Estabilidad

UNIDAD Nº I - EstáticaLa física está dividida en diversas ramas, una de ellas se llama mecánica y es la

parte de la física que constituye la base del análisis estructural.

La mecánica es una rama de las ciencias físicas que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos que están sometidos a la acción de fuerzas.

Estática: Estudia el equilibrio de los cuerpos.

Mecánica Cinemática: Estudia el movimiento de los cuerpos.

Dinámica: Estudia el movimiento y sus causas.

Estática: el objeto de la estática es el estudio de las condiciones de equilibrio de los cuerpos y de las estructuras.

Hipótesis de rigidez: para el análisis del equilibrio de los cuerpos, vamos a suponer que ellos son infinitamente rígidos e indeformables (hecho que en la realidad no es cierto). En virtud en que las deformaciones que se producen en las estructuras son muy pequeñas en comparación con las dimensiones de la estructura es que se puede tomar como válida esta hipótesis en el análisis del equilibrio.

Los elementos estructurales están hechos de materiales elásticos.

Fuerza: se llama fuerza a aquella acción física que tiende a modificar el estado de equilibrio o movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo.

Si sobre un cuerpo en equilibrio se aplica una fuerza este tenderá a realizar un desplazamiento. Si sobre un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme se aplica una fuerza, este va a tender a experimentar una aceleración.

La fuerza más común, que actúa sobre las estructuras es la fuerza gravitatoria y es la fuerza con que la tierra atrae a todos los cuerpos que están en su periferia.

Otras fuerzas que actúan sobre la estructura son las de tipo dinámico como el viento y el sismo que se evalúan con un modelo estático equivalente.

Para que una fuerza quede detenida es necesario definir cuatro parámetros, ellos son la intensidad, la dirección, el sentido y el punto de aplicación.

La intensidad o módulo de la fuerza es la magnitud de la fuerza y se mide y se mide por comparación, por algunas fuerzas conocidas prestablecidas como patrones de fuerzas. Estos patrones son, el kilogramo y la libra. El kilogramo es el peso de una masa cúbica de platino (está en un museo de Paris) y la libra es el peso de un cilindro de platino (está en el instituto de pesas y medidas en Londres).

La dirección es la recta de la acción de la fuerza y el sentido es una de las dos opciones que toma una fuerza dentro de una recta de acción.

El punto de aplicación permite definir la fuerza en cuanto a su posición, ya sea en el plano o en el espacio y como veremos más adelante basto con definir las coordenadas de un punto de la recta de acción para definir la fuerza.

Siendo que la fuerza es una magnitud vectorial, puede representarse gráficamente mediante un vector.

La longitud del vector indica el módulo de la fuerza y para representarlo es necesario establecer una escala de fuerza.

Escala de fuerza: 10Kgcm

Así también se utilizan las escalas de longitudes.

Escala de longitud: 1mcm

En las estructuras en equilibrio sucede que actúan siempre dos o más fuerzas.

De este modo se constituye los llamados sistemas de fuerzas que pueden clasificarse en base a dos criterios, un sistema de fuerza puede ser concurrente o no concurrente.

Concurrente (Es cuando las rectas de acción de todas las fuerzas que lo conforman pasan por un mismo punto)

Sistema de fuerza

No concurrente (Es cuando la recta de acción de al menos una de las fuerzas no pasa por el punto de donde concurren las demás)

Plano (Es cuando las rectas de acción de todas las fuerzas pertenecen al mismo plano (fuerza coplanar))

Sistema de fuerza

Espacial (Es cuando la recta de acción de al menos unas de las fuerza no pertenece al plano de las demás)

Principio de la estática: son los postulados de una teoría que se toma como válidos sin necesidad de demostración debido a que en forma empírica son comprobados en forma permanente.

Los principios de la estática son cuatro:

I. Principio del paralelogramo : dice que la resultante de dos fuerzas coplanales y concurrentes está dada por la diagonal del paralelogramo que tiene por lado a los vectores representativos de las fuerzas dadas. La acción de la resultante es idéntica a la acción conjunta de las fuerzas dadas.

II. Principio de equivalencia : dice que la resultante es la suma vectorial de las fuerzas dadas y se obtiene gráficamente desde el origen hasta el extremo del polígono de las fuerzas dadas.

III. Principio de transmisibilidad : dice que en el análisis del equilibrio de un sistema no se altera el resultado si los vectores representativos de las fuerzas se desplazan a lo largo de su recta de acción. El principio de transmisibilidad se basa en el hecho de que si a algún sistema le agregamos o quitamos un sistema nulo, el estado de equilibrio no se altera.Se llama sistema nulo al formado por dos o más fuerzas de igual intensidad e igual dirección y sentido opuesto

IV. Principio de acción y reacción : dice que en un sistema en equilibrio a toda fuerza aplicada como acción se opone una fuerza de igual dirección, intensidad y sentido opuesto para mantener el equilibrio de modo tal que la acción y reacción constituye un sistema nulo.

En forma analítica una fuerza quedara definida mediante un módulo y un argumento (además de un punto de la recta dada).

El argumento es el ángulo medido en sentido horario desde la semirecta positiva del eje de las x hacia la semirecta de acción positiva.

De esta manera el argumento nos indica dos parámetros la dirección y el sentido.

En forma analítica resulta muy conveniente representar la fuerza mediante sus “componentes ortogonales”.

Si se

conocen las componentes ortogonales de Fx y Fy, puede determinarse el módulo de F de la siguiente expresión.

Sistemas de fuerzas concurrentes.

Se trata de sistemas de fuerzas cuyas rectas de acción pertenecen todas a un mismo plano y además son concurrentes en un punto.

En el estudio del sistema de fuerzas, interesa resolver 3 problemas.

I. Reducción del sistema (determinación de la resultante).II. Planteo de las condiciones de equilibrio.III. Descomposición de fuerzas.

Los tres problemas se pueden resolver en forma gráfica y en forma analítica.

Cálculo de la resultante.

En forma gráfica se puede determinar la resultante de dos fuerzas concurrentes mediante la aplicación del principio del paralelogramo o método del triángulo de fuerzas, si se tratara de dos o más fuerzas concurrentes se puede aplicar el método del paralelogramo en forma reiterada o bien mediante el polígono de fuerza.

En forma analítica:

Y si se tratara de muchas fuerzas concurrentes, más de dos:

Rx=∑ ficosθi

Ry=∑ fi senθi

Condiciones de equilibrio

Un sistema de fuerzas concurrentes en el plano, estará en equilibrio si el polígono de fuerzas es cerrado.

Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partículase encuentra en equilibrio.

Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos fuerzas es cero.

Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la figura 2.27, donde aparecen cuatro fuerzas que actúan sobre A. En la figura 2.28, la resultante de las fuerzas dadas se determina por la regla del polígono. Empezando en el punto O con F1 y acomodando las fuerzas punta a cola, se encuentra que la punta de F4 coincide con el punto de partida O, así que la resultante R del sistema de fuerzas dado escero y la partícula está en equilibrio. El polígono cerrado de la figura 2.28 proporciona una expresióngráfica del equilibrio de A. Para expresar en forma algebraica las condiciones del equilibrio de una partícula se escribe:

Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes rectangulares, se tiene:

Se concluye que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partícula son:

Regresando a la partícula mostrada en la figura 2.27, se comprueba que las condiciones de equilibrio se satisfacen. Se escribe:

Condiciones analíticas de equilibrio:

R = 0

Rx = 0

R x

R = 0

R = 0

Ry = 0

R y

Rx=0=∑ ficosθi

Ry=0=∑ fi senθi

Problemas de descomposición de fuerzas:

En ocasiones, puede resultar muy útil descomponer una fuerza en dos fuerzas que tienen la misma dirección y sentido que los ejes del sistema de referencia que estemos empleando y cuyos efectos sumados sean

equivalentes a la original.

Este procedimiento es muy común cuando, por ejemplo, debemos trabajar con el peso de un cuerpo que se encuentra sobre un plano inclinado.

Para calcular el módulo de estas fuerzas que llamaremos Fx y Fy, podemos hacer uso de la definición del seno y del coseno:

donde:

F es el módulo de la fuerza original

Fx es el módulo del vector que surge de la proyección del vector F en el eje x

Fy es el módulo del vector que surge de la proyección del vector F en el eje y

θ es el menor ángulo entre F y el eje x

y para calcular la fuerza original F a partir de Fx y Fy utilizaremos la siguiente expresión que se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:

En forma analítica:

Fx = C1x + C2x

Fy = C1y + C2y

(1 ) F cosθF=C1 cosθ1+¿C2cos θ2¿

(2 ) Fsen θF=C1 senθ1+¿C2 senθ2 ¿

Dato Incógnita

En el sistema de ecuaciones planteado son datos, el módulo y el argumento y las incógnitas son los módulos C1 y C2.

Para resolver el signo del x1 y x2 (sentido de las componentes) se supone un sentido de forma arbitraria, si la solución del sistema de ecuaciones da resultado positivo, quiere decir que los sentidos supuestos son los correctos. Si alguna incógnita resulta negativa significa que el sentido supuesto es contrario.

En el estudio de la estática interesan los cuerpos en equilibrio por lo tanto en un problema como este se interesará conocer el valor de la fuerza dada para lo que deben plantearse en forma gráfica, polígonos de fuerzas cerradas y en forma analítica, las condiciones de equilibrio.

F x+R1x+R2 x=0

F y+R1 y+R2 y=0

F cos θF=C1cos θ1+¿C2 cosθ2=0¿

F senθF=C1 senθ1+¿C2 senθ2=0¿

Momento de una fuerza con respecto a un punto

MPA=Pd

MPA=2 ABC

El momento de la fuerza en un punto, respecto al punto A, es el producto de la intensidad de la fuerza por la distancia entre la recta de acción de la fuerza y el punto.

El punto A se llama centro de momento y la distancia d se llama brazo de palanca y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un punto es el

Condición analítica de equilibrio

doble del área del triángulo que tiene por base al vector representativo de la fuerza y por la altura al brazo de palanca.

El momento de una fuerza respecto a un punto, puede ser positivo o negativo, también podrá ser nulo y esto sucederá si se cumple una de las siguientes dos razones:

1) Si la intensidad de la fuerza es = 02) Si el centro del momento pertenece a la recta de acción de la fuerza, P =

0

Unidades de momento

El momento de una fuerza se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional la unidad se denomina Newton metro.

El teorema de Varignon

El momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O.

MRA=∑ M fi

A

MRA=2 AEC=CA A E '

MF 1

A =2 CBA=CA A B'

MF 2

A =2 CDA=CA A D'

AE'= A B'+ B' E'

CA AE=CA A B'+CA B ' E'

MRA=MF1

A +M F2

A

Pares de fuerzas

Se llama par de fuerzas o simplemente par al sistema de dos fuerzas cuyas rectas de acción son paralelas, sus módulos son iguales y sus sentidos opuestos.

Obviamente, la suma de las componentes de las dos fuer zas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuer zas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a hacerlo rotar.

|P| = |P’|

MRA=+PdA−P dA '

MRA=P (dA−d A' )

MRA=P0

MRB=−PdB−P ' dB'

MRA=P ¿

MRA=P0

Si pensamos que las fuerzas paralelas podrían ser concurrentes en el infinito, podemos trazar el polígono de fuerza del par y pensar que la resultante de este

sistema es cero.

Polígono de Fuerzas cerrado

R = 0

Si esto ocurriera y aplicamos el Teorema de Varignon, debería cumplirse el momento de la resultante sea cero.

Si el momento de la resultante del par respecto a cualquier punto del plano es constante y distinto de cero definiremos al par como una acción física que no tiende a producir una rotación.

El producto de la intensidad de una de las fuerza por la distancia de la recta de acción se llama momento del par y es la intensidad de dicho par.

El par suele representarse mediante el siguiente símbolo. M

Los pares que tienden a producir rotaciones horarias serán positivas y viceversa.

|F|=|F '|=|−F '|

M=F d

La transmisión de una fuerza a lo largo de su recta de acción no modifica el equilibrio del sistema según vimos en el principio de transmisibilidad. La trasladación de una fuerza a un punto que no pertenece a su recta de acción, da origen a la aparición de un par para mantener el equilibrio.

Se pretende trasladar la fuerza Rv al punto B de la fundación.

El par Mv es la acción que se denomina momento volcador sobre la fundación.

Nuevas condiciones analíticas en el sistema plano o concurrente.

Condiciones analíticas de equilibrio:

R = 0

∑ M Fi

A = 0

R pasa por A R = 0

R = 0 R ≠ 0

∑ M Fi

B = 0

R pasa por B

Fi concurrentes en C

Condición: A, B y C No alineadas

A, B y C Deben formar un triángulo.

Sistemas de fuerzas no concurrentes en el plano

Reducción del Sistema

Para determinar la posición de la recta de acción de la resultante (conocer las coordenadas de un punto de la recta de acción de la resultante) se procede mediante el trazado del Polígono Funicular.

R=F1+ F2+ F3+ F4

Polígono Funicular

F1=AO+OB

F2=BO+OC

F3=CO+OD

F4=DO+OG

F1+ F2+ F3+ F4=AO+OB+BO+OC+CO+OD+ DO+OG

R = AO+OG

En forma analítica la resultante se determina mediante el planteo de las siguientes ecuaciones.

θR=arctg [ Ry

Rx]

Polígono de fuerza

(3 ) MRH=∑ M fi

H

R .dRH=f 1. d1H+ f 2 . d2H+ f 3 . d3H+f 4 . d4H

Polígono funicular abierto de un par

|P|=|−P|

Pd=AO d' AO /¿OA

P= AO+OB

−P=BO+OA

0=0

Condiciones de equilibrio

Las condiciones de equilibrio pueden plantearse en forma gráfica y en forma analítica, en forma gráfica deben cumplirse que el polígono de fuerza sea cerrado (R=0) y además que el polígono funicular también sea cerrado porque si el polígono funicular es abierto existe la posibilidad de que la resultante sea un par. Un polígono funicular es cerrado cuando el primero y el último rayo son coincidentes, si el polígono es abierto pueden ocurrir dos casos.

I. Que el primer y el último rayo se cortan en un punto, lo que indica que la resultante es una fuerza.

II. Que el primer y el último rayo sean paralelos, lo que indica que la resultante es un par.

En forma analítica debe plantearse la condición de resultante nula, mediante la siguiente ecuación.

Otra forma de plantear la ecuación de equilibrios es:

Problemas de descomposición de fuerzas

Sea posible descomponer una fuerza únicamente en tres componentes.

El problema más general es descomponer una fuerza en 3 componentes no concurrentes de las que se conocen sus rectas de acción y pueden presentarse cuatro casos.

1) La recta de acción de las componentes son concurrentes con la fuerza dada.

2) Las rectas de acción de las

componentes se cortan en un punto que no pertenece a la recta de acción de la F dada

3) Las rectas de acción de dos de las componentes se cortan sobre la recta de

acción de las fuerzas dadas y la tercera no.4) Las rectas de acción de las componentes y de la fuerza dad forman un

cuadrilátero.

Infinitas soluciones

Problema estáticamente indeterminado

F+ e1+e2+e3=0

Método de RitterEste método consiste en plantear tres ecuaciones de momento, de manera tal,

que en cada ecuación aparezca solo una incógnita, lo que se obtiene eligiéndose centros de momento en donde se cortan las rectas de acción de las fuerzas dadas.

(1 ) MFA=∑ MC i

A

−F dFA=−C 3d3 A .⇒

C3= F dFAd3 A

(2 ) MFB=∑ MC i

B

−F dFB=−C1d 1B .⇒

C 1=F dFBd1 B

(3 ) MFC=∑ MC i

C

−F dFC=−C 2d2C .⇒

C2= FdFCd2C

UNIDAD Nº IICinemática de los cuerpos rígidos.

Concepto de Chapa: Los elementos estructurales corrientes en general son tridimensionales y tiene geometrías regulares (Prismáticos o cilíndricos).

Podrá ser representada gráficamente mediante el símbolo denominado chapa.Este esquema de chapas resulta ideal cuando el sistema de cargas y reacciones

es coplanar con chapa.Siesta viga tiene un plano de simetría horizontal el lugar geométrico definido

por la intersección de ambos ejes de simetría, permite representar a la viga mediante un esquema llamado barra.

Los sistemas formados por barra se adaptan mejor a las estructuras espaciales, ya que admiten sistemas de fuerzas en sus dos plano principales verticales.

Grados de libertad.

Se llama grado de libertad de un elemento estructural al número de posibilidades de movimiento que tiene el elemento. Se dice que concuerda con el número de coordenadas libres que el elemento tiene, número que se determina como las coordenadas que deben fijarse para lograr la inmovilización del elemento, por ejemplo: un punto en el plano tiene 2 grados de libertad.

Grados de libertad de una chapa en el espacio.

Decimos que una chapa tiene 3 grados de libertad asociados con 3 posibilidades de movimiento, que son el desplazamiento horizontal, vertical y de rotación

Consideremos ahora una chapa que sufre un desplazamiento cualquiera en si plano, una vez cumplida la traslación de la chapa, a los puntos A y B la misma pasará a ocupar las posiciones A’ y B’, conocida la posición final de dos de los puntos de la

chapa, queda perfectamente definida la nueva posición de ésta. En efecto, cualquier otro punto que consideremos, el C, por ejemplo, al estar ligado a los anteriores por el vínculo de la rigidez, sus distancias mutuas se mantienen a través de las transformaciones planas, con lo que quedará perfectamente definida su posición una vez conocida la de los puntos A y B.

La posición final de cada uno de dos puntos considerados queda definida por dos coordenadas. No obstante, la posición final de la chapa exige el conocimiento de sólo tres de ellas. En efecto fijada la posición final del punto A’ por sus coordenadas z’A, y’A, el hecho de que ambos puntos se encuentren sujetos a la condición de rigidez, implica la invariabilidad de la distancia d entre ambos; hace que sólo sea necesario fijar una de las dos coordenadas del punto B’, ya que la otra resulta determinada por la expresión de la condición de rigidez.

d2=(zB'−zA' )2+( yB'− y A')

2

Luego, para determinar la posición final de una chapa que se desplaza en su plano, sólo es necesario fijarse tres coordenadas. En consecuencia una chapa en el plano posee tres grados de libertad, por tener tres coordenadas libres.

Fijando una coordenada de un plano cualquiera de una chapa, por ejemplo el zA en la figura 2, esta, al desplazarse, está obligada a hacerlo manteniendo el punto A sobre la recta de ecuación zA = Cte. Hemos restringido así un grado de libertad, por cuanto la chapa no puede ocupar cualquier posición en el plano, ya que sólo le está permitido desplazarse paralelamente al eje y y alrededor de A. En otras palabras, hemos impuesto a la chapa una condición de vínculo. Si ahora fijamos el punto A, es decir imponemos que deba cumplirse

z A=Cte ; y A=Cte

A la chapa sólo le resta como posibilidad de movimiento una rotación en torno del punto A. En efecto, cualquier otro punto que consideremos, el B por ejemplo, al estar ligado Al A por el vínculo de la rigidez no puede alternar su distancia d al mismo y, por lo tanto, se desplazará sobre una arco de circunferencia de centro A, el único movimiento posible de la chapa será una rotación en torno de dicho punto.

Resultan así restringidos para la chapa dos grados de libertad, habiéndose impuesto a la misma dos condiciones de vínculo.

Una chapa a la cual se le han fijado las coordenadas de un punto y que, en consecuencia, posee solamente un grado de libertad, se dice que se encuentra articulada, constituyendo el punto fijo una articulación a tierra alrededor de la cual puede girar.

Consideremos finalmente la chapa de la figura, a la que hemos fijado el punto A. de acuerdo a la que hemos expuesto, podrá girar en torno del mismo, y otro punto cualquiera de la chapa, el B por ejemplo, estará obligado a desplazarse sobre un arco de circunferencia de centro A.

Si a este segundo punto le imponemos además la condición de que se desplace sobre la recta de ecuación yB = Cte; es decir, le fijamos su coordenada yB, el punto resulta inmóvil. Al no poder desplazarse simultáneamente sobre el arco de circunferencia de centro A y la recta de ecuación yB = Cte. La chapa resulta así con dos puntos fijos y, en consecuencia, fija ella misma, por cuanto cualquier otro punto que consideramos, el C, por ejemplo, al estar ligado a los anteriores por el vínculo de la rigidez, resulta fijo. Hemos restringido de esta manera a la chapa sus tres grados de libertad e impuesto tres condiciones de vínculo.

Llegado así a la conclusión de que, para fijar una chapa a tierra, es necesario imponerle tantas condiciones de vínculo como grados de libertad posea.

Vínculos o dispositivos de apoyo.

Se llaman vínculos a los elementos estructurales que se utilizan para fijar estructuras.

Los vínculos se clasifican de acuerdo a dos puntos de vista.

Absolutos: Permiten la fijación del elemento estructural respecto de la tierra (son las fundaciones de las estructuras).

Relativos: Permiten la fijación de elementos estructurales entre sí, permitiendo la interacción entre ellos.

Desde otro punto de vista los vínculos se clasifican de acuerdo a los grados de libertad que cada uno restringe.

De 1er especie: Limitan una posibilidad de movimiento, por lo tanto quita un grado de libertad, ellos son el apoyo simple y la biela. Es un vínculo que quita un grado de libertad asociado a una posibilidad de movimiento.

De 2da especie: Se llama apoyo doble o articulación y quita dos grados de libertad al punto donde se aplica, asociado con sus dos posibilidades de desplazamiento.

Una articulación surge de la combinación de dos vínculos de primer especie (dos apoyos simples, dos bielas y un apoyo simple)

De 3ra especie: Es el empotramiento, que quita los tres grados de libertad, por lo tanto no tiene desplazamiento vertical, horizontal ni giro.

Si una chapa en el plano tiene 3 grados de libertad podrá fijarse mediante cualquiera de las siguientes tres fuerzas.

Cuando un sistema tiene la cantidad mínima necearía de vínculo para su fijación se dice que es isostático.

Si tiene menos vínculos que los necesarios, se dice que es hipostático (a aquellos que tiene un grado de libertad se le llaman mecanismos).

Si una estructura tiene más vínculos que los necesarios, se dice que tiene vínculos superabundantes o superfluos y por lo tanto es hiperestático.

Se dice que una estructura tiene vínculos aparentes o están aparentemente vinculados, cuando tienen la cantidad de vínculos necesarios para su fijación con una mala disposición.

Tres casos de vínculos aparentes.

Cálculo de reacciones de vínculo.

Cuando una estructura está sometida a una serie de acciones (sistema activo), y esa estructura está fija, debe haber un sistema reactivo (formado por las acciones de vínculo) de manera tal que las resultantes de ambos sistemas constituyen un sistema nulo, como condición de equilibrio.

Ecuación Nº 1→∑ Fx=0

EcuaciónNº2→∑ Fy=0

Ecuación Nº 3→∑ MPi

A=0

Tres ecuaciones con tres incógnitas (RB, VA y HA)

En un sistema hiperestático vamos a tener más de tres incógnitas por lo tanto el sistema de tres ecuaciones será insuficiente, concluyendo que el sistema e estáticamente indeterminado y no se puede resolver.

Cadena Cinemática.

Se llama cadena cinemática al sistema formado por dos o más chapas vinculadas entre sí, mediante una articulación que constituye un vínculo interno.

Si la cadena de dos chapas tiene cuatro grados de libertad podrá ser vinculada de cualquier de las siguientes maneras.

Pueden producirse también situaciones de vínculo aparente.

Cálculo de reacciones de vínculo.

Ecuación Nº 1→∑ Fx=0

Ecuación Nº 2→∑ Fy=0

Ecuación Nº 3→∑ MPi

A=0

Ecuación Nº 4→∑ MPi(izquierda oderecha )

Articulaciónintermedia=0

La cuarta ecuación debe garantizar que no halla posibilidad de rotación de una chapa con respecto a la otra, por lo tanto deben cumplirse que la resultante de la fuerza que actúa (por ej.) sobre la chapa izquierda debe pasar por la articulación intermedia para que no exista momento distinto de cero de las fuerzas que actúan sobre la chapa izquierda respecto de la articulación intermedia.

Resulta indistinto tomar momento respecto a la articulación intermedia de las fuerza que actúan sobre la chapa izquierda o sobre la chapa derecha, ya que la resultante de las fuerzas que actúan en la chapa izquierda debe ser igual y contraria a la resultante de la fuerza que actúan sobre la chapa derecha y la recta de acción de ambas resultantes parciales de las que actúan de la izquierda y derecha.

Cadena cinemática de un número cualquiera de chapas

La forma más general de determinar el número de grado de libertad de la cadena, consiste en tomar tres grados de libertad para cada una de las chapas y descontar los vínculos interiores de modo tal que la diferencia debe cubrirse con vínculos exteriores.

Los vínculos interiores se toman como Vi = 2 (n - 1), donde n es el número de chapas que concurren al vínculo interno.

Cadena cinemática cerrada

Entendemos por cadenas cerradas aquellas cadenas en que sus chapas extremas se articulan entre sí, resulta así que la totalidad de las chapas que integran la cadena se encuentran articuladas a dos chapas vecinas.

Cargas que actúan sobre las estructuras.

Las acciones sobre las estructuras normalmente llamadas cargas, se pueden clasificar desde dos puntos de vista. Según su permanencia pueden ser permanentes o accidentales.

CARGAS PERMANENTES (cargas muertas - “D”): Son aquellas que están presentes durante toda la vida útil de la estructura y responden al peso propio y al peso de todos aquellos elementos que están adheridos a las estructuras.

CARGAS ACCIDENTALES (cargas vivas – “L”): Son aquellas que pueden o no estar actuando en la estructura. Se consideran con su máximo valor probable y en la posición más desfavorable.

Desde otro punto de vista las cargas pueden clasificarse en concentradas o distribuidas.

CONCENTRADAS: Son aquellas que se consideran aplicadas en un punto.

DISTRIBUIDAS: Son aquellas que pueden ser distribuidas sobre un volumen, sobre una superficie o sobre una línea.

Cargas distribuidas sobre un volumen.

Esta distribución responde a lo que en física se llama peso específico del material y establece numéricamente el peso de la unidad de volumen.

∆ f=∆ x·∆ y

∆Q=h·∆ f·Pe

∆Q=∆V·Pe

∆Q∆ f

=hA · Pe

lim→ 0

∆ f∆Q∆ f

=dQdf

=hA · Pe=qSA

Intensidad de carga en un punto A de una superficie

Unidades

[qs ]= [h ] · [Pe ]

[qs ]=[ Kg

m2 ];[ t

m2 ];etc .

La función qs es una función de 2 variables por lo tanto puede representarse gráficamente mediante una superficie, estableciendo una determinada escala el valor de la función.

Cargas distribuidas sobre un volumen.

La función qs tiene la particularidad de que para un valor fijo de x es constante según la y.

dq1=qs1 · dx·dy

dqL=∫y=0

y=b

qs1 · dx·dy

dqL=qs1 · dx·∫0

b

dy

dqL=qs1 · dx·b

dqcdx

=qs1 ·b

qL

qL se define como la intensida de carga en un punto de la línea x’, las unidades de qL son:

[qL ]=[qs ] · [b ]

[qL ]=[ Kgcm ]; [ Kg

m ];[ Tm ];etc .

La función que puede representarse gráficamente con lo que se llama esquema de carga.

Resultante de un diagrama de carga lineal.

Una fuerza distribuida sobre una línea constituye un sistema de infinitas fuerzas paralelas de intensidad infinitésima. En consecuencia, su resultante será una fuerza paralela a la dirección del sistema, que debe satisfacer las condiciones de equivalencia de dos sistemas de fuerzas paralelas. La resultante de un sistema de fuerzas paralelas queda definida por una condición de proyección sobre un eje y y una condición de momentos respecto de un punto cualquiera del plano.

Carga uniformemente distribuida

l2

f ( x )=qBxl

qBl

=q(x)

x≫q( x)=

qB(x)

l

23

· l

Estructuras Reticuladas

Se llaman así o simplemente reticulados a aquellas estructuras formadas por barras articuladas entre sí en sus extremos.

Se llama barra a aquel elemento estructural en el que una de sus dimensiones predomina sobre las otras dos.

El lugar geométrico donde concurren dos o más barras se llama nudo.

Generación de los reticuladas simples, también llamados triangulados.

Supongamos una cadena cinemática formada por tres barras.

1, 2, 3 1’, 2, 3’

3N – VE – VI = GL 3N – VE – VI = GL

9 – 0 – 4 = 5 posibilidades de movimiento 9 – 0 – 6 = 3 posibilidades de movimiento

3N – VE – VI = GL

15 – 0 – (2 + 4 + 4) = 5 GL 15 – 0 – (2 + 2 + 4 + 4) = 3 GL

Distintos tipos de reticulados planos.

Los sistemas de reticulados planos se utilizan para la construcción de techos, tramos de puentes y torres para sostén de tanques ó líneas eléctricas aéreas de alta tensión.

Cabe distinguir dos tipos de barras: de cordón y de alma. Las barras de alma verticales reciben el nombre de montantes y las inclinadas se llaman diagonales.

Otro tipo de reticulado es el Warren, que puede poseer o no montante. Este reticulado se caracteriza porque sus diagonales cambian de dirección en mallas sucesivas.

Variantes de vigas Warren (Estructura Isostática):

Los puentes vinculares pueden ser de paso inferior o de paso superior. En los de paso inferior se dispone el tablero coplanar con los cordones inferiores de las viguetas reticulares y en os puentes de paso superior el tablero va en el plano formado por los cordones superiores de las vigas.

Las barras de reticulado son, cordón inferior, cordón superior, diagonales y montantes.

Hipótesis para el cálculo de reticulado.

Primer tipo: las barras coinciden axialmente rígidas (ni se alargan ni se acortan)

Segundo tipo: los nudos se consideran articulaciones ideales, es decir que se supone que las barras pueden girar alrededor del nudo sin ningún tipo de rozamiento ni restricción.

Tercer tipo: el sistema de cargas se considera coplanar con el reticulado.

Cuarto tipo: las cargas se aplicarán exclusivamente en los nudos del reticulado, por lo tanto serán cargas concentradas.

El cumplimiento de estas hipótesis nos hace concluir en que los únicos esfuerzos internos que van a actuar en las barras de reticulado serán axiales con las barras y se denominan esfuerzos normales.

Definición del esfuerzo normal en una barra de un reticulado.