apostila calc numerico 2008

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE MATEMÁTICA

CÁLCULO NUMÉRICO Notas de Aula – Aplicações – Exercícios

Eliete Biasotto Hauser

Índice

1 Sistema de Ponto Flutuante Normalizado – Teoria dos Erros....................4 2 Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes.............................. 9 3 Sistemas de Equações Lineares................................................................ 25 4 Interpolação Polinomial............................................................................ 36 5 Ajuste de Funções..................................................................................... 46 6 Integração Numérica.................................................................................60 5 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias..................... 65 8 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Parciais.......................... 72 9 Bibliografia ..............................................................................................85 Formulário................................................................................................... 86 Laboratórios utilizando Sistema Maple....................................................... 90

1 –Teoria dos Erros - Sistema de Ponto Flutuante

Um número y na base 2≥β , y = LL 2b1b,0a1a2a3a1nana − pode ser descrito

na forma

y = LL +−+−++++++−−+ 2

2b11b0a1a2

2a33a1n

1nanna βββββββ .

Por exemplo, 2106110271012105310326,3517 −×+−×++×+×+×= Em aritmética de ponto flutuante normalizado de t dígitos, y tem a forma:

y = etd2d1d,0 β

β×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ L

i) td2d1d,0 L é a mantissa (uma fração na base β),

ii) 01d,1jd0 ≠−≤≤ β , j=1,2,...,t iii) “e” é um expoente inteiro que varia no intervalo [m,M]. M e m dependem da máquina utilizada. Em geral, m = -M∈Z. iv) t define a precisão da máquina, é o número de dígitos da mantissa. Obs: precisão ≠ exatidão(depende da precisão da máquina e do algorítmo utilizado) A união de todos os números de ponto flutuante normalizados com o zero:

m

vezest0000.00 β×= 43421 L

é chamado Sistema de Ponto Flutuante Normalizado e representado por F(β, t, m, M). Alguns exemplos de máquinas com precisão simples: a) HP 48 : F(10, 12, -498, 500) b) IBM 3090 : F(16, 6, -64, 63) c) Cray1 : F(2, 48, -8192, 8191) d) Burroughs B6700: F(8, 13, -63, 64)

Em F valem as propriedades:

1) 0,1 x mβ é o menor número em módulo, não nulo, de F.

2) 0, 444 3444 21

vezest)1)...(1)(1( −−− βββ x Mβ é o maior número, em módulo, não nulo, de F.

3) # F = 1)1(1)1(2 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−− mMtββ é o cardinal de F

4) Para qualquer mantissa, vale 1mantissa1 <≤−β . 5) Se Fy∈ , então Fy∈− . 6) F1eF0 ∈∈ .

Se o expoente da base não pertencer a [m,M], y não pode ser representado em F.

São os casos de erro de: - underflow, se e < m (ultrapassa a capacidade mínima)

- overflow, se e > M (ultrapassa a capacidade máxima)

4

E.B.Hauser – Cálculo Numérico

Se a representação do real y em F não é exata, é necessário utilizar um

arredondamento. Os tipos de arredondamento mais conhecidos são: - Arredondamento para número mais próximo de máquina (Oy). - Arredondamento por falta, ou truncamento (∇ y). - Arredondamento por excesso (∆ y) Em F, geralmente, as operações de adição e multiplicação não são comutativas,

associativas e nem distributivas, pois numa série de operações aritméticas, o arredondamento é feito após cada operação. Ou seja, nem sempre as operações aritméticas válidas para os números reais são válidas em F. Isto influi na solução obtida através de um método numérico. Assim, métodos numéricos matematicamente equivalentes, podem fornecer resultados diferentes.

Medidas de Exatidão

Quando se aproxima um número real x por x*, o erro que resulta é x-x*. Define-se:

erro absoluto: EA = *xx − e o erro relativo: ER = xxx *− para 0x ≠ .

A fim de ver o tipo de situação que pode ocorrer um erro relativo de grande magnitude, vamos considerar a diferença entre os números a seguir, por exemplo:

x = 0,3721478693 y = 0,3720230572

yx − = 0,0001248121=0,1248121 x 10-3 Se os cálculos forem feitos em F(10, 5, -499, 499) com arredondamento Ox:

x*= 0,37215, y*= 0,37202 e x*-y*= 0,00013 = 0,13000 x 10-3 Assim, o erro relativo entre os dois resultados é grande:

%4 3-10 x 0,1248121

3-10 x 13000,03-10 x 0,1248121yx

-y*)*x(yx≈

−=

−−−

Na resolução de um problema o valor exato da solução x pode ser desconhecido. Podemos usar duas aproximações sucessivas de x, definindo:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+++−=+1

1log3,0)1,(kx

kxkxkxkxDIGSE µ

o qual expressa o número de dígitos significativos exatos de kx em relação a 1kx + . Aqui

µ representa a unidade de arredondamento da máquina (µ = t121 −β se o arredondamen-

to for Ox ).

5

1 - Teoria dos Erros

Algoritmos Numéricos

O Cálculo Numérico tem por objetivo estudar e aplicar algoritmos numéricos para a solução de problemas, visando o menor "custo" e confiabilidade do resultado (observar tempo de execução, número de operações aritméticas, quantidade de memória, propagação do erro, etc). Um bom algoritmo numérico deve se caracterizado por: a) Independência da máquina :a execução do programa pode ser realizada em diferentes

máquinas. b) Inexistência de Erro Aritmético: problemas de overflow e underflow devem ser detecta-

dos a priori c) Inexistência de Erro Lógico: previsão de tudo o que poderá ocorrer durante o processo

(divisão por zero, por exemplo) d) Quantidade finita de cálculos. e) Existência de um critério de exatidão. f) O erro deve convergir para zero com precisão infinita. g) Eficiência: produz a resposta correta com economia

Passos para a resolução de um problema: tipos de erros

A resolução de problemas reais envolve diversas etapas:

Estudaremos algoritmos numéricos a fim de obter uma solução numérica do problema, a qual, geralmente, difere da solução exata. Possíveis fontes de erro que geram essa diferença são: a) Simplificação do modelo matemático ( algumas variáveis envolvidas são desprezadas); b) Erro nos dados de entrada ( com frequência provindos de dados experimentais); c) Truncamento (por exemplo, substituição de um processo infinito por um finito e

linearizações); d) Erro de arredondamento em aritmética de ponto flutuante. Curiosidades: Some disasters caused by numerical errors. http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html Aplicação O volume de uma esfera de raio r pode ser obtido de

3

3r4V

π= .

Estimar o volume do hemisfério de raio “e” representado graficamente ao lado. Utilizar arredondamento para número mais próximo de máquina (0x) em F( 10 , 4 , -98 , 98).

Problema Real

Modelagem Matemática Solução

6


Exercícios 1) No sistema MapleV estimar 3.8e− utilizando

∑∞

=

−=−

0i !i

i)x(xe e

∑∞

=

==−

0i!i

ix

1xe

1xe

com 26 termos cada e comparar com 3.8e− ≈0.2485168271x10-3. 2) Em F(10 , 3 , -98 , 98) e arredondamento por truncamento estimar p(2.73) se:

a) 55.0x62x53x)x(p ++−= b) 55.0x)6x)5x(()x(p ++−=

Em ambos os casos estimar o erro absoluto ao comparar com p(2.73) ≈0.11917x10-1. Obs: Estimar p(x) pelo algoritmo usual

012

23

3...11)( axaxaxanxnanxnaxp +++++−−+=

exige n adições e (n2+n)/2 multiplicações enquanto que o algoritmo de Horner

{ 0)1)2...)2)11

(((...()( axaxaxnaxnaxnan

xp +++−+−+−

=

requer n adições e n multiplicações. 3) Sejam A, B, C e D matrizes genéricas de ordem 10x20, 20x50, 50x1 e 1x100 respectivamente. Utilizando a propriedade associativa, pode-se determinar o produto matricial AxBxCxD de diversas formas. Qual das duas abaixo é mais eficiente? Porque?

a) Ax(Bx(CxD)) b) (Ax(BxC))xD

4) Representar o número real x na base 2 usando 8 algarismos significativos? Essa representação é exata? a) x=0.6 b) x=13.25 c) x= 2.47

5) Determinar o cardinal , regiões de underflow e overflow e todos elementos reais de: a) F(2,3,-1,2) b) F(3,2,-1,2) c) F(2,2,-2,2) 6) Representar, se possível, os números abaixo em utilizando arredondamento por truncamento( x∇ )e arredondamento para número mais próximo de máquina (Ox) em F(10,5,-2,2).

a) 3 b) 3

200 c) 3

2000 d) e e)3000

1 f) 2

7) Considerando: ∑=

=10

12

1

ii

A

a) Calcular o valor de A utilizando precisão infinita.. b) Utilizando arredondamento por truncamento ( x∇ ) em F(10,3,-98,98), estimar o valor de A somando da direita para esquerda e após somando da esquerda para a direita. Comparar os resultados.

7

1 - Teoria dos Erros

Respostas: 1) exp(-8.3); .0002485168271 > f1:=sum(((-x)^i)/i!, i=0..25): > f1a:=unapply(f1,x): > f1a(8.3); -.001241405905 Obs: Causas desse erro: subtração de grandezas muito próximas e adição de grandezas de diferentes ordens. > > f2:=1/(sum(((x)^i)/i!, i=0..25)): > f2a:=unapply(f2,x): > f2a(8.3); .0002485170000 2) a)p(2.73)= -0.05 ,erro absoluto = 0.061917 b)p(2.73)=0.032 ,erro absoluto = 0.020083 3) (Ax(BxC))xD é mais eficiente pois exige 2200 multiplicações enquanto que para calcular o produto Ax(Bx(CxD)) são necessárias 125000 multiplicações . OBS: Se M é de ordem pxq e N de ordem qxr, então MxN, de ordem pxr, é obtida efetuando pqr operações de multiplicações de elementos de M e N. 4-a) ( , ) ( , )0 6 10 0 10011001 2≈ b) 210 )01,1101()25,13( ≈ c) ( . ) ( , )2 47 10 10 011110 2≈

5)-a) 0, 1/4, 1/2, 1, 2, 5/16, 5/8, 5/4, 5/2, 3/8, 3/4, 3/2, 3, 7/16, 7/8, 7/4, 7/2 e simétricos. # F = 33 Região de oferflow: ( , / ) ( / , )−∞ − ∪ +∞7 2 7 2

Região de underflow: (-1/4,1/4) - {0}

b) 0, 1/9, 1/3, 1,3, 4/27, 4/9,4/3, 4, 5/27, 5/9, 5/3, 5, 2/9, 2/3, 2, 6, 7/27, 7/9, 7/3, 7, 8/27, 8/9, 8/3, 8 e seus simétricos. # F = 49 Região de oferflow: ( , ) (8, )−∞ − ∪ +∞8

Região de underflow: (-1/9,1/9) - {0} c) 0, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 3/16, 5/16, 3/4, 3/2, 3, e seus simétricos. # F = 21

Região de oferflow: ( , ) ( , )−∞ ∪ +∞3 3 Região de underflow: (-1/8,1/8) - {0}

6-a) 0,17320*101 e 0,17321 *101 b) 0,66666*102 e 0,66667*102 c) overflow (0,66666*103 ∉ e 0,66667*103 ∉ F) d) 0.27182*101 e 0.27183*102 e) underflow (0.33333*10 –3 ∉ F) f) 0,14142*101 e 0,14142 *101

7-a) 0,9990234375 b) 0,999 e 0,998

8

2. Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes

Objetivo: Resolver equações de forma ( ) 0=xf , isto é, determinar os valores de x para os quais a igualdade ( ) 0=xf é satisfeita. Se a função ( )xf só contém operações algébricas repetidas um número finito de vezes, a equação é dita algébrica.

Ex.: polinômios, 0xx1 ,01xx 53

2 =−=−−

Equações Transcendentes são aquelas em que a variável independente x está submetida a uma operação não algébrica um número finito de vezes. Ex.: 0esenx ,0tgxxln ,01xe x2x =−=+=++ 2.1- Equações Polinomiais Revisão sobre polinômio: Seja ( ) 01

22

11 axaxaxaxaxp n

nn

n +++++= −− K um polinômio de grau n, onde os

coeficientes , são números reais e 0≠na . Temos que:

1) ( )xp possui n raízes, contadas as multiplicidades. 2) Se nxxx ,,, 21 K forem raízes reais de ( )xp , então ( )xp pode ser fatorado na forma: ( ) ( )( ) ( )n21n xxxxxxaxp −−−= K .

Ex1: ( ) 2xx2xxp 23 −−+= , tem raízes: 2 ,1 ,1 321 −=−== xxx . Logo, ( ) ( )( )( )2x1x1xxp ++−=

3) Se bia + é raiz de ( )xp então biaz −= também o é. Ex.: ( ) 10x6xxp 2 +−= tem raízes i±3 .

9


4) Se bia + é raiz de ( )xp de grau 2≥n , então ( )xp pode ser fatorado:

( ) ( ) ( )xqbaax2xxp 222 ⋅++−= onde o grau de ( )xq é 2−n .

Ex.: a) ( ) 2x2xx2xxp 234 −++−= tem raízes i±± 1 ,1 .

( ) ( ) ( )1x2x2xxp 22 −⋅+−= Ex.: b) ( ) 10167 23 −+−= xxxxp tem raízes i±3 ,1 .

( ) ( ) ( )1x10x6xxp 2 −⋅+−=

5)Se ( )xp é de grau ímpar, então ( )xp possui ao menos uma raiz real. 6) Uma raiz 0x de ( )xp tem multiplicidade m se ( ) ( ) ( ) ( ) 00

10

"0

'0 ===== − xpxpxpxp mK

e ( ) 00 ≠xpm Ex.:1) 20 =x é raiz de multiplicidade 2 ( ) 8x6x2xp 23 +−= 2) 20 =x é raiz de multiplicidade 3 de ( ) 8465 234 −++−= xxxxxp

10

2 - Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes

7) Valor numérico de um polinômio: para calcular, de forma usual, ( )ixp são necessárias n

adições e ( )2

1+nn multiplicações.

O Método de Horner faz esse cálculo com n adições e n multiplicações: ( ) 0121

parênteses 1

)))(((( axaxaxaxaxp nn

n

+++++= −

−

K321KK

Ex.: ( ) 4x)3x)1x)2x)4x3((((4x3xx2x4x3xp 2345 +−−+=−+−−+= 8) Se ( )xp é de grau n , então existe único polinômio de grau ( )xqn ,1− , tal que ( ) ( ) ( ) ( )αα pxqxxp +⋅−= . Se α é raiz de ( )xp então ( ) 0=αp . É o algoritmo de Briot-Ruffini utilizado para Deflacionar Raízes.

Ex. ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 1483pe14846x10x3x3

22pe26x5x2x2

01pe10x6x1x1

10x16x7xxp

23

22

21

23

−=−−+−+⇒−=

=++−−⇒=

=+−−⇒=

−+−=

α

α

α

2.1.1-Enumeração das Raízes Enumerar as raízes de ( )xp é dizer quantas são as raízes e se positivas, negativas ou complexas. Regra de Descartes ou Regras de Sinais “O número de raízes reais positivas de ( )xp é igual ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes ou menor do que este por um número inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade “m” contada como “m” raízes e não sendo considerados os coeficientes nulos”. O número de raízes reais negativas é obtido aplicando a regra de Descartes a ( )xp − Regra de Huat Se ( ) 00p ≠ e para algum k, 11

2+− ×≤ kkk aaa então ( )xp possui raízes complexas.

Regra da Lacuna Se ( ) 00 ≠p e para algum K, 0 e 0 11 >×= +− kkk aaa , então ( )xp tem raízes complexas.

11


Ex.: ( ) 153 345 −−−+= xxxxxp

• ( )xp pode ter: 1 raiz real positiva, 2 raízes negativas e 2 complexas; ou

• 1 raiz real positiva, nenhuma negativa, e 4 complexas.

2.1.2-Localização das raízes de p(x) Localizar as raízes de ( )xp é determinar a região do plano que contém todas as raízes. Cota de Cauchy: Toda raiz α (real ou complexa) de ( )xp satisfaz βα ≤ . Onde 0,lim 0 ==

∞→xxkk

β e

n

kn

nk

n

nnk

n

nk a

ax

aa

xa

ax

aa

x 0122111 ++++= −−−−+ K

Ex.: ( ) 13136,068,137,33 234 −+−+−= xxxxxp

41

231 )3136,068,137,33( +++=+ kkkk xxxx

00 =x e

4

9575796715,340048339019,39552764745,336165556530,2

59519059204,361069395791,209469665820,364735839615,1

69397307712,3557483314773,0

195

184

173

162

151

≤∴

==========

αMM

xxxxxxxx

xx

12


2.2- Separação de Raízes Reais de f(x)=0

a) Métodos Gráficos: Utiliza-se um dos seguintes processos: i) esboçar gráfico da função ( )xf e localizar as abcissas dos pontos onde a curva

intercepta o eixo dos x. ii) de ( ) 0=xf obter uma equação equivalente ( ) ( )xfxf 21 = . Localizar no mesmo eixo

cartesiano os pontos r onde as duas curvas se interceptem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 002121 =⇒=−⇒= rfrfrfrfrf

b) Método Analítico: Seja ( )xf continua no intervalo [ ]ba, . Se ( ) ( ) 0<⋅ bfaf , então

existe pelo menos uma raiz de f em ( )b,a . (Se o sinal de 'f é constante em ( )b,a a raiz é única nesse intervalo).

Ex.: ( ) 393 +−= xxxp a) Análise gráfica:

Logo, existem três raízes reais: ( ) ( ) ( )3,23r,1,02r3,41r ∈∈−−∈ b) analiticamente:

Obs: Devemos dar uma atenção especial para os casos de: Raízes muito próximas. para raízes de multiplicidade par não ocorre troca

de sinal.

( ) 373923,753113923,13325323101334

−−−−−−−−

xpx

13


Ex1: ( ) 3136,068,137,33 234 +−+−= xxxxxp

8,0 e 7,0 21 ≅= rr são raízes de multiplicidade 2.

2.3- Métodos para Resolução de equações algébricas e transcendentes

Qualquer método deve observar um critério de parada, ao qual está associado um estimador de exatidão. Por exemplo, para onde LC ,,, 21 εε são dados: • C)x,x(DIGSE 1kk ≥+ • ( ) 1kxf ε≤

• 21

1 ε≤−

+

+

k

kk

xxx

• Lk > (número máximo de iterações)

2.3.1-Método da Bisseção ou Dicotomia (Algoritmo de quebra) Seja [ ] ℜ→baf ,: continua e tal que ( ) ( ) 0<⋅ bfaf .

1) Calcula-se o ponto médio 2

baxm+

= , dividindo-se [ ]ba, em dois novos intervalos :

[ ]mxa, , [ ]bxm , 2) Se ( ) 0≠mxf e:

i) ( ) ( ) 0<⋅ mxfaf então a raiz está em ( )mx,a . Volta-se para (1) ii) ( ) ( ) 0<⋅ bfxf m então a raiz está em ( )b,mx . Volta-se para (1)

3) Repete-se o processo até obter uma aproximação “razoável” da raiz, isto é, até que um critério de parada seja satisfeito.

Características: É simples a convergência lenta mas garantida. A velocidade de

convergência é DIGSE⋅3,0 /passo, isto é, a cada 3 ou 4 passos ganha-se um DIGSE . Ex: ( ) 11205,72 234 −−−+= xxxxxp a) Enumeração das raízes de ( )xp

42114031

total⊂ℜℜ −+

Regras de Huat e Lacuna

não aplicam

14


1r 2r 3r 4r

b) Cota de Cauchy: 0,11205,72 0

4 231 =+++=+ xxxx kkkk

46483007996,446481382609,481469532045,496478405782,467425618494,316472953921,460308011161,3

48211602868,1

17

164

153

142

1

=======

=

xxxxxxx

x

M

M

c) Separação de raízes

( ) 5,57617335495,3511515,8775,27654321012345

−−−−−−−−−−

xpx

d) Cálculo da raiz ( )4,34r ∈ utilizando o método da bissecção.

( )( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )( )

M002874148,00352783203,31320354003906,3;03515625,320152911151,020354003906,31250356445312,3;03515625,30401045242,050356445312,311

0361328125,3;03515625,30897548754,00361328125,310037109375,3;03515625,31891500395,0037109375,390390625,3;03515625,30095143543,003515625,38

039625,3;03125,33883184832,00390625,37046875,3;03125,31900454168,1046875,36

0625,3;03125,3405335188,003125,350625,3;3871886353,20625,34125,3;3660400391,9125,3325,3;300390625,2525,32

35;39375,625,31kIkxfkxk

−

−

Obtemos 0354039062,312x4r =≈ com ( ) 096,413x,12xDIGSE ≅

2.3.2-Método da Iteração Linear Consiste em escrever a equação ( ) 0=xf na forma ( )xGx = . Os pontos x* que satisfazem a condição ( )** xGx = são ditos pontos fixos de ( )xG e geometricamente representam os pontos de intersecção da reta xy = com a curva ( )xGy = .

( )xG é dita função de iteração do método. Inicia-se a iteração com um valor 0x próximo da raiz, e as outras aproximações são dadas por:

( ) K,2,1,0,1 ==+ ixGx ii

15


A seqüência de aproximação ix , converge para a solução x* da equação ( ) 0=xf sob certas condições . A construção de G não é única. A escolha de uma G apropriada é dita “problema do ponto fixo. Ex. 062 =−+ xx .

( ) 16,1

6,6),6)6) 54322

1 −=+

=−−=−=−=x

Gx

GxGcxGbxxGa

Embora não seja preciso usar métodos numéricos para encontrar as duas raízes reais

2,3 21 =−= αα e da presente equação, nota-se que: i) Tomando 1G e 5,10 =x , a seqüência }{ ix não converge para 2.

( )ii xGx 11 =+

( )( )( )( )( )

M

8342,1207882246095276,3475

00390625,59)0625,8(6

0625,8)75,3(6

75,3)5,1(6

415

314

2213

2112

2011

−==−==

−=−−==

−=−==

=−==

xGxxGxxGx

xGx

xGx

ii) Tomando 2G e 5,10 =x , a seqüência }{ ix converge para 2.

( )( )( )( )( )( )( )

M

10000298018,2x69998807918,1x50004768183,2x39980924992,1x40076263645,2x

9694363804,1x61213203435,25,16x

627

526

425

324

223

122

021

============

=−==

xGxGxGxGxGxGxG

Teorema da Convergência: Seja α uma raiz isolada de f em [ ]ba, . Se

i) G e G’são contínuas em [ ]ba, ; ii) ( )b,ax,1)x('G ∈∀⟨ ; iii) ( ) ,...2,1,0k,b,a)kx(G1kxe0x =∈=+∈Ι , então a seqüência { kx }, gerada por

)(1 kxGkx =+ ,converge para α.

16


Ex: Utilizando o método da iteração linear calcule a raiz de ( ) 3xexf x += , com ( ) 5, 1 ≥+kk xxDIGSE

( )

33

33 00x

x

xx

eex

exxexf

−=−=⇒

−=⇒=+⇒=

Seja

( )

( ) ( )

( ) 33,00'

24,01';31' 3

3

≅

≅−−=

−=

G

GexG

exGx

x

*

G e G’ são continuas em [-1,0] e

( ) ]0,1[1' −∈∀< xxG .

Logo , a seqüência gerada por 31

ix

i ex −=+ converge para α ]0,1[−∈∀x . Seja 5,00 −=x

M

772882595,0773204044,0772884374,0771636903,0772877469,0777723518,0772904269,0754152577,0772800243,0846481725,0

105

94

83

72

61

−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=

xxxxxxxxxx

( )

34,5),(000003188,0

109

9

≅=

xxDIGSEexf

*G não tem Maximo nem mínimo local em [0,1], testa-se então só os extremos. Características do Método da Iteração Linear:

Não garante a convergência para toda função continua. Necessita do calculo de G’(x). Pode ocorrer dificuldade para encontrar G(x). A convergência é linear para raízes simples (a cada passo do método o erro é reduzido por

um fato constante). A velocidade de convergência depende de ( )xG' , quanto menor este valor, maior será a

convergência.

17


Obs.: Dada a equação ( ) 0=xf , existem infinitas funções G(x) que são funções de iteração. A forma geral destas funções é: ( ) )()( xfxAxxG ⋅+= , com a condição que em x*, ponto fixo de G(x), se tenha 0)( * ≠xA . Temos que: *** )(0)( xxGxf =⇔= Com efeito: (⇒ ) Seja *x tal que 0)( * =xf .

******* 0)()()()( xxAxxfxAxxG =⋅+=⋅+=

0)(0)(0)()()()()()(

****

******

≠=⇒=⋅⇒

=⋅+⇒=⇐

xApoisxfxfxAxxfxAxxxGSe

2.3.3-Método de Newton-Raphson Procura garantir e acelerar a convergência do método da Iteração Linear, escolhendo para a função de iteração a função G(x) tal que G’(x)=0 Dada a função 0)( =xf , tomamos a forma geral para G(x):

),(')(1)(')(')()()('1)(')(')()()('1)(')()()(

******** xfxAxGxfxAxfxAxGxfxAxfxAxGxfxAxxG

⋅+=⇒⋅+⋅+=

⇒⋅+⋅+=⇒⋅+=

pois x * é ponto fixo de G )0)()(( *** =⇒= xfxGx .

Agora , )('

1)(0)(')(10)( *****

xfxAxfxAxG −

=⇒=⋅+⇒= .

Tomemos )(')()(

)('1)(

xfxfxxGe

xfxA −=−= .

Então dada ( )xf , ( )xG é tal que ( ) 0' * =xG , pois

( ) 22

2

)]('[)(")('

)]('[)(")()]('[1'

xfxfxf

xfxfxfxfxG ⋅

=⋅−

−= e

.0)('0)('0)( *** ≠=⇒= xfsexGxf Portanto, iniciando-se a iteração com um valor 0x escolhido, a seqüência )( kx é

determinada por:

0)(',...2,1,0,)(')(

1 ≠=−=+ kxfkkxfkxf

kxkx

Geometricamente , conforme podemos observar na próxima figura, dado kx , 1+kx é abscissa do ponto de intersecção da reta tangente à curva ( )xf em ))(,( kk xfx e o eixo dos “x”. Assim,

)(')(

)(')(

11 k

kkkk

kk

k

xfxf

xxxfxx

xftg −=⇒=

−= +

+

θ

18


Convergência: (é trabalhoso mostrar que 1)x('G < ). O método de Newton-Raphson converge se:

22 ))('()(")(1

))('()(")()(' xfxfxf

xfxfxfxG <⇒<= .

Para raízes simples a convergência é quadrática e para raízes duplas ou triplas é linear. Escolha do ponto inicial: Seja )b,a(∈α raiz de f .

Se bxbfbfaxafaf

=⇒>⋅=⇒>⋅

0

0

0)(")(0)(")(

Caso contrário, pode-se considerar 2

)(0

bax += .

Ex.: 1) Estimar o valor da única raiz real de xlnx2)x(f += , utilizando Newton-Raphson.

1kx +

θ

kx 1kx +

)x(f 1k+

)x(f k

xlnx2)x(f +=

x12

xlnx2x,x−

+−

19


k

kkk1k

x12

xlnx2xx+

+−=+

34

3

2

1

0

xx426302751,0x42699599,0x42,0x5,0x

=====

Logo a aproximação para a raiz é 426302751,0=α com 9 dígitos significativos corretos. 2) Calcular a raiz ]4,3[4 ∈r do polinômio dado anteriormente: 11205,72)( 234 +−+= xxxxxp .

40)4(")4(0)3(")3( 0 =⇒>⋅<⋅ xppepp

20156411205,72

23

234

1 −−+−−−+

−=+kkk

kkkkkk xxx

xxxxxx

56

5

4

3

2

1

0

03524990,303525211,303709653,308982331,336397059,3

4

xxxxxxxx

=======

Obs: O Método de Newton pode divergir devido ao uso da tangente, oscilando indefinidamente.

Uma aproximação para a raiz é 03524990,34 =r com 9 dígitos significativos e 5 iterações.

20


Isto acontece quando:

i) Não há raiz real ii) Ocorre simetria de ( )xf em torno de α iii) O valor inicial 0x está longe da raiz exata, fazendo que outra parte da função

prenda a iteração.

2.3.4-Método da Secante

Uma desvantagem do Método de Newton-Raphson é o calculo do valor numérico de

( )xf ' a cada iteração. O método da secante contorna este problema, substituindo a derivada pelo quociente das diferenças:

1

1 )()()('

−

−

−−

≅kk

kkk xx

xfxfxf

onde kx e 1−kx são duas aproximações para a raiz de ( )xf . A formula iterativa é:

)()()()(

1

11

−

−+ −

⋅−=

kk

kkkk xfxf

xfxxx

Geometricamente, a partir das aproximações para a raiz de kx e 1+kx , o ponto 1+kx é dado pela abscissa do ponto de intersecção do eixo Ox e da reta secante que passa por

))(,())(,( 11 kkkk xfxexfx −− . Características do método da secante:

Garante a convergência para toda função continua Pode divergir se )()( 1−≅ kk xfxf Convergência mais lenta que o Método de Newton e mais rápida que Bissecção e

Iteração Linear. São necessárias duas aproximações da raiz a cada iteração.

Ex: )0,1(e21x172x53x)x(p −∈++−= α

)21175()21175(

)21175()(

12

13

123

231

1 ++−⋅++−++−⋅−

−=−−−

−+

kkkkkk

kkkkkkk xxxxxx

xxxxxxx

67

6

5

4

3

2

1

10

629321148566,0

89321148568,0069321123947,0869317876515,0599601423487,0898888888888,0

1,1

xxx

xxxxx

xx

=−=

−=−=−=−=−=

=−=

21


Exercícios

1) Uma partícula é arremessada verticalmente, a partir do solo, com uma velocidade inicial ov .Desprezando a resistência do ar, supomos que a posição p partícula é dada por:

22

tgtov)t(d −= ,

onde g é aceleração da gravidade. Determinar a altura máxima atingida pela partícula e o instante em que ocorreu.

2) Uma corrente oscilante num circuito elétrico é descrita por I = )t2sen(te9 π− , t em segundos. Determinar todos os valores positivos de t para os quais I = 3.5. 3) A concentração de uma bactéria poluente num lago é descrita por

C = t075.0e5.2t5.1e70 −+− Encontrar o tempo para que a concentração seja reduzida para nove. 4) O deslocamento de uma estrutura está definido pela seguinte equação

D = wtcoskte8 − onde k = 0.5 e w = 3. a) Determinar graficamente uma estimativa inicial do tempo necessário para o deslocamento

decrescer para 4. b) Usar o método de Newton-raphson para determinar essa raiz 5) Enumerar, localizar, separar e calcular (via Newton-Raphson e/ou Bissecção ), se possível, todas as raízes dos polinomios tendo como critério de parada DIGSE (xk , xk+1) ≥ 5. No caso de raízes múltiplas, determinar a multiplicidade da raiz e calcular as demais utilizando deflação. a) p(x) = x x x3 22 3 5− + − b) p(x) = x5 - 15,5x4 +77,5x3 - 155x2 +124x -31 c) p(x) = x x x x4 3 2121 2247 15043 34300− + − + d) p(x) = x x x x4 3 2115 1575 7625 12500− + − + e) p(x) = x x x x4 3 23 337 168 0 3136− + − +. . . f) p(x) = x4-11,101x3+11,1111x2-1,011x+0,001 g) p(x) = x9- 4x8 + 3,9x7 +3,02x6 - 5,5295x5 - 0,84732x4 + 2,83536x3 + 0,37152x2 -0,59616x -

0,15552 h) p(x) = x3 - 2081,93x2 +1424,64x- 3,19728 i) p(x) = x4 + 1,98x3 +1,1424x2 +0,162602x - 0,00174225 6) Localizar graficamente e calcular ( via Newton-Raphson e/ou Método da Iteração Linear) todas as raízes, com DIGSE(xk , xk+1) ≥ 5:

22


a) f(x) = x2 + ln x b) f(x) = x + 2 cos x c) f(x) = 2x + ln x d) f(x) = cos x + ln x + x

e) f(x)= x + e Bx− 2 para B = 1,5,10,25,50

7) Responder resumidamente: a) Em que consiste o princípio da bissecção para determinar a primeira aproximação de uma raiz

de uma equação f(x)=0? b) Explicar o método da iteração linear para calcular uma raiz de uma equação f(x)=0, partindo de

uma primeira aproximação x0. c) Quando não converge a iteração linear? d) Quando não converge o Método de Newton Raphson? e) Interpretar geometricamente o Método de Newton-Raphson. f) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinomio num

ponto? Exemplificar. Respostas: 1) O deslocamento máximo é vo2/2g e ocorreu em t = vo/g. 2) t = 0.06835432097 e t = 0.4013436927

3) t = 1.556787935

23


4) t = 0 .3151660803 5-a) r+ r- ¢ T 3 0 0 3 1 0 2 3 p tem raízes complexas. Existe uma raiz real em (1,2) Raízes: x=1,84373427779 x= 0.07813286110 ± 1.644926378i . b) Raízes: .4555300547, 1.092601944, 1.940878206, 4.011783883, 7.999205912 c) Raízes: R1=100 e R2= 7(multiplicidade 3), não tem raízes complexas. d) Raízes: R1=10 e R2=5(multiplicidade 3), não tem raízes complexas. e) Raízes: R1=0.7(multiplicidade 2), R2=0.8(multiplicidade 2) f) Raízes: R1=0,001 R2=0,1 R3=1 R4=10 g) Raízes: R1=-0,5(multiplicidade 4), R2=1,2(multiplicidade 5) h) Raízes: R1= 0.002251681490, R2 = 0.6822607762 , R3= 2081.245488 i) Raízes: R1=-1,01 R2=-0,75 R3=-0,23 R4=0,01

6-a) R≅ .6529186400 b) R≅ -1.029866529 c) R≅ 0 .42630275100 d) R≅ .2875182754

e) Existe única raiz de f em (-1,0)

24

3. Sistemas de Equações Lineares O sistema com n equações lineares e n variáveis

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

nnnn33n22n11n

2nn2323222221

1nn1313212111

=++++

=++++=++++

L

MMMMM

L

L

pode ser representado matricialmente por BAX = , onde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

aaa

aaaaaa

A

nn2n1n

n22221

n11211

K

MMM

K

K

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

x

xx

X

n

2

1

M ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

b

bb

B

n

2

1

M e

A é a matriz dos coeficientes, X é o vetor das incógnitas e B o vetor dos termos independentes.

3.1- Introdução à problemática de sistemas Um SEL pode ser mal condicionado, bem condicionado ou sem solução. Um sistema é “mal condicionado” se uma pequena alteração nos dados pode provocar uma grande alteração na solução. Por exemplo:

(a) ⎩⎨⎧

=+=+

5yx95,4y98,0x

tem solução exata ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5,25,2

x

(b) ⎩⎨⎧

=+=+

5yx95,4y99,0x

tem solução exata ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0,50,0

x

Uma alteração de 1% (0,01 no coeficiente 0,98) ocasionou uma alteração de 100% na solução.

No caso de um sistema linear de ordem 2, cada equação representa uma reta. Resolver o sistema significa determinar a intersecção das duas retas. Três casos são possíveis: Bem condicionado Não tem solução. Mal condicionado 0det ≠ 0det = 0det ≅ retas concorrentes retas paralelas (perturbação em 2ℜ )

R1 R2 R2

R1

R2R1

25

E.B.Hauser – Cálculo Numérico Exemplo2:

(a) ⎩⎨⎧

=+=+

503,25y501,7x5,117y5x

tem solução exata: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

32

x

(b) ⎩⎨⎧

=+=+

501,25y501,7x5,117y5x

tem solução: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

112

x

3.2-Medidas de Condicionamento O determinante normalizado da matriz dos coeficientes A é dado por

2kn

22k

21kk

n21aaaondeAdetANORM L

L++== α

ααα, para k = 1, 2, ..., n

( )1,1ANorm −∈ e quanto mais afastado de 1± (isto é, quanto mais próximo de zero) mais mal condicionado é a matriz A. Retomando o Ex2:

2) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

501,75,151

A ( )

( ) 586495509853,7501,75,1

90990195135,5251

21

222

21

1

=+=

=+=

α

α

38740000256377,00050000128,39

001,0001,0Anorm

001,05,15501,7Adet

21==

⋅=

=⋅−=

αα

Agora, como pode ser medido o condicionamento de um sistema linear?

Dado um SEL BAX = , o seu número de condicionamento é dado por:

1AA)A(Cond −= .

Quanto maior for )A(Cond , mais sensível será o sistema linear.

Utilizamos ∑===≤≤∞

n

1iij

ni1amaxAA , a norma do máximo das linhas.

Ex:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

501,75,151

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

1000150050007501

A 1

51

1

101501,112521AA)A(Cond

12501A,001,9A

⋅≅==

==

−

−

26

Sistemas de Equaçõe Lineares

3.3-Método de Resolução de Sistemas

Métodos Diretos: A solução exata é obtida realizando-se um número finito de operações aritméticas em ℜ (com precisão infinita): Eliminação de Gauss e Gauss Jordan.

Métodos Iterativos: A solução x é obtida como limite de uma seqüência de aproximações

sucessivas x1, x2, ... .

Método de Eliminação de Gauss Algoritmo básico de Gauss: A solução de BAX = é calculada em duas etapas: 1º- Triangularização : Mediante operações elementares nas linhas, a matriz A é

transformada numa matriz triangular superior. Algoritmo: para 1n,,1k −= K (indica a linha do pivô) para n,,1ki K+= (indica a linha a transformar de A)

kk

ikaam −

=

0aik = para nkj ,,1K+= (indica a coluna a transformar da linha i) amaa kjijij ⋅+= bmbb kii ⋅−= Obs.: Se 0aii = é necessário trocar de linha, se possível. 2º- Retro-substituição: A triangularização transforma o sistema BAX = , no sistema equivalente:

dxc

dxcxc

dxcxcxcdxcxcxcxc

nnnn

3nn3333

2nn2323322

1nn1313212111

=

=++

=+++=++++

LLLLLLL

L

L

L

cuja solução é dada por: ( )

( )11

nn131321211

1n,1n

nn,1n1n1n

nn

nn

axcxcxcdx

,a

xcdx,

cdx

+++−=

−==

−−

−−−

L

Teorema: O método de Gauss produz sempre a solução exata do sistema BAX = (utilizando precisão infinita) se 0det ≠A e as linhas de A forem permutadas quando 0aii = .

27

E.B.Hauser – Cálculo Numérico Quando é utilizada aritmética do ponto flutuante, erros de arredondamento podem comprometer a solução obtida. Ex.: Em ( )98,98,3,10F − , com arredondamento para número mais próximo de máquina “ox”, a

elminação de Gauss aplicada ao sistema ⎩⎨⎧

=+=+

6y2x25y2x0002,0

produz 0x = e 5,2y = o que não

satisfaz a segunda equação do sistema. (Obs.: multiplicador 000.10m −= por ( )mLLL 122 += )

Gauss com Pivotamento Parcial O método consiste em trocar linhas (ou colunas) de maneira a minimizar a propagação de erros nas operações. Escolhas dos pivôs:

1º pivô é o elemento de maior valor absoluto da coluna 1. 2º pivô é o elemento de maior valor absoluto da coluna 2 e da diagonal para baixo. Procede-se da mesma forma para os demais pivôs:

Aplicando a técnica ao último exemplo

⎩⎨⎧

=+=+

5y2x0002,06y2x2

, em ( )98,98,3,10F − , com

arredondamento para número mais próximo de máquina “ox”, obtemo 5,0x = e 5,2y = . (Obs.: Neste caso o multiplicador é menor m= - 0,0001)

Método de Gauss-Jordan (Matriz Inversa)

A solução do SEL BAX = é calculado utilizando BAX 1−= se 0Adet ≠ . Obs.: Ver exercício 9.

Métodos Iterativos Os sistemas lineares de grande parte são, em geral, esparsos (muito elementos 0aij = ). Os métodos diretos não preservam a esparsidade, enquanto que os métodos iterativos sim, além de apresentarem relativa insensibilidade ao crescimento dos erros de arredondamento.

No sistema original BAX = , supondo n,,1i,0aii K=≠ , o vetor X é isolado mediante a separação de diagonal principal:

1º pivô 2º pivô

3º pivô

28


( )

( )

( )1n1n,n22n11nnnn

n

nn2323121222

2

nn1313212111

1

xaxaxaba1x

xaxaxaba1x

xaxaxaba1x

−−−−−−=

−−−−=

−−−−=

K

MM

K

K

Metodo de Gauss-Jacobi

Dada a aproximação inicial X0, o processo iterativo produz aproximações sucessivas

KK ,,,, 21 kXXX , obtidas de:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−−=

−−−−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−−=

−−+

+

+

k1n1n,n

k22n

k11nn

nn

1kn

knn2

k323

k1212

22

1k2

knn1

k313

k2121

11

1k1

xaxaxaba

1x

xaxaxaba

1x

xaxaxaba1x

K

MM

K

K

Método de Gauss-Seidel Para X0 dado:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )1k1n1n,n

1k22n

1k11nn

nn

1kn

knn3

)k(434

1k232

1k1313

33

1k3

knn2

k323

1k1212

22

1k2

knn1

k313

k2121

11

1k1

xaxaxaba1x

xaxaxaxaba1x

xaxaxaba1x

xaxaxaba1x

+−−

+++

+++

++

+

−−−−=

−−−−−=

−−−−=

−−−−=

K

MM

K

K

K

Critério de Convergência

O teorema abaixo estabelece uma condição suficiente para a convergência dos métodos

de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. Teorema

Dado o sistema linear YAX = , se a matriz A é Diagonalmente Dominante, isto é,

se iaaij ijii ∀∑>

≠, então tanto o método de Jacobi como o de Gauss-Seidel gera uma

seqüência ( )( )kX convergente para a solução do sistema dado, independente da escolha da aproximação inicial ( )0X .

29

E.B.Hauser – Cálculo Numérico Exemplo: Resolver o sistema abaixo por Gauss- Jacobi e Gauss-Seidel. Critério de Parada: erro absoluto da solução calculada for menor que 10-3.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−−

=+=+=+−=−+

5,1132

xx5,0xx2x2xxx4x

31

41

43

421

Reordenamos a fim de satisfazer ao critério de convergência.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=+−=+=−+=+

35,121

x2xxx5,0

xx4xxx2

43

31

421

41

125,01

11412

−>>

−+>>

Como a matriz dos coeficientes , após a reordenação, é diagonalmente dominante, então a

aplicação dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel produzirá uma seqüência ( )( )kX convergente para a solução exata.

Gauss-Jacobi

Fórmulas iterativas:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )k3

)k(31k

4

k1

1k3

k4

k1

)k(4

)k(11k

2

k4

)k(

41k1

x5,05,12

)x3(x

x5,05,1x

x25,0x25,05,04

)xx2(x

x5,05,02

x1x

+−=+−

=

−=

+−−=+−−

=

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

+

+

+

+

Aproximação inicial: ( ) 0X 0 = .

30


k x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 1 0,5 0,5 1,5 -1,5 2 1,25 -1,0 1,25 -0,75 3 0,875 -1,0 0,875 -0,875 4 0,9375 -0,9375 1,0625 -10625 5 1,03125 -1,0000 1,03125 -0,96875 6 0,984375 -1,0000 0,984375 -0,984375 7 0,9921875 -0,9921875 1,0078125 -1,0078125 8 1,00390625 -1,0000 1,00390625 0,9960375 9 0,998046875 -1,0000 0,998046875 -0,998046875 10 0,9990234375 -0,999023437 1,000976563 -1,000976563 11 1.000488282 -1.0000000 1.000488281 -0,999511718 : : : : : 40 1 -1 1 -1 na 12a. iteração consegue-se ( ) 51112 10xx −<−

Gauss-Seidel Fórmulas iterativas:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1k3

1k4

1k1

1k3

k4

1k1

1k2

k4

1k1

x5,05,1x

x5,05,1x

x25,0x25,05,0x

x5,05,0x

++

++

++

+

+−=

−=

+−−=

−=

k x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 1 0,5 -0,625 1,25 -0,875 2 0,9375 0,953125 1,03125 -0,984375 3 0,9921875 -0,994140625 1,00390625 0,99806875 4 0,9990234375 -0,9992675781 1,000488281 -0,999755895 5 0,999877929 -0,999908447 1,000061035 -0,999969482 : : : : : 12 1 -1 1 -1

( ) ( ) 545 10xx −<−

31


EXERCÍCIOS 1) Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é a de se determinar a distribuição de temperatura numa placa, quando a temperatura nas bordas é conhecida. Supomos que a placa da figura represente um seção transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam T1, T2 , ..., T6 as temperaturas nos seis vértices interiores do reticulado da figura. A temperatura num vértice é aproximadamente igual à média dos quatro vértices vizinhos mais próximos (à esquerda, acima, à direita e abaixo). Por exemplo:

T1 = ( 10 + 20 + T2 + T4 )/4 ou 4T1 = 10 + 20 + T2 + T4 a) Escrever o sistema de seis equações, cuja solução fornece estimativas para as

temperaturas T1, T2 , ..., T6. b) Resolver o sistema utilizando o sistema MapleV.

2) Num experimento num túnel de vento, a força sobre um projétil devido à resistência do ar foi medida para velocidades diferentes.

11910

3.748

6.396

8.144

90.22

00

forçavelocidade

Expressar a força como função da velocidade aproximando-a a um polinômio de quinto grau:

55

44

33

221o vavavavavaa)v(f +++++=

Verificar a validade de )(vf encontrada e obter uma estimativa para a força sobre o projétil quando ele estiver se deslocando a uma velocidade de 1, 3, 5, 7 e 9 unidades de velocidade.

3) Considere o sistema (#) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++

=++

78,0x2,0x25,0x33,008,1x25,0x33,0x5,0

83,1x33,0x5,0x

321

321

321.

a) (#) é bem ou mal condicionado? Porque? O que isso significa? b) Resolver (#) pelo método de Gauss sem pivotamento.

1

20o 20o 20o

20o 20o 20o

40o

40o

10o

10o

1 2 3

4 5 6

32


4) Idem ao 3 para

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++=++++=++++=++++

=++++

2520/1879x9/1x8/1x7/1x6/1x5/1840/743x8/1x7/1x6/1x5/1x4/1420/459x7/1x6/1x5/1x4/1x3/1

60/87x6/1x5/1x4/1x3/1x2/160/137x5/1x4/1x3/1x2/1x

54321

54321

54321

54321

54321

5) Resolver por Eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

a)

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−++−+−=−−−+−+

=+++−++=−−++++−=++−++−=+−++++=+−−++−

34x9xx7x2xx2x710xx4xx11x8x9x2

13xxx2x7xx3x48x2xx7x2x3xx24x11x6xx5x7xx2

17x2x9xx15x9xx47x8x3x2x4x6x5x3

7654321

7654321

7654321

7654321

7654321

7654321

7654321

b)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−+=−−

=++−

255x10x35x4414x41x72x

8342x2xx

321

321

321 c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++−=++−=−++

=+−+

9.9xx5.2x2.0x9.3x2.5xxx3.0

9.21x5.8x4x5.0x4.07.2xx1.0xx2

4321

4321

4321

4321

6) Referente ao sistema linear AX=B, verificar se a afirmação é Verdadeira ou falsa . i) Se det A = 0 então o sistema não tem solução .Justificar verificando o que acontece em :

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+

=+−

2xx24xx

5xxx

32

21

321 e b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=+

0xx0xx0xx

32

31

21

ii) Se A não é uma matriz Diagonal Dominante então os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel não geram uma sequência convergente para a solução . Justificar verificando o que acontece com

a) ⎩⎨⎧

−=−=+

3y3x3yx

b)⎩⎨⎧

=+−=−

3yx3y3x

7) Resolver pelo Método de Gauss-Seidel. Apresentar as fórmulas iterativas e uma garantia de convergência (se possível).

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−+=−++=+++

=++−

82x7x12x66x1734x18x11x22x5626x10x17x16x11

18x20x47x5x3

4321

4321

4321

4321

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=++

31x6x3x21x2x9x

30x3x2x8

321

321

321

33


8) Resolver o sistema de equações algébricas não lineares:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

15z4yx

18zy4x

11zyx4

2

2

2

9) Resolver ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

3321

2321

1321

bx4x3x5bx2x3xbx7xx2

para:

a) b1 =16 b2 = -5 b3=11 b) b1 =25 b2 = -11 b3 = -5 c) b1 =3 b2 = 5 b3 = -5

10) Utilizando Eliminação Gaussiana calcular detA.

a) A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−−−−−

1322141321012132

b) A =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

0130125.09110303500002305.0807

11) Qual o Resíduo produzido pela solução aproximada X’= [ -3 4 0]T de

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

64.0x25.0x21.0x15.052.0x24.0x16.0x12.084.0x12.0x36.0x24.0

321

321

321

Respostas: 1) Solução obtida utilizando o MapleV: >solve({4*T1=10+20+T2+T4,4*T2=T1+20+T3+T5,4*T3=T2+20+40+T6, 4*T4=10+T1+T5+20,4*T5=T4+T2+T6+20, 4*T6=T5+T3+40+20}, {T1,T2,T3,T4,T5,T6}); {T6 = 190/7, T5 = 150/7, T4 = 120/7, T3 = 190/7, T1 = 120/7, T2 = 150/7} > evalf(%); {T6 = 27.14285714, T5 = 21.42857143, T4 = 17.14285714,

T3 = 27.14285714, T1 = 17.14285714, T2 = 21.42857143}

2) Solução utilizando o sistema MapleV: >solve({a0=0,2.90=a0+a1*2+a2*4+a3*8+a4*16+a5*32, 14.8=a0+a1*4+a2*(4^2)+a3*(4^3)+a4*(4^4)+a5*(4^5), 39.6=a0+a1*6+a2*(6^2)+a3*(6^3)+a4*(6^4)+a5*(6^5), 74.3=a0+a1*8+a2*(8^2)+a3*(8^3)+a4*(8^4)+a5*(8^5), 119=a0+a1*10+a2*(10^2)+a3*(10^3)+a4*(10^4)+a5*(10^5)}, {a0,a1,a2,a3,a4,a5}); {a0 = 0, a2 = -1.194791667, a5 = .002604166667, a4 = -.07005208333, a3 = .6614583333, a1 = 1.712500000} >f:=x->1.712500000*x-1.194791667*x^2+.6614583333*x^3-.7005208333e-1*x^4+.2604166667e-2*x^5; > validade:=[f(0),f(2),f(4),f(6),f(8),f(10)];

34

Sistemas de Equaçõe Lineares validade := [0, 2.899999998, 14.80000000, 39.60000000, 74.29999994, 119.0000000] > estimativas:=[f(1),f(3),f(5),f(7),f(9)]; estimativas := [1.111718750, 7.202343750, 25.73046873, 55.89609367, 94.9992188]

3-a) Mal condicionado. NORM A ≅ 0,000181. Uma pequena perturbação nos dados de entrada pode causar uma grande alteração na solução. b) A solução exata é X=[1 1 1]T

4 - NORM A ≅ 0,00257, a solução exata é X=[1 1 1 1 1 1 1]T

5- a)X=[-21,86188 11,46568 2,376447 -8,514801 0,7475478 -15,50981 18,08498]T

b) solução exata X=[1 0 2]T

c) solução exata X=[1 2 3 -1]T

6-i) a) detA=0 e o sistema e incompatível b) detA = 0 e o sistema tem infinitas soluções dadas por x=z e y=-z ii) A não é matriz Diagonal Dominante e Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel a) converge (oscilando) para a solução exata [1.5 1.5]T b) diverge 7 - a) X(10) = [-0.930569 1.901519 1.359500 -1.906078]T X(35) = [-1.076888 1.990028 1.474477 -1.906078]T

b) solução exata X = [2 1 4]T

8 - A solução exata é x =1 y= 2 z = 3.

9 - soluções exatas: a) X = [3 -4 2]T b) X = [2 -7 4]T c) X = [-3 2 1]T 10 - a) detA = -55 b) det A = 706.875 11 - R = [0.12 0.24 0.25]T

35

4.Interpolação Polinomial

4.1 Objetivo: Dado um conjunto de n+1 pontos distintos ))x(f,x( ii , n,...,1,0i = , queremos determinar o polinômio p(x) talque ),x(f)x(p ii = e para os demais pontos do intervalo

)x(f)x(p ≅ , [ ]no x;xx∈∀ . O polinômio p(x) é dito polinômio aproximante ou interpolador de f(x) no intervalo [ ]nxox , . 4.2 Aplicações

• Obter uma expressão analítica aproximada de uma função que é conhecida em apenas um número finito de pontos;

• Avaliar a função num ponto não tabelado [ ]nxoxx ;*∈ ;

• Determinar aproximações para ∫ nxox dxxf )( , substituindo a f(x) pelo polinômio

interpolador; • Calcular uma aproximação para )(' xf para [ ]nxoxx ;∈ , substituindo f(x) por p(x).

4.2 Existência e Unicidade da Solução Dados ℜ∈ix e ,)x(f i ℜ∈ n,...,1,0i = , procuramos nP)x(p ∈ tal que

iii x),x(f)x(p ∀= .

Seja ∑=

=++++=n

k

kxkanxnaxaxaoaxp0

...221)( .

36


Então de =)x(p i ∑=

=n

0ki

kik ),x(fxa obtemos:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

=++++

nnnn

2n2n10

1n1n

212110

0n0n

202010

fxa...xaxaa

..............................................

fxa...xaxaa

fxa...xaxaa

,

o qual representa um sistema linear de ordem n+1 onde as n+1 incógnitas são os ,ka n,0k = e a matriz dos coeficientes é dada por:

A =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn

2nn

n2

222

n1

211

n0

200

x..xx1..................x..xx1x..xx1x..xx1

De acordo com Vandermonde, det A =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−∏∏

+=

−

=

n

1ijij

1n

0i)xx( . Como os pontos são

distintos, a diferença ixjx − será sempre diferente de zero, e então detA ≠ 0. Portanto o polinômio interpolador existe e também é único. 4.3Polinômio Interpolador de Newton Para Diferenças Finitas Ascendentes Dados ( )ii y,x , )x(fy ii = i=0,1,2,...,n satisfazendo

hxx....xxxx 1nn1201 =−==−=− − , isto é , hxx i1i =−+ .

Para k= 1, 2, ...n, e i= 0, 1, 2, ..., n-k , a diferença finita de ordem k é dada por

i1k

1i1k

ik yyy −

+− −= ∆∆∆ .

E, o polinômio interpolador de Newton para diferenças finitas ascendentes é dado por :

on

n1n1o

o2

21o

0o

o yh!n

)xx()xx)(xx(y

h!2

)xx)(xx(y

h)xx(

y)x(p ∆∆∆ −−−−++

−−+

−+=

LL

37

4-Interpolação Polinomial

Exemplo1: O alongamento de uma mola foi medido em função da carga aplicada. Obteve-se:

3,68

0,56

5,24

0,12

)cm(oalongament)kg(aargc

Estimar o alongamento para o caso de ser aplicada uma carga de 7kg , utilizando o polinômio interpolador de Newton para diferenças finitas. Solução: 1) Tabela das diferenças finitas:

i ix iy iy∆ i

2 y∆ i3 y∆

0 2 1 1.5 1 -2.2 1 4 2.5 2.5 -1.2 --------------------2 6 5 1.3 -------------------- --------------------3 8 6.3 -------------------- -------------------- --------------------

2) Polinômio interpolador:

( ) ( )( ) ( )( )( ) )2,2.()2(!3

6x4x2x1.)2(!2

4x2x5,1.2

2x1)x(p 32 −−−−

+−−

+−

+=

7,2x016666667,2x675,0x30458333333,0)x(p 23 +−+−=

3) Verificação de validade de p(x) : 9999999994,0)2(p = ( 1≅ )

4999999999,2)4(p = ( 5,2≅ ) 5)6(p = e p(8)=6.3

4) Estimativa do alongamento ao se aplicar uma carga de 7kg: O alongamento da mola neste caso é aproximadamente 9375,5)7(p = cm. 5) Análise gráfica do problema:

38

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 4.4 Polinômio Interpolador de Newton Para Diferenças Finitas Divididas Dados ( )iyix , , ),( ixfiy = i= 0, 1, 2, ..., n os pontos ix podem ter um espaçamento qualquer, não necessariamente eqüidistantes.

O polinômio de Newton para diferenças divididas é dado por:

oynnxxxxoxxoyxxoxxyoxxoyxp ∆−−−−++∆−−+∆−+= )1)...(1)((...2)1)((0)()( ,

onde, para k = 1, 2, ..., n, e i= 0, 1, 2, ..., n-k a diferença dividida de ordem k é dada por

iki

i1k

1i1k

ik

xx

yyy

−

−=

+

−+

− ∆∆∆

Por exemplo, para o caso de n=4:

i ix iy iy∆ i

2 y∆ i3 y∆ i

4 y∆ 0 0x

0y

01

01xxyy

−−

02

01xx

yy−−∆∆

03

02

12

xxyy

−−∆∆

04

03

13

xxyy

−−∆∆

1 1x 1y 12

12xxyy

−−

13

12xx

yy−−∆∆

14

12

22

xxyy

−−∆∆

------------------------------------------------------------------

2 2x

2y 23

23xxyy

−−

24

23xx

yy−−∆∆

------------------------------------------

------------------

------------------------------------------------------------------

3 3x

3y 34

34xxyy

−− ---------------------

---------------------------------------

------------------------------------------

------------------

------------------------------------------------------------------

4 4x

4y

--------------- -------------------- -------------------- ----------------------

Observação: Para h constante , a relação entre diferenças divididas e finitas é dada por :

ik

kik y

h!.k1y ∆∆ = .

Exemplo:

x f(x) iy∆ i

2 y∆ i3 y∆ i

4 y∆ 0 0 4 5 1 0 2 8 19 10 1 ----- 3 27 49 14 ----- ----- 5 125 91 ----- ----- ----- 6 216 ----- ----- ----- -----

39


Exemplo2: A velocidade do som na água varia com a temperatura conforme tabela:

532,1110

538,14,104

544,19,98

548,13,93

552,186

)s/m(velocidade) C(atemperatur o

Solução:

1) Cálculo das diferenças divididas

x y 0y∆ 0

2y∆ 03y∆ 0

4y∆ 86 1.552 -0.00054794 -0.00001289 -0.114 x 10-5 0.136 x 10-6

93.3 1.548 -0.00071428 -0.00003393 0.213 x 10-5 --------------- 98.9 1.544 -0.00109090 0.175 x 10-5 --------------- --------------- 104.4 1.538 -0.00107142 --------------- --------------- --------------- 110 1.532 --------------- --------------- --------------- ---------------

2) Construção do polinômio:

)9.98x)(3.93x)(86x()00001289.0)(3.93x)(86x()00054794.0)(86x(552.1)x(p −−−+−−−+−−+=

(-0.114 x 10 5− )+ )4.104x)(9.98x)(3.93x)(86x( −−−− (0.136 x 10 6− ) Simplificando a expressão , encontramos

5036369194.0x830077947032.0x99260000534327.0x10840.13666902p(x) 234-6 −+−×=

3) Verificação da validade de p(x) calculado no item 2: 1.55199999)86(p = ; 548.1)3.93(p = ; 544.1)9.98(p = ;

537999999.1)4.104(p = ; 532.1)110(p =

4) Estimativa da velocidade do som quando a temperatura da água atinge 100 C0 , é 1.54293925)100(p ≅ m/s

6) Análise gráfica do problema:

40

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 4.5 Erro de Truncamento

[ ]nxxnfn

xxE ,0),()1()!1()()( ∈+

+= ξξϕ com

i1n

n101n0

1nn10 y)*xx)...(xx)(xx(

h)!1n(f)xx)...(xx)(xx()x( +

+

+−−−=

+−−−= ∆

∆ϕ ,

pois ik

kik f

h!.k1y ∆∆ = , para h constante.

4.6 Aplicações utilizando o sistema Maple APLICAÇAO 1

Cinquenta animais de uma espécie ameaçada de extinção foram colocados numa reserva e um controle populacional mostrou os dados:

6913

7310

767

775

733

601

500

animaisdequantidade)anos(t

a) Determinar a matriz de Vandermonde para o problema e determinar o valor do respectivo Número de Condicionamento (Cond e Determinante Normalizado). O que podemos concluir? b) Determinar o polinômio interpolador utilizando todos os dados tabelados. c) Verificar a validade do modelo encontrado. d) Estimar a a população no quarto ano. É possível estimar a população no décimo quinto ano utilizando o polinômio determinado no ítem b. e) Em que ano essa população animal atingiu seu máximo? Qual a população máxima atingida? f) Plotar num mesmo sistemas de eixos os pontos tabelados e a e o polinômio interpolador determinado no ítem b. Resposta:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

65432

65432

65432

65432

65432

1313131313131101010101010177777715555551333333111111110000001

V

Determinante Normalizado= 0.9072675023 x 10 -11 Cond (V)= 39124291.11 p(t) = .5095984263e-4*t^6-.2488977072e-2*t^5+.4187474562e-1*t^4-.2409954552*t^3-.6536635972*t^2+10.85522232*t+50. p(4) ≅ 75.91851648 população máxima ≅ p(5.312779138)= 77.05456458

41


APLICAÇÃO 2 Para determinar a resistência elétrica de um solo num sistema de aterramento, enterra-se duas hastes de cobre e aplica-se uma determinada voltagem, resultando numa corrente elétrica. Numa experiência deste tipo, foram obtidos os seguintes dados:

5,450

3,447

5,340

8,235

230

))A(amperecorrente(y))V(voltsvoltagem(x

−−

Estimar a corrente se a voltagem aplicada for de 43A usando o Polinômio Interpolador de Newton. Resposta: p(43)≅ 3,88

APLICAÇÃO 3

“Ao considerar que no Japão a vida média já é superior a 81 anos, a esperança de vida no Brasil de pouco mais que 71 anos ainda é relativamente baixa. E, de acordo com a projeção mais recente da mortalidade, somente por volta de 2040 o Brasil estaria alcançando o patamar de 80 anos de esperança de vida ao nascer. (Ver www.ibge.gov.br em População / Tábuas Completas de Mortalidade). A esperança de vida ao nascer de 71,3 anos coloca o Brasil na 86ª posição no ranking da ONU, considerando as estimativas para 192 países ou áreas no período 2000-2005 (World Population Prospects: The 2002 Revision; 2003). Entre 1980 e 2003 a esperança de vida ao nascer, no Brasil, elevou-se em 8,8 anos: mais 7,9 anos para os homens e mais 9,5 anos para as mulheres. Em 1980, uma pessoa que completasse 60 anos de idade teria, em média, mais 16,4 anos de vida, perfazendo 76,4 anos. Vinte e três anos mais tarde, um indivíduo na mesma situação alcançaria, em média, os 80,6 anos. Aos 60 anos de idade os diferenciais por sexo já não são tão elevados comparativamente ao momento do nascimento: em 2003, ao completar tal idade, um homem ainda viveria mais 19,1 anos, enquanto uma mulher teria pela frente mais 22,1 anos de vida”.Na tabela acima obtemos informações sobre a esperança de vida às idades exatas, especialmente, a esperança de vida ao nascer que expressa o número médio de anos que se espera viver um recém-nascido (que, ao longo da vida, estivesse exposto aos riscos de morte da tábua de mortalidade em questão

42

E.B.Hauser – Cálculo Numérico http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/noticia_visualiza.php?id_noticia=266&id_pagina=1). Além dos múltiplos usos, não somente pela Demografia e Previdência Provada, mas também pelas demais Ciências Sociais, a tabela é utilizada para determinar, juntamente com outros parâmetros, o chamado fator previdenciário para o cálculo das aposentadorias das pessoas regidas pelo Regime Geral de Previdência Social. TAREFA: Considerar os resultados de 2003.

0.1570

4.1865

1.2260

0.2655

1.3050

3.4830

0.5325

8.5720

6.6215

5.6710

2.750

Mulheres)2003em,anos(vidadeectativaexp2003emidade

−

1.1370

9.1565

1.1960

5.2255

2.2650

5.4230

8.4625

0.5120

5.5515

4.6010

6.670

Homens)2003em,anos(vidadeectativaexp2003emidade

−

A) Determinar o polinômio interpolador utilizando todos os dados tabelados. Sugestão: ?interp B) Verificar a validade do modelo encontrado. C) Plotar num mesmo sistema de eixos os pontos tabelados e a e o polinômio interpolador determinado no item b. D)Estimar a expectativa de vida para pessoas com idade em 2003, variando de 14 a 30 anos.

> Estimativas_mulheres:= array( [ seq( [i, pexpvidam(i)], i = 14..30)]); > Estimativas_homens:= array( [ seq( [i, pexpvidah(i)], i = 14..30)]);

:= Estimativas_mulheres

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

14 63.5609759615 62.600000116 61.641461117 60.683109518 59.723618719 58.762508820 57.800000021 56.836831722 55.874068223 54.912914224 53.95455025 53.00000026 52.05003227 51.10509728 50.16530829 49.23044530 48.300001

:= Estimativas_homens

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

14 56.4655081215 55.500000016 54.555971017 53.635308318 52.737523219 51.860289020 51.000000121 50.152310822 49.312623623 48.47650724 47.64002825 46.80000126 45.95413827 45.10112228 44.24060129 43.37312530 42.500001

43


4.7 Exercícios (Fonte: Cálculo Numérico Computacional. Claudio, Dalcídio Moraes e Marins, Jussara M. São Paulo: Ed.Atlas,1994.) 1. A tabela abaixo dá o volume de água num tanque elástico (usado para transpor-te de óleo, leite, etc. em caminhões) para várias cotas de água. Determinar y(0,12).

x(m) 0,1 0,6 1,1 1,6 2,1

y )3(m 1,1052 1,8221 3,0042 4,9530 8,1662

2. Uma hidroelétrica tem capacidade máxima de 60Mw, a qual é determinada por três geradores de respectivamente 30Mw, 15Mw e 15Mw. A demanda de energia varia num ciclo de 24h e é uma função dela que o engenheiro ope-racional distribui as tarefas dos geradores. Sabe-se que a demanda mínima ocorre entre 1 e 5h e a demanda máxima entre 13 e 17h . Pede-se para achar a partir dos dados abaixo essas demandas máximas e mínimas .

H 2 3 4 5 13 14 15 16 17

Demanda (Mw)

16,4 15,2 14,9 16 28 36,5 43 34 31,2

3. Um paraquedista realizou seis salto; saltando de alturas distintas em cada salto, foi testada a precisão de seus salto em relação a um alvo de raio de 5m, de acordo com a altura. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa à circunferência.

ALTURA (m) DISTÂNCIA DO ALVO 1O SALTO (1500) 2O SALTO (1250) 3O SALTO (1000) 4O SALTO (750) 5O SALTO (500)

35 25 15 10 7

Levando em consideração os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 850m ? 4. Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados abaixo, quando se analisou o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 km. Verificar o consumo aproximado para o caso de ser desenvolvida a velocidade de 80km/h.

VELOCIDADE (km/h) CONSUMO (km/l) 55 14,08 70 13,56 85 13,28 100 12,27 120 11,3 140 10,4

44

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 5. Numa esfera de superfície conhecida, o coeficiente de absorção 0,7 foi mantido à temperatura

de 6000 Ko . Foi calculada a energia irradiada de acordo com o tempo de irradiação, obedecendo à tabela . Pede-se para obter a possível energia irradiada quando a irradiação atingir o tempo de 25 minutos.

ENERGIA IRRADIADA (Joules) TEMPO DE IRRADIAÇÃO (s) 71,72 . 310 600

94,72 . 310 800

118,4 . 310 1000

142,08 . 310 1200

165,76 . 310 1400

189,44 . 310 1600

6. Uma corda foi tensionada sob a ação de pesos distintos, quando para os respectivos pesos foram calculadas as devidas velocidades de propagação que estão indicadas abaixo. Pede-se para calcular a velocidade de propagação quando a corda está tensionada sob a ação de um peso de 7250 gf.

PESO (gf) VELOCIDADE (cm/s) 6000 13728,13 6500 14288,69 7000 14828,07 7500 15348,51 8000 15851,87

Respostas 1) 126904937,1)12,0(p ≅ 2) A demanda mínima é 8632,14 Mw. e ocorre entre 3h e 4h da manhã. A demanda máxima é 101,43 Mw. e ocorre entre 14h e 15h. 3) 4128,11)850(p =

4) 4512685,13)80(p46701783,13)80(p

==

5) 5937,177618)1500(p =

6) p(7250) = 15090,53234

45

5. Ajuste de Funções

Aplicação1: Os dados acima tabelados descrevem a intensidade da luz como uma função da distância da fonte, I(d), medida num experimento.

Determinar I (d) ≅ Y (d) = CBdAd

12 ++

.

15.075

18.070

21.065

24.060

28.055

34.050

42.045

52.040

67.035

85.030

Id

Aplicação 2:Segundo a lei de Boyle, o volume de um gás é inversamente proporcional à pressão exercida, mantendo-se constante a temperatura. Para um certo gás, foram observados os seguintes valores:

04,15,3

15.10,3

28,15,2

43,10,2

60,15,1

91,10,1

27,25,0

85,20,0

VolumeessãoPr

Ajustar os dados tabelados a uma hipérbole do tipo: Vol(p) ≅pB

A)p(Y+

=

46

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 5.1 Introdução O ajustamento é uma técnica de aproximação. Conhecendo-se dados experimentais , , )y,x( ii , n,...,1,0i = , deseja-se obter a lei )x(fy = relacionando x com y. Devido aos erros experimentais nos n+1 pares, ))x(f,x( ii , teremos em geral 11 )x(f ε+ ; 22 )x(f ε+ ; ... ; nn )x(f ε+ , isto é , é impossível calcular exatamente a função f(x). Por isso , em vez de procurarmos a função f tal que passa por cada um dos pontos experimentais, determinaremos a função que melhor se ajusta aos pontos dados. O ajustamento traduz um comportamento médio. Para ajustar uma tabela de dados a uma função devemos: • Conhecer a natureza física do problema ; • Determinar o tipo de curva a que se ajustam os valores tabulados (graficamente e/ou cálculo das diferenças finitas ou divididas) ; • Calcular os parâmetros da curva. 5.2. Escolha da Função de Ajuste a) Função Linear (regressão linear) : xaa)x(Y 10 += , se iy∆ ≅ cte ou iy∆ ≅ cte .

b) Parábola (ajuste quadrático): 2210 xaxaa)x(Y ++= , se iy2∆ ≅ cte ou .2 cteiy ≅∆

c) Polinômio de grau p: se ip y∆ ≅ cte ou .cteyi

p≅∆

d) Função Exponencial: xab)x(Y = , se .ctex

ylog

i

i ≅∆

∆

d) FunçãoPotência: pax)x(Y = , ctexlogylog

i

i ≅∆∆

Outros tipos de Funções Ajuste:

• xaay1

xaa1)x(Y 10

10+=⇒

+= ; ( ) ( ) .cte

xy/1y/1i

ii ≅=

∆∆

∆

• ;xaayx

xaax)x(Y 10

10+=⇒

+= ( ) ( )

( ) .ctex

y/xy/xi

iiii ≅=

∆∆

∆

•

47

5 - Ajuste de Funções

• 22102

210xaxaa

Y1

xaxaa1)x(Y ++=⇒++

= ; ( ) ( ) ( ).cte

xxy/1y/1

y/1i2i

i1ii

2≅

−−

=+

+ ∆∆∆

• 2cxbxae)x(Y += ; 2cxbxalnyln ++= , .cte

xxylnyln

i2i

i1i ≅−−

+

+ ∆∆

Exemplo: Considerando a tabela abaixo, como i,1yi3

∀=∆ , é adequado o ajuste dos dados abaixo tabelados a um polinômio de grau 3.

i xi f(xi)=yi iy∆ iy2

∆ iy3∆ iy4

∆ 0 0 0 4 5 1 0 1 2 8 19 10 1 ----- 2 3 27 49 14 ----- ----- 3 5 125 91 ----- ----- ----- 4 6 216 ----- ----- ----- -----

5.3 - Determinação dos Parâmetros da Função de Ajuste

CRITÉRIO DOS MINÍMOS QUADRADOS

Seja pxpaxaxaaY ++++= ...2

210 a função de ajustamento. Dada uma

tabela com n+1 pontos ( )iyix , , chamamos resíduo a diferença entre o valor de iY da equação de ajustamento e o valor tabulado de iy . n,...,1,0i,yY iii ==− δ .

O critério dos mínimos quadrados estabelece que: ∑=

=n

imínimoi

0

2δ .

Seja ( )∑=

−=n

iiyiYpaaaF

0

2),...1,0( . Para F ter valor mínimo , é preciso que

0aF

0=

∂∂ ; 0

aF

1=

∂∂ ; . . . ; 0=

∂∂

paF

48


5.31 -Ajuste Linear A função de ajuste terá a forma xaa)x(Y 10 += . Pelo critério dos Mínimos Quadrados é necessário que :

∑ ∑= =

−+=−=n

i

n

iiyixaaiyiYF

0 0

2)10(2)(

deve ser mínimo . Sendo F uma função de duas variáveis, 0a e 1a , o menor valor de F será obtido

através de : 00=

aF

δδ ; 0

1=

aF

δδ e assim:

00=

aF

δδ , ( )∑

==−+

n

iiyixaa

00102 e

01=

aF

δδ , ( )∑

==−+

n

iixiyixaa

00102 .

Construímos o sistema de duas equações e duas variáveis:

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==−+

==−+

∑

∑

n

iixiyxaa

n

iiyixaa

001102

00102

ou

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

= = =+=

= = =+=

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

n

i

n

i

n

iixaixaiyix

n

i

n

i

n

iixaaiy

0 0 0

210

0 0 010

.

Obtemos:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

= = ==+

= ==++

∑ ∑ ∑

∑ ∑

n

i

n

i

n

iiyixixaixa

n

i

n

iiyixaan

0 0 0

210

0 0101

Resolvendo-se este último sistema linear são obtidos os valores de 0a e 1a e assim determina-se a função de ajuste : xaaY 10 += .

49


Exemplo2 : Dada a tabela , achar a equação da reta que se ajusta usando o método dos Mínimos Quadrados. i ix iy iyix 2

ix iY ( )2iyiY −

0 0 2 0 0 2.07142857 0.0051020411 1 3 3 1 3.14285714 0.020408162 2 5 10 4 4.21428571 0.617346943 3 5 15 9 5.2857143 0.081632664 4 5.5 22 16 6.3571429 0.734697555 5 8 40 25 7.4285714 0.32653061∑ 15 28.5 90 55 --------------- 1.78571440

Seja xaaxY 10)( += a função que ajusta os dados . Os parâmetros 0a e 1a constituem a solução do sistema :

∑ ∑ ∑∑ ∑

+=

++=

210

10)1(

ixaixaiyix

ixaaniy ⇒

⎩⎨⎧

=+

=+

901550155.2811506

aaaa

⇒ ⎩⎨⎧

==

071428571.11

071428572.20aa

Logo, xY 071428571.1071428571.2 += .

50

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 5.3.2 - Ajuste Quadrático Seja 2

210 xaxaaY ++= a função de ajuste. Pelo critério dos Mínimos Quadrados :

( ) ( )∑ ∑ −++=−== =

n

0i

n

0i

2i

2i2i10

2ii210 yxaxaayY)a,a,a(F

assume valor mínimo se 0aF

aF

aF

210===

δδ

δδ

δδ .

Assim, os parâmetros 210 aea,a são obtidos resolvendo:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

++=

+++=

∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑∑

4ix2a3

ix1a2ix0aiy2

ix

3ix2a2

ix1aix0aiyix

2ix2aix1a0a1niy

Exemplo3 : Encontre a expressão do polinômio de 2o grau que se ajusta aos dados da tabela abaixo. i ix iy iyix 2

ix iyix2 3ix 4

ix iy∆ iy2∆

0 -2 -0.01 0.02 4 -0.04 -8 16 0.52 -0.21 1 -1 0.51 -0.51 1 0.51 -1 1 0.31 -0.25 2 0 0.82 0 0 0 0 0 0.06 -0.13 3 1 0.88 0.88 1 0.88 1 1 -0.07 -0.25 4 2 0.81 1.62 4 3.24 8 16 -0.32 ----------5 3 0.49 1.47 9 4.41 27 81 ---------- ----------∑ 3 3.5 3.48 19 9 27 115 ---------- ----------

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

9211512701948.322711903

5.32191306

aaaaaa

aaa ⇒ 806285714.0201.02102142857.0)( ++−= xxxY

51


5.3.3-Ajuste a polinômio de Grau p O ajuste a um polinômio de grau p. nppxpaxaxaaY <++++= ,...2

210 , exige resolver o sistema linear:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑∑+

+

+

p2i

1pi

pi

1pi

4i

3i

2ii

pi

3i

2ii

x.................xx

..................................................x...xxxx

x...xxx)1n(

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

pa

aa

.....

.....10

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑

∑∑

iypix

iyixiy

........

Exemplo5 – Utilizando o sistema Maple > xv:=[0,2,3,5,6,8];

> yv:=[p(0),p(2),p(3),p(5),p(6),p(8)];

> g:=fit[leastsquare[[x,y],y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,{a,b,c,d}]]([xv,yv]); > gll :=unapply(rhs(g),x): > plots[display]({plots[pointplot]([0,p(0),2,p(2),3,p(3),5,p(5),6,p(6),8,p(8)]),plot(gll(x), x=-.5..8.5, y=-150..280),plot(gll(x), x=-.5..8.5, y=-150..280,thickness=2)});

52

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 5.3.4 -AJUSTE NÃO LINEAR NOS PARÂMETROS: CASOS REDUTÍVEIS AO LINEAR OU PARABÓLICO POR MUDANÇA DE VARIÁVEIS 5.3.4.1 – Ajuste por Função Exonencial Seja xabY = a função de ajuste. Linearizamos Y, aplicando log ou ln (escolher a base adequada)

{ { {1xa0ayblnxalnYln +=

Determinamos a e b resolvendo:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

+

=

=

=

=

++

∑∑∑

∑∑

iylnn

0iix

n

0i

2ixbln

n

0iixaln

n

0iiyln

n

0iixblnaln)1n(

Então ⎪⎩

⎪⎨⎧

=→=

=→=

1a1

0a0

ebblna

eaalna

Exemplo 4: Ajustar os dados abaixo a uma função exponencial do tipo xabY = . i ix iy iyln iyix ln 2

ix iY 2)( iyiY −

0 0 3 1.09861 0 0 2.98422 0.00024901 0.5 4 1.38629 0.693145 0.25 4.2228031 0.04964122 1 6 1.79176 1.79176 1 5.9754291 0.00060253 1.5 9 2.19722 3.29583 2.25 8.4555298 0.29644774 2 12 2.48491 4.96982 4 11.964948 0.00122865 2.5 17 2.83321 7.08303 6.25 16.930930 0.00477066 3 24 3.17805 9.53415 9 23.958013 0.00176287 3.5 33 3.49651 12.2378 12.25 33.901647 0.81296898 4 48 3.87120 15.4848 16 47.972329 0.0007656∑ 18 ------------- 22.3378 55.0903 51 ------------- 1.1684403

Os gráficos a seguir ilustram o efeito da linearização dos dados.

53


⎩⎨⎧

=+

=+

0903.551510183378.2211809

aaaa

⇒ 984218125.20093337778.11

002347015.2169432.00

==→=

==→=

aeaa

aeba ⇒

xY )00235.2(98422.2=

- 5.3.4.2 -AJUSTE POR FUNÇÃO POTÊNCIA Seja baxY = a função de ajuste. Linearizando a função Y(x) , temos : .lnlnln xbay += Resolve-se o sistema de equações lineares e encontra-se a e b:

1

1

0

1

xxlnab

aalnyyln

====

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

+

=

=

=

=

++

∑∑∑

∑∑n

0iiylnixln

n

0i

2)ix(lnbn

0iixlnaln

n

0iiyln

n

0iixlnbaln)1n(

então

10a0 abeeaaaln ==⇒= .

Exercício : Os dados abaixo dão a duração de uma broca em função da velocidade de corte. Pede-se para fazer uma tabela de D=D(v) para 100 (10) 180.

8.2180

9.7150

28120

79100

.)()/(

segDsmV D(v)=0.813947103e14*1/(x^5.680591334)

-

54

E.B.Hauser – Cálculo Numérico Efeito da linearização dos dadoss

5.3.4.3 -AJUSTE POR FUNÇÃO HIPERBÓLICA : xaa

1Y10 +

= . Linearizando, temos :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∑=∑+∑

∑ ∑=++⇒+=

===

= =n

0iii

n

0i

2i1

n

0i0i

n

0i

n

0iii10

10y/xxaax

y/1xaa)1n(xaa

Y1

5.3.4.4 -OUTROS TIPOS DE FUNÇÕES DE AJUSTE

1) xaa

xY10 +

= . Linearizando, temos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∑=∑+∑

∑=∑++⇒+=

===

==n

0ii

2i

n

0i

2i1

n

0i0i

n

0iii

n

0ii10

10y/xxaax

y/xxaa)1n(xaa

Yx

2) 2210 xaxaa

1Y++

= . Linearizando, temos :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∑ ∑ ∑ ∑=++

∑ ∑ ∑=+∑+

∑=∑+∑++

⇒++=

i2i

4i2

3i1

2i0

ii3i2

2i1i0

i2i2i10

2210

y/xxaxaxa

y/xxaxaxa

y/1xaxaa)1n(

xaxaaY1

3)

{ { 434212x2ax1a

2

0ay

2cxbx

cxbxalnYln

aeY

+

+

++=

= ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∑ ∑ ∑=+∑+

∑ ∑=∑+∑+

∑ ∑ ∑=+++

i2i

4i

3i

2i

ii3i

2ii

i2ii

ylnxxcxbxaln

ylnxxcxbxaln

ylnxcxbaln)1n(

⇒

0a

0 aeaaln →=⇒ .

55


Exercícios: 1) Considerando:

i 0 1 2 3 4 5 6 x 1 2 3 4 5 6 7 y 34 45 63 88 120 159 205

a) Mostrar que o ajuste por uma parábola é adequado. b) Ajustar os dados a uma parábola. Resposta: a) ∆2 7y ii = ∀,

b) p x x x( ) , , ,= + +3 51194762 0 4047619048 30 142857142 2) Segundo o critério dos Mínimos Quadrados, qual das duas funções x558,0332,2Y1 +=

e x235,02 e037,2Y = melhor ajusta os dados da tabela?

x -2,3 1 3,1 y 1,2 2,5 4,2

Resposta: Y2, pois 2ii1

2ii2 )yY()yY( −<− ∑∑

2ii1 )yY( −∑ = 0,194 e 2

ii2 )yY( −∑ = 0,0123

3) Um filme vem sendo exibido numa determinada sala de cinema por cinco semanas e a frequência semanal, (aproximada à centena mais próxima) está dada na tabela abaixo. Utilizar ajuste linear para determinar a frequência esperada na sexta semana.

semana 1 2 3

4 5

frequência 5000 4500 4100 3900 3500 Resposta: Y(x) = 5280 -360x e y(6) = 3120

y = -360x + 5280R20,9818 =

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 1 2 3 4 5 6

56

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 4) O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura depois de x horas é apresentado pela tabela. Ajuste os dados tabulados a uma curva exponencial da forma y =abx e avaliar y para x=7.

x 0 1 2 3 4 5 6 y 32 47 65 92 132 190 275

Resposta: y x= ×32 1483 1 42694, , e y (7) = 387, 256 5) Utilizando o critério dos Mínimos Quadrados, ajustar a uma reta os dados tabulados:

xi 3 5 6 8 9 11 yi 2 3 4 6 5 8

Resposta: y = -0,33328 + 0,714285x 6) A tabela abaixo fornece uma relação entre a temperatura da água e a pressão barométrica. Ajustar os dados a uma função potência. p(mm de Hg) 680 690 700 710 720 730 740 780

T( Co ) 96.92 97.32 97.71 98.11 98.49 98.88 99.26 100.73

7) A tabela abaixo fornece uma relação entre a resistência à tração do aço em função da

temperatura.1500617

2780485

4450412

5260330

5720250

)2/(

)(

cmkg

Cot

σAjustar os dados a um polinômio de

grau 4.

y = 15,476x0,2813

R21 =

96,597

97,598

98,599

99,5100

100,5101

660 680 700 720 740 760 780 800

y = 2E-06x40,0033x - 31,8931x + 2466,48x + 47846 - R21 =

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 200 400 600 80057


8) Os dados abaixo referem-se a variação do coeficiente de atrito (µ ) ,entre a roda e o trilho seco, com a velocidade.

154.070

164.060

192.040

215.030

250.020

313.010

450.00)/(

µhkmV

Ajustar os dados a um polinômio de grau 5.

9) Os dados abaixo relacionam a viscosidade η em função da temperatura t.

990.021

069.118

121.116

148.115

175.114

276.19.10

409.15.7

ηCot

Realizar o ajuste sugerido pelo gráfico ao lado. Resp: )t(η =-0.030772617131t+1.619873714

y = -9E-10x52E-07x + 42E-05x - 30,0007x + 2 - 0,0196x + 0,45

R21 = 0,0000,0500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,4000,4500,500

0 20 40 60 80

58


10) Verificar qual das funções

xY 0001523.0015619.01 −= ou

xY )98028.0(017054.02 =

melhor se ajusta à tabela dada .

ix 20 40 60 80 100

iy 0.0131 0.006540.004590.0034 0.0026 Respostas: Aplicação1: Y(d)= 1/(.1329810498e-2*d^2-.2080049421e-1*d+.6161059331) Aplicação2: Y(p) = 5.779411/(2.043906+p)

59

6 . Integração Numérica

Objetivo : Calcular a ∫ba dxxf )( , onde a função integrando )(xf ou é conhecida por sua expressão

analítica ou por uma tabela de valores ( ))x(f,x ii , i = 0, 1,..., n.

Aplicação: Para controlar a poluição térmica de um rio, a temperatura (oF) foi registrada, reproduzindo os dados:

1.7517

6.7816

1.8115

4.8614

5.8613

8.8412

1.8311

0.7710

3.759

)atemperatur(y)hora(x

Encontrar a temperatura média da água entre 9h da manhã e 5h da tarde e estimar o erro cometido nesse cálculo.

]b,a[emcontínuaéf

e0)b(f).a(fse],b,a[em)x(fdemédiovaloroédx)x(fab

1fm:OBSb

a>∫

−=

6.1 -Fórmulas de Newton-Cotes

Consideremos ( ))x(f,x ii , i = 0, 1,..., n., hixix =−+1 , n

xnxh 0−= , )( ixfiy = .

A integral da função f(x) no intervalo [ ]n0 x;x é dada por :

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−++

−−+

−+=

=∫≅∫

−nx

0x0

nn

1n00

22

100

00

nx

0xn

nx

0x

dxyh!n

)xx)...(xx(...yh!2

)xx)(xx(yh

)xx(y

dx)x(Pdx)x(f

∆∆∆

Se h

xxR 0−= , então

hdrdxRhxx0Rxx

0

0=→+=

=→= e nRnxx =→= .

Assim:

60


dR)y!n

)1nR)...(1R(R...y!2

)1R(RyRy(hdR)R(Phdx)x(f 0nnx

0x 02

0n0 0

n0

∆∆∆∫ ∫∫+−−

++−

++=≅

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−++−++∫ ∫ ∫∫

n0

n0

n0

0n

02n

000 dR)1nR)...(1R(R!ny...dR)1R(R

!2yRdRydRyh ∆∆

∆

Na prática não é usual aproximar f(x) por um polinômio de grau n (elevado) devido ao erro de arredondamento que ocorre no processo. 6.2 – Regra dos Trapézios Considerando n = 1 na fórmula de Newton-Cotes temos :

∫ ∫ ∫ ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=≅1x

0x10

10

1000 RdRydRyhdR)R(Phdx)x(f ∆ [ ]1

02

0100 ]2/R[y]R[yh ∆+= =

= [ ]100

0 yy2h

2yyh +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∆ , ou para o intervalo [ ]1ii x;x + :

[ ]∫ ∫+ +++=≅1ix

ix1i

i 1ii yy2hdR)R(Phdx)x(f

Generalizamos para n subintervalos:

[ ]n1n21onx

ox

y)yyy(2y2hdx)x(f +++++≅∫ −L

Erro de Truncamento(para n subintervalos):

)(''],[

max)0(12

2xf

nxoxxxnxh

TE∈

−≤ ou iyxnx

TE 2max12

)0(∆

−≤

Vê-se que a fórmula dos Trapézios é exata para polinômios do 1o grau.

Exemplo1: Determinar h de tal forma que a regra trapezoidal forneça o valor de dxe10

2x∫ − com um

erro de truncamento menor que 410− .

0245.0h10)2(12h)x(''fmáx)01(

12hE 4

22T <⇒<=−≤ −

[ ]1;0x∈

h/)xx(n 0n −= , n/)xx(h 0n −= , 0245.0n/)xx( 0n <− , 41n8.40n =→> , 02439.0411h ==

61

6 -Integração Numérica

6.3 – Fórmula de Simpson

Fazendo n = 2 na fórmula de Newton-Cotes, temos,

[ ]∫ ∫ ∫∫ ++=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++≅2x

0x 21020

20

022

000 yy4y3hdR)1R(R

!2yRdRydRyhdx)x(f ∆

∆

Generalizamos para n subintervalos, n par:

[ ]∫ +++++++++++≅ −−nx

oxn2n6421n531o y)yyyy(2)yyyy(4y

3hdx)x(f LL

ERRO DE TRUNCAMENTO PARA A FÓRMULA DE SIMPSON

)x(fmax)xx(180hE ''''

]nx,ox[x0n

4S

∈−≤ ou i

40nS ymax

180)xx(E ∆−

≤

Exercícios

1.Aplicação:.Para controlar a poluição térmica de um rio, a temperatura (oF) foi registrada, reproduzindo os dados:

1.7517

6.7816

1.8115

4.8614

5.8613

8.8412

1.8311

0.7710

3.759

)atemperatur(y)hora(x

Encontrar a temperatura média da água entre 9h da manhã e 5h da tarde e estimar o erro cometido nesse cálculo. 2. Estimar a área da região hachurada pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando oito subintervalos.

62

E.B.Hauser – Cálculo Numérico 3. Calcular a integral abaixo pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro, seis e dez subintervalos. Comparar os resultados.

xdxsen)xcos2sen(2/

0

2∫π

4. Calcular por Trapézios:

a) dxxe

e2

0

x

∫ −

− com h = 0.5

b) tgxdxe1

0

2x∫ com h=0.1

5. Calcular por Simpson:

a) ∫++

2.1

0x 1xe

dx com h =0 .3

b) dxe2

0

2x∫ − com h = 0.25

c) xdxcosx2/

0

2∫π

com n=0.4

6. O gráfico da figura foi registrado por um instrumento usado para medir uma quantidade física. Estimar as coordenadas-y dos pontos do gráfico e aproximar a área da região fechada usando seis subintervalos

63

6 -Integração Numérica

7) A função de Bessel é solução de uma equação que surge com grande freqüência, em engenharia e/ ou física matemática, na resolução das equações diferencias parciais pelo método da separação de variáveis. As equações de Bessel surgem quando aplicamos a técnica de separação de variáveis a problemas de valor de contorno, por exemplo, em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Constitui exemplos importantes desta modelagem o estudo da evolução da temperatura e reações químicas em cilindros e esferas. Ao lado a representação gráfica de )t(0J Tarefa: Considerar a representação integral da Função de Bessel de primeiro tipo

,...3,2,1,0m,0

dx)tsenxmxcos(1)t(mJ =−= ∫π

π

Estimar )3(0J com cinco subintervalos e o erro cometido neste cálculo.

Respostas: 1. temperatura média ≅ 81,58 oF ( por Trapézios) 2. Trapézios: 1.761237 Simpson: 1.763624 3.

n 4 6 10 Trapézio 0,481485 0,496396 0,503836 Simpson 0,512682 0,508646 0,508045

4. a) I = 0,636571 b) I = 1,110603 5. a) I = 0,658685 b) I = 0,882065 c) I = 0,466890 7. )3(0J = -0,260052

64

7 - Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Objetivo: Resolver numericamente(e generalizar para problemas de ordem mais elevada) o problema de valor inicial de primeira ordem

(PVI) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

oo y)x(y

)y,x(f'y,

e o problema de valor de contorno de segunda ordem, linear:

(PVC) ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=++

.y)x(y,y)x(y

)x(fy)x(Q'y)x(P''y

nnoo

Os métodos numéricos são processos que fornecem valores aproximados da solução em pontos particulares, usando operações algébricas. Os métodos que estudaremos determinarão estimativas da solução nos pontos

K,x,x,x 21o , onde ihxx oi += , i= 0,1,...,n . A escolha do valor de h é arbitrária e, em geral, quanto menor h , melhor a estimativa da solução obtida.

Sejam iyixy ≅)( , ihxx oi += , i= 0,1,...,n e n/)xx(h on −= .

Método de Euler(PVI): )y,x(hfyy iii1i +=+ , i= 0,1,...,n-1. Método de Runge-Kutta de 2 a ordem(PVI) :

( )21i1i kk2hyy ++=+ , )y,x(fk ii1 = e )hky,hx(fk 1ii2 ++= , i= 0,1,...,n-1.

Diferenças Finitas(p/diferenças centrais)(PVC): Para i= 1,...,n-1 , é gerado um sistema de n-1 equações lineares:

( ) )x(fhy)x(P2h1y)x(Qh2y)x(P

2h1 i

21iiii

21ii =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + −+

Sistemas de Equações Diferenciais de primeira ordem com condições iniciais

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

oooo z)x(z,y)x(y

)z,y,x(g'z)z,y,x(f'y

Para obtermos sua solução é possível aplicar os métodos de Euler e Runge-Kutta de segunda ordem. Por exemplo, por Euler as estimativas são obtidas aplicando.

yi+1 = yi + h f (xi, yi, zi ) e zi+1 = zi + h g (xi, yi, zi ). Mudança de Variável para problemas de valor inicial de segunda ordem:

Para ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

oooo z)x('y,y)x(y

)z,y,x(f''y, fazemos a mudança de varável u'y = , com oo y)x(y = .

Então devemos resolver o sistema de duas equações diferenciais ordinárias, acopladas

pelas condições iniciais:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

oooo z)x(u,y)x(y

)z,y,x(f'uu'y

.

65

E.B.Hauser – Cálculo Numérico Derivada Diferença Finita

h, k=tamanho do passo na direção x e na direção y (ou t)

)ix´(y atrasadah

1iyiy,centrada

h21iy1iy

,avançadah

iy1iy −−−−+−+

)ix´´(y

2h1iyiy21iy −+−+ centrada

)ix('''y

3h22iy1iy21iy22iy −−−++−+ centrada

)ix(IVy 4h

2iy1iy4iy61iy42iy −+−−++−+ centrada

( )jt,ixtu

∂∂

k21j,i

u1j,i

u−

−+ centrada

( )jt,ix2x

u2

∂

∂

2h

j,1iu

j,iu2

j,1iu

−+−

+ centrada

( )jy,ix2y

u2

∂

∂

2k

1j,iu

j,iu2

1j,iu

−+−

+ centrada

Exemplos:

66

7 -Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Método de Euler Problema: y' = y – x; y(0) = 2

yn

xn

h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01 h = 0.005

Solução exata Y(x) = ex + x + 1

0.0 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 0.1 2.2000 2.2025 2.2046 2.2049 2.2052 0.2 2.4100 2.4155 2.4202 2.4208 2.4214 0.3 2.6310 2.6401 2.6478 2.6489 2.6499 0.4 2.8641 2.8775 2.8889 2.8903 2.8918 0.5 3.1105 3.1289 3.1446 3.1467 3.1487 0.6 3.3716 3.3959 3.4167 3.4194 3.4221 0.7 3.6487 3.6799 3.7068 3.7102 3.7138 0.8 3.9436 3.9829 4.0167 4.0211 4.0255 0.9 4.2579 4.3066 4.3486 4.3541 4.3596 1.0 4.5937 4.6533 4.7048 4.7115 4.7183

Método de Runge-Kutta de segunda ordem Problema: y' = y – x; y(0) = 2

yn xn h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01

Solução exata Y(x) = ex + x + 1

0.0 2.0000000 2.0000000 2.0000000 2.0000000 0.1 2.2050000 2.2051266 2.2051691 2.2051709 0.2 2.4210250 2.4213047 2.4213987 2.4214028 0.3 2.6492326 2.6496963 2.6498521 2.6498588 0.4 2.8909021 2.8915852 2.8918148 2.8918247 0.5 3.1474468 3.1483904 3.1487076 3.1487213 0.6 3.4204287 3.4216801 3.4221007 3.4221188 0.7 3.7115737 3.7131870 3.7137294 3.7137527 0.8 4.0227889 4.0248265 4.0255115 4.0255409 0.9 4.3561818 4.3587148 4.3595665 4.3596031 1.0 4.7140809 4.7171911 4.7182369 4.7182818

67


Método de Euler Problema: y' = y; y(0) = 1

yn

xn

h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01 h = 0.005

Solução exata Y(x) = ex

0.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1 1.1000 1.1025 1.1046 1.1049 1.1052 0.2 1.2100 1.2155 1.2202 1.2208 1.2214 0.3 1.3310 1.3401 1.3478 1.3489 1.3499 0.4 1.4641 1.4775 1.4889 1.4903 1.4918 0.5 1.6105 1.6289 1.6446 1.6467 1.6487 0.6 1.7716 1.7959 1.8167 1.8194 1.8221 0.7 1.9487 1.9799 2.0068 2.0102 2.0138 0.8 2.1436 2.1829 2.2167 2.2211 2.2255 0.9 2.3579 2.4066 2.4486 2.4541 2.4596 1.0 2.5937 2.6533 2.7048 2.7115 2.7183

Método de Runge-Kutta de segunda ordem Problema: y' = y; y(0) = 1

yn xn h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01

Solução exata Y(x) = ex

0.0 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 0.1 1.1050000 1.1051266 1.1051691 1.1051709 0.2 1.2210250 1.2213047 1.2213987 1.2214028 0.3 1.3492326 1.3496963 1.3498521 1.3498588 0.4 1.4909021 1.4915852 1.4918148 1.4918247 0.5 1.6474468 1.6483904 1.6487076 1.6487213 0.6 1.8204287 1.8216801 1.8221007 1.8221188 0.7 2.0115737 2.0131873 2.0137294 2.0137527 0.8 2.2227889 2.2248265 2.2255115 2.2255409 0.9 2.4561818 2.4587148 2.4595665 2.4596031 1.0 2.7140809 2.7171911 2.7182369 2.7182818

68


Método de Euler Problema: y' = 4x3; y(0) = 1

yn

xn

h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01

Solução exata Y(x) = x4

0.1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.2 0.0004 0.0009 0.0014 0.0016 0.3 0.0036 0.0056 0.0076 0.0081 0.4 0.0144 0.0196 0.0243 0.0256 0.5 0.0400 0.0506 0.0600 0.0625 0.6 0.0900 0.1089 0.1253 0.1296 0.7 0.1764 0.2070 0.2333 0.2401 0.8 0.3136 0.3600 0.3994 0.4096 0.9 0.5184 0.5852 0.6416 0.6561 1.0 0.8100 0.9025 0.9801 1.0000

Método de Runge-Kutta de segunda ordem Problema: y' = 4x3; y(0) = 0

yn

xn

h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01

Solução exata Y(x) = x4

0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1 0.0002000 0.0001250 0.0001010 0.0001000 0.2 0.0020000 0.0017000 0.0016040 0.0016000 0.3 0.0090000 0.0083250 0.0081090 0.0081000 0.4 0.0272000 0.0260000 0.0256160 0.0256000 0.5 0.0650000 0.0631250 0.0625250 0.0625000 0.6 0.1332000 0.1305000 0.1296360 0.1296000 0.7 0.2450000 0.2413250 0.2401490 0.2401000 0.8 0.4160000 0.4112000 0.4096640 0.4096000 0.9 0.6642000 0.6581250 0.6561810 0.6561000 1.0 1.0100000 1.0025000 1.0001000 1.0000000

69

E.B.Hauser – Cálculo Numérico Exercícios: 1. Utilizando o método de Euler, determinar y(X i ), se :

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−−=

2)1(y1xyy

, h=0,25 , Xi =1,75

b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

>+=

0)1(y0y,yxy

, h=0,1 , Xi =1,4

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

2,0)1(yy2xy 2

, h=0,1 , Xi =1,4

d) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−=

2)0(y100e101y100y x

, h=0,1 , Xi =0,3

e) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−===−−

5,0)1`(y,5.0)1(y0yx8y``xy 33

, h=0,1 , Xi =1,3

f) ⎪⎩

⎪⎨⎧

===+−−

0)0`(y,5,0)0(y0yy)y1(``y 2

, h=0,1 , Xi =0,3

2.Utilizando o Método de Heun (Runge-Kutta de 2ª ordem), determinar y( Xi ), se:

a)⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

1)0(yy2x3y , h=0,2, Xi =0,4 b)⎩

⎨⎧

=−=

1)0(yxyy

, h=0,1, Xi =0,2

c)⎪⎩

⎪⎨⎧

==

0)0(y

3x4y , h=0,1 , Xi =0,3

3.Utilizando o Método das diferenças finitas, e o valor indicado de n, resolver o PVC.

a) 4n,1)2(y,4)0(y

0y9''y=

⎩⎨⎧

===+

b) 5n,0)1(y,4)0(y

x5y'y2''y=

⎩⎨⎧

===++

c) 8n,0)2(y,5)1(y

0y3'xy3''yx2=

⎪⎩

⎪⎨⎧

===++ d) 10n,

2)1(y,0)0(yxxy'y)x1(''y

=⎩⎨⎧

===+−+

70


4. PVI -Considerar um sistema massa-mola-amortecedor descrito pela equação diferencial ordinária de segunda ordem:

m y” + cy’ + ky = L sin x. Utilizando Euler com h=0.25, estimar o deslocamento para o tempo x=0.5, para massa m=1, amortecedor c=0.5, rigidez k=2, amplitude da força L=0.5 , com deslocamento inicial y(0)=1, velocidade inicial y’(0) =0. 5. PVC - Considerar o problema de deflexão de uma viga de seção transversal retangular sujeita a uma carga uniforme, tendo seus extremos apoiados de modo a não sofrer deflexão alguma. O problema de valor de contorno que rege essa situação física é

Lx0),1x(xEI2qw

EIS

dxwd2

2<<−+= ,

Como não ocorre deflexão nas extremidades da viga, as condições de contorno são w(0) =0, w(L) =0. Considerando:

• Comprimento L=120 pol; • Intensidade de carga uniforme q=100 lb/pé; • Módulo de elasticidade E=3.0 x 107 lb/pol2; • Esforço nas extremidades S=1000 lb; • Momento central de Inércia I=625 pol4;

aproximar a deflexão w(x) da viga a cada 20pol, utilizando diferenças finitas. Respostas : 1.a) y(1,75)=1,2018 2.a) y(0,4)=1,1189 b) y(1,4)=0,4558 b) y(0,2)=0,9801 c) y(1,4)=0,7778 c) y(0,3)=0,009 d) y(0,3)=-25,2206 e) y(1,3)= 0, 3647 f) y(0,3)= 0,3991

3.a)3226,6y

5807,2y6774,5y

3

2

1

=−=−=

b)

2167,0y3308,0y3356,0y2259,0y

4

3

2

1

−=−=−=−=

c)

2913,0y6430,0y0681,1y5826,1y2064,2y9640,2y8842,3y

7

6

5

4

3

2

1

=======

d)

8474,1y6855,1y5149,1y3353,1y1465,1y9471,0y7357,0y5097,0y2660,0y

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=========

4) y(0.5)=0.875

71

8 – Resolução Numérica de Equações Diferenciais Parciais 8.1 -Introdução

Equação diferencial parcial (EDP) é a uma equação que envolve duas ou mais variáveis independentes ),t,z,y,x( K e derivadas parciais de uma função incógnita(variável

dependente que queremos determinar) ),t,z,y,x(uu K≡ . Um corpo é isotrópico se a condutividade térmica em cada um de seus pontos é

independente da direção do fluxo de calor através do ponto. Em um corpo isotrópico, a temperatura, ),,,,( tzyxuu ≡ é obtida resolvendo-se a equação diferencial parcial (EDP)

tucp

zuk

zyuk

yxuk

x ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

onde k, c e p são funções de (x,y,z), e representam respectivamente, a condutividade térmica, o calor específico e a densidade do corpo no ponto (x,y,z).

Quando k, c e p são constantes, essa equação é denominada equação simples tridimensional do calor, e é expressa como

.tu

kcp

zu

yu

xu

2

2

2

2

2

2

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Se o domínio do problema é relativamente simples, a solução dessa equação é obtida

utilizando a série de Fourier. Na maioria das situações onde k, c e p não são constantes ou quando o domínio é irregular, a solução da equação diferencial parcial deve ser obtida por meio de métodos de aproximação.

Para introduzir métodos numéricos de resolução de EDP, utilizaremos as equações de

Poisson, do Calor e da Onda, as quais representam protótipos das EDP´s elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Será adotado um procedimento geral, seguindo os passos:

1) Construir uma malha a partir do domínio do problema; 2) Para os pontos interiores da malha, escolher a discretização das derivadas parciais; 3) Construir o sistema de equações lineares usando a discretização dos pontos interiores,

( )ji y,xf e as condicções de contorno. 4) Resolver o sistema de equações lineares(escolher o método masi eficiente), cuja

solução forne as aproximações da solução nos pontos interiores da malha.

8.1.1-Equação Do Potencial ou de Poisson(EDP Elíptica)

Consideremos a equação de Poisson:

).y,x(f)y,x(y

u)y,x(x

u2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

72


Nessa equação supomos que a função f descreve os dados do problema em uma região plana R com fronteira S. Equações desse tipo aparecem durante o estudo de diversos problemas físicos dependentes do tempo; por exemplo, a distribuição de calor para um estado estável em uma região plana, a energia potencial de um ponto em um plano sobre o qual atuam forças gravitacionais e os problemas bidimensionais do estado de equilíbrio que incluem fluidos não comprimíveis. Para se obter uma solução única para equação de Poisson é necessário impor outras restrições. Por exemplo, o estudo da distribuição de calor no estado de equilíbrio em uma região plana requer que ( ) 0y,xf ≡ que é a equação de Laplace

,0)y,x(y

u)y,x(x

u2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

Se a temperatura na região é determinada por sua distribuição no limite da região, as restrições são denominadas Condições de limite de Dirichlet, dadas por ),,(),( yxgyxu = para todo(x,y) em S, a fronteira da região R ( ver figura 1). Figura 1 8.1.2- Equação de Calor ou da Difusão (EDP Parabólica) A equação do calor ou de difusão (que é uma equação diferencial parcial parabólica)

,0)t,x(x

u)t,x(tu

2

2=

∂

∂+

∂∂

modela matematicamente o problema físico referente ao fluxo de calor ao longo de uma barra de comprimento l (figura 2), a qual tem uma temperatura uniforme dentro de cada elemento transversal. Essa condição requer que a superfície lateral da barra esteja perfeitamente isolada. A constante α é determinada pelas propriedades de condução de calor do material de que a barra é feita e é independente da posição da barra. Figura2

73

8 - Resolução Numérica de Equações Diferenciais Parciais

Um dos conjuntos típicos de restrições para um problema de fluxo de calor desse tipo consiste em especificar a distribuição inicial de calor na barra: u(x,0)=f(x) e em descrever o comportamento nas extremidades da barra. Por exemplo, se as extremidades são mantidas em temperaturas constantes ,UeU 2i as condições de contorno têm a forma:

1U)t,0(u = e ,U)t,l(u 2= e a distribuição de calor se aproxima da distribuição limite de temperatura

.),( 121lim x

lUUUtxu

t

−+=

∞→

Se, a barra estiver isolada de modo que não flua calor por suas extremidades, as condições de contorno serão:

0),0( =∂∂ t

xu e ,0),( =

∂∂ tl

xu

o que resulta em uma temperatura constante na barra como caso limite. A equação diferencial parcial parabólica também é importante para o estudo da difusão dos gases. 8.1.3- Equação da Onda (EDP Hiperbólica) Consideremos a equação da Onda unidimensional , um exemplo de uma equação diferencial parcial hiperbólica. Supomos que uma corda elástica ,de comprimento l , seja esticada entre dois suportes no mesmo nível horizontal(figura 3) Figura 3 Se pusermos a corda em movimento de modo que ela vibre em um plano vertical, o deslocamento vertical u ( x , t ) de um ponto x no tempo t satisfará a equação diferencial parcial

t0,lx0para),t,x(tu)t,x(

xu

2

2

2

22 <<<

∂

∂=

∂

∂α ,

se os efeitos de amortização forem desconsiderados e a amplitude não for muito grande. Para impor restrições a esse problema, vamos supor que a posição e a velocidade iniciais da corda sejam dadas por

74


)()0,( xfxu = e ),x(g)0,x(tu

=∂∂

Se os pontos extremos forem fixos, teremos: 0)t,l(ue0)t,0(u == .

Os outros problemas físicos envolvendo a equação diferencial parcial hiperbólica ocorrem no estudo de vigas vibrantes com uma ou ambas as extremidades clamped e na transmissão de eletricidade em uma linha de transmissão longa onde exista alguma perda de corrente para o solo. 8.2. -Método das Diferenças Finitas para Equação Diferencial Parcial Elíptica Consideremos o problema de valor de contorno envolvendo a equação de Poisson (que é uma equação diferencial parcial elíptica)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈=

=∂

∂+

∂

∂≡∇

,S)y,x(para)y,x(g)y,x(u

)y,x(f)y,x(y

u)y,x(x

u)y,x(u 2

2

2

22

onde S é a fronteira(contorno) do retângulo }dyc,bxa/)y,x{(R <<<<= . Se f e g são contínuas em seus domínios, então existe uma única solução para esse problema de valor de contorno..

Utilizaremos uma adaptação do método de Diferenças Finitas . Em R contruímos uma grade(figura4) , traçando linhas verticais e horizontais ( ixx = e ,

jyy = grid lines) pelos pontos ( ),, ji yx e suas intersecções são os pontos de rede (mesh points), onde

,ihaxi += h=(b – a)/n , para todo i = 0,1,...,n e

,jkcy j += k=(d – c)/m , para todo j = 0,1,...,m

Figura 4

75


Para cada ponto de rede no interior da quadricula ( ),, ji yx com i = 1,2,...,n-1 e com j =

1,2,...,m-1, utilizamos a série Taylor na variável x ao redor de ix para gerar a fórmula das diferenças centrais

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),y,xu

12h

h

y,xy,xu2y,xuy,x

xu

ji4

42

2j1ijij1i

ji2

2ξ

∂

∂−

+−=

∂

∂ −+ (2.1)

onde ( )., 11 +−∈ ii xxξ Também utilizamos a série de Taylor na variável y ao redor de jy para gerar a fórmula das diferenças centrais

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,xyu

12k

k

y,xy,xu2y,xuy,x

yu

ji4

42

2j1ijij1i

ji2

2η

∂

∂−

+−=

∂

∂ −+ (2.3)

onde ( )., 11 +−∈ jj yyη

A utilização dessas formulas na Equação (2.1) nos permite expressar a equação de Poisson nos pontos ( ),, ji yx como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),,xyu

12ky,

xu

12hy,xf

k

y,xy,xu2y,xu

h

y,xy,xu2y,xu

ji4

42ji4

42ji

2j1ijij1i

2j1ijij1i

ηξ∂

∂+

∂

∂+=

+−+

+− −+−+

para todo i = 1,2,...,n-1 e j = 1,2,...,m-1, e as condições de limite como

),(),( 00 jj yxgyxu = e ),,(),( jnjn yxgyxu = para todo j = 0,1,...,m; ),(),( 00 yxgyxu ii = e ),,(),( mimi yxgyxu = para todo i = 1,2,...,n-1;

Na forma da equação de diferenças, isso resulta no método das Diferenças Finitas para a

equação de Poisson, com um erro local de truncamnto da ordem de ( ):22 khO +

( ) ( ) ( )

1.-m1,2,..., j e 1-n1,2,..., i

,y,xfhwwkhwww1

kh2 ji

21j,i1j,i

2

j,1ij,1iij

2

==

−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−+ (2.4)

),( 00 jj yxgw = e ),( jnnj yxgw = , para todo j = 0,1,...,m; (2.5)

),( 00 yxgw ii = e ),,( miim yxgw = para todo i = 1,2,...,n-1; onde ijw é uma aproximação de ),( ji yxu .

76

E.B.Hauser – Cálculo Numérico A equação em (2.4) envolve aproximações a ),( yxu nos pontos ( )ji yx ,1− , ( )ji yx , , ( )ji yx ,1+ , ( )1, −ji yx e ( )1, +ji yx .

Reproduzindo a parte da malha na qual esses pontos estão situados (veja figura.5), observamos que cada equação contém aproximações em uma região em forma de estrela ao redor de ( )ji yx , . Figura 5

Se utilizarmos a informação das condições de limite (2.5) sempre que for conveniente no

sistema dado por (12.4), poderemos dizer que, em todos os pontos ( )ji yx , adjacentes ao ponto de rede do limite, teremos um sistema linear ( n – 1)(m – 1) x ( n – 1)(m – 1), cujas incógnitas são as aproximações ijw a ),( ji yxu no interior dos pontos de rede.

O sistema linear que contém essas incógnitas será expresso mais eficientemente em cálculos matriciais se for introduzida uma remarcação dos pontos interiores da malha. Um sistema de marcação desses pontos consiste em utilizar

( )jil y,xP = e ijl ww = onde ),1)(1( −−−+= njmil para todo i = 1,2,...,n-1 e j = 1,2,...,m-1. Isso marca consecutivamente os ponto de rede da esquerda para direita e de cima para baixo. Por exemplo, com n = 4 e m = 5, com a remarcação se obtém uma quadrícula cujos pontos são mostrados na Figura 12.6.Ao marcar os pontos desse modo, se garante que o sistema necessário para determinar ijw seja uma matiz de banda com uma largura de banda de, no máximo, 2n – 1. Figura 6

77


Exemplo1 Consideremos o problema da determinação do estado estável da distribuição de calor em uma placa quadrada metálica delgada, com dimensões 0,5 m por 0,5 m. Dois limites adjacentes são mantidos a 0ºC, e o calor nos outros dois limites aumenta linearmente de 0ºC, em um canto, para 100ºC no lugar onde ambos os lados se encontram. Se colocarmos os lados com as condições de limite igual a zero ao longo dos eixos x e y , o problema pode ser expresso como

,0),(),( 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂ yx

yuyx

xu

para (x , y) no conjunto },5,0y0,5,0x0/)y,x{(R <<<<= com as condições de fronteira

u (0 , y)=0, u (x , 0)=0, u (x , 0,5)=200x, u (0,5 , y) = 200y

Consideremos n = m = 4. Assim, com h=k=0.125. Construímos a malha da figura 7: Figura 7 Utilizandos o método das Diferenças Finitas (2.4) obtemos a equação de diferenças finitas

,0wwwww4 ij,iij,ij,1ij,1ij,i =−−−− +−−+

para todo i= 1,2,3 e j=1,2,3 . Para expressar isso em função dos interiores da grade, usamos ( )jil y,xP = e ijl ww = e

)( ii Puw = , e l = i+(m-1-j)(n-1).

78

E.B.Hauser – Cálculo Numérico Também, a partir das condições de contorno e usando (2.5)

75ww,e,50ww,25ww

,0wwwwww

3,44,32,44,21,44,1

3,02,01,00,30,20,1

======

======

Assim, para cada ponto interior da grade, iP geramos uma equação linear:

,wwwww4:P

,wwwww4:P

,wwwww4:P

,wwwww4:P0wwwww4:P

wwwww4:P

wwwww4:P

wwwww4:P

wwwww4:P

1,40,36899

0,257988

0,11,04877

2,493566

824655

2,071544

4,33,46233

4,251322

4,13,04211

+=−−

=−−−

+=−−

=−−−

=−=−−

=−−−

+=−−

=−−−

+=−−

Obtemos um sistema linear cuja a forma matricial é:

Resolvendo o sistema com o sistema de computação algébrica e simbólica Maple , obtemos as temperaturas aproximadas nos pontos interiores da malha.

79


> A := matrix( [[4,-1,0,-1,0,0,0,0,0],[-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0],[0,-1,4,0,0,-1,0,0,0],[-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0],[0,-1,0,-1,4,-1,0,-1,0],[0,0,-1,0,-1,4,0,0,-1],[0,0,0,-1,0,0,4,-1,0],[0,0,0,0,-1,0,-1,4,-1],[0,0,0,0,0,-1,0,-1,4]]): > b := vector( [25,50,150,0,0,50,0,0,25]): > linalg[linsolve](A, b);

> W:=evalf(%);

Tabelamos os resultados:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 iw 18.75 37.50 56.25 12.5 25.00 37.50 6.25 12.50 18.75

Assim, para cada i, )( ii Puw = , isto é, iw é uma estimativa da solução em )y,x(P iii = . Por exemplo, 5.37)25.0,375.0(u)P(uw 66 ≅== Exemplo2: Consideremos o modelo para determinar a temperatura de estado estacionário para uma placa quadrada com condições de contorno dadas:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧

<≤−<<

==

−==

<<<<=∂

∂+

∂

∂

2x1,x21x0,x

)2,x(u,0)0,x(u

)y2(y)y,2(u,0)y,0(u

2y0,2x0,0)y,x(y

u)y,x(x

u2

2

2

2

80


Utilizando diferenças finitas centrais com h=k=2/3, para i, j = 0,1,2,3, obtemos a equação de diferenças finitas:

0u4uuuu j,i1j,ij,1i1j,ij,1i =−+++ −−=+ Para determinar o valor de 22u)3/4,3/4(ue21u)3/2,3/4(u,12u)3/4,3/2(u,11u)3/2,3/2(u ≅≅≅≅ Utilizando o sistema Maple para resolver o sistema linear tridiagonal:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−+−=+−−=+−=++−

9/1422u412u21u3/222u12u411u9/822u21u411u

012u21u11u4

> solve({-4*u11+u21+u12=0, u11-4*u21+u22=-8/9, u11-4*u12+u22=-2/3, u21+u12-4*u22=-14/9},{u11,u12,u21,u22});

{ }, , , = u121336

= u11736

= u22712

= u21512

> evalf(%); { }, , , = u12 .3611111111 = u11 .1944444444 = u22 .5833333333 = u21 .4166666667

Exercícios: 1) Com h=k=10, resolver numericamente equação de Laplace

,60y0,80x0,0)t,x(2x

u2)t,x(2y

u2<<<<=

∂

∂+

∂

∂

sujeita às condições 100)y,0(ue,0)y,80(u)60,x(u)0,x(u ==== .

j↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i← 6 100 0 0 0 0 0 0 0 0 60 5 100 46,993 24,835 13,978 8,068 4,633 2,523 1,110 0 50 4 100 63,138 38,368 23,010 13,660 7,942 4,348 1,917 0 40 3 100 67,192 42,490 26,032 15,620 9,128 5,009 2,211 0 30 2 100 63,138 38,368 23,010 13,660 7,942 4,348 1,917 0 20 1 100 46,993 24,835 13,978 8,068 4,633 2,523 1,110 0 10 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x → 0 10 20 30 40 50 60 70 80 y↓ 2) Resolver numericamente equação de calor

4ij,iuij,iuj,1iuj,1iu

j,iu ++−+−++=

81


,t0,1x0,0)t,x(x

u)t,x(tu

2

2≤<<=

∂

∂−

∂∂

com as condições de contorno ,t0,0)t,1(u)t,0(u <==

e as condições iniciais .1x0),x(sen)0,x(u ≤≤= π

Ajuda: Diferenças finitas para o problema com h=0,2, k=0.01

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++=+ j,1iuj,1iu25,0j,iu5,01j,iu

j ↓ 0 1 2 3 4 5 ← i 6 0 0,3219 0,5208 0,5208 0,3219 0 0,06 5 0 0,3559 0,5758 0,5758 0,3559 0 0,05 4 0 0,3934 0,6366 0,6366 0,3934 0 0,04 3 0 0,4350 0,7038 0,7038 0,4350 0 0,03 2 0 0,4809 0,7781 0,7781 0,4809 0 0,02 1 0 0,5317 0,8602 0,8602 0,5317 0 0,01 0 0 0,5878 0,9511 0,9511 0,5878 0 0,00

x → 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ↑ tempo Diferenças finitas para o problema com h=0,1, k=0.005

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++=+ j,1iuj,1iu1,0j,iu9,01j,iu

j ↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ← i 6 0 0 0,5189 0,9869 1,3584 1,5969 1,6791 1,5969 1,3584 0,9869 0,5189 0 0,030 5 1 0 0,4759 0,9053 1,2460 1,4647 1,5401 1,4647 1,2460 0,9053 0,4759 0 0,025 4 2 0 0,4365 0,8304 1,1429 1,3435 1,4127 1,3435 1,1429 0,8304 0,4365 0 0,020 3 3 0 0,4004 0,7616 1,0483 1,2324 1,2958 1,2324 1,0483 0,7616 0,4004 0 0,015 2 4 0 0,3673 0,6986 0,9616 1,1304 1,1886 1,1304 0,9616 0,6986 0,3673 0 0,010 1 5 0 0,3369 0,6408 0,8820 1,0369 1,0902 1,0369 0,8820 0,6408 0,3369 0 0,005 0 6 0 0,3090 0,5878 0,8090 0,9511 1,0000 0,9511 0,8090 0,5878 0,3090 0 0,000

x → x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 ↑ tempo

8.4 – Bibliografia para EDP`s

82

E.B.Hauser – Cálculo Numérico --Burden, Richard L., Faires, J. Douglas.”Analise Numérica”, São Paulo, SP, 2003, THOMSON. --Cláudio, Dalcidio M, Marins, Jussara M, Cálculo Numérico Computacional, São Paulo, SP, Ed. Atlas, 1994. --Cunha, M.Cristina, Métodos Numéricos, Campinas, SP, 2003, Ed. Unicamp. --Zill, Denis G., Cullen, Michael R., Equações Diferenciais, Vol.2, Sâo Paulo, SP, 2002, Makron Books. --Schleider, Maria Amélia N, Cunha, Maria Cristina, Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Parciais, Notas em Matemática Aplicada, Volume 4, São Carlos, SP, 2003, SBMAC. (Disponível em http://www.sbmac.org.br/boletim/pdf_2003/livro_04_2003.pdf) --Stroud, K.A, Booth, Dexter J., Advanced Engineering Mathematics, New York, 2003, Palgrave Macmillan.

83

Equação Diferenças Finitas h, k=tamanho do passo na direção x e na direção y (ou t)

Célula Computacional

Laplace

0)y,x(2y

u2)y,x(

2x

u2=

∂

∂+

∂

∂

Centradas, com h=k


j,iu ++−+−++=

•

••

•

−

+−

+

1j,iu

j,1iuj,iuj,1iu

1j,iu

o

Calor

)t,x(tu)t,x(

2x

u2

∂∂

=∂

∂α

Material α >0 Prata 1,7 Cobre 1,5 Alumínio 0,85 Ferro 0,15 Concreto 0,005

progressivas

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=+ j,1iuj,1iu

2h

k2j,iu

2h

k2211j,iu αα

Converge se 21

2h

k<

•••+−

+

j,1iuj,iuj,1iu

1j,iuo

Onda

)t,x(2t

u2)t,x(

2x

u22∂

∂=

∂

∂β

centradas

1j,iuj,1iuj,1iu2h

2k2j,iu

2h

2k2121j,iu −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=+

ββ

Se 12h

2ke1 ==β , 1j,iuj,1iuj,1iu1j,iu −−++−=+

•

•••

−

+−

+

1j,iu

j,1iuj,iuj,1iu

1j,iuo

84

Bibliografia ATKINSON, K. E. An Introduction to Numerical Analysis. 2.ed. New York : John Wiley & Sons, 1989. AYYUB, Bilal M.; McCUEN, Richard H. Numerical Methods For Engineers. New Jersey: Prentice Hall, 1996. BARROSO, Leonidas Conceição et al. Cálculo Numérico com Aplicações. 2.ed. São Paulo : Harbra, 1987. BURDEN, Richard L., FAIRES, J. Douglas. Análise Numérica. São Paulo : Thomson, 2003. CHAPRA, Steven C., CANALE, Raymond P. Numerical Methods for Engineers with Programming and Software Applications. 4.ed. Boston : McGraw-Hill, 2002. CLÁUDIO, Dalcidio Moraes, MARINS, Jussara Maria. Cálculo Numérico Computacional. 2.ed. São Paulo : Atlas, 1994. CUNHA, M.Cristina, Métodos Numéricos, Campinas, SP, 2003, Ed. Unicamp. GANDER, Walter.; HREBICEK, Jiri. Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and Matlab: Berlin, Springer-Verlag, 1995. HUMES, Ana Flora P. de Castro et al. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw-Hill, 1984. KREYSZIG, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. New York, NY : John Wiley & Sons, 1993. O’NEIL,PeterV. Advanced Engineering Mathematics. 4.ed. Pacific Grove, CA : Brooks/Cole, 1995. RICE, Richard G.; DO, Duong D. Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers. New York : John Wiley & Sons, 1995. RUGGIERO, Márcia A. Gomes, LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo : McGraw-Hill, 1997. SCHELEIDER, Maria Amélia N, Cunha, Maria Cristina dC, Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Parciais, Notas em Matemática Aplicada, Volume 4, São Carlos, SP, 2003, SBMAC. (Disponível em http://www.sbmac.org.br/boletim/pdf_2003/livro_04_2003.pdf) STROUD, K.A, BOOTH, Dexter J., Advanced Engineering Mathematics, New York, Palgrave Macmillan, 2003.

85

Cálculo Numérico - Formulário

1a) # F = 1)1mM(1t)1(2 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−− ββ , ),,,( MmtF β ; 1b)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+++−=+1kx

kx1kxlog3,0)1kx,kx(DIGSE µ

2) Seja 0ax1a2x2a3x3a...1nx1nanxna)x(p +++++−−+=

a) Horner: 0ax)1ax)2a...x)2nax)1naxna1n

(((...()x(p +++−+−+

−

=321

b) Huat: Se p(0) ≠ 0 e para algum k = 1, 2, ...,n-1, 2ka ≤ 1k1k aa +− , então p tem raízes complexas.

3) Método de Newton-Raphson: 0)kx('fmáx,...,2,1,0k,)kx('f)kx(f

kx1kx ≠=−=+

4) Sistema de n equações lineares: AX=B, A = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ija , X = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ix e B = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ib com i,j = 1, 2, ..., n.

4a) 2kna2

2ka21kakonde

n21

AdetANORM LL

++== αααα

, para k = 1, 2, ..., n.

4b) A matriz A é Diagonal Dominante se .n,..,2,1j,in

ij1j

ijaiia =∀

≠=

> ∑

4c)Gauss -Jacobi e Gauss -Seidel: ∀ i= 1, 2, ..., n e k = 1, 2, ..., máx,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=−

+

−

=−=

+⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≠=

−=+

∑∑∑ kjxn

1ijija

1kjxija1i

1jib

iia1

1kixkjxija

n

ij1j

ibiia1

1kix

5) Diferenças Finitas Ascendentes: ∀ i= 0, 1, 2, ..., n ,seja ii0 yy =∆ . Para k = 1, 2, ..., n

a diferença finita de ordem k é iy1k1iy1k

iyk −−+−= ∆∆∆ , com i= 0, 1, 2, ..., n-k .

6) Diferenças Divididas: ∀ i= 0, 1, 2, ..., n ,seja ii0 yy =∆ . Para k = 1, 2, ..., n, a diferença dividida de ordem k é

ixkix

iy1k1iy1k

iyk−+

−−+−

=∆∆

∆ , com i= 0, 1, 2, ..., n-k .

7) Polinômio Interpolador de Newton para Diferenças Finitas Ascendentes:

oynnh!n

)1nxx()1xx)(oxx(oy2

2h!2

)1xx)(oxx(0y

h)oxx(

oy)x(p ∆∆∆ −−−−++

−−+

−+=

LL

Se h

)oxx(z

−= ,

!n

oyn))1n(z()1z(z

!3

oy3)2z)(1z(z

!2

oy2)1z(z0yzoy)z(p

∆∆∆∆ −−−++−−+−++= LL .

8) Polinômio Interpolador de Newton para Diferenças Divididas

oyn)1nxx)...(1xx)(oxx(...oy2)1xx)(oxx(0y)oxx(oy)x(p ∆∆∆ −−−−++−−+−+=

86


9) Ajustamento a um Polinômio de grau p: Se pxpa2x2ax1aoa)x(Y ++++= L é a função que ajusta os pontos

npen,...1,0i,)y,x( ii <= , então, para ∑ ∑=

=n

0i, os parâmetros pa,...,1a,0a constituem a solução de:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

++

∑

∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

iypix

iyixiy

pa

1aoa

p2ix3p

ix2pix1p

ixpix

1pix4

ix3ix2

ixix

pix3

ix2ixix1n

MM

L

MLMMMM

L

L

9a)Ajuste Linear e Quadrático x1aoa)x(Y += , e 2x2ax1aoa)x(Y ++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

∑∑∑

1a0a

2ixixix1n

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∑∑

iyixiy

, e

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

∑∑∑∑∑∑∑∑

4ix3

ix2ix

3ix2

ixix

2ixix1n

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2a1aoa

= ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑∑∑

iy2ix

iyixiy

10) Integração: Para noxnxh /)( −= , ihoxix += e )( ixfiy = , i = 0,1,...n,

10a) Trapézios: [ ]n1n21o

x

x

y)yyy(2y2hn

o

dx)x(f +++++≅ −∫ L

)x(''fno

max)xx(12hE

]x,x[x0n

2T

∈−≤ ou i

20nT ymax

12)xx(E ∆

−≈ .

10b) Simpson ( n par) : ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+++++−+++++≅

nx

ox

ny)2ny6y4y2y(2)1ny5y3y1y(4oy3hdx)x(f LL

)x(''''f]nx,ox[x

max)0xnx(180

4hSE

∈−≤ ou i

40nS ymax

180)xx(E ∆

−≈ .

11) PVI: Sejam ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

oy)ox(y

)y,x(f'y iyixy ≅)( com ihoxix += , i= 0,1,...,n e n/)oxnx(h −= .

11 a)Euler: )iy,ix(hfiy1iy +=+ , i= 0,1,...,n-1.

11b) Runge-Kutta de 2aOrdem : ( )2k1k

2h

iy1iy ++=+ , )iy,ix(f1k = e )hky,hx(fk 1ii2 ++= , i= 0,1,...,n-1.

12) PVC: Sejam ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=++

.y)x(y,y)x(y

)x(fy)x(Q'y)x(P''y

nnoo, iyixy ≅)( com ihoxix += , i= 0,1,...,n e n/)oxnx(h −= .

Diferenças Finitas: ( ) )x(fhy)x(P2h1y)x(Qh2y)x(P

2h1 i

21iiii

21ii =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + −+ , i= 1,...,n-1

87


Derivada Diferença Finita h, k=tamanho do passo na direção x e na direção y (ou t)

)ix´(y atrasada

h1iyiy

,centradah2

1iy1iy,avançada

hiy1iy −−−−+−+

)ix´´(y

2h1iyiy21iy −+−+ centrada

)ix('''y

3h22iy1iy21iy22iy −−−++−+ centrada

)ix(IVy 4h

2iy1iy4iy61iy42iy −+−−++−+ centrada

( )jt,ixtu

∂∂

k21j,i

u1j,i

u−

−+

centrada

( )jt,ix2x

u2

∂

∂

2h

j,1iu

j,iu2

j,1iu

−+−

+ centrada

( )jy,ix2y

u2

∂

∂

2k

1j,iu

j,iu2

1j,iu

−+−

+ centrada

88


Equação Diferenças Finitas

h, k=tamanho do passo na direção x e na direção y (ou t) Célula Computacional

Laplace

0)y,x(2y

u2)y,x(

2x

u2=

∂

∂+

∂

∂

Centradas, com h=k


j,iu ++−+−++=

•

••

•

−

+−

+

1j,iu

j,1iuj,iuj,1iu

1j,iu

o

Calor

)t,x(tu)t,x(

2x

u2

∂∂

=∂

∂α

Material α >0 Prata 1,7 Cobre 1,5 Alumínio 0,85 Ferro 0,15 Concreto 0,005

progressivas

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=+ j,1iuj,1iu

2h

k2j,iu

2h

k2211j,iu αα

Converge se 21

2h

k<

•••+−

+

j,1iuj,iuj,1iu

1j,iuo

Onda

)t,x(2t

u2)t,x(

2x

u22∂

∂=

∂

∂β

centradas

1j,iuj,1iuj,1iu2h

2k2j,iu

2h

2k2121j,iu −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=+

ββ

Se 12h

2ke1 ==β , 1j,iuj,1iuj,1iu1j,iu −−++−=+

•

•••

−

+−

+

1j,iu

j,1iuj,iuj,1iu

1j,iuo

89

Aula de Laboratório 1 utilizando Maple

Operações, Funções Básicas, Constantes

Notação

Exemplos

Adição + > 3+5; Subtração - > 758-195;

Multiplicação * > 7.5*8; Divisão / > 39/13;

Potenciação ^ > 2^12; Valor Absoluto de x abs ( x ) > abs(-7); Raiz Quadrada de x sqrt (x) >sqrt(7835);

> sqrt(7835.); Raiz n-ésima de x x^(1/n) > 27^(1/3);

Fatorial de n n ! > 28!; π Pi > Pi;

Infinito infinity > infinity; Unidade Imaginária sqrt(-1) ou I > sqrt (-1); Número de Euler: e exp(1) ou E > exp(1); Função Exponencial exp(x) b^x >exp(3.5);

>7^x; Logaritmo Natural

Logaritmo de base b ln(x)

log[b](x) = ln(x)/ln(b). > ln (7); > log[3](10);

Funções Trigonométricas , Hiperbólicas e suas inversas (argumento x em Radianos)

sin(x) cos(x) tan(x) sec(x) csc(x) cot(x)

sinh(x) cosh(x) tanh(x) sech(x) csch(x) coth(x)

arcsin(x) arccos(x) arctan(x) arcsec(x) arccsc(x) arccot(x) arcsinh(x) arccosh(x) arctanh(x) arcsech(x) arccsch(x) arccoth(x)

> sin(Pi/2); > cos(75.3); >arccosh(0);

Alguns Comandos 1) > evalf(expr); avalia expr utilizando aritmética de ponto flutuante com precisão determinada pela variável global Digits. > evalf(27^(1/3)); > evalf( Pi); > evalf(arccosh(0)); 2) > evalf(expr, n); calcula expr com n dígitos de precisão. > evalf( Pi, 21); > evalf(ln (7),8); 3) > Digits := n; ajusta para n o número de dígitos utilizados em ponto flutuante. O valor "default" de Digits é 10. > Digits:=15; > cos(75.3);

90

4) Se usarmos : no final do comando, o mesmo é executado, porém o resultado não é

mostrado. %; mostra o conteúdo do último output e %%; do penúltimo. > log[3](10): > %; > evalf(%%); 5) O Maple pode trabalhar com inteiros muito grandes > 253!; O comando length (%) mostra o número de dígitos de 253! > length(%); 6) Para fazer uma atribuição à variável z e posteriormente apagar o conteúdo de z: > z := 7; > z; > z := 'z'; > z ; 7) O modo texto pode ser obtido clicando em na barra de menu ou # pode ser usado

para fazer comentários > # o conteúdo de z também pode ser deletado usando unassign ( 'z' ); > z :=7; > z; > unassign ( 'z' ); >z; 8) restart; reinicializa o MAPLE Exercícios: 1) Calcular o valor de :

a) seno(30), seno(300) = seno ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

18030π

b) )d/cln(

ba50

35+ para a = -3,02 , b = 10, c = 10,3 e d = 7,1. Armazenar o resultado na

variável v. c) secante hiperbólica de v calculado no item b.

2) O valor de a = 163e π é um número inteiro? Estimar a com 18, 29, 30, 31 e 57 dígitos. Comparar os resultados.

3) Calcular 325! pelo Maple e pela sua calculadora. Analisar os resultados. Qual o número

de dígitos de 325! ? 4) O que é maior 2227 ou 2524?

5) É possível calcular 33333333333333333333 no Maple?

91

Aula de Laboratório2 utilizando Maple

Objetivos : Localizar as raízes da equação f(x)=0(algébrica ou transcendente) e calculá-las utilizando comandos do Maple e o método da Bissecção. Aplicação: O fator de atrito λ para um duto retangular , segundo Maubach, é dado por:

( ) 989,0Re10log035,21−= λ

λ, onde Re é o número de Reynolds. Determinar λ para os

seguintes valores de Re : 10000, 20000, 50000, 100000, 1000000.

Comandos Comentários 1 f:=x->f(x); Define a função de variável x , f(x) 2

plot(f(x),x= a..b,y=c..d); Plota a função f(x) sendo: x - variável y - parâmetro na vertical(opcional) a,b,c,d :parâmetros a serem especificados

3 plot({f(x),g(x)},x= a..b,y=c..d); Plota as funções f(x) e g(x) num mesmo sistema de eixos. Para opções utilizar o Help: < ?plot

4 solve(f(x)=0, x); fsolve(f(x)=0, x); fsolve(f(x)=0, x=a ..b);

Calcula as raizes da equação f(x)=0. Para opções utilizar o Help: < ?solve < ?fsolve

5 For i from io by k to in do comandos od;

Comando de repetição onde: i - variável io - valor inicial in - valor final k - passo

6 if condição then comando1 else comando2 fi;

Comando de teste (condicional)

Exemplos 1) >f:=x->sin(x/2);

> f (Pi); f (4); 2) >plot(f(x), x=-3*Pi..3*Pi); > plot(f(x), x=-15..15, y=-2..2); 3) > plot({x^2-5*x, sqrt(x+1)}, x= -2..7, y= -7..7); 4) vide exercício 1(página2) 5) > for i from 0 by 2 to 10 do > print(i^2) > od; 6) > a:=-23;

> if a<0 then > print(-a); > else > print(a); > fi;

92

Exercícios: i) Localizar graficamente as raizes de f(x)=0 ii) Calculá-las utilizando os comandos dados em 4. ii) Utilizando 5 e 6, implementar o Método da Bissecção para calcular a menor raiz real positiva de f(x) = 0 em [a , b]. Para xm=(a+b)/2, a cada bissecção imprimir: a, xm, b,f(xm). Critério de Parada: mínimo 10 bissecções.

1) xcos(x)-1=0 Solução:

> f:=x->x*cos(x)-1; > plot(f(x), x=-20*Pi..20*Pi); > plot({cos(x),1/x}, x=-7*Pi..5*Pi, y=-5..5, title=` cos(x) , 1/x`);

Neste caso vemos que existem infinitas raizes. >solve(f(x)=0,x); > evalf(%); > fsolve(f(x)=0,x); > fsolve(f(x)=0,x=-9..-7); > fsolve(f(x)=0,x=4..5); > fsolve(f(x)=0,x=13..15); Vamos implementar o método da bisseção para calcular a raiz que está no intervalo [4 , 5]: [> a:=4; b:=5;

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

>>

=>=>>

+=>

od; fi;

xm;:belse xm;:a then0 f(xm)))*)evalf((f(a if

));evalf(f(xm b;b)/2);evalf((a:xm a; do10 to0 from i for

Obs: Não foi considerado o caso f(xm)=0. 2) ln(x+11) -2x = 0 3) 062875,25x135,40x875,5x 23 =−−−

93


Objetivo: Enumerar, localizar e calcular as raízes de polinômios. Analisar o comportamento gráfico( raízes reais de multiplicidade par e ímpar, por ex). Utilizar método de Newton-Raphson para cálculo das raízes da equação f(x)=0(algébrica ou transcendente) Aplicação: A lei para um gás ideal, PV = nRT é um conceito conhecido. Geralmente, utilizam-se estimativas para as relações P-V-T. A equação de Beattie-Bridgeman é um exemplo:

4V3a

3V2a

2V1a

VRTP +++= (1)

e pode ser reescrita como um polinômio de quarto grau: 0aV2a2V1a3RTV4PV 3 =−−−+ (2)

Para um gás particular, a1=-1,06, a2 = 0,057 e a3=-0,00011. Considerando a pressão P=25 atm , a temperatura é T = 293oK e R = 0,0,082l-atm/Kg.mol e substituindo esses dados em (2) , o volume V é obtido de :

000011,0V057,02V06,13V03,244V25 =+−++ (3)

Determinar V utlizando o método de Newton-Raphson com V0= 961,025

293x082,0P

RT== .

Comandos Comentários 1 f:=x->f(x); Define a função de variável x , f(x) 2

plot(f(x),x= a..b, y=c..d); Plota a função f(x) sendo: x - variável y - parâmetro na vertical(opcional) a,b,c,d :parâmetros a serem especificados

3 plot({f(x),g(x)},x= a..b, y=c..d); Plota as funções f(x) e g(x) num mesmo sistema de eixos. Para opções utilizar o Help: < ?plot

4 fsolve(p(x)=0, x,complex); Encontra todas as raízes do polinômio p(x)

5 diff(f(x),x); diff(f(x),x$4); ou diff(f(x),x,x,x,x)

Determina a derivada de f(x) Determina a derivada de quarta ordem de f(x)

6 subs(x=a, expr); substitui x por a na expressão expr Exemplos 1) Raiz de multiplicidade par > p1:=x->5*x^4-12.50*x^3-18.0375*x^2+32.31250*x+33.411125; > plot(p1(x),x=-3..4); > fsolve(p1(x)=0,x);

94

2) Raiz de multiplicidade ímpar > p2:=x-> 2*x^4+6.8*x^3-16.56*x^2-86.756*x-85.1690; > plot(p2(x), x=-5..5); > fsolve(p2(x)=0,x); 3) Raizes complexas > p3:=x-> x^3-2.8*x^2+8.2*x+15.6; > plot(p3(x),x=-2..5); > fsolve(p3(x)=0,x); > fsolve(p3(x),x, complex); > p4:=x-> x^4-2*x^3+11*x^2-18*x+18; > plot(p4(x),x=-3..3,y=-5..30); > fsolve(p4(x)=0,x); > fsolve(p4(x),x, complex); 4) > subs( x=2, x^2+x+1 ); 5) > diff(x^7,x); > diff(x^7,x,x); > diff(x^7,x$3); 6) Método de Newton-Raphson >f := x ->cosh(x)*cos(x)-1; > plot(f(x), x=-3*Pi..3*Pi); > plot({cos(x), 1/cosh(x)}, x=-10..10); > x[0]:=4.5;

> for i from 0 to 5 do x[i+1]:=evalf(x[i]-(f(x[i])/subs(x=x[i],diff(f(x),x)))) od; > abs(x[5]-x[6]); > Digits:=20; > abs(x[5]-x[6]);

95


Objetivos : Resolver sistemas de equações lineares utilizando diversas opções de comandos do Maple. Analisar graficamente a solução , quando possível, no plano e no espaço. Aplicação: Equacionado o circuito resistivo mostrado na figura acima pelo método dos nós, obtemos:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

+−

+−

=−

+−

+−

+−

+−

+−

=−

+−

+

05

2CV1

BVCV8

8CV

08

0BV5

2BV1

CVBV8

8BV5

10BV1

AVBV

05

10AV1

BVAV8AV

Aplicando a Lei de Ohm: ⎩⎨⎧

−=−=

BVCV2IBVAV1I . Determinar I1 e I2.

Comandos Comentários

1 array (1..m, 1..n) Cria uma matriz cujos os elementos estão definidos.Vide help para opções

2 augment( M1, M2); Cria uma nova matriz colocando M1 à esquerda da M2 . As matrizes devem ter o mesmo número de linhas.

3 evalm(expressão matricial); Avalia uma expressão contendo matrizes. 4 gaussjord(M); Aplica o método de Gauss-Jordan 5 inverse(M); Encontra a matriz inversa de M. 6 linsolve(A,v); Calcula um vetor x que satisfaça a equação Ax=v 7 matrix(m , n, [x11,x12,...xmn]); Cria uma matriz com m linhas e n colunas com

elementos x11, ...,xmn. 8 solve(eqn, var); Resolve simbolicamente equações eqn para variável var.

Para opções vide help. 9 transpose(M); Determina a matriz transposta de M. 10 vector(n, [x1, x2, ..., xn]); Cria um vetor de n elementos x1, ..., xn.. 11 with(linalg); Carrega a biblioteca de álgebra linear do Maple V. 12 with(plots); Carrega o package gráfico 12 A&*S; Expressa multiplicação de matrizes (não comutativa) Exemplos : > with(plots); > with(linalg); 1) Sistema Linear Compatível Determinado (possui soluções) > solve({2*x+3*y=18,3*x+4*y=25},{y,x}); > plot({(18-2*x)/3, (25-3*x)/4}, x=0..6); > solve({3*x+2*y-5*z=8,-x+2*y+z=2,-x+2*y+3*z=4},{z,y,x}); > plot3d({(8-3*x-2*y)/(-5),2+2*x-2*y,(4+x-2*y)/3}, x=0..5,y=0..5, axes=box);

96

2) Sistema Linear Compatível Indeterminado (possui infinitas soluções) > solve({2*x+y=50,4*x+2*y=100},{y,x}); > plot({50-2*x, (100-4*x)/2}, x=0..6); > plot3d({50-2*x, (100-4*x)/2}, x=0..6,y=0..6, axes=box); > solve({3*x+y+2*z=0,-9*x-3*y-6*z=0},{z,y,x}); > plot3d({(-3*x-y)/2,2+2*x-2*y,(9*x+3*y)/(-6)}, x=-2..2,y=-2..2, axes=box); outra maneira: > solvefor[t]( x+y=1, x-y+z*t=3 ); > solvefor[x]( x+y=1, x-y+z*t=3 ); 3) Sistema Linear Incompatível (não admite solução) > solve({x+y=3, x+y=-5},{y,x}); > plot({3-x, -x-5}, x=-10..10); > plot3d({3-x, -x-5}, x=-10..10,y=-6..6, axes=box); 4) Resolver o sistema e calcular o resíduo produzido pela solução encontrada:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++−=++−

=−++=+−+

9.94x3x5.22x2.01x9.34x2.53x2x1x3.0

9.214x5.83x42x5.01x4.07.24x3x1.02x1x2

> A := array([ [2,1,-.1,1], [.4,.5,4,-8.5], [.3,-1,1,5.2], [1,.2,2.5,-1] ]); > F := vector([2.7,21.9,-3.9,9.9]); > S := linsolve(A,F); > F1 :=evalm(A&*S); > Resíduo := evalm(F-F1); 5) Resolver o sistema utilizando o Método de Gauss-Jordan (Matrix Inversa).

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

3b3x42x32x52b3x22x31x1b3x72x1x2

onde: a) b1 =16 b2 = -5 b3=11 b) b1 =25 b2 = -11 b3 = -5 c) b1 =3 b2 = 5 b3 = -5 > B := matrix(3,3, [2,1,7,1,3,2,5,3,4] ); > v1 :=vector(3,[16,-5,11] ); > v2 :=vector(3, [25,-11,-5] ); > v3 :=vector(3, [3,5,-5] ); > augment( B,v1,v2,v3 ); > gaussjord(%);

97


Objetivos: Determinar o polinômio interpolador utilizando a resolução de sistemas de equações lineares. Detectar se um sistema linear é mal condicionado. Gerar matrizes e vetores utilizando comandos de teste e repetição. Aplicação: Na modelagem de um processo de combustão é necessário expressar a entalpia (E) como uma função da temperatura (T). Considerando os dados tabelados, estimar a

entalpia para uma temperatura de 150 Fo .

3.764180

4.349160

8.178140

9.92120

2.45100

2.1780

0.060

)Fo(T

)lb/Btu(E

Exemplo 1 Construir uma matriz M = [mij] , de ordem 7x7, tal que mij = i + 3j se i é igual a j e mij = 5ij se i for diferente de j. M é simétrica? Calcular o determinante de M . M é inversível? Solução: > with(linalg); >M := array(1..7,1..7);

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

>>>

+=>=<>>

>>

od, od

fi j*3i : j]M[i, else

j*i*5: j]M[i, then ji if do 7 tojfor

do 7 toifor

> print(M); > M2 :=transpose(M); > det(M); > M1 :=inverse(M); > evalf(%); > evalm(M1 &* M); > evalm(M1 + M2); > evalf(%); Exemplo2:

O alongamento de uma mola foi medido em função da carga aplicada. Obteve-se:

3,68

0,56

5,24

0,12

)cm(oalongament)kg(aargc

Estimar o alongamento para o caso de ser aplicada uma carga de 7Kg. Analisar graficamente. Solução:

98

Procuramos 3x3a2x2ax1a0a)x(p +++= . a) uma maneira de resolver no maple:: >solve ({a0+a1*2+a2*2^2+a3*2^3=1, a0+a1*4+a2*4^2+a3*4^3=2.5, a0+a1*6+a2*6^2+a3*6^3=5, a0+a1*8+a2*8^2+a3*8^3=6.3}, {a0,a1,a2,a3}); > p:=x-> -.04583333333*x^3+.675*x^2-2.016666667*x+2.7; > validade:= [p(2), p(4), p(6), p(8)]; > p(7); Análise Gráfica: > with(plots); > plots[display]({plots[pointplot]([2,1,4,2.5,6,5,8,6.3]),plot(p(x),x=-5..15, y=0..10)});

b) outra forma de resolver o sistema: > A := array([ [1,2,2^2,2^3], [1,4,4^2,4^3], [1,6,6^2,6^3], [1,8,8^2,8^3] ]); > F := vector([1,2.5,5,6.3]); > S := linsolve(A,F); Exemplo3: Considerar o sistema linear:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++=++++=++++

=++++=++++

2520/18795x9/14x8/13x7/12x6/11x5/1840/7435x8/14x7/13x6/12x5/11x4/1420/4595x7/14x6/13x5/12x4/11x3/1

60/875x6/14x5/13x4/12x3/11x2/160/1375x5/14x4/13x3/12x2/11x

(*)

a) (*) é bem condicionado ou mal condicionado? Porquê? O que isso significa? b) calcular a solução de (*).

Solução: > with(linalg);

> C := hilbert(5); > cond(C); > ?cond; > F := vector([137/60, 87/60, 459/420, 743/840, 1879/2520]); > L := linsolve(C,F); > evalm(C &* L);

99

Exercício: Consideremos a matriz de Hilbert de ordem n, Hn = [ hij ], com seus elementos genéricos definidos por

njijiijh ≤≤−+

== ,1,1

1

Hn é um exemplo clássico de matriz mal condicionada. a) Indicar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar.

“ Quanto maior for n, mais mal condicionada é Hn . “ b) Resolver o sistema H5.X = B , onde B = [ bi ], i= 1, 2, 3, 4 ,5 é o vetor definido por:

∑= −+

=n

j jiib1 1

1

c) Calcular o determinante de Hn , a matriz inversa de Hn e o produto HnHn-1.

c) Calcular todas a s raizes do determinante da matriz sI- Hn, s numero real qualquer e I = matriz identidade

100

Aula de Laboratório 6 utilizando Maple - Interpolação

EXEMPLO:O alongamento de uma mola foi medido em função da carga aplicada. Obteve-se:

3,6

80,5

65,2

40,1

2)(

)(argcmoalongament

kgac

Estimar o alongamento para o caso de ser aplicada uma carga de 7Kg.

Procuramos 33

2210)( xaxaxaaxp +++= Estudamos alguns algortmos para determinação dos

coeficientes de p. 1) via resolução de um sistema linear:1.a> with(linalg):> A := array([ [1,2,2^2,2^3], [1,4,4^2,4^3], [1,6,6^2,6^3],

[1,8,8^2,8^3] ]);> F := vector([1,2.5,5,6.3]);> S := linsolve(A,F);1.b> solve({a0+a1*2+a2*2^2+a3*2^3=1,a0+a1*4+a2*4^2+a3*4^3=2.5,a0+a1*6

+a2*6^2+a3*6^3=5, a0+a1*8+a2*8^2+a3*8^3=6.3},{a0,a1,a2,a3});

2) Polinomio interpolador de Newtons para Diferenças Finitas Ascendentes> vx:=vector(4,[2,4,6,8]);> vy:=vector(4,[1,2.5,5,6.3]);> df:=array(1..3);> for i from 1 to 3 do df1[i]:=vy[i+1]-vy[i] od;> for i to 2 do df2[i]:=df1[i+1]-df1[i] od;> for i to 1 do df3[i]:=df2[i+1]-df2[i] od;> p:=x->1+((x-2)*df1[1])/(2)+((x-2)*(x-4)*df2[1])/(2!*(2^2))+((x-2

)*(x-4)*(x-6)*df3[1])/(3!*(2^3));> simplify(p(x));> p(7);

3) Via comando´interp´do maple> vx:=vector(4,[2,4,6,8]):> vy:=vector(4,[1,2.5,5,6.3]):> pa:=interp(vx,vy,x):> pa(7);> paa:=unapply(pa,x):> paa(7);validade:> [paa(2),paa(4),paa(6),paa(8)];análise gráfica> plots[display]({plots[pointplot]([2,1,4,2.5,6,5,8,6.3]),plot(paa

(x),x=-5..15, y=0..10)});

101

EXERCICIOS:1) A tabela abaixo fornece a demanda diária máxima de energia elétrica na Cidade A no mês de março.

1331

2021

1511

101

)()(

MWdemandaydiax

−a) Determinar o polinômio interpolador p e verificar sua validade. b) Representar graficamente p e os dados tabelados num mesmo sistema de eixos. c) Estimar a demanda máxima e a data em que ocorreu. > 2) A que temperatura a água entra em ebulição no Pico da Bandeira (altitude de 2890m), sabendo-se que o ponto de ebuliçao da água varia com a altitude, conforme tabela abaixo:

00.90

300034.90

290067.90

280001.91

270034.91

2600)(

)(Cebuliçãodeponto

maltitudeo

> 3) A velocidade do som na água varia com a temperatura conforme tabela:

532.1

0.110538.1

4.104544.1

9.98548.1

3.93552.1

0.86)/()(

smvelocidadeCatemperatur o

a)Determinar o polinômio interpolador de Newton para diferenças divididas,p, e verificar sua validade.b) Estimar a velocidade do som se a temperatura da água for de 100 graus centígrados.

102

c)Representar graficamente p e os dados tabelados num mesmo sistema de eixos.Comandos Utilizadosdiff(expr, var);deriva uma expressão " expr" na variavel "var"diff(expr, var, var$n);deriva uma expressão expr na varivel var, var$n siginifica derivada de ordem n.interp([exprx1,...,exprxn+1], [expy1,...,expryn+1], var);computa um polinomio na variável var de grau at n, no qual representa o polinomio interpolador dos valores expx e expy .plots[display]({plots[pointplot]([p1,p2,..,pn]),plot(f(x), x=-m..m)});plota graficos; display, para plotar dois graficos ao mesmo tempo; pointplot, para plotar os pontos; plot, para plotar um grafico de uma f(x)simplify(expr);simplifica uma expressãosolve(eqn, var);resolve simbolicamente equaçoes eqn para varaiivel var.subs(expr velha=expr nova, expr);substitui uma expressão antiga por uma nova expressão unapply(P,x);converte um polinomio P em uma função na varivel x.

103

# PUCRS - Instituto de Matemática # Cálculo Numérico -Prof. Eliete Ajuste de Funçoes# Exemplo1 Considerando:i 0 1 2 3 4 5 6x 1 2 3 4 5 6 7y 34 45 63 88 120 159 205 Ajustar os dados a reta e a uma parábola. Comparar os resultados graficamente.> with(stats);

[ ], , , , , , ,anova describe fit importdata random statevalf statplots transform> xv:=[1,2,3,4,5,6,7];

:= xv [ ], , , , , ,1 2 3 4 5 6 7> yv:=[34,45,63,88,120,159,205];

:= yv [ ], , , , , ,34 45 63 88 120 159 205> g:=fit[leastsquare[[x,y],y=a*x+b,{a,b}]]([xv,yv]);

:= g = y − 572

x 12

> gl:=fit[leastsquare[[x,y]]]([[1,2,3,4,5,6,7], [34,45,63,88,120,159,205]]);

:= gl = y − 572

x 12

> gll :=unapply(rhs(g),x);

:= gll → x − 572

x 12

> gp:= fit[leastsquare[[x,y], y=a*x^2+b*x+c]]([xv, yv]):> gpp:=unapply(rhs(gp), x);

:= gpp → x + + 72

x2 12

x 30

> with(plots):> plots[display]({plots[pointplot]([1,34,2,45,3,63,4,88,5,120,6,15

9,7,205]),plot(gpp(x), x=-10..10, y=0..50),plot(gll(x), x=0..10, y=0..210)});

104

Exemplo 2 - Ajuste por função PotênciaOs dados abaixo dão a duração D de uma broca de Carborundum em função da velocidade de corte V. V [m/s] 100 120 150 180 D [min] 79 2 8 7.9 2.8 pede-se fazer uma tabela D = D(V) para V = 100(10) 180.

> v:=evalf([log(100),log(120),log(150),log(180)]);

:= v [ ], , ,4.605170186 4.787491743 5.010635294 5.192956851> d:=evalf([log(79),log(28),log(7.9),log(2.8)]);

:= d [ ], , ,4.369447852 3.332204510 2.066862759 1.029619417> fit[leastsquare[[x,y], y=a*x+b, {a,b}]]([v,d]);> evalf(exp(30.52911140));> dur :=x -> (.1813947103e14)*(x^(-5.680591334));#validade:> [dur(100),dur(120),dur(150),dur(180)];#projeção:> [dur(110),dur(130),dur(140),dur(160),dur(170)];> plots[display]({plots[pointplot]([100,79,120,28,150,7.9,180,2.8]

),plot(dur(x), x=90..190, y=0..80)});

Exemplo 3 15.0

7518.0

7021.0

6524.0

6028.0

5534.0

5042.0

4552.0

4067.0

3585.0

30Id

Os dados tabelados descrevem a intensidade da luz como uma função

105

da distância da fonte,I(d), medida num experimento.Utilizando o sistema Maple, ajustar a uma parábola e a uma função do tipo:

Y(d)=1

+ + Ad2 Bd CAnalisar os resultados plotando num mesmo sistema de eixos os pontos tabelados e as funções de ajuste determinadas.

> vd:=[30,35,40,45,50,55,60,65,70,75];

:= vd [ ], , , , , , , , ,30 35 40 45 50 55 60 65 70 75> vi:=[.85,.67,.52,.42,.34,.28,.24,.21,.18,.15];

:= vi [ ], , , , , , , , ,.85 .67 .52 .42 .34 .28 .24 .21 .18 .15> vi1:=evalf([1/.85,1/.67,1/.52,1/.42,1/.34,1/.28,1/.24,1/.21,1/.1

8,1/.15]);

vi1 1.176470588 1.492537313 1.923076923 2.380952381 2.941176471 3.571428571, , , , , ,[ := 4.166666667 4.761904762 5.555555556 6.666666667, , , ]

> f2:= fit[leastsquare[[x,i], i=a*x^2+x*b+c]]([vd, vi1]);

:= f2 = i − + .001329810498 x2 .02080049421 x .6161059331> f2a:=unapply(rhs(f2),x);

:= f2a → x − + .001329810498 x2 .02080049421 x .6161059331> f3:=x->1/(.1329810498e-2*x^2-.2080049421e-1*x+.6161059331);

:= f3 → x1

− + .001329810498 x2 .02080049421 x .6161059331> plots[display]({plots[pointplot]([30,.85,35,.67,40,.52,45,.42,50

,.34,55,.28,60,.24,65,.21,70,.18,75,.15]),plot(f2a(x), x=10..100, i=0..3),plot(f3(x), x=10..100, i=0..3)});

106

> plots[display]({plots[pointplot]([30,.85,35,.67,40,.52,45,.42,50,.34,55,.28,60,.24,65,.21,70,.18,75,.15]),plot(f2a(x), x=-100..100, i=0..1),plot(f3(x), x=-100..100, i=0..2)});

> Trabalho

20.000.2

20.050.1

30.000.1

50.050.0

00.100.0

yx

107

Ajustar os dados tabelados a uma reta e a uma função do tipo:

Y(x)=1 + ax b

Analisar os resultados plotando num mesmo sistema de eixos os pontos tabelados e as funções de ajuste determinadas.

Comandos utilizadosevalf([expr1,..., exprn]);avalia numéricamente expressões, polinomios, funções,... fit[leastsquare[[var1,..., varn]]]; aplica o critério dos mínimos quadradostransform[applay[f(x)]]([expr1,..., exprn]);aplica a função f(x) parra cada expressão (expr)transform[multiapplay[f(x)]]([list1,..., listn]);aplica os parâmetros da função f(x) para cada elemento listado plots[display]({plots[pointplot]([p1,p2,..,pn]),plot(f(x), x=-m..m)});plota gráficos; display, para plotar dois gráficos ao mesmo tempo; pointplot, para plotar os pontos; plot, para plotar um gráfico de uma f(x)unapply(P,x);converte a expressão P em uma função na variável x

108

PUCRS-FAMAT-Cálculo Numérico-Exemplos de Integração Numérica Utilizando Sistema Maple9Prof. Eliete Biasotto Hauser> restart;> with(Student[Calculus1]):Ex.:Utilizando tarapézios e Simpson com 10 subintervalos, estimar o valor de I e comparar

com o valor exato. I= d⌠

⌡⎮⎮⎮

0

2

e( )( )−x 2

x

Obs: Por default, o número de subintervalos utilizados é 10. Incluindo a opção partition = n o cálculo é obtido utilizando n subintervalos .

> ApproximateInt(exp(-x^2), x=0..2, method = trapezoid);evalf(%);

110

15

e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-125 1

5e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-425 1

5e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-925 1

5e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-1625 1

5e

( )-1 15

e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-3625 1

5e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-4925 1

5e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-6425 1

5e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-8125

+ + + + + + + + +

110

e( )-4

+

0.8818388107> ApproximateInt(exp(-x^2), x=0..2, method = simpson);evalf(%);

130

115

e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-925 2

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-9100 1

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-1625 2

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-49100 1

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-8125 2

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-81100 1

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-425 2

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-361100

+ + + + + + + +

215

e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-121100 1

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-3625 1

30e

( )-4 215

e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-169100 1

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-4925 2

15e

( ) / -9 4 115

e( )-1 2

15e

( ) / -1 4 + + + + + + + +

115

e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-6425 2

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-1100 2

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-289100 1

15e

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

-125

+ + + +

0.8820809834> Valor_exato:=int(exp(-x^2), x=0..2)=evalf(int(exp(-x^2),

x=0..2));

:= Valor_exato = 12

( )erf 2 π 0.8820813910

109

> ApproximateInt(exp(-x^2), x=0..2, method = trapezoid, output = plot,partition = 4);

> ApproximateInt(exp(-x^2), x=0..2, method = trapezoid, output = plot, partition = 20):

> ApproximateInt(exp(-x^2), x=0..2, method = trapezoid, output = animation):

110

> ApproximateInt(exp(-x^2), x=0..2, method = simpson, output = plot, partition =2);

> ApproximateInt(ln(x), 1..100, method = simpson, output = animation):

111

Atenção: Sempre analisar os resultados obtidos> ApproximateInt(x*(x - 2)*(x - 3), x=0..5, method = simpson,

output = plot);

No último exemplo , área 22.916667 esta correto? > Área:=evalf(int(x*(x - 2)*(x - 3),x=0..2))+abs(evalf(int(x*(x -

2)*(x - 3),x=2..3)))+evalf(int(x*(x - 2)*(x - 3),x=3..5));

:= Área 23.75000000> evalf(int(x*(x - 2)*(x - 3),x=2..3));

-0.4166666667

112

No próximo exemplo é óbvio que a área não é nula.> ApproximateInt(tan(x) - 2*x, x=-1..1, method = simpson, output =

plot, partition = 50);

> evalf(int(tan(x) - 2*x, x=-1..0));

0.3843735297> evalf(int(tan(x) - 2*x, x=0..1));

-0.3843735297> area:=evalf(int(tan(x) - 2*x, x=-1..0))+abs(evalf(int(tan(x) -

2*x, x=0..1)));

:= area 0.7687470594

113

PUCRS - Faculdade de Matemática Prof. Eliete Biasotto Hauser-Cálculo Numérico A-

Laboratório EDO_EDP

1) Resolver no intervalo [1 , 1.75], utilizando o método de Euler com h=0.25 , o PVI ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−−=

2)1(y1xyy

Resposta: y(1.75)≅ 1.2018

2) Com h=k=10, resolver numericamente equação de Laplace ,60y0,80x0,0)t,x(2x

u2)t,x(

2y

u2<<<<=

∂

∂+

∂

∂

sujeita às condições 100)y,0(ue,0)y,80(u)60,x(u)0,x(u ====

j↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i← 6 100 0 0 0 0 0 0 0 0 60 5 100 46,993 24,835 13,978 8,068 4,633 2,523 1,110 0 50 4 100 63,138 38,368 23,010 13,660 7,942 4,348 1,917 0 40 3 100 67,192 42,490 26,032 15,620 9,128 5,009 2,211 0 30 2 100 63,138 38,368 23,010 13,660 7,942 4,348 1,917 0 20 1 100 46,993 24,835 13,978 8,068 4,633 2,523 1,110 0 10 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x→ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 y↓

3 - Considerar a equação de calor ,t0,1x0,0)t,x(x

u)t,x(tu

2

2≤<<=

∂

∂−

∂∂ com as condições de contorno

,t0,0)t,1(u)t,0(u <== e as condições iniciais .1x0),x(sen)0,x(u ≤≤= π

Para h=0,2 e k=0,01 obtemos as diferenças finitas para a equação do calor ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++=+ j,1iuj,1iu25,0j,iu5,01j,iu

Utilizando j=0 e i=1,2,3 e 4 obter as aproximações da temperatura na primeira linha do tempo u(x , 0.01). j↓ 0 1 2 3 4 5 ← i 6 0 0,3219 0,5208 0,5208 0,3219 0 0,06 5 0 0,3559 0,5758 0,5758 0,3559 0 0,05 4 0 0,3934 0,6366 0,6366 0,3934 0 0,04 3 0 0,4350 0,7038 0,7038 0,4350 0 0,03 2 0 0,4809 0,7781 0,7781 0,4809 0 0,02 1 0 0,5317 0,8602 0,8602 0,5317 0 0,01 0 0 0,5878 0,9511 0,9511 0,5878 0 0,00

x→ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ↑ tempo

114

apostila calc numerico 2008

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