1

Tema 2. Problemas de contorno: Campos estticos

2.1 El problema de contorno en electrosttica y magnetosttica. Unicidad de la

solucin.

La determinacin de los campos elctrico o magntico en situaciones estticas es un

problema de gran importancia prctica. Se trata as de encontrar la solucin a las

ecuaciones del tipo

2 V =

(ecuacin de Poisson) (2.1)

o para puntos en los que no existen fuentes,

2 0 = (ecuacin de Laplace) (2.2)

Para el caso magnetosttico el problema es formalmente anlogo al elctrico, por lo que

en general nos referiremos al potencial electrosttico.

Si se conocen todas las fuentes en el problema, la solucin es inmediata por

superposicin. Pero lo habitual es que se conozcan condiciones sobre una superficie que

limita la regin en estudio, o condiciones de contorno.

Cules son las condiciones de contorno adecuadas para que resulte una solucin nica

del problema definido por la ecuacin de Poisson o Laplace?

Una posibilidad es especificar el potencial sobre puntos de una superficie cerrada

(condiciones de Dirichlet) ya que determina unvocamente el potencial en el interior.

La solucin tambin es nica si se establece la derivada normal del potencial

(condiciones de Neumann) sobre la superficie, lo que equivale a dar la distribucin

superficial de carga.

La demostracin puede hacerse a partir de la aplicacin del teorema de la divergencia de

Gauss al vector ,

en un volumen V rodeado por la superficie S:

( ) (9)

2 = +

(2.3)

( ) 2 20S V V V

n dS dV dV dV=

= = +

(2.4)

donde el ltimo trmino desaparece por cumplirse la ecuacin de Laplace.

2

La proyeccin de los gradientes sobre la normal a la superficie puede tambin

expresarse como la derivada del escalar respecto a la normal:

nn

Supongamos ahora que pueden existir dos soluciones 1 2 y

que satisfacen la

condicin fijada sobre el contorno: 1) 1 2

= 2) 1 2n n

=

. Si aplicamos la

ecuacin (2.4) a la diferencia 1 2

,

( )( ) 21 2 1 21 2S V

n dS dV =

(2.5)

As, para cualquiera de las dos condiciones de contorno, de Dirichlet o de Neumann, el

primer miembro de (2.5) se anula y al ser el integrando del segundo miembro una

cantidad definida positiva en todo el volumen V, necesariamente ha de ser

1 2 , V =

r (2.6)

Por tanto, las soluciones deben ser la misma o diferir en una constante, lo que no supone

ninguna diferencia en cuanto a la distribucin de campo elctrico, quedando as

asegurada la unicidad de la solucin.

2.2 Teorema de reciprocidad

Partiremos de una igualdad anloga a (2.4) pero para dos funciones escalares y

genricas, continuas y con derivadas primera y segunda tambin continuas en V.

Obtenemos as la igualdad

2

S V V

dS dV dVn

= +

(2.7)

denominada 1 identidad de Green.

Intercambiando las dos funciones escalares y restando las igualdades obtenidas se llega

inmediatamente a:

( )2 2S V

dS dVn n

= (2.8)

3

Conductor 1

1 1,Q V

Conductor 2

Conductor i

Conductor N

2 2,Q V ,

i iQ V

,N N

Q V

que es la 2 identidad, o teorema de Green.

Si tenemos dos distribuciones localizadas de carga 1 y 2, que producen en todo el espacio los potenciales

1 2 y , podemos aplicar el teorema de Green (2.8) a ambas y

obtendremos

( )2 2 2 11 2 2 1 1 2V S

dV dSn n

= , (2.9)

Al estar las cargas localizadas en una regin finita, podemos extender la integral de

volumen a todo el espacio y, por tanto, la de superficie S S

(superficie del infinito),

donde el integrando tiende a cero al menos como 1/R3 y dS es

2R . Esta ltima

integral se anula por tanto. Teniendo en cuenta adems que 2

0/ = , queda

2 1 1 2

V V

dV dV = (2.10)

resultado que se conoce como teorema de reciprocidad de Green. La expresin

obtenida puede extenderse para incluir tambin las densidades de carga superficiales,

por ejemplo sobre conductores cargados. Sobre ellos, 0

/ /n = quedando:

( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 2' 'V S

dV dS =

O bien,

2 1 2 1 1 2 1 2' ' ' 'V S V S

dV dS dV dS + = + (2.10a)

2.3 Sistemas de conductores: coeficientes de potencial e influencia

Consideremos un conjunto de conductores cargados, en equilibrio electrosttico.

Supongamos un estado en el que las cargas y potenciales de los conductores son Q1,

2 1 2, , , , y , , , , , ,

i N i NQ Q Q V V V V respectivamente, como se muestra en la Fig 1.

Figura 1: Conjunto de conductores en equilibrio electrosttico

4

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell y en particular de la ecuacin de

Poisson, se verifica el principio de superposicin, segn el cual el potencial en cualquier

punto es la suma de las contribuciones de cada una de las cargas individuales. Para

nuestro sistema esto se traduce en que los potenciales pueden expresarse como

combinaciones lineales de las cargas en cada uno de ellos:

1

, 1,2, ,N

i ij j

j

V P Q i N=

= = (2.11)

donde ijP son los llamados coeficientes de potencial.

El significado fsico de los ijP es evidente si analizamos la ec. (2.11). En efecto, si

todos los conductores tienen carga nula salvo el j que tiene 1j

Q = , resulta:

1 1 2 2

0 0 1 0

i i i ij j iN NV P Q P Q P Q P Q

= = = =

= + + + + + i ij

V P =

Por tanto, ijP representa el potencial que adquiere el conductor i cuando todos los

conductores estn descargados, excepto el conductor j que tiene carga unidad.

Si la relacin anterior se invierte, las cargas se podrn expresar recprocamente como

combinaciones lineales de los potenciales:

1

, 1,2, ,N

i ij j

j

Q C V i N=

= = (2.12)

donde ( )ij

C i j son llamados coeficientes de influencia y ii

C coeficientes de

capacidad. Hay que hacer notar que el coeficiente de capacidad de un conductor en

presencia de otros, ii

C , es diferente del coeficiente de capacidad de ese mismo

conductor aislado C. Los coeficientes de influencia y de capacidad dependen solamente

de la geometra del sistema y no del estado elctrico de los conductores

El significado fsico de los ij

C es evidente a partir de (2.12). Si todos los conductores

estn a potencial cero salvo el j que se encuentra a 1j

V = , se tiene

1 1 2 2

0 0 1 0

i i i ij j iN NQ C V C V C V P V

= = = =

= + + + + + i ij

Q C =

5

As, ij

C representa la carga que adquiere el conductor i cuando todos los conductores

estn a potencial cero, excepto el conductor j que est a potencial unidad. Puesto que

en esta situacin las lneas de campo deben partir del conductor j que es el nico a

potencial positivo y acabar en los otros conductores o en el infinito, las cargas de los

dems conductores sern negativas. Por tanto los coeficientes de influencia sern

negativos y los de capacidad positivos,

0, 0ii ijC C> <

Adems, la carga positiva debe ser mayor o igual que la suma de las negativas en valor

absoluto,

N

ii ij

j i

C C

Los coeficientes de influencia son simtricos y como la matriz de coeficientes de

potencial es inversa de los de capacidad tambin lo sern aqullos,

,ij ji ij jiC C P P= =

Para demostrarlo consideremos dos situaciones diferentes para el sistema de N

conductores: en la primera todos los conductores estn a potencial cero excepto el i que

est a potencial unidad,

1 11 1 12 2 1 1

0 0 0

2 21 1 22 2 2 2

0 0 0

1

1

1

1 2 2

0 0 01

i i N N

i i N N

N N N Ni i NN N

Q C V C V C V C V

Q C V C V C V C V

Q C V C V C V C V

= = =

= =

= ==

=

=

=

=

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

En la segunda, el conductor j el que est a potencial unidad y el resto a cero,

1 11 1 12 2 1 1

0 0 0

2 21 1 22 2 2 2

0 0 0

1

1

1

1 2 2

0 0 01

j j N N

j j N N

N N N Nj j NN N

Q C V C V C V C V

Q C V C V C V C V

Q C V C V C V C V

= = =

= =

= ==

=

=

=

=

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

6

V V

S Siq

iq

iq

( )r ( )r 2a 2b

Vemos que las cargas sobre los conductores son en el primer caso 1 2, ,i i NiC C C y en

el segundo, 1 2, ,j j NjC C C . Si se aplica el teorema de reciprocidad de Green al

producto de cargas en un caso por potenciales en el otro, se obtiene inmediatamente

1 1

, (c.q.d.)ij j ji i ij jiC V C V C C

= =

= =

2.4 Mtodo de imgenes

Consideremos un problema de Dirichlet definido por una cierta regin del espacio V

donde existen cargas y unas condiciones de contorno dadas por los valores del potencial

sobre la superficie S que la limita (situacin de la Figura 2a). Si somos capaces de

encontrar una distribucin de cargas exteriores a V, que juntamente con las cargas

interiores, produzca el mismo potencial ( )r sobre S (situacin 2b), entonces el

teorema de unicidad nos asegura que, dentro del volumen V, la solucin para ambas

situaciones es la misma. A las cargas exteriores qi se les llama cargas imgenes.

Figura 2. Un problema de contorno (2a) puede resolverse como el potencial creado por las cargas interiores qi ms las cargas imgenes qi, exteriores a V (2b), que producen el potencial dado ( )r sobre la superficie.

En general, no es fcil encontrar un conjunto finito de cargas imgenes que resuelvan un

problema de contorno dado. Para algunas geometras sencillas, sin embargo, la solucin

por imgenes es directa y de gran utilidad, como se ver en los siguientes ejemplos.

7

a) Imagen de una carga frente a un plano conductor indefinido

Figura 3. Carga puntual q frente a plano a tierra (potencial cero). El potencial creado por q y la carga imagen q resuelven el problema del potencial en el semiespacio de la izquierda. En la figura se representan las lneas de campo elctrico.

Vamos a resolver el problema de una carga puntual frente a un plano a potencial cero

(Figura 3). La carga imagen es una carga igual y de signo contrario a la carga original,

situada simtricamente a ella respecto al plano (imagen especular, de ah el nombre del

mtodo).

'q q= situada en 'd d= (2.13)

Debemos verificar siempre que las cargas imgenes:

1) Estn fuera del volumen V, es decir, deben pertenecer al espacio imagen y no al

espacio del problema real.

2) Hagan cumplir, junto con las cargas reales, las condiciones de contorno dadas.

Cualquier magnitud fsica asociada a los campos en el problema real puede calcularse

mediante la situacin equivalente, utilizando las cargas imgenes.

b) Imagen de una carga frente a una esfera conductora a potencial cero

Es conocido que dos cargas

puntuales de distinto signo y cuyas

magnitudes estn en una relacin

dada, tienen siempre una

equipotencial que es una esfera. Esta

propiedad puede utilizarse para

establecer el mtodo de imgenes

para una carga frente a una esfera a

Figura 4. Carga puntual frente a esfera conectada a

tierra. La carga imagen ' aq qd

= y est situada a

la distancia 2

'a

dd

= del centro de la esfera.

=0

q

d

=0

q

d

q = q

d

2a 2b

=0

q

d

=0

q

d

=0

q

d

q = q

d

=0

q

d

q = q

d

2a 2b3 3

8

potencial constante, o en particular, conectada a tierra (Figura 4). El volumen V es el

exterior de la esfera (limitado por la superficie esfrica y una superficie muy alejada en

la que el potencial es cero o S

).

El potencial creado en el punto r

por la carga q y su imagen q es

( )2 2 2 2

0

'1

4 2 cos ' 2 'cos

q qr

r d rd r d rd

= + pi + +

(2.14)

Puede comprobarse que efectivamente ( ) 0r a

r=

= cuando

'a

q qd

= y

2

'a

dd

= (2.15)

que es por tanto la carga imagen buscada en la posicin .d

El campo elctrico en cualquier punto exterior a la esfera se podr calcular como.

( )3 3

0

'1'

4 '

z z

z z

r d u r d uE r q q

r d u r d u

= +pi

(2.16)

y sobre la superficie de la esfera conductora,

( ) ( )( )2 2

3/22 2

0

/ 1,

4 2 cosrr a

a d aqE r u

a d ad=

=

pi +

(2.17)

pudindose obtener a partir de l otras magnitudes, como por ejemplo la densidad

superficial de carga ( )0 r aE r == . Anlogamente, para hallar el potencial de una carga frente a una esfera a un potencial

fijado V0, hay que aadir a la carga imagen q una carga imagen adicional

0 04Q V a= pi en el origen, que producir el potencial deseado sobre la esfera.

2.5 Separacin de variables

El mtodo de mayor generalidad para resolver la ecuacin de Laplace es el de

separacin de variables. En l la ecuacin diferencial en derivadas parciales se separa en

un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una de ellas en trminos de una

sola variable independiente. El procedimiento es especialmente til cuando las

superficies lmite sobre las que se imponen las condiciones de contorno, coinciden con

9

superfices de coordenada constante, en el sistema de coordenadas elegido. Las

ecuaciones diferenciales ordinarias que resultan, con las condiciones de contorno de

Dirichlet o Neumann, constituyen problemas del tipo de Sturm-Liouville y los

conjuntos de soluciones son, por tanto, ortogonales y completos, lo que resulta esencial

para construir la solucin buscada.

Vamos a exponer el fundamento del mtodo, particularizndolo para coordenadas

cartesianas y esfricas. Un tratamiento ms general y su aplicacin a otros tipos de

coordenadas, pueden consultarse en libros de ecuaciones diferenciales o textos

avanzados de electromagnetismo.

a) Separacin de variables en coordenadas cartesianas

La ecuacin de Laplace en coordenadas cartesianas se escribe:

2 2 2

2 2 20

x y z

+ + =

(2.18)

Buscaremos soluciones de (2.18) que se expresen en la forma de producto de tres

funciones, cada una de ellas dependiente de una de las coodenadas cartesianas,

( , , ) ( ) ( ) ( )x y z X x Y y Z z = (2.19)

Sustituyendo en (2.18) y dividiendo por ( ) ( ) ( )X x Y y Z z , se obtiene:

2 2 2

2 2 2

1 1 10

d X d Y d Z

X dx Y dy Z dz+ + = (2.20)

Como las coordenadas son independientes, cada uno de los tres sumandos en (2.20)

debe ser una constante. Denotando estas constantes por 2, 2 y 2, queda: 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1, , , 0

d X d Y d Z

X dx Y dy Z dz= = = + + = (2.21)

Las soluciones de estas ecuaciones ordinarias son, como es bien sabido, exponenciales.

Dado el carcer ortogonal y completo de las soluciones de (2.21), cualquier solucin de

la ecuacin de Laplace puede construirse a partir de una combinacin lineal de estas

soluciones separadas. As, la solucin general puede expresarse en la forma

( )( )( ), ,

( , , ) ' ' 'x x y y z zx y z Ae A e Be B e C e C e = + + +

(2.22)

10

Para que la suma de las tres constantes en (2.21) sea cero, al menos una de ellas debe

ser negativa y por tanto , o , imaginarias. La eleccin de la(s) constante(s) imaginaria(s) se har dependiendo del problema. Igualmente, las constantes se fijarn

aplicando las condiciones de contorno del problema. La combinacin de exponenciales

positivas y negativas es equivalente a una combinacin de funciones seno y coseno

hiperblico y, anlogamente, la de exponenciales imaginarias es equivalente a una

combinacin de senos y cosenos trigonomtricos.

Tambin es posible el valor cero para alguno(s) de los parmetros. En ese caso la

solucin correspondiente es una variacin lineal. Por ejemplo si = 0, la solucin

correspondiente es 'Ax A+ , por lo que hay que aadir posibles soluciones de este tipo

a cada uno de los factores de (2.22).

Es importante observar que la forma concreta de la solucin deber elegirse de acuerdo

con las caractersticas fsicas del problema,

Ejemplo 1: Potencial en el interior de un condensador de placas planas y paralelas. Sean

dos placas conductoras paralelas e indefinidas a potenciales V y 0 respectivamente.

Debido a la simetra del problema, la solucin no

debe depender de las coordenadas y ni z, y para cada

una de estas variables debemos tener una variacin

lineal ( )( )' 'B y B C z C+ + , con B = C = 0. Al ser por tanto 0= = , tambin 0= , o sea el potencial debe variar linealmente con x y ser

constante en las direcciones y, z. En definitiva,

( ) 'x Ax A = + (2.23)

Las constantes se determinan de las condiciones de contorno, (0) , ( ) 0V d = = ,

de donde /A V d= , y 'A V= . El resultado es

( )( ) 1 /x V x d = (2.24)

Figura 5. Potencial entre las placas indefinidas de un condensador plano

11

Ejemplo 2: Se quiere calcular el potencial en el interior de una caja paralelepipdica

abierta, cuyas paredes laterales se extienden

de manera indefinida en la direccin del

eje z. Las condiciones de contorno son:

potencial cero en las caras laterales y

potencial dado, como una funcin 0 ( , )V x y

sobre la base z = 0.

Figura 6. Problema de contorno sobre las caras de un paraleleppedo semi-indefinido.

Dado que el potencial debe anularse cuando z , escogeremos una constante real, mientras que como la solucin debe anularse en x = 0, x = a, y = 0, y = b, las

constantes y se tomarn imaginarias y expresaremos las soluciones a (2.21) de forma general como

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

( ) sen cos

( ) sen cos

( )z z

X x A x B x

Y y C y D y

Z z E e F e+ +

= +

= +

= +

(2.25)

Las condiciones de contorno implican que 0, ,n m

B D Ea b

= = = = =pi pi

,

con lo que la solucin toma la forma:

( ) ( ) ( ) ( )2 2/ /1 1

( , , ) sen / sen /n a m b z

nm

n m

x y z A n x a m y b e

+

= =

=pi

pi pi (2.26)

Falta por imponer la condicin de contorno en z = 0,

( ) ( )01 1

( , ,0) ( , ) sen / sen /nmn m

x y V x y A n x a m y b

= =

= = pi pi (2.27)

La forma de despejar las constantes de esta ecuacin es el procedimiento habitual en

desarrollos en trminos de funciones ortogonales. As, multiplicaremos por

( ) ( )sen( ' / ) sen( ' / ) e integraremos a las e , entre 0, y 0, :n x a m y b x y a b pi pi

y

x

z

b

a

0( , )V x y

0V =

12

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 0 0

00 0

sen / sen ' / sen / sen ' /

( , )sen ' / sen ' /

a b

nm

n m

a b

A n x a n x a dx m y b m y b dy

V x y n x a m y b dxdy

= =

=

pi pi pi pi

pi pi

(2.28)

Pero ( ) ( )0

0, si '

sen / sen ' / si '

2

a n n

n x a n x a dx an n

=

= = =

pi pi (2.29)

obtenindose

( ) ( )00 0

4( , )sen / sen /

a b

nmA V x y n x a m y b dxdyab

= pi pi (2.30)

y la solucin es (2.26) con (2.30).

b) Separacin de variables en coordenadas esfricas

En coordenadas esfricas la ecuacinde Laplace se escribe:

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1sen 0

sen senr

r r r r r

= + + = (2.31-a)

Para problemas con simetra azimutal, independientes de , esta ecuacin se reduce a:

2 2

2 2

1 1sen 0

senr

r r r r

= + = (2.31-b)

Buscamos soluciones separables,

( , ) ( ) ( )r R r P = (2.32)

y por un procedimiento anlogo al seguido con las coordenadas cartesianas, obtenemos

la ecuacin:

( ) 22 2

sen 0sen

P d dR R d dPr

r dr dr r d d

+ =

(2.33)

Dividiendo por ( ) ( )R r P y multiplicando por 2r resulta:

21 1

sensen

d dR d dPr

R dr dr P d d

=

(2.34)

13

Puesto que el miembro de la izquierda slo depende de r y el de la derecha slo depende

de , la nica forma de igualarlos para todo r y es que ambos sean iguales a una

constante K. As:

1sen 0

sen

d dPKP

d d

+ =

(2.35)

2d dR

r KRdr dr

=

(2.36)

La ecuacin (2.35) se conoce como ecuacin de Legendre; tiene soluciones que se

comportan bien para todos los valores de , incluyendo 0 y pi , solo si se cumple:

( )1K n n= + (2.37) donde n es un entero nulo o positivo. Las soluciones correspondientes se asocian al

ndice n , es decir se denotan ( )cosnP y se denominan Polinomios de Legendre. En la figura 7 se muestra la grfica y la expresin de los 3 primeros polinomios.

Figura 7. Tabla y grfica de los polinomios de Legendre.

cosx

Estos polinomios son ortogonales; es decir,

( ) ( )1

1

2

2 1

nm

n mP x P x dx

n

=

+ (2.38)

siendo s .cox La funcin delta de Kronecker, ,nm

es cero para n m y 1 si n m= .

Puesto que hemos determinado K podemos intentar resolver (2.36) para distintos n:

( )2 1d dRr n n Rdr dr

= +

(2.39)

Esta ecuacin admite dos soluciones linealmente independientes para cada n:

14

R1

R2

0 =0 cosV =

( )1 y nnn n

R r R r += = (2.40)

La solucin del potencial ( ) ( )cosn n nR r P = tiene por tanto dos soluciones linealmente independientes:

( ) ( ) ( ) ( )( 1), cos y , cosn nn n n nr r P r r P + = = (2.41) Entonces, la solucin general se escribir como una combinacin lineal de todas las

posibles soluciones o sea, 0,1, , .n = Se obtiene:

( ) ( ) ( )10

, cosnnn n n

n

r A r B r P

+

=

= + (2.42)

Las constantes y n n

A B han de ser evaluadas teniendo en cuenta las condiciones de

contorno y las condiciones asintticas del problema.

Ejemplo 3: Se tiene dos esferas concntricas de radios R1 y R2 (R2 > R1). Los potenciales

en ambas superficies estn dados por ( ) ( )1 1 00, cos .R R V = = Determinar el potencial en la regin

1 2R r R .

Figura 8. Potencial entre dos esferas

La condicin de contorno ( )1 0R = aplicada a (2.42) nos da: ( )2 1

10 para todo

n

n nA B R n

++ =

y la condicin de contorno 2 0( ) cosR V = ,

( )2 1011 23

2 2

, 0 para 1n

n n

VBA A B R n

R R

++ = + =

Resolviendo el sistema obtenido para los coeficientes resulta:

15

2 2 30 2 0 2 1

1 13 3 3 32 1 2 1

, ; 0 para 1n n

V R V R RA B A B n

R R R R= = = =

Por tanto la distribucin del potencial entre las esferas ser:

2 3

0 2 1

3 3 2

2 1

( , ) cosV R R

r rR R r

=

Ejemplo 4: Una esfera conductora de radio R se coloca en un campo elctrico E0

inicialmente uniforme. Hallar el potencial en puntos fuera de la esfera.

E0

Figura 9. Esfera colocada en un campo uniforme

Los electrones se redistribuyen para mantener su superficie a potencial constante, y las

lneas de campo se modifican de forma que llegan perpendiculares a la esfera, como se

muestra en la figura 9.

Partiendo de la solucin general de la ecuacin de Laplace para problemas con simetra

azimutal, podemos expresar el potencial en puntos r R en la forma:

( ) 0 10 1 2, cos cosB Br A A rr r = + + + +

En puntos muy alejados de la esfera, el potencial mantiene su forma original y debe

producir un campo uniforme E0,

0 0lim ( , ) cosr

r E z E r

= =

A este valor se puede aadir una constante que nosotros tomamos igual a cero. Por tanto

se deben anular todos los nA excepto 1 A . El trmino 0 /B r produce un campo radial y

es compatible con el caso en que la esfera est cargada originalmente, pero en este caso

debe ser 0 0;B = tampoco deben aparecer trminos en nr para 2,n > luego todos los

16

nB se anulan excepto 1B . Por ltimo, hemos imponer que el potencial sea constante

para :r R=

( ) ( )10 2, cos cos ; , 0Br E r R Cter = + = =

Ello implica 3

1 0B E R= ( )3

00 2

, cos cosE R

r E rr

= +

Se deja como ejercicio calcular el campo elctrico en puntos r R , y la densidad de

carga inducida sobre la esfera conductora.

Casos ms generales, que no incluyen simetra azimutal, y los correspondientes a otros

tipos de coordenadas pueden verse en la bibliografa recomendada.