CONSUMO DE POTENCIA EN TANQUES AGITADOS

Un factor trascendental en el diseño de un recipiente de agitación es la potencia necesaria para mover el impulsor. Puesto que la potencia requerida para un sistema dado no puede predecirse teóricamente, sino que es necesaria determinar expresiones empíricas basadas en el análisis dimensional. En general se ha buscado correlacionarlos consumos de potencia a las siguientes variables:

A) Variables geométricas del sistema

Diámetro y forma del tanque Tipo de agitador Diámetro del agitador y relación con el tanque Número, tipo y dimensiones de las paletas del impulsor Presencia o no de placas deflectoras e influencia de su número y posición

Fig. 1 Dimensiones características de un agitador de turbina. (Rushton, Costichy Everett)

Donde:

Da = Diámetro del agitadorDt = Diámetro del tanqueE = Altura del rodete sobre el fondo del tanqueL = Longitud de las palas del rodeteW = Anchura de las palasJ = Anchura de las placas deflectorasH = Altura del líquido

B) Variables del líquido

Viscosidad del líquido (µ) Densidad del líquido (ρ)

C) Condiciones operativas

Velocidad de rotación del agitador (N)Las distintas dimensiones lineales pueden convertirse en relaciones adimensionales, llamadas factores de forma, dividiendo cada una de ellas por otra que se elije arbitrariamente como dimensión fundamental. El diámetro del rodete (Da) es una elección adecuada como magnitud fundamental, y los factores de forma se calculan dividiendo las restantes dimensiones por Da. Sean S1, S2, S3…, Sn los factores de forma así definidos. Por ejemplo, los factores de forma para el agitador de la figura 1 son:

Dt E L W J HS1= -------, S2= ------ , S3= ------ , S4= ------ , S5= ------ y S6= ------ Da Da Da Da Dt Dt

El diámetro del rodete Da se toma por otra parte, como medida del tamaño del equipo y se emplea como variable en el análisis dimensional. Dos mezcladores de las mismas proporciones geométricas, pero de tamaños diferentes, tendrán factores de forma idénticos pero diferirán en el valor de Da. Los aparatos que cumplen esta condición, se dice que son geométricamente semejantes o que poseen semejanza geométrica.

Si las dimensiones lineales como el diámetro del tanque, la profundidad del líquido en el mismo y, el número dimensión y posición de las placas deflectoras están en relación geométrica definida respecto al diámetro de la hélice, la potencia necesaria para mover el agitador se puede expresar como una función de las siguientes variables:

Diámetro de la hélice (Da) Velocidad de rotación (N) Densidad del líquido (ρ) Viscosidad (μ) Gravedad (g)

Es decir:

P = f (N, Da, g, μ, ρ) (1)

Los cálculos se han hecho en términos adimensionales de todos los factores físicos que influyen sobre el consumo de energía y los resultados se han expresado en forma de la siguiente ecuación:

P NDa2ρ N2Da--------- = f --------, ---------   (2) N3Da5ρ µ g

Tomando en cuenta los factores de forma, la ecuación 2 puede escribirse de la siguiente manera:

P NDa2ρ N2Da--------- = f ---------, ---------, S1, S2,...,Sn (3) N3Da5ρ µ g

El primer grupo adimensional de la ecuación 2 recibe el nombre de número de potencia (Np) y representa la relación entre las fuerzas de arrastre (a la que es proporcional P) con las fuerzas inerciales.

P (fuerzas de arrastre) Np = ---------------------------------- N3Da5ρ (fuerzas inerciales)

El número de Reynolds (Re) representa la relación de las fuerzas inerciales con la resistencia viscosa.

NDa2ρ (fuerzas inerciales) Re = -----------------------------------

µ (resistencia viscosa)

El número de Froude representa la relación de las fuerzas inerciales con la gravedad.

N2Da (fuerzas inerciales) Fr= ----------------------------------- g (gravedad)

El número de Froude relaciona las fuerzas gravitacionales y sólo es importante cuando la hélice afecta la superficie del líquido. La formación de vórtices es un efecto gravitacional y si se suprime puede no considerarse el número de Froude.

El número de Froude puede despreciarse en sistemas provistos de aletas cortacorrientes y con líquidos de alta viscosidad, es decir, con valores de Reynolds inferiores a 300.

Entonces: 0Np = f ( Re, Fr, S1, S2…,Sn) (4)

Cuando interviene el número de Froude, su efecto se tiene en cuenta mediante la siguiente ecuación exponencial:

Np ----- = f (Re, S1, S2…, Sn) = φ (5)Frm

Siendo φ la función de potencia, cuyo valor se determina experimentalmente, en función del número de Reynolds para factores de forma constantes.

El exponente m de la ecuación 5, para un determinado conjunto de factores de forma, esta relacionado empíricamente con el número de Reynolds, mediante la siguiente ecuación: a – log Re m = ------------------- bSiendo a y b valores constante obtenidos experimentalmente para cada sistema individual.

Los datos experimentales suelen representarse en forma de gráficos de Np contra Re, o bien, de Np/Frm (φ) contra Re, como se muestra en la siguiente figura:

Fig. 2. Relación entre el Po y Re en tanques con cuatro bafles. 1. Turbina de seis aspas planas verticales. 2. Impulsor de dos paletas planas verticales. 3. Hélice marina de aspas con paso cuadrado.

Curvas de Potencia

Una grafica de Po vs Re en coordenadas log-log, se conoce comúnmente como curva de potencia. Estas curvas permiten calcular la potencia de agitación requerida para distintas velocidades de agitación, así como viscosidades y densidades de líquido.Una determinada curva de potencia es valida para una configuración geométrica particular pero resulta independiente del tamaño del tanque. Así por ejemplo, una misma curva de potencia puede utilizarse para correlacionar tanto datos de potencia de un tanque de 20 lt como de uno de 20,000 lt, siempre que la configuración geométrica sea la misma para ambos sistemas.

Figura 2.Esquematización de una curva de potencia..

Existen varias curvas de potencia reportadas en la literatura para diferentes sistemas y en las cuales generalmente se distinguen tres zonas, como se muestra en la figura 2:

I.- Rango viscoso: a números de Reynolds bajos (Re < 10) dominan las fuerzas viscosas y el flujo es laminar, la densidad deja de ser un factor importante.

En estas condiciones las líneas de Np y Re coinciden para un tanque con o sin placas deflectoras y la pendiente de la línea en coordenadas logarítmicas es -1. Por lo tanto:

KL

Np = --------- Re

Esto conduce a la siguiente ecuación:

P = KL N2Da3µ

Donde:

KL = Constante de agitación laminarII.- Rango de transición: al incrementarse el Reynolds (10 < Re < 10000) el sistema entra en un régimen el cual se le transmite suficiente energía al liquido para que forme un vórtice, sin embargo, la presencia de bafles suele ser efectiva en evitar este fenómeno y solo se tiene dependencia con Re.

III.- Rango turbulento: a Reynolds relativamente altos (Re > 10000) y tanques con placas deflectoras, la función de potencia es independiente del número de Reynolds y la viscosidad deja de ser un factor. Las variaciones del Número de Froude tampoco influyen. En este intervalo el flujo es completamente turbulento y la ecuación se transforma en:

Np = KT

Por lo que la potencia puede ser calculada como:

P = KT N3Da5ρ

Donde:

KT = Constante de agitación

En la siguiente tabla se dan los valores de KT y KL para varios tipos de impulsores

VALORES DE LAS CONSTANTES KL Y KT PARA TANQUES CON 4 PLACAS DEFLECTORAS (ANCHO DEL AGITADOR = 10 % DIÁMETRO

DEL TANQUE)

Tipo de agitador KL KT

Hélice, paso cuadrado, 3 palas 41 0,32

Hélice, paso 2, 3 palas 43,5 1

Turbina de disco con 4 palas planas 60 5,31

Turbina de disco con 6 palas planas 65 5,75

Turbina con 6 palas curvas 70 4,8

Turbina de ventilador, 6 palas 45 º 70 1,65

Turbina cerrada de 6 palas curvas 97,5 1,08

Turbina cerrada por anillo difusor sin tabiques deflectores 172,5 1,12

Palas planas, 2 hojas, Di/Wi = 4 43 2,25

Palas planas, 2 hojas, Di/Wi = 6 36,5 1,7

Palas planas, 2 hojas, Di/Wi = 8 33 1,15

Palas planas, 4 hojas, Di/Wi = 6 49 2,75

Palas planas, 6 hojas, Di/Wi = 6 71 3,82

 EJERCICIOS:

1. Una turbina de seis palas planas se instala centralmente en un tanque vertical. El tanque tiene 6 pies (1,83 m) de diámetro; la turbina tiene 2 pies (0,61 m) de diámetro y está situada 2 pies (0,61 m) por encima del fondo del tanque. Las palas de la turbina tienen una anchura de 6 pulg. El tanque está lleno hasta una altura de 6 pies (1,83 m) con una disolución de sosa cáustica al 50 por 100 a 150 ºF (65,6 ºC), que tiene una viscosidad de 12 CP y una densidad de 93,5 lb/pie3 (1498 kg/m3). La turbina gira a 90 rpm. El tanque está provisto de placas deflectoras. ¿Qué potencia se requiere para la operación del mezclador?

2. ¿Cuál sería el requerimiento de potencia en el tanque del Ejemplo 1 si se utiliza para mezclar un compuesto de látex de caucho que tiene una viscosidad de 120 Pa .s y una densidad de 1120 Kg/m3?

3. Un tanque de 1.2 m de diámetro y 2 m de altura está lleno hasta una altura de 1.2 m con un látex que tiene una densidad de 800 Kg/m3 y una viscosidad de 1 P. El tanque no tiene deflectores A 360 mm por encima del fondo del tanque se instala un agitador de turbina de tres palas de 360 mm de diámetro. El paso es 1:l (el paso es igual al diámetro). Se dispone de un motor que desarrolla una potencia de 8 kW. ¿Es adecuado el motor para mover este agitador con una velocidad de 800 rpm?

4. En un tanque convencional de mezclado se instala un agitador de turbina de seis aspas planas. El diámetro del tanque es de 1.83 m, mientras que el diámetro de la turbina es de 0.61 m y su ancho es de 0.122 m. El tanque tiene cuatro deflectores, todos ellos con un ancho de 180 mm. La turbina opera a 90 rpm y el líquido en el tanque tiene una densidad de 929 kg/m3 y una viscosidad de 10 cP. Calcular la potencia requerida para el agitador.

AGITACIÓN DE LÍQUIDOS VISCOSOS Y NO NEWTONIANOS

La mayor parte de los líquidos viscosos con importancia industrial son no-newtonianos. Normalmente la agitación se da en régimen laminar, el mezclado es lento y el impulsor, aún girando a alta velocidad, no comunica cantidad de movimiento a toda la masa líquida sino solamente al fluido inmediato a él o al que está en el centro del tanque.

El enfoque del problema del cálculo de potencia es el mismo que para los líquidos poco viscosos. Las curvas de potencia de la figura 2, son válidas para la mayor parte de los fluidos no-newtonianos sin elasticidad si se calcula el Re usando la viscosidad aparente:

NDa2ρ Ren = ----------

µa (viscosidad aparente)

La viscosidad aparente está relacionada con el gradiente promedio de la velocidad de corte, por la ecuación: - du n-1

µa = K ------ dy promedio

Puesto que la viscosidad aparente depende del gradiente de velocidad y éste varía con la distancia al impulsor, es necesario tomar un valor promedio efectivo. Se ha encontrado que para líquidos seudoplásticos dicho gradiente efectivo puede relacionarse con la velocidad de giro del impulsor, para una geometría dada, mediante la ecuación:

- du ------ = KsN dy promedio

Donde Ks es una constante característica que depende del tipo del impulsor y la configuración del tanque. Así por ejemplo para una turbina de 6 paletas planas, tanque con 4 bafles, W/Dt = 0.1, Da = 0.05-0.2 m, Dt/Da = 1.3-5.5, N = 0.05-1.5 el valor de la constante Ks = 11.5. Igualmente para hélices marinas de 3 aspas con paso cuadrado, tanque con cuatro bafles, W/Dt = 0.1, Da = 0.15 m, Dt/Da = 1.67 m, N = 0.16-06 el valor de Ks = 10. En la literartura puede encontrarse un compendio de valores de la constante Ks para diferentes impulsores, hélice, turbina, paleta y ancla, en tanques sin deflector o con cuatro deflectores. Los valores de Ks están en todo caso entre 10 y13 siendo el valor promedio cercano a 11. De acuerdo con esto, la viscosidad aparente media esta dada por: NDa2 ρ N2-nDa2 ρµa = K (11N)n-1 y el Re por: Ren = ----------- o bien, Ren = ------------ promedio K(11N)n-1 K(11)n-1 promedio promedio

Donde K y n son las propiedades de flujo del fluido:

K = Índice de consistencia en N .sn/m2

n = Índice de la ley de potencia. Sí n = 1, el fluido es newtoniano; sí n 1, es seudoplástico; si n 1 el fluido es dilatante

EJERCICIOS:

5. Calcular la potencia para agitar una solución de un polímero con un impulsor con dos paletas verticales con un ancho W = 7.5 cm, girando a 200 rpm en un tanque con cuatro bafles. El modelo reológico es = 9.2 (- du/dy)0.8. El diámetro del agitador es de 30 cm y la densidad de 1050 kg/m3.

6. Un líquido seudoplastico que tiene las siguientes propiedades: n = 0.53, K = 26.49 N. sn/m2 y densidad de 975kg/m3 se esta agitando en un tanque con una turbina plana

de seis aspas con disco, donde Da = 0.151 m y N = 5 rev/s. Calcule µa, Ren y la potencia en Kw para este sistema.

7. La hélice del problema 3 se sustituye por una turbina de seis palas de 400 mm de diámetro y el líquido que se agita es un líquido seudoplástico que sigue la ley de potencia con una viscosidad aparente de 15 P cuando el gradiente de velocidad el 10s-1 ¿A qué velocidad debe girar la turbina para proporcionar 1kW/m3 del líquido?. Para este flujo n = 0.75 y = 950 kg/m3