LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi 1

Appunti ed esercizi su:

introduzione alla geometria analitica

29 ottobre 2011

1 Per altri materiali didattici o per informazioni:

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/Indirizzo email: fra.marchi@yahoo.it

Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, percio puo capitare che: un paragrafo sia lasciato ameta, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; inumeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano esseredi una qualche utilita: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il piu che puoi da questimateriali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui il lettore dovrebbe cercare dirispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo personale: non sempre c’e una sola risposta“giusta”!).Per quanto riguarda gli esercizi, viene richiesto al lettore uno sforzo supplementare: spesso e lasciatoproprio a lui il compito di “costruirsi gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archiviofinale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sonopresenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere unesercizio di abbinamento grafico-equazione, il lettore puo annotarsi su un foglio a parte le equazioni, inmodo sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”,si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettaglinumerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnantenella scuola secondaria. Laddove si e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fontioriginali.Puoi riutilizzare i materiali presenti in questo file, citandone la fonte e/o il mio blog M@T&FiS (http://francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica chedi fisica.Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti equant’altro, scrivimi a fra.marchi@yahoo.it.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per glistimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (sia pure indirettamente) alla creazione di appunti semprepiu completi.

Versione finale

29 ottobre 2011.

1

2 INDICE

Indice

I Teoria 5

1 Introduzione: punti, curve, regioni nel piano 7

1.1 Punti nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Alcuni spunti di riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Riferimenti cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Altri sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Curve nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Rette nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Curve ed equazioni: definizioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Regioni nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Equazioni delle coniche e formule 13

2.1 Equazioni delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Equazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Determinazione di elementi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Esercizi 15

3 Introduzione: punti, curve, regioni nel piano 17

3.1 Curve nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 Abbinamento equazione-curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.3 Tracciare il grafico per punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.4 Esercizi di tipo algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Regioni di piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Equazioni delle coniche e formule 19

4.1 Equazioni canoniche e formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica . . . . . . . . . . . . 19

4.1.2 Determinazione di elementi caratteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.3 Determinazione di punti che appartengono o meno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.4 Un esercizio “di tipo teorico” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.5 Generalizzazione dell’esercizio precedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Rappresentazione cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 Abbinamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.2 Rappresentazione tramite elementi notevoli delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . 21

INDICE 3

III Archivio per esercizi 23

A Equazioni 25A.1 In due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.1.1 Algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

B Sistemi 29B.1 Sistemi algebrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

B.1.1 Sistemi di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29B.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

C Grafici 31C.1 Funzioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

C.1.1 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31C.1.2 Curve non coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32C.1.3 Curve miste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 INDICE

Parte I

Teoria

5

Capitolo 1

Introduzione: punti, curve, regioninel piano

Obiettivi

In questo capitolo vengono trattate le connessioni tra elementi algebrici ed elementi geometrici e l’obiettivoprincipale e di capire tali connessioni “nei due versi”. Ad esempio, quando, qua sotto, diciamo “Data unacoppia ordinata di numeri, piazzare il punto corrispondente in un riferimento cartesiano”, si intende chesi debba saper fare anche il viceversa: “data la rappresentazione grafica di un punto nel piano cartesiano,determinarne le coordinate”. Quanto detto vale per i punti, ma anche in tutti gli altri casi.

1. Saper definire

(a) Sistema di riferimento: ortogonale, monometrico

(b) Appartenenza di un punto ad una curva (relazione algebra-geometria)

2. Conoscere

(a) Per sommi capi le linee di pensiero matematico che hanno portato allo sviluppo della geometriaanalitica, e la loro collocazione storica

(b) Gli elementi fondamentali per associare ad un punto del piano [dello spazio] una coppia [terna]di coordinate, nei seguenti casi:

i. Coordinate cartesiane: due assi ortogonali, un’unita di misura . . .

ii. Coordinate polari

iii. Coordinate spaziali

3. Saper fare

(a) Data una coppia ordinata di numeri, piazzare il punto corrispondente in un riferimento carte-siano

(b) Tracciare per punti (ovvero tramite tabella x-y) il grafico qualitativo “piu probabile” di semplicicurve di equazione assegnata

(c) Dato un sistema (anche misto di equazioni e disequazioni), tracciare la regione del piano adesso corrispondente

7

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE: PUNTI, CURVE, REGIONI NEL PIANO

1.1 Punti nel piano

1.1.1 Alcuni spunti di riflessione

Prova a rispondere alle seguenti domande:

1. Se devi spiegare dove abiti a qualcuno, come fai?

2. Come cambierebbe la tua spiegazione se abitassi in una tenuta in mezzo alla campagna siciliana?

3. E se tu dovessi comunicarlo ad una ditta che deve spedirti a casa dei prodotti acquistati via internet?

4. E se tu fossi in mezzo al deserto, con l’auto rotta, come comunicheresti la tua posizione?

1.1.2 Riferimenti cartesiani

Il piano cartesiano

Su una lavagna, disegno due assi perpendicolari e un punto piazzato nel piano.Supponiamo che io (prof) non veda dove si trova il punto. Datemi indicazioni precise per poterlo ripro-durre, nella stessa posizione, su un’altra lavagna. Io, sull’altra lavagna, mi sforzo di disegnarlo in modoche non coincida, fino a che non vengono individuate tutte le condizioni necessarie, che sono:

1. Verso per ciascun asse

2. Unita di misura (la stessa su entrambi gli assi)

Lo spazio cartesiano

1.1.3 Altri sistemi di riferimento

Si possono considerare anche altri sistemi di riferimento, come vediamo nei paragrafi seguenti.

Coordinate polari nel piano

In questo caso bisogna fissare:

1. Una semiretta

2. Il verso di percorrenza della semiretta

3. Un verso di percorrenza degli angoli

4. Un’unita di misura degli angoli

5. Un’unita di misura delle lunghezze

La posizione di un aereo

Per localizzare un aereo, e possibile fornire tre numeri, che corrispondono a:

1. Latitutdine

2. Longitudine

3. Quota

1.2. CURVE NEL PIANO 9

La posizione dei corpi celesti

1.2 Curve nel piano

Adesso che abbiamo capito come si descrivono in termini algebrici i punti del piano, vediamo di passaread oggetti piu complicati, le curve.Tutti abbiamo un’idea di cosa sia una curva; quella rappresentate in figura (AGGIUNGERE FIGURA)ne sono un esempio. Basandoti sulle figure, e sulla tua idea di curva, prova a darne una definizione.Adesso fai dei controesempi che smontino la tua stessa definizione.Le curve possono essere classificate in vari modi; in particolare, a seconda del fatto che siano apete ochiuse e costituite da uno o piu rami, come riportato in tabella 1.1

Tabella 1.1: Un esempio di classificazione delle curve. Sono riportate, in particolare, i nomi di alcune curve, dette coniche,che studieremo diffusamente in seguito.

aperte chiuse

un ramoretta ellisse

parabola circonferenza. . . . . .

piu ramiiperbole . . .

. . . . . .

1.2.1 Rette nel piano

Dal grafico all’equazione

Come possiamo descrivere, in termini algebrici, la retta proposta in figura 1.1?Un modo potrebbe essere quello di dire che e la retta che passa dai punti (0, 0) e (1, 3); tale retta e unica(perche?).Esiste pero un altro metodo, preferibile perche piu sintetico e perche si applica meglio a curve che non sonorette. Questo metodo consiste nell’individuare una relazione tra le y e le x dei punti che appartengonoalla retta.Nel nostro caso, ad esempio, potremmo dire che:

y = 3x; o, alternativamente x =1

3y

Potete provare adesso ad intuire l’equazione di alcune delle rette che proponiamo nell’archivio. Solosuccessivamente, vedremo un metodo piu sistematico per associare ad un dato grafico un’equazione eviceversa.

Dall’equazione al grafico

Consideriamo adesso il problema inverso. Data l’equazione:

4y − 2

3x +

1

8= x− 2

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE: PUNTI, CURVE, REGIONI NEL PIANO

Figura 1.1: Grafico della retta di cui nella sezione 1.2.1.

Come sara fatto il grafico rappresentato da quest’equazione?Il metodo e quello di costruirsi una tabella di valori:

x = 0 ⇒ y = (1.1)

x = 1 ⇒ y = (1.2)

(1.3)

Conoscendo due soli punti possiamo tracciare il grafico, visto che per due punti passa una e una solaretta.

1.2.2 Curve ed equazioni: definizioni generali

Nelle sezioni precedenti, in un modo o in un altro, siamo riusciti a tracciare grafici di rette o risalire dagrafici ad equazioni. Per poter fare la cosa piu in generale, a questo punto diamo alcune definizioni, checi saranno utili piu avanti:

Definizione 1. Un’equazione nelle variabili x, y, z, . . . si dice in forma esplicita rispetto alla variabiley se e del tipo y = . . ., dove al secondo membro non compare la y.

Definizione 2. Un’equazione nelle variabili x, y, z, . . . si dice in forma implicita rispetto alla variabiley se non e in forma esplicita. In alcuni casi considereremo la definizione alternativa: un’equazione e informa implicita se e del tipo f(x, y, . . .) = 0 .

Con passaggi algebrici si puo sempre passare dalla forma esplicita a quella esplicita; il contrario nonsempre e possibile.

Definizione 3. Un’equazione del tipo f(x, y) = 0 rappresenta un legame fra le coordinate di punti delpiano cartesiano. Un punto appartiene ad una curva se le sue coordinate soddisfano l’equazione dellacurva stessa.

Il grafico di una curva e l’insieme di tutti i punti che appartengono alla curva, e quindi di tutti i puntiche soddisfano l’equazione della curva. L’idea, allora, e che per tracciare il grafico di una curva possiamotrovare un numero sufficiente di punti che le appartengono e poi unirli. Detto piu nel dettaglio, cio chepossiamo fare e:

1.3. REGIONI NEL PIANO 11

1. Dare un valore a caso alla x e ricavare il valore della/e y corrispondente/e (o, viceversa, possiamodare valori alle y e ricavare quelli delle x).

2. Rappresentare il/i punto/i trovato/i nel piano cartesiano.

3. Ripetere il procedimento finche non e chiara la figura che si viene a delineare.

A questo punto, puoi provare a fare l’esercizio della sezione 3.1.4.

Tracciare il grafico di una curva

Come dovrebbe esserti chiaro dall’aver provato a svolgere l’esercizio 3.1.4, sorge un problema: non echiaro qual e il numero sufficiente di punti per poter tracciare una curva. In effetti, anche conoscendoun numero molto elevato di punti, non si puo avere la certezza del grafico di una curva, che e costituitoda infiniti punti.O meglio, con un certo tipo di considerazioni, che faremo piu avanti, scoprirai come, data un’equazione disecondo grado in x e y, esistono dei metodi particolari per capire quale curva tale equazione rappresenta.Lo studio di questi metodi, che sara l’oggetto di diversi capitoli di questo libro, prende il nome digeometria analitica.Per quanto riguarda il problema piu in generale (curve rappresentate da equazioni irrazionali, di gradosuperiore al secondo . . . ), questo verra affrontato piu avanti, in quella parte della matematica che prendeil nome di analisi matematica.

1.3 Regioni nel piano

12 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE: PUNTI, CURVE, REGIONI NEL PIANO

Capitolo 2

Equazioni delle coniche e formule

Obiettivi

1. Saper definire

(a) Conica

2. Conoscere

(a) Le equazioni canoniche delle coniche

(b) Gli elementi caratteristici delle coniche: coefficiente angolare, vertice, fuochi . . .

(c) Formule per la determinazione degli elementi caratteristici delle coniche

3. Saper fare

(a) Data un’equazione

i. Stabilire se si tratta di una conica o meno

ii. Stabilire di che tipo di conica si tratta

iii. Portare l’equazione in forma canonica per quella conica

iv. Rappresentarla nel piano cartesiano

2.1 Equazioni delle coniche

2.1.1 Introduzione

Definizione 4. Le coniche sono le curve che si ottengono dall’intersezione di un piano con una superficiedoppio-conica. (vedi Sasso, pag. 531-532)

Puoi provare a immaginare le figure che vengono fuori e ti convincerai che, a seconda della posizionereciproca del piano e della superficie, vengono fuori solo pochi tipi di curva.Di queste curve si puo dare anche una definizione geometrica, ma rimandiamo questo ad un capitolosuccessivo.

2.1.2 Equazioni canoniche

Prendi per buone le cose di questo paragrafo, la spiegazione la daremo piu avanti.

13

14 CAPITOLO 2. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

Circonferenza, ellisse, iperbole

Il caso piu complicato e quando entrambe le variabili hanno grado 2. In tal caso, si puo sempre portarel’equazione nella seguente forma:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

e procedere secondo l’algoritmo illustrato in figura 4.1

Figura 2.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonicaax2 + by2 + cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizionerelativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi

far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2 + y2 + Ax + By + c = 0.

2.2 Determinazione di elementi notevoli

Le coniche hanno degli elementi notevoli, indicati qui di seguito:

• retta: coefficiente angolare; ordinata all’origine

• circonferenza: centro; ragigo

• parabola: vertice, fuoco, asse, direttrice

• ellisse: vertici, fuochi, eccentricita

• iperbole: vertici, fuochi, eccentricita, asintoti

Parte II

Esercizi

15

Capitolo 3

Introduzione: punti, curve, regioninel piano

3.1 Curve nel piano

3.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva

Considera i grafici proposti in archivio, nella figura C.5.Basandoti sulle informazioni deducibili da tale grafico, determina l’equazione della curva rappresentata(la risposta e scritta sotto la figura: fai in modo di non guardarla prima di risolvere l’esercizio!).

3.1.2 Abbinamento equazione-curva

Considera i grafici proposti nella sezione C.1. Annotando su un foglio a parte, in ordine sparso, leequazioni corrispondenti, cerca poi di ricostruire i corretti abbinamenti.

3.1.3 Tracciare il grafico per punti

Considera le equazioni proposte nella sezione A.1.1 dell’archivio.Per ciascuna di esse, se ci riesci, traccia il grafico cartesiano della curva corrispondente all’equazione data.

3.1.4 Esercizi di tipo algebrico

Considera le equazioni proposte nell’archivio.Per ciascuna di esse, se ci riesci:

1. Proponi le coordinate di un punto che appartiene

2. Proponi le coordinate di un punto che non appartiene

3.2 Regioni di piano

Considera i sistemi proposti nell’archivio B.1.2.Rappresenta su un piano cartesiano le regioni di piano che tali sistemi individuano.

17

18 CAPITOLO 3. INTRODUZIONE: PUNTI, CURVE, REGIONI NEL PIANO

Capitolo 4

Equazioni delle coniche e formule

4.1 Equazioni canoniche e formule

Il riferimento per questi esercizi e l’archivio A.1.1.

4.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica

Considerate le equazioni proposte in A.1.1:

1. Stabilisci quali di esse rappresentano delle coniche

2. Riduci tali coniche in forma canonica

3. Stabilisci di quale tipo di conica si tratta

4.1.2 Determinazione di elementi caratteristici

Relativamente alle equazioni proposte, compila la tabella 4.1.

4.1.3 Determinazione di punti che appartengono o meno

Per quanto riguarda la tabella 4.2, proporre due punti che appartengano alla conica (P1 e P2) due puntiche non appartengano (P3 e P4).

4.1.4 Un esercizio “di tipo teorico”

Considera un’equazione di II grado nelle due incognite x e y. Essa puo rappresentare una circonferenza,un’ellisse, un’iperbole). Per stabilire di quale conica si tratta fra queste tre, si puo seguire un algoritmo.Nella figura 4.1, ti proponiamo l’inizio di questo algoritmo; completalo tu come esercizio.

4.1.5 Generalizzazione dell’esercizio precedente

Nell’esercizio precedente, abbiamo considerato solo equazioni di II grado in entrambe le incognite. Con-sideriamo adesso il caso piu generale, che include anche la possibilita che l’equazione considerata abbiagrado zero o uno nelle sue incognite. Per essere piu chiari, consideriamo di nuovo l’equazione precedente:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

Adesso, diversamente da prima, ammettiamo che possa risultare, ad esempio, a = b = d = 0, in modoche l’equazione si riduce ad una di primo grado nella x e grado zero nella y, rappresentando cosı una

19

20 CAPITOLO 4. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

Tabella

4.1:

Tab

ellarela

tiva

all’esercizio

della

sezion

e2.2

.

N.

Coeff

.an

g.

Ord

.all’o

rigin

eC

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ccentric

ita

123

4.2. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA 21

Tabella 4.2: Tabella relativa all’esercizio della sezione 2.2.

N. Punto P1 Punto P2 Punto P3 Punto P4

1

2

3

4

retta parallela all’asse y.Amplia l’algoritmo proposto nell’esercizio precedente, fino a considerare tutti i casi possibili.Suggerimento: per “salvare” quanto gia fatto nell’esercizio precedente, ti consiglio di cominciare aconsiderare, come primi casi dell’algoritmo, quelli in cui “scompaiono” i termini di secondo grado;successivamente, potrai “inserire” la parte di algoritmo dell’esercizio precedente in questo nuovo, piuampio.

4.2 Rappresentazione cartesiana

4.2.1 Abbinamenti

Adesso hai qualche strumento in piu per svolgere gli esercizi proposti nella sezione 3.1.2 del capitoloprecedente. Ad esempio, data l’equazione di una parabola, puoi velocemente intuire se il vertice haascissa negativa e, con questa informazione, scartare alcuni fra i grafici proposti. Procedendo in questomodo, puoi arrivare a determinare tutte le corrispondenze.Svolgi nuovamente gli esercizi della sezione 3.1.2

4.2.2 Rappresentazione tramite elementi notevoli delle coniche

Il modo in un certo senso piu sistematico per rappresentare una conica consiste nel determinarne dapprimagli elementi notevoli (centro, raggio, vertici . . . ) e successivamente, basandosi su tali elementi, tracciarneil grafico.Svolgi di nuovo gli esercizi di rappresentazione grafica usando questo metodo.

22 CAPITOLO 4. EQUAZIONI DELLE CONICHE E FORMULE

Figura 4.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonicaax2 + by2 + cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizionerelativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi

far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

Parte III

Archivio per esercizi

23

Appendice A

Equazioni

A.1 In due incognite

A.1.1 Algebriche

Secondo grado, non coniche

Coniche

Rette:

8

7y − 4y = 2x +

1

4(A.1)

25

26 APPENDICE A. EQUAZIONI

Parabole:

y = 3x2 − 2x + 1 (A.2)

6

5y = 2 +

7

9x2 (A.3)

2y + x− 3x2 + 5 = 0 (A.4)

y = −x2 + 6x− 5 (A.5)

y = x2 − 2x (A.6)

y = −x2 +3

2(A.7)

y =1

2x2 − 3x + 2 (A.8)

x = −1

2y2 (A.9)

x = 4− y2 (A.10)

x = −y2 + 2y − 1 (A.11)

x = 2y2 − 3y (A.12)

x + 2y + 2 =7

3− 4y2 (A.13)

Circonferenze:

x2 + y2 − 6y = 0 (A.14)

x2 + y2 + 6x = 12 (A.15)

Ellissi:

x2 + 2y2 = 1 (A.16)

7x2 = 2− 3y2 (A.17)

A.1. IN DUE INCOGNITE 27

Iperboli:

x2

3− y2

9= −1 (A.18)

x2

4= 2 +

3

5y2 (A.19)

(2x

5

)2

= 3y2 − 4 (A.20)

y2

6− x2

9= 2 +

y2

4(A.21)

Miste:

y + 2y2 − 3 = 4x + 2y2 + 7 (A.22)

x + y + 9 =4

5x− 8 (A.23)

8

7y − 4y = 2x +

1

4(A.24)

x + 7y − 12 = 3y2 +1

4x (A.25)

x +3

7x2 + 2y − 4 = y (A.26)

1

6x2 + 4x2 − 3 = x− 25

6y2 − 2y (A.27)

y =1

5x4 − x3 + 2x (A.28)

y =x + 3

4− x2(A.29)

28 APPENDICE A. EQUAZIONI

Appendice B

Sistemi

B.1 Sistemi algebrici

B.1.1 Sistemi di equazioni

B.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni)

S1 =

{y > x2 − 2x 6 −y2 + 6

S2 =

{y = x(x− 4)2 + (y − 2)2 > 16

S3 =

{x2 + y2 6 1y 6 −x2 + 4

S4 =

{y > −x− 4x 6 0

S5 = S3 ∪ S4

29

30 APPENDICE B. SISTEMI

Appendice C

Grafici

C.1 Funzioni algebriche

C.1.1 Coniche

Rette

(a) Grafico della retta di equazione 87y −

4y = 2x + 14

.

(b) Grafico della retta di equazione y+ 13x+5 = 0.

(c) Grafico della retta di equazione x + 2 =√

67. (d) Grafico della retta di equazione −2 = y − x.

Figura C.1: Grafici di rette.

31

32 APPENDICE C. GRAFICI

Parabole

Circonferenze

C.1.2 Curve non coniche

C.1.3 Curve miste

C.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 33

(a) Grafico della retta di equazione y = −3x + 4.

(b) Grafico della retta di equazione 13x + y = 4.

(c) Grafico della retta di equazione 2y +√

5x = 5−√

5x + y.

Figura C.2: Grafici di rette (parte 2).

34 APPENDICE C. GRAFICI

(a) Grafico della parabola di equazione3x2 = y − 10x− 12.

(b) Grafico della parabola di equazione y = 120

x2 − 12x + 12.

(c) Grafico della parabola di equazione 3x2 +12 = −10x−y. (d) Grafico della parabola di equazione 12 =10x + y − 3x2.

(e) Grafico della parabola di equazione x−y2 − 5 = 0.

(f) Grafico della parabola di equazione y2 = x + 5.

Figura C.3: Grafici di parabole.

C.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 35

(a) Grafico della circonferenza di equazione x2 + y2 −8y = 0.

(b) Grafico della circonferenza diequazione x2 + y2 − 4x + 5y = 0.

(c) Grafico della circonferenza di equazio-ne x2 + y2 + 8x + 4 = 0.

(d) Grafico della circonferenza di equazione x2+y2 − 8x + 6y − 1 = 0.

(e) Grafico della circonferenza di equazione x2 +y2 +6y = 0. (f) Grafico della circonferenza di equazione x2 + y2 −8x− 6y − 1 = 0.

Figura C.4: Grafici di circonferenze.

36 APPENDICE C. GRAFICI

(a) Grafico della curva di equazione y = −2x− 5.

(b) Grafico della curva di equazione y = x2 − 4.

(c) Grafico della curva di equazione y = x + 6.

(d) Grafico della curva di equazione xy = 12.

Figura C.5: Grafici di curve varie.