rvoresRubroNegras

rvoresRubroNegras(RB)

Propriedades:2. Todonnegroourubro.3. Todafolha(nvazio)negro.4. Seumnvermelho,seusdoisfilhos

sonegros.5. Todocaminhosimplesdeumnauma

folhadescendentedestentemomesmonmerodensnegros.

Alturanegra

Onmerodensnegrosnocaminhodeumnvatumnfolhadescendenteseudenominadoalturanegradev(hn(v)).

Pelapropriedade4aalturanegraestbemdefinida,umavezquetodocaminhodeumnaumdeseusdescendentestemomesmonmerodensnegros.

Teorema1

TodasubrvoredeumaRBcomraiznonxcontmnomnimo2**(hn(x))1ns.

Provaporinduoemhn.Base:hn(x)=0(xfolhavazio)=>nmerodens2**01=0

HipteseIndutiva:verdadeparansxcomalturanegraigualah1queonmerodensnasubrvorextemnomnimo2**(h1)1ns.

Teorema1

Passodainduo:provarqueverdadeparahn(x)=h.

Sejaxumntalquehn(x)=h.Cadafilhodextemalturanegraigualhouigualah1.Logo,cadasubrvoredextemalturapelomenos2**(h1)1.Portantoasubrvorextemnmerodensnomnimoigual2**(h1)1+2**(h1)1+1,ouseja,nmerodensnomnimoiguala

2**(h)1

Teorema2

AsRBspossuemalturanomximoigual2(logn+1).

Prova:SejahaalturadeumaRB.Pelapropriedade3,pelomenosametadedosnsnocaminhodaraizatumafolhadensnegros.Logoaalturanegradarvorepelomenosh/2,portanto,peloTeorema1,n>=2*(h/2)1,ondenonmerodensdarvore,ento,n+1>=2**(h/2).Aplicandologaosdoisladosdainequaao:h

Rotaes

InsereseremoesemumarvoreRBpodemgerarumanovarvoredepesquisaquenoobedeces4propriedadesdeumaRB.EmalgumassituaesnecessriofazeralgunsremanejamentosnosnsdanovarvoreparaqueelasemantenhaumaRB.Estesremanejamentossodenominadosrotaes.

Rotaes

H dois tipos de rotaes: rotao esquerda e rotao direita, comomostraafiguraabaixo:

y

x

x

y

rotaoADireita(y)

rotaoAEsquerda(x)

RotaoEsquerdarotacaoEsquerda(T,x){y=x>dir;x>dir=y>esq;if(y>left!=0){y>esq>pai=x;}y>pai=x>pai;if(x>pai==0){

Raiz=y;elseif(x==x>pai>esq)

x>pai>esq=yelse

x>pai>dir=y;y>esq=x;x>pai=y;Obs.:Cdigosemelhantefeitopararotaodireita

Insero

Inicialmente,oalgoritmodeinseroemumarvorebinriadepesquisacomumchamadoparainserironxnaRB.

Onxrecebeacorrubro. Ainserodexnoviolaaspropriedades:1,2e4dasRB,maspodeafetarapropriedade3.ocasoemqueopaidextambmrubro.H3casosaconsiderar.

Caso1:tiodireitadexrubro

C

AD

B

y=tio

C

AD

B

y

C

BD

A

y

C

BD

A

y

x

Novox

x

Novox

TiodireitadexNOrubroC

A

B

y=tio

C

A

B

y

x

B

AC

y

caso2Rotaoesquerdadopaidex

x

Caso3Rotaodireitadoavdex

x

InseroemRBvoidRBinsere(x){

T.insere(x);//inseroemrvoredepesquisax>cor=rubro;while(x!=raiz&&x>pai>cor==rubro){

avo=x>pai>pai;if(x>pai==avo>left){

y=avo>dir//tiodireitadex;if(y>cor==rubro){

x>pai>cor=negra;//Caso1y>cor=negro;avo>cor=rubro;//Caso1x=avo;//Caso1

}elseif(x==x>pai>dir){

x=x>pai;//Caso2rotacaoEsquerda(T,x);//Caso2x>pai>cor=negra;//Caso3x>pai>pai>cor=rubro;//Caso3rotacaoDireita(T,x); //Caso3

}}else//comandossemelhantes,trocandoesqcomdir}raiz>cor=negra}