ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS

Prof. Anísio Meneses, MSc.

2012

DEFINIÇÃO E PROPRIEDADE DOS FLUIDOS Fluido é definido, para os fins de interesse da mecânica dos fluidos, como meio material contínuo (isto é, que pode ser dividido ao infinito, mantendo as suas propriedades), deformável, sem rigidez, podendo sofrer grandes variações de forma, sob a ação de forças tanto menores quanto menores forem as velocidades dessas deformações. São fluidos os líquidos e os gases. Ao contrário do que acontece nos sólidos, em que as partículas estão firmemente ligadas entre si (coesão maior do que repulsão), nos fluidos (e em particular, nos líquidos) essas partículas são livres para se deslocarem umas em relação às demais. Podemos dizer que fluidos são corpos que sofrem contínua deformação sob a ação de esforços tangenciais, por menores que sejam estes. Especialmente, as partículas de um fluido ideal não oferecem nenhuma reação ao seu deslocamento recíproco. Como consequência da hipótese do contínuo (em que se desprezam o espaçamento e atividades moleculares), qualquer propriedade de um fluido tem valor definido em cada ponto do espaço por ele ocupado. Assim, densidade, temperatura, velocidade e demais propriedades podem ser expressas como funções contínuas do espaço e do tempo. Nem sempre a hipótese do contínuo é absolutamente válida, porém atende aos problemas mais usuais da mecânica dos fluidos. Por outro lado, essa hipótese falha no caso do escoamento de gases rarefeitos. Devemos ter claros alguns conceitos que remetem a consideração dos processos termodinâmicos e aos estados físicos da matéria. Todas as substâncias se sujeitam a processos termodinâmicos. É, essencialmente, em função de fatores como pressão e temperatura que uma dada substância se apresenta fluida ou não. Na fase líquida, há fortes interações de coesão e de repulsão entre as moléculas. A coesão é de mesma ordem de grandeza que a repulsão. Nos gases, as forças repulsivas superam bastante as forças coesivas.

O líquido apresenta uma superfície livre enquanto o gás se expande para ocupar todo o recipiente que o contém. Além disso, os líquidos são muito difíceis de comprimir, enquanto os gases são relativamente de fácil compressão. O estudo do comportamento dos fluidos deve-se basear nos princípios da mecânica, bem como nos da termodinâmica, haja vista que as propriedades envolvidas são afetadas, em maior ou menor grau, pela pressão e pela temperatura. Algumas propriedades devem ser preliminarmente destacadas, porquanto necessárias para o desenvolvimento do estudo da mecânica dos fluidos. Massa específica ( ) É a quantidade de massa de fluido por unidade de volume.

Vm

A dimensão da massa específica se expressa por 3. LM e sua unidade, no sistema internacional (SI), é kg/m³. Em geral, a massa específica ( ) diminui com o aumento da temperatura. Particularmente para a água, isso é válido para temperaturas acima de 4oC. Entre 0 e 4oC, a água exibe um comportamento anômalo, isto é, quando a temperatura cresce nesse intervalo, o volume diminui e cresce, embora seja muito pequena essa variação.

Volume específico ( ) É o volume ocupado por unidade de massa. Corresponde ao inverso da massa específica e tem particular importância no estudo do escoamento de fluidos compressíveis.

1

Peso específico ( ) É a razão entre o peso (força exercida a massa submetida à aceleração da gravidade (g)) e o volume ocupado pelo fluido.

g.

Para os gases ideais, é válida a relação: TRnVP ... (equação de Clapeyron)

Onde: P: pressão V: volume n: número de moles (n=m/M; M: massa molecular) R: constante universal dos gases T: temperatura absoluta

A dimensão do peso específico se expressa por 22.. TLM e sua unidade, no sistema internacional (SI), é N/m³.

Define-se, ainda, massa específica relativa ( R ) como a relação entre a massa específica do fluido considerado e a uma massa específica padrão ou de referência (em geral, a da água para os líquidos; a do ar para os gases).

Analogamente, o peso específico relativo ( R ) é a relação entre pesos específicos.

Tanto R quanto R são grandezas adimensionais. Viscosidade É a medida da resistência interna (ou fricção interna) de uma substância ao fluxo quando submetida a uma tensão. Quanto mais viscosa a massa, mais difícil de escoar e maior o seu coeficiente de viscosidade. Para os gases, a viscosidade está relacionada com a transferência de impulso devido à agitação molecular. No caso dos líquidos, a viscosidade relaciona-se mais com as forças de coesão entre as moléculas. A viscosidade é uma propriedade resultante, assim, do atrito interno das moléculas. Quando as camadas de um fluido deslizam umas sobre as outras, constata-se um

certo atrito, traduzindo-se em colisões sucessivas das moléculas que, assim, transferem quantidade de movimento entre elas. A viscosidade diminui ou aumenta com a temperatura, conforme o fluido seja líquido ou gasoso, respectivamente.

Para os líquidos, a viscosidade está diretamente relacionada com a coesão entre as moléculas. Como essa coesão diminui com o aumento da temperatura, conclui-se que a sua viscosidade também diminui. A viscosidade dos líquidos, em geral, aumenta em função da pressão aplicada. Isso se deve, provavelmente, ao fato de que nenhum líquido é completamente incompressível e, ao diminuir-se o seu volume, ocorre uma aproximação das moléculas, provocando aumento das forças de atrito entre as camadas desse líquido. Essa variação, porém, é pequena e, por isso, muitas vezes desconsiderada. Também se constata que os efeitos de viscosidade são tanto menores quanto menor a densidade do fluido. Como, para os gases, a viscosidade está relacionada com a energia cinética das moléculas, isso talvez explique o fato de que os mesmos apresentam comportamento contrário ao dos líquidos. A viscosidade dos gases, como vimos, cresce com a temperatura. Ela depende ainda da pressão, com a qual também cresce.

Podemos definir: Viscosidade absoluta ou dinâmica ( ) É a medida da resistência do escoamento do fluido, ou seja, a razão entre a tensão de cisalhamento (ou força de coesão entre as camadas adjacentes de fluidos) e a razão de mudança (gradiente) da velocidade perpendicular à direção do escoamento.

A dimensão da viscosidade dinâmica se expressa por 11.. TLM e sua unidade, no sistema internacional (SI), é kg/m.s. Também podemos definir a grandeza fluidez, como o inverso da viscosidade dinâmica.

1

fluidez

Viscosidade cinemática ( ) É a razão entre a viscosidade absoluta e a massa específica do fluido.

A dimensão da viscosidade cinemática se expressa por 12. TL e sua unidade, no sistema internacional (SI), é m²/s. A viscosidade cinemática é, geralmente, obtida em laboratório através dos viscosímetros. Devido à viscosidade, desenvolve-se a chamada camada limite, que corresponde à zona onde o efeito da viscosidade se manifesta. De fato, como a água não é um líquido perfeito, as partículas líquidas não deslizam sobre a parede (do tubo ou do canal). Com efeito, por se comportar como líquido real, a velocidade do escoamento junto à parede é nula e aí se desenvolve uma região com elevado gradiente de velocidade segundo a normal à parede e tensões tangenciais.

A tensão tangencial (ou de cisalhamento) é definida por

dAdFx

.yl yu

t

dydu

dtd

Para a maioria dos fluidos, as tensões tangenciais são proporcionais à taxa de deformação. Quando isso ocorre, os fluidos são ditos newtonianos.

dydu

A constante de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica.

dydu.

Portanto, a viscosidade retrata a resistência que o fluido impõe ao cisalhamento. Fluidos de maior viscosidade apresentam maior resistência à deformação. Os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação são ditos não-newtonianos.

Pressão (P) É a razão entre a componente normal de uma força e a área sobre a qual essa força atua. A pressão exercida em um elemento de área de um fluido é igual em todas as direções, de acordo com a lei de Pascal. Para que ocorra o escoamento de um fluido de um ponto a outro, é necessário que haja uma diferença de pressão. No estudo dos fluidos, estabelecem-se as seguintes pressões: - pressão absoluta (Pabs): medida com relação à pressão zero absoluto. - pressão manométrica (Pman): medida com relação à pressão atmosférica local. - pressão atmosférica (Patm): decorrente da coluna de ar que se encontra acima do nível médio do mar. É a pressão média ao nível do mar.

Pabs = Pman + Patm

A dimensão da pressão se expressa por 21.. TLM e sua unidade, no sistema internacional (SI), é o pascal (Pa). Pressão de vapor Corresponde à pressão que o vapor exerce em certo volume. Decorre da vaporização de líquido em recipiente fechado.

A pressão de vapor de um fluido a uma determinada temperatura é aquela na qual coexistem as fases líquida e de vapor. Nessa temperatura, quando tivermos uma pressão maior do que a pressão de vapor, haverá somente a fase líquida. Por outro lado, quando tivermos uma pressão menor do que a pressão de vapor, haverá somente a fase de vapor. A pressão de vapor cresce com o aumento da temperatura. Assim, caso de temperatura seja elevada até um ponto em que a pressão de vapor iguale, por exemplo, a pressão atmosférica, o líquido se vaporiza, ocorrendo o fenômeno da ebulição. Quanto maior for a pressão de vapor saturado, em dada temperatura, tanto maior a evaporação do líquido. Numa bomba hidráulica, quando a pressão local cai abaixo da pressão de vapor do líquido (pressão parcial das moléculas gasosas expelidas naquela temperatura), ocorre sua vaporização, causando o aparecimento de bolhas de gás ou cavidades. Dizemos que ocorre cavitação. A cavitação é acompanhada de vibração, erosão, corrosão e perda de eficiência do sistema hidráulico. Temperatura (T) É a propriedade associada ao grau de aquecimento ou resfriamento de um sistema. Ela está relacionada ao nível de agitação das moléculas. A temperatura aponta no sentido de transferência de energia na forma de calor, que flui dos corpos de temperatura mais alta para os de temperatura mais baixa. No SI, a unidade de temperatura é o K (kelvin).

Tensão superficial ( ) É a força que se manifesta na superfície de líquidos em repouso. Ela se deve às fortes ligações intermoleculares, as quais dependem das diferenças de ordem eletrostática entre as moléculas, podendo ser definida como a força por unidade de comprimento que duas camadas superficiais exercem uma sobra a outra. A tensão superficial resulta, então, da coesão entre as moléculas líquidas.

Na fase líquida da água, as forças laterais mantêm as moléculas superficiais fortemente ligadas entre si, como se formassem uma membrana elástica, constituindo um ‘barreira de segurança’ para as moléculas interiores. A tensão superficial se verifica na superfície de separação de dois fluidos não miscíveis (ar e água, por exemplo), dando a impressão de haver uma película, capaz de suportar pequenas cargas. A intensidade da tensão superficial depende da natureza dos fluidos e da temperatura, com o aumento da qual diminui.

A tensão superficial tem dimensão de força por comprimento, isto é, 2. TM . No SI, a unidade é N/m. É em virtude da elevada tensão superficial que os insetos caminham sobre a superfície da água. A tensão superficial permite, ainda, que o solo transporte a água nos interstícios existentes entre as partículas sólidas. Podemos dizer que a existência de água na camada superficial do solo acima do nível freático é consequência do efeito da elevada tensão superficial da água.

Capilaridade Esta propriedade está relacionada com a tensão superficial. Pode-se dizer que a capilaridade é uma consequência da tensão superficial e se manifesta tanto mais fortemente quanto menor a dimensão dos capilares (tubículos). A constatação da capilaridade pode ser feita introduzindo-se na água um tubo capilar. Nesse caso, a água subirá até certa altura no interior do tubo. Essa altura de ascensão é tanto maior quanto menor o diâmetro do tubo e é diretamente proporcional à tensão superficial. É esse o processo em que se dá também a ascensão capilar da água nas camadas insaturadas do solo. Observemos a figura seguinte:

No mercúrio, ocorre depressão capilar.

Na água, ocorre ascensão capilar.

A adesão entre a água e o vidro é maior do que a coesão molecular da água. Então, a água molha o vidro, elevando-se. Por outro lado, a adesão entre o mercúrio e o vidro é menor do que a coesão molecular do mercúrio. Então, o mercúrio não molha o vidro, rebaixando-se. Isso também pode ser evidenciado no seguinte experimento, em que se adotam tubos capilares (muito finos). Nota: ADESÃO é a propriedade que os líquidos têm de se unirem a outros corpos (o vidro, por exemplo). COESÃO diz respeito à atração entre as moléculas do líquido.

Compressibilidade É a propriedade que consiste na redução do volume quando os corpos estão sujeitos a pressões externas. Essa redução é acompanhada do aumento de massa específica (devido à lei da conservação da massa). Os fluidos são todos, a rigor, compressíveis. A compressibilidade é mais significativa nos gases do que nos líquidos. O módulo de elasticidade (Ev), também chamado módulo de compressibilidade ou coeficiente de compressibilidade, é a propriedade que relaciona variações de pressão na mudança de volume (expansão ou contração). Ele expressa a razão entre variação de pressão e a fração de variação de volume.

VdVdpEV /

O módulo de elasticidade também pode ser escrito:

/ddpEV pois V

dVd

Ao contrário dos gases, em que a variação de volume com a pressão é muito grande (isto é, o módulo de compressibilidade é muito pequeno), nos líquidos o módulo de compressibilidade praticamente independe da pressão. Inúmeros problemas na engenharia são resolvidos de maneira satisfatória ao supor que o fluido se comporta de forma incompressível. O Ev da água é, aproximadamente, 2,2GPa. Isso significa que a água apresenta uma pequena variação em volume para uma elevada alteração na pressão, o que justifica, em diversas aplicações, a consideração da água como incompressível. O módulo de compressibilidade aumenta com a temperatura da água. O módulo de elasticidade (ou de compressibilidade) tem a dimensão de pressão.

Fluido real versus fluido ideal São características do fluido ideal:

1. Ausência de viscosidade (despreza-se a fricção entre as partes do fluido); 2. Incompressibilidade (densidade do fluido constante com o tempo); 3. Fluxo estacionário (velocidade em um ponto constante com o tempo); 4. Fluxo irrotacional (ausência de turbilhonamento; não há momento angular

do fluido relativo a qualquer ponto) No caso do fluido real (aquele efetivamente encontrado nas aplicações práticas), a viscosidade deve ser levada em conta e a distribuição das pressões não segue rigorosamente as leis da fluidostática. As partículas fluidas deslocam-se, geralmente, segundo trajetórias curvilíneas e irregulares.

ESTÁTICA DOS FLUIDOS Para que um fluido esteja em equilíbrio, somente podem existir no seu interior esforços normais, pois os esforços tangenciais acarretariam o deslocamento recíproco das partículas, ou seja, contrariando a hipótese do equilíbrio. Consideremos um tetraedro elementar, como mostra figura seguinte, onde p é o esforço unitário sobre a face ABC e px, py e pz são os esforços sobre as três outras faces. Verifiquemos, então, as condições para que o tetraedro se mantenha em equilíbrio.

cos..

cos..cos..

dApdFdApdFdApdF

z

y

x

:,, ângulos formados pela normal à face ABC com os três eixos x, y e z.

Sobre as outras faces atuam os esforços:

2.. dzdypx 2

.. dzdxpy 2.. dydxpz

2..cos.. dzdypdAp x .. .. 2

..cos.. dzdxpdAp y

2..cos.. dydxpdAp z

Como 2.cos. dzdydA 2

.cos. dzdxdA 2.cos. dydxdA

Logo: zyx pppp

Esta é a conhecida lei de Pascal, ou da isotropia de pressões no ponto. Ela se aplica também aos escoamentos não-viscosos. Interpretamos, assim, que há igualdade das pressões em todas as direções. Decorre daí, portanto, o princípio de Pascal, segundo o qual “as pressões exercidas pelos líquidos em repouso são normais às superfícies e se transmitem com igual intensidade em todas as direções.” Consideremos uma massa de um fluido em repouso e sejam X, Y e Z as componentes da força externa (por unidade de massa) sobre essa massa fluida, segundo os eixos x, y e z.

Dizemos que, em um fluido em repouso, a soma das forças de superfície e das forças de massa por unidade de volume é igual a zero.

p e ρ são, respectivamente, a pressão e a massa específica do fluido.

),,( zyxpp ),,( zyx Se nessa massa de fluido isolarmos um paralelepípedo elementar de volume

dzdydx .. e massa dzdydx ... , podemos identificar os seguintes esforços: - Forças externas (segundo os eixos coordenados):

dzdydxX .... dzdydxY .... dzdydxZ ....

- Pressões exercidas pelo fluido circundante (que atua perpendicularmente às faces do paralelepípedo):

dxxppep .

dyyppep .

dzzppep .

(sobre as faces perpendi- (sobre as faces perpendi- (sobre as faces perpendi- culares a x) culares a y) culares a z) Impondo a condição de equilíbrio, isto é, a soma das projeções das forças que agem sobre o paralelepípedo, segundo os três eixos, deve ser nula:

0.........

dzdydxxppdzdypdzdydxX

0.........

dzdxdyyppdzdxpdzdydxY

0.........

dydxdzzppdydxpdzdydxZ

Obtém-se, então, que:

xpX

. ypY

. zpZ

.

Ou seja:

dzzpdy

ypdx

xpdzZdyYdxX ...)....(

dpdzZdyYdxX )....( Esta é a EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DO EQUILÍBRIO DOS FLUIDOS EM REPOUSO “Em qualquer ponto, a componente das forças exteriores segundo os eixos é igual à derivada parcial da função p em relação ao respectivo eixo.” Na forma vetorial:

gradpF

.

Onde: kZjYiXF

...

No caso do equilíbrio dos fluidos sob ação exclusiva da gravidade, temos:

0X 0Y gZ

0. gp

Então, a equação fundamental se resume a:

dzdzgdp ... Portanto, a pressão diminui com o aumento da cota do ponto considerado e depende apenas da variação da profundidade e do peso específico do fluido. Estando o líquido em equilíbrio, a pressão não varia com a distância horizontal. No caso de líquido incompressível:

2

1

2

1

.p

p

z

z

dzgdp

zzgpp ...21 Este é o teorema de Stevin, que pode ser enunciado como: “A diferença das pressões entre dois pontos de um líquido homogêneo e incompressível é igual ao peso do prisma líquido, cuja base é a unidade de área e cuja altura é igual à diferença das cotas dos dois pontos considerados.”

BABA hhpp . Decorre daí que as superfícies de nível (cujos pontos estão todos sob a mesma pressão) são planas e horizontais, ao menos em pequenas extensões.

:; CB zz carga de posição

:/;/ CB pp carga piezométrica

0..0 ZdzdyYdxXdp A superfície livre de um líquido em contato com a atmosfera é uma superfície de nível. Outras decorrências da equação fundamental da hidrostática: 1) O nível da superfície de um líquido homogêneo, numa série de vasos comunicantes, é o mesmo em todos eles.

2) O esforço total exercido por um líquido sobre o fundo plano de um recipiente é igual ao peso da coluna líquida de base igual à superfície do fundo e altura igual à altura do líquido, independendo da forma do recipiente e do peso total do líquido. Esse fato é conhecido como paradoxo hidrostático.

3) A prensa hidráulica opera como dispositivo de amplificação do esforço.

2

2

1

1

AF

AF

O esforço 1F é ampliado na razão das áreas dos pistões 2

1

AA

.

4) No caso de vários líquidos imiscíveis, de pesos específicos 1 , 2 , 3 etc., o diagrama de pressões tem o seguinte aspecto:

A diferença de pressão entre dois pontos pode ser determinada utilizando-se um manômetro diferencial.

Para isso, com base no princípio de Stevin, reconhecemos que os pontos 1 e 2 estão à mesma pressão.

mmCCCBBB hhphp ...

BBmmCCCB hhhpp ... Tubo em U também pode ser empregado na manometria, notadamente na comparação de massas (ou pesos) específicas de líquidos.

21 pp

mmaa hh .. Manômetros simples:

O manômetro de tubo em U truncado, como o da figura seguinte, pode ser utilizado para medir pequenas pressões gasosas.

Equilíbrio relativo Dizemos que um líquido se encontra em equilíbrio relativo quando as suas partículas mantêm as mesmas posições, umas em relação às outras, e também em relação ao recipiente (suposto em movimento) que as contém. Nesse caso, não existe qualquer movimento relativo entre o líquido e o recipiente. A massa líquida, em equilíbrio relativo, comporta-se como corpo rígido. Destacamos três situações: 1) Movimento uniformemente acelerado sobre um plano horizontal:

Princípio de D’Alembert:

0. amF

gZaX

ga

dxdz

dzgdxadzZdxX

0.....

gatg

2) Movimento uniformemente acelerado sobre um plano inclinado:

Descendo aceleradamente:

gsenaZaX

.cos.

0....cos. dzgdzsenadxa

senagatg

dxdz

.cos.

Subindo aceleradamente:

gsenaZaX

.cos.

0....cos. dzgdzsenadxa

senagatg

dxdz

.cos.

3) Cilindro aberto de eixo vertical girando com velocidade angular constante:

grh

.2. 22

gZyYxX

..

2

2

0..... 22 dzgdyydxx Superfícies de nível são paraboloides de revolução

Empuxo em superfícies planas Consideremos uma superfície plana imersa num líquido, como na figura seguinte.

Temos que:

hpp atm .

dAhpdApdE atm ...

A

atmA

dAhpdEE ..

A

atm dAhApE ...

senyh .

A A

dAysendAh ... :.A

dAy momento estático da superfície A

A

GG AhAysendAh ....

Gh : profundidade do centro de gravidade da superfície imersa

AhApE Gatm ... Em termos de pressão relativa:

AhE G ..

Portanto, “o empuxo é do produto da área A pela pressão unitária ( Gh. ) que atua no centro de gravidade G.” Ou ainda: “O empuxo é igual ao peso de uma coluna líquida que tem por base a área da superfície e por altura a profundidade do seu centro de gravidade.” Centro de pressão ou centro de empuxo É o ponto de aplicação da pressão total que atua sobre a superfície. Nas superfícies planas e horizontais, a profundidade do centro de empuxo coincide com a do centro de gravidade. Nas superfícies verticais ou inclinadas (em relação à horizontal), o centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade.

G

GGC yA

IyyGC.

Esta expressão permite determinar a distância entre o centro de gravidade e o centro de empuxo.

Em termos de profundidade:

2..

senhA

IhhG

GGC

À medida que aumenta a profundidade do centro de gravidade, o centro de pressão (ou de empuxo) dele se aproxima. Nas grandes profundidades, pode-se considerá-los coincidentes, para as aplicações usuais. Alternativamente, podemos determinar o empuxo a partir das projeções horizontal e vertical da superfície imersa. Assim:

VGH AhE ..

HGV AhE ..

22HV EEE

Em síntese:

pCG : pressão no centro de gravidade da superfície imersa

Empuxo em superfícies curvas Em geral, o conjunto das pressões sobre uma superfície curva se reduz a uma força resultante e a um momento. Devemos, então, considerar as duas componentes (vertical e horizontal).

Demonstrando:

dAzdE ..

sendAzdEH ...

VH dAzdE ..

VGHH AhdEE .. '

:'Gh profundidade do centro de gravidade da projeção (AV) da superfície sobre um plano vertical

cos... dAzdEV VolEE VV .

A componente EV corresponde ao peso do volume líquido situado sobre a superfície curva.

22HV EEE

Conclusões: 1) A componente EH do empuxo é igual ao empuxo atuando na superfície plana que representa a projeção AV daquela superfície curva em um plano vertical; 2) O centro de empuxo de EH é o centro de empuxo da área plana AV; 3) A componente EV do empuxo é igual ao peso do volume líquido (Vol) entre a superfície curva e o nível de água. A linha de ação de EV é a vertical do centro de gravidade do volume situado sobre a curva; 4) EH pode estar orientado para a direita ou para a esquerda, assim como EV pode estar orientado para cima ou para baixo. Em todo caso, eles estarão sempre orientados do líquido para a superfície.

Empuxo exercido pelos líquidos sobre volume nele mergulhado

PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES “Um sólido mergulhado num líquido recebe deste um empuxo vertical, de baixo para cima, igual ao peso do volume do líquido deslocado e tendo por linha de ação a vertical que passa pelo centro de gravidade do volume do líquido deslocado.” Seja o corpo mergulhado, conforme ilustra a figura seguinte.

HA A

H dAzzdAzzE .... 1212

Esta integral da direita corresponde ao volume limitado pela superfície exterior do corpo

As componentes horizontais anulam-se duas a duas (pois têm a mesma direção e sentidos opostos, e mesma intensidade (já que mesma profundidade)).

22HV EEE

0HE

VEE V .

: peso específico do líquido

:V volume do corpo mergulhado

Condições gerais de equilíbrio dos corpos imersos e flutuantes Consideremos um corpo mergulhado num líquido. Ele está sujeito a duas forças: o seu peso (aplicado no centro de gravidade) e o empuxo exercido pelo líquido (aplicado no centro de carena). O centro de carena é definido como o centro de gravidade do volume do líquido deslocado. Sendo esse corpo abandonado no meio do líquido, podem ocorrer três situações: 1) O corpo afunda, se o seu peso for maior do que o empuxo. Isso ocorre porque a densidade do corpo é maior do que a do líquido. 2) O corpo fica em equilíbrio (na profundidade em que se encontra), se o peso e o empuxo são iguais (mesma intensidade). Isso porque a densidade do corpo é igual à do líquido. 3) O corpo emerge, deixando mergulhada parte do seu volume (denominado volume de carena), se o peso é menor do que o empuxo. A densidade do corpo é menor do que a do líquido.

O volume do corpo e o volume da parte mergulhada estão entre si na razão inversa das respectivas densidades. Para que um corpo, total ou parcialmente imerso, esteja em equilíbrio, é necessário, além da condição de igualdade entre peso e empuxo, que o seu centro de gravidade e

o centro de carena (centro de gravidade do líquido deslocado) estejam sobre a mesma vertical.

Se o centro de gravidade do corpo estiver abaixo do centro de carena, o equilíbrio é estável, em qualquer caso (corpo total ou parcialmente imerso). No caso de corpos totalmente mergulhados, o equilíbrio será instável se o centro de gravidade estiver acima do centro de carena. Por outro lado, o equilíbrio será indiferente se os centros de gravidade e de carena coincidirem (caso de corpo e líquido homogêneos).

Considerando, agora, corpos flutuantes (não totalmente mergulhados), pode ocorrer equilíbrio estável mesmo estando o centro de gravidade acima do centro de carena. Isso vai depender, efetivamente, da análise do metacentro. O equilíbrio é estável se o metacentro estiver acima do centro de gravidade do corpo, e instável, caso contrário. Se o metacentro coincidir com o centro de gravidade, o equilíbrio é indiferente.

A determinação do metacentro assume grande relevância no estudo da estabilidade dos corpos flutuantes (navios, por exemplo).

FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Dois métodos descritivos foram concebidos para o estudo da cinemática dos fluidos. Um deles é o de Lagrange, que descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a na trajetória total. Nesse caso, o observador desloca-se simultaneamente com a partícula. As trajetórias são linhas, descritas pelas partículas em movimento, havendo, então, uma correspondência biunívoca entre partícula e trajetória. Em cada instante, a posição da partícula é perfeitamente determinada. Embora simples sob o aspecto metodológico, o método de Lagrange apresenta grandes dificuldades nas aplicações práticas; além disso, mais interessa o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento do que mesmo o comportamento individual da partícula. No método de Euler, o observador é fixo sendo adotados um certo intervalo de tempo e uma certa seção (ou ponto) para que se acompanhem a velocidade e a pressão de todas as partículas que passem por essa seção (ou ponto de controle). Esse método tem sido preferido na prática, devido às facilidades de implementação oferecidas. A pressão e a velocidade de cada partícula são funções do tempo e das coordenadas do ponto considerado. Para a descrição do escoamento de fluido, define-se linha de corrente como a curva tangente às velocidades nos diversos instantes considerados. Trata-se de uma curva imaginária, concebida para indicar a direção da velocidade em diversos pontos. Decorre de sua definição que as linhas de corrente não se interceptam. Assim, em cada ponto e em cada instante, passa uma única linha de corrente.

As linhas de corrente são dadas pelas equações diferenciais

321 vdz

vdy

vdx

Sendo: kvjvivv ... 321

Diversas linhas de corrente podem compor um tubo de corrente (ou veia líquida). O eixo do tubo confunde-se com um filamento de corrente. No limite, cada filamento de corrente transforma-se em uma linha de corrente.

Sob o aspecto geométrico, podemos identificar os seguintes tipos de escoamento: unidimensional, bidimensional e tridimensional, conforme possam ser representados e expressos em uma, duas ou três dimensões, respectivamente. Unidimensional:

)(tss

dtdsv

dtdva

NT aaa

componente componente tangencial normal

Bidimensional:

dtdxv 1 dt

dyv 2

jvivv .. 21

),,( tyxvv

tv

dtdy

yv

dtdx

xva

..

tv

yvv

xvva

.. 21

Tridimensional:

dtdxv 1 dt

dyv 2 dtdzv 3

kvjvivv ... 321

),,,( tzyxvv

tv

zvv

yvv

xvva

... 321

:... 321 zvv

yvv

xvv

este termo corresponde à ‘aceleração convectiva’

No estudo da cinemática dos fluidos perfeitos, a inexistência de viscosidade implica a inexistência de esforços tangenciais. Nesse caso, então, podemos assumir válida a hipótese de que no interior do fluido em movimento os esforços internos (pressões), que se desenvolvem sob a ação de forças exteriores, são normais às superfícies onde agem, e têm o mesmo valor em todas as direções (hipótese de Euler).

Em síntese: Método de Euler: fornece informações sobre o escoamento em pontos fixos no espaço. Método de Lagrange: fornece informações sobre o que acontece com a partícula ao longo do tempo. Na metodologia lagrangeana, as especificações da partícula são dadas em função do tempo e da sua posição

Segundo o método de Euler, as equações fundamentais do equilíbrio dinâmico são:

tv

zvv

yvv

xvv

xpX 11

31

21

1 .....

t

vzvv

yvv

xvv

ypY 22

32

22

1 .....

tv

zvv

yvv

xvv

zpZ 33

33

23

1 .....

Ou seja:

1.. axpX

2.. aypY

3.. azpZ

Sob a forma global: agradpF .. ou gradp

dtvdF

.

A equação geral das forças vivas no escoamento de um fluido pode ser assim estabelecida:

dzadyadxadzzpdy

ypdx

xpdzZdyYdxX ........... 321

Lembrando: kajaiaa ... 321

Nesta expressão, podemos identificar três parcelas:

- trabalho realizado pelas forças exteriores de massa (resultante R

) - trabalho realizado pelos esforços geradores de pressão p - trabalho realizado pela força de inércia

kRjRiRR ZYX

...

dzdydxXdmXRX .....

dzdydxYdmYRY .....

dzdydxZdmZRZ .....

(os trabalhos aqui se referem por unidade de massa e por unidade de volume)

dtdva 1

1 dtdva 2

2 dtdva 3

3

dtvdx .1 dtvdy .2 dtvdz .3

Temos, então:

dvvdttpdpdzZdyYdxX .......

Entendendo melhor o segundo membro:

dvvdvvdvvdvv

dzdtdvdy

dtdvdx

dtdv

....

...

332211

321

Ou, equivalentemente:

dvvdttpdpdzZdyYdxX ...1...

Lembrando: dttpdz

zpdy

ypdx

xpdp ....

Ou ainda:

2

..1...2vddt

tpdpdzZdyYdxX

Esta é a EQUAÇÃO GERAL DAS FORÇAS VIVAS NO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO

Equação geral para fluidos em movimento de corpo rígido (segunda lei de Newton):

agp ..

Lembrando: kajaiaa ... 321

Gradiente de pressão em coordenadas cartesianas:

kzpj

ypi

xpp

...

A consideração da viscosidade no estudo do escoamento do fluido é feita nas equações de Navier-Stokes.

dtdvv

xpX 1

1 ...

dtdvv

ypY 2

2 ...

dtdvv

zpZ 3

3 ...

Sob a forma global:

vgradpdtvdF

..

Onde: kZjYiXF

...

: operador de Laplace Recordando:

Exemplo: 2

2

2

2

2

2

2

zu

yu

xuu

:,, 321 vvv componentes da velocidade nos eixos x, y e z, respectivamente.

Podemos identificar na equação precedente:

:.F

forças de gravidade

:.dtvd forças de inércia

:gradp forças de pressão

:. v forças de viscosidade

As equações de Navier-Stokes exprimem o equilíbrio dinâmico por unidade de massa do fluido em escoamento. Teorema da quantidade de movimento

A variação da quantidade de movimento, durante certo intervalo de tempo, é igual ao impulso produzido pela força durante esse tempo.

2

1

2

1

..v

v

t

t

vdmdtF

Onde F é a resultante das forças externas atuantes no fluido.

1111 .... vdtvAM (quantidade de movimento em 1)

2222 .... vdtvAM (quantidade de movimento em 2)

111222 ..... vvAvvAdtMdF

Lembrando: 2211 .. vAvAQ

Portanto, em regime permanente, a expressão do teorema assume a forma:

12.. vvgQF

ou 12.. vvQF

(equação da quantidade de movimento para fluidos ideais)

Esse teorema pode ser utilizado para a determinação da perda de carga, por exemplo. Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli pode ser deduzida a partir do teorema das forças vivas aplicada a um feixe líquido em escoamento permanente.

As expressões da força viva do líquido nas seções 1 e 2 são:

2111 .... vdtvA e 2

222 .... vdtvA

Obs. : 1) Os termos entre parênteses são as massas M1 e M2, respectivamente. 2) Lembrar que A1.v1=A2.v2

O trabalho realizado sobre a massa ( dtvA ... 11 ) ao passar do ponto 1 para o ponto 2 corresponde a duas parcelas: - trabalho efetuado pela gravidade:

2111 ..... zzdtvAg - trabalho efetuado pela força de pressão:

222111 .... dsApdsAp A soma dos trabalhos deve ser igual à variação da semiforça viva entre esses pontos 1 e 2.

dtvvvAdsApdsApdtzzvAg .....21......... 2

221112221112111

O que leva a:

..2.2

222

2

211

1 constg

vpzg

vpz

A expressão de Bernoulli pode ser assumida como um corolário da conservação da energia. Ela pode ser enunciada da seguinte forma, considerando-se fluido perfeito (homogêneo e incompressível) em regime permanente:

“A soma da energia de posição, da energia dinâmica e da energia cinética se mantém constante ao longo da trajetória.” É importante destacar as hipóteses assumidas para a obtenção da equação de Bernoulli, quais sejam:

1. Escoamento permanente;

2. Escoamento incompressível (constante); 3. Escoamento livre de fricção; 4. Escoamento ao longo de uma linha de corrente.

Para os líquidos reais, deve-se levar em conta o atrito devido à viscosidade, ocorre ‘perda de carga’, isto é, uma degradação da energia mecânica, pela sua transformação em calor. A equação de Bernoulli assume, então, a forma:

Eg

vg

vdpzzp

p

.2.2

22

21

21

1

2

:E energia ou carga ‘perdida’ pelo fluido (por unidade de peso), devido às causas físicas e mecânicas que se opõem ao movimento. Particularmente para os líquidos (considerados incompressíveis), podemos escrever:

phg

vpzg

vpz

.2.2

222

2

211

1

Podemos observar, ainda, que a equação de Euler para escoamento permanente ao longo de uma linha de corrente se expressa por:

0.

gdvvdpdz

Entendendo melhor a equação de Euler (para Z = - g): dvvdpdzg ..1.

Também daí podemos deduzir a equação de Bernoulli para fluido incompressível.

A equação de Bernoulli fornece uma relação entre as posições da partícula, as pressões e as velocidades respectivas.

Essa equação se constitui no ponto de partida para a resolução de quase todos os problemas de escoamento de líquido em regime permanente. Vazão É o volume que, por unidade de tempo, atravessa uma seção transversal (área A) da corrente fluida.

dsAdQ .

dtQdQ .

dtdsAQ .

vAQ . A partir da equação de Bernoulli, a potência da corrente líquida pode ser determinada por:

HQN ..

gvpzQN.2

..2

Equação da continuidade

A equação da continuidade traduz o princípio de conservação da massa. O acréscimo da massa do líquido no interior de uma superfície fechada S (paralelepípedo da figura seguinte), num intervalo de tempo dt, equivale à soma da massa do líquido que entra em S subtraída da massa do líquido que sai de S (consideradas todas as faces do paralelepípedo).

Variação de massa no intervalo dt: dzdydxdtt

....

dtdzdydxzv

yv

xvdzdydxdt

t........... 321

Para escoamentos conservativos, temos:

0

... 321

tz

vyv

xv

Na forma vetorial, fica: 0.

t

v

Onde: zk

yj

xi

Para líquidos (considerados incompressíveis), sendo ρ constante, temos:

0321

zv

yv

xv

Na forma vetorial: 0vdiv (onde vale também a notação: 0. v )

Para escoamento unidimensional:

qtA

svA ....

(não-conservativo) caso mais geral

Onde: q é vazão de contribuição lateral (ao longo de ds)

0...

tA

svA

(conservativo) sem contribuição lateral

Algumas situações particulares do escoamento unidimensional:

1. Sendo o escoamento permanente e conservativo: A vazão em massa (M) é constante.

QM .

constQ . vAQ .

constvA ..

2. Sendo o escoamento conservativo de fluido incompressível:

0

tA

sQ

3. Sendo o escoamento permanente e conservativo de fluido incompressível:

constQ

constvA . Classificação do escoamento

Os escoamentos dos fluidos podem ser classificados sob diversos aspectos.

Escoamento laminar (lamelar, tranquilo ou de Poiseuille) As partículas do fluido percorrem trajetórias paralelas. Escoamento turbulento (turbilhonário ou hidráulico) As trajetórias descritas são curvilíneas e irregulares (trajetórias errantes). É o tipo de escoamento mais comum, na prática. Escoamento permanente A velocidade e a pressão, em determinado ponto, não variam com o tempo. Porém, a velocidade e a pressão podem variar entre dois pontos. A pressão e a velocidade são funções exclusivas da posição da partícula fluida.

Pressão: ),,( zyxpp 0

tp

Velocidade: ),,( zyxvv 0

tv

dsdvv

tv

svvaT ..

Para o escoamento permanente, a equação da continuidade pode ser escrita assim:

0... 321

zv

yv

xv

Na forma vetorial: 0. v (vale dizer: 0vdiv )

Se, além disso, o fluido é incompressível ( const ), a expressão acima fica, como vimos:

0321

zv

yv

xv

Na forma vetorial: 0. v (vale dizer: 0vdiv )

Escoamento não-permanente A velocidade e a pressão, em determinado ponto, variam com o tempo.

Pressão: ),,,( tzyxpp 0

tp

Velocidade: ),,,( tzyxvv 0

tv

tv

svvaT

.

Escoamento uniforme Todos os pontos numa mesma trajetória têm a mesma velocidade. Trata-se de um caso particular do escoamento permanente. Escoamento variado A velocidade da partícula de fluido varia ao longo de uma mesma trajetória. Escoamento rotacional A partícula de fluido desenvolve rotação, isto é, está sujeita a velocidade angular em relação ao seu centro de massa.

v .21

Escoamento irrotacional

kvjvivv ... 321

Condição a ser atendida no escoamento irrotacional:

0122331

yv

xv

zv

yv

xv

zv

Ou, equivalentemente:

0 v

0111...

...

321

kvjviv

kz

jy

ix

Em virtude da viscosidade, o escoamento dos fluidos reais é sempre rotacional.

Número de Reynolds O número de Reynolds (adimensional) permite identificar o escoamento como laminar ou turbulento. Ele corresponde à razão entre as forças de inércia e as forças de viscosidade.

Número de Froude O número de Froude (adimensional) permite identificar o escoamento como fluvial (subcrítico) ou torrencial (supercrítico). Ele se expressa pela razão entre a velocidade da onda característica e a velocidade da onda gravitacional (celeridade). O número de Froude corresponde à razão entre as forças de inércia e a força de gravidade. Temos que:

Isso é particularmente importante na hidráulica de condutos livres. Observe a figura seguinte, na qual representamos a energia específica (em unidade linear) e profundidade do escoamento.

Nas figuras seguintes, explicitamos as parcelas que constituem a energia específica.

Podemos observar, então, que existe um valor mínimo de energia (denominada energia crítica, Ec) que corresponde à profundidade crítica yc. Está aí a fronteira entre os regimes fluvial e torrencial.

Medição da velocidade de fluido Tubo Venturi

Tubo Pitot

Também com base na equação de Bernoulli, podemos demonstrar que:

21.2 ppv