2aAb =

haAl ..4=

AbAlAt .2+=

HAbV .=

APOSTILA DE GEOMETRIA ESPACIAL PROF. GUILHERME MARIN

Geometria espacial a parte da matemtica que estuda os slidos.

PRISMAS

1) Prisma Quadrangular Regular: os polgonos das bases so quadrados, e os polgonos das faces laterais so retngulos iguais.

432aAb =

HaAl ..3=

AlAbAt += .2

HAbV .=

2) Prisma Tringular Regular: os polgonos das bases so tringulos, e os polgonos das faces laterais so retngulos.

43.6 2aAb =

HaAl ..6=

AlAbAt += .2

HAbV .=

3) Prisma Hexagonal Regular: Os polgonos das bases so hexgonos regulares de lado a e os polgonos das faces laterais so retngulos de lados a e H.

Ex(s): 1) Calcule a rea lateral, a rea total e o volume de um prisma quadrangular regular cuja aresta da base mede 7cm e altura 10cm. 2) Determine o volume de um prisma quadrangular regular cuja diagonal da base mede 26 cm e a rea lateral o dobro da rea da base. 3) Calcule a rea total de um prisma quadrangular regular, de altura 8cm, cuja a base est inscrita num circulo de comprimento 4 cm.

2.rAb =

HrAl ..2=

AlAbAt += .2

HAbV .=

CILINDRO DE REVOLUO

Chama-se cilindro de revoluo o slido obtido girando um retngulo em torno do eixo de um de seus lados.

Ex(s): 1) Determine o permetro da base, a rea da base, a rea lateral, a rea total e o volume de um cilindro de revoluo cujo raio da base mede 6cm e a geratriz 10cm. 2) O volume de um cilindro de revoluo 567 cm3 e a sua geratriz mede 7cm. Calcule a rea total do cilindro. 3) A rea lateral de um cilindro circular reto 150 cm2. Se a medida da altura o triplo da medida do raio da base, calcule o seu volume. 4) O permetro da base de um cilindro circular reto 12 cm. Sabendo que a geratriz do cilindro mede 9cm, calcule a rea de sua seco meridiana.

CONE DE REVOLUO

Chama-se cone de revoluo o slido obtido girando um tringulo retngulo em torno do eixo de um dos lados que compe o ngulo reto.

2.rAb =

grAl ..=

AlAbAt +=

3.HAbV =

222 Hrg +=

Ex(s): 1) Determine a rea lateral, rea total e o volume de um cone circular reto cujo o raio da base mede 3cm e a altura 4cm. 2) Num cone de revoluo a rea da base 36 cm2 e a rea total 96 cm2. Calcule o volume do cone. 3) O permetro da base de um cone circular reto 10 cm e a rea lateral 65 cm2. Calcule o volume do cone. 4) Calcule a rea da seco meridiana de um cone circular reto de raio da base 8cm, sabendo que a geratriz mede 12cm.

436 2

=Ab

haAl ..6=

AlAbAt +=

3.HAbV =

222 Ha +=

2

2

2

23 Hah +

=

PIRMIDES

1) Pirmide Hexagonal Regular: o slido em que a base um hexgono regular e as faces laterais so tringulos iguais.

432

=Ab

433 2

=Al

AlAbAt +=

3.HAbV =

2

2

2

63 Hah +

=

2

2

2

33 Haa +

=

2) Tetraedro Regular: e a pirmide em que todas as quatro faces so tringulos eqilteros iguais.

432

=Ab

2..3 haAl =

AlAbAt +=

3.HAbV =

3) Pirmide Triangular Regular: o slido em que a base um tringulo equiltero e as faces laterais so tringulos iguais.

2

2

2

63 Hah +

=2

2

2

33 Ha +

=

2aAb =

2..4 haAl =

AlAbAt +=

3.HAbV =

22

2

2Hah +

= 2

2

2

22 Ha +

=

4) Pirmide Quadrangular Regular: o slido em que a base um quadrado regular e as faces laterais so tringulos iguais.

Ex(s): 1) Calcule a rea lateral, rea total e o volume de uma pirmide hexagonal regular cuja aresta da base mede 8cm e a altura 4cm. 2) A rea da base de um tetraedro regular 39 cm2, calcule seu volume. 3) Uma pirmide quadrangular regular tem aresta da base igual a 12cm e altura 4cm. A que distncia do vrtice se deve passar um plano paralelo base de modo que a rea da seco formada seja 81cm2? 4) Uma seco feita a 3cm do vrtice de uma pirmide quadrangular regular tem rea igual a 1/3 da rea da base. Calcule a altura da pirmide. 5) Uma pirmide quadrangular regular de altura 6 e rea da base 27 interceptada por um plano paralelo base cuja a distncia ao vrtice 2. Determine o volume do tronco da pirmide assim determinado.

baAb .=

cbcaAl ..2..2 +=

AlAbAt += .2

cbaV ..=

222 bad +=

222 cdD +=

PARALELEPPEDO RETNGULO

o slido em que todas as faces so retngulos:

Ex(s): 1) Calcule a rea lateral, rea total, o volume e a diagonal de um paraleleppedo retngulo de dimenses 5cm, 4cm e 3cm. 2) A diagonal de um paraleleppedo retngulo mede 77 cm. Os lados da base medem 4cm e 6cm. Calcule a rea lateral do paraleleppedo. 3) As medidas das trs dimenses de um paraleleppedo retngulo so proporcionais aos nmeros 4, 5 e 8 e a soma destas medidas 68cm. Calcule o volume do paraleleppedo.

2aAb =

24aAl =

AlAbAt += 2

3aV =

2ad =

222 adD +=

CUBO

o slido em que todas as faces so quadrados.

Ex(s) 1) A rea lateral de um cubo 36cm2. Calcule sua rea total. 2) O volume de um cubo 125cm3. Calcule a diagonal de uma face do cubo. 3) A soma de todas as arestas de um cubo 72cm. Calcule a diagonal de uma face do cubo.

RDIAM 2=

24 RA =

34 3RV =

2RACM =

ESFERA

Esfera o slido que se obtm girando-se um semicrculo em torno do seu dimetro.

Ex(s): 1) Calcule a rea, o volume e a rea do crculo mximo de uma esfera de 4cm de raio. 2) O volume de uma esfera 288 cm3. Calcule a rea da superfcie da esfera. 3) A rea da superfcie de uma esfera 16 cm2. Calcule seu volume. 4) Um plano intercepta uma esfera a 6cm do centro, determinando uma seco de 8cm de raio. Calcule o volume da esfera. 5) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cubo de rea total 96cm2. 6) Calcule a rea total de um cubo inscrito numa esfera de raio 36 cm.