles (384 - 322 a.C.), e est na Mecnica de Hero (primeiro sculo d.C.)

    de Alexandria. Tambm era o primeiro corolrio no Principia Mathematica(1687), de Isaac Newton (1642 - 1727).

    No Principia, Newton lidou extensivamente com o que agora so consideradas entidades vetoriais (por exemplo,

    velocidade, fora), mas nunca com o conceito de um vetor. O estudo sistemtico e o uso de vetores foram

    fenmenos do sculo 19 e incio do sculo 20.

    Fonte: A histria dos vetores, [200?]. Disponvel em:

    . Acesso em: 25 ago. 2009.

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    Basta voc desenhar os dois vetores com as extremidades iniciais no mesmo ponto e, a partir deles, construir um

    paralelogramo, como aparece no exemplo (a) a seguir. Depois disso feito, trace a diagonal do paralelogramo, construindo o

    vetor R.

    Rrepresenta a soma dos vetores F1e F2, e a diagonal do paralelogramo construdo, conforme aparece no exemplo

    (b) a seguir:

    F1

    F2

    F1

    F2R

    (a) (b) Figura 2.5 Regra do Paralelogramo

    O comprimento da diagonal, ou seja, a reta Rrepresenta o mdulo do vetor soma ou resultante (R). A direo

    dada pela reta que contm a diagonal que passa pela origem comum e o sentido dado a partir da origem dos dois vetores.

    Como foi visto anteriormente, s possvel somar dois vetores. Para realizar a soma de mais vetores, basta somar os

    dois primeiros e somar o resultado com o terceiro e assim por diante.

    Veja o exemplo da figura 2.6:

    F2

    F1

    F3

    Figura 2.6 Soma de trs vetores

    Atividade 2

    Atende ao objetivo 3

    Determine o vetor resultante, ou seja, a soma dos vetores representados na figura a seguir:

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    a

    b

    c

    1 und.

    1 und.

    Analisando novamente a figura 2.6, chegamos concluso que, se desenharmos os vetores na sequncia da soma (um na

    frente do outro, ver figura 2.7a) ficamos com um polgono aberto com duas extremidades. Agora, se traarmos uma reta

    unindo as duas extremidades restantes, encontramos o mesmo vetor resultante da figura 2.6 (ver figura 2.7b). Devido

    figura geomtrica formada, este novo mtodo de soma de vetores foi chamado de regra do polgono (derivao da regra do

    paralelogramo, bastante usada para somar graficamente vrios vetores e ter uma rpida noo de como vai ficar o resultado

    da operao), muito utilizada para a soma de vrios vetores.

    F1

    F2

    F3

    Figura 2.7 Regra do polgono.

    Para entendermos mais vetores e a