aula 02- física

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Aula 02Vetores

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CursoEdificaes 2Fsica Aplicada

Professor Formador Adolfo tila Cabral MoreiraRede e-Tec Brasil

Meta da aula

Introduzir o conhecimento sobre vetores e as operaes de soma e subtrao dos vetores.

Objetivos

Ao final desta aula, voc dever ser capaz de:

1. Diferenciar as grandezas escalares das grandezas vetoriais;

2. Identificar vetores e suas representaes;

3. Somar e subtrair vetores.

4. Decomposio de vetores.

Pr-requisito

Nesta aula voc vai precisar relembrar trigonometria e geometria plana, assuntos aprendidos na disciplina de matemtica.

Introduo

Voc sabe o que grandeza fsica?

A fsica trabalha com inmeras grandezas. Uma boa parte dessas grandezas representada por um nmero e uma unidade

de medida.

o caso do tempo, por exemplo: a durao da viagem de Juazeiro do Norte a Fortaleza, foi de 6 horas e 20 minutos. Estas

grandezas so chamadas de grandezas escalares.

Imagine agora, que voc esteja dirigindo um carro em uma estrada e, de repente, voc se depare com um tronco de rvore

atravessado no caminho, impedindo a passagem do seu automvel. Para retir-lo do local, voc deve empurrar esse tronco.

Mas como voc deve fazer isso? Como voc deve fazer para retirar o tronco da maneira correta, sem se machucar?

Onde voc deve colocar as mos? Para que lado empurrar? Qual deve ser a fora necessria para conseguir movimentar esse

tronco?

Como voc pode perceber, existem algumas grandezas fsicas que necessitam de algo a mais para poderem ser

caracterizadas por completo. Como mostra o exemplo anterior, apenas o nmero e a unidade no o suficiente para voc

conseguir definir essa grandeza (a fora). Esse algo a mais denominado direo e sentido.

Direo definida como o ngulo que uma reta faz com a horizontal ou vertical dependendo da referncia utilizada pelo

observador. Retas paralelas tm a mesma direo e retas transversais tm direes diferentes.

Podemos percorrer uma direo de duas maneiras diferentes (da esquerda para direita ou da direita para esquerda), essas

maneiras foram denominadas de Sentido.

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Figura 5.1 Direo e sentido tambm so grandezas da fsica.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1186848- Sergio Roberto Bichara

Nesta aula, voc estudar o vetor, sua representao e as operaes de soma e subtrao para assim entender e trabalhar

com as grandezas vetoriais usadas neste curso, como por exemplo, as foras atuantes nas estruturas dos edifcios, nas

pontes, nas vigas dos telhados, a localizao de um prdio em relao a um referencial, entre outros.

Captulo 2 Os vetores e suas representaes

Como foi dito anteriormente, existem dois tipos de grandezas fsicas:as escalares e as vetoriais. Na realizao de

clculos com as grandezas escalares, basta utilizar as operaes aritmticas, como por exemplo, a soma das massas de duas

melancias (2,5 kg + 1,8 kg = 4,3 kg).

Porm, em se tratando da grandeza vetorial, preciso levar em considerao a direo e sentido, tornando os

clculos um pouco mais complexos. Por isso, ser necessrio introduzir um ente matemticodenominado de vetor. A palavra

vetor vem do latim vector, e tem vrios significados. Um deles aquele que conduz. Na fsica, usada uma definio

simplificada, como sendo um segmento de reta orientado que representa uma grandeza fsica.

Ente matemtico um termo usado na matemtica para nomear todo e qualquer elemento da

matemtica.

A notao do vetor feita por uma nica letra com uma seta sobre ela (

), ou por uma nica letra, com fonte em

negrito e itlico (b). Essa a notao mais utilizada em livros e a que ser adotada nesta disciplina.

Para o mdulo do vetor, ou seja, para o comprimento do segmento de reta usado a mesma notao de vetores,

colocado entre duas barras paralelas ( ) ou simplesmente pela letra em itlico (b). Essa ltima ser adotada nestadisciplina.

J graficamente, um segmento de reta com uma seta em uma das extremidades representa um vetor, pois mostra a

direo, atravs da inclinao do segmento e o sentido, pela a ponta da flecha. Tambm se pode identificar o mdulo pelo

comprimento da flecha. Veja figura 2.2:

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Figura 2.2 Representao grfica de vetores

Como saber que dois vetores so iguais?

Dois vetores so considerados iguais quando possurem o mesmo mdulo, direo e sentido, independente da sua

localizao no espao. Veja os vetores ae bda figura a seguir: a= b.

P3P1

P2 P4

Atividade 1

Atende aos objetivos 1 e 2

Com relao a vetores e grandezas vetoriais, observe as afirmaes abaixo e marque Vpara verdadeira e Fpara falso.

1. ( ) A massa de um corpo uma grandeza vetorial.

2. ( ) Velocidade e acelerao so grandezas vetoriais.

3. ( ) Uma grandeza vetorial necessita de direo, sentido e intensidade para ser totalmente definida.

4. ( ) ||representa um vetor, denominado de a.5. ( ) A representao grfica de um vetor dada por um segmento de reta orientado.

Captulo 3 Soma de vetores

Como os vetores so entes matemticos, ento podemos tambm realizar operaes com eles (vetores). Essas

operaes podem ser de soma, subtrao e multiplicao. Para voc entender bem as operaes, comearemos com a soma

de vetores.

As operaes com vetores se diferenciam um pouco das operaes matemticas com nmeros, pois necessitamos

identificar a direo e o sentido do resultado da operao. Para realizar a operao de soma, os matemticos descobriram

dois mtodos grficos, a regra do paralelogramo, a regra do polgono e um mtodo analtico. Comearemos os nossos

estudos pelos mtodos grficos.

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Figura 2.3 O sinal de soma +

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/910922 - blumik (nick)

3.1.Mtodo geomtrico

Para realizar operaes com vetores ser utilizada, primeiramente, a representao grfica e, a partir dela, chegar

aos clculos algbricos.

Imagine F1e F2como vetores, como mostra a figura a seguir:

F1

F2

Figura 2.4: Vetores F1 e F2

Para realizar a soma dos vetores, ser necessrio recorrer a um princpio prtico denominado regra do

paralelogramo.

Paralelogramo um polgonode quatro lados (quadriltero) cujos lados opostos so iguais e

paralelos. Por conseguinte, tem ngulos opostos iguais.

A lei do paralelogramo para a adio de vetores to intuitiva que sua origem desconhecida. Pode ter aparecido

em um trabalho, agora perdido, de Aristteles (384 - 322 a.C.), e est na Mecnica de Hero (primeiro sculo d.C.)

de Alexandria. Tambm era o primeiro corolrio no Principia Mathematica(1687), de Isaac Newton (1642 - 1727).

No Principia, Newton lidou extensivamente com o que agora so consideradas entidades vetoriais (por exemplo,

velocidade, fora), mas nunca com o conceito de um vetor. O estudo sistemtico e o uso de vetores foram

fenmenos do sculo 19 e incio do sculo 20.

Fonte: A histria dos vetores, [200?]. Disponvel em:

. Acesso em: 25 ago. 2009.

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Basta voc desenhar os dois vetores com as extremidades iniciais no mesmo ponto e, a partir deles, construir um

paralelogramo, como aparece no exemplo (a) a seguir. Depois disso feito, trace a diagonal do paralelogramo, construindo o

vetor R.

Rrepresenta a soma dos vetores F1e F2, e a diagonal do paralelogramo construdo, conforme aparece no exemplo

(b) a seguir:

F1

F2

F1

F2R

(a) (b) Figura 2.5 Regra do Paralelogramo

O comprimento da diagonal, ou seja, a reta Rrepresenta o mdulo do vetor soma ou resultante (R). A direo

dada pela reta que contm a diagonal que passa pela origem comum e o sentido dado a partir da origem dos dois vetores.

Como foi visto anteriormente, s possvel somar dois vetores. Para realizar a soma de mais vetores, basta somar os

dois primeiros e somar o resultado com o terceiro e assim por diante.

Veja o exemplo da figura 2.6:

F2

F1

F3

Figura 2.6 Soma de trs vetores

Atividade 2

Atende ao objetivo 3

Determine o vetor resultante, ou seja, a soma dos vetores representados na figura a seguir:

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a

b

c

1 und.

1 und.

Analisando novamente a figura 2.6, chegamos concluso que, se desenharmos os vetores na sequncia da soma (um na

frente do outro, ver figura 2.7a) ficamos com um polgono aberto com duas extremidades. Agora, se traarmos uma reta

unindo as duas extremidades restantes, encontramos o mesmo vetor resultante da figura 2.6 (ver figura 2.7b). Devido

figura geomtrica formada, este novo mtodo de soma de vetores foi chamado de regra do polgono (derivao da regra do

paralelogramo, bastante usada para somar graficamente vrios vetores e ter uma rpida noo de como vai ficar o resultado

da operao), muito utilizada para a soma de vrios vetores.

F1

F2

F3

Figura 2.7 Regra do polgono.

Para entendermos mais vetores e a operao de soma, resolveremos um exemplo com uma grandeza vetorial muito

simples, o deslocamento.

O polgono

Um polgono uma figura geomtricaplana limitada. Exemplo: o hexgono um polgono de seis

lados. A palavra "polgono" tem sua origem no grego e quer dizer muitos(poly) e ngulos(gon).

(Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/File/imagens/5matematica/9_hexagono_diagonais.jpg)

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Deslocamento simplesmente a variao da posio de uma (uma partcula ou um objeto

pequeno), ou seja, o vetor que liga o ponto inicial ao ponto final, no movimento desse ponto.

Imagine que uma esquiadora percorra 1,0 km do sul para o norte, e depois 2,0 km de oeste para leste, em um

campo horizontal coberto de neve.

Como poderia ser desenhado o vetor deslocamento resultante do ponto de partida ao ponto de chegada?

Para resolver esse problema, desenhamos o primeiro deslocamento no mapa a seguir, e no final do vetor do

primeiro, desenhamos o segundo deslocamento.

Para finalizar, agora s ligar os dois pontos (incio e fim) e colocar a seta no ponto do fim do ltimo deslocamento.

Veja figura 2.8:

Figura 2.8 Deslocamento da esquiadora.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 14)

Atividade 3


A figura abaixo mostra o percurso de um automvel numa cidade. Desenhe o vetor deslocamento resultante, usando a regra

do polgono.

Fonte: Young e Freedman (2008, p. 29.)

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3.2.Mtodo analtico

Em muitas situaes, o mtodo grfico fica invivel para ser executado, como exemplo, a necessidade de habilidade

em desenho, instrumentos precisos para realizar os desenhos e conhecimentos em geometria e trigonometria.

Por este motivo, vamos apresentar o mtodo analtico para calcular a soma ou diferena de vetores. Para encontrar

o mdulo do vetorsoma, ser aplicada a lei dos cossenos (pesquisar nos livros de Matemtica, assunto sobre relaes de um

tringulo) no tringulo sombreado da figura 2.8.

Mdulo do vetor medida do comprimento do vetor, ou seja, a intensidade da grandeza fsica

estudada.

Pela lei dos cossenos R2= F12+ F2

2- 2F1F2cos (180 - q), como o cos (180 - q) = - cos q

Ento: R2= F12+ F22- 2F1F2(- cos q), ficando com a seguinte equao:

R2= F1

2+ F22+ 2F1F2cos q.

Onde:

R Mdulo do vetor soma (resultante);

F1Mdulo do vetor F1;

F2Mdulo do vetor F2;

qngulo entre os dois vetores F1e F2.

J para o clculo da direo e sentido, ser necessrio fazer um esboo grfico da regra do paralelogramo e, atravs

da trigonometria, encontrar o ngulo .

Para encontrar esse ngulo, geralmente usamos a lei dos senos (pesquisar nos livros de Matemtica, assunto sobre

relaes de um tringulo) ou dos cossenos, ou mesmo o estudo da trigonometria, contedos vistos na disciplina de

Matemtica. preciso utilizar mtodos, pois nesse caso no existe uma frmula pronta.

F1

F2R

a

q

180q

y

x

q

Figura 2.9 Esboo da regra do paralelogramo para o clculo da direo e sentido do vetor resultante.

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Como foi dito anteriormente, os vetores so usados para representar as grandezas fsicas vetoriais, como o caso

do deslocamento. Agora, usaremos outra grandeza fsica, chamada de fora.

Fora o resultado da interao entre dois ou mais corpos, em contato ou no. Sua unidade no

sistema internacional de unidades o Newton (N).

No exemplo a seguir, mostraremos como calcular o mdulo, a direo e o sentido, usando mtodo analtico.

Exemplo:

Duas foras F1de 50,0 N e F2de 80,0 N esto atuando num prego, como mostra a figura 2.10. Calcule a fora resultante e sua

direo.

30

15

F1

F2

Figura 2.10 Prego sob a ao de duas foras F1e F2.

Resposta:

A fora resultante que solicitada no problema a soma das duas foras (F1e F2).

Usando a regra do paralelogramo, constri-se a seguinte figura:

15

30

a

150

80 N

50 N

Figura 2.11 Esboo da regra do paralelogramo para a soma das foras F1e F2.

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Aplicando a frmula desta regra, encontramos:

R2= F1

2+ F2

2+ 2F1F2cos qR

2= 80 + 50 + 2 8050cos 30

R = 15.828,20 R = 125,81 = 126 N

Agora, usando a lei dos senos no tringulo inferior hachurado:

()=

()=

()

()=

(30)

80 =

125,81 150 = 150

80125,81 = 18,54

Assim:

= 18,54 + 15 = 33,54 = 33,5

Ento a fora resultante no prego de 126 N fazendo um ngulo de 33,5 com o eixo positivo de x, ou seja, o eixo

horizontal a direita da origem dos eixos cartesianos usados na matemtica, medidos no sentido anti-horrio.

Atividade 4


Dois cabos de ao so utilizados para levantar um peso. Estes cabos so representados por dois vetores.

No cabo 1, a fora aplicada de 500 N e no cabo 2 a fora de 350 N.

Determine a fora resultante aplicada para erguer o peso, sua direo e sentido.

Relembrando...

Consulte as aulas da disciplina de Matemtica para relembrar os conceitos e as aplicaes de seno, cosseno e

tangente.

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Captulo 4

Subtrao de vetores

Na subtrao entre dois nmeros reais, pode ser utilizado o seguinte recurso:

x = y z x = y + (-z), onde -z o oposto de z.

Para subtrair vetores, ser usado um recurso muito parecido. Para tanto necessrio definir vetor oposto.

Vetor oposto o vetor que tem o mesmo mdulo, a mesma direo, mas tem o sentido oposto. Pode ser conhecido

como vetor negativo e sua representao a mesma, acrescentado o sinal negativo. Veja a figura 2.12.

P3P1

P2 P4

Figura 2.12 Vetores opostos.

Agora que voc j sabe o que vetor oposto e aplicando o mesmo princpio usado para nmeros reais, a subtrao

entre dois vetores nada mais que a soma de um vetor como o vetor oposto (ou negativo) do outro. Isto , D= F2 F1= F2+

(-F1), onde -F1 o vetor oposto de F1.

Com isso, podem-se aplicar as duas regras aprendidas at agora: a regra do paralelogramo e a do polgono, tomando

sempre o cuidado de mudar o sentido do vetor negativo. Veja a figura 2.13:

F1

F2

-F1

F2

-F1

F2

(b) Regra do paralelogramo

(c) Regra do polgono

(a) vetores da figura 2.1

Figura 2.13 Subtrao entre vetores.

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Existe um mtodo prtico bastante simples para traar o vetor soma e o vetor diferena no mesmo desenho.

Para isso, desenha-se a soma entre dois vetores, pela regra do paralelogramo. Ento traamos a outra diagonal do

paralelogramo colocando o sentido do vetor negativo para o vetor positivo, veja figura 2.14:

F1

F2

Figura 2.14- O vetor R a soma (R= F1+ F2) e o vetor D a diferena entre os vetores (D= F2F1).

Exemplo:

Observe a figura 2.15 e calcule a diferena entre o vetor ae b, ou seja, D= a b, sabendo que o ngulo entre os dois vetores

de 80, a= 45 e b= 50

15

Figura 2.15 Vetores ae b, para o clculo da diferena.

Resposta:

1008015

Figura 2.16 Vetores ae -b, para o clculo da diferena.

Aplicando a regra do paralelogramo, conforme a figura 2.16 encontra-se:

R = a + b + 2a1b2cos qR = 45 + 50 + 2 4550cos 100 R = 61,18

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Agora usando a lei dos senos no tringulo rachurado:

()=

()=

()

=

80

45 =

61,18 80 = 80

4561,18 = 46,42

Assim:= 46,42 + 15 = 61,42 = 61

Ento, o vetor resultante de 61 N fazendo um ngulo de 61 com o eixo negativo do x, ou seja, o eixo horizontal

esquerda da origem dos eixos cartesianos usados na matemtica.

Atividade 5


Calcule o mdulo, direo e sentido do vetor resultante da diferena entre os vetores Re S(D= R- S), mostrados na figura.

(Dados R= 25,0 e S= 30,0).

20

135

R

S

Captulo 5

Decomposio de vetores e componentes cartesianas

Quando as operaes com vetores envolvem mais de dois vetores, muito comum que elas se tornem complexas,

pois sua habilidade com desenho dever ser boa e os espaos para desenho, devem ser grandes.

Nesses casos, utilizado um recurso muito importante, chamado decomposio de um vetor. Quando somarmos

dois vetores, podemos obter um nico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Decompondo um

vetor, realizamos um processo inverso (veja a figura 3.4), obtemos dois vetores (componentes) em direes distintas

(diferentes).

As direes mais usadas so as dos eixos cartesianos x, y e z. Porm, para uma melhor compreenso do assunto,

nesta aula sero trabalhadas apenas as direes x e y. Observe o exemplo:

Seja Fum vetor qualquer, para decomp-lo em relao aos eixos cartesianostraamos os eixos x e y com a origem

na extremidade inicial do vetor, conforme mostra a Figura 2.17. Pela outra extremidade, traa-se uma paralela ao eixo x at

interceptar o eixo y, encontrando o vetor componente de Fem relao ao eixo y (Fy). Continuando na mesma extremidade,

traamos outra paralela, em relao ao eixo y, at interceptar o eixo x, para encontrar o vetor componente de Fem relao

ao eixo x (Fx). Veja o exemplo:

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Figura 2.17 Decomposio de vetores.

Eixos cartesianosso dois ou trs eixos perpendiculares entre si, criado por Ren Descarte, com

o objetivo de localizar um ponto no plano ou espao, cuja interseo indica a origem das

coordenadas.

Esses vetores componentes Fxe Fyso conhecidos como componentes cartesianasdo vetor F, pois tem as direes

dos eixos cartesianos. J o ngulo , que medido em relao a horizontal (sentido anti-horrio a partir do eixo positivo de

x), a direo e o sentido do vetor resultante.

Componente cartesiana a componente de um vetor que apresenta a direo de um eixo

cartesiano.

Agora, para calcular o mdulo dos vetores componentes ou simplesmente as componentes, utilizam-se as definies

de seno e cosseno. Veja:

Se sen ()= , ento = sen ()e sua direo a vertical e o sentido dado pelo sinal, positivo para cima e negativopara baixo.

Se cos ()= , ento = cos ()e sua direo a horizontal e o sentido dado pelo sinal, positivo para sua direita enegativo para sua esquerda.

Como voc viu, essa decomposio de vetores o inverso da soma de vetores. Por esse motivo, podemos escrever um vetor

como sendo a soma de suas componentes, no exemplo, F= Fx+ Fy.

Nessa forma, o mdulo do vetor pode ser calculado, usando a frmula do teorema de Pitgoras:

= + Ou, seja:

=+ Onde, F o mdulo do vetor:

Fx o mdulo da componente x do vetor F,

F

x

y

q

F

x

y

q

(a) (b)

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Fy o mdulo da componente y do vetor F.

E sua direo e sentido so dados pelo ngulo qque, por sua vez, encontrado pela definio tangente, ou seja:

tan()=

Resolvendo a equao, encontramos:

= tan Ateno: O ngulo qencontrado na equao anterior em relao horizontal, ou seja, pode ser em relao ao eixo positivo

ou ao eixo negativo. Portanto, fundamental fazer a anlise do quadrante em que se encontra o vetor resultante e aplicar a

correo da tabela 1.

Tabela 1 Correo do ngulo da direo do vetor resultante

Quadrante Sinal Componentes Correo

1 Rx(+) e Ry(+) qcorrigido= q

2 Rx() e Ry(+) qcorrigido= (180 q)

3 Rx(+) e Ry() qcorrigido= (180 + q)

4 Rx() e Ry() qcorrigido= (360 q)

Relaes trigonomtricas do tringulo retngulo

Veja o tringulo retngulo ABC representado pelo a figura a seguir:

a

CA

B

c

q

b

Definimos:

Seno de um ngulo agudo, como a razo entre o cateto oposto (CO) a este ngulo e a hipotenusa (H).

()= =

Cosseno de um ngulo agudo, como a razo entre o cateto adjacente (CA) e a hipotenusa (H).

()= =

Tangente de um ngulo agudo, como a razo entre o cateto oposto (CO) e o cateto adjacente (CA). A tangente tambm

conhecida como a razo entre o seno pelo cosseno.

()==

Atividade 6


Calcule as componentes da fora atuante no poste mostrado na figura, sabendo que o ngulo () formado pela fora e oposte de 60 e a intensidade (mdulo) da fora aplicada de 300,0 N (as componentes herdam as unidades vetor principal,

ou seja, da grandeza vetorial estudada no nosso caso a Fora).

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Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/A_British_Neighbourhood_Watch_Sign_Affixed_To_A_Lamppost.jpg/450px-

A_British_Neighbourhood_Watch_Sign_Affixed_To_A_Lamppost.jpg

6.1.

Operaes com as componentes cartesianas

Para introduzir este conceito (operaes com as componentes cartesianas), iremos nos focar na soma de vetores,

pois j dominamos este assunto.

Em muitos clculos, os vetores so substitudos pela soma de suas componentes cartesianas, facilitando assim os

clculos. Isso porque, na decomposio em componentes cartesianas, as direes dos vetores diminuem para apenas duas, a

do eixo x e a do eixo y e assim, somando algebricamente as componentes x e as componentes y, separadamente, obtendo

duas componentes resultantes: a resultante da componente x (Rx) e a resultante da componente y (Ry).

Imagine uma situao com oito vetores com diferentes direes. Para calcular a soma, teria que aplicar a regra do

paralelogramo 7 vezes.

Usando o mtodo da decomposio, encontram-se as componentes cartesianas e podemos somar, algebricamente,

as componentes de mesma direo.

O resultado encontrado apenas duas componentes, uma na direo x e outra na direo y, podendo ser expressa

da seguinte forma:

R= Rx+ Ry

Onde, R o vetor resultante,

Rx a componente x do vetor resultante e

Ry a componente y do vetor resultante.

Exemplo:

Determine a fora resultante, atuante no suporte (ver Figura 2.18), ou seja, o vetor resultante, sabendo que o mdulo da

fora (vetor) F1 de 600 N, e de F2 800 N e de F3 450 N, utilizando as componentes cartesianas e a direo, ngulo da

fora resultante, medido no sentido anti-horrio a partir do eixo positivo de x.

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Figura 2.18 Suporte de anel solicitado por trs foras F1, F2e F3.

Fonte: Hibbeler (2008 p. 20)

Soluo:

Primeiramente, calculam-se as componentes das foras (vetores) F1, F2e F3, usando as definies do seno e cosseno:

Fx1= 600cos (45) Fx1= 424,26

Fy1= 600sen (45) Fy1= 424,26

Fx2= 800cos (60 + 90) = 800cos (150) Fx2= 692,82

Fy2= 800sen (60 + 90) = 800sen (150) Fy2= 400

Fx3= 450cos (270 75) = 450 cos (195) Fx3= 434,67

Fy3= 450sen (270 75) = 450 sen (195) Fy3= 116,47

Agora, somam-se as componentes de mesma direo:

Rx= 424,26 + (692,82) + (434,67) = 703,23

Ry= 424,26 + 400 + (116,47) = 707,79

Aplicando Pitgoras, encontra-se o mdulo do vetor resultante:

= (703,23)+ (707,79)= 997,75, portanto R= 998 N.

E finalmente, usando a definio de tangente, encontra-se a direo e o sentido (conforme figura 2.16):

tan = = ,(,)= 1,01 = 45,19, como o vetor resultante est no 2 quadrante (pois o sinal da componente x negativo e o da componente y positivo), o ngulo corrigido : q= (180 45) q= 135.

O modulo do vetor resultante 998 N e a direo 135, medido no sentido anti-horrio em relao ao eixo positivo de x.

Atividade 7


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Determine a intensidade da fora resultante e sua direo, medida no sentido anti-horrio do eixo x positivo.

Fonte: Hibbeler (2008 p. 30)

Com a atividade anterior, fechamos assim a parte da decomposio de vetores e componentes cartesianas. Esta aula de

suma importncia para esta disciplina. Portanto, pratique bastante os exemplos e resolva as atividades, para fixar bem esse

assunto.

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Resumindo

Na fsica existem dois tipos de grandezas: a grandeza escalar, definida apenas por um nmero e sua unidade e a

grandeza vetorial, que para especific-la, necessrio indicar a direo e o sentido, alm da intensidade e unidade.

Para representar uma grandeza vetorial, usado o vetor, um seguimento de reta orientado.

Para somar vetores, utiliza-se a regra do paralelogramo e a do polgono, como mtodo grfico.

Em muitos casos, quando no temos instrumentos de desenho, ou mesmo habilidade com desenho, a soma de vetores

deve ser feita pelo mtodo analtico, utilizando a regra do paralelogramo, com a frmula R = a + b + 2a1b2cos qe as

leis do cosseno e seno.

Na subtrao de vetores, a tcnica usada a soma do vetor com o oposto do vetor a ser subtrado.

A decomposio de vetores muito usada quando fazemos operaes com mais de dois vetores, pois dessa forma

facilita os clculos. As direes mais usadas so as dos eixos cartesianos x, y e z. Porm, para uma melhor compreenso

do assunto, nessa aula sero trabalhadas apenas as direes x e y. Dessa forma, o vetor pode ser representado pela

soma de suas componentes cartesianas F= Fx+ Fy.

Informaes sobre a prxima aula

Com as informaes adquiridas at agora, nas aulas 1 e 2, estamos prontos para avanarmos um pouco mais na fsica usada

nas edificaes. Na prxima aula, nos aprofundaremos no conceito de Fora e conheceremos as trs leis de Newton do

movimento, a base da Mecnica Clssica.

Referncias Bibliogrficas

BEER, Ferdinand Pierre e JOHNSTON, E. Russell Jr. Mecnica Vetorial para Engenheiros esttica. 3. ed. SoPaulo: McGraw-Hill do Brasil, 1980.

HIBBELER, R. C. Esttica: mecnica para engenharia (Vol 1.). So Paulo: Person Education Brasil, 2008.

SAMPAIO, Jos Luiz; CALADA, Caio Srgio. Universo da Fsica. 2. ed. So Paulo: Atual, 2005.

YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A. Fsica I mecnica. 12. ed. So Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008.

7/25/2019 Aula 02- Fsica

21/21


Professor Formador Adolfo tila Cabral Moreira

Respostas

Atividade 1

1. F; 2. V; 3. V; 4. F; 5. V

Atividade 2

1 und.

1 und.

a

bc

R

Atividade 3

Atividade 4

R= 739,93 = 740 N e = 105,81 = 106

Atividade 5

D= 53,7 = 53 e = 148,65 = 149

Atividade 6

Fx= 259,8 N e Fy= 150,0 N.

Atividade 7

Fx= 67,34 N e Fy= 70,96 N F= 98 N e q= 313

aula 02- física

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