Apoyo realizado por Cecilia García Fierro campus Chihuahua

Campo de los números reales

Naturales

Los números naturales son los números que utilizamos para contar, estos son: {1,2,3,4,5,6,7,8, … }.

Los puntos suspensivos indican que los números continuan de esa forma, sin terminar nunca.

Números naturales

Fueron los primeros números que se utilizaron para contar cosas.

Se representan por la letra N La cantidad de números naturales es infinita En la época de Pitágoras se utilizaban

solamente los naturales.

Números cardinales

Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13.

Pero si restamos 5 – 5 , necesitamos otro número que represente el resultado. Ese número es cero.

Este conjunto es el conjunto de los números cardinales

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,…}.

Números enteros

En el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”, “647 de deuda”, “8 pies bajo el nivel del mar”.

Estas tres expresiones se refieren a números menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos.

Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}.

Los números positivos indicarían:

hacia la derecha hacia adelante al norte del Ecuador tiempo posterior al

despegue sobre el nivel del mar temperatura sobre cero tengo dinero

Los números negativos indicarían, en

hacia la izquierda hacia atrás al sur del Ecuador tiempo anterior al despegue bajo el nivel del mar temperatura bajo cero debo dinero

Datos sobre los enteros

Se representan por la letra Z. La denominación proviene de Zahl, número en alemán.

El cero lo inventaron los indios (India) por el año 500, los indios denominaron a este símbolo sunya, que quiere decir "vacío". Los árabes, que tenían relaciones comerciales con la India, aprendieron la numeración india y la divulgaron, posteriormente, a Occidente. Los árabes lo denominaron céfer, que en su idioma quiere decir "vacío". Esta palabra dio origen a las palabras castellanas cero y cifra.

Números racionales

Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro número entero.

Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero.

Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales.

Números racionales

Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir de la forma a/b donde b es diferente de cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros son números racionales.

Se les denomina con la letra Q

....33333.0,100

6,25.1,25,

4

32,

8

7,

4

5

Número racional

Un número racional puede representarse de dos formas: mediante una expresión decimal exacta o periódica o mediante una fracción.

5 puede representarse como 5/1 .25 puede representarse como ¼ puede representarse como 1/33....3333.0

Recuerda:

Enteros, fracciones, decimales exactos, decimales periódicos son racionales

Números irracionales

Existe otro conjunto de números que que son los números irracionales, estos son números que no son racionales, esto es, que no se pueden expresar de la forma a/b donde b es diferente de cero. Ejemplos: √2 = 1.414213562… es un número irracional y π = 3.14157…

El primer número irracional que se 'descubrió' fue √2 y el segundo π

Números irracionales

Son números decimales que no pueden representarse en forma decimal exacta o decimal periódica.

34.64748…. 2.57534573….

3 5 Los decimales son infinitos, no periódicos

Números reales

Luego el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto de los números reales.

Descartes fue el primero que utilizó este término en 1637.

Cuadro sinóptico

cero

Negativos

Enteros

Fracciones

Racionales

Irracionales

Reales

cardinales

naturales

Diagrama de Venn

Recta numérica

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.

origen

Representa en la recta numérica los números 6/5 y -7/2

6/5=1.2 y -7/2=-3.5

En la recta numérica los números racionales positivos se colocan a la derecha del cero

Y los racionales negativos se colocan a la izquierda del cero

Para incluir un punto ponemos una burbuja llena. Para excluir un punto ponemos una burbuja vacía.

Ejemplo: números reales mayores que -2 y menores o iguales a 5.

Representa en la recta los números que son menores o iguales a 3

¿Qué números están representados en la siguiente recta numérica?

Los números que están entre -1 y 1 o mayores que 2

Dibuja en la recta numérica todos los números reales excepto el -1 y el 2

Representa en la recta los siguientes intervalos (2,5]

(- ,3]

¿Cómo es la notación de intervalo?

Completa la siguiente tabla

Recta numérica Notación intervalo

Notación de conjunto

{1,2,3}

Desigualdad Notación de Intervalo Notación de Conjuntos

a < x < b (a, b) {x R : a < x < b}

a < x b (a, b] {x R : a < x b}

a x < b [a, b) {x R : a x < b}

a x b [a, b] {x R : a x b}

x > a (a, ) {x R : x > a}

x a [a, ) {x R : x a}

x < b ( , b) {x R : x < b}

x b ( , b] {x R : x

b