Asymmetrische Spiele

Eric Barré

13. Dezember 2011

Gliederung

1 EinführungAllgemeinesDefinitionBegründungNash-Gleichgewicht

2 Kampf der GeschlechterAllgemeinAuszahlungsmatrixNash-GleichgewichtBeispiel

3 DifferentialgleichungHerleitung und BedeutungDer Fall 2 Spieler 2 StrategienBeispiel

4 Fazit

5 Literatur

Allgemeines

Symmetrische Spiele:• gleiche Anzahl von Strategien• gleiche Auszahlungen

Bei Anwendungen der Evolutionären Spieltheorie aufökonomische Spiele oder auf biologische Populationen, so sindKonfliktsituationen mit asymmetrischen Gegnern häufiganzutreffen.

Revierkämpfe z. B. finden nur selten unter gleich starkenGegnern statt.

⇒ Annahme asymmetrischer Spieler ist gerechtfertigt.

Definition

Sei A die Auszahlungsmatrix von Spieler 1 (Zeilenspieler) undB die Auszahlungsmatrix von Spieler 2 (Spaltenspieler).

Ein asymmetrisches Spiel ist gegeben, wenn:

A 6= BT ,

oder anders geschrieben, wenn:

u1(p,q) 6= u2(p,q)

für alle Strategien (p,q) gilt.

Begründung

• Die Entscheidungssituation als solche ist asymmetrisch,da die Anzahl der reinen Strategien von ZeilenspielerE1,E2, . . . ,En und Spaltenspieler F1,F2, . . . ,Fmverschieden sind.

• Bei gleicher Anzahl von reinen Strategien besteht diePopulation aus zwei verschiedenen Gruppen von Spielern(z.B. Mann/Frau, Jäger/Gejagter, usw.), die nur mitVertretern der jeweils anderen Gruppe aufeinandertreffen.

Nash-Gleichgewicht

Das Paar (p,q) ε Sn x Sm befindet sich im Nash-Gleichgewicht,falls p beste Antwort zu q und q beste Antwort zu p ist.

Beispiel: Wenn bzgl. der Auszahlungsmatrizen A und B gilt:

pAq ≥ xAq für alle x ε SnqBp ≥ yBp für alle y ε Sm

Das Paar (p,q) befindet sich im strikten Nash-Gleichgewicht,falls:

p 6= x bzw. q 6= y

⇒ Es gelten ähnliche Aussagen wie im symmetrischen Fall.Zu beachten ist jedoch, dass wie bereits erwähntu1(p,q) = u2(p,q) nicht mehr gilt.

Kampf der Geschlechter - Allgemein

Hierbei geht es um das Engagement bei der Aufzucht derNachkommen.

Strategien in der Population:• Männchen sind entweder treu (E1 = T ), d. h. sie sind zur

einer langen Verlobungszeit bereit und betreuen denNachwuchs, oder flatterhaft (E2 = F ) d. h. sie wollen nureine rasche Paarung und verschwinden anschließend.

• Weibchen sind entweder willig (F1 = W ), d. h. sie sind zurraschen Paarung bereit, oder spröde (F2 = S) d. h. siebestehen auf eine lange Verlobungszeit vor der Paarung.

Kampf der Geschlechter - Auszahlungsmatrix

Treffen F und S aufeinander entstehen keine Nachkommen, inallen anderen Fällen schon (Gewinn pro Partner: G).Die Brutpflege verursacht Kosten von 2K (wird von einemT-Männchen zur Hälfte getragen), und eine langeVerlobungszeit kostet jeden Partner V.

Daraus ergeben sich die beiden Auszahlungsmatrizen A (ausSicht des Männchen) und B (aus Sicht des Weibchen) :

A W (willig) W (spröde)M (treu) G - K G - K -V

M (flatterhaft) G 0

B M (treu) M (flatterhaft)W (willig) G - K G - 2K

W (spröde) G - K - V 0

Kampf der Geschlechter - Nash-Gleichgewicht

Man erhält durch Lösen des Gleichungssystems:

a11q1 + a12q2 = a21q1 + a22q2 wobei (q2 = 1− q1)b11p1 + b12p2 = b21p1 + b22p2 wobei (p2 = 1− p1)

für K + V < G < 2K, (G, K, V > 0) die Nash-Gleichgewichte:

N(A(p1,p2)) = {(2K −G

V + 2K −G), (

VV + 2K −G

)}

N(B(q1,q2)) = {(G − K − V

G − V), (

KG − V

)}

Kampf der Geschlechter - Beispiel

Spielregeln:• Jedes erfolgreich gezeugte und aufgezogene Kind ist für

die Eltern ein Gewinn von +30 Punkte (+15 für jeden).• Eine vorhergegangene Verlobungszeit kostet -6 Punkte.• Die Brutpflege kostet -20 Punkte.

Daraus ergeben sich die beiden Auszahlungsmatrizen A und B:

A W (willig) W (spröde)M (treu) 5 2

M (flatterhaft) 15 0

B M (treu) M (flatterhaft)W (willig) 5 -5

W (spröde) 2 0

Beispiel: M (treu) und W (spröde): 0,5 · (+30− 20− 6) = 2

Kampf der Geschlechter - Beispiel

Es sei nun:• p1 : Der Anteil der Männchen mit der Strategie ’flatterhaft’• p2 : Der Anteil der Männchen mit der Strategie ’treu’• q1 : Der Anteil der Weibchen mit der Strategie ’spröde’• q2 : Der Anteil der Weibchen mit der Strategie ’willig’

Es gilt: p1 + p2 = 1

Die Auszahung für ein Männchen hängt von der gewähltenStrategie des Weibchen ab und umgekehrt. Daraus folgt:

PM(treu) = 5q1 + 2q2PM(flatterhaft) = 15q1PW (willg) = 5p1 − 5p2PW (spr ode) = 2p1

Kampf der Geschlechter - Beispiel

Eine höhere Auszahlung ist nun mit einer Begünstigung derGene für den entsprechenden Spieler zu deuten. Daherexistiert ein Gleichgewicht:

PM(treu) = PM(flatterhaft)PW (willg) = PW (spr ode)

⇒

5q1 + 2q2 = 15q15p1 − 5p2 = 2p1

⇐⇒

p1 = 5/8,p2 = 3/8q1 = 1/6,q2 = 5/6

Dies gilt also genau dann, wenn der Anteil der treuenMännchen 5/8 und der Anteil der willigen Weibchen 1/6 beträgt.

Differentialgleichung

Herleitung:

Seien x ε Sn und y ε Sm die Spielstrategien von Spieler 1 bzw.Spieler 2.

Sind Wachstumsrate x/x der Strategie i gleich demUnterschied ihrer Auszahlung (Ay)i und der durchschnittlichenAuszahlung x · Ay in der Population X , dann lassen sichfolgende Differentialgleichungen auf dem Raum Sn x Smaufstellen:

xi = xi · ((Ay)i − x · Ay) i = 1, ...,n

yi = yj · ((Bx)j − y · Bx) j = 1, ...,m

Differentialgleichung

Bedeutung:

• Besteht mindestens eine Population besteht nur aus einemPhänotyp, dann ist:

xi ≡ 1 oder: yj ≡ 1 für beliebige i , j

oder allgemein:

Sn x {f1} für f1 = {1,0, ...,0} ε Sm

• Bestehen beide Populationen aus mehreren Phänotypen,dann ist:

xi > 0 für beliebige i , und yj > 0 für beliebige j .

oder allgemein:

int Sn x Sm.

Differentialgleichung - 2 Spieler 2 Strategien

Für den Fall n = m = 2, wie im Beispiel “Kampf derGeschlechter“, können wir durch hinzufügen einer Konstantenin der Auszahlungsmatrix die Hauptdiagonale eliminieren:

A =

(0 a12

a21 0

)B =

(0 b12

b21 0

)Da x2 = 1− x1 und y2 = 1− y1 können wir dieDifferentialgleichung für die Variablen x1 und y1 betrachten unddurch x bzw. y beschreiben:

x = x · (1− x) · (a12 − (a12) + a21) · y)

y = y · (1− y) · (b12 − (b12) + b21) · x)

Auf dem Quadrat Q = {(x , y) : 0 ≤ x , y ≤ 1} ∼= S2 x S2

Differentialgleichung - 2 Spieler 2 Strategien

Fallunterscheidung:• Für a12a21 ≤ 0 bzw. b12b21 ≤ 0 :

Ändert sich das Vorzeichen von x auf Q nicht. Eine derzwei Strategien dominiert die andere. In diesem Fall ist xkonstant und konvergiert monoton gegen 1 oder 0.

• Für a12a21 > 0 bzw. b12b21 > 0 :Liefert die Gleichung den einzigen Ruhepunkt F in int Q :

F = (b12

b12 + b21,

a12

a12 + a21)

Differentialgleichung - 2 Spieler 2 Strategien

Fallunterscheidung:• Für a12b12 > 0 :

Hat F einen Sattelpunkt und alle Bahnen in int Qkonvergieren gegen eine gegenüberliegende Kante von Q.(Siehe linke Grafik ).

• Für a12b12 < 0 :Sind alle Eigenwerte Imaginär und alle Bahnen in int Qsind periodisch um F . (Siehe rechte Grafik).

Differentialgleichung - Beispiel

Kampf der Geschlechter:

Die Auszahlungstabelle für die Männchen sei nun eine2x2-Matrix A, und für die Weibchen sei B.

Die mittlere Auszahlung ist mit P(treu), P(flatterhaft), P(i) bzw.mit P(willig), P(spröde), P(j) festgelegt:

P(i) = (Ay)i , i=1 (treu) oder i=2 (flatterhaft) mit y = (y1, y2)

P(j) = (Bx)j , j=1 (willig) oder j=2 (spröde) mit x = (x1, x2)

Differentialgleichung - Beispiel

Kampf der Geschlechter:

Elimination der Hauptdiagonalen:

A =

(5 2

15 0

)−→

(0 2

10 0

), B =

(5 −52 0

)−→

(0 −3

10 0

)Aufstellen der Differentialgleichungen:

x = x · (1− x) · (2− 12y)y = y · (1− y) · (−5 + 8x)

Lösen der Differentialgleichungen:

0 = [−5x

+3

1− x]dx + [

2y− 10

1− y]dy

=⇒ F (x , y) = −5 ln(x)− 3 ln(1− x) + 2 ln(y) + 10 ln(1− y)

Differentialgleichung - Beispiel

Kampf der Geschlechter:

Darstellung des Fixpunktes:

Fazit

Bei asymmetrischen Spielen bestimmen wir die erwartetenNutzen der Spieler 1 und 2.

Diese enthalten die Wahrscheinlichkeiten p und q, mit der diebeiden Spieler ihre Strategie x bzw. y wählen.

Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen findet man indiesem Fall die Maxima der Nutzenfunktionen.

Davon sind nur jene Maxima Nash-Gleichgewichte, bei denensich für keinen Spieler eine Abweichung lohnt.

Literatur

• Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Gamesand Population Dynamics, Cambridge

• http://wikiludia.mathematik.uni-muenchen.de• Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die

Spieltheorie, Springer• Siegfried K. Berninghaus, Karl-Martin Ehrhart, Werner

Güth: Strategische Spiele, Springer