aspekte und anwendungen der paarkorrelationen in der physik der vielteilchensysteme unter besonderer...

Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae, Tomus 34 (2--3) , pp. 139--159 (1973)

ASPEKTE UND A N W E N D U N G E N DER PAARKORRELATIONEN IN DER PHYSIK DER VIELTEILCHENSYSTEME UNTER BESONDERER BER• DER VERHXLTNISSE IN

FL• UND PLASMEN, TEIL I ALLGEMEINES UND ZEITUNABHXNGIGE PAARKORRELATIONEN

Von

J• W. WEIL INSTITUT F• THEORETISCHE PHYSIK, UNIVERSIT~T INN$BRUCK

INNSBRUCK, 0STERREICH*

und

KARL W. KRATKY I. PHYSIKALISCI'IES INSTITUT, IJNIVERSIThT WIEN, WIEN, 0STERREICH

(Eingegangen: 4. II. 1972)

Ira vorliegenden Teil der Arbeit wird die zcitunabhiingige Paarkorrelationsfunktion in ein- und dreidimensionalcr Forro betrachtet. Zuerst wird cine eindimensionale Form der Born- Green-Gleichung fª zwei versehiedene Potentiale golf st. Ansehliessend werden Paarkorre- lationsfunktionen ª Strukturfaktoren und Zustandsgleichungen einigcr Systemc (Yukawa- Potential, Plasma, ideales Fermigas hoher Tcmpcratur, Van der Waals-Gas) abgelcitet und hinsichtlich ciniger Konsequenzen diskutiert.

Aufgabe der vorliegenden Arbeit soll es sein, (zum Teil publizierte) Ar" beiten des Verfassers auf dem Gebiete der Paarkorrelationsfunktionen weiter" fª und ausbauend zusammenzufassen, wobei die relativ breite Streuung der Ans~itze zur Gestaltung der physikalischen Wirklichkeit auf der Basis der Paarkorrelationen gleichsam automatisch neben der Vorfª des bereits Erreichten auch den programmatischen Aspekt und die mSgliche Weiterentwicklung implizieren sollte. Schwergewicht wird dabei auf solche Vieheilchensysteme gelegt werden, deren makroskopische Eigenschaften sie als Flª und Plasmen ausweisen.

Korrelationsfunktionen ira allgemeinen und Paarkorrelationsfunk- tionen im besonderen stellen ein zugleich mathematisch in vielen wichtigen Spezialf/illen bewiiltigbares wie physikalisch ungemein plastisch verst~indliches Hilfsmittel zum Studium ron Vielteilchensystemen dar; ihre Einbettung in die allgemeine statistische Mechanik einerseits und ihr Zusammenhang mit der Theorie der Streuung ah Vielteilchensystemen und damit einer Vielfalt von Streuexperimenten anderseits machen sie ª zu einem wichtigen Bindeglied zwischen theoretischer und experimenteller Physik. Schliesslich garantiert die Dichotomie in zeitunabh/ingige und zeitabhiingige Typen von

* Gegenwiirtige Adresse: IAEA, A--1010 Wien, K/irntner Ring 11, 0sterreich.

Acta Physica Atadcmiae Scitntiarum Htmgaricae 34, 1973

] ~ 0 JI~RGEN W. WEIL und KARL W- KRATKY

Korrelationsfunktionen die Anwendung auf Gleichgewichts- wie auf Trans- portvorg~inge, w~ihrend der Unterschied zwischen klassischen und quanten- theoretischen Systemen ebenfalls in charakteristischer Weise seinen Nieder- schlag findet. Insbesondere hat die Theorie der Flª durch Einfª der (Paar)-korrelationsfunktionen in den letzten Jahren wertvolle F6rderung erfahren; ihre Anwendung auf Plasmen -- in diesem Sinne -- stellt hingegen u. W. eine v611ige Neuerung der vorliegenden Arbeit dar, die wir in einigen speziellen Fiillen vorfª wollen.

Ira ersten Teil wird die Zernike-Prinssche zeitunabhiingige Paarkorrela- tionsfunktion im Mit te lpunkt der Betrachtungen stehen. Dabei werden sich, je nach Zweckmiissigkeit, e i n - u n d dreidimensionale Behandlung abl0sen. So werden wir ira ersten Beispiel eine eindimensionale Form der wohlbekannten Born-Green-Gleichung, eines Approximationsproduktes der "Kraftgleichung", herleiten und fª zwei verschiedene Potentiale 1• daran werden bereits wesentliche Zª des dreidimensionalen Falles abzulesen sein. An diese Rech- nungen schliessen sich asymptotische Betrachtungen ira Dreidimensionalen; fª mehrere Vielteichensysteme werden Paarkorrelationsfunktionen auf dem Wege ª die sogenannten Strukturfaktoren abgeleitet und diskutiert wer- d e l l .

Im zweiten Teil werden Aspekte der zeitabh~ngigen Paarkorrelations- funktionen zur Debat te stehen. An Hand dreier Beispiele -- eines Plasmas in einem homogenen Magnetfeld, eines Elektronen-Ionen-Plasmas mit Ionen- Schallschwingungen und eines Teilchensystems, das in einer elektromagneti- schen Welle schwingt -- werden Informationen aus der zeitabh~ingigen Paar- korrelationsfunktion gewonnen werden k6nnen, wobei wir uns ira besonderen eines der Sunakawa-Schule entstammenden Typs der Paarselbstkorrelations- funktion fª Mehrfachstreuung bedienen werden. Der Zusammenhang aller Paarkorrelationsfunktionen der zeitabhiingigen Art mit doppelt-differentiellen Streuquerschnitten wird ª die Ausnutzung der durch zeitabh~ingige Paarkorrelationsfunktionen beschriebenen Neutronenstreuung zur Plasma- diagnostik nahelegen.

Der dritte Teil schliesslich wird, ohne allzu strikte thematische Ein- grenzung, alle jene Untersuchungen des Verfassers mit Hilfe der Paarkorrela- tionen zusammenfassen, die sich nicht unter die beiden vorhergehenden Teile subsumieren lassen. Unter anderem wird sich ein Ausblick auf die Festk6r- perphysik sowie ein solcher auf Mittelwertbildungen und ihre Vor-und Nachteile bei der Herstellung der Korrelationsfunktionen ergeben.

1. Grundlegende Definitionen [1, 2, 3, 4]

Wir wollen in diesem einleitenden Kapitel die Paarkorrelationsfunk- tionen in einer fiir unsere Zwecke gª Form definieren. Das physika-

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ASPEKTE UND ANWENDUNDEN DER PAARKORRELATIONEN . . . . TEIL I 141

lische Objekt, zu dessen Beschreibung sie herangez0gen werden, sei ein System ron N wechselwirkenden Teilchen.

Die zeitunabhiingige, d.h. nur fª ª die Zeit gemittelte, also Gleich- gewichtseigenschaften verantwortliche Paarkorrelationsfunktion ist das zweite Glied einer unendlichen ttierarchie ron Verteilungsfunktionen, die Aussagen ª die Anordnung der jeweils betrachteten Teilchenzahl machen.

Das erste Glied der Hierarchie ist die Einteilchen-Verteilungsfunktion, die proportional der Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen aro Punkte ~j ira Volumselement d~ 1 zu rinden: g0)(~l)d~:. Sie ist offenbar mit der lokalen Dichte identisch.

Das niichste Glied der Hierarchie g(2) (~~, ~2)d}~d~ 2 ist proportional der Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem Volumselement d} 2 um r2 zu rinden, wenn sich ein Teilchen ira Volumselement d~ 1 um ~: befindet, unabhiingig davon, wo sich die ª Molekª befinden. Entsprechend definiert man die hiiheren Gtieder der Hierarchie.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich n < N Teilchen in d~i um ~:, d}~ um - ~ ~ , . . . d7 n um ~, befinden, ist, entsprechend normiert [2], gegeben durcla die n- Teilchen-Verteilungsfunktion:

(ti) _ N ! "~ " ~" "~ e -r ~~r d~~+:. . . d7 N

( N - - n) ! J " " "S e - r " "dT'N V

( : )

Zu Zweiteilchen (= Paar)-Korrelationsfunktionen und gleichzeitig zur sogenannten "radialen" Paarkorrelationsfunktion, die fª I ~ : - ;zl--~ ~ gegen eins geht und somit die lokale Abweichung v0m Dichtequadrat [2] angibt, ª gehend, erhalten wir als Definition der ron uns verwendeten Paarkorrcla- tionsfunktion (wobei wir zusiitzlich noch Isotropie annehmen und somit g nur vom Absolutwert der Abstiinde abh~ingen lassen):

g r a f i (1~I - - ~21) ~ g r a d ( r 1 2 ) - -

x ( x - :)

~ 2

. ~ . J 'e-~(7 ..... 7~)/kT d~a . . . d~

�9 . . ~ e - ~ ( 7 , . . . 7 ~ ) / a r d ~ l , . , d~ N " .1" V

(2)

wo ~ die Dichte, ~ das Gesamtpotential, k die Boltzmannkonstante und T die absolute Temperatur ist.

Weite Gebiete der Theorie der Fliissigkeiten siad nichts anderes als die Berechnung dieses graa aus dem Wechselwirkungspotential zwisehen den Teilchen, das wir uas zu diesem Zwecke in eine Summe von Zwei-Teilchen- potentialen aufgespalten denken: q i (~: . . . rN ) = ~ q ( r i i ). Man kann zeigen,

i < j

dass diese Prozedur nicht nur fª flª Isolatoren wie etwa flª Argon,

Ar Physi~a Atademias Stitntiarum ltur~~ricas 34, 1973

142 J'• W. WEIL und KARL W. KRATKY

sondern auch f ª flª Metalle sinnvoll ist, wo eben der Effekt des Elekt ro- nengases in die Potent ia lges ta l t e ingebaut wird [2, 4].

2. Die Kraf tg le ichung

Der Zusammenhang zwischen grad, das wir ira folgenden wieder einfach mi t g bezeichnen wollen, und dem Zwei-Tei lchenpotent ia l q wird durch die wohlbekannte Kraf tg le ichung vermi t te l t [2]:

dlng(r2) + ~ del(r2) _ - 9 fvg(r3)h(r23) dqD(r3) cos Od3r3. (3) dr 2 kT dr 2 kT dr 3

In der Forro, die wir hier verwenden, ist sie berei ts ein N/ iherungsprodukt , in dem dar sogenannte Kirkwood-Ansatz gemach t wurde. Er ersetzt durch

g(3) (~1, 72, ~3) ~'~ g(r12) g(r23) g(31) (4

die Dre i te i Ichen-Korre la t ionsfunkt ion durch ein P r o d u k t aus Paarkorre la t ionsfunkt ionen . Zur I I lus t ra t ion der Verh~iltnisse in G1. (3) diene Fig. 1. ~(r3) ist somi t das Po ten t ia l zwischen dem ersten Tei lchen -- ira Ursprung -- und dem d ¡ Teilchen, r 2 ~I72], r23 ~ i~3 - - ~ z l , h(r) ~ g(r) 1 (die sogenannte to ta le Korre la t ionsfunkt ion) , cos v q ~ cos v ~ (?8 -- ~1, r -- ~l)-

Die Integralgle ichung (3) ist nu r n/iherungsweise li~sbar. Meist muss man sich da rau f beschr~inken, mi t r gegen Unendl ich zu gehen, d.h. g ~ 1 und ~v ~ 0 zu setzen; dieser Weg wird ganz allgemein f ª flª I-Ie in [5] und f ª Van-der-Waals-Kr/ i f te in [6] beschri t ten. Frei l ich verl ier t man dadurch jede In format ion ª das ursprungsnahe Verhal ten, sodass m a n a n befriedi- gendere Methoden denken muss. Zu diesem Zwecke be t rach ten wir das eindimensionale Analogon zu G1. (3):

dlng{rz) _~ ] dq~(r2) 0 I r ~ _ / f lg(r3) h(r23) d q(r3) d.~3" (3a) dr 2 kT dr 2 kT ~ dr 3

Offenbar ist es der cos -Fak tor der einzige, der bcim • zum Ein- dimensionalen Schwierigkeiten machen k~nnte. Da j e t z t alle Tei lchen auf einer Linie liegen, kann er nur die Wer te 1 und - l ( en t sprechend 0 = 0 ~ u n d 180 o) annehmen. Nehmen wir Tei lchen I im Ursprung und Teilchen 2 ohne Beschr/in- kung der Allgemeinheit rechts davon an, so ergibt sich f ª Teilchen 3 rechts von Tei lchen 1 cos v ~ = 1, fiir Tei lchen 3 links von 1 cos 0 = -- 1. Der Nulldurch- gang von Teilchen f ª somit zu einem Sprung r o n - -1 auf 1. Da aber der F a k t o r g(r3) f ª r 3 = 0 ohnehin verschwindet , weil der Ursprung ja schon voto

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A S P E K T E U N D A N W E N D U N D E N D E R P A A R K O R R E L A T I O N E N . . . . T E I L I 143

Teilchen I e ingenommen ist, ist diese Unstetigkeitsstelle bedeutungslos. Fig. 2 veranschaulicht diese Lageverhiiltnisse bei der eindimensionalen GI. (3a).

Im folgenden wollert wir GI. (3a) durch eine Art sukzessiver Approxima- t ion 18sen; wir s t ª uns dabei auf unsere Vorarbeiten in [7].

S : , Z ~

r2 - r 1

Fig. 1. Die Lageverh/iltnisse in GI. (3)

1 2 3 �9 I 1

3 2 -- ~ 1 ,

Fig. 2. Lageverh/iltnisse bei der eindimensionalen GI. (3a)

3. L i i sung der e i n d i m e n s i o n a l e n K r a f t g l e i c h u n g

Wir verwenden zur L~isung r o n (3a) eine Art r o n sukzessiver Approxima- t ion, wobei wir r o n G1. (3a) mi t versehwindender rechter Seite ausgehen:

dlng(r2) ~_ 1 d~(r~) _ 0 (3b) dr 2 kT dr 2

d.h . wir vernachl~issigen vorerst die Dreiteilchen-Wechselwirkung. Als L6sung ergibt sich:

~0(r2) = -- kT In g (r2) + C , (4)

wobei C = 0 zu setzen ist, da ~0(r2) = 0 und g(r2) = 1 fª r 2 - + ~ . Schon dieser ª Zusammenhang zeigt einige durchaus vernª Zª wo ~o(r2) steigt, s inkt g(r2) und umgekehr t , einer Mulde in q(r2) entspricht ein Maximum in g(r2). Es handel t sich um die Verteilurtg, die sich bei einem i m Ursprung befindlichen Teilchen fª die Aufenthal tswahrscheinl ichkei t eines zweiten Teilchens ira Abstand r 2 einstellen wª d,h. wenn es kein weiteres Teilchen g~ibe (wir haben ja durch Nullsetzen des Integrals die Dreiteilchen- informat ion eingebª Da dies nun aber offenbar doch nicht ausreicht, gehen wir zur zweiten N~iherung ª und setzen das Ergebnis (4) in die rechte Seite r o n Gleichung (3a) ein:

( ; ~ -- ~ } g(rz) h(rz3) d~ (rz) dr 3 dr3 (5)

= -- kT {f0_.. _ ~ f ) h (r23) dg(ra)-dr 3 drz

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144 JORGEN W. WEIL und KARL W. KRATKY

mit

d In f (x) 1 dl(x)

dx f(x) dx

Durch den Wegfall r o n g(r3) liisst sich das In tegra l auch graphiseh le icht berechnen (Fig. 3). Dies wird uns einen guten Einbl iek in die spezifische Problemste l lung verschaffen und bei den nachfolgenden numerischen Bei- spielen wird von grossem Nutzen sein.

dg(r3)/dr

Fig. 3. Ira Integral der reehten Seite von (5) auftretende Faktoren (r 2 -= 0)

Die beiden K u r v e n in Fig. 3 muss man sieh offenbar mul t ipl iz ier t denken; die en t s tehende Kurve wird von -- ~ bis 0 integriert , worau f ihr I n t e g r a l r o n 0 bis ~ abgezogen wird. Bei der in Fig. 3 vorl iegenden Symmet r i e e rg ib t dies Null. Nun wollen wir bemerken, dass in Fig. 3 ja nicht h(r23 ), wie es die rech te Seite r o n (5) fordert , sondern bloss h(r3) eingetragen ist; mi t ande ren W o r t e n : Fig. 3 gilt nu r f ª r 2 = 0. Dieser Fall ist aber unin teressant , da ira N u l lp u n k t ja schon Tei lehen 1 sitzt. Fiir r 2 > 0 verschiebt sich einfach die h - F u n k t i o n um den Be t r ag r o n r 2 nach rechts ; dann erst wird mult ipl iz ier t u n d in tegr ier t . J e t z t versehwindet das In tegra l n icht mehr , sodass wir den Satz haben : Die Gr6sse von r 2 ist ein Mass f ª die Drei te i lchen-Wechselwirkung (Fig. 4).

F ª ein bes t immtes r z wird das In tegra l ein Max imum haben, da es f ª grosse Wer te r o n r 2 wiederum verschwindet (wegen Verschwindens mindes tens eines Faktors) . Das bedeute t , dass die zweite N~iherung die erste nur in der Nahe des Ursprungs korr igier t und f ª Ent fe rnungen , die e twa das Zwei- bis Dreifaehe des " h a r d core" ª die g -Funk t ion unge/ indert bleibt. U m auch f ª gr6ssere g eine gute N/iherung zu erhalten, sind Kor rek tu ren h6herer Ordnung erforderlich.

Mit diesen Bemerkungen schliessen wir die al lgemeinen • ab und wenden uns numer ischen Beispielen zu.

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ASPEKTE UND ANWENDUNGEN DER PAARKORRELATIONEN. . . , TEIL I 145

4. Beispiele zur L6sung der eindimensionalen Kraftgleichung

Die prinzipiellen • des vorhergehenden Kapitels sollen auf zwei konkrete Beispiele angewendet werden.

Zuerst betrachten wir eine harte Kugel, die keine Kr~ifte auf die Umge- bung ausª somit gelte fª das Potential:

a) ~0= oo fª r 2 < a , ~ = 0 fª r z > a, a . . . K u g e l r a d i u s . Graphisch die Situation durch Fig. 5 veranschaulicht. Fª r 2 > 2a versehwindet das Integral. Ira Bereieh zwisehen 0 und a gilt exaktg( r2)= 0. Fª r 2 < 2agibt das Integral ron Null bis Unendlieh -- 1. Einsetzen in G1. (3a) ergibt nun:

_ - (lo f:lag(,.)h,r~~)dx ~ dlng(re) 1 d ~ ( r 2 ) ~ k T . . . . o

d r e + k T d r ~ k T _ . d r s "

oder, da der zweite Term der linken Seite verschwindet,

g ( r 2 ) = e - ~ r ' _~_ C.

W/ihlen wir die Integrationskonstante so, dass die g-Funktion fª r 2 = 2a stetig ist, d. h. C = 2aQ, so ergibt sich das Bild der Fig. 6. Physikalisch ist das wohl s o Z u interpretieren, dass das Teilchen 2 durch das hard core des Teilchens 1 nach aussen gedr~ingt wird, aber wegen der weiteren Teilchen, die ja auch harte Kugeln sind, nicht mit hoher Wahrscheinlichkeit nach aussen gelangen kann. Deshalb erhfiht sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit gerade in der N~ihe von Teilchen 1.

• geschrieben lauten die Resultate der zweiten N~iherung:

l 0 . . . . . . . . r 2 < a,

g(r2)= e(2a-r~) e . . . a < r 2 < 2 a ,

t l . . . . . . . . r 2 > 2 a ,

I - - 1 . . . . . . r.,3 < a ,

h ( r 2 s ) = e( 2a-r ' , )e . . . a < r23 < 2 a ,

tO . . . . . . . . r~3 > 2a,

{0 . . . . . . . . . . . r o > 2a, dg(r2) - -e Qa�91 2 - a ) - ~ - 0 . . . . . . . . . . . r 2 < a ,

dro_ - - oe . . . a < r2 < 2 a .

Damit gehen wir n u n a n die dritte N~iherung heran. Dabei haben wir nach der Gr6sse ron r 2 vier verschiedene Bereiche zu unterscheiden: 1) r 2 > 4a: In diesem Falle verschwindet immer ein Faktor, sodass auch das Integral verschwindet. G1. (3a) reduziert sich dabei auf:

d In g(r2) _ 0, (3c) d r 2

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14~ JORGEN W. WE[L und KARL W. KRATKY

_ dg(r3)/dr 3

(r231

r 2

Fig. 4. I ra In t eg ra l der r e e h t e n Sei te v o n (5) a u f t r e t e n d e F a k t o r e n (r a > 0)

~ ~ (�91 - Funktion|

[ Jl~ t a' h(r231

r Z

Fig. 5. I m In t eg ra l der r e c h t e n Sei te r o n (5) a u f t r e t e n d e F a k t o r e n ira Fal le 4a)

a & Fig. 6. Zwei t e N i i he rung f ª g(rz)

sodass g(r2) ~ 1 in dritter N/iherung gilt. Graphisch sieht die Situation wie folgt aus (Fig. 7):

-2a ~ -a

f �91 - Funktion

..1 ,r ~~ i i

S 2a 3a L .......

Fig. 7. V e r h a l t e n v o n dg(r3)/dr a u n d h(r2a ) f ª ro > 4a. - - - - dg(rs)/dr~,

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~(r,,)

A S P E K T E U N D A N W E N D U N D E N D E R r A A R K O R R E L A T I O N E N . . . . T E I L I 147

2) 3a < r 2 < 4a: Das Integral r o n Null bis Unendlieh ergibt in diesem Falh

~ o h ( r 2 3 ) d g ( r 3 ) d r 3 - _ f f ~ ( e • ( 2 a - r ' + r ' ) - - 1 ) ( - ~ e ( 2 a - r , ) o ) d r s ~ __ d r 3 , - 2a

= eO(4a-r') (1 + ~r 2 -- 4a~) 1,

sodass also G1. (3a) die Form ann immt :

d In g(r2)

d r 2

2o t.,.,,

-- Q{e~Cga-r,)(1- ~r2 -- 4a~) -- 1}"

- o Q

6 - Funkfion

1Ÿ ?--. I I { / 2 o 1 i I

F i g . 8 . Verhalten ron dg( r3 ) [dr 3 und h(r23 ) fª 3a < r 2 < 4a. - -

(3d)

Dies liefert mit der Forderung stetigen Anschlusses r o n g bei r 2 = 4a, also der Bedingung In g(ro)]r,=4~ = 0, folgenden Ausdruck fª g(r2):

g(r2) = exp ( - Q[r 2 - 4 a - - r 2 e e(4a-r~) - - 4ae( 4a-r,)~ + 8a]}.

F ª sehr kleines a und Vernachl~issigung von Gliedern zweiter Ordnung (a 2, ar ~, etc.) erhalten wir g(r2) ~ 1 fª 3a < r 2 < 4 a .

Fig. 8 illustriert die Si tuat ion fª diesen Fall. 3) 2a < r 2 < 3 a : In diesem Fall ist das Integral r o n Null bis Unendlich wie folgt auszuwerten:

. I o h(r2s) dg(r3) dra =f2r] ' -a~e(~ '~-x~)dx3 + d r 3

-~~+~ ~r.~-~ + lim e~ab(r3 - - e)e(2a-r~+x~)~~ - ( e e(2a-r'+r*) @ l ) ~ e ( 2 a - x ' ) e d x 3 =

e ~ O L j a _ e J a + e

= e a~ - - 1 4- e ~ [1 -- 2ar r 2 ~] .

Damit erhalten wir aus G1. (3a):

In g(r2) : ~ [(e -~a 1) r z + (2a + r2) e -~(4a-r=~] + C. (3e)

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d g ( r s ) /dr s, - - _ _ h ( r z s )

148 J • W. WEIL und KARL W. KRATKY

Aus der A n s c h l u s s b e d i n g u n g

In g(r2)[r~=3a = 0

e rg ib t s ich w i e d e r u m

g(r2) =- exp { - - ~ [(e -~ - 1)(3a -- r2) ~-

+ (2a -4- 3a) e ea - - (2a -~ r2) e~(4a-r=)]~.

-2Q ~ -G

," �91 - Funkfion

s J ~

~..12oI t_ . . . . . . . . . .

Fig. 9 . Verhalten ron dg(r3)/dr 3 und h(r2a ) fª 2a < r~ <3~. ~ - - dg(r3)/dra, -- _ _ h(r2a )

G1. (3a) l a u t e t j e t z t :

B e t r a c h t e n wi r a w iede r als k le in , so h a b e n wi r a n n / i h e r n d :

g(r2) ~ e~(r,-3a).

Fig. 9 v e r a n s c h a u l i c h t die S i t u a t i o n g raph i seh . 4) a < r 2 < 2a: H i e r e rg ib t das I n t e g r a l v o n Nul l bis U n e n d l i c h :

d~ (r3) h(r23) d r a = l im ee( 2a-r')~ d x 3 -~ d r 3 ~~0 a+~

( - - 1)e Qa~(r 3 - a) dx3] - - - - 1 m

J

d In g(r2) = - - ~ (3 f )

d r 2

was u n t e r B e r ª der A n s c h l u s s b e d i n g u n g ah den Bere ich 2a < r 2 < 3a zu

g(r2) = e-~r~+a~

f ª F ig . 10 g ib t Aufsch luss ª die r e l a t ive L a g e v o n d g ( r 3 ) / d r a u n d h(r23 ) in d i e sem Bere ich .

Acta Physica Academiae Sr Hungarir 34, 1973

A S P E K T E U N D A N W E N D U N G E N D E R P A A R K O R R E L A T [ O N E N . . . . T E I L I 149

5) r 2 < a: Ira ha rd core gilt na t ª definitionsgem/iss g ( r 2 ) = 0. Fig. 11 zeigt die insgesamt erhal tene g-Funkt ion . Tro tz der Grobhei t der N~iherung zeigt Fig. l l a bereits etwas r o n dem in Fig. l l b wiedergegebenen Verhahen einer typischen Paarkor re la t ions funkt ion f ª Flª In te ressan t ist dabei die Tatsache, dal3 diese ~hnl ichke i t t ro tz des Vorliegens cines blossen hard-core-Potent ia ls in unserem Beispiel bes teht .

.Ÿ La

/ 6 - Funktion

Fig. 10. Verhahen ,con dg(r3)/dr~ und h(r2~) fª a < r~ < 2a. I g(r 2) in 3. N~herung

Q ~a 3'a �91 r 2

{ ~ ~..N~r2l fª Fi~ssig keiten

Fig. 11a) g(rz) in unserer dritten N~iherung; b) wirkliches g(rz) fª Flª auf Grund experimenteller Befunde

Dami t schliessen wir das erste Beispiel ab und wenden uns dem zweiten zu. I-Iier liege eine nach aussen anziehende har te Kugel vor, d. h. wir haben fiir das Potent ia l : b) ~v ---- ~ f ª r 2 < a, ~ = -- k T | n ( e - r 2 ~ ' - ~ - 1) f ª r 2 > a. Hier sieht GI. (3a) in erster N~iherung wie folgt aus:

dlng(r2) -}- ~ p ~ v ( r 2 ) = 0 , (3g)

dr 2 k T dr 2

3 * Acta Physica Academiae Sr Hungaricae 34, 1973

1 50 JORGEN W. WEIL und KARL W. KRATKY

sodass

g (r2) = e - r , e -~- 1 f ª a < r 2 .

Es gilt also:

(rs) = l0 f ª r 3 < a h (r2~) --~ l - - 1 Fª rz3 < a g / e -r=e -~- 1 f ª r 3 < a l e - r , , e f ª rz3 > a

1 0 f ª r 3 < a dg (rs)/dr ~ = (1 q- e -ac) ~ (r• - - a) q- e -r,e f ª r 3 > a

Wi r gehen n u n wieder an die B e r e c h n u n g des In t eg ra l s

( f ~ - - f o ! h (r23) g ' (r23) dr3 '

wobe i wi r j e t z t drei F/ille zu u n t e r s c h e i d › haben : 1) r 2 < 2 a , r 2 > a (Fig. 12):

/

Fig . 12. Z u r I l l u s t r a t i o n v o n Fal l 1

ac) h (r2z) g ' (r3) dr z = lim ' ( - - e -r=,e e -r.o dr 3 -~-

f - a + s )

-q- e -r , ,~ (1 q- e -ao) d (r 3 �91 a) dr 3 = J - - a + e

e- - 2ao - e - ' , ~ -t- e ( - ' , -" )~ (1 -t- ~-,,o)

2

/~) h (r23) g ' (r3) dr 3 = lira ( - - 1) (1 -]- e -a~ (~ (r 3 - a) dr• ~-

f rt - a j~~

-~- ( - - 1) ( - - e -r'~ dr3 -4- ( - - e -r~'~ e -r'~ dr3 = J a+e r=+a

: - - 1 - - e ( - a - r , ) o _ __1 e(_2a_r2)o 2

.Acta Physi~a Aeademiae Seientiarum Hungaricae 34, 1973

A S P E K T E U N D A N W E N D U N G E N D E R P A A R K O R R E L A T I O N E N . . . . T E I L I 151

sodass wir fª das Gesamtintegral haben:

h (r23) g' (r3) dr 3 = 1 q- e -r'~ [2e -ae -4- e-2a~].

2) r 2 < 2a (Fig. 13):

g'(r 3)

h {rz3)

Fig. 13. Zur Illustration von Fall 2

l O

Das Integral gibt wiederum dasselbe wie in Fall 1:

f ~ e - 2a~ ~) h (r23) g ' (ra) dr 3 = -- e -r~e -~- e( -r2-~)e (1 + e -ac)

2

~) h (r~~) ~' (r~) dr~ = l i r a e-r.o (e-OO + 1) ~ (r3 -- a) dr~ + › ~O ~d a--8

- ~ - ~ + a { - - e - r ' e e - r " e , d r 3 1 - ~ - ~ : • 1 7 6

q- f ~ › dr 3 = e(-r~+a)e(e-ae -]- 1) + e-r 'e (2a -- r2) e -]- J r2 ~Ÿ a

__ _ _ e(-r~- a)e _~ (e(-r,§ e(-r.-a)e) __ 1 2 2

sodass insgesamt wieder gilt:

[ f ~ ~ - - r o l h(r23) g ' ( r 3 ) d r a = r 2 ~ e - r ' e ~ - e - r ~ [ ( 2 q -e -a~) (e -a~176

3) r e < a. Hier gilt nat ª wieder g(r2) : 0. Mit den eben erreehneten Ausdr ª gehen wir nun in G1. (3a) ein. Dabei erhalten wir fª Fall 1:

l ) a < r 2 < 2a:

d In g (r2) d In (e -r2e + 1)

dr 2 dr 2 = - - ~) ( 1 + e -r~Q ( 2 e - a e - - e-2ae)) , ( 3 g )


152 J• W. WEIL und KARL W. KRATKY

WaS durch

g(r2) = (e-r~Q -~- 1) e x p ~e-r~Q[2e-a~ -~- e-2ae] __ r2o ~- C1}

1. N/iherung, Korrektur der 2. N/iherung

gelSst wird. Die Kons tan te C 1 bleibt noch zu best immen. -- F ª Fall 2 gilt:

2) rz < 2a:

d In g (r2) e -r ,a + 1

d r 2 = - - ~ [r~.~e -r'~ -t- e-r:~ ((2 + e -~*) (e-a~-- eaQ) _ 2ae) ]

mi t der Lfisung

g ( r 2 ) = ( e-r~~ -~- ]-), e~ { l e - r 2 r [ ( 2 + e - a r ao _eaQ) + r~ _ 2 a + l ] } +C,(3¡

1. Niiherung Korrektur der 2. N~iherung

Die Kons tan te Co bleibt wiederum zu bes ' immen. 3) r 2 < 0: Hier gilt, wie gesagt, g(r2) = 0. J e t z t mª wir noch die In tegra t ionskons tan ten C~, C 2 best immen; dabei verlangen wir, dass fª r o - , ~ g(r2) -~1 geht, sowie dass bei 2a = r~ die L~sungen stetig anschliessen. Dami t ergibt sich:

C 1 = 2~(a - - e-ae), C. 2 = 0.

Wir wollen die Ergebnisse wiederum graphisch darstellen; zu diesem Zweck nehmen wir a wiederum als klein an. Dami t f inden wir:

a < r 2 < 2a:

r 2 > 2a:

g(r2) = (e-r ,q -~ 1) e ('-ar~Q)

> 1, wegen r . , "k le in" .

g(r2) = (e-~~~ -~ 1) e (1-8ar

const., > (a klein).

Fig. 14 stellt die erste und zweite N~iherung r o n g(r2) bildlich dar. Dami t haben wir auch die Vorfª des zweiten Beispiels beendet . H~here N~iherun- gen steigern nat ª den mathemat i schen Aufwand, sodass eine schrit tweise Bewiiltigung dieser N/iherung, zuerst eindimensional und dann dreidimensio- nal, mit tels eines Computers ins Auge gefasst ist. Dabei denken wir auch daran, andere, insbesondere kompliziertere Potent iale zu betrachten. Allerdings


ASPEKTE UND ANWENDUNGEN DER P A A R K O R B E L A T I O N E N . . . . T E I L I 153

h~ingen alle diese weiteren Entwicklungen nicht nur von wissenschaftlichen Erwiigungen, sondern auch ron der Bereitstellung von Geldmitteln fª Ma- schinenzeit und Programmierung ab. Ganz allgemein k6nnen wir sagen, dass alle diese Nahwirkungsbetrachtungen ron gr6sster Wichtigkeit fª sehr viele interessante Flª sind (etwa bis zum zehnten Molekª

~~ . .g ( r2 ) , 2. N~herung

1 ~ ~ - - \g(r2}. t. N~herung 2'o

Fig. 14. E r s t e u n d z w e i t e N ~ i h e r u n g r o n g(r:)

fª diese wª eine Niiherung etwa der gleichen Ordnung genª exakte Ergebnisse liefern).

Wir hingegen beschreiten in den folgenden Abschnitten des ersten Teiles einen g~inzlich neuen Weg; ausgehend ron den Fouriertransformierten der zeitunabh~ingigen Paarkorrelationsfunktion -- cien sogenannten Struk- turfaktoren -- stellen wir asymptotische Betrachtungen fiir eine Reihe interes- santer und wichtiger physikalischer F/ille ah. Zu diesem Zwecke haben wir die Ausgangsbasis unserer • entsprechend zu erweitern und einige Begriffe und Definitionen einzufª

5. Strukturfaktor- t~berlegungen

Der ~~statische~~, d .h . der zeitunabh~ingigen Paarkorrelationsfunktion als Fouriertransformierte zugeordnete Strukturfaktor ist in folgender Weise definiert [3]:

S(Q) = 1 + ~ f exp (iQ-7) ( g ( r ) - - 1) dF. (6) .)v

Da der differentielle Neutronen-Streuquerschnitt anderseits durch

- ~ - n ~'~ ~ exp (i().?). [g(r) -- 1] d~ + 1 + ~�91 (7)

gegeben ist, sehen wir, dass fª Q ~ 0 Strukturfaktor und Streuquerschnitt proportional sind. Dabei ist Q die Impulsª ira Streuexperiment und zO der Raumwinkel, der Index ~~n~~ bedeutet ~~Neutrow~, die Integration ist ª den gesamten Raum auszufª

Ac#ffi Physica Aeademiae Scientiarum Hungarir 34, 1973


Physikalisch sind die einzelnen Terme in (7) offenbar wie folgt zu deuten: a) das Integral stellt die Superposition der kohiirent gestreuten Partial-

wellen dar; als Gewiehtsfaktor dient g(r) -- 1, mit -- 1 aus Normierungs- grª

b) der darauf folgende Summand 1 ist der inkoh~irent gestreute Anteil. c) die Deltafunktion stellt den ungebeugt durchgehenden Primiirstrahl

dar. Zur Deutung der einzelnen Terme vgl. auch (8). Aus der Thermodynamik kennt man folgende Beziehung:

V,T k T (g(r) -- 1)d~ + 1 (8)

die offenbar Druck, Temperatur und Dichte verknª ([3], Seite 21) und somit eine Zustandsgleichung darstellt (p ist der Druck). Aus Vergleich mit G1. (6) folgt

S(O) = o k T z r (9) wenn wir mit

die isotherme Kompressibilit~it einfª mit anderen Worten: eine Bestim- mung des Strukturfaktors kommt einer Bestimmung der Zustandsgleichung gleich. Umgekehrt kann aus der Kenntnis der Zustandsgleichung ª den Strukturfaktor auf g(f) geschlossen werden. Wir werden zwei Wege w/ihlen, um zu (asymptotischen) Ausdrª fª g(r) gelangen: einerseits einen, der vom Zweiteilchenpotential ausgeht, anderseits den, der die Zustandsgleichung zugrundelegt. Wir beginnen mit einem abstossenden und einem anziehenden Yukawapotential.

1. Sys t em mi t abstossendem Y u k a w a p o t e n t i a l :

Wir gehen aus ron einem Potential der Gestalt

e - r/ro ~ ( 0 =- B - - , (.10)

r

wo B eine positive Konstante und r o eine Art Debyescher Abschirmradius ist. Wir fª nun, dem Beispiel ron ORr~STEIN und ZER•IKE (zitiert in [2, 3]) folgend, die sogenannte ~~direkte~> Korrelationsfunktion durch

h(r) = c(r) + e S c(i~ -- ~i') h (r ~~' (11)

Acta Ph~vsir .~r Scientiarurtt Hungaricae 34, 1973

ASPEKTE UND ANWENDUNDEN DER PAARKORRELATIONEN . . . . T E I L I 1 5 5

ein, wo h ( r ) d i e in dieser Arbeit in (3) eingefª ~(totale>> Korrelat ionsfunk- t ion ist; offenbar wird in (11) h als Summe eines direkten Effektes vom ersten auf das zweite Molekª plus einem durch die Fa l tung von c und h ausgedrª indirekten Effekt aller anderen Molekª dargestellt. Mit diesem c kann die von uns eingefª Kraf tgleichung (3) in der Gestalt

u(r) y lng(r) + k B T -- e c(l~-- -~ ' l )h(r ' )d~' (3i)

geschrieben werden, wo c durch (2)

c(r)-~ l ~ f ~ of' k B T r g(x) (x) dx ( l l a )

gegeben ist (sog. B o r n - Green - -Abe-Form der Kraftgleichung). F ª grosse x gilt g(x) ~ 1, sodass

1 e-r/r~ c(r) ~ E - -

r - ~ k B T r

Unter Voraussetzung von Isotropie verwenden wir nun die Definit ion der Fourier t ransformier ten von c(r)"

c ( r ) - - 1 f o k 6 ( k ) s i n k r d r ' 2~2Qr

sowie die wohlbekannte Beziehung

k sin kr dk ~- - - e-r/r' 2

woraus durch Vergleich folgt

~(k) -- -- 4zt~ B 1

k~T (1/~o) ~ § k ~- (12)

Wir nehmen nun die Fourier t ransformier te r o n G1. (11):

oder

~ ( k ) = ~ ( k ) + ~ ( k ) ~(~)

~(k) = S(k) -- 1

s(k)

.Acta Ph)'sica /lcodemiae Scientiarum Hungarict, e 34, 1973


und erha l ten daraus un te r Verwendung r o n (12):

S(k) 1 + (r~ 4rtgBr~ = , ~ - (13) 1 + (rok) z -+- 8 k B T

Inve r t i e ren wir die Four ie r t rans fo rmat ion (6) unter I so t rop ieannahme

g(r) = 1 -4- 2~20rf0 ~ [ S ( k ) - 1] k s i n k r d k ,

so b e k o m m e n wir dami t und aus (13) folgenden Ausdruck f ª g(r):

( ~ k sin kr B - r 1/ kBT 4- 4~oBr~ r:knT (14) = J dk = 1 - - e + , g(r) 1 + 2~Qr 0 1-4-(r0k) 2 + ~ k s T r

was offenbar nur f ª r/r o �87 1 r icht ig ist (und, na t ª im Einklang mit den Voraussetzungen, f ª r - * 0 ex t rem sinnlos wird, g(0) . . . . l). Offenbar haben wir auch hier eine Art I t e ra t ionsver fah ren verwende t , indem wir auf Grund der Kenntn is des Potent ia l s unsere Ausgangsannahme g(x) ~ 1 f ª grosse x verbessern konnten. E inse tzen von (14) in ( l l a ) -- bei genª gros- sera r -- wª im Prinzip zu einer we… Verbesserung f ª kSnnen. Fe rne r ist vern ª dass das Viel te i lchensystem f ª hohe Tem p era tu r en zum idealen Gas wird (g(r) = 1); dasselbe gilt f ª eine kleine Kopp lungskons tan te B, w~ihrend f ª sehr grosses r o (grosse Reichweite der Wechselwirkung) die Paarkor re la t ion unabh~ingig von r o wird, d.h. das ganze Geschehen innerhalb einer Debyekugel s ta t t f inde t , deren Abmessungen weit draussen liegen u n d somit un in te ressan t geworden sin&

2. System mit anziehendem Yukawapoten t ia l

Hier lau te t das Po ten t ia l

e - r / r . ( 0 = - B - -

r

mit wieder posi t ivem B, und wir bekommen fª clie Paarkor re la t ions funk t ion :

- t ]/ kBT + 4noBr:" B ffk~T (14a)

g(r) = 1 + e + Ÿ

k s T r

mit g(r --* oo) = 1 und -- ausserhalb der Gª der Formel , aber ~~zuf~illig~~ richtig - - g(0) = co. F ª S(0) haben wir:

1 S(O) =

1 - 4ztQ Br2

kBT


ASPEKTE UND ANWENDUNDEN DER PAARKORRELAT1ONEN . . . . TEIL I 157

d. h. fª niedere Tempera turen , hohe Dichten und/oder starke Kopplung haben wir S(0) < 0 und somit ZT < 0, d . h . das System zieht sich, wie auf Grund seirtes Potentials zu erwarten ist, r o n selber zusammen.

3. Plasma mit gegebener Zustandsgleichung

Wir beschreiten hier einen anderen Weg und gehen r o n einer gegebenen Zustandsgleichung aus; ira vorliegendert Falle handele es sich um ein Plasma, das durch folgende Zustandsgleichung beschrieben wird (9):

p = ~kBT[l _ 4_ V2 ) , (15) 24~t~23D

V k B T die Debyesche Abschirml~inge ist (e Elektronen- woberi 2 o = 4~ e 2 0e~

ladung, 0 e t ' ' " Elektronendichte) . Bei (15) ist Quasirteutralidit (~et ~ '~ i , Qe,q-~i = ~) sowie Vorliegen nur einfach geladener Ionen angenommen. Unter Benª von (9) und der darunter angegebenen Defini ton der isother- men Kompressibilit~it erhalten wir fª S(0):

s ( o ) = 1 + (45 81;~~Q) -~

was wir nun in Analogie zu den Beispielen 1 und 2 als Grenzwert folgendert Ausdruck auffassen wollen:

S(k) = I q- 25 k2 = 1-4- 2zo" k 2 1_4_2~k 2 _}_ l/~ e3Q 1/�91 - - 1-4-2~k"-]-C

4 (kBT) 3/'z

Fª die Fourier t ransformier te davon erhalten wir:

( _ _ _ _ ) c 1 ~ ex~ r V ~

g(r) = 1 2z~ 20r 25 2

oder

g(r) = 1 - - I / ~ e5 ~1/2 1 exp - - r (14b) 8 (ks T) 5/2 r 2(k, T) ~/~-

welcher Formel nat ª ebenfalls wieder nur fª r �87 2 o Gª zukommt. Der richtige Grenzwert g(r) -+ 1 erbigt sich hingegen fª T ~ ~ (heisses, d. h. ideales Gas, e --+ 0 (ungeladenes, ideales Gas), ~ --~ 0 (verdª Gas).

Acta Ph)'sica Academiae Scientiarum ttuagaricae 34, 1Q7.~

158 J • W. W E I L und KARL W. K R A T K Y

4. Ideales Fermigas hoher Tempera tur und niedriger Dichte [10]

Hier gehen wir r o n folgender Zustandsgleichung aus (X3/v ~ 1, v . . . spezifisches Volumen ( = l/Q), ~ . . . . De-Broglie-Wellenliinge:

= V2~th2/(mkBT))

mit

p v v ( z 2 } 1 ~3 - - - - z - - - - ~ . . . . l - f - 2 5/'" v k s T A 3 2 512 - - - ~ - " ' "

z = - - + + . . . . v

Das liefert uns ein S(0) der F o r m

1 s ( 0 ) =

1 ~- QX 3. 2-312

• ª Analogien zum vorhergehenden Fall, die noch nicht abgeschlossen sind und zu berª haben, dass die Debyel~inge des Beispiels 3 wegen ihrer Position ira Ausdruck fª S(0) die inverse Rolle der hier auftretenden De-Broglie-Wellenl/inge zu spielen h~itte, sollten einen Ausdruck fª S(k) Und dementsprechend fª ein asymptotisches g(r) ergeben.

5. Van-der- Waals-Gas

Das van-der-W.aals-Gas werde durch die Gleichung

oder

~ a ) + V2mo, (Vmo , - 4 L v 0 ) = L k B T (16}

P = Qk 8 T - - aQ2/L2 , (16a)

1 -- 4v o Q

beschrieben, wo wir nichtl ineare Terme in den kleinen GrSssen a (Kohiision) und v o (Eigenvolumen der Teilchen) vernachl~issigt haben (L ist die Losch- midtsche Zahl). Dami t bekommen wir unter Benª r o n (9):

1 -- 8Qv o S(O) =

1 - 2aQ/L 2 k B T

Aus (2) und (6) ª wir folgenden Ausdruck fª h ( r ) = - - g ( r ) - 1:

12 h(r) -- - - a3,

:~2 Qr o

.Acta Physica ~4cademiae Scientiarum Hungarir 34, 1973

ASPEKTE UND A N W E N D U N D E N D E R P A A R K O R R E L A T I O N E N . . . , T E I L I 1 5 0

w o a 3 d e r K o e f f i z i e n t de r d r i t t e n P o t e n z e ine r R e i h e n e n t w i c k l u n g S ( k ) = S (0) "4" a2 k~ -4- a3 k3 -}- . . . (aus (6)) u n d d u r c h

a 3 =

~~o~ S(0) A 12(2 p -- ekB T)

g e g e b e n is t , m i t A als de r K o p p l u n g s k o n s t a n t e n der v a n - d e r - W a a l s - A n z i e h u n g ) .

D a r a u s e r h a l t e n w i r f ª g ( r ) :

g(r) = 1 + ~ 1 A 1 - - 80v~ , (14c) r 6 2 p - - ~ k B T 1 - 2a~/L 2k B T

w a s - - ª v e r n ª - - d ie r - 6 - A b h i i n g i g k e i t des v a n - d e r - W a a l s - P o t e n -

t i a l s t r e u w i d e r s p i e g e l t , u n d m i t r --~ r u n d T --~ o~, v o r b e h a l t l i c h e ine r t i e f e r -

s c h ª U n t e r s u c h u n g , d i › w e i t e r e i n t e r e s s a n t e Z ª z u t a g e f 0 r d e r n so l l te ,

d e n W e r t 1 des i d e a l e n G a s e s e r g i b t .

LITERATUR

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Acta Phfsiea Academiae Scientiarurn Hungaricae 34, 1973

aspekte und anwendungen der paarkorrelationen in der physik der vielteilchensysteme unter besonderer...

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