anwendung einer golusinschen funktionalgleichung auf eine quasikonforme normalabbildung

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Anwendung einer GoLusiNschen Funktionalgleichung auf eine quasikonforme Normalabbildung Von REINER KUHNAU in Halle an der Saale (Eingegangen am 7.4. 1971) In [8] wurde ein Satz bewiesen, der in einem wichtigen Sonderfalle so Satz 1. Es sei G ein Gebiet der z-Ebene mit dem inneren Punkt z = 00 und den (einzigen) Randkomponenten K, , . . . , K, , die geschlossene analgtische JORDAN-Kurven seien. Dann ist beziiglich aller durch lautet. a, 1 w(z) = z + - + * * . z hydrodynamisch normierten schlichten konformen Abbildungen w = w (z) von G, die sich zu einer schlichten Q-quusikonformen Abbildung der Vollebene stetig fortsetzen lassen, der genaue Wertebereich der zugehorigen Koeffizienten al eine abgeschlossene Kreisscheibe. Xind m und r deren Mittelpunkt und Rndius, dann ist genau dann a, = m + r e2" ) wenn w ( z )diejenige eindeutig bestimmte und noch auf dem Rande stetige Abbildung g,(z) ist, bei der auf jedem Ki je- weils q, - q + & die Randwerte einer innerhalb Ki analytischen und auf Ki noch stetigen Funktion darstellt. Dabei wird gesetzt. Fur die Funktion gs (z) besteht noch die Identitat (3) g,(z) = eie[go(z) . cos 6 - i . g,,, (z) . sin 61. Im Grenzfalle Q - 00 liegt ein klassischer Satz von H. GROTZSCH vor, bei dem die Extremalfunktionen danii Parallelschlitzabbildungen werden (vgl. [7, Theorem 6.101). Fur eine gewisse Klasse von Kurven Ki wurden in [9] (fur endliche Q) die Funktionen g, angegeben. I n vorliegeiider Mitteilung sol1 nun in1 Spezialfalle, alle Ki sind Kreis- linien, fur die Funktion g, (2) nach einer von G. M. GOLUSIN [2, 3, 4, 51 ent-

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Anwendung einer GoLusiNschen Funktionalgleichung auf eine quasikonforme Normalabbildung

Von REINER KUHNAU in Halle an der Saale

(Eingegangen am 7.4. 1971)

I n [8] wurde ein Satz bewiesen, der in einem wichtigen Sonderfalle so

Satz 1. E s sei G e in Gebiet der z-Ebene mit dem inneren Punk t z = 00

und den (einzigen) Randkomponenten K , , . . . , K, , die geschlossene analgtische JORDAN-Kurven seien. Dann ist beziiglich aller durch

lautet.

a, 1 w ( z ) = z + - + * * . z

hydrodynamisch normierten schlichten konformen Abbildungen w = w ( z ) von G , die sich z u einer schlichten Q-quusikonformen Abbildung der Vollebene stetig fortsetzen lassen, der genaue Wertebereich der zugehorigen Koeffizienten al eine abgeschlossene Kreisscheibe. Xind m und r deren Mittelpunkt und Rndius , dann ist genau dann a, = m + r e2" ) wenn w ( z ) diejenige eindeutig bestimmte und noch auf d e m Rande stetige Abbildung g,(z) ist , bei der auf jedem Ki je- weils q, - q + & die Randwerte einer innerhalb Ki analytischen und auf Ki noch stetigen Funkt ion darstellt. Dabei wird

gesetzt. F u r die Funkt ion gs ( z ) besteht noch die Identitat

(3) g,(z) = eie[go(z) . cos 6 - i . g,,, ( z ) . sin 61.

I m Grenzfalle Q - 00 liegt ein klassischer Satz von H. GROTZSCH vor, bei dem die Extremalfunktionen danii Parallelschlitzabbildungen werden (vgl. [7, Theorem 6.101).

Fur eine gewisse Klasse von Kurven Ki wurden in [9] (fur endliche Q ) die Funktionen g, angegeben.

I n vorliegeiider Mitteilung sol1 nun in1 Spezialfalle, alle K i sind Kreis- linien, fur die Funktion g, (2) nach einer von G. M. GOLUSIN [2, 3, 4, 51 ent-

384 Kiihnau, Anwendung einer Golusinschen Funktionalgleichung

wickelteii Methode eine Fuiiktionalgleichung angegeben werden, die sich im Ckenzfalle Q + cc auf die in [5] reduziert. Man kanii dazu n > 1 annehmen, da fiir n = 1 die Losuiig unniittelbar angegebeii werden kanii [8]. Sei K , fiirderhiii durch I z - Ail = Ri dargestellt.

Satz 2. Setzt rncin bei positicer Orientierung der K,

so dctJ gent@ der CAUCHYsC?iPn Integralfornael 71

C?f+(z) = = - c G,(z) E = I

(5)

wird, dnnn ist jedes G', ( z ) anctlytisclt f i ir I z - A, 1 > Ri und f u r 1 z - Ai 1 2 Ri zumindest noch stetig. u n d es g i l t Gi(co) = 0. Diese Gi erfiillen das Funktionnl- gleichungssystein

f i i r l z - A J l z R , . j = 1 , 2 , . . . , n

Ist umgekehrt ein ( 6 ) erfullendes System won Funktionen G, ( z ) , i = 1,2, . . . , n, gegeben, zrobei G , ( z ) f u r I z - A , \ > R, ctnrrlytisch ist rnit G,(m) = 0, d a n n udrd durch ( 5 ) go geliefert.

Beweis. Zur T'ereinfachuiig werde g, = g geschrieben. g ist sogar noch auf den K, analytisch, da mail g iiber K , in eineri im Innern von K , gelegenen Umgebungsstreifen liiiiein analytisch fortsetzeii kaiiii gemti13 der Identitat g = (g - q 8) + q g, denn hier ist diese aiialytische Fortsetzung auch fur den

zweiteii Summandeii moglich durch den Ausdruck q - g A , + :--= .

Damit ist danii in (4) jedes G I auf K , zuniindest noch stetig gema13 der Dar- stellung dnrch ein CAWHY-htegral (rgl. z. B. [Ill, S. 45).

-~

( z -AA, R,2 ) Iiitegriert man iiuii den ciurch ( - c" did ier te i i Ausclruck

langs I<, . daiin entsteht, da g - q s mid G', fur i =# j inrierhalb Ki ana- lytisch siiici, fur z E G

-

Kiihnau, Anwendung einer Goliisinschen Funktionalgleichung 385

Hieraus folgt, da auf K j

gilt, unter Benutzung der CAucHYschen Integralformel bei z E G

4 +- I-!I i + j

Da nun noch

R; = 2ni--,

z - A j ergibt sich endgultig (6) .

1st nun umgekehrt ein System von jeweils auBerhalb Ki analytischen Funktionen Gi(z) gefunden, das die Gleichungen (6) erfullt, dann sind die Gi nach (6) noch auf Ki jeweils analytisch und erfullen Gi (m) = 0. Ferner gilt fur die gem50 (5) gebildete Funktion g, fur z E G

~

(j g8(o,---qz98 .. ~ ~- (0 d[ = 0 , 4

was sich durch obige SchluBweise in der umgekehrten Reihenfolge ergibt. Also stellt g4 - q g4 die Randwerte einer innerhalb K j analytischen F'unkt,ion dar (vgl. z. B. [Ill, S. 114).

Wegen der Existenz und eindeutigen Bestimmtheit von g8 besitzt (6) ubrigens genau ein Losungssystem Gi ( 2 ) .

Im folgeiiden sol1 noch ge aus (6 ) in Form einer NEUMANNsChen Reihe gewonnen werden, wenn die Ki hinreichend distanziert sind.

Satz 3. I s t d, der Abstand zwischen Ki und K j und d = min d, , R = maxR, , p = R J d , dann gilt f u r

25 Math. Naehr. 1971, Bd.51, H. 1-6

Rcwei s . 9:) ist stcts aiifierhalb I<( analytisrh, iind cs gilt y:’) (m) = 0.

jeweils auf Kk rorkoninit. D a m gilt iiach Anwendung des Maxininmprinzips auf dic (auch in z = 00 analyti.;clie) Fuiilition ( z - B k ) . gy ) innerhdb und auf hT1, i A- k ,

Sei nun 111, cler grollte Betrag bci den Fuiiktioiien &), I- = 1 , . . . , TZ, cler

I &) 1 A l l , I ~ A r R k ) \\‘citcr folgt duher nac.11 t l ~ i i i Sc~w.~nzschcii Leninia in der iiivuriaiiten Form [6, S ”GI h i Ann-e~idiiii~ ai i f das XuBere von .Z{k f ~ r die Punkte 2 innerhall) 1md nuf I[ ,

Bei (i) koiivergicrt ulso dic lk ihc

mindestens \vie eine geometrische Rrihe, stellt also cine fiir I x - A , \ > R, analytische lhikt ioi i ( / L dar init G1.(m) = 0. Diese Gl erfiillcn iiiin offenbar ( G ) , so da13 cliirch (8) tatsachlich g,, clargestellt wird.

L

sofcrn iiiw 1 q \ hinreichencl lileiii ist, z. B. sicher fiir 1 q1 < i, . Sic ist

auch crfiillt zu heliebig vorgegcbenenl q , wenn nur p hinreicliend klcin ist, d. h., \venn die lireise n ~ i r hinreirhencl anseinandergcruckt wwden. Die Reihe (8) konvergiert daiiii also auch bei 141 > 1. Sic stellt daiin zwar keine

-(?a - 1)

Biihnnu, An~\ciidung einm Golusinschrn Fmilrtionalgleicliung 387

schlichte Funktion mehr dar, besitzt jecloch noch eine analoge Extremal- eigenschaft .

2 . Die Reihe (8) liil3t sich auch - wie die analytischc Gestalt mhelegt - durch Anwendung cler fur q = 1 oft angewandten klassischen Methode der fortgesetzten Spiegelung gewinnen - vgl. [I, insbes. S. 3411 und z. B. [12] und dort genannte Literatur. Wie im Grenzfalle q = 1 [I21 lafit sich die Funktion g, ( z ) auch physikalisch deut,en, und zwar jetzt als das komplexe Potential des elektrostatischen Feldes, da’s aus einem homogenen Feld nach Einfiihrung dielektrischer Kreisscheiben entsteht.

3. Die Darstellung (8) setzt, wenii inan sie

(11) g o ( z ) = [ z - 1ql’Zgy - 1 q p z g y - .] - p [ ] q I q g ’ + 1qpzgy + . . .]

schreibt,, die Icleiititr&t (3) uninittelbar in Evidenz. Feriier ergibt sich fur nb und r ails Satz 1 die Darstellung

(12) I q 1 2 . < ~ ? ) + 1 q 1 4 . + . . ., 1’ = 191 . ~ ( i ) + l q ] : ; . c((:) + - - a ,

weiiii man - .Z & ) ( z ) = uy) / z + . . entwickelt. Wegen r > 0 miissen also a?), u,?), . . . alle reel1 sein. Ubrigeiis ist noch nach (9)

wen11 1 drr E’liiicheniiilialt clcs lioiiil’lenic,iitcs voii C: ist.

4. Das GoLusmsche Verfaliren der Punktionalgleichungen funktioniert auch in dem allgemeineren Falle, in dem in Satz 1 in [8] die Funktioii p o ( z ) z 1 gesetzt wird in einem z = 00 enthaltcnden Kreisbereich, konstant in zu den Randkreisen konzentrischen Kreisscheiben und im Rest der Ebeiie ( = Kreisriiige) gleich einer aridtreii Konstsiiteii - vgl. hierzu auch [4].

voii Satz 1 uiid Satz 16 in [lo] zuin Ziel. 6 . Das GoLusImche Verfahren fiihrt auch bei den Extremalfunktionen

Liter at w

[I] Encyklopadie d. Math. Wiss. in. EinschluD ihrer Anwendungen. V. Band, 2. Tcil, Leipzig 1904- 1922. Hier der Abschnitt von R. G a ~ s , Elektrostatik und Rlagneto- statik.

r2] G. M. GOLUSIN, Auflosung einiger cbeiier Grundaufgaben der matliematkchen Physik im Fall der LAPLhoEsChen Gleichung und melirfachznsammenhangender Gebiete, die durch Kreise begrenzt sind (Rfethode der Funktionalgleichungen). Mat. Sbornik 41, 246-276 (1934) [Russ.].

“5’

388 Kiihnau, Anwendung eincr Golusinschm Funktionalglrichung

[3] 0. hl. GOLUSW, Auflosung des dreidimensionalen DIRICHLETsChen Problcms fur die LAPLACEsche Gleirhung und Gebiete, die durch endlich viele Spharen ohne gemein- same Punkte begrenzt sind. Mat . Sbornik 11, 277-2283 (1934) [Russ.].

[4] -, iluflosung eines ebenen W~rmeleitungsproblenis in einem von isolierender Schicht unigebenen mehrfarhzusammenhangenden Kreisbereirhe. Mat. Sbornik 42, 191 - 198 (1935) [Russ.].

IS] -, Konforme Abbildung niehrfarh zusamrneIihangender Gebiete auf Schlitzgebiete durch die JIethode der Funktionalgleichungen. Seiten 98- 110 des Buches von G. Go~vsrs, L. KAXTOROYI~ , 1'. KRYLOV, P. MELENT'RV, M. MURATOV, N. STENIN: Konforme Abbildung einfach und niehrfach zusammenhangender Bereiche, Leningrad- Noskau 1937 [Russ.].

It?] -, Geometrische Funktionenthcc~rie. Berlin 1957 (Ubere. atis d. Rnss.). [7] J. A. J E X K I X S , Univalent functions and conformal mapping. Ergebn. d. Math. u.

[S] R.. KCHXAU, \\'ertannahmeproblenie bei quasikonformen Abbildungen mit ort.8-

191 -, Bemerkungen zit den GRrssKYschen Gebieten. Diese Nachr. 44, 285-293 (1970). [ 101 -. Vericrrnngssatze und Koeffizientenbedingnngen voni ChuxslcYschen Typ fiir

[ I 11 N. I. MUSCHELISCHWIL~, Singnlare Integralgleirhungen. Berlin 1965 (Ubers. aus d.

[ 121 W. ROSEX~XS, Die Potentiale der Mehrleiterkabcl und verwandter Anordnungen.

ihrer Grenzgeb., Seue Folge, Heft 18, Berlin-Gotkingen-Heidelberg 1958.

abhangiger Dilatationsbeschrankung. Diese Kachr. 40, 1 - 11 (1969).

quasikonforme Abbildungen. Diese Kachr. 18, 77- 105 (1971).

Russ.).

Z. angew. Math. Jlech. 12, 79-94 (1932).

BERICHTIGUNG

Zu OTTO EMERSLEBEN, Des Selbstpotential eines gleichnamig belegten Gitterquadrats. 48. Band, S. 183-225 (1970).

Es ist zu ersetzen:

S. 199, Zeile 3 v. u . :

1 1 3 3

,,$ (n) = - n c" durch ,,Q ( n ) = ~ 9% J " .

S. 224, Zeile 8 v . u . : ,, . . . 56, 2-3 (1952)" durch ,, . . . 56, 2-3 (1952)".