apostila física i_mecânica_1a._parte
TRANSCRIPT
FÍSICA I
MECÂNICA
DIVISÕES DA FÍSICA
• FÍSICA CLÁSSICA (do séc. XV ao séc. XIX)
• MECÂNICA
• TERMODINÂMICA
• ELETROMAGNETISMO
• FÍSICA MODERNA (do séc. XX à atualidade)
• RELATIVÍSTICA
• QUÂNTICA
• MECÂNICA ESTATÍSTICA
DIVISÕES DA MECÂNICA
• CINEMÁTICA
• DINÂMICA
• ESTÁTICA
2222
ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FÍSICA
1. Ler atentamente todo o enunciado do problema, sem tentar resolvê-lo de imediato.
2. Ler novamente, analisando cuidadosamente cada detalhe; organizar uma lista de dados
(atenção: dados não são representados apenas por informações numéricas: todo tipo de
informação pode ser relevante).
3. Se necessário, esboçar um diagrama ilustrando a situação (procure simbolizar as grandezas
físicas envolvidas).
4. Escrever claramente, em símbolos matemáticos, a questão do problema.
5. Escrever a(s) fórmula(s) necessárias para a resolução do problema.
6. Organizar seu raciocínio de forma clara e precisa. Cuide da “limpeza” de seu exercício.
7. Efetuar os cálculos numéricos (nos cálculos intermediários , os valores numéricos devem
apresentar uma aproximação mínima de 4 casas decimais ).
8. Escrever claramente, em símbolos matemáticos, a resposta do problema (nas respostas , os
valores numéricos devem apresentar uma aproximação mínima de 2 casas decimais ).
3333
Lógica matemática
⋀⋀⋀⋀ e
∨∨∨∨ ou
⇒⇒⇒⇒ se ... então ...
⇔⇔⇔⇔ se e somente se (é equivalente a)
| tal que
∃∃∃∃ existe ao menos um
∄∄∄∄ não existe
∃∃∃∃ⅼⅼⅼⅼ existe um único
∀∀∀∀ para qualquer, para todo
∈∈∈∈ pertence a
∉∉∉∉ não pertence a
⊂⊂⊂⊂ está contido em
⊄⊄⊄⊄ não está contido em
⋃⋃⋃⋃ união
∩ intersecção
∅∅∅∅ conjunto vazio
∴∴∴∴ portanto
A ⋃⋃⋃⋃ B x I x ∈∈∈∈ A ∨∨∨∨ x ∈∈∈∈ B
A ∩ B x I x ∈∈∈∈ A ∩ x ∈∈∈∈ B
A ⊂⊂⊂⊂ B ⇔⇔⇔⇔ (∀∀∀∀x, x ∈∈∈∈ A ⇒⇒⇒⇒ x ∈∈∈∈ B)
A = B ⇔⇔⇔⇔ (∀∀∀∀x, x ∈∈∈∈ A ⇔⇔⇔⇔ x ∈∈∈∈ B)
A ∩ B = ∅∅∅∅ ⇔⇔⇔⇔ (∄∄∄∄x I x ∈∈∈∈ A ⋀⋀⋀⋀ x ∈∈∈∈ B)
4444
Propriedades da potenciação e da radiciação
mnmn BBB ++++====⋅⋅⋅⋅ (((( )))) n2
n1
n21 BBBB ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
mnm
nmn B
BB
B:B −−−−======== (((( )))) n2
n1
n
2
1n21 B
BBB
B:B ====
====
BB1 ==== nn1
BB ====
(((( ))))0Bse1B0 ≠≠≠≠==== (((( )))) mnn mnm
BBB ========
(((( ))))0nse00n >>>>==== n21
n2
n1 BBBB ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
adoindetermin é 00 nm n2
m1
m2
n1 BBBB ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
(((( ))))0BseB1
B nn ≠≠≠≠====−−−− n
2
1
n2
n1n
2n
1 BB
B
BB:B ========
(((( ))))0BseBB
BB
1
n
1
2
-n
2
1 ≠≠≠≠
====
nm
n2
m1
m2
n1m
2n
1B
B
B
BB:B ========
(((( )))) mnmn BB ⋅⋅⋅⋅==== nm pn m p BB ====
(((( ))))
(((( ))))
−−−−
====−−−−
impar é n se,B
par é n se,B
B
n
n
n
(((( )))) 222 BAB2ABA ++++++++====++++
(((( )))) 222 BAB2ABA ++++−−−−====−−−−
(((( ))))(((( )))) 22 BABABA −−−−====−−−−++++
5555
Propriedades dos logaritmos
abxalog xb ====⇔⇔⇔⇔====
Definição • a é o LOGARITMANDO ( 0a,IRa >>>>∈∈∈∈ )
• b é a BASE ( 1b,0b,IRb ≠≠≠≠>>>>∈∈∈∈ )
• x é o L OGARITMO de a na base b ( IRx ∈∈∈∈ )
Adição )ba(logblogalog ccc ⋅⋅⋅⋅====++++
Subtração
====−−−−ba
logblogalog ccc
Multiplicação por uma constante kcc alogalogk ====⋅⋅⋅⋅
Mudança de base blogalog
alogc
cb ====
6666
PPPPREFIXOS DECIMAISREFIXOS DECIMAISREFIXOS DECIMAISREFIXOS DECIMAIS
Nome Símbolo Valor
MÚLTIPLOS
tera- T 1012
giga- G 10 9
mega- M 106
quilo- k 10 3
hecto- h 10 2
deca- da 10 1
SUBMÚLTIPLOS
deci- d 10 -1
centi- c 10 -2
mili- m 10 -3
micro- µµµµ 10-6
nano- n 10 -9
pico- p 10 -12
PREFIXOS BINÁRIOS
(INFORMÁTICA)
Nome Símbolo Valor
tera- T 240
giga- G 2 30
mega- M 220
quilo- k 2 10 = 1024
T_ G_ M_ k_ h_ da_ _ d_ c_ m_ µµµµ_ n_ p_
1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
x 103 x 103 x 103 x 101 x 101 x 101 x 101 x 101 x 101 x 103 x 103 x 103
x 10-3 x 10-3 x 10-3 x 10-1 x 10-1 x 10-1 x 10-1 x 10-1 x 10-1 x 10-3 x 10-3 x 10-3
7777
AAAALFABETO LFABETO LFABETO LFABETO GGGGREGOREGOREGOREGO
LetrasLetrasLetrasLetras NomeNomeNomeNome TranTranTranTransliteração sliteração sliteração sliteração
cccclássicalássicalássicalássica
Α αΑ αΑ αΑ α alphaalphaalphaalpha aaaa
Β βΒ βΒ βΒ β bbbbeeeetatatata bbbb
Γ γΓ γΓ γΓ γ gammagammagammagamma gggg
∆ δ∆ δ∆ δ∆ δ deltadeltadeltadelta dddd
Ε εΕ εΕ εΕ ε eeeepsilpsilpsilpsiloooonnnn eeee
Ζ ζΖ ζΖ ζΖ ζ dzdzdzdzeeeetatatata zzzz
Η ηΗ ηΗ ηΗ η eeeetatatata ēēēē
Θ Θ Θ Θ θθθθ ththththeeeetatatata thththth
Ι ιΙ ιΙ ιΙ ι iiiiooootatatata iiii
Κ κΚ κΚ κΚ κ kappakappakappakappa kkkk
Λ λΛ λΛ λΛ λ lambdalambdalambdalambda llll
Μ µΜ µΜ µΜ µ mmmmyyyy mmmm
Ν νΝ νΝ νΝ ν nnnnyyyy nnnn
Ξ ξΞ ξΞ ξΞ ξ xxxxi i i i (ks(ks(ks(ksiiii)))) x (ks)x (ks)x (ks)x (ks)
Ο οΟ οΟ οΟ ο oooomikrmikrmikrmikroooonnnn oooo
Π πΠ πΠ πΠ π ppppiiii pppp
Ρ ρΡ ρΡ ρΡ ρ rhrhrhrhoooo rrrr
Σ σΣ σΣ σΣ σ ssssiiiigmagmagmagma ssss
Τ τΤ τΤ τΤ τ tautautautau tttt
Υ υΥ υΥ υΥ υ (h)(h)(h)(h)yyyypsilpsilpsilpsiloooonnnn yyyy
Φ φΦ φΦ φΦ φ phphphphiiii phphphph
Χ χΧ χΧ χΧ χ chchchchiiii chchchch
Ψ ψΨ ψΨ ψΨ ψ pspspspsiiii pspspsps
Ω ωΩ ωΩ ωΩ ω oooommmmeeeegagagaga ōōōō
8
PROPRIEDADES DOS LIMITES
Produto entre constante e função
( )IRk ∈∈∈∈ flimk)fk(lim
00 xxxx →→→→→→→→⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
Soma de funções glimflim)gf(lim000 xxxxxx →→→→→→→→→→→→
++++====++++
Diferença entre funções glimflim)gf(lim000 xxxxxx →→→→→→→→→→→→
−−−−====−−−−
Produto de funções glimflim)gf(lim000 xxxxxx →→→→→→→→→→→→
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
Quociente de funções glim
flim
gf
lim
0
0
0xx
xx
xx→→→→
→→→→
→→→→====
( 0glim
0xx≠≠≠≠
→→→→)
Função exponencial flim
f
xx0xx
0
eelim →→→→====→→→→
Regra de l’Hôpital glim
flim
glim
flim
0
0
0
0
xx
xx
xx
xx
′′′′
′′′′====
→→→→
→→→→
→→→→
→→→→
9
PROPRIEDADES DA DERIVAÇÃO
DEFINIÇÃO
se )x(fy ==== , então, por definição:
xy
limydxdy
0x ∆∆∆∆∆∆∆∆====′′′′====
→→→→∆∆∆∆
Função constante ( )IRk ∈∈∈∈ 0dxdk
==== 0k ====′′′′
Produto entre constante e função
( )IRk ∈∈∈∈ dxdf
k)fk(dxd
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ fk)fk( ′′′′⋅⋅⋅⋅====′′′′⋅⋅⋅⋅
Soma de funções dxdg
dxdf
)gf(dxd
++++====++++ gf)gf( ′′′′++++′′′′====′′′′++++
Diferença entre funções dxdg
dxdf
)gf(dxd
−−−−====−−−− gf)gf( ′′′′−−−−′′′′====′′′′−−−−
Produto de funções
⋅⋅⋅⋅++++
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅dxdg
fgdxdf
)gf(dxd
gfgf)gf( ′′′′⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′⋅⋅⋅⋅
Quociente de funções 2g
dxdg
fgdxdf
gf
dxd
⋅⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅⋅⋅====
2g
gfgfgf ′′′′⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅′′′′
====′′′′
Função potência )1n(n xn)x(dxd −−−−⋅⋅⋅⋅==== )1n(n xn)x( −−−−⋅⋅⋅⋅====′′′′
Regra da cadeia
))x(u(ff ==== dxdu
dudf
dxdf
⋅⋅⋅⋅==== xu uff ′′′′⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′
10
PROPRIEDADES DA INTEGRAÇÃO
DEFINIÇÃO
se )x(fy ==== , então, por definição,
∑∑∑∑∫∫∫∫====
∗∗∗∗
∞∞∞∞→→→→∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅====
n
iii
n
b
a
x)x(flimdxf , , , ,
onde onde onde onde n
abx
−−−−====∆∆∆∆ e e e e ]x,x[x i1ii −−−−∗∗∗∗ ∈∈∈∈
Produto entre constante e função
( )IRk ∈∈∈∈ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅b
a
b
a
dxfkdx)fk(
Soma de funções ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ++++====++++b
a
b
a
b
a
dxgdxfdx)gf(
Diferença entre funções ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====−−−−b
a
b
a
b
a
dxgdxfdx)gf(
Função potência (((( ))))1nparaexceto
a
b
)1n(x
dxx)1n(b
a
n −−−−====++++
====++++
∫∫∫∫
Função potência (para 1n −−−−==== )
a
b
)x(ndxx1
dxxb
a
b
a
1l======== ∫∫∫∫∫∫∫∫
−−−−
Função unitária
a
b
xdx1dxb
a
b
a
======== ∫∫∫∫∫∫∫∫
Inversão dos limites de integração ∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====b
a
a
b
dxfdxf
11
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
AAAA....retretretret,,,,ABCABCABCABC ∠∠∠∠∆∆∆∆
BCBCBCBC : hipotenusa (hip): hipotenusa (hip): hipotenusa (hip): hipotenusa (hip)
ABABABAB : : : : (((( ))))
(((( ))))
ββββββββαααααααα
op.cat.sto a cateto opo
adj.cat.acente a cateto adj
CACACACA : : : : (((( ))))
(((( ))))
ββββββββαααααααα
adj.cat.acente a cateto adj
op.cat.sto a cateto opo
TTTTEOREMA DE EOREMA DE EOREMA DE EOREMA DE PPPPITÁGORAS ITÁGORAS ITÁGORAS ITÁGORAS 222222222222 ccccbbbbaaaa ++++====
AAAAPLICAÇÕES DO TEOREMAPLICAÇÕES DO TEOREMAPLICAÇÕES DO TEOREMAPLICAÇÕES DO TEOREMA DE DE DE DE PPPPITÁGORASITÁGORASITÁGORASITÁGORAS::::
(1) medida da diagonal de um quadrado em função da medida de seus lados: (1) medida da diagonal de um quadrado em função da medida de seus lados: (1) medida da diagonal de um quadrado em função da medida de seus lados: (1) medida da diagonal de um quadrado em função da medida de seus lados: 2222aaaadddd ====
dem.: 1. sejam o quadrado ABCD e sua diagonal dem.: 1. sejam o quadrado ABCD e sua diagonal dem.: 1. sejam o quadrado ABCD e sua diagonal dem.: 1. sejam o quadrado ABCD e sua diagonal ACACACAC ;;;;
2. em 2. em 2. em 2. em BBBB....retretretret,,,,ABCABCABCABC ∠∠∠∠∆∆∆∆ : : : : 222222222222 aaaaaaaadddd ++++==== ;;;;
3. 3. 3. 3. 22222222 aaaa2222dddd ====∴∴∴∴ , ou seja, , ou seja, , ou seja, , ou seja, 2222aaaadddd ==== ....
(2) medida da altura de um triângulo equilátero em função da medida de seus lados: (2) medida da altura de um triângulo equilátero em função da medida de seus lados: (2) medida da altura de um triângulo equilátero em função da medida de seus lados: (2) medida da altura de um triângulo equilátero em função da medida de seus lados: 22223333aaaahhhh ====
dem.: 1. seja dem.: 1. seja dem.: 1. seja dem.: 1. seja ABCABCABCABC∆∆∆∆ equilátero e sua altura equilátero e sua altura equilátero e sua altura equilátero e sua altura AHAHAHAH ;;;;
2. então, 2. então, 2. então, 2. então, BCBCBCBCAHAHAHAH ⊥⊥⊥⊥ e e e e 2222aaaa
2222BCBCBCBCHCHCHCHC ======== ;;;;
3. em 3. em 3. em 3. em HHHH....retretretret,,,,AHCAHCAHCAHC ∠∠∠∠∆∆∆∆ : : : : 2222
222222222222aaaahhhhaaaa
++++==== ;;;;
4. 4. 4. 4. 4444aaaa3333
4444aaaaaaaahhhh
2222222222222222 ====−−−−====∴∴∴∴ , ou seja, , ou seja, , ou seja, , ou seja,
22223333aaaahhhh ==== ....
12
FFFFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICUNÇÕES TRIGONOMÉTRICUNÇÕES TRIGONOMÉTRICUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASASASAS
aaaabbbb
BCBCBCBCCACACACA
hiphiphiphipααααop.op.op.op.cat.cat.cat.cat.sen sen sen sen αααα ============ aaaa
ccccBCBCBCBCABABABAB
hiphiphiphipααααadj.adj.adj.adj.cat.cat.cat.cat. ααααcoscoscoscos ============ cccc
bbbbABABABABCACACACA
ααααadj.adj.adj.adj.cat.cat.cat.cat.ααααop.op.op.op.cat.cat.cat.cat.tg tg tg tg αααα ============
TTTTEOREMASEOREMASEOREMASEOREMAS
em em em em AAAA....retretretret,,,,ABCABCABCABC ∠∠∠∠∆∆∆∆ ::::
(1) (1) (1) (1) αααα====ββββ⇒⇒⇒⇒====ββββ++++αααα coscoscoscossensensensen90909090oooo dem.: dem.: dem.: dem.: ααααcoscoscoscoshiphiphiphip
ααααadj.adj.adj.adj.cat.cat.cat.cat.BCBCBCBCABABABAB
hiphiphiphipop.op.op.op.cat.cat.cat.cat.sensensensen ============
ββββ====ββββ
(2) (2) (2) (2) αααα====ββββ⇒⇒⇒⇒====ββββ++++αααα sensensensencoscoscoscos90909090oooo dem.: dem.: dem.: dem.: sen sen sen sen ααααhiphiphiphip
ααααop.op.op.op.cat.cat.cat.cat.BCBCBCBCCACACACA
hiphiphiphipadj.adj.adj.adj.cat.cat.cat.cat.coscoscoscos ============
ββββ====ββββ
(3) (3) (3) (3) αααα
====ββββ⇒⇒⇒⇒====ββββ++++ααααtgtgtgtg
1111tgtgtgtg90909090oooo dem.: dem.: dem.: dem.: αααα
====αααααααα
========ββββββββ
====ββββtgtgtgtg
1111op.op.op.op.cat.cat.cat.cat.adj.adj.adj.adj.cat.cat.cat.cat.
CACACACAABABABAB
adj.adj.adj.adj.cat.cat.cat.cat.op.op.op.op.cat.cat.cat.cat.tgtgtgtg
(4) (4) (4) (4) 1111coscoscoscossensensensen 22222222 ====αααα++++αααα (T(T(T(TEOREMA FUNDAMENTAL DEOREMA FUNDAMENTAL DEOREMA FUNDAMENTAL DEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIAA TRIGONOMETRIAA TRIGONOMETRIAA TRIGONOMETRIA))))
dem.: dem.: dem.: dem.: 1. 1. 1. 1. 2222
22222222
aaaabbbbααααsensensensen
aaaabbbb
hiphiphiphipααααop.op.op.op.cat.cat.cat.cat.sen sen sen sen αααα ====⇒⇒⇒⇒======== ;;;;
2. 2. 2. 2. 2222
22222222
aaaaccccααααcoscoscoscos
aaaacccc
hiphiphiphipααααadj.adj.adj.adj.cat.cat.cat.cat. ααααcoscoscoscos ====⇒⇒⇒⇒======== ;;;;
3. 3. 3. 3. 2222
22222222
2222
2222
2222
222222222222
aaaaccccbbbb
aaaacccc
aaaabbbbααααcoscoscoscosααααsensensensen ++++====++++====++++∴∴∴∴ ;;;;
4. mas, 4. mas, 4. mas, 4. mas, 222222222222 aaaaccccbbbb ====++++ (teor. de Pitágoras); (teor. de Pitágoras); (teor. de Pitágoras); (teor. de Pitágoras);
5. concluindo, 5. concluindo, 5. concluindo, 5. concluindo, 1111aaaaaaaaααααcoscoscoscosααααsensensensen 2222
222222222222 ========++++ ....
AAAANGULOS NOTÁVEISNGULOS NOTÁVEISNGULOS NOTÁVEISNGULOS NOTÁVEIS
αααα sen αααα cos αααα tg αααα
0o 0 1 0
30o 21
23 2
3
45o 2
2 22 1
60o 2
3 21 3
90o 1 0 ∄∄∄∄
13
CCCCICLO TRIGONOMÉTRICOICLO TRIGONOMÉTRICOICLO TRIGONOMÉTRICOICLO TRIGONOMÉTRICO
QQQQUADRANTESUADRANTESUADRANTESUADRANTES
• 1º. Quadrante (1º. Quadrante (1º. Quadrante (1º. Quadrante ( 1111QQQQ ): ): ): ): oooooooo1111 909090900000QQQQ ≤≤≤≤αααα≤≤≤≤⇔⇔⇔⇔∈∈∈∈αααα
• 2º. Quadrante (2º. Quadrante (2º. Quadrante (2º. Quadrante ( 2222QQQQ ): ): ): ): oooooooo2222 18018018018090909090QQQQ ≤≤≤≤αααα<<<<⇔⇔⇔⇔∈∈∈∈αααα
• 3º. Quadrante (3º. Quadrante (3º. Quadrante (3º. Quadrante ( 3333QQQQ ): ): ): ): oooooooo3333 270270270270180180180180QQQQ ≤≤≤≤αααα<<<<⇔⇔⇔⇔∈∈∈∈αααα
• 4º. Quadrante (4º. Quadrante (4º. Quadrante (4º. Quadrante ( 4444QQQQ ): ): ): ): oooooooo4444 360360360360270270270270QQQQ ≤≤≤≤αααα<<<<⇔⇔⇔⇔∈∈∈∈αααα
SSSSENO E COSSENO NO CICENO E COSSENO NO CICENO E COSSENO NO CICENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICOLO TRIGONOMÉTRICOLO TRIGONOMÉTRICOLO TRIGONOMÉTRICO
• sen sen sen sen α:α:α:α: corresponde à ordenada do ponto M: sen corresponde à ordenada do ponto M: sen corresponde à ordenada do ponto M: sen corresponde à ordenada do ponto M: sen α α α α = = = =
ODODODOD ( ∴ o eixo OY é o eixo dos ( ∴ o eixo OY é o eixo dos ( ∴ o eixo OY é o eixo dos ( ∴ o eixo OY é o eixo dos SENOSSENOSSENOSSENOS))))
• cos cos cos cos α:α:α:α: corresponde à abscissa do ponto M: sen corresponde à abscissa do ponto M: sen corresponde à abscissa do ponto M: sen corresponde à abscissa do ponto M: sen α α α α = OC = OC = OC = OC
( ∴ o eixo OX é o eixo dos ( ∴ o eixo OX é o eixo dos ( ∴ o eixo OX é o eixo dos ( ∴ o eixo OX é o eixo dos COSSENOSCOSSENOSCOSSENOSCOSSENOS))))
RRRRELAÇÕES ENTRE SEN E ELAÇÕES ENTRE SEN E ELAÇÕES ENTRE SEN E ELAÇÕES ENTRE SEN E COS NO COS NO COS NO COS NO 1111ºººº.... E E E E 2222ºººº.... QUADRANTES QUADRANTES QUADRANTES QUADRANTES
Sejam Sejam Sejam Sejam 1111QQQQ∈∈∈∈αααα e e e e (((( )))) 2222oooo QQQQ180180180180 ∈∈∈∈αααα−−−−====ββββ ::::
(1) (1) (1) (1) αααα====ββββ sensensensensensensensen
(2) (2) (2) (2) αααα−−−−====ββββ coscoscoscoscoscoscoscos
1111QQQQ∈∈∈∈αααα ααααsensensensen (((( )))) 2222oooo QQQQ180180180180 ∈∈∈∈αααα−−−−====ββββ αααα====ββββ sensensensensensensensen
0o 0 180º 0
30o 21 150º 2
1
45o 2
2 135º 2
2
60o 2
3 120º 2
3
0o 1 --- ---
1111QQQQ∈∈∈∈αααα ααααcoscoscoscos (((( )))) 2222oooo QQQQ180180180180 ∈∈∈∈αααα−−−−====ββββ αααα−−−−====ββββ coscoscoscoscoscoscoscos
0o 1 180º 1111−−−−
30o 2
3 150º 22223333−−−−
45o 2
2 135º 22222222−−−−
60o 21 120º 2222
1111−−−−
90o 0 --- ---
15
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
LLLLEI DOS COSSENOSEI DOS COSSENOSEI DOS COSSENOSEI DOS COSSENOS
Em Em Em Em ABCABCABCABC∆∆∆∆ , qualquer:, qualquer:, qualquer:, qualquer:
(1) (1) (1) (1) αααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−++++==== coscoscoscosccccbbbb2222ccccbbbbaaaa 222222222222
(2) (2) (2) (2) ββββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−++++==== coscoscoscosccccaaaa2222ccccaaaabbbb 222222222222
(3) (3) (3) (3) γγγγ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−++++==== coscoscoscosbbbbaaaa2222bbbbaaaacccc 222222222222
LLLLEI DOS SENOSEI DOS SENOSEI DOS SENOSEI DOS SENOS
Em Em Em Em ABCABCABCABC∆∆∆∆ , qualquer:, qualquer:, qualquer:, qualquer:
• R: medida do raio da circunferência circunscrita a R: medida do raio da circunferência circunscrita a R: medida do raio da circunferência circunscrita a R: medida do raio da circunferência circunscrita a ABCABCABCABC∆∆∆∆
RRRR2222sensensensen
ccccsensensensen
bbbbsensensensen
aaaa ====γγγγ
====ββββ
====αααα
16
APLICAÇÕES EM FÍSICA
(1)(1)(1)(1) AAAADIÇÃO DE VETORESDIÇÃO DE VETORESDIÇÃO DE VETORESDIÇÃO DE VETORES
θθθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++==== coscoscoscosFFFFFFFF2222FFFFFFFFRRRR 222211112222
22222222
11112222
R
F1
F2
θθθθαααα
A
B C
D
Ex
F1
F2
θθθθ
A
B C
D
dem.: dem.: dem.: dem.: 1. em ABCD, 1. em ABCD, 1. em ABCD, 1. em ABCD, BCBCBCBC,,,,CDCDCDCD||||||||ABABABAB transv transv transv transv θθθθ========∴∴∴∴ CCCCBBBBAAAAEEEECCCCDDDD (alt. int.); (alt. int.); (alt. int.); (alt. int.);
2. 2. 2. 2. DCEDCEDCEDCE,,,,BCDBCDBCDBCD ∠∠∠∠∠∠∠∠ adj adj adj adj ∴∴∴∴ supl supl supl supl θθθθ−−−−====αααα∴∴∴∴====θθθθ++++αααα====++++∴∴∴∴ coscoscoscoscoscoscoscos180180180180DCEDCEDCEDCEBCDBCDBCDBCD oooo ;;;;
3. em 3. em 3. em 3. em DBCDBCDBCDBC∆∆∆∆ : : : : αααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−++++==== coscoscoscosFFFFFFFF2222FFFFFFFFRRRR 222211112222
22222222
11112222 (L(L(L(LEI DOS COSSENOSEI DOS COSSENOSEI DOS COSSENOSEI DOS COSSENOS););););
4.4.4.4. concluiconcluiconcluiconclui----se, a partir de (3.): se, a partir de (3.): se, a partir de (3.): se, a partir de (3.): (((( )))) θθθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++====θθθθ−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−++++==== coscoscoscosFFFFFFFF2222FFFFFFFFcoscoscoscosFFFFFFFF2222FFFFFFFFRRRR 222211112222
22222222
1111222211112222
22222222
11112222 ....
(2)(2)(2)(2) EEEEQUILÍBRIO DE FORÇASQUILÍBRIO DE FORÇASQUILÍBRIO DE FORÇASQUILÍBRIO DE FORÇAS
m
P
g
θθθθ1111 θθθθ2222
T1
T2
A
P
T1
T2
A
θθθθ1111
θθθθ1111
θθθθ2222
θθθθ2222
γγγγββββ
αααα αααα
ββββ
γγγγ
A
B
C
P
T1
T2
• Se o sistema ilustrado permanece em equilíbrio estático Se o sistema ilustrado permanece em equilíbrio estático Se o sistema ilustrado permanece em equilíbrio estático Se o sistema ilustrado permanece em equilíbrio estático (((( 0000vvvvrr
==== ), então, de acordo com a ), então, de acordo com a ), então, de acordo com a ), então, de acordo com a
Lei da Inércia (1ª. lei de Newton), a força resultante aplicada sobre o sistema será nula Lei da Inércia (1ª. lei de Newton), a força resultante aplicada sobre o sistema será nula Lei da Inércia (1ª. lei de Newton), a força resultante aplicada sobre o sistema será nula Lei da Inércia (1ª. lei de Newton), a força resultante aplicada sobre o sistema será nula
(((( 0000RRRRrr
==== ););););
17171717
• sob estas condições, os vetores que representam as forças componentes (sob estas condições, os vetores que representam as forças componentes (sob estas condições, os vetores que representam as forças componentes (sob estas condições, os vetores que representam as forças componentes ( PPPPr
, , , , 1111TTTTr
e e e e 2222TTTTr
) ) ) )
devem formar um polígono fechado, no caso, um triângulo;devem formar um polígono fechado, no caso, um triângulo;devem formar um polígono fechado, no caso, um triângulo;devem formar um polígono fechado, no caso, um triângulo;
• no no no no ABCABCABCABC∆∆∆∆ , determinado por esses vetores, vale a seguinte relação (, determinado por esses vetores, vale a seguinte relação (, determinado por esses vetores, vale a seguinte relação (, determinado por esses vetores, vale a seguinte relação (LLLLEI DOS SENOSEI DOS SENOSEI DOS SENOSEI DOS SENOS):):):):
γγγγ====
ββββ====
αααα sensensensenTTTT
sensensensenTTTT
sensensensenPPPP 22221111 , onde, onde, onde, onde
θθθθ−−−−====γγγγ
θθθθ−−−−====ββββ
θθθθ++++θθθθ====αααα
1111oooo
2222oooo
22221111
9090909090909090
18181818
CINEMÁTICA
CINEMÁTICA
Descrição (matemática) dos movimentos.
gr. KINÉ, movimento
OBS.:
• lat. : latim
• gr. : grego
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
ESPAÇO
• 3 DIMENSÕES (TRIDIMENSIONAL)
TEMPO
• 1 DIMENSÂO (UNIDIMENSIONAL)
POSIÇÃO ( xr
, yr
, zr
, rr
)
• localização no espaço
INSTANTE DE TEMPO (t)
• localização no tempo
19191919
MOVIMENTO
Variação, no tempo, da posição ocupada por um corpo em relação a um ponto dado no espaço.
REPOUSO
Conservação, no tempo, da posição ocupada por um corpo em relação a um ponto dado no espaço.
REFERENCIAL
Ponto do espaço em relação ao qual é feita a descrição do movimento.
TRAJETÓRIA
Conjunto de pontos ocupados por um corpo durante seu movimento.
PARTÍCULA OU PONTO MATERIAL (P.M.)
Corpo cujas dimensões são desprezíveis em relação às demais dimensões do fenômeno estudado.
20202020
EIXO CARTESIANO
Os movimentos unidimensionais dos corpos podem ser matematicamente descritos mediante o
uso de uma construção geométrica especial, constituída pelos seguintes elementos:
• RETA (associada à DIREÇÃO do movimento);
• PONTO selecionado sobre a reta, denominado ORIGEM (associado ao REFERENCIAL adotado);
• um SEGMENTO contido na reta, tomado como UNIDADE (associada à UNIDADE FÍSICA adotada);
• uma pequena SETA, indicando a ORIENTAÇÃO POSITIVA do eixo (associada ao SENTIDO do
movimento).
0 1 2 3 4 5-1-2
Origem(Referencial)
Orientação(Sentido)
Unidade Direção(Reta)
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
UNIDADES FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA (SI)
Grandeza Unidade símbolo
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Massa quilograma kg
21212121
INTERVALO DE TEMPO
if ttt −−−−====∆∆∆∆ , onde: ft : instante final;
it : instante inicial.
UNIDADES DE INSTANTE E INTERVALO DE TEMPO
)SI(s1)t(u)t(u ====∆∆∆∆====
outras unidades: .etcdia1oumin1ouh1)t(u)t(u ====∆∆∆∆====
CONVERSÃO ENTRE UNIDADES DE INSTANTE DE TEMPO
dia25,365ano1 ====
h24dia1 ====
s3600min60h1 ========
s60min1 ====
DESLOCAMENTO
if xxxrrr
−−−−====∆∆∆∆ , onde: fxr
: posição final (posição do corpo sobre o eixo x no instante ft );
ixr
: posição inicial (posição do corpo sobre o eixo x no instante it ).
UNIDADES DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO
)SI(m1)x(u)x(u ====∆∆∆∆====rr
outras unidades: .etcpol1oumi1oumm1oucm1oukm1)x(u)x(u ====∆∆∆∆====rr
CONVERSÃO ENTRE UNIDADES DE POSIÇÃO
m10m1000km1 3========
m10m01,0cm1 2−−−−========
m10m001,0mm1 3−−−−======== etc.
m344,1609mi1 ====
m3048,0pé1 ====
m0254,0pol1 ==== etc.
22222222
MOVIMENTO PROGRESSIVO
Movimento realizado no sentido da
orientação do sistema de coordenadas
adotado.
MOVIMENTO RETRÓGRADO
Movimento realizado em sentido contrário
ao da orientação do sistema de
coordenadas adotado.
VELOCIDADE MÉDIA
tx
vm ∆∆∆∆∆∆∆∆====r
r
UNIDADES DE mvr
(((( ))))SIsm
1s1m1
)t(u)x(u
)v(u m ========∆∆∆∆∆∆∆∆====r
r
outras unidades: .etcminm
1ous
km1ou
hkm
1)v(u m ====r
CONVERSÃO DE UNIDADES: RELAÇÃO ENTRE sm
e h
km
• Dado que: s3600m1000
h1km1
hkm
1 ======== ,
• concluímos: sm
6,31
hkm
1 ==== ou hkm
6,3sm
1 ==== .
0
sentido do movimento
Orientação
0
sentido do movimento
Orientação
km
h
m
s
: 3,6
x 3,6
23232323
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
dtxd
tx
limv0t
rrr
====∆∆∆∆∆∆∆∆====
→→→→∆∆∆∆
UNIDADES DE vr
(((( ))))SIsm
1)v(u ====r
outras unidades:
.etcminm
1ous
km1ou
hkm
1)v(u ====r
VELOCIDADE NO M.R.U.:
tx
vvctev m ∆∆∆∆∆∆∆∆========⇒⇒⇒⇒====r
rrr
onde:
0ttt −−−−====∆∆∆∆
0xxxrrr
−−−−====∆∆∆∆
0t : instante inicial (início da observação do movimento)
t : instante final (instante qualquer do movimento)
0xr
: posição inicial (posição do móvel no instante 0t )
xr
: posição final (posição do móvel no instante t )
24242424
FUNÇÃO HORÁRIA DO M.R.U.
• Dado que, no M.R.U.: tx
v∆∆∆∆∆∆∆∆==== ,
• obtemos que tvx ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ ,
• isto é, )tt(vxx 00 −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− ;
• concluindo, tvxx 0 ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• ou seja, )tt(vxx 00 −−−−⋅⋅⋅⋅++++==== .
0
t0 t
î
x0
x
∆∆∆∆x
v
MOVIMENTO PROGRESSIVO
• 0xx >>>>
• portanto, 0x >>>>∆∆∆∆ ,
• no entanto, 0t >>>>∆∆∆∆ ,
• e considerando que, no M.R.U.,
tx
vv m ∆∆∆∆∆∆∆∆======== ,
• concluímos que 0v >>>> .
x > x 0∆∆∆∆x > 0
0 x0 x
v > 0
MOVIMENTO RETRÓGRADO
• 0xx <<<<
• portanto, 0x <<<<∆∆∆∆ ,
• no entanto, 0t >>>>∆∆∆∆ ,
• e considerando que, no M.R.U.,
tx
vv m ∆∆∆∆∆∆∆∆======== ,
• concluímos que 0v <<<< .
x < x 0∆∆∆∆x < 0
0 x0x
v < 0
25252525
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)
ACELERAÇÃO MÉDIA
tv
am ∆∆∆∆∆∆∆∆====r
r
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
dtvd
tv
lima0t
rrr
====∆∆∆∆∆∆∆∆====
→→→→∆∆∆∆
UNIDADE DE mar
E ar
)SI(s
m1
ssm
1)t(u)v(u
)a(u)a(u2m ========
∆∆∆∆∆∆∆∆========r
rr
outras unidades: .etcsh
km
1ouh
km1)a(u)a(u
2m ========rr
ACELERAÇÃO NO M.R.U.V.:
tv
aactea m ∆∆∆∆∆∆∆∆========⇒⇒⇒⇒====r
rrr
onde:
0ttt −−−−====∆∆∆∆
0vvvrrr
−−−−====∆∆∆∆
0t : instante inicial (início da observação do movimento)
t : instante final (instante qualquer do movimento)
0vr
: velocidade inicial (velocidade do móvel no instante 0t )
vr
: velocidade final (velocidade do móvel no instante t )
26262626
FUNÇÃO DA VELOCIDADE DO M.R.U.V.:
• Dado que, no M.R.U.V.: tv
a∆∆∆∆∆∆∆∆==== ,
• obtemos que tav ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ ,
• isto é, )tt(avv 00 −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− ;
• concluindo, tavv 0 ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• ou seja, )tt(avv 00 −−−−⋅⋅⋅⋅++++==== .
FUNÇÃO HORÁRIA DO M.R.U.V.:
• Dado que, no M.R.U.V.: )tt(avv 00 −−−−⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• aplicando o cálculo integral, podemos deduzir que: 200 )t(
2a
tvxx ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• isto é: (((( )))) 20000 tt
2a
)tt(vxx −−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++==== .
EQUAÇÃO DE TORRICELLI :
• Dado que, no M.R.U.V.: tavv 0 ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• e que, 200 )t(
2a
tvxx ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• obteremos, combinando as duas equações anteriores, que:
• xa2vv 20
2 ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==== .
27272727
VELOCIDADE MÉDIA NO M.R.U.V.:
• Dado que, no M.R.U.V.: tavv 0 ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• podemos concluir que: t
)vv(a 0
∆∆∆∆−−−−==== ;
• se substituirmos esse resultado na função horária, 200 )t(
2a
tvxx ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• obteremos, 2000 )t(
t)vv(
21
tvxx ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆−−−−++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++==== ,
• e, simplificando, que 2
vvtx 0 ++++====
∆∆∆∆∆∆∆∆
;
• recordando a definição da velocidade média, temos que tx
vm ∆∆∆∆∆∆∆∆==== ,
• e, concluindo que, no M.R.U.V., 2
vvv 0
m++++==== .
• Generalizando, dado um M.R.U.V. e dadas as velocidades instantâneas 1v , em 1t , e 2v em
12 tt >>>> , temos que a velocidade média, associada ao intervalo de tempo 12 ttt −−−−====∆∆∆∆ , será
dada por: 2
vvv 21
m++++====
28282828
MOVIMENTO ACELERADO
Movimento variado ( 0arr
≠≠≠≠ ) em que a
velocidade ( vr
) e a aceleração ( ar
) possuem
o mesmo sentido.
0v >>>> 0a >>>>
0v <<<< 0a <<<< MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO RETARDADO
Movimento variado ( 0arr
≠≠≠≠ ) em que a
velocidade ( vr
) e a aceleração ( ar
) possuem
sentidos opostos.
0v >>>> 0a <<<<
0v >>>> 0a <<<< MOVIMENTO RETARDADO
Combinando esta classificação com a do sentido da velocidade, obteremos os seguintes casos:
0v >>>> 0a >>>> MOVIMENTO PROGRESSIVO ACELERADO v > 0
a > 0
0v <<<< 0a <<<< MOVIMENTO RETRÓGRADO ACELERADO v < 0
a < 0
0v >>>> 0a <<<< MOVIMENTO PROGRESSIVO RETARDADO v > 0
a < 0
0v <<<< 0a >>>> MOVIMENTO RETRÓGRADO RETARDADO v < 0
a > 0
29292929
QUEDA LIVRE
LANÇAMENTO VERTICAL
QUEDA LIVRE NO VÁCUO
• O fenômeno da QUEDA LIVRE pode ocorrer somente no vácuo, pois tanto os gases quanto os
líquidos oferecem resistência ao movimento dos corpos.
• Na prática, a queda de um objeto na atmosfera terrestre pode ser considerada uma queda
livre, desde que o objeto não possua uma área muito grande e que não caia de grandes
alturas.
LEIS DE GALILEU
1.1.1.1. Todo corpo abandonado ( 0v0
rr==== ) no vácuo, nas proximidades da superfície terrestre,
realiza uma queda livre , isto é, move-se verticalmente para baixo em movimento
retilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.) .
2.2.2.2. Independentemente de sua massa , qualquer corpo em queda livre apresenta movimento
acelerado. A essa aceleração denomina-se aceleração da gravidade .
aceleração da gravidade: gr
• O módulo de gr
varia de um local para outro, e varia conforme a altitude; ele é tanto maior
quanto mais próximos estivermos do centro da Terra, e tanto menor quanto mais afastados
estivermos do centro da Terra.
• Admitiremos, por simplicidade, que a aceleração da gravidade, nas proximidades da
superfície terrestre, seja constante, a menos que se faça um aviso explícito em contrário.
Nas proximidades da superfície terrestre: ctesm81,9g 2 ≅≅≅≅≅≅≅≅
30303030
alturah
0
y = h
em t0: v0 = 0
em tq: v = v q
v
vq
y
plano de referência (solo)
a = g
• Por conveniência, orientaremos o eixo de coordenadas y na direção vertical e para baixo.
• Observamos que: cteigga ≅≅≅≅++++========rr
; trata-se, com boa aproximação, de um M.R.U.V..
• Devemos, portanto, considerar as equações válidas para o M.R.U.V., tendo apenas o
cuidado de representar a variável posição por yr
:
• )tt(avv 00 −−−−⋅⋅⋅⋅++++====rrr
;
• 20000 )tt(
2a
)tt(vyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++====r
rrr
;
• ya2vv 20
2 ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==== ;
• O corpo é abandonado: ou seja: 0v0
rr==== .
• Na ausência de maiores informações, 0t 0 ==== e 0y0
rr==== .
• Ao utilizarmos a equação de Torricelli para obter a velocidade instantânea v em uma
determinada posição, obteremos: yg2v ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±±±==== ;
• no entanto, considerando a orientação do eixo de coordenadas, temos que 0v >>>> em
qualquer instante do movimento; concluindo: yg2v ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==== .
• O instante em que o móvel toca o solo é denominado instante final de queda ( qt ); neste
instante, a posição do corpo é dada por ihy ++++====r
, e é atingida a máxima velocidade do
movimento (denominada velocidade final de queda , qvr
).
31313131
LANÇAMENTO VERTICAL NO VÁCUO
1. Lançamento vertical descendente
• O fenômeno do lançamento vertical descendente é análogo ao da queda livre, com a
exceção de que, neste caso, 0v0
rr≠≠≠≠ .
alturah
0
y = h em t q: v = v q
v
vq
y
plano de referência (solo)
a = g
v0
em t0: v0 = 0
2. Lançamento vertical ascendente
alturahmax
0
y = h max
em t0: v = v s
v
vs
y
plano de referência (solo)
0
y = 0
em t inv : v = 0
em tq: v = v q = - vs
- v
vq = - vs
y
ascendente descendente
a = g a = g
• Por conveniência, orientaremos o eixo de coordenadas na direção vertical e para cima.
• Consequência: movimento ascendente: 0v >>>> ; movimento descendente: 0v <<<< .
• Observamos que: ctejgga ≅≅≅≅−−−−========rr
; trata-se, com boa aproximação, de um M.R.U.V..
• O corpo é lançado: ou seja: 0vv s0 ≠≠≠≠====rr
.
32323232
• Na ausência de maiores informações, 0t0 ==== e 0y0
rr==== .
• Ao utilizarmos a equação de Torricelli para obter a velocidade instantânea vr
em uma
determinada posição, obteremos: yg2vv 20 ∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−±±±±==== ;
• no entanto, neste caso, ambas as soluções podem ser significativas:
• antes do instante de inversão, o movimento (ascendente) é progressivo ( 0v >>>> );
logo yg2vv:ttt 20inv0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++====<<<<≤≤≤≤
• após o instante de inversão, o movimento (descendente) é retrógrado ( 0v <<<< );
logo yg2vv:tt 20inv ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++−−−−====>>>>
• O instante final da ascensão coincide com o instante de inversão do movimento ( invt ),
e, portanto, pode ser obtido através da condição de inversão (se invtt ==== então 0)t(v inv
rr==== );
neste instante, o corpo atinge a posição máxima do movimento maxhy ==== .
• No instante final de queda ( qt ), a posição do corpo é dada por 0yrr
==== , e é atingida a
velocidade final de queda , qvr
.
33333333
LANÇAMENTOS HORIZONTAL E OBLÍQUO
LANÇAMENTO HORIZONTAL NO VÁCUO
em t 0: v y0 = 0
alturah
0
vq
y
plano de referência (solo)
vy
vy
vx = cte
vx = cte
vx = cte
vx = cte
alcancexmax
h
y = hem tq: v = v q
x = x max
parábola
a = g
• Num LANÇAMENTO HORIZONTAL o móvel descreve um trajetória parabólica . Trata-se de um
movimento bidimensional .
• Este movimento pode ser descrito como sendo a combinação de 2 movimentos
unidimensionais independentes, realizados em direções perpendiculares (direções x e y).
• Na direção vertical (y), o móvel realiza uma queda livre (M.U.V.) .
• Na direção horizontal (x), o móvel realiza um movimento uniforme (M.U.V) .
• No instante final de queda, qt , o móvel o tocará o solo na posição maxx (alcance do
lançamento ).
34343434
LANÇAMENTO OBLÍQUO NO VÁCUO
y = 0em t q: v = - v q
x = x max
em t0: v y0 = vs
0vq
y
plano de referência (solo)
vy
vy
vx = ctevx = cte
vx = cte
vx = cte
alcancexmax
vy
vx = ctevy
vx = cte
vs
vx = cte
hmax
hmax
em t inv : v y = 0
a = g
• Num LANÇAMENTO OBLÍQUO o móvel descreve um trajetória parabólica . Trata-se de um
movimento bidimensional .
• Este movimento pode ser descrito como sendo a combinação de 2 movimentos
unidimensionais independentes, realizados em direções perpendiculares (direções x e y).
• Na direção vertical (y), o móvel realiza um lançamento vertical ascendente (M.U.V.) .
• Na direção horizontal (x), o móvel realiza um movimento uniforme (M.U.V) .
• No instante final de queda, qt , o móvel o tocará o solo na posição maxx (alcance do
lançamento ).
35353535
DINÂMICA
DINÂMICA
Ramo da Mecânica que estuda as causas do movimento.
gr. DYNAMIS, força
CORPO
Porção limitada de matéria.
MASSA (m)
Medida da quantidade de matéria em um corpo.
UNIDADE DE MASSA
(((( )))) (((( ))))SIkg1mu ==== (quilograma)
outras unidades: (((( )))) .etckg1000ton1oumg1oug1mu ========
FORÇA
Agente capaz de alterar o estado cinético de um corpo.
FORÇA-RESULTANTE
Soma (combinação das ações) de todas as forças atuantes sobre um corpo.
n21
1i
ni FFFFR
r
L
rrrr
++++++++++++======== ∑∑∑∑====
36363636
LEIS DA MECÂNICA (LEIS DE NEWTON)
1ª. LEI DA INÉRCIA
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme, a
menos que seja obrigado a mudar seu estado por forç as a ele impressas.
0R
(M.R.U.) 0ctev
ou
(Repouso) 0vrr
rr
rr
====⇔⇔⇔⇔
≠≠≠≠====
====
2ª. LEI DA PROPORCIONALIDADE
A mudança de movimento é proporcional à força motor a imprimida, e é produzida na
direção de linha reta na qual aquela força é imprim ida.
amRrr
⋅⋅⋅⋅==== R
m1
a
3ª. LEI DA AÇÃO E REAÇÃO
A toda ação corresponde sempre uma reação oposta e de igual intensidade, ou, as ações
mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre i guais e dirigidas a partes opostas.
2,11,2 FFrr
−−−−====
12
F1,2
F2,1
37373737
Obs.:
• sobre a 1ª. Lei (Lei da Inércia): a massa de um corpo constitui medida de sua Inércia , ou
seja, da tendência que possuem os corpos em manterem-se em repouso ou em M.R.U..
• sobre a 2ª. Lei (Lei da Proporcionalidade):
• observamos que o vetor aceleração ar
apresentará sempre mesma direção e mesmo
sentido que o vetor força-resultante Rr
;
• a partir da 2ª. lei podemos definir a unidade de força:
UNIDADE DE FORÇA
• da 2ª. Lei da Mecânica: amRrr
⋅⋅⋅⋅==== ;
• logo, )SI(N1s
mkg1)a(u)m(u)R(u
2====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
rr
(1 newton)
• sobre a 3ª. Lei (Lei da Ação e Reação):
• observamos que as forças que compõem o par de forças Ação-Reação manifestam-se
sobre corpos distintos:
• 2,1Fr
: força aplicada PELO corpo 1 SOBRE o corpo 2
• 1,2Fr
: força aplicada PELO corpo 2 SOBRE o corpo 1
38383838
FORÇA PESO (Pr
)
O peso é a força de atração gravitacional sofrida por um corpo nos arredores de um planeta ou
de outro corpo de grande massa.
A força peso pode também ser definida mediante a aceleração ( gr
) que um corpo exerce sobre
outro, através da força gravitacional.
• Podemos deduzir, a partir da 2ª. Lei de Newton, aplicada à direção vertical, a equação do
peso:
• yy amRrr
⋅⋅⋅⋅==== ;
• nesse caso: PRy
vr
==== e gayrr
==== ;
• concluindo: gmPrv
⋅⋅⋅⋅====
• Admitiremos, por simplicidade, que a aceleração da gravidade, nas proximidades da
superfície terrestre seja constante, a menos que se faça um aviso explícito em contrário.
Nas proximidades da superfície terrestre: ctesm81,9g 2 ≅≅≅≅≅≅≅≅
Obs.:
• Observamos que a reação à força peso, P′′′′v
, encontra-se
aplicada sobre o centro do planeta.
• Observamos também as características fundamentais
da força peso:
• direção: vertical
• sentido: descendente
P
P'
g
m
39393939
FORÇA NORMAL (Nr
)
A força normal é a força exercida por uma superfície sobre a qual o corpo encontra-se apoiado.
N
N'
m
superfície de apoio
perpendicularidade
Obs.:
• Observamos que a reação à força normal, Nr
′′′′ , encontra-se aplicada pelo corpo sobre a
superfície de apoio.
• Observamos também a característica fundamental da força normal:
• direção: perpendicular à superfície de apoio
40404040
FORÇA DE ATRITO ( atFr
)
A força de atrito é a força exercida por uma superfície sobre a qual o corpo encontra-se em
movimento (atrito cinético ou dinâmico) ou apresenta tendência ao movimento (atrito estático).
m
superfície de apoio
Fat
F'at
coeficiente de atrito: µ µ µ µ
N
irregularidades
vx
Obs.:
• Observamos que a reação à força de atrito, atF′′′′r
, encontra-se aplicada pelo corpo sobre a
superfície de apoio.
• Observamos também as características fundamentais da força de atrito:
• direção: paralela à superfície de apoio
• sentido: contrário ao sentido do movimento
O módulo da força de atrito é dado por:
NFat ⋅⋅⋅⋅µµµµ====
onde:
• µµµµ : coeficiente de atrito dinâmico (ou cinético) - especifica a natureza das superfícies em contato;
• N : módulo da força normal - especifica a intensidade do contato entre as superfícies.
UNIDADE DE µµµµ
• se NFat ⋅⋅⋅⋅µµµµ==== , então N
Fat====µµµµ ;
• portanto, )N(u)F(u
)(u at====µµµµ ,
• e, no (SI): N1N1
)(u ====µµµµ ;
• logo, )SI(1)(u ====µµµµ ,
• ou seja, µµµµ é uma GRANDEZA FÍSICA ADIMENSIONAL , isto é, não está associada a nenhuma unidade
física (é especificada, portanto, através de um número “puro”).
41414141
FORÇA DE TRAÇÃO ( Tr
)
A força de tração é força transmitida através de fios ou cabos.
Fm1
ax
xm2
m fA B
TAm1 AF
ax
xBA
T'A m f TBm2B
T'B
• Aplicando a 2ª. Lei de Newton para um fio de massa fm , conectado aos corpos de massa
1m e 2m nos pontos A e B, respectivamente:
• xfx amRrr
⋅⋅⋅⋅==== ;
• neste caso: ABx TTRrrr
′′′′++++==== ,
• ou seja, xfAB amTTrrr
⋅⋅⋅⋅====′′′′++++ ,
• isto é, AxfB TamTrrr
′′′′−−−−⋅⋅⋅⋅==== .
• Considerando agora que AA TTrr
−−−−====′′′′ (par Ação-Reação),
• concluímos, AxfB TamTrrr
++++⋅⋅⋅⋅====
• Na prática, a massa do fio fm é muito menor que as massas dos outros corpos (neste caso,
1f mm <<<<<<<< e 2f mm <<<<<<<< ); ou seja, o termo xf amr
⋅⋅⋅⋅ pode ser desprezado, e podemos afirmar
que, em situações reais, AB TTrr
≅≅≅≅ .
Denominamos fio ideal a todo fio ou cabo cuja massa é desprezível quando comparada com os
outros corpos do sistema, e cuja única função é a transmissão das forças aplicadas sobre ele.