Atps Algebra Linear

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<p>1</p> <p>SUMRIO</p> <p>INTRODUO.......................................................................................................................02 DESAFIO.................................................................................................................................03 ETAPA 1 _ AULA TEMA: MATRIZES E DETERMINANTES......................................03 Passo 1- listagem de livros para auxlio no desafio..................................................................03 Passo 2- Pesquise trs empresas a respeito do tipo de planejamento........................................04 Passo 2.1- Definio, ordem e tipos de matrizes......................................................................05 Passo 3- Determinantes.............................................................................................................11 Passo 4-Matriz de ordem 2x2 e 3..............................................................................................13 ETAPA 2 _ AULA TEMA: SISTEMA DE EQUAES LINEARES..............................14 Passo 1- Equao linear e sistemas de equaes lineares.........................................................14 Passo 2- Classificao de sistemas lineares..............................................................................15 Passo 3-Modelagem da situao problema...............................................................................16 Passo 4- Modelagem da matriz dos coeficientes das variveis ...............................................16 ETAPA 3 _ AULA TEMA: EQUAES LINEARES: REGRA DE CRAMER.............17 Passo 1- Restrio do mtodo de resoluo de sistemas lineares.............................................17 Passo 2- Condio do determinante da matriz para que possua soluo nica........................17 Passo 3- Clculo do determinante da matriz incompleta..........................................................18 Passo 4-Regra de Cramer para resolver a situao problema...................................................18 ETAPA 4 _ AULA TEMA: EQUAES LINEARES: GAUSS-JORDAN......................19 Passo 1- Inverso de matrizes...................................................................................................19 Passo 2- Operaes elementares...............................................................................................19 Passo 3- Mtodo de Gauss-Jordan para resolver a situao problema.....................................19 Passo 4-Soluo do desafio proposto........................................................................................20 CONSIDERAES FINAIS.................................................................................................22 REFERNCIAS......................................................................................................................23</p> <p>2</p> <p>INTRODUO</p> <p>Estudo das Matrizes muitas vezes, para designar com clareza certas situaes, necessrio formar um grupo ordenado de nmeros que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Em matemtica, essas tabelas so chamadas de matrizes. Com o advento da computao e a crescente necessidade de se guardar muita informao, as matrizes adquiriram uma grande importncia. Para termos uma ideia dessa importncia, basta saber que o que vemos na tela do computador uma enorme matriz e cada valor guardado nas linhas e colunas da matriz representa um ponto calrico mostrado na tela. As matrizes so realmente importantes em nosso dia-a-dia. Um exemplo funcional e bastante comum um calendrio, onde as datas so dispostas em ordem de linhas por colunas. Tambm so amplamente utilizadas na engenharia, matemtica, informtica, tabelas financeiras, etc. O termo matriz surgiu em 1850 com o James Joseph Sylvester, posteriormente sendo divulgado por Cayley no livro: Memoir on the Theory of Matrices de 1858. Alm da resoluo do desafio proposto para esta atividade, o principal tema discutido a matriz e suas propriedades. Sero apresentados e exemplificados exerccios para fixao. Abordaremos tambm os contedos sobre: determinantes, equaes e sistemas de equaes lineares. Determinantes o sculo XIX foi marcado por grandes avanos na rea da pesquisa matemtica. Era a pice de um processo que vinha acontecendo desde a poca de Newton, na Inglaterra, na Alemanha, dois sculos antes. Assuntos como lgebra linear, Clculo diferencial e analise matemtica ganhavam expresso e tornavam-se cada vez mais complexos e aperfeioados. Esses estudos proporcionavam aparecimento de ferramentas e tcnicas de resoluo de problemas muito avanadas direcionando sua evoluo ao que vemos hoje no campo da tecnologia, como a computao. Uma das ferramentas citadas acima e a resoluo de um determinante, que agora passamos a estudar.</p> <p>3</p> <p>DESAFIO</p> <p>Atualmente, o mundo corporativo possui uma dinmica jamais vista. As tecnologias nascem O desafio consiste na resoluo de um circuito e a explorao dos aspectos tericos relacionados ao mesmo, entendendo os detalhes e os aspectos da matemtica usados na resoluo de um problema de eletrnica usando as ferramentas de lgebra Linear. Esta proposta importante para que se exera uma maior conexo entre a teoria e a prtica Considerando-se o circuito com resistores e baterias (geradores de tenso) apresentado na figura, tal como indicado, aplique a Lei de Kirchhoff * e determine os valores de corrente que satisfazem as condies desse circuito. ( Use V = R i ).</p> <p>ETAPA 1 _ AULA TEMA: MATRIZES E DETERMINANTES</p> <p>Esta etapa importante para voc se organizar em grupo e conhecer o material que utilizar na resoluo da situao-problema. Alm disso, voc aprender a base para os mtodos de resoluo do circuito dado. Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.</p> <p>PASSOS Passo 1</p> <p>Visite a biblioteca da unidade e faa uma pesquisa sobre os livros de lgebra Linear que abordam os assuntos: Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equaes Lineares. Crie uma listagem com o nome desses livros e escolha um para auxili-lo na resoluo do desafio</p> <p>4</p> <p>junto com o livro-texto: STEINBRUCH, F. Winterle, P. lgebra Linear e Geometria Analtica. 2 Edio. So Paulo: Pearson Education, 2007. Bibliografia Complementar KOLMAN, B. Introduo lgebra Linear com Aplicaes. 6 ed. Rio de Janeiro:</p> <p>LTC editora, 2001. LAWSON, T. lgebra Linear . Editora Edgard Blucher LTDA, 1996. BOLDRINI, J. L. lgebra Linear. SoPaulo: Harbra Editora, 1996. HOWARD, A. lgebra Linear com Aplicaes. So Paulo: Bookmam Companhia</p> <p>Editora, 1998.</p> <p>Pesquisa realizada dia 01 de setembro na biblioteca da Faculdade Anhanguera de Joinville. Abaixo veja a lista de livros que abordam o assunto: Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equaes Lineares: BOLDRINI, Jose Luiz. lgebra Linear. Editora Harbra, 3 Edio, 2004. POOLE, David. lgebra Linear. Editora Thomson Pioneira, 1 Edio, 2003. NICHOLSON, W. Keith. lgebra Linear. Editora McGraw-Hill, 2ed. 2006. RORRES, Anton. lgebra Linear com Aplicaes. Editora Bookman, 8 edio, 2001.</p> <p>Livro adotado para auxiliar juntamente ao livro texto: LIPSCHUTZ, Seymour\ Lipson, Marc. lgebra Linear. Editora Bookman, 3 edio, 2004.</p> <p>Passo 2</p> <p>Pesquise trs empresas, preferencialmente da sua regio, a respeito do tipo de planejamento. As empresas pesquisadas foram: Ft segurana patrimonial, distribuidora Sardagna e Tupy fundio. So adotados os planos: de produo que facilitam o trabalho criando mtodos e tecnologias dando equipamentos e suporte para as pessoas. Os planos financeiros cuidam da aplicao correta do dinheiro para dar suporte as operaes da empresa e os planos de martketing sero responsveis pelas vendas e distribuio de bens e servios. Tambm existe o planejamento de recursos humanos responsveis pela seleo, recrutamento e treinamentos dos funcionrios. Observamos que um plano de atendimento a clientes faz uma grande diferena.</p> <p>5</p> <p>Passo 2.1</p> <p>Leia o tpico do captulo Matrizes do livro-texto que aborda a definio, a ordem e os principais tipos de matrizes.</p> <p>Definio de matriz</p> <p>Uma matriz uma tabela de agrupamento de elementos (nmeros, polinmios, funes, ect). Os elementos neste agrupamento so chamados entradas da matriz. Uma matriz possui uma ordem de linhas por colunas, geralmente expressas por m x n (dispostos ao lado da matriz onde m o nmero de linhas e n o nmero de colunas). Os elementos so dispostos na forma de [aij] onde i representa a linha e j a coluna. Abaixo possvel visualizar a representao de uma matriz genrica.</p> <p>Ordem de uma matriz</p> <p>Se a matriz A de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente A (m,n). Assim, se uma matriz A tiver 3 linhas e 4 e colunas, escreve-se simplesmente A(3,4) e diz-se matriz de ordem 3 por 4.</p> <p>Tipos de matrizes</p> <p>A. MATRIZ LINHA= a matriz que possui uma nica linha. Exemplos 1) A = [1, 0] 2) B=[1 0 0 2]</p> <p>B. MATRIZ COLUNA= a matriz que possui uma nica coluna. Exemplos</p> <p>6</p> <p>C. MATRIZ NULA= a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplos</p> <p>D. MATRIZ QUADRADA= a matriz que possui o nmero de linhas igual ao nmero de colunas. Exemplos</p> <p>Observaes: 1) Quando uma matriz no quadrada, ela chamada de retangular. 2) Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem ndices iguais. Exemplo</p> <p>{a11, a22, a33, a44} a diagonal principal da matriz A. 3) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundria da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois ndices igual a n + 1. Exemplo:</p> <p>{a14, a23, a32, a41} a diagonal secundria da matriz A.</p> <p>7</p> <p>E. MATRIZ DIAGONAL= a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, no pertencentes diagonal principal, iguais a zero. Exemplos</p> <p>F. MATRIZ IDENTIDADE= a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In. Exemplos:</p> <p>Observao: Para uma matriz identidade In = (aij)n n</p> <p>G. MATRIZ TRANSPOSTA= Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A matriz obtida de A trocando-se, ordenadamente, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At. Exemplos</p> <p>Observao:</p> <p>8</p> <p>Se uma matriz A de ordem m n, a matriz At, transposta de A, de ordem n m.</p> <p>H) RECTANGULAR=Se o nmero de linhas diferente do nmero de colunas</p> <p>1 0 2 </p> <p>0 2 4</p> <p>2 5 4</p> <p>3 2 5</p> <p>4 1 35 0</p> <p>I)TRIANGULAR SUPERIOR=uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal so nulos1 0 0 0 1 2 7 0 3 0 0 2 6 0 0 5</p> <p>J) TRIANGULAR INFERIOR=uma matriz quadrada em que os elementos acima diagonal principal so nulos1 5 0 3 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 5</p> <p>da</p> <p>K) ESCALAR =uma matriz diagonal em que os elementos principais so iguais2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2</p> <p>l) SIMTRICA=se os elementos aij so iguais aos aji1 1 2 0 1 2 0 0 3 4 3 2 7 4 7 5</p> <p>9</p> <p>M) MATRIZES ANTI-SIMTRICAS =Uma matriz quadrada A= [aij] anti-simtrica se</p> <p>EX:</p> <p>N) MATRIZ ORTOGONAL= Uma matriz quadrada A , inversvel, ortogonal se, e somente se,</p> <p>O) MATRIZES IDEMPOTENTE =so sempre positivas semi-definidas. Com exceo da matriz identidade, uma matriz idempotente A sempre singular, ou seja, no admite inversa:</p> <p>Se uma matriz A idempotente, a matriz</p> <p>tambm .</p> <p>P) MATRIZ NILPOTENTE=</p> <p>se existir um nmero natural k tal que Ak = 0, onde 0</p> <p>representa a matriz nula. O menor nmero natural que verifica a igualdade Ak = 0, designa-se por ndice de nilpotncia da matriz A. A matriz nula uma matriz nilpotente. Ex</p> <p>Q) MATRIZ INVERSA =Chamamos de Matriz inversa matriz quadrada de ordem n que, ao ser multiplicada pela matriz inicial, resulta na matriz identidade, ou seja:</p> <p>10</p> <p>A.A-1 = In (matriz inversa). Podemos encontrar a matriz inversa da Matriz A, do seguinte modo: Sendo</p> <p>ento a sua inversa ser tal que:</p> <p>realizando a multiplicao entre as matrizes</p> <p>podemos concluir que: a = 1/2; b = 1; c = 1/2 e d = 0 Chegamos, ento matriz inversa, de A, dada por:</p> <p>11</p> <p>Passo 3 Leia o Captulo Determinantes do livro-texto (citado na Etapa 1) ou pesquise na biblioteca outros livros relacionados, para que fique claro o conceito e escreva um pequeno texto explicativo com suas palavras resumindo o resultado do estudo. Defina o que determinante de uma matriz. Discuta com o grupo as principais propriedades sobre determinantes. Crie exemplos para ilustrar as propriedades que voc estudou e discutiu com o grupo. Atravs do estudo, chega-se a concluso que o determinante de uma Matriz dado pelo valor numrico resultante da subtrao entre o somatrio do produto dos termos da diagonal principal e do somatrio do produto dos termos da diagonal secundria. Definio: Determinante uma funo que associa a cada matriz quadrada um numero escalar. Essa funo permite saber se uma matriz tem ou no inversa, pois as que no tem so precisamente aquelas cujo o determinante igual a 0. Podemos tambm dizer, que determinantes uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numrico, o que no acontece com a matriz. Nas determinantes aplicamos as quatros operaes, ou seja, soma, multiplicao, diviso e subtrao obtendo outra matriz. As determinantes podem ser de ordem 1,2 ou 3. As propriedades envolvendo determinantes facilitam o clculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condies. Observe as propriedades: 1 propriedade: Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna so iguais a zero, o valor do seu determinante tambm ser zero.</p> <p>2 propriedade: Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz ser nulo.</p> <p>3 propriedade: Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante ter valor igual zero. Observe a propriedade entre a 1 e a 2 linha.</p> <p>12</p> <p>4 propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um nmero K, o seu determinante fica multiplicado por K.</p> <p>Os elementos da 1 linha de P foram multiplicados por 2, ento: det P = 2 5 propriedade :Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um nmero real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn. det (k*A) = kn * det A 6 propriedade: O valor do determinante de uma matriz R igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).</p> <p>det R = ps -- qr det Rt = ps rq 7 propriedade: Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posio de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.</p> <p>8 propriedade: O determinante de uma matriz triangular igual multiplicao dos elementos da diagonal principal. Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so iguais a zero.</p> <p>9 propriedade: Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet. 10 propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo</p> <p>13</p> <p>mesmo nmero e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formam...</p>