antropologia fractal

Antropologıa Fractal

Fernando Lopez Aguilar, Fernando Brambila Paz

Editores

Matematica Aplicada y su Ensenanza– L i c e n c i a t u r a –

Editores:

Dr. Fernando Brambila Paz Dr. Alejandro J. Dıaz Barriga CasalesDepartamento de Matematicas, Instituto de Matematicas,Facultad de Ciencias. UNAM. UNAM.

GN34.3L864

Lopez Aguilar, FernandoAntropologıa Fractal / Fernando Lopez Aguilar y Brambila Paz, Fernando. Edi-tores – Mexico : CIMAT, 2007.

?? p. ; 23 cm. – (Matematica Aplicada y su Ensenanza, Nivel Licenciatura)

ISBN 968-5733-08-2

1.Antropologıa MatematicaMSC: 91D10.

c©D.R. Centro de Investigacion en Matematicas, A.C.

Jalisco s/n, Mineral de Valenciana,

36240 Guanajuato, Gto., Mexico

c©D.R. Sociedad Matematica Mexicana

Circuito exterior s/n, area de la investigacion cientıfica,

Ciudad Universitaria. C.P. 04510 MEXICO D.F.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente, por ningun medio electro-nico o de otro tipo, sin autorizacion escrita del editor.

This book may not be reproduced, whole or in part, by any means, without writtenpermission from the publisher.

Cuidado de edicion: Hernan Gonzalez AguilarDiseno de portada: Odalmira Soto Alvarado

Impreso por: S y G Editores, S.A. de C.V.Cuapinol 52, Santo Domingo de los Reyes, Coyoacan04369 - Mexico, D.F. 7896859 733083

ISBN 968-5733-08-2

90009

Indice general

Presentacion de la Serie “Matematica Aplicada y su Ensenanza” III

Introduccion GeneralFernando Lopez Aguilar, Fernando Brambila Paz 1

El Problema de una Teorıa General de la Complejidad de FractalesCarlos Eduardo Maldonado 9

Notas Sobre la Complejidad en las Ciencias Sociales: de la Forma-lizacion a las MetaforasRaymundo Mier 25

Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en ArqueologıaGustavo Sandoval Garcıa, Rodrigo Vilanova de Allende 47

Calculo del Estadıstico de Correlacion entre Epocas a traves deRespuestas Multiples y su Representacion Fractal para el Espa-cio de Trayectorias MesoamericanoFernando Lopez Aguilar, Guillermo Bali 75

La Dimension Fractal como Indicador Arqueologico en los Estudiosde TerritorioRosa Brambila Paz, Fernando Brambila Paz, Flor de Marıa Aceff

Sanchez 95

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ii INDICE GENERAL

El Altepetl. En Busca de Una DefinicionBlanca Vilchis Flores 115

El Colapso de un Altepetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despues dela ConquistaFernando Lopez Aguilar, Tatiana Marquez Lago 141

Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones RupestresAline Lara Galicia 165

Apendice Bibliografico. Arqueologıa, Antropologıa y FractalesGustavo Sandoval Garcıa 179

Matematica Aplicada y su Ensenanza

Presentacion de la Serie “Matematica Aplicada y suEnsenanza”

Maestro ¿y esto para que sirve?... Es la pregunta que muchas veces se oye enun salon de clase de Matematicas. La Sociedad Matematica Mexicana a traves desu Comite de Educacion trata de colaborar a que la ensenanza de las matematicassea cada vez mejor, a que los que las estudian se convenzan de que el esfuerzo quetienen que realizar para aprenderlas no es solamente para pasar de ano, sino quelos procesos de pensamiento que enfrentan, las habilidades que adquieren y sobretodo la actitud que deben tener frente a los problemas es util en su formacion,en su desarrollo profesional, incluso en su vida cotidiana.

Por saber matematicas entendemos participar del quehacer matematico; esdecir, tener habilidad para resolver problemas, conjeturar, hacer demostraciones.

Gracias al apoyo del CONACYT, la Sociedad Matematica Mexicana (SMM)ha podido sostener el proyecto “Matematica Aplicada y su Ensenanza”, que hacolaborado y estamos seguros colaborara a que los profesores nos podamos en-frentar a ofrecer a nuestros estudiantes un producto, las matematicas, mas in-teresante, mas ludico, de mas calidad. A que los alumnos puedan tener a la manorespuestas a la pregunta que hacemos al inicio de esta presentacion.

Desde su inicio el proyecto se dividio en dos niveles: el nivel de Bachilleratoy el nivel de Licenciatura.

Algunos de los trabajos que presentamos en estos volumenes fueron hechosa peticion expresa y con muchas horas de discusion sobre lo que debıa de ser elresultado del proyecto, luego estos pasaron a arbitraje. Posteriormente hicimosun primer concurso para convocar a la comunidad matematica del Paıs a quecolaborara con este proyecto, poniendo en la pagina de la Sociedad ejemplosde que es lo que estabamos esperando. La respuesta de la comunidad ha sidoexcepcionalmente buena y para iniciar la serie ya contamos con material paraseis volumenes de Bachillerato y seis de Licenciatura.

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iv Presentacion de la Serie

Cada volumen de Bachillerato cuenta con algunos fascıculos que tratan temasde matematicas con aplicaciones, a veces a la matematica misma, y en ocasionesla forma de como se puede desarrollar este contenido en clase a manera de unapropuesta didactica.

Para el nivel Licenciatura se tiene la idea de mostrar aplicaciones que seansusceptibles de ensenar en los primeros semestres de una Licenciatura como Bio-logıa, alguna Ingenierıa, Economıa, Quımica, desde luego Matematicas, etc.

Para su presentacion hay dos tipos de clasificaciones, una por areas de las ma-tematicas, ası hay volumenes para Calculo, para Algebra Lineal, para Geometrıa,otra por la aplicacion; Matematicas Aplicadas a la Ciencias de la Vida y Mate-maticas Aplicadas a la Negociacion.

Sinceramente esperamos colaborar con maestros y alumnos en lograr un mejory mas profundo aprendizaje de las matematicas.

“Provocar aprendizajes, es nuestra tarea en la ensenanza”.

Agradecemos a todos los que en algun momento han colaborado con esteproyecto: escritores, arbitros, concursantes. Todo aquel que se ha enfrentado ala tarea de editar sabe que esta es ardua. Ha sido importante la colaboracion deMarıa Teresa V. Martınez Palacios, Gricelda Cedillo Ramırez, Martha Cerrillay Aranda, Alejandro Bravo Mojica, Graciela Gonzalez Hita y Hernan Gonzaleza ellos les damos las gracias. Por ultimo queremos agradecer al CIMAT y a sudirector Jose Carlos Gomez Larranaga por esta coedicion con la SMM.

Afectuosamente,

Coordinadores del Proyecto “Matematica Aplicada y su Ensenanza” de laSMM.

Dr. Fernando Brambila Paz Dr. Alejandro J. Dıaz Barriga CasalesDepartamento de Matematicas, Instituto de MatematicasFacultad de Ciencias, UNAM. UNAM.

Octubre de 2005.


Introduccion General

Fernando Lopez [email protected]

Fernando Brambila [email protected]

La primera interrogante que emerge en el momento de leer el tıtulo de estelibro, Antropologıa fractal, es saber si resulta factible fusionar dos perspectivasdel conocimiento que, al menos para el caso de la historiografıa de la cienciaen Mexico, han estado permanentemente alejadas y en constantes desencuentrosproducto de una division historica entre las llamadas ciencias duras y las blandas.Por su parte, en el area de las humanidades, ha existido la preocupacion dematematizar los procedimientos y la idea de que los fenomenos sociales no puedenser parametrizados de forma precisa, lo que fomentaba el distanciamiento: Loscampos se veıan mutuamente excluyentes y las interacciones eran esporadicas.

Por otro lado, terminos como complejidad y autosimilitud invadıan los cam-pos de la antropologıa y la historia. Se intuıa que existıan fenomenos y sociedadescomplejas, ası como la posibilidad de que algun tipo de patron geometrico exis-tiera al interior de cada una de las culturas bajo estudio. En esa direccion sehicieron varios intentos fallidos, que no alcanzaron a identificar plenamente esepatron, mas alla de constatar la idea de que eran no occidentales.

En los ultimos cuarenta anos ocurrieron una gran cantidad de transforma-ciones en el ambito de los saberes y de las practicas academicas que trastocaronpaulatinamente las preconcepciones que se tenıan sobre la demarcacion entre loscampos establecidos del conocimiento y que, al menos hacia finales de la decadade los noventa del siglo pasado, prefiguraban la necesidad de un replanteamien-to radical en los fundamentos que construyeron las distinciones disciplinares con

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2 Introduccion General

base en la emergencia de nuevos problemas de investigacion. Se descubrieron con-vergencias entre las ideas que algunos de los mas importantes teoricos sobre losfenomenos sociales habıan formulado, y las nociones sobre fluctuacion, perturba-cion y azar que los teoricos de la complejidad y los fractales habıan plasmado endiversos trabajos. El resultado consistio en una idea ambigua proveniente de lashumanidades: la transdisciplina.

Se construyeron diversos planteamientos teoricos, pero los dilemas sobre laaplicabilidad de conceptos provenientes de las ciencias de la complejidad incluıanuna dificultad que provenıa desde las mismas matematicas: al trabajar con con-ceptos como el de fractal, se evidenciaba la existencia de definiciones adaptadasa cada uno de los campos disciplinares, ası como a los problemas de investigacionque se pretendıan resolver y no parecıa existir conmensurabilidad y entendimientoentre una definicion y otra. Mas alla de que para una idea positivista del mun-do la definicion requerirıa una asertividad logica que estableciera las condicionessuficientes y necesarias para definir un fractal, las practicas academicas recientesmostraban una trayectoria distinta en la que los terminos de la definicion parecıanmas bien estar contenidos, sobre la investigacion misma, en la logica fusa, conbordes y fronteras poco definidos. Por ello, todos compartıan de alguna manera laidea de fractal, especialmente en dos terminos: autosimilitud y dimension fractalno entera, es decir, que la practica pareciera reducir estos dos atributos basicoscomo condiciones suficientes y necesarias para un fractal, y que otros atributosque se usaban en las diferentes investigaciones, podrıan considerarse como partede los atributos fractales, suficientes, pero no necesarios.

En el Seminario sobre Antropologıa Fractal se planteo como primer objetivouna revision de las diversas ideas que existıan en torno a los fractales, tanto enel ambito de las matematicas, como en el de su aplicacion a la antropologıa y ala arqueologıa. El resultado fue reconocer que de las dos condiciones suficientes ynecesarias para definir un fractal, la dimension fractal puede ser util para obtenerrespuestas respecto a los patrones geometricos de las culturas y, por lo tanto,coadyuvar al reconocimiento de diferentes identidades.

Las teorıas de la complejidad y la antropologıa fractal permiten contestar vie-jas preguntas e inquietudes respecto a los fenomenos culturales, pero es necesariala realizacion de nuevas formas metodologicas para la evaluacion de las ideas: ver,mirar, observar, experimentar y simular (Wagsenberg 1998: 89-104), por ejemplo,en las firmas fractales de la ceramica y en la lıtica, en el reconocimiento de estra-


Introduccion General 3

tos arqueologicos a traves de fractales, y en cualquier procedimiento clasificatoriode la antropologıa. Pero, por otro lado, la complejidad y la antropologıa frac-tal hacen, por ese vınculo transdisciplinario, que se generen nuevas preguntasy nuevos procedimientos metodologicos para buscar las respuestas y esta pers-pectiva agrega un valor epistemologico adicional a la fusion de dichos horizontesdisciplinarios.

En este volumen hemos publicado los diversos aportes de los miembros del Se-minario sobre Antropologıa Fractal, junto con un documento enviado por CarlosMaldonado, quien desde la Universidad del Externado de Colombia, ha construidoun grupo de investigacion sobre complejidad. Las diversas tematicas que hemosabordado en las discusiones y los trabajos del seminario se han plasmado en unconjunto de ensayos que hemos ordenado de forma tal que pueda observarse comoun tema se contiene en otro. Desde una perspectiva amplia de la formalizacionteorica y la elaboracion de metaforas, se transita hacia la vision general de unaperspectiva mesoamericana del espacio, el tiempo y las dinamicas de los siste-mas hasta lograr un acercamiento a detalle de objetos iconicos representados enTeotihuacan y en las rocas del Valle del Mezquital.

Carlos Maldonado reflexiona sobre el que, quiza, sea uno de los predicamentosmas grandes en el ambito de las teorıas de la complejidad: el reto y la exigenciade los paradigmas tradicionales y rivales, en especial en el campo de la antro-pologıa, de construir una formalizacion total como sistema teorico. Los dilemaspositivistas para la formalizacion de los lenguajes, la construccion de un lenguajebien formulado para las teorıas, la construccion de sistemas axiomaticos, y la ideade que las teorıas solidas deberıan tener un fundamento matematico, se enfrentancon la policentralidad de los autores de las teorıas de la complejidad. Los aportesprovenientes de diferentes campos disciplinarios, y el desarrollo de nuevas logicasdesde los anos sesenta (como la logica fusa y las logicas de segundo orden), llevana pensar que el camino toma derroteros distintos.

El dilema, por supuesto, es difıcil de resolver, en especial cuando ya es necesa-ria una historia epistemologica del pensamiento complejo que rebase los trabajosclasicos de Prigogine y Stengers (1990), y los estudios de divulgacion de la cien-cia, tan comunes en este tiempo, en especial los de Briggs y Peat (1990), y los deJames Gleick (1987). Es imperativo que esta nueva historia devele las anomalıas,las problematicas que se han enfrentado en la construccion de cada uno de loscampos teoricos que integrados bajo el nombre de teorıas de la complejidad, pues

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lejos de mostrarse como simple y lineal, ella misma es un ejemplo de la no linea-lidad. Este camino ya ha sido desarrollado por Reynoso, en especial al referirse alos campos teoricos en conflicto y la manera en que la competencia teorica ya hadesbancado algunas explicaciones en boga hace unos veinte anos, como la teorıade las catastrofes.

En ese marco se inserta la colaboracion de Raymundo Mier, quien hace unejercicio desde la perspectiva antropologica y linguıstica, sobre el caracter de lasinquietudes que dieron origen a la nocion de complejidad y la forma en que labusqueda de una inteligibilidad del mundo rebaso las ideas deterministas a partirde ciertas reflexiones matematicas sobre singularidad, bifurcacion, discontinuidad,fluctuaciones y variaciones. El descubrimiento de los espacios geometricos de di-mensiones intermedias, los atractores, y el modelo biologico de la autopoıesis, seconvierten en metaforas para una sociologıa que Niklas Luhman retomarıa paraconstruir la idea de que los diferentes componentes sociales estan determinadospor la autopoıesis. Las metaforas de la complejidad atraviesan no solo las nocionesontologicas de lo social, sino que afectan los indicios, los vestigios, las evidencias.Emergen, con ello, la incertidumbre, la condicion aleatoria de la informacion dis-ponible y la vaguedad de los testimonios de los procesos culturales.

La construccion del conocimiento en la antropologıa implica una reflexioninnovadora sobre la forma en la que los principios teoricos incorporan evidenciasy datos: Se trata de una nueva vision sobre las metodologıas y la epistemologıa.La posicion del observador en relacion con la realidad requiere una concienciareflexiva sobre los saberes y su caracter especulativo, de modo que la evidenciatiene que ser re-descubierta para mostrar las fluctuaciones y las inestabilidades.

Desde hace unos treinta anos, la arqueologıa se ha aproximado de muchasformas a las ideas de complejidad. La resena que nos presentan Gustavo Sandovaly Rodrigo Vilanova destaca que fue Colin Renfrew, en fechas tan lejanas como1978, quien ya anticipaba nociones de fractalidad, borrosidad en las fronteras,catastrofes en las ideologıas y autosimilitud en los procesos. Por su propio caracteren torno a la construccion de las evidencias, el arqueologo presume, de formaequivocada, una relacion de mayor objetividad, lo que ha hecho que la mayor partede sus enfoques se realicen desde una matematizacion de sus datos. Es por elloque la revision abunda en la busqueda de diversas dimensiones fractales, aunquetambien se han construido reflexiones que, desde la construccion de metaforas delas matematicas, permitan observar los procesos arqueologicos y antropologicos.



Pareciera ser que, para el caso de la arqueologıa, la geometrıa fractal ya ha dejadode ser una aproximacion erratica. Sin embargo, las posibilidades adquieren no soloel caracter de herramientas experimentales, donde el campo de exploracion aun esvasto, sino el de una forma novedosa de observar los componentes arqueologicos,bien como agentes humanos, bien como sistemas adaptativos complejos, dondeuna propiedad fractal resulta relevante: la autosimilitud.

La historia de Mesoamerica se ha visto como un proceso lineal y simple. Lacomposicion de esta mirada sobre el pasado prehispanico ha sido consustanciala la historia del pensamiento arqueologico mexicano. Fernando Lopez Aguilar yGuillermo Bali parten de una hipotesis propuesta en 1995 por ellos mismos entorno a la idea de Mesoamerica como un atractor, un sistema complejo, con altoscomponentes de autosimilitud entre lo local y lo global. Las propuestas sobre losfactores que determinaban la complejidad del sistema mesoamericano -el desa-rrollo vertical, en extension y en intensidad- fueron parametrizados para trazarlas trayectorias norte centro y sur. La grafica resultante les permite compararesta vision, fluctuante e inestable de la historia prehispanica, con la forma enque se ha observado la flecha del tiempo de la historia antigua de Mexico. Final-mente, desde un estudio estadıstico de multiples respuestas y la combinacion delos resultados con el fractal Kamtorus, representan de forma grafica las fases deestabilidad e inestabilidad de las trayectorias mesoamericanas.

Los estudios sobre el territorio mesoamericano han intuido la existencia decomponentes autosimilares en diferentes escalas de la cosmovision prehispanica,desde el cuerpo humano, el espacio sacralizado, y la casa, hasta las unidadespolıtico territoriales. Estas intuiciones pocas veces han sido trabajadas sistemati-camente desde la perspectiva de los fractales. El trabajo de Rosa Brambila Paz,Fernando Brambila Paz y Flor de Marıa Aceff Sanchez nos permite aproximarnos,desde la observacion del territorio del centro norte de Mesoamerica y de la ciudadprehispanica de Teotihuacan, a una comprension de la manera en la que uno delos sımbolos centrales, la forma X, es asociada con el movimiento, se vincula conlos rumbos del universo, se encuentra presente en la expresion territorial y enla construccion arquitectonica. Lo anterior los lleva a la busqueda de la dimen-sion fractal en un ejemplo de las estructuras asociadas a la Plaza de la Luna enTeotihuacan.

La construccion del espacio territorial prehispanico ha sido vista desde lascategorıas clasicas usando los terminos villa, ciudad, estado, o bien, ciudad es-

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tado. Sin embargo, diversos autores han visto que estos terminos no han sidosuficientes para describir y explicar lo que definen en el campo de la historiaprehispanica de Mexico. Por ello han buscado emplear la etnocategorıa altepetl,recuperada de las fuentes documentales del siglo XVI, que se refiere a las unida-des de asentamiento relevantes para la cosmovision prehispanica, una alternativapara la reflexion historica y teorica. En esa direccion, la colaboracion de Blan-ca Vilchis Flores incluye una busqueda, desde la etnohistoria, de la manera enque pueden encontrarse diversos componentes autosimilares en la jerarquıa delos terminos que describen las unidades de asentamiento mesoamericano: calpu-lli, altepetl tlayacan, hueyaltepetl, altepetl tenochca. Con ello, y desde una miradafractal, se inicio una busqueda desde las teorıas de la complejidad, para propor-nerlas como uno de los protagonistas principales de la accion humana, (la agencia,el agente autonomo), de propiedades autosimilares desde la teorıa de los siste-mas adaptativos complejos. Se trata de un paso metodologico novedoso que partede la busqueda de metaforas para la elaboracion de modelos y simulaciones quederiven en una mejor comprension del mundo mesoamericano.

Tatiana Marquez Lago y Fernando Lopez Aguilar, nos comparten una miradadistinta de las fuentes historicas de la Colonia con la idea de que el altepetl sedestruye en una trayectoria compleja despues de la Conquista espanola. Realizanun estudio de caso sobre la vieja cabecera de Itzmiquilpan en la que demuestranque la segregacion de los barrios indıgenas sujetos, respecto a su antigua cabece-ra, heredera del gobierno indıgena prehispanico, se configuro de tal manera queel tiempo transcurrido entre los eventos es una funcion de varios factores. En-tre ellos, el numero de pueblos independizados, el tamano de las fronteras queconstruyeron, y la superficie del territorio enajenado. Nos muestran como, inclu-so, la dimension fractal de las fronteras y de la superficie independizada es unafuncion logarıtmica del tiempo, donde las grandes extensiones territoriales tien-den a reducirse hasta una dimension fractal que converge en un valor cercano al1.3 y, finalmente, exploran la idea de que existe una autosimilitud espacial en laacumulacion de los procesos, tambien como una funcion del tiempo.

Aline Lara Galicia pretende resolver, desde una perspectiva transdisciplina-ria y multivocal, el dilema de las pinturas rupestres del Valle del Mezquital.Efectivamente, esta region esta caracterizada por tener alto un numero de re-presentaciones rupestres que se encuentran alrededor de los cerros sagrados delCoatepec y del Tezcatepec, significativos para la cosmovision mexica. La idea deque los ıconos y los signos representados en las grafıas rupestres conforman un



lenguaje que puede ser leıdo, ası como la importancia de conocer la firma fractalcomo una forma de aproximarse a la huella de los pintores, es el primer paso parala comprension del conjunto de patrones que pueden reproducirse en diferentesniveles, los petrograbados, los codices y los mitos.

Finalmente, incluimos una breve bibliografıa, necesariamente incompleta, so-bre autores que han tratado el tema de la antropologıa fractal y la arqueologıafractal desde diversas perspectivas. Este complemento es util para observar la lar-ga trayectoria de busqueda que ha existido para observar, conocer y comprenderlos fenomenos antropologicos y arqueologicos desde las teorıas de la complejidad,buscando reconocer la fractalidad y la autosimilitud.

Este esfuerzo para detectar la geometrıa fractal en los procesos y fenomenosantropologicos, en esta ocasion, se ha enfocado a una region cultural de altacomplejidad social para la epoca prehispanica, Mesoamerica. Queda claro que laspropuestas pueden ser trasladadas y aplicadas en otras latitudes, ya sea porquela problematica sobre la complejidad resulte analoga, o bien porque el procesometodologico conduzca a nuevas respuestas y preguntas. En caso de que algunode los lectores realice una investigacion sobre estas tematicas, puede comunicarsevıa correo electronico con los editores de este volumen a las siguientes direcciones:

Bibliografıa

Briggs, John y F. David Peat: Espejo y reflejo: del caos al orden. Guıa ilustradade la teorıa del caos y la ciencia de la totalidad. Editorial Gedisa, Barcelona,1990.

Gleick, James: Chaos. Making a new science. Penguin Books, New York, 1987.

Prigogine, Ilya e Isabelle Stengers: La nueva alianza. Metamorfosis de la ciencia.Alianza Universidad. Alianza Editorial, Barcelona, 1990.

Wagsenberg, Jorge: Ideas sobre la complejidad del mundo. Metatemas 9, Tusquets,Barcelona, 1998.

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El Problema de una Teorıa General de laComplejidad de Fractales

Carlos Eduardo Maldonado1

[email protected]

Introduccion

Los dos problemas fundamentales de las ciencias de la complejidad son: lostrabajos y el desarrollo de simulacion y el desarrollo de una teorıa general de lacomplejidad. La simulacion constituye, de lejos, el campo de trabajo mas desta-cado en el estudio de los sistemas dinamicos complejos. La simulacion es posiblegracias al desarrollo de programas computacionales (software), y en general sedivide en dos ramas: simulacion de objetos y simulacion de series y procesos.Es posible trabajar en el plano de la simulacion a partir de dos estrategias, ası:a) creando un lenguaje de programacion (programando, justamente), o bien em-pleando determinados lenguajes de programacion ya creados (tales como Java,Matematika, C++, Windows Hothouse, Lisp, u otros). Desde el punto de vistade la simulacion, las ciencias de la complejidad son el resultado de los magnıficosdesarrollos recientes de los sistemas de informacion y de las ciencias de la compu-tacion y, a su vez, han contribuido al propio desarrollo de la programacion. Comoquiera que sea, el papel del computador es determinante tanto para el origen

1 Ph.D. en Filosofıa (K.U. Leuven, Belgica); Postdoctorado como Visiting Scholar (Universityof Pittsburgh, E.U.); Postdoctorado como Visiting Research Professor (The Catholic Universityof America, Washington, D.C., E.U.). Profesor-investigador, Universidad Externado de Colom-bia.

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10 Carlos Eduardo Maldonado

como para el desarrollo de las ciencias de la complejidad (Pagels, 1991). Desdeel punto de vista de la epistemologıa y la filosofıa de la ciencia, con el estudiode los sistemas complejos no lineales se logra un avance teorico y practico de unsignificado fundamental en el que los teoricos, academicos e investigadores ya nosimplemente pueden y deben elaborar modelos, sino, mejor aun, simulaciones. Eltrabajo con y la elaboracion de modelos corresponde, en sı, a la ciencia anteriora las ciencias de la complejidad. La simulacion, por el contrario, caracteriza alas ciencias de punta que son el estudio de los sistemas complejos adaptativos.Aun cuando las ciencias de la complejidad siguen siendo marginales en el mundoacademico y de la investigacion, en general, en el mundo –no obstante el hechode que existe una bibliografıa creciente sobre el tema-, el trabajo principal en elestudio de la complejidad ha consistido en procesos de simulacion sobre una infi-nidad de sistemas, fenomenos y procesos, y ciertamente se han logrado progresossignificativos en diversos aspectos y planos.

Por su parte, el trabajo teorico constituye a todas luces el reto mas grandeque enfrentan los investigadores, teoricos y academicos dedicados al estudio delos sistemas complejos no lineales.

En 1994, una decada despues de la creacion del Instituto Santa Fe, en Nue-vo Mexico, considerado como el centro pionero en el estudio de la complejidaden el mundo, se llevo a cabo un seminario dedicado a evaluar los principales lo-gros, retos y posibilidades que tanto Santa Fe, como otros centros e institutosde investigacion alrededor del mundo, habıan alcanzado. La participacion en esteseminario giro alrededor de figuras como S. Kauffman, M. Gell-Mann, D. Pines,y en general todos aquellos que, ahora, retrospectivamente, cabe designar conpropiedad como la primera generacion de la complejidad. Este seminario se pu-blico en 1994 con el tıtulo Complexity. Metaphors, Models, and Reality (Cowan,et al, 1999).Cinco anos despues fue reeditado sin ninguna modificacion.

Quizas la conclusion mas asombrosa de este seminario consiste en el reconoci-miento explıcito de que no existe todavıa –y hasta la fecha tampoco la hay- unateorıa general de los sistemas complejos. Esta es, al mismo tiempo, la debilidadmas grande y la gran promesa por delante en el trabajo con complejidad.

Antes y despues del seminario mencionado, son varios los autores que senalanla posibilidad y la necesidad de formular una teorıa general de la complejidad.Usualmente, se trata de observaciones hacia el final de varios libros y estudios,terminando todos en algunas observaciones o propuestas de lo que podrıa ser una


El Problema de una Teorıa General de la Complejidad de Fractales 11

teorıa semejante. Como ejemplo, basta con citar a Holland (1992, 1995, 1998),Kauffman, (particularmente 1995, 2000), Bak (1996; en especial, capıtulo 9).

El problema de una teorıa general de la complejidad

En el contexto del estudio de la adaptacion en los sistemas naturales y artifi-ciales, J. Holland (1992) plantea, hacia el final, las posibilidades que ese trabajobrindan para elaborar una teorıa; a saber, justamente sobre los sistemas natu-rales y artificiales que son adaptativos. A fin de entender el alcance de la tareaplanteada por Holland, cabe recordar que durante un tiempo muy largo, y conbuenas razones, los sistemas complejos han sido definidos como sistemas comple-jos adaptativos, siendo ası la adaptacion uno de los rasgos que definen por que unsistema complejo es tal.

In pursuing a general theory, there is a traditional tool of physics thatcan be brought to bear – the gedanken experiment. As the name im-plies, a gedanken experiment is a thought experiment. It extracts afew elements from a process in order to examine, logically, some cri-tical effect produced by the interaction of these elements. Computersoffer a way of extending the scope of gedanken experiments to muchmore complex situations. (1992: 195-6).

Y mas adelante concluye (cito el texto que aunque largo, es suficientementeclaro):

A general theory of complex adaptive systems that addresses theseproblems will be built, I think, on a framework that centers on th-ree mechanisms: parallelism, competition, and recombination. Paralle-lism lets the system use individuals (rules, agents) as building blocks,activating sets of individuals to describe and act upon changing si-tuations. . .Competition allows the system to marshal its resources inrealistic environments where torrents of competition – credit assign-ment and rule discovery – extract useful, repeatable events from thistorrent, incorporating them as new building blocks. Recombinationunderpins the discovery process, generating plausible new rules from

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building blocks that form parts of tested rules. It implements the per-vasive heuristic that building blocks useful in the past will prove usefulin new, similar contexts. Overall, these mechanisms allow a complexadaptive system to respond, instant by instant, to its environment,while improving its performance. In so doing, as with classifier sys-tems, the system balances exploration with explotation.

When these mechanisms are appropriately incorporated in simula-tions, the systems that result are well founded in computational terms,and they do indeed get better at attaining goals in perpetually novelexperiments. It should be possible to take a first step toward a gene-ral theory of complex systems by formalizing a framework based onthese mechanisms. A second step would incorporate a mathematicsthat emphasizes process over end points. This mathematics wouldemphasize the discovery and recombination of useful components –building blocks – rather than focusing on fixed points and basins ofattraction. At that point, the incipient theory should begin to providethe guidelines that make the computer-based experiments more thanuncoordinated forays into an endlessly complex domain. Once we getthat far, we come at last to a rational discipline of complex adaptivesystems providing genuine predictions (1992: 197-8).

Tres anos mas tarde, Holland (1995; capıtulo 5: Toward Theory), destaca cua-tro componentes de lo que puede ser (“sera”) una teorıa general de la complejidad.Estos elementos son (1995: 170-172):

1. La interdisciplinariedad. Esta permitira entender lo comun de diversos sis-temas complejos adaptativos.

2. Experimentos mentales basados en computacion. Este trabajo permtira ex-ploraciones complejas tanto con sistemas posibles como con sistemas reales.

3. El principio de correspondencia de Bohr. El famoso principio de Bohr sig-nifica, traducido al estudio de los sistemas complejos, que los modelos desa-rrollados por los investigadores en complejidad deberan abarcar los modelosestandar de estudios anteriores en disciplinas relevantes.

4. Una matematica de procesos competitivos basados en la recombinacion. Da-do que los experimentos basados en computador no son suficientes, se re-



quiere de una matematica que permita generalizaciones rigurosas que defi-nan las trayectorias producidas por las interacciones entre la competenciay la recombinacion.

Por su parte, y luego de haber desarrollado los modelos y estudios que danlugar por primera vez a la criticalidad autoorganizada, Bak, (1996) recurre a lateorıa de los equilibrios puntuados para fundamentar, por ası decirlo, tanto ala propia criticalidad autoorganizada como en general al estudio de los sistemascomplejos (capıtulo 9: “Theory of the Punctuated Equilibrium Model”). AunqueBak no lo expone, la teorıa de los equilibrios puntuados fue propuesta por vezprimera por S. J. Gould y N. Eldridge en 1977.

En realidad, lo que piensa Bak acerca de lo que es una teorıa es bastanteclasico y muy poco tiene que ver con la idea de una ciencia revolucionaria, yasea en el sentido acunado originalmente por T. Kuhn, o bien, desde el fragordel entusiasmo que caracterizo a los primeros pasos teoricos, administrativos yorganizaciones en el estudio de la complejidad (Waldrop, 1992; Lewin, 1995).

Curiously, the concept of what constitutes a theory appears to bedifferent in biology and physics. . . According to one of the most fun-damental principles of science, a theory is a statement about somephenomenon in nature that in principle can be confronted with realityand possibly falsified. The description can be either verbal or mathe-matical. In physics, we use the language of mathematics to expressour theories. To confront the theory with reality, we solve equationsand compare with experiments. The result of the theory is a numberthat is compared with a number measured by some apparatus. If thereis disagreement, we return to the drawing board. When theories areexpressed verbally in terms of much less precise languages, the con-frontation with facts is much more cumbersome and leaves space forendless discussions among experts as to what constitutes the betterdescription. Sometimes the experimental observation itself, withoutany condensation into more general principles, is viewed as a theory(1996: 162).

Otros textos y autores podrıan mencionarse a proposito del problema de unateorıa de los sistemas complejos adaptativos. Pero considero que es suficiente

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con estas tres indicaciones. En el primer texto citado el enfasis recae sobre lascaracterısticas de dicha teorıa. Holland confıa fuertemente en el poder de las ma-tematicas y aun cree en los beneficios predictivos que una teorıa general de lacomplejidad puede aportar. En el segundo texto su confianza en las matematicas–notablemente aquellas que trabajan con problemas combinatorios –“complejidadcombinatoria”- es aun mas franca y directa, si bien reconoce la importancia de lainterdisciplinariedad y de los procesos de simulacion conjuntamente con el princi-pio de correspondencia de Bohr. Como se recordara, este principio fue formuladoen los inicios de la mecanica cuantica para sostener que, dado que las leyes clasi-cas de la fısica funcionan muy bien al describir sistemas mucho mas grandes quelos atomos, las leyes de la mecanica cuantica –que funcionan adecuadamente enla descripcion de fenomenos y comportamientos subatomicos- deben ser indis-tinguibles de las leyes de la mecanica clasica cuando se aplican en una escalasuficientemente grande. Este principio es anterior al mucho mas famoso principiode complementariedad, y que debe, sin embargo, quedar aquı de lado.

Como quiera que sea, lo cierto es que todas las teorıas –cientıficas y filosoficas,notablemente- desarrolladas antes de las ciencias de la complejidad o al margensuyo (por ejemplo, quienes ignoran o no quieren saber nada de “complejidad”)han sido teorıas cerradas, autorreferenciales, autoconsistentes. Mas exactamente,todas las teorıas cientıficas habidas en la historia de la humanidad habıan sidotautologicas. La primera vez que logramos darnos cuenta de esto fue gracias ala crıtica a los sistemas tautologicos llevados a cabo gracias al teorema de laincompletud de Godel (Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de losprincipia matematica y sistemas relacionados, 1931).

Godel fue el primero –ciertamente en el contexto de la discusion planteadavarios anos antes por D. Hilbert- en darse cuenta que todas las teorıas existentes–de tipo deductivo, desde luego-, eran tautologicas. El resultado de los estudiosde Godel, como es sabido, consiste en establecer que si en ciencia queremos unateorıa que no sea tautologica, entonces, necesariamente, nos encontramos conuna teorıa incompleta. De esta suerte, una teorıa es consistente, pero entonces estautologica; o lo que es equivalente, entonces es incompleta. O bien, una teorıa escompleta, pero entonces es inconsistente, y por tanto tautologica. Es fundamentalaquı atender a la distincion entre consistencia y coherencia de una teorıa.

Dicho en terminos de Godel, la verdad de un sistema no puede: a) definir-se en funcion del sistema mismo; b) establecerse en terminos de los elementos



y sus dinamicas que componen un sistema. En ambos casos, nos encontramosjustamente con verdades tautologicas o, lo que es equivalente, con teorıas auto-rreferenciales. Por el contrario, la verdad de un sistema se encuentra por fuera deeste, en otro sistema que lo incluye; y ası sucesivamente. El estudio del teoremade la incompletud de Godel en el contexto del estudio de los sistemas complejosno lineales ha sido adelantado por J. Casti (1999; 1995).

En este momento, cabe una observacion puntual. De acuerdo con Gould(1992), el concepto de teorıa no aparece, tal y como lo entendemos en nues-tros dıas, sino hasta el ano de 1699. Antes de esta fecha, el concepto no aparececomo tıtulo de una obra de investigacion y como el eje de un modelo explicativodel mundo. Incluso la obra principal de Newton llevara por tıtulo Principios deFilosofıa Natural ; esto es, aun querra ser filosofıa: natural, o filosofıa de la na-turaleza. Habra que esperar para que gradualmente el concepto de teorıa vayacobrando el sentido y valor que adquiere, al cabo, en la modernidad y en el mundocontemporaneo. Es decir, que la forma mas elevada de ciencia es aquella que sebasa en, o apunta a, la formulacion y desarrollo de teorıa(s).

El que las teorıas son autorecurrentes, y que la propia razon o racionalidadhumana y cientıfica en general tienen un caracter circular y autorreferencial hasido un fenomeno constantemente observado, subrayado y analizado por partede uno de los mas destacados filosofos de la ciencia de todos los tiempos: N.Rescher. De hecho, dentro del programa de investigacion que gira en torno al tıtuloracionalidad, Rescher (1993) ha llamado la atencion en reiteradas ocasiones acercadel caracter autorreferencial de la razon. En lıneas similares pueden mencionarselos trabajos de Nozick (1993) o los trabajos sobre justificacion y justificacionismopor parte de Audi (1993).

En terminos generales, el estudio de las estructuras de las teorıas –cientıficas-es el objeto de la filosofıa de la ciencia y, por derivacion, de la epistemologıa. Enterminos recientes, es el objeto mismo de la filosofıa de la logica –especıficamentea partir de los desarrollos de las logicas no clasicas y la filosofıa que les subyace-.Las logicas no clasicas han sido designadas, de una manera mas positiva, comologicas filosoficas. Es sobre este marco que dirijo mi atencion.

A partir de lo que precede, se puede tomar distancia con respecto a la creenciafundamental de toda la humanidad occidental relativa a la forma de elaborarmodelos explicativos acerca de la realidad y los fenomenos. De acuerdo con estacreencia –fundada originalmente en la obra cimera de Euclides-, las teorıas tienen

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o deben tener un caracter axiomatico. Ası, la axiomatica adquiere un estatus almismo tiempo normativo y descriptivo. Pues bien, el merito de K. Godel consisteen permitirnos dejar de lado –particularmente de cara al estudio de fenomenosy sistemas caracterizados como de complejidad creciente-, cualquier pretensionaxiomatica. Supuesto, claro, que queremos hacer ciencia que no sea tautologica.De esta suerte, una teorıa general de la complejidad no adoptara una estructuracerrada, en tanto que los sistemas complejos son, por definicion, sistemas abiertos.Dicho de manera puntual: a partir de Godel ya no es inevitable que la axiomaticasirva como paradigma para una teorıa.

Por otro lado, las mal llamadas ciencias duras –es decir, aquellas que ope-ra(ba)n con base en criterios fısico-matematicos-, impusieron una creencia que ala postre resulto ser falsa; es decir, una seudo-creencia. Se trato de la idea de quepara que una teorıa fuera solida, fuerte, debıa tener un basamento matematicoo bien estar elaborada en terminos de la matematica. Pero hemos descubierto,ciertamente hace poco, que son efectivamente posibles muy buenas teorıas, quecarecen de fundamento matematico. El mejor ejemplo de una teorıa semejante esla teorıa de la evolucion por medio de la seleccion natural de Darwin. En la obracumbre de Darwin –El origen de las especies por medio de la seleccion natural(1859)-, no aparecen ni siquiera indicadores aritmeticos –tales como contar pin-zones, o contar familias o especies, ni nada semejante-. La teorıa de la evolucionDarvinista es una teorıa dura –analogamente a otras teorıas como la teorıa degravitacion universal o la teorıa de la relatividad, por ejemplo-, y sin embargo,es absolutamente a-matematica. Mejor aun, la teorıa de la evolucion es la mejorteorıa existente hasta la fecha sobre los sistemas vivos, y su caracter a-matematicono afecta para nada su estatuto, su alcance o su significado.

Ahora bien, lo verdaderamente apasionante de la teorıa de la evolucion es quees incompleta. Es suficientemente conocido el pasaje de Darwin al comienzo dela Teorıa de la evolucion por medio de la seleccion natural :

I am fully convinced that species are not immutable; but that thosebelonging to what are called the same genera are lineal descendantsof some other and generally extinct species, in the same manner asthe acknowledged varieties of any one species are the descendantsof that species. Furthermore, I am convinced that Natural Selectionhas been the main but not exclusive means of modification” (1959:Introduction, 6).



Ası, la seleccion natural fue tan solo el mecanismo descubierto por Darwinpara explicar las modificaciones entre las especies; pero no es el unico. Al mismotiempo que se trata del reconocimiento de un mecanismo explicativo exitoso, esla expresion abierta de una teorıa incompleta que permite y exige de ulterioresadiciones (tal es, notablemente, la obra de biologos evolutivos, filosofos de labiologıa y otros).

Una tercera observacion final. No es inevitable que toda teorıa deba ser con-sistente. Hay, tambien, teorıas inconsistentes. El mejor ejemplo es la teorıa mo-lecular de Bohr, de acuerdo con la cual, la luz se comporta en ocasiones comopartıcula, y en ocasiones ondulatoriamente, y que, no obstante esta inconsisten-cia permite entender claramente el duplice comportamiento de los fotones. Puesbien, en terminos mas generales, el estudio de las inconsistencias y la forma comocontribuyen efectivamente a explicar determinados sistemas, fenomenos y com-portamientos del mundo es el objeto de una logica no-clasica reciente: la logicaparaconsistente, e incluso de una de sus ramas, la logica de la relevancia.

En el contexto de las logicas no clasicas, los temas y problemas de las para-dojas, las inconsistencias y las paraconsistencias, se revelan como serios motivosde estudio sin que sean proscritas o disminuidas, que es lo que sucedio tradicio-nalmente por parte de la logica (y la filosofıa de la logica), la epistemologıa, y lafilosofıa de la ciencia. En terminos generales, las logicas no clasicas aportan uncalculo para establecer el caracter de una teorıa, y este caracter ya es o requiereser el que la ciencia y la filosofıa habıan establecido tradicionalmente.

Ahora bien, hablar de logicas no clasicas es, en realidad, una manera negativay ciertamente muy amplia de designar un conjunto abierto, inacabado y en conti-nuo crecimiento y desarrollo que consiste en los sistemas alternativos de notaciona la logica formal clasica. La manera mas adecuada de designar a las logicas noclasicas es como logicas filosoficas. Es aquı en donde entran, en propiedad, lostemas referidos a la naturaleza, dinamica y posibilidades de las teorıas.

Teorıa de la complejidad y geometrıa de fractales

Las ciencias de la complejidad se componen de varios capıtulos, por ası decir-lo, principales. Son varias, plurales. Segun su aparicion cronologica, se tienen: latermodinamica del no equilibrio (Prigogine), el caos (Lorenz y Ruelle), los frac-

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tales (Mandelbrot), la teorıa de las catastrofes (Thom), las logicas no clasicas y,mas recientemente, la ciencia de las conexiones.

La nocion de pluralismo es, a todas luces, el primero de los rasgos de contrasteentre las ciencias de la complejidad y la ciencia clasica. Notablemente, pluralis-mo logico, pluralismo metodologico, pluralismo heurıstico. En ocasiones se hablatambien, de manera generica de la teorıa de la complejidad. Pero esta ultimadesignacion es debil y desafortunada. No solamente el caos ya ha dejado de seruna teorıa, para convertirse en ciencia, sino que, adicionalmente, y por ejemplo,Gaia ha dejado de ser una hipotesis, para convertirse en un autentico programade investigacion cientıfica.

Lo anterior implica que la pregunta: “¿que hace que un sistema sea o secomporte de manera compleja?”, reciba mas de una respuesta. En una ocasion,esta respuesta senala un orden a traves de fluctuaciones; en otra, la presenciade un atractror extrano; en una vez mas, precisa incluso que la estructura o ladimension de todo atractor extrano es fractal. Y ası sucesivamente.

Como quiera que sea, la geometrıa de fractales es una de las ciencias dela complejidad, incluso aunque el padre de los fractales, B. Mandelbrot, no lohaya concebido explıcitamente ası desde el comienzo. El camino que comunicaa la complejidad con los fractales es, pues, indirecto, y sin embargo, de unaimportancia capital. Se trata de la naturaleza misma de aquella dimension fractaldescubierta por Mandelbrot: la geometrıa –de manera mas precisa, la geometrıafractal de la naturaleza.

La geometrıa fractal de la naturaleza no es, propiamente hablando, una teorıa.Es, en rigor, una geometrıa. Y desde este punto de vista, se trata, como el propioMandelbrot lo reitera en su obra principal (1983), de una magnıfica sıntesis enla que tiene lugar una mixtura entre ciencia y filosofıa, entre las matematicas yel arte. Lo irregular se descubre como la norma, y, por ejemplo, aprendemos queuna curva de Koch es mucho mas simple que un cırculo (del cual, en la geometrıaeuclidiana y particularmente en la matematica de origen pitagorico, se creıa queera la figura mas simple y perfecta).

Cuando Mandelbrot publico por primera vez su Geometrıa fractal de la natu-raleza, una de las cosas que mas sorprendio a la comunidad cientıfica fue el hechode que Mandelbrot presentara y desarrollara su “teorıa” –los fractales- en un granlibro de mas de quinientas paginas, en lugar de hacerlo, como era y ha sido la



usanza, en un artıculo. La historia de la ciencia que se formula en artıculos y noen libros es famosa desde los trabajos seminales de Planck, los cinco artıculos delano 1905 de Einstein, y los trabajos subsiguientes que tuvieron lugar en la fısica yen la mecanica cuantica. Mas recientemente, lo mismo sucederıa con los trabajosde Feigenbaum, o con el artıculo de Watson y Crack en el que presentan el famosodogma central de la biologıa, o incluso con el artıculo seminal de E. Lorenz en elque desarrolla las ideas centrales del caos y los comportamientos erraticos de lameteorologıa. Mandelbrot se situa lejos de esa tradicion.

La psicologıa del descubrimiento cientıfico, la historia y la filosofıa de la cien-cia, la matematica, la logica y la heurıstica son tan solo algunos de los puntos devista desde los cuales, la genesis y el desarrollo de los fractales resulta apasionan-te. Lo es tambien, la dinamica de trabajo en la que Mandelbrot pudo desarrollarsu obra.

Ası, el libro se abre con un reconocimiento espectacular:

Estoy en deuda con el Centro de Investigacion Thomas J. Watsonde la International Business Machines Corporation, por su apoyo amis investigaciones y mis libros. En su condicion, primero de direc-tor de grupo, luego de director de departamento, y ahora de directorde investigaciones, el vicepresidente de IBM, Ralf E. Gomory, ima-gino modos de proteger y respaldar mi trabajo cuando no era masque especulacion, y de darle todo el apoyo que pueda necesitar ahora(1983: 9).

Definitivamente, la produccion de conocimiento se hace posible gracias a con-tingencias favorables como un jefe comprensivo, un entorno amable y una redsensible a la inteligencia y la creatividad; aunque en sus orıgenes, y durante untiempo, nada “concreto” parezca salir.

Y el libro se cierra con un reconocimiento de no menor valıa. Luego de dedicarel capıtulo 40 a los “esbozos biograficos”, el 41 a los “esbozos historicos” y el 42, elepılogo, a “la senda hacia los fractales” y la forma como gradualmente y de formaimprevista, acaso, fue desarrollando y presentando ante la comunidad academicay cientıfica nacional e internacional su obra, Mandelbrot opta por un camino: elmenos obvio, el menos transitado, el del estudio de las turbulencias.

Dice Mandelbrot:

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Hoy en dıa, los casos en que tecnicas y conceptos nuevos entran enla ciencia a traves de ramas poco competitivas son raros, y por endeanomalos. La geometrıa fractal es un ejemplo mas de tal anomalıahistorica (1983: 589).

¡Que magnıfica circunstancia desde el punto de vista de los trabajos sobrehistoria de la ciencia y las revoluciones cientıficas! La inmensa mayorıa de lasinnovaciones en el conocimiento tienen lugar a traves de luchas fuertes en las quenumerosos intereses chocan y entran en confrontacion. Pero pocos, muy pocoscasos existen en los que la produccion de conocimiento tiene lugar de maneraanomala, a traves de campos no competitivos y que se encuentran lejos de lacorriente principal de trabajo (mainstream science). (Vease al respecto Cohen,1989; Popper, 1972; Kuhn, 1992; Kitcher, 2001).

Ahora bien, que el progreso en el conocimiento suceda a traves de territoriosanomalos –en el sentido literal de que no es investigacion normal ni, por tanto,ciencia normal -, es en realidad el resultado de la inteligencia del investigador yteorico o de contingencias biograficas. Un ejemplo de progreso anomalo ha sidonarrado de manera notable, a proposito del nacimiento de la ciencia del caos, porparte de J. Gleick (1988).

Volvamos a Mandelbrot, para concluir. En los trabajos de divulgacion de frac-tales se han mencionado hasta la saciedad el caracter irregular de los mismos y suautosimiltud. Creo, sin embargo, que quedarse en estos elementos es simplificardemasiado la riqueza y el significado de los fractales. Bien vale la pena llamarla atencion sobre otro aspecto: los fractales escalantes, los no escalantes, y laaleatoriedad son, con seguridad, los tres ejes principales en torno a los cuales seteje la geometrıa de fractales y constituyen las tres partes mas extensas de laobra de Mandelbrot. Es alrededor suyo donde se encuentra un punto de referen-cia con respecto al problema de base en este texto –el de una teorıa general dela complejidad-. Los fractales escalantes constituyen el cuarto capıtulo; los frac-tales no escalantes, el quinto; y los capıtulos VII, VIII, IX y X tratan directa yfrontalmente con el azar y la aleatoriedad.

En fin, ¿como es posible una teorıa general de los sistemas complejos? Estaes una idea sobre la que vengo trabajando hace tiempo. Una indicacion puedeapreciarse en Maldonado (2007). Ademas de lo indicado en ese texto, quisieraagregar dos cosas. De un lado, que una teorıa general de la complejidad puede



tambien ser vista como una sıntesis –una gran sıntesis-. ¿No fue, al fin y al caboeso mismo lo que hizo Newton con sus Principia?, ¿no es a su vez, con todoy las advertencias acerca de la erudicion (Mandelbrot, 1997: 39-40), justamentela Geometrıa fractal de la naturaleza, una obra de magnıfica sıntesis entre lasmatematicas y las ciencias naturales? Ahora bien, “sıntesis” es una palabra queimplica un arduo, creativo e inteligente trabajo el que, de cara a la tarea poralcanzar una teorıa general de los sistemas complejos adaptativos, queda pordelante.

Segunda observacion final: Una gran teorıa de la complejidad puede ser posi-ble como una teorıa de segundo orden –a la manera, por ejemplo, como en logicase habla de “logica(s) de segundo orden” e incluso de ordenes superiores-. Unabuena indicacion al respecto serıa la matematica, desarrollada originalmente porD. Hilbert, en respuesta al problema algido surgido en su epoca en torno a lafundamentacion y la naturaleza de las matematicas, supuesto, adicionalmente,lo que estaba teniendo lugar ya con la propia logica formal clasica. La metama-tematica es una teorıa de segundo orden que brinda una respuesta al problemamismo de la naturaleza de las matematicas, como distintas de la logica y de lapsicologıa.

El problema de mayor dignidad al que puede y debe abocarse un cientıfico,academico o investigador es, supuesta la diferencia entre divulgar conocimiento-que es fundamental desde muchos puntos de vista- y por tanto cuidar y preservarel conocimiento, y producir conocimiento y en consecuencia correr las fronterasdel conocimiento, consiste, sin lugar a dudas, en proponer, desarrollar y defen-der una teorıa. La consagracion del investigador esta aquı: no simplemente enalcanzar explicaciones aceptables, y ni siquiera en proponer modelos; sino, en de-sarrollar una teorıa. Aquella, en la que, por lo menos en su campo, se desenvuelve.Pero esta, que es la mas alta y digna de la metas, es tambien la mas ardua, difıcile incierta. He aquı una maravillosa paradoja. ¿Paradoja? Justamente: inconsis-tencia, relevancia, paraconsistencia. Que es el aire, por ası decirlo, por donde semueve y puede moverse una teorıa general de la complejidad.

Al cabo, ¿es posible que haya ciencia sin teorıa? El mejor ejemplo que sepodrıa aportar serıa el de la biologıa, que carece, hasta la fecha, de una teorıa–unificada, digamos-, acerca de los sistemas vivos. Todo parece indicar, sin em-bargo, que este “defecto” de la biologıa se encuentra ya en vıas de resolucion enterminos de Evo-Devo. Pero este ya es otro tema que debe quedar aquı aparte.

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En cualquier caso, la respuesta parece ser conclusiva: es imposible hacer ciencia,esto es, buena ciencia, sin una teorıa. Las ciencias de la complejidad son, desdemultiples puntos de vista, muy buena ciencia, aun cuando –y quizas precisamentedebido a quese encuentren lejos todavıa de la corriente principal de investiga-cion en ciencia (Mainstream science). Aguardan, ante sı, una teorıa general de lossistemas complejos no lineales. El reto no es pequeno y sı promete buenos frutos.

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Notas Sobre la Complejidad en las Ciencias Sociales:de la Formalizacion a las Metaforas

Raymundo Mier1

Antecedentes: una incursion sinoptica

La nocion de complejidad emerge, tardıamente, en las ultimas decadas delsiglo XX del regimen de los saberes contemporaneos a partir de la conjugacionde una triple interrogacion. Tres fuentes de inquietud y, simultaneamente, de cer-teza: la irreversibilidad de los procesos, el resplandor del instante y el reclamointransigente de infinito. La relevancia de estas interrogaciones, con frecuenciarelegadas en el ambito del conocimiento positivo como meras pasiones especu-lativas, aparecio a partir de la posibilidad de una aceleracion insospechada dela capacidad de calculo numerico iterativo por dispositivos electronicos. No obs-tante, estas interrogantes habıan surgido en muy diversos ambitos cientıficos yfilosoficos, a partir de los cuestionamientos sobre la singularidad, los enigmas dela bifurcacion y la discontinuidad de las funciones, los lımites del calculo, la evi-dencia de la incompletud de los sistemas, las transformaciones catastroficas, lagenesis de estructuras y calidades relacionales ineditas y el origen y destino delos procesos espontaneos -una interrogacion que engendro la inquietud por unaperturbadora ontologıa de la materia.

La nocion de complejidad no contraviene la expectativa de inteligibilidad de1Profesor-investigador en el Departamento de Educacion y Comunicacion de la UAM-

Xochimilco. Miembro del Posgrado en Ciencias Sociales. Profesor de Teorıa antropologica yde Filosofıa del lenguaje en la Escuela Nacional de Antropologıa e Historia.

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26 Raymundo Mier

la ciencia, sino que explora los lımites de algunas certidumbres que orientaronel pensamiento positivo a partir del siglo XVII: la calculabilidad y el imperativodeterminista, la sospecha del azar y la invencion de la probabilidad, conceptosunıvocos derivadas del formalismo, la necesidad absoluta y el sentido inequıvocodel principio de causalidad, entre otras.

La nocion de complejidad ha acarreado una revision de la nocion de orden, deregulacion, de normatividad, de habito y de ley. Ha acarreado tambien una revi-sion de los procedimientos de construccion conceptual y de las pautas que definenlas doxas cientıficas. Ası mismo, ha provocado un desplazamiento y reconsidera-cion de la nocion de interpretacion. De ahı un concepto equıvoco y desafortunadoque ha acompanado estas reflexiones: caos. La genealogıa de esta nocion involu-cra, sin duda, la referencia a las tentativas de modelizacion del ruido, derivadastempranamente de los modelos matematicos de la informacion y los modelosorientados al diseno matematico de los circuitos de comunicacion: la nocion deruido se inscribio en una vision termodinamica que puso de manifiesto la relacionentre distribuciones probabilısticas, orden, tiempo y proceso. Reclamo ası mismola formulacion de modelos matematicos de retroalimentacion y de consideracionesmetamatematicas sobre la recursividad.

La definicion termodinamica de orden, referida a su fundamento probabilısti-co, comprendıa negativamente un dominio de fenomenos asociados a una distri-bucion altamente probable. La nocion de caos refiere a esta condicion ineludibleque define, de manera aparentemente paradojica, el marco escatologico de losprocesos: origen y destino, senalados por una disolucion de las estructuras orde-nadoras en virtud de la necesidad de una economıa en la distribucion de energıas.Ası, la nocion termodinamica de caos, sustentada estrictamente por nocionesmatematicas y probabilısticas ajenas a las nociones mıticas y a las exaltacionesde fantasıas que la refieren a una condicion absurda e ininteligible, da cabida asentidos alegoricos ajenos a su condicion conceptual nıtidamente acotada.

No obstante, es precisamente el apuntalamiento probabilıstico de la nocion decaos lo que reclama un significado nuevo de la nocion de azar. Las consecuenciaslogicas y conceptuales de esta “revolucion” del azar suscitan una interrogacioncardinal de los modelos clasicos de la explicacion en multiples dominios de lasciencias. Sin duda, esta transformacion radical de la comprension de la orienta-cion direccional de los procesos “espontaneos” conllevaba una nueva comprensionde tiempo, probabilidad, economıas energeticas y orden. La revolucion de la en-


Notas Sobre la Complejidad en las Ciencias Sociales: de la Formalizacion a las Metaforas27

tropıa, tempranamente vislumbrada por Boltzmann al proponer la segunda leyde la termodinamica y las secuelas de la termodinamica estadıstica, comprometıaplenamente la vigencia de una nocion de causalidad que habıa sido entronizada yconsiderada irremisible en el marco de las ciencias fısicas y la termodinamica. Lanocion implıcita de irreversibilidad, con todas sus consecuencias en la compren-sion de la estabilidad, fluctuacion, y transformacion de los sistemas, obligaba a lacreacion de nuevos modelos y pautas de interpretacion, no solo de las evidenciasexperimentales, sino de la creacion misma de los dispositivos experimentales enlas ciencias.

Por otro lado, las reflexiones matematicas sobre singularidad, bifurcacion,discontinuidad fluctuaciones y variaciones -que involucraron los descubrimientostempranos de Weierstrass en el siglo XIX que no dejaron de provocar sobresaltosen el horizonte de las matematicas canonicas-, se articulaban sobre las nuevasreflexiones acerca de las operaciones recursivas y sus consecuencias sobre la cal-culabilidad del curso de los procesos. La necesidad de transitar mas alla de losmodelos lineales se hizo patente. El establecimiento de condiciones de frontera,las definiciones de lımite y la variacion parametrica en la formalizacion de estadosy procesos se expresaban en una perspectiva constructiva. Esta derivo de la ne-cesidad de comprender estrictamente la nocion de control, formular con claridadun modelo formal para esta, e incorporarla en los marcos interpretativos de lamodelizacion de procesos. Para fines del siglo XIX era evidente la relacion entreprocedimientos de control y condiciones de estabilidad y la comprension de lascondiciones y los alcances de la perturbacion. La realizacion del control en siste-mas termodinamicos en desequilibrio, en procesos de transicion y transformacioncontinua, derivo en modelos matematicos que exigıan respuestas de mayor com-plejidad. Los sistemas lineales, inadecuados para la solucion de esta persistenciay mutacion permanente, y una caracterizacion precisa de los estados de perturba-cion y transformacion continua, dieron lugar a sistemas no lineales, en los cualesuno de los problemas mas interesantes era el establecimiento de parametros re-feridos a las condiciones de frontera para el comportamiento y, finalmente, laestabilidad del sistema.

Transformaciones en la relacion entre logica y matematicas que derivaron enla revision de la comprension axiomatica de la teorıa de conjuntos, privilegiada-mente la obra de Cantor y las contribuciones deslumbrantes de Godel -las nocio-nes de incompletud y de indecidibilidad- introdujeron un sentido suplementariorespectivamente de las nociones de infinitud y de derivabilidad.

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Las maquinas de Turing, por otra parte, ofrecieron un modelo singular en lacomprension de maquinas de estados finitos. Arrojaron una luz inusitada sobrelas propiedades y los alcances de los procesos recursivos que abrieron la vıa tan-to a la creacion de modelos computacionales, como a concepciones del lenguajealejadas de los marcos del analisis conductual o de los esquematismos reductivosdel neofuncionalismo. Las operaciones recursivas se revelaron, no solo como unmetodo de calculo, sino como inherentes a las pautas de generacion de lenguajes.La fertilidad de las concepciones sobre recursividad y sus desarrollos incidieronsobre las propias matematicas, la teorıa de conjuntos, y los dominios tecnologi-cos. Tambien ofrecieron modelos y metaforas de extraordinaria relevancia para lacomprension de los procesos simbolicos, linguısticos y los procedimientos de cons-truccion cognitiva que sustentan la interaccion entre sujetos de diversos ordenesen el dominio social.

Interferencias contemporaneas: la imaginacion geometrica

En el texto de introduccion a una de sus obras cardinales, Los objetos fracta-les, Mandelbrot ofrece un testimonio significativo: el caracter geometrico de estosobjetos, su ubicacion en los confines o acaso en la periferia de los modelos for-malizados o las estructuras logicas. Son objetos que emergen de una vision masque de una derivacion conceptual o formal. Remiten mas a una “intuicion” des-prendida de las operaciones de la percepcion y las condiciones de inteligibilidadreferidas al sentido de lo “mirado”, mas que a composiciones estructuradas deconceptos en los marcos de un saber matematico o logico establecido. Revelanası una extrana condicion que conjuga al mismo tiempo un irrefutable sustentoen un sentido comun inherente a la percepcion fundamental de objetos, tiempos yespacios, y una consecuencia contraintuitiva: existen objetos que parecen revelarla variacion continua entre dimensiones espacio-temporales. Frente a la aparentediscontinuidad de las tres dimensiones del espacio euclidiano (incluso si anadi-mos, siguiendo la propuesta contemporanea, una cuarta dimension temporal alas coordenadas en las que situamos la cognicion de los procesos extrınsecos ala consciencia), Mandelbrot sugiere la clara percepcion de objetos “intermedia-rios” entre las distintas dimensiones [adicionales a los objetos de cero dimensiones-puntos-, de una dimension -rectas-, de dos dimensiones -planos-, o de tres di-mensiones -volumenes-], es decir, objetos de dimensiones fragmentarias en unaescala continua. Es posible construir o percibir, por consiguiente, objetos que se



aproximan a un volumen, mediante un pliegue recursivo de un plano; operacionessimilares llevan a construir “objetos” intermediarios, de dimension fraccionada,en cada una de las “zonas de transito” entre dimensiones. Mas aun, la transi-cion entre dimensiones, generada por la aplicacion recursiva sobre los cuerposgeometricos, conlleva una imposibilidad de definir con exactitud la magnitud delelemento geometrico propio de ese objeto, sin apelar a las condiciones de apli-cacion de la propia regla recursiva, y a la naturaleza del objeto geometrico. Ası,la ubicacion del objeto en el espacio euclidiano, remite a una dimensionalidadcuya magnitud deriva del desenlace constructivo de operaciones recursivas sobreobjetos geometricos.

Mas alla de esta referencia sugerente a la genesis de los objetos fractales, espreciso advertir que estos derivaron, no solo de esta “intuicion geometrica”, sinode una consistente exploracion de operaciones recursivas con variables complejasy las propiedades de la representacion grafica de su calculo iterativo. En particu-lar el calculo recursivo de z → λz(1− z) [donde z es una funcion racional de unavariable compleja y λ un parametro complejo]. Las propiedades de este procesoexhibidas en la grafica generada por la impresion del calculo numerico iterativofueron arrojando, progresivamente, un conjunto de interrogantes insolitas referi-das, no solo al proceso numerico, o al objeto matematico mismo, sino a multiplesprocesos asociados con la formula cuadratica de Julia. El comportamiento de es-tas expresiones muy pronto revelo propiedades relevantes para la comprensionde las series convergentes y, de manera mas general, para la comprension de lascondiciones de estabilidad en los sistemas dinamicos. La caracterizacion de atrac-tores, que definen un conjunto de procesos especıficos que orientan y establecenlas condiciones de estabilidad de otros procesos, se conjuga con la observacion deuna composicion de autosimilaridad que exhiben las graficas de los conjuntos deJulia. Mas aun, se logra advertir, en una reflexion mas detallada de los fenome-nos de estabilidad que, mas alla de ciertos valores de los umbrales definidos paralos parametros de la ecuacion cuadratica, la estabilidad del proceso da cabida acomportamientos que se sustraen a toda regularidad preestablecida.

No obstante, la complejidad no se reduce a la exploracion de procesos for-malmente bien definidos. Abarca ası mismo la autosimilaridad estadıstica -o in-cluso estocastica- como la que emerge del analisis del movimiento browniano, enla que cada desplazamiento de una partıcula de polen por una superficie lıqui-da, dibuja un movimiento complejo conformado por multiples desplazamientosrectilıneos. Estos movimientos estan dispuestos en orientaciones aleatorias que,

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a su vez, estan compuestos por movimientos mas pequenos que siguen los mis-mos patrones conformados por movimientos aun mas pequenos que preservan lamisma distribucion estadıstica. La autosimilaridad se expresa como una identi-dad abismal. Cada patron formal aparece integrado, recursivamente, por patronesidenticos, a su vez integrados por patrones identicos. Se preserva esta similituden distintas escalas.

La incorporacion de modelos estocasticos para la definicion de fractales nosolo abre la posibilidad de comprender estos objetos sino de patrones dinami-cos -impredecibles en su comportamiento- antes extranos a la formalizacion. Seconjugan con modelos no lineales de generacion de respuestas estables aunque im-previsibles de naturaleza aparentemente aleatoria. El desenlace de estos procesoshace comprensible patrones de estabilidad complejos que convergen en distribu-ciones carentes de un perfil determinable.

Modelos y metaforas de la creacion cognitiva: la autopoıesis

Sin duda, una de las contribuciones mas notorias y de amplio impacto en larenovacion de las perspectivas contemporaneas sobre el conocimiento derivo delas propuestas de una biologıa orientada, definitivamente, por una atmosfera demetaforas, modelos y analogıas que establecıan paralelismos, correspondencias yanalogıas entre maquinas ciberneticas y organismos biologicos. Varela y Matu-rana ofrecieron una perspectiva inedita para la comprension del conocimiento ysu relacion con las estructuras biologicas. La “biologıa del conocimiento” referıalas condiciones de identificacion de identidades, relaciones y composiciones or-ganizativas de los seres a procesos de funcionamiento neuronal y tratamiento deflujos de informacion entre organismo y entorno. Esta relacion aparece definidapor un flujo complejo de informacion y por pautas organicas especıficas para elprocesamiento y la organizacion de esa informacion. La vida como genesis y desa-rrollo de procesos de interaccion organismo-entorno, involucra el reconocimientode objetos, identidades estables, rasgos y propiedades persistentes, asociados aobjetos, contextos y acciones. La posibilidad de este reconocimiento deriva delmanejo y la organizacion de flujos incesantemente cambiantes y dinamicos de in-formacion a traves de condiciones de frontera. El reconocimiento de identidades-de sı, de los objetos del mundo, de los otros-, y de las condiciones potencialesde accion, determinantes para la sobrevivencia dependen de este modo de las



condiciones de organizacion interna de la informacion. Constituye ası las pau-tas especıficas de la experiencia y funda la posibilidad del desencadenamiento delas respuestas adecuadas. El conocimiento no depende exclusivamente del flujode entrada y salida de informacion. Por el contrario, la accion adecuada y laconformacion de las experiencias estan definidas por los circuitos, mecanismos yprocesos de organizacion interna de la informacion. Ası, las condiciones de fronte-ra definen los umbrales, las intensidades, la naturaleza de la informacion, a partirde mecanismos de recepcion y procesamiento de la informacion dependiendo dela estructura interna de los procesos de informacion. Las membranas, que acotany definen los umbrales de intercambio del propio sistema, lo separan del entornoy senalan las pautas de reconocimiento de lo propio y lo extrano, reclaman enconsecuencia, no solo procesos de reconocimiento de esas fronteras, sino tambiende su sentido; determinan, por consiguiente, la capacidad de creacion de patrones,pautas de respuesta, reiteracion de acciones, criterios de eficacia. Estas operacio-nes diferenciadas, no obstante, requieren un fundamento sistemico y, como unadimension crucial de este, una trama relacional entre entidades configurada ensı misma como una unidad estructurada. La operacion de recursividad hace po-sible entonces la composicion de entidades, organizaciones y contextos ası comola composicion de estas identidades. De este modo, la posibilidad de identificarniveles de conformacion y de integracion de las entidades cuya identidad comoorganismos deriva plenamente de la estabilidad de su ordenamiento relacional,de su propia organizacion. La nocion misma de procesualidad involucra el re-conocimiento de identidades, relaciones, transformacion dinamica del entorno ydel contexto y una comprension de una totalidad articulada de las entidades queconfiguran cada una de las fases del proceso. Abarca, desde el momento per-ceptible de su desencadenamiento, hasta el momento en que se hace evidente laestabilizacion del universo relacional que configura el sistema y el entorno.

El rasgo decisivo del modelo biologico estriba en la nocion de autopoıesis.Literalmente, la creacion de sı mismo, esta nocion apunta a la posibilidad de losseres vivos de orientar la accion de una red de procesos propios hacia la recompo-sicion, recreacion o modificacion de la propia red de procesos que la recrea. Es unacomposicion de operaciones heterogeneas que senala la genesis de un regimen me-taoperativo de la red de procesos cognitivos sobre sı mismos. Esta conformacionde metadominios que definen la posibilidad de reconocimiento de sistemas, enti-dades y redes de relaciones y procesos, define la posibilidad de accion autonomade los diversos organismos. Es la expresion y el resultado de composiciones multi-

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ples de operaciones de recursividad orientadas al reconocimiento de los propioscomponentes, sus relaciones, sus identidades y la secuela de sus transformacio-nes, acompanada de acciones de transformacion de la composicion y eficienciaoperativa de esas redes.

Aun ası, las pautas de reconocimiento del entorno y las formas de organizacionde la informacion no son equiparables en los diversos organismos. Formas de ac-cion e interaccion reclaman niveles de organizacion diferenciados, metas y objetostambien diferenciados de recepcion, y organizacion de la informacion, tanto delpropio sistema, como del entorno. Dan lugar a formas de operacion diferenciadasrespecto de organismos semejantes y definen las condiciones de autonomıa de laaccion y de las relaciones.

De este modo, la formacion de sistemas sociales esta determinada por la au-topoıesis de sus diversos componentes y por las condiciones impuestas a la inter-accion y composicion de relaciones entre ellos para la realizacion de dicha auto-poıesis. La comprension de lo social a partir de la autopoıesis, las restriccionesa la autonomıa y accion individualizada de los miembros y las pautas cognitivasque derivan de esta multiple condicion contingente abrieron un enorme repertoriode interrogantes. Asumieron como eje determinante los procesos cognitivos y laspautas especıficas de la creacion de identidades en los procesos de interaccionsituados contextualmente. Senalaron ası vıas ineditas para la comprension de losocial.

Quiza esta relevancia definitiva de lo cognitivo como condicion de los proce-sos de la vida, y su posible definicion y analisis a traves de la identificacion ycomprension de los procesos de intercambio, organizacion y transformacion de lainformacion abrieron vıas que han permitido la integracion de modelos originadosen ambitos disciplinarios muy diferentes. Las propuestas originales derivadas demodelos y metaforas ciberneticas, las teorıas del control, las concepciones de lairreversibilidad, la investigacion matematica acerca de las operaciones recursivasy las exploraciones sobre estabilidad, fluctuacion, ruido, resonancia e inestabilidadderivada de la investigacion sobre objetos fractales parecen ofrecer ahora ambitosde confluencia y de mutuo apuntalamiento en la creacion de aproximaciones rele-vantes para la comprension de los procesos dinamicos. La vida biologica apareceası aparejada no solo a la vida de las maquinas sino a los procesos sociales y losmodelos que han mostrado fertilidad en la comprension de uno, parecen ofrecerposibilidades ineditas de esclarecimiento en los otros dominios.



Figuras multifaceticas de la complejidad: sıntesis y desplazamien-tos metaforicos en teorıas sociales

a. Resonancias de los conceptos de la complejidad en antropologıay sociologıa

La nocion de complejidad aparece como una sıntesis de las aportaciones defuentes dispares que hoy revelan una progresiva aunque aun inconsistente con-cordancia. Estan lejos de ofrecer una teorıa unificada, completa y consistente. Noobstante, aun en su multiplicidad, fuentes y orientaciones propias e inasimula-bles, los conceptos que han dado lugar a las aproximaciones complejas han vistouna multiplicidad sorprendente de aplicaciones y han ofrecido tambien una va-riedad insolita de iluminaciones sobre procesos enigmaticos. Han revelado facetasinadvertidas en procesos aparentemente bien perfilados y definidos, han alentadotambien nuevas descripciones e interpretaciones de los procesos, previamente ad-mitidas ya en el dominio del sentido comun, lo definitivamente adquirido, o bien,la doxa.

Esta extrana versatilidad de las aproximaciones teoricas transito desde la bio-logıa a la climatologıa, desde la matematica hasta la termodinamica de procesosirreversibles, desde las funciones no diferenciables de Weierstrass hasta las teorıasdel control y la recursividad. Encontro interpretaciones relevantes para procesosde transferencia de calor o de mutaciones celulares, comportamientos de la bolsade valores o disgregacion y concentracion de magnitudes demograficas. Llevo acaracterizar los procesos linguısticos estadısticamente o mediante el empleo demodelos de redes neuronales; busco comprender a traves de pautas de recursi-vidad, los sistemas dinamicos de interaccion entre multiples cuerpos y sujetos.Pronto se advirtio como una fuente potencial de recursos conceptuales para lainterpretacion convergente de fenomenos historicos, polıticos, linguısticos y an-tropologicos.

Si bien es cierto que ninguna de las metaforas y modelos de las ciencias fısi-cas, la biologıa y la matematica, habıan permanecido ignorados en los desarrollosrecientes de las ciencias sociales, tambien lo es que su nueva fisonomıa ofrecıa unrepertorio inedito de concepciones y perspectivas. La equiparacion de organismosbiologicos y organismos sociales cobro carta de ciudadanıa durante el siglo XIX,como mas tarde la concepcion de la sociedad como maquina termodinamica carac-

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terizo una rama del pensamiento social durante los anos cincuenta. La primacıade lo cognitivo como regimen determinante de todos los procesos sociales apa-recio tempranamente en las psicologıas empiristas, las revoluciones logicas y lasreflexiones del pragmatismo durante casi todo el siglo XIX y preservo su vigenciadurante el siglo XX. La relevancia cardinal de los procesos informativos, secuelade la modelacion cibernetica, se desarrollo ampliamente y se fortalecio con las in-numerables contribuciones de la Inteligencia Artificial y del desarrollo acelerado,durante las ultimas decadas, de los modelos y las tecnologıas computacionales.No obstante, estas equiparaciones que asumıan un papel meramente indicati-vo, que constituıan un horizonte metaforico, una fuente de analogıas sugerentes,fueron cobrando un relieve argumentativo nuevo a la luz de las interrogacionesepistemologicas radicales a las que dieron lugar.

Sin duda, la nocion de complejidad habıa aparecido bosquejada en la estelade las aproximaciones evolucionistas. Se concibio a la evolucion como un procesode creacion de nuevos organismos que partıa de la genesis incesante de inestabili-dades en los procesos de composicion de las entidades “organicas” -las sociedadesentre ellas-. Cada nuevo perfil de identidad derivaba de la sucesiva estabilizacionde relaciones entre organismo y entorno. Surgıa de la genesis concomitante denuevas funciones, elementos y relaciones que, al articular los nuevos procesos,funciones y elementos derivaban en otros organismos estables. Ası, el nivel decomplejidad se incrementaba en la medida en que se acrecentaba a un tiempola diversidad y la especificidad funcional de los nuevos elementos. Esta nociondecimononica de complejidad, sin embargo, surgida de las exigencias de la visionevolucionista y de los modelos funcionales, aun cuando difiere notoriamente deaquella derivada de las transformaciones disciplinarias que hemos apenas bosque-jado, mantiene con ella un conjunto de sutiles analogıas y plantea una multitudde interrogantes: es preciso comprender la naturaleza de la inestabilidad y suvınculo con la creacion de elementos destinados a desempenar funciones diferen-ciadas o a engendrar nuevas tramas de relaciones e identidades cuya integracionacrecienta el grado de estabilidad de los procesos sociales. Es necesario, por con-siguiente, esclarecer la relacion entre patrones de regulacion y pautas recursivas.De igual manera, la integracion de hipotesis relativas a los procesos cognitivoshace patente la necesidad de delinear las dinamicas en la conformacion de es-pacios simbolicos, su implantacion y su eficacia en procesos definidos por estascondiciones de concurrencia funcional multiple. Las interrogantes se multiplican.

Conceptos claves como la recursividad, la irreversibilidad, las singularidades



y la bifurcacion encontraron una cierta correspondencia y una capacidad de in-terpretacion ampliada en ciertos procesos de las ciencias sociales: patrones repeti-tivos en procesos institucionales y rituales, creacion de ambitos de intercambio apartir de la concurrencia de estrategias cognitivas, creacion de identidades indivi-duales y colectivas a partir de procesos de autorregulacion social, circularidadesrecurrentes en los patrones de accion, equilibrios y desequilibrios en redes so-ciales a partir de interacciones recurrentes, diferenciaciones internas y escisionesde los grupos sociales a partir de bifurcaciones en los procesos de interpretacionnormativa y de conformacion diferencial de entidades sociales relacionadas.

La nocion de autopoıesis abrio la vıa para ofrecer un modelo cognitivo paratodos los procesos de metarregulacion social. Se la concibio como una propiedadcapad de determinar la instauracion de condiciones para la autonomıa de los su-jetos sociales -la creacion autonoma de ordenamientos jurıdicos y su modificaciona partir de la comprension totalizante de la dinamica y el destino de las redessociales-. La caracterizacion dinamica de los procesos de interaccion simbolicaadquirio, con la figura de la autopoıesis, una referencia conceptual decisiva. Enefecto, las transformaciones en el regimen de comprension que desarrollan losparticipantes en las interacciones en situaciones, caracterizadas por marcos deregulacion especıficos, exigen la creacion de “puntos de vista” en un nivel “su-perior”. Se hace patente la genesis, en el propio proceso de delimitacion de objetos,procesos e identidades sociales, de la intervencion ficticia pero eficaz de un me-taobservador que engendra la posibilidad de trastocar de los elementos sistemicosy de las redes organizadoras de la informacion.

En la aproximacion sociologica de Niklas Luhmann, autopoıesis, observacion,metaobservacion, seleccion y creacion codificada -binaria- de diferenciaciones eidentidades, de estados y procesos, constituyen elementos relevantes para la com-prension de los sistemas sociales que se constituyen ası, a partir de esas opera-ciones, mediante una diferenciacion con el entorno. Un conjunto de conceptos sederiva ası de estas operaciones que definen la genesis, creacion y recreacion de lasdistintas facetas del proceso social. La condicion probabilısitica de los procesossociales define tambien la genesis de formas y el desempeno de los procesos detransmision de la informacion. Sin embargo, un rasgo crucial en los sistemas so-ciales (que se diferencian de los sistemas psıquicos y naturales como constitutivosde sus entornos) es el sentido. Su existencia define plenamente tanto los sistemassociales como los sistemas psıquicos concebidos a su vez como entorno de lo so-cial. Es en el ambito del sentido -entendido estrictamente como un medio en el

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que toma forma la comunicacion- donde se engendran las posibilidades mismasde la forma de lo social. Ası cada realizacion comunicativa se constituye comoun conjunto de relaciones y de desarrollos potenciales con otras formas y reali-zaciones comunicativas. La relacion entre sentido, observacion y autobservaciones crucial. Define la naturaleza y las posibilidades de la autopoıesis en el procesosocial y los vınculos con el entorno, tanto natural como psıquico.

Por otra parte, en el marco de las aproximaciones antropologicas, RichardNewbold Adams, asumiendo un punto de vista inusitado, aunque relativamentefrecuentado por los modelos ciberneticos de las llamadas “sociedades complejas”,formula las bases de una comprension termodinamica de las pautas de organi-zacion social: el analisis de las dinamicas de la energıa en los procesos sociales.Apela entonces a modelos no lineares y estocasticos en una tentativa de ofreceruna comprension de los procesos de incesante desequilibrio y sucesiva equilibra-cion que remiten a figuras difusas de la causalidad y a esquemas de derivacionde corte neoevolucionista. En esta aproximacion aparece con claridad la necesi-dad de incorporar patrones de autopoıesis: los patrones de uso y gestion de laenergıa transforman a su vez las condiciones que enmarcan la transformacion delos regımenes y destino del uso energetico en las sociedades. Desde esta perspec-tiva, la intervencion de mecanismos de metarregulacion orientados a los procesosde una economıa energetica define la capacidad de respuesta y los patrones deorganizacion social y simbolica de las sociedades.

La nocion de equilibrio -y su contraparte, el desequilibrio- de los procesossociales constituyo no solo un recurso conceptual analıtico fundamental para lasteorıas antropologicas y sociologicas, tambien fue un presupuesto epistemologicoineludible que dio soporte y sentido a la conformacion de las propias disciplinas.Las aproximaciones a lo social derivadas de las variantes de la teorıa de siste-mas tienden a interrogar la validez general de sus descripciones y explicaciones,a partir de la aparicion de las polaridades dinamicas desarrolladas para la in-teraccion en los sistemas biologicos centradas en la relacion organismo-entorno.En efecto, las nociones complementarias sistema/entorno, autonomıa/control ytotalidad/componentes aparecen como requerimientos puestos en juego para sudesempeno eficiente en los procesos de la vida. Su comprension define modeloscomplejos de gestion de informacion en las sociedades contemporaneas, en lacreciente concurrencia de procesos de informacion y simbolizacion intrincados.Permiten identificar e interpretar las muy variadas condiciones y focos de equi-libracion de los proliferantes ambitos sistemicos de organizacion y gestion del



comportamiento social.

Desde su mismo origen, los presupuestos evolucionistas y el repertorio de con-ceptos y descripciones funcionales y estructurales en las disciplinas antropologicasapuntalados en ellos, refrendaban la conviccion de irreversibilidad de los procesossociales y su equiparacion tacita o explıcita con la dinamica de la vida. De ahı quelas interrogaciones sobre los marcos y las condiciones para la estabilidad de las es-tructuras economicas, institucionales, normativas, jurıdicas, simbolicas y moralesque dan forma al proceso social estuvieran sometidas a una tension irresoluble:debıan asumir los presupuestos de estabilidad de la vida social, tanto como laexigencia de una comprension del persistente engendramiento de inestabilidad yde ambitos anomicos en la vida social. Es decir, debıan incorporar en el modelomismo la transformacion irreversible de lo social que funda su historicidad.

Mas aun, las formas y dinamicas de la segmentacion social, la conformacionde distintos sujetos sociales y ambitos y niveles en que se situa su accion en latrama compleja de la composicion de los procesos sociales abrieron la vıa a unacomprension de estructuras y procesos sociales conformados por autosimilaridad:acaso Bateson, al formular la dinamica de la esquizogenesis, lo esbozo con toda sufuerza sugerente. Es posible conjeturar que la dinamica de la esquizogenesis -esdecir, la escision de las formaciones, los segmentos y los procesos sociales- revelaun patron formal -o acaso estadıstico- autosimilar en todos los niveles de orga-nizacion de la estructura social. Los patrones de autosimilaridad, que se revelancomo simetrıas y patrones sistemicos integrados a su vez a otros patrones simetri-cos integrales, aparecen reiteradamente en las tentativas de comprension en lasdistintas perspectivas antropologicas. Esto se expresa en las pautas ritualizan-tes inscritas en esquemas reguladores mas amplios que, a su vez, se incorporanen tramas mas amplias de regulacion; se puede llevar la analogıa a la genesisde estabilidad en sistemas de interaccion inestable. Dicha estabilidad involucrala implantacion de patrones arbitrarios de rutinas, regulaciones iterativas y me-canismos de control que dan origen a pautas de inteligibilidad recıproca. Estosjuegos de interaccion remiten a procesos simbolicos estructurados y autonomos,taxonomıas y grupos de conceptos invariantes. Se establecen umbrales para lavigencia indefinida de formas y patrones simbolicos como focos de concurrenciade las acciones y conformacion recursiva de esferas de estabilidad social.

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b. Complejidad en los procesos simbolicos: de la forma linguısticaa la accion simbolica

Sin duda, un ambito cardinal para valorar la relevancia de este juego deanalogıas, trasposiciones conceptuales y traslaciones metaforicas a que ha dadolugar la incorporacion de las nociones y conceptos de la complejidad al dominiode las ciencias sociales es el espacio de lo simbolico. Los procesos simbolicosy en particular el lenguaje, como advirtio Roman Jakobson haciendo uso deuna metafora termodinamica, estan constituidos por una composicion de planosestructurados jerarquicamente, cuyas dinamicas y posibilidades de variacion yfluctuacion son tambien diferenciadas. Es posible advertir que esta diferencia en latransformacion dinamica de los diversos planos del lenguaje afecta diversas facetasy modifica en distinto grado las posibilidades combinatorias de los elementos yrelaciones formales del lenguaje y su relevancia en el proceso de significacion.Esta asimetrıa en la capacidad de variacion da cabida tambien a condicionesdiferenciales de la intervencion de operaciones recursivas en el dominio de lasignificacion.

La relevancia de la recursividad y su capacidad de creacion de estructuras, conla preservacion de la estabilidad formal fue claramente advertida por Chomsky eincorporada, desde su primera propuesta teorica, entre los rasgos determinantesdel lenguaje. Pero su gramatica generativo-transformacional, como alguna vezse denomino, no fue la unica en admitir entre sus operaciones constitutivas lasreglas recursivas. Las operaciones recursivas aparecen en diversas aproximacionesestructurales y en distintos niveles y aspectos del comportamiento linguıstico. Enlos niveles lexico, semantico y discursivo, las operaciones de recursividad desem-penan un papel central que se expresa nıtidamente tanto en la relevancia semanti-ca y cognitiva del lenguaje, como en la adecuacion de los patrones simbolicos alas exigencias expresivas, indicativas y argumentativas de la comunicacion.

Los procesos de creacion y de reconocimiento -o interpretacion- de los actoslinguısticos y simbolicos aparecen caracterizados marcadamente como procesosrecursivos, susceptibles de momentos de inestabilidad, puntos de singularidad ybifurcacion en secuencias de sentido irreversibles, fruto de la concurrencia de re-gulaciones, dependencias formales y metarregulaciones que intervienen en todainteraccion simbolica. Las dimensiones temporales involucradas en los procesossimbolicos dan lugar a estructuraciones en extremo complejas expresadas en dis-tintas formaciones discursivas, en significaciones lexicas y en recursos morfologicos



y sintacticos diferenciados: La modelizacion de los procesos de habla y de inter-accion, los patrones argumentativos, discursivos y narrativos que se manifiestanexpresamente en los avatares de la comunicacion.

La consolidacion de las explicaciones biologicas tuvo un efecto determinan-te en los procesos cognitivos. Incidio no solo en la creacion de modelos de lalinguıstica teorica, sino en la comprension de las interacciones linguısticas, en lacomprension de la logica y los mecanismos del lenguaje natural. El integrar enlos modelos formales de significacion la accion simbolica y los procesos generalesde la semiosis -es decir, en los procesos de creacion de significacion en todas susmanifestaciones- dio soporte a una teorıa cognitiva ampliada. No obstante, losprocesos cognitivos no revelan sino una faceta de la dinamica de los procesossimbolicos. Es preciso incorporar, en procesos de estabilizacion de la significaciony la cognicion, patrones de relacion, resonancia y recurrencia entre un lenguaje-entorno y un lenguaje propio. Vygotsky, al diferenciar lenguaje externo e interior,abrio una vıa a la comprension de esta condicion dualista del lenguaje que in-terviene en la derivacion de las formas simbolicas, patrones de uso y atribucionde significacion y mecanismos de dialogo e interaccion. Hace posible concebir lacreacion de sentido como el efecto complejo de la objetivacion de los patrones deinformacion, los mecanismos de reconocimiento, la atribucion de identidad y lascalidades y regularidades de vınculos incorporadas en redes sociales reconociblesen patrones semioticos.

La doble condicion del lenguaje, a un tiempo objetivada en patrones de re-conocimiento colectivo -lenguajes, redes rituales, escenarios simbolicos, senales,formaciones esteticas-, es dotada, por consiguiente, de la capacidad para estable-cer marcos estables de regulacion para todo proceso interpretativo y para todasituacion de interaccion. Las pautas desarrolladas por la dinamica de los procesoscognitivos muestran formas de resonancia singulares que confieren al lenguaje ya los procesos simbolicos, a un mismo tiempo, una capacidad inusitada de esta-bilidad, y una indeterminada y abierta latitud de fluctuaciones. Esto confiere alos procesos simbolicos la capacidad de responder a las exigencias dinamicas dela relacion con el entorno. Asimismo, intervienen en los procesos complejos de sutransfiguracion.

Este proceso dinamico complejo de transfiguracion incorpora elementos, rela-ciones y dependencias derivadas de las distintas dinamicas concomitantes compro-metidas en los procesos linguısticos y simbolicos, y se hace patente en el analisis

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de las interacciones y los procesos derivados del reconocimiento y la objetivacionde las identidades.

La aparicion de la biologıa del conocimiento como referencia ineludible de lasteorıas del conocimiento introdujo vıas y horizontes conceptuales de otra natura-leza. Acrecento la relevancia contemporanea de los modelos computacionales en lamodelizacion linguıstica, apuntalados ahora sobre la relacion entre el conocimien-to y la informacion, y los modelos matematicos del comportamiento neuronal. Unacircularidad, ahora epistemologica, dio a esta relacion un alcance significativo: labiologıa del conocimiento obtiene puntos de vista cruciales para su desarrollo delos antecedentes en la cibernetica, las teorıas matematicas del control y la apli-cacion de estos modelos a la fisiologıa del comportamiento nervioso. A su vez,los desarrollos de la biologıa del conocimiento derivaron en la apreciacion de ras-gos fundamentales que habrıan de incorporarse a la modelizacion cibernetica ymatematica del comportamiento neuronal.

No obstante, el trayecto de los modelos de informacion a la comprension desimbolismo y representacion implica problemas de adecuacion de los modelos a lasestructuras del comportamiento linguıstico y de consistencia. La relevancia de lacomprension de los procesos perceptuales -identificacion de patrones- no permitesu traslacion lineal e inmediata al dominio del simbolismo. Esto afecta no solo a lasconceptualizaciones de la relacion entre percepcion e informacion, sino entre len-guaje, percepcion, memoria y experiencia -memoria concebida como preservacionde la informacion a partir del fortalecimiento de la relacion sinaptica modelizadacomo un factor de ponderacion-. La condicion discreta -articulacion en compo-nentes, a su vez estructurados en niveles dispuestos en dependencias jerarquicasy con distinto grado de plasticidad- y dual -interna y externa: el lenguaje comoproceso cardinal de organizacion interna de la informacion- disposicion mutablede atractores (estructuras de sıntesis de informacion apuntaladas en composicio-nes foneticas, morfologicas y gramaticales) en la generacion y manejo de flujosde informacion en la autopoıesis, pero al mismo tiempo como sıntesis objetiva-da, transformada en procesos materiales sometidos a formas de estructuraciondinamica autonoma.

Esta sıntesis dinamica conjuga representaciones individuales y dispositivos depreservacion de informacion objetivados en procesos sociales. Ası, el lenguaje y lasestructuras simbolicas aparecen no solo como procesos internos a la disposiciony creacion interna de informacion, sino que se cimientan en objetos y procesos



dotados de su propia organizacion y dinamica. La regulacion y el control de losprocesos linguısticos y simbolicos obligan a aproximaciones mixtas de naturalezaaun oscura definida por las condiciones no lineales suscitadas tanto por el dualis-mo interior-exterior de los patrones simbolicos, como de la propia asimetrıa entrelos procesos estructurados de simbolizacion, sus tiempos, sus rangos y margenesde fluctuacion y sus condiciones de variabilidad.2

c. Complejidad, tiempo e historia: vestigios, monumentos y archi-vos

La interrogacion radical que ha surgido de las disciplinas de la complejidady se proyecta como una sombra en la explicacion de los procesos sociales es ladebilitacion de las pautas canonicas de causalidad y la invalidacion de los princi-pios deterministas estructurales, sistemicos o historicos. El relato de la historia yla interpretacion arqueologica emergen de una preservacion y despliegue azarosode los vestigios, una composicion de rastros fragmentarios de tiempos, procesose historias. El mapa de vestigios es la composicion de tiempos, interferenciasincalculables, reconstrucciones conjeturales siempre abiertas, ajenas a cualquierconclusion, erigidas sobre la inconsistencia inherente a la composicion azarosa delos archivos y los sistemas de vestigios. La nocion de dato y la nocion de fuente,definitivas para el curso de la comprension de los procesos culturales aparecen ensı mismos como una disposicion material fragmentada, equıvoca, definida plena-mente por los margenes mismos de lo irreconstruible.

Una doble condicion de incertidumbre determina el universo de vestigios: poruna parte, la destruccion inherente a la intervencion aleatoria, estructural o de-liberada de elementos y factores de informacion. Por otra parte, la condiciontambien aleatoria de la recuperacion de la informacion y su posibilidad de rein-tegracion contextual. Esta doble condicion aleatoria se conjuga con dos fuentessuplementarias de incertidumbre derivadas de la naturaleza misma de los procesoshistoricos:

Otra incertidumbre, que parte de la relativa vaguedad azarosa de la disposi-cion de los residuos derivados de contextos fısicos y culturales desaparecidos, esla frecuente imposibilidad de una nıtida e inequıvoca delimitacion de la ampli-

2Los detalles de esta aproximacion a la modelizacion simbolica han sido desarrollados en“Perspectivas de la complejidad en modelos de simbolismo”, de proxima publicacion.

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tud y la duracion de procesos simbolicos no residuales, cuya intervencion reclamanuevas pautas interpretativas y conjeturales.

La condicion compleja de la reconstruccion historica y arqueologica se defi-ne ası por el caracter irreparablemente inconcluso del universo de los vestigios.En ese vacıo, es esa inexistencia la que confiere sentido a los datos historicos yarqueologicos y determina la peculiaridad de su entorno de sentido.

Quiza una de las condiciones cruciales para la creacion de modelos en arqueo-logıa e historia aparece sustentada en la logica y la semiosis de lo residual. Loresidual se define por una fuerza indicativa negativa, es decir, por aquello quesenala lo desaparecido, aquello cuya aparicion es imposible. La desaparicion detoda posibilidad de indicacion, la disipacion de la posibilidad misma de relacionreferencial, con aquello desaparecido define la construccion de modelos como ins-crita en un regimen puramente simbolico. La historia y la arqueologıa desplieganası modelos conjeturales, amparados en tramas argumentativas. No hay ni mos-tracion ni demostracion en estas disciplinas. De ahı su inscripcion relevante en elregimen de la modelizacion compleja.

La arqueologıa y la historia se sustentan en el regimen de lo perecedero: nosolo de la desaparicion de objetos y presencias, cuyas huellas persisten; tambiende lo que no deja huella. La cultura involucra posiciones y funciones cardinales enla generacion de sentido: experiencias de cuerpos, disposiciones de objetos y ma-teria, escenificaciones, actos, movimientos, gestos, pensamientos, signos, codigos,patrones y formas de vida que solo arrojan sombras sobre el material duraderoo, incluso, cuando dejan rastros, estos son equıvocos, fragmentarios o impercep-tibles. El saber se edifica sobre la fragilidad y la finitud de la existencia y surefraccion a los perfiles inciertos de los monumentos y los documentos. Pero al-go es quiza mas oscuro: estos saberes se construyen sobre otra desaparicion masinquietante, la de la huella misma, marcada a su vez en material sometido a ladestruccion parcial o total.

La logica de los restos no puede ser sino una semiotica compleja. No hay logicainvariante de lo residual, enmarcado por la desaparicion azarosa. Las huellas noson sino materia capaz de devenir huella, nunca huella en sı misma: abren ası aun campo de mera apertura potencial a la integracion de patrones simbolicos.Provienen de signos indicativos o iconicos, o bien, constituyen signos de otrossignos desaparecidos, o incluso huellas de otras huellas, residuos de residuos. Losmultiples signos y trayectorias de la semiosis que despliega la logica hermetica de



los residuos, requiere ası, la invencion conjetural de lo desaparecido: su restitucionlogica a las exigencias de un modelo capaz de revelar no solo la dinamica de lacultura, sino la compleja logica de distribucion, preservacion, o destruccion de loresidual.

Pero esta logica compleja de lo residual no es en sı misma autonoma: remite alas dinamicas temporales, a las formas de vida, a la disposicion de energıas, a lasformas de simbolizacion y a los entornos de sentido de los propios procesos socialesa los que refiere. La modelizacion de lo residual supone un modelo dinamico tacitodel objeto desaparecido. Es una condicion comun de los conflictos sociales que lasluchas de sometimiento pasan por la preservacion de la poblacion derrotada, bajocondicion de destruccion parcial o total, recomposicion, trastocamiento, inversiono desmembramiento de su mundo simbolico y de toda figura residual capaz derestaurar procesos de memoria o identidad. Mas aun, la condicion agonıstica detodo proceso social conlleva a la destruccion de la simbolizacion de los sometidos,incluso hasta los ordenes residuales. Recurre para ello a procesos hermeneuticosy construcciones de sentido que son, a un tiempo, abismales -se proyectan haciael interior de los sectores de la cultura- e interaccionales -es decir, remiten aacontecimientos, presencias y sujetos surgidos en el entorno de sentido de losprocesos propios de una cultura.

En esta modelizacion de la desaparicion aparece entonces una conjugacionde las dinamicas complejas de los procesos sociales, los procesos simbolicos ylas exigencias de conceptualizacion probabilıstica -estocastica-. Involucra, quiza,procesos complejos de recursividad, una incorporacion suplementaria de condicio-nes de frontera para la relacion entre entorno y sistema, en dominios temporalesdiferenciados y a veces yuxtapuestos, y las dinamicas temporales diferenciadasde multiples redes de informacion que entran en composicion y en resonancia apartir de las dependencias y derivaciones semioticas de la huella.

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Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales enArqueologıa

Gustavo Sandoval Garcıa1, Rodrigo Vilanova de Allende2

Anarchy means “without leaders”, not “without order”. This is notanarchy, Eve. This is chaos. De V for Vendetta. Cap. II

...parece en verdad extrano que, desde ayer, yo sintiera que tenıa todaesa tierra nueva para mi solo. Muchos claros poblados la rodeaban, ymuchos autores habıan echado una mirada, pero nadie mas se habıaquedado en ella. (Mandelbrot, La Geometrıa Fractal: 586).

Iniciador

Al aproximarnos al estudio y/o uso de fractales en cualquier disciplina espreciso reconocer los antecedentes de estos, previo a su descubrimiento por Man-delbrot en los anos setentas del siglo XX. Ası sobresale en la figura del fractaluna dicotonomıa que dista de ser casual en donde tenemos imagenes y relacionesfractales (como metafora y como diseno arquitectonico y artıstico) presentes enculturas ajenas al determinismo occidental. De manera similar, los fractales pue-den ser catalogados en dos amplios y difusos conjuntos: el del fractal “natural”y el artificial, el primero vinculado a las relaciones perceptibles en virtualmentetodos los aspectos de la realidad (en todos los niveles, desde el cuantico hasta elestelar), mientras que el segundo esta directamente relacionado con exploracionesy abstracciones.

1 Escuela Nacional de Antropologıa e Historia.2 Escuela Nacional de Antropologıa e Historia. Proyecto Valle del Mezquital. Proyecto Pahnu.

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48 Gustavo Sandoval Garcıa, Rodrigo Vilanova de Allende

La Geometrıa Fractal garantiza y facilita la trascendencia a un paradigmabasado en las teorıas de la complejidad. Es pertinente agregar que la nocionplenamente matematica de lo que implica un fractal queda corta e incompletapara los intereses del presente texto3.

Lo global y lo local. Renfrew y Thom

La problematica que asume el presente texto puede trazar sus orıgenes enla arqueologıa de los anos setentas, con las nociones de no-linealidad desarrolla-das particularmente por Renfrew (1978). En esa epoca, concretamente en 1975,Benoit Mandelbrot publico “Les objets fractals” y para la siguiente decada, lasinvestigaciones arqueologicas hacıan uso de la geometrıa fractal ası como de lasteorıas de la complejidad.

Estas investigaciones fueron seguidas de la consecuente crıtica y reflexion entorno a la necesidad de revisar los parametros decimononicos bajo los cualeslas disciplinas antropologicas estaban fundamentadas. Sin embargo, no serıa sinohasta la ultima decada del siglo XX que se elaborarıa una autentica crıtica ala rigidez determinista del paradigma occidental en las humanidades y cienciassociales4.

Quedaba claro que la aproximacion clasica de las ciencias duras a los fenome-nos sociales no resultaba del todo satisfactoria, era preciso reconocer y aceptar lasvariables de tiempo y espacio en dichos estudios al mismo tiempo que resultabainviable el separar los fenomenos a estudiar en unidades homogeneas y constantes(Wallerstein, 1996: 82-87).

Las disciplinas historicas confrontan entonces una seria revision de sus ob-jetivos y responsabilidades eticas (Ibıd.: 91-97), en donde no se presente un“equilibrio” entre historias locales y globales, sino una comprension crıtica delas trayectorias locales y globales en el estudio de los desarrollos socio-culturales.

3 Conscientes de las implicaciones teoricas y filosoficas de esta aseveracion, queremos destacar,nuevamente, que el presente texto pretende ofrecer al lector una introduccion al tema y noprofundizar en aspectos que, sencillamente, rebasan los objetivos del mismo.

4 Para un acercamiento crıtico a las ciencias sociales y humanidades en el final del siglo XX,vease: Wallerstein 1996.


Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueologıa 49

Otro lugar de reflexion surge desde el pensamiento brodeliano, que ya visuali-zaba la necesidad de confrontar escalas a nivel social. Mc Glade y Van der Leeuw(1997: 3-4) replantean esto al centrarse en las acciones individuales (de caracter“instantaneo”) y los procesos largos (enfocados mas a la sociedad). El objetivoera encontrar una relacion entre los fenomenos a nivel macro y micro (Ibıd. 2,Allen, 1997: 40 y Van der Leuw, 2001).

La modelizacion fue otro paso para la transicion en el paradigma cientıfico.Con la diferencia que esta vez las intenciones no serıan las de generar una realidada escala, sino desarrollar herramientas para una mejor comprension de la realidada traves de areas o eventos reducidos en magnitud (McGlade y Van der Leeuw,1997: 22), trascendiendo ası las implicaciones newtonianas de control absoluto.

Una vez en marcha las ideas de la complejidad y modelizacion, autores comoMorin comienzan a manejar conceptos muy cercanos al desarrollo de los fractales(aunque no de la manera mas afortunada). En su obra Introduccion al pensa-miento complejo (Morin,1990), percibe la problematica entre lo local y lo global,aunque dista de ser el primero en manejar nociones de no-linealidad y mas aun,de darles un uso relevante. Destaca ası la obra de C. Renfrew durante los anossetentas, cuyas propuestas, aun sin hacer una referencia directa a la geometrıafractal, quedan en una etapa preliminar al uso generalizado de los mismos en lasciencias antropologicas.

Renfrew aborda situaciones de discontinuidad y divergencia (Renfrew, 1978:203-204) a partir de la teorıa de Catastrofes postulada por Rene Thom ([1975],1987). El modelo de catastrofes implica plegamientos (esto es, zonas de bifurca-cion o “catastrofes”) en el espacio de fases donde se desplaza el sistema y en elque estos pliegues estan definidos por las variables de control del sistema (Briggsy Peat, 1994: 84). En arqueologıa se han contemplando dos: la catastrofe Plieguey la catastrofe Cuspide. La primera describe un cambio a partir de una variable(Ibıd.: 85) mientras que en la segunda, son dos las variables que controlan lastransformaciones sistemicas, donde un cambio minusculo en cualquiera de estasproduce una transformacion apenas perceptible a menos que se encuentre en unpunto crıtico (al rebasar dicha zona de pliegue) en el que se producira un cambioabrupto (Ibıd.: 86). En resumen, la bifurcacion se producira cuando el sistemavaya mas alla del pliegue de catastrofe, llevando a una modificacion en el valorde dicha zona de pliegue (Lopez Aguilar y Torres, 1998: 63).

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Renfrew presento como ejemplo de un cambio discontinuo el problema delcolapso. Si bien reconoce que son posibles las situaciones de cambio drastico porun cambio violento en las variables (v.g. Pompeya), esta situacion no es la masfrecuente (Renfrew,1978: 212) y su analisis se enfoca en el estudio de cambiosen apariencia repentinos, generadores de divergencias en conjuntos sociales peroque no divisan causas repentinas, con la idea de que existen ciertos factores decambio que trabajan de manera no discontinua (Ibıd.:204). Concretamente, elarqueologo britanico modelizo con la catastrofe cuspide y analizo como cambiosrepentinos en el comportamiento local de un sistema pueden ser reproducidos porcambios graduales y continuos en el control de las variables que, eventualmente,afectarıan al sistema de manera “global”.

Tanto los fenomenos de bifurcacion como de catastrofe descritos por Thom yconsiderados por Renfrew, implican la comprension de que las condiciones inicia-les (i.e. variables) en un sistema dado son de vital importancia para su desarrollohistorico, sea como una bifurcacion (en donde el sistema logra cambiar, conti-nuando su existencia tras superar la zona de pliegue) o una catastrofe (siendo elsistema incapaz de modificar sus rangos de variables, extinguiendose consecuen-temente). Estas nociones seran mas tarde retomadas como premisas elementalespara la idea de Sistemas Adaptativos Complejos, cuyas causas iniciales son im-perantes en la comprension de las trayectorias de dichos sistemas, ıntimamentevinculados a la geometrıa fractal.

Estos son tan solo algunos de los aspectos contextuales que promovieron lasinvestigaciones y exploraciones fractales en arqueologıa.

Constitucion Fractal

Dentro del estudio de fractales, si bien existen caracterısticas mas o menosconstantes como son la autosimilitud, la escalaridad y la dimension fraccionaria,Mandelbrot coincide en que no hay una definicion clara que abarque todos losdistintos tipos de fractales, y tal vez esto sea lo mejor (Mandelbrot, 1997: 504).

Una de las caracterısticas visualmente mas atractivas de los fractales es larecurrencia de patrones similares ası como la constante transformacion que sepuede observar en ellos. Sin embargo, es esta cualidad en apariencia trivial (coloresy formas) una de las primeras lecciones en el estudio y aplicacion de fractales



(y mas aun, en su aplicacion en antropologıa). Esto es, las imagenes fractalesson muchas veces representaciones graficas de fenomenos complejos en donde lastrayectorias pueden ser diametralmente opuestas a pesar de que la imagen seasimilar una con otra (las historias, digamos, son diferentes a lo observado), lasrelaciones con que se miden dichas imagenes de igual manera pueden ser casiidenticas para fenomenos completamente distintos, o sin relacion alguna parafenomenos ıntimamente vinculados.

Un texto introductorio a la geometrıa fractal es la obra de Barnsley (1988)Fractals Everywhere. El texto se centra en los “sistemas de funciones iteradas5”(SFI o IFS en ingles). Estas funciones, asegura Barnsley, son cruciales para lacomprension de un fractal (Barnsley, 1988: 80).

Por otra parte, basandonos en los primeros textos de Mandelbrot, los fracta-les son conjuntos que presentan una dimension de Hausdorff-Besicovitch mayorque su dimension topologica, son autosimilares, tienen una longitud infinita ypresentan dimension fraccionaria (D) y pueden ser separados en sus partes, cadauna de las cuales sera una version a escala reducida del todo. (Mandelbrot, 1997:32 y Mandelbrot, 1999).

Hofstadter hace alusion a la escalaridad, autosimilitud y dimension fractal alexplicar la naturaleza no finita de un sistema recursivo (Hofstadter, 1998: 80).En cambio, Kuhn y Levick (2002) advierten: “En esencia, una entidad con carac-terısticas que son simultaneamente apreciables en varios niveles de observacionhan llegado a llamarse fractal.” Pero esto no es necesariamente cierto si le damosprioridad a D para definir un fractal como lo hace Mandelbrot (1997: 32).

Queda claro entonces que los fractales han trascendido su estatus de “figurasvirtuales” hasta relaciones en dinamicas de sistemas complejos.

Algunas otras definiciones:

La geometrıa fractal es una extension de la geometrıa clasica. Puede usar-se para hacer modelos precisos de estructuras fısicas desde helechos hastagalaxias. La geometrıa fractal es un nuevo lenguaje. (Barnsley, 1988: 1)6

5 Basicamente consisten en un patron matematico inicial que se reitera, a partir de seis opera-ciones basicas: copia, desplazamiento, reduccion, inversion, rotacion y estiramiento, formandoseası modelos fractales. (Reynoso, 2003: 20)

6 La traduccion es nuestra.

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(. . . ) figuras geometricas virtuales, formadas por un numero infinito deelementos, infinitamente pequenos, contenidos en una superficie finita (...)(RAE, 1992)

Con lo citado se pueden apreciar las cualidades iterativas de los fractales entanto que conservan su forma independientemente del nivel de observacion (i.e.escala) al que los sometamos y de la herramienta de medicion arquetıpica de losfractales, su dimension fraccionaria.

Sin embargo, para comprender como esta constituido un fractal, es precisoconocer como se construyen. El primer paso consiste en una lınea o punto (inicia-dor) la cual se modificara, “injertandole” (por ejemplo) una curva relativamentesimple (a la figura resultante se le llamara generador). Acto seguido se procedera arepetir (iterar) este generador sobre sı mismo (ya sea en el extremo del iniciadoro en todos los segmentos que sean iguales -aunque mas reducidos, debido a laescala, claro esta -al iniciador). Finalmente, el proceso se repetira varias veces otendera al infinito. (Mandelbrot, 1997: 60-61).

Ası, la autosemejanza se refiere a la propiedad que tiene un objeto determi-nado en donde cualquiera de sus partes es similar a la totalidad del objeto, estapuede ser exacta o estadıstica y es producto de la iteracion.

Ademas de la autosemejanza, para que un objeto pueda ser considerado comofractal, es preciso que cuente con una dimension fraccionaria o fractal (D), estoes que el objeto, ademas de ser percibido en la realidad cartesiana (1, 2, 3 dimen-siones), tenga una relacion dimensional “intermedia” (v.g. 0.6, 2.6) generada poriteracion y trascienda los lımites dimensionales euclidianos.



De acuerdo a Barnsley (1998: 3), la dimension fractal es:

[. . . ] un numero que indica que tan densamente ocupa un conjuntoel espacio metrico en el que existe. [. . . ] Esto hace significativa a ladimension fractal como un observable experimental [. . . ] y es inde-pendiente de las unidades de medida.

Esta es, sin duda alguna, la caracterıstica mas util, versatil y definitoria delos fractales. Es a traves de esta dimension fraccionaria que se puede estableceruna relacion entre diversos fenomenos fractales que comparten una determinadadimension fractal7.

La formula para la dimension fractal es D = log N/ log S, en donde N es elvalor del generador en el fractal y S es la relacion entre el generador e iniciador.

Teniendo en cuenta las ideas presentadas hasta el momento, vale la penarecapitular en torno a los fractales, los cuales suelen ser descritos como poseedoresde algunos (o todos) los siguientes atributos:

Dimension fractal

Autosemejanza

Recursividad

Ser Virtuales (Abstractos) o Naturales

Escalaridad

Atractores

Mientras tanto, los antropologos y arqueologos suelen ver en los fractales (enbase a nuestra apreciacion) las siguientes ofertas y caracterısticas, mas o menosapoyadas en la literatura especializada (como se vera mas adelante):

Autosemejanza en relaciones y redes sociales7 Las investigaciones oncologicas y osteologicas son un claro ejemplo de esto en las ciencias

naturales. En cuanto a las ciencias sociales, invitamos al lector a continuar estudiando esta obra.

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Recursividad a diferentes escalas

Interacciones global/ regional/ local

Auto-organizacion

Dinamicas alejadas del equilibrio

Trayectorias autosimilares espacio temporales

Dimension fractal (en tanto parametro de medicion lo permita)

Por ello, presentamos una definicion para el concepto de fractal en tanto suaplicacion en las disciplinas antropologicas:

Relaciones y dinamicas autosemejantes y de dimension fraccionaria, en-tre uno o mas fenomenos, perceptibles en distintos niveles de observacion,sean abstractos o naturales. Los fenomenos fractales presentaran, enton-ces, elementos como recursividad, autosemejanza (en diferentes grados deobservacion) y la posibilidad de calculo de una dimension fraccionaria D.

Generador

Descrita la generalidad de la geometrıa fractal se analizara la aplicacion deestos al mundo de las disciplinas antropologicas.

African Fractals (1999) es considerado el primer trabajo de aplicacion frac-tal a la antropologıa. Si bien la idea habıa sido ya explorada (Kennedy y Lin,1988), no habıa sido contemplada como tema unico para toda una publicacion.Es preciso destacar que Eglash reconoce en un fractal un conjunto auto semejan-te con escalaridad y recursividad y dimension fractal caracterısticas que estaranpresentes total o parcialmente en objetos culturales (Eglash, 1999 en V. Rauff,1999).



En su mayorıa un trabajo descriptivo, el de Eglash no incursiona en D. Esto,sin embargo, no resta merito a su obra, ya que al analizar tejidos y patrones de-corativos, asentamientos, formas de peinado, juegos, etcetera, logra aproximarsea una comprension de la cognicion y pensamiento africano mas alla de meras su-posiciones, basando sus ideas en algoritmos especıficos e identificables (v.g. leyesde potencia). Una consecuencia de esta publicacion ha sido la descripcion de laarquitectura antigua a partir de terminos fractales como el templo KandariyaMahadeva, donde se identifican hasta 84 iteraciones del generador, tan solo en laestructura mas alta (Gunther, 2002).

Nuevamente nos encontramos (al igual que las incipientes investigaciones an-tropologicas), en el inicio de otra iteracion. Esta vez circulando en torno a la ideade autosemejanza. Mier (2002: 94), basado en Mandelbrot, plantea una sociedadsimple como aquella que ya no puede reducirse en segmentos menores (Mandel-brot, 1987: 32 en Mier, 2002: 94) los cuales son autosimilares entre ellos. El autorentonces reconoce la idea de Durkheim sobre la formacion de entidades complejasa partir de una entidad simple (la horda) siendo una iteracion de la misma, pero“[. . . ] sin perder su fisonomıa fundamental [. . . ]” (Ibıd.:94). Atinadamente, se

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reconoce ya la nocion de autosimilitud y la emergencia de rasgos singulares acada iteracion y escala en relacion al generador; y, por lo tanto, ausentes en lahorda (Ibıd.:96).

Por su parte, Xaver Faust ve la posibilidad de tratar una idea cultural comoun conjunto autosimilar en donde “[. . . ] toda parte es el total y viceversa.” (XaverFaust, 1996: 135). Al procurar un acercamiento etnografico que busque establecerleyes globales, Xaver Faust describe un principio logico de un conjunto de pueblosindıgenas del norte de los Andes y Centroamerica que culturalmente componenun sistema con variaciones regionales y personales (Idem.), en donde a partir deuna comprension iterativa, resulta posible entender un grupo a traves del otro.Es decir, comprender la globalidad a partir de sus localidades.

Estas nociones parten de la observacion y del entendimiento de la idealizacionindıgena del agua como vitalidad y por lo tanto elemento incontrolable (Ibıd.:137). Si bien los nombres cambian entre los diferentes grupos de una region, laidea se conserva. Ası que tras revisar varios mitos de origen, el autor identifica elconcepto de “batida” que es una premisa autosimilar que supone que un desastre(catastrofe) lleva a una renovacion. Por lo tanto, las tierras de cultivo deben serbatidas por medio de un bano de agua (elemento incontrolable) para ası renovar sufertilidad. En el universo femenino el parto y la menstruacion son batidas aunquejerarquicamente diferentes. A escala personal la batida y renovacion vendra conbanos (Ibıd.: 146-149).

De manera similar la sociedad requiere de una batida y renovacion. Una so-ciedad que sufre de un rıgido auto-control cotidiano, que se vuelve emocional yenfatiza esto con el alcohol y la comida en las fiestas: “Donde habra borrachera,aventura amorosa y rinas con machete; y en la que la pelea no se cesa hasta quealguien sangre” (Xaver Faust, 1996: 147). Es la sangre, al igual que el agua, lafuerza vital y su presencia tanto en las fiestas, como en la celebracion, traera laansiada renovacion.

Si bien el autor llama a esto un “Fractal Indoamericano” (Ibıd.:150-151), setrata mas bien de la aplicacion del concepto de autosemejanza a un comporta-miento cultural, aunque queda claro que se manejan conceptos de la geometrıafractal, mas no un fractal en sı.

Aproximandose un poco mas a los fractales y sus aplicaciones arqueologicas,Mc Leod (1998) refiere el trabajo de Spencer Wood (1993 en Mc Leod 1998), quien



plantea el problema de escalas en el analisis arqueologico (desde una perspectivabrodeliana) en la expansion tecnologica haciendo uso de modelos de percolacionfractal. Por otro lado, Sandra Olsen (tambien citada por Mc Leod) reconoce lastrayectorias de atractores extranos que rigen las migraciones de animales y con-secuentemente de los cazadores-recolectores. Estos trabajos representan nuevosalcances desde rutas alternativas8. (Mc Leod,1998)

Desde la decada de los ochentas, Sander Van der Leeuw9 se ha involucradodirectamente en las teorıas de la complejidad. Apoyandose en la investigacionde Prigogine y la teorıa de bifurcaciones, a colacion de un homenaje a G. Chil-de, aborda el problema de las revoluciones y destaca como tanto en los procesoshistoricos, como de conocimiento, se presentan estos eventos. Retoma ası el mo-delo de bifurcaciones y el fenomeno adquiere una dinamica iterativa que olvidasus condiciones iniciales al haber devenido en un sistema diferente del “original”(Van der Leeuw, 1988: 244-245).

Van der Leeuw menciona cuatro niveles de observacion: a) Procesos a muylargo plazo que generan cambios en la evolucion cultural. b) Cambios a medianoplazo, que generan movimiento en las formas de organizacion. c) Cambios a cortoplazo como fluctuaciones en las formas de organizacion y d) procesos instantaneoscomo toma de decision humana (Van der Leeuw, 1988: 248).

Aunque valiosos, estos trabajos todavıa no presentan un verdadero uso degeometrıa fractal mas alla del uso de metaforas y analogıas ligadas al principiode autosimilitud.

Herramientas para ver, percibir y sentir fractales

En un esfuerzo generoso, Carlos Reynoso ha expuesto nociones generales de lasteorıas de la complejidad en auditorios latinoamericanos. En ellos, ha recalcado nosolo la necesidad de tomar en cuenta la no-linealidad, sino de ofrecer posibilidadespara evitar un abuso de dichas teorıas.

8 Tal vez este es el mejor momento para recordar al lector que el uso de estas herramientasy metodologıas se ve favorecido por una autentica aproximacion de transdisciplina, en dondevarios especialistas pueden hacerse cargo de los elementos tecnicos que escapan a las habilidadestradicionales del arqueologo, por ejemplo.

9 Investigador de la Universidad de la Sorbona y SFI.

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De esta manera, Reynoso expone lo que el considera un grupo de herramientasy tecnologıas “auxiliares” en los estudios de la complejidad. A saber: la ecuacionlogıstica, los automatas celulares, el algoritmo genetico, las redes booleanas, lamodelizacion fractal, etcetera10. Sin embargo, destaca la necesidad de procedercon cierta prudencia, ya que la verdadera utilidad de dichas herramientas radicaen tener claro los parametros y nociones basicas de no-linealidad ası como laformulacion de problemas. Esto es, que su principal valor esta no en generar masdatos, sino en resolver interrogantes.

La ecuacion logıstica aborda comportamientos descritos en aumentos y de-crementos. Es una expresion recursiva del tipo xt+1 = Kxt(1 − x) (Reynoso yCastro, 2006: 1)11. A partir de esta ecuacion simple y mediante el uso de una hojade calculo, es posible vislumbrar situaciones de equilibrio, atractores de punto,periodicos y turbulencias caoticas; algunos con propiedades fractales (Ibıd. 2-3).

Las herramientas conocidas como los Automatas Celulares (Cellular Automa-ta) son modelos abstractos de un sistema en donde se han definido un conjunto dereglas que lo rigen. El software basico para comprender e introducirnos a los ACo CA es el Juego de la Vida (Game of Life) que simula una dinamica celular. Lasreglas son elementales: se presenta una rejilla en donde cada cuadro es ocupado(o no) por una “celula viva”. En caso de que una celula dada tenga menos dedos celulas vecinas, esta morira. Si tiene mas de tres, morira, etcetera. El obje-tivo consiste en generar mapas de trayectorias tiempo-espacio de las dinamicascelulares (Ibıd. 3)

Mientras los automatas celulares y la ecuacion logıstica complementan de ma-nera excelente una investigacion, la modelizacion con agentes permite establecertendencias y corroborar proyecciones a traves del uso de muchas variables queinteractuan entre sı sin permanecer constantes.

El ejemplo clasico de este tipo de simulaciones es el desarrollado por el SFIen torno a la cultura Anazasi (Dean et al. 1999), en el cual, a partir de varia-bles nutricionales, parametros de mortalidad, fertilidad, cosechas, tamanos de losespacios, disponibilidad del agua, etcetera, busca concordancias en el contexto ar-queologico, teniendo siempre en cuenta la sensibilidad a las condiciones iniciales

10 Este listado, dista de ser completo o incluyente, es tan solo una muestra de las muchasherramientas de las que se puede hacer uso.

11 Para detalles sobre el uso sugerimos consultar la fuente.



de un sistema (Reynoso, 2003: 5-7)12.

Midiendo fractales: Dimension fractal

Los primeros calculos de dimension fractal inmersos en la arqueologıa se debena Kennedy y Lin, en 1988 (en Brown, 2001), pero son Gibert y Palmqvist (1995)quienes llevan a cabo un estudio particularmente interesante sobre este tema.Ellos analizan D en las suturas de un craneo pleistocenico del yacimiento VentaMicena con el objeto de identificar la especie en funcion del patron de sutura decraneos equinos y humanos (Gibert y Palmqvist, 1995: 563-564).

El metodo para calcular D en este trabajo es similar al de “Conteo de Cajas”(Box Counting), siendo la principal diferencia el software utilizado. La D (1.058)obtenida se contrasto con muestras de infantes contemporaneos y pleistocenicos(1.047 a 1.173) concluyendo que el craneo pertenecio a un homınido infantil13.En cuanto a los craneos equinos, estos ofrecieron valores de D muy superiores alos de los homınidos.

Mas tarde, la investigacion en torno a D y los fragmentos craneales preten-dio elaborar una clasificacion taxonomica basada en rangos de edad. En esta oca-sion, se aplico la tecnica de Conteo de Cajas, que consiste en trazar una retıculadividida en celdas de tamano “s”, contandose el numero de celdas que interceptala estructura a medir, siendo N(s) el numero de celdas de tamano (s) que toca laestructura. El proceso se repite con valores menores (Arques y Gilbert, 2002: 4)y se procede a graficar el logaritmo de N(s) y el logaritmo de 1/s esperando unapendiente lineal que una dichos puntos, siendo D la pendiente.

Hasta ahora la muestra de investigaciones parecerıa incentiva, pero un tra-bajo representativo de la falta de buenas bases teoricas y metodologicas es el deBurkle Elizondo (2001) quien presenta como hipotesis que: “[. . . ] el arte, escul-tura, estetica y arquitectura mesoamericana es fractal; o que por lo menos tienedimension fractal.” (Elizondo, 2001: 4). Lo anterior, resultado de una geometrıacosmica tomada como referencia para la vida prehispanica (Ibıd.:3). En base alas definiciones ya presentadas, el error de suponer que un objeto puede presen-

12 Sugerimos al lector consulte tanto a Reynoso como a Stuart Kauffman como excelentestextos introductorias a la modelizacion. (v.g. Reynoso, 2006 a)

13 Si bien los autores reconocen que podrıa tratarse de un pongido, las diferencias morfologicaspermiten aceptar el craneo como de un homınido de entre 5 y 6 anos (Ibıd. 572).

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tar D sin ser fractal es dolorosamente obvio. A pesar de ello, el autor obtieneuna D promedio de 1.92, y la define como un marcador fractal “mesoamericano”(Ibıd.:11).

Una de las principales fallas en la obra de este autor se puede notar en la divi-sion de diez grandes grupos arbitrarios (en una logica occidental), para establecersus mediciones (v.g. cabezas olmecas y Coatlicue). De igual manera, al buscaruna “estetica” lleva a pensar que tan consciente esta el autor de las implicacionesdel concepto de “Mesoamerica”. Con estos ejemplos quedan claras las evasivas deD para conformarse de manera determinista.

Regresando a investigaciones mas afortunadas, Rees et al. analizan el micro-desgaste lıtico para calcular dimensiones fractales de las superficies de uso enherramientas de pedernal (Rees et al, 1991: 630). El estudio tomo en considera-cion diversas variables, como los materiales en los que las herramientas fueronutilizadas, calculando D para cada evento. Sin embargo, no se logro nada defini-tivo debido al gran numero de variables involucradas ya que aun al pulir con elmismo material (madera) en dos muestras de pedernal se obtuvieron valores deD diferentes. (Rees et al, 1991: 639).

Por su parte, Stemp y Stemp intentaron generar una tipologıa fractal deartefactos lıticos que no fue exitosa, sin embargo lograron determinar fractalmentesi las muestran han sido utilizadas o no, ası como el hecho de que hay un momentoen el que se pierde la fractalidad por un pulimento excesivo (Stemp y Stemp, 2001:86 y 2003: 287-291).

Por su parte, C. T. Brown (2001, 2005) toma otro camino en sus analisislıticos, reconociendo que ya por ser rocas tienen propiedades fractales (Brown,2005: 47). Con esto en mente y basandose en los trabajos de Kennedy y Lin (1988,297–301 en Brown, 2005), retoma la idea de que la fragmentacion de las rocascrea una distribucion tamano-frecuencia que obedece a la relacion N(> r) = 1/rD

(Brown, 2005: 48), lo que quiere decir que al fragmentarse una roca habra menosfragmentos mayores y muchos fragmentos menores. De esta forma, estados dereduccion primarios proporcionan lascas mayores y en menor cantidad, mientrasque el trabajo final produce lascas menores y mas abundantes.

Brown asume, entonces, que la dimension fractal de los artefactos aumentacon las etapas finales del trabajo, lo cual es visible desde el nucleo: Un nucleosin preparar ofrece un valor de D menor que un nucleo preparado (Brown, 2001:



624 y Brown, 2005: 51). Al contrastar con el contexto arqueologico, el autorlogro diferenciar ademas un contexto primario de uno secundario. En este ultimola distribucion no se comporta como D por el reacomodo. Destaca ademas queno todas las distribuciones deben comportarse de manera fractal, siendo tan utilla informacion proveniente de una, como de otra (Brown, 2001: 629).

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Mapas fractales e historias no lineales

Cabe decir que D no es la unica manera de aproximarse a los fractales en ar-queologıa. Trabajos como los de Rodrıguez et al, Zubrow, King, etcetera, sugierenuna trayectoria alternativa a la aplicacion eficaz de estas herramientas.

La investigacion de Rodrıguez et al (1995) gira en torno a la trayectoria dedomesticacion agrıcola a lo largo del Mediterraneo Occidental, y se apoya en unfenomeno previamente reconocido como poseedor de caracterısticas fractales, estoes, la percolacion.

Los investigadores utilizan un modelo de sistemas de intercambio de infor-macion por percolacion, el cual genera sistemas auto-organizados, producto de laconstante iteracion a pequena escala. El resultado es una red fractal de flujo deinformacion que cubre la region (Rodrıguez et al, 1995: 13).

Ası, la informacion solo puede fluir por caminos abiertos en nodos adyacentes,y en caso de no existir dicha conexion, la informacion simplemente no fluye (Ibıd.:15).

En 1997, Ezra Zubrow publica su trabajo “Clusters of Death” y si bien nomaneja de manera explıcita los fractales, su trabajo de simulacion aborda elproblema de la expansion de la viruela en las poblaciones nativas americanas almomento de la colonizacion del continente. El autor describe la infeccion comoun fenomeno de expansion caotica que posteriormente se manifiesta a traves deun patron ordenado de expansion de dicha infeccion llevado a nivel continental14.En esencia, el modelo simula la expansion del virus desde Europa a traves de lasrutas de comercio. El autor concluye que el fenomeno se comportaba como unmodelo de percolacion, esto es, un modelo fractal (Ibıd., 231, 249).

En la misma publicacion, King y Aallan (1997) parten de la consideraciondel medio ambiente como un proceso fractal en donde el cambio ocurre de ma-nera constante y en todas las escalas, siendo funciones fractales la respuesta yla capacidad de supervivencia de las especies de un ecosistema determinado. Sinenfocarse en la geometrıa fractal, los trabajos de Zubrow y King y Aallan abor-dan de manera exitosa nociones inherentes a los fractales, haciendo evidente unavez mas la importancia, no de emplear la tecnica en un afan de aplicarla en todo,

14 Cabe mencionarse que el autor ha trabajado previamente el tema en American Archaeology,1985. Sin embargo, nos resulto imposible conseguir dicha referencia.



sino de manejar e interpretar de manera apropiada los datos que involucra lautilizacion de dichas herramientas.

Por su parte, Cecile Tannier y Denise Pumain (2005 y Pumain, 1997) handesarrollado una metodologıa de analisis fractal aplicable a cualquier distribu-cion urbana15. Previamente, Pumain habıa elaborado un acercamiento al analisisurbano dentro de las ideas de complejidad. Una de las observaciones iniciales quehizo sobre un sistema de ciudades, es la existencia de una persistencia espacialy jerarquica en su configuracion, aun a nivel micro, y a pesar de los aumentospoblacionales, del numero y del tamano de las mismas (Pumain, 1997: 98).

Siguiendo esta lınea, queda claro que no solo en la expresion espacial existeautosemejanza en un sistema urbano, sino tambien en su vida como sistema auto-organizado por las relaciones jerarquicas a diferentes escalas y por un principiooperativo que resulta de la competencia entre ciudades (Ibıd., 102-112).

15 Si bien, los primeros esfuerzos en aplicacion de fractales y urbanismo son presentados porBatty y Longley en “Fractal Cities”, en un analisis de D como indicador del cambio de lasmetropolis del planeta.

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Para 2005, Pumain y Tannier trabajaron especıficamente sobre la lınea de geo-metrıa fractal. Describieron al sistema urbano con el atributo de autosemejanza,visible en la repeticion del mismo principio de distribucion y en los elementos amultiples escalas, representados bajo un esquema de jerarquıa escalar (Pumain yTannier, 2005: 5).

Mas que mostrar la aplicabilidad a un caso especıfico, Pumain y Tanniermostraron la utilidad de D, al basarse en una serie de reflexiones previas, queresultarıan igualmente valiosas, si no se hubiese calculado D.

Autosemejanza Maya

Otro de los usos mas interesantes para las geometrıas fractales es el patronde asentamiento, siendo las propuestas de C. Brown de las mas apasionantes.

En sus primeras aproximaciones los arqueologos localizaron puntos geograficosmediante la utilizacion de la tecnologıa GPS en Yucatan, en sitios del ClasicoTerminal. A cada sitio se le asigno un valor jerarquico de 1 a 4 (siendo 1 para lossitios de mayor tamano y 4 para los de menor tamano) (Brown y Witshey, 2000:7). Posteriormente se desarrollo una hipotesis para explicar por que el patron deasentamiento maya exhibe una relacion fractal, tanto a nivel comunal (intra-sitio),como a nivel regional, perceptible gracias a D y a la autosemejanza estadıstica(Brown y Witschey, 2003: 1619). La hipotesis referente a las relaciones intra-sitiales describe a los edificios como un patron agrupado producto de un patronprevio que se itera en sı mismo (nested clusters of clusters). Con una organizacionespacial autosimilar, existen principios de linaje visibles en todo el sistema social.Ası, las relaciones autosimilares trazan el comportamiento regional en funcionde distribuciones tamano/ frecuencia y tamano / estatus de los asentamientos(Ibıd.).

Del mismo modo, el analisis regional se basa en la jerarquıa originada de larelacion estatus / tamano como una ley de potencia (power law) ası como de larelacion tamano / frecuencia que presenta una relacion fractal y una D.

La relacion estatus / tamano es una observacion mas empırica que expresauna relacion entre el tamano del asentamiento, y el estatus del mismo (Brownet al, 2005: 61). Obviamente en cada nivel autosemejante habra menos sitios deestatus mayor, aunque estos seran los de mayor tamano.



Para complementar este analisis, se efectuo un Conteo por Cajas sobre ladistribucion geografica de los puntos, en este caso D = 1.51 (Brown y Witschey,2003: 1625). El autor justifica las variaciones obtenidas en D (de 1.23 hasta 1.51)como expresion de variaciones locales y regionales del generador (Ibıd., 1627),resta determinar los rangos de variabilidad aceptables en D.

La autosemejanza en los grupos de asentamientos esta directamente vinculadaal hecho de que estos describen un sistema social donde la familia y la unidadhabitacional son una replica del linaje y este a su vez del clan, haciendose visible lamisma relacion en la administracion del poder, donde los niveles estan organizadosde manera piramidal. Ası, el patron de asentamiento fractal (contrastado conconteo de cajas) es consecuencia de una organizacion fractal y de un gobiernojerarquico que obedece a una ley de potencia (Ibıd.: 1627-1628).

Una conclusion es que la sociedad maya gozo de una autoorganizacion, como esla capacidad de cambio espontaneo en un sistema tras una perturbacion constante(Ibıd.: 1622). Por su parte, Roberts y Turcotte (1998 en Brown, 2003: 1628-1629) llevaron a cabo modelizaciones de la auto-organizacion y guerra maya cuyoresultado fue un sistema meta-estable con D = 1.27 − 1.54. Este hallazgo sepodrıa comparar con la dinamica semi-estable definida por Lopez Aguilar y Bali(1995) o con la idea maya segun Duverger (2000).

Sobre el mismo problema de comprension de la organizacion y trayectoriamaya, Joyce Marcus (1993:184) tambien ha reconocido a la guerra como un factorque genera ciclos dinamicos de integracion y fragmentacion donde los estadosregionales se colapsan en entidades mas pequenas y viceversa. Un trabajo queha llegado a resultados semejantes mediante otra vıa metodologica, ha sido el deArthur Demarest (1992), quien sin estar comprometido con la hipotesis fractal,propone un modelo polıtico maya como estado galactico. Dicho modelo consiste enuna metafora de organizacion social y espacial donde la misma idea organizacionalpermanece a diferentes escalas (solo que los grados de poder polıtico disminuyendel centro hacia la periferia). (Prem, 1998: 30)

La Casa Del Faraon

Dentro del compilado del SFI (Gumerman, Kohler, 2000) destaca la propuestade Mark Lehner sobre el Antiguo Egipto como un Sistema Adaptativo Complejo

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(SAC o CAS en ingles)16, en la que describe varios fenomenos autosimilares tantoen espacio como en tiempo que nos aproximan un poco a la idea de Bak (1996).

En contraste con la vision faraonica absolutista que suponıa un expansionis-mo a capricho del emperador, Lehner revisa a detalle las variables del sistemaegipcio para presentar sus analogıas. Las vincula principalmente a una imagenfractal arquitectonica, a la autosemejanza del conjunto social y a ciclos de frag-mentacion y conglomeracion altamente sensibles a las condiciones iniciales de launidad domestica (household). Observa tambien la construccion/desarrollo de laorganizacion al interior de la misma (o PHM: Patrimonial House Model17) defini-da por parentesco y por la relacion amo-esclavo como los generadores de trabajoa cualquier escala espacio-socio-temporal.

El primer momento para el desarrollo de esta hipotesis se dio en una revisiondel modelo segmentario de unidades sistemicas, las cuales, al colapsarse, con-servan la idea general. Ası, el autor visualizo la autosemejanza en la estructuravertical, inferible en la disposicion de tumbas: organizadas a partir de una grantumba (tanto de tamano como jerarquıa) y alrededor de ella las de menor tamanoy estatus (Lehner, 2000: 277-278).

Continuando, se presenta el patron de la casa/unidad domestica como ideacentral y principio generador de la relacion (“patron”) fractal. De esta manera, elprincipio organizacional de la casa egipcia funciono como agente autosemejanteque configuro el Estado egipcio a partir de la expansion (amplificada territo-rialmente, pero con una disminucion jerarquica) aunada a un proceso de auto-similitud al interior, con lo que se genero una estructura auto-contenida (Ibıd.:279-280).

Retomando al SAC, las dinamicas y el patron egipcio se originaron a partirde las interacciones de agentes locales y Lehner supone que es a partir de estasque se construye la Gran Casa Faraonica (Great House) descartando tambien laidea monarquica sobre el faraon, ya que el termino es solo una traduccion del

16 Entiendase un SAC como un sistema complejo (previamente descrito) mientras que poradaptativo refiere la capacidad de cambio a traves de la experiencia. El termino se origino enel SFI por John H. Holland y Murray Gell-Mann, quienes definen una SAC como un conjuntode agentes en reaccion constante a lo que lo otros agentes hacen. El control del sistema tiendea ser disperso y descentralizado y el comportamiento coherente surgira de la competencia ycooperacion entre agentes. (En: Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order andChaos, M. Mitchell Waldrop,1992).

17 Modelo de Casa Patrimonial. (traduccion nuestra)



egipcio que senala esa Gran Casa (Ibıd.: 280).

Entonces, a partir del agente basico (unidad domestica), el siguiente nivelautosemejante es la aldea (village) en donde la esencia organizacional radica enfragmentar terrenos cultivables (iltizams) (Ibıd.: 286-287).

Ampliando la escala, el pueblo (town) continua con el patron autosemejante,donde la ciudad central se construıa alrededor de la residencia “oficial” y cadasuburbio seguıa el modelo de dicha casa, con espacio religioso, granero y talleresen los flancos. Igualmente, las casas mayores eran rodeadas por casas menores(Ibıd.: 301-303).

El nivel organizativo siguiente son los nomes, divisiones territoriales segun lalongitud del Nilo, en donde un pueblo principal servia como capital. Finalmentese tiene la fragmentacion generadora del sistema egipcio que lo dividıa en dos (elValle del Nilo y el Delta) de modo que el faraon funcionaba tambien como unarepresentacion doble (Set y Horus), como el unificador de la casa del Bajo y elAlto Egipto, idea isomorfica en cada nivel jerarquico (Ibıd.: 307-318).

Espacialmente hasta ahora es visible un esquema autosimilar donde no haydiferencia entre lo urbano y lo rural, pues todo nivel es una iteracion del mismoprincipio. Tampoco existe la necesidad de visualizar una sociedad bimodal (elitey pueblo) sino que se percibe la autosemejanza a cualquier escala de observacion(Ibıd.: 281).

Un comportamiento semejante ocurrirıa en la ausencia de un sucesor faraonicodonde el modelo de parentesco tiene que buscar un reacomodo, potencialmente atraves de guerras norte–sur y del reajuste jerarquico (Ibıd.: 337-338). En esencia,Lehner nos da la idea global de un sistema autosimilar entre la unidad domesticay el sistema egipcio como una gran unidad domestica (La Gran Casa) (Lehner,2000: 338).

Iteracion final

De esta manera, queda clara la valiosa aportacion que la geometrıa fractal hatenido en la ciencia occidental desde hace mas de 25 anos. Sus aplicaciones soncada vez mas amplias. Tambien lo son las herramientas disponibles para hacer

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uso de ella, en particular los programas para calcular (D)18. La geometrıa fractalse presenta, entonces, como un generador en el que es preciso involucrarse paradevenir en una antropologıa crıtica, dinamica y compleja, con oportunidad dedesarrollar una verdadera transdisciplina.

Es preciso expresar una advertencia para evitar caer en mediciones sin senti-do, ya que obtener D y modelizar sin un objetivo es una perdida de tiempo, entanto que la informacion obtenida no sera de utilidad o caera en la redundan-cia. Ademas, no solo por hacer uso de estas herramientas automaticamente sehabra trascendido el pensamiento lineal.

Nuevamente queda en evidencia la necesidad imperante de una revision crıticaal pensamiento occidental. Las revoluciones cientıficas no son modas pasajeras, yla necesidad de presentar alternativas al determinismo positivista es claramenteun compromiso etico y social para el antropologo actual.

Finalmente, la geometrıa fractal es una realidad en la antropologıa mundial,ıntimamente relacionada con las teorıas de la complejidad. Esta disciplina ofreceen Mexico y America un gran espectro de posibilidades teoricas y tecnicas, lascuales han ido creando un nicho en las disciplinas antropologicas conservadoras.La geometrıa fractal ya ha superado (con creces) la etapa de “tecnica experi-mental” siendo valido el considerarla como parte integral de la formacion de losarqueologos y antropologos.

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18 Reynoso (2003 y 2006) recomienda el uso de por lo menos dos programas generadores de Den tanto que el investigador se familiariza con los diferentes valores de D que distintos programas(merced a la metodologıa que utilizan) generan.



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Xaver Faust, Franz, “Un prestamo de la geometrıa fractal para la descripcionde culturas emparentadas: lo que hace las culturas amerindias similares entreellas”, Thule Revista italiana di Studi americanistic, No.1,pp.131-154, CentroStudi Americanistici “Circulo Amerindiano”, 1996.

Zubrow, Ezra, “Fractals, cultural behavior, and prehistory”, American Archeo-logy, Vol. 5, No,1, 1985, pp. 63–77.

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SMM-CIMAT

Calculo del Estadıstico de Correlacion entre Epocas atraves de Respuestas Multiples y su RepresentacionFractal para el Espacio de TrayectoriasMesoamericano

Fernando Lopez Aguilar1, Guillermo Bali2

En el siglo XIX, los investigadores de las antiguedades mexicanas se perca-taron de un hecho inquietante. Diversas ruinas de antiguas ciudades y templosemergieron de las selvas del sur. Estos descubrimientos, que comenzaron con losvestigios de Palenque en 1784 (Blom, 227) y continuaron con los realizados porlos distintos viajeros como Stephen y Catherwood (1844) y el mismo Charnay(1857), fracturaron la preconcepcion que tenıan los habitantes de la Nueva Es-pana y Mexico, que asumıa a los aztecas y a los toltecas como los unicos habitantesancestrales del territorio. Algo antiguo, ignoto, habıa emergido. Un pueblo habıaconstruido grandes edificios y, por razones misteriosas, habıa desaparecido. Conla nueva terminologıa evolucionista, se penso en un proceso civilizador y, con ello,la existencia de su opuesto, la barbarie predecesora del apogeo (Lopez Aguilar2001) y el colapso como consecuencia de factores que no se podıan entender ni re-solver en ese momento. Una trayectoria especıfica se construyo y desarrollo desdelas investigaciones arqueologicas de esa epoca que, lejos de modificarse, se in-troyecto como una verdad indiscutible y las diferentes escuelas de pensamiento,ya fueran marxistas, neoevolucionistas o historico-culturales, solo se interrogaronsobre las causas que pudieron haber existido para la emergencia de las civiliza-ciones o para su colapso. Se buscaron explicaciones y enunciados tipo ley parael “origen de la agricultura”, la “revolucion neolıtica”, “el origen del estado”, “elorigen de las clases sociales”, “la revolucion urbana” o bien para “la caıda delclasico maya”, “el abandono de Teotihuacan” o el colapso de las civilizaciones(Lopez Aguilar 2006).

1 Posgrado en Arqueologıa, Escuela Nacional de Antropologıa e Historia2 Comision Nacional para el Desarrollo de los Pueblos Indıgenas

75

76 Fernando Lopez Aguilar, Guillermo Bali

TRAYECTORIA DE MESOAMÉRICA

1800 ane 1000 300 300 dne 600 900

Preclásico Inferior Preclásico Medio Preclásico

Superior-

Protoclásico

Clásico Epiclásico Postclásico

Barbarie Origen del

Estado

Civilización Colapso

Figura 1. Trayectoria Mesoamericana por periodos.

Esta mirada al pasado se desarrollo y consolido en mas de cien anos de practicacientıfica, pero solo hasta fechas recientes, se han construido visiones alternativasa esta concepcion lineal y monotona de la historia prehispanica que critican ideasque hoy se perciben como insostenibles: la existencia de el estado maya del clasico,que los mayas fueran un grupo unificado, que los teotihuacanos fueran un sistemauniforme y monotono en el que cada asentamiento solo hacıa eco a las dinamicasde la gran ciudad, hasta la idea simplificadora de la existencia de un solo auge,un solo apogeo y un solo colapso.

Joyce Marcus ha propuesto desde sus investigaciones sobre la arqueologıa yla epigrafıa maya que habıa un equıvoco en la concepcion de la historia y quehabıa evidencias de que los surgimientos y los colapsos eran procesos recurren-tes en lugar de fenomenos unicos: “Los principales estados mayas surgieron y secolapsaron en epocas diferentes, e incluso, en un mismo Estado, las comunida-des individuales surgieron y se colapsaron en epocas diferentes. La trayectoriaespecıfica de cada ciudad es distinta y, por lo tanto, no puede extrapolarse alas tierras bajas en su conjunto” (Marcus 310). La curva en forma de campana,replica de la trayectoria mesoamericana, que habıa acompanado a las visionescanonicas de la arqueologıa maya, se transformaba en un paisaje pleno de crestasy valles.


Calculo del Estadıstico de Correlacion entre Epocas ... 77

Figura 2. Trayectoria de los estados mayas. (Tomado de Marcus, 311)

Unos anos antes del trabajo de Joyce Marcus (1995), habıamos propuestoque Mesoamerica deberıa considerarse como un espacio discontinuo y singularcon tres trayectorias entrelazadas en el espacio y en el tiempo: una estable, otrasemiestable y una mas inestable, todas enmarcadas dentro de un sistema global.Las diferentes formas de expresar la estabilidad dentro del sistema, hacen ver elproblema del colapso como un fenomeno no determinista y no lineal, que recorreestructuras de complejidad distintas, fundamentadas en una unidad basica degeneracion, el altepetl (Lopez Aguilar y Bali, 88-90).

El altepetl (pl. altepeme), tuvo como propiedades el ser una estructura jerarqui-ca centralizada, con tendencias al monopolio del poder, lo que dio lugar a organi-zaciones de distinto nivel de jerarquizacion, monopolicas o policentricas, centra-lizadas o fragmentadas, en un patron que se repite en distintos niveles a lo largodel tiempo en que existio el espacio mesoamericano.

Para esta primera aproximacion a la configuracion de Mesoamerica, tomamoscomo elementos para la parametrizacion de las tendencias al monopolio del podery a la jerarquizacion, y empleamos tres variables que pueden ser constatadas en

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la documentacion arqueologica: la verticalidad (V), la extension (E) y la inten-sidad (I). El desarrollo vertical considera los niveles jerarquicos de los altepeme,es decir, cuantos niveles inferiores incluye, en terminos de unidades equivalentessubordinadas. El altepetl, como unidad generadora, tiene en ese sentido un valorde 1, mientras que el nivel mas alto reconocido, Teotihuacan, tiene un valor de 6.El desarrollo en extension toma en cuenta el territorio controlado por el sistema.Nuevamente, la unidad mınima es 1 para el altepetl y el mas alto corresponde alllamado Imperio Mexica, que controlo practicamente, desde la frontera septen-trional de Mesoamerica, hasta el Soconusco, con un nivel de 6. Finalmente, laintensidad estara representada por la extension territorial de la capital del siste-ma. Nuevamente, el 1 corresponde a la unidad generadora y la ciudad mas grandeconocida en Mesoamerica es Teotihuacan, con 22 kilometros cuadrados, con unvalor de 5. Con ello, es factible elaborar los valores para los principales momen-tos de la trayectoria del Centro, desde antes del sistema Cuicuilco, el desarrollodel sistema teotihuacano, su colapso en el llamado Epiclasico, el surgimiento deTula, su colapso, y el desarrollo del sistema Azteca. El valor promedio de estosparametros se encuentra en la ultima columna de la tabla.

Vertical Extension Intensidad ValorAltepetl 1 1 1 1Cuicuilco 2 2 1 1.66666667Epiclasico 3 3 2 2.66666667

Tula 4 4 3 3.66666667Aztecas 5 6 4 5

Teotihuacan 6 5 5 5.33333333

Tabla 1. Parametros mesoamericanos

Para la lınea del tiempo, en esta primera aproximacion, se tomo como basela periodificacion desarrollada por Duverger (2000), quien divide la cronologıa encinco epocas que discurren entre el ano 1200 ane hasta el 1500 dne, distinguien-do dos momentos adicionales: la epoca 3a, que se corresponderıa con el llamadoEpiclasico y la epoca 4a, que darıa cuenta de los pequenos colapsos narrados porlas fuentes etnohistoricas entre el desarrollo de los sistemas Toteca y el surgi-miento del sistema Azteca. Con ello, fue posible trazar la siguiente grafica cuyoescalamiento permitio la generacion de las otras dos trayectorias, la del sur y ladel norte (Lopez Aguilar 2004).



TRAYECTORIAS DEL CENTRO

0

1

2

3

4

5

6

7

EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5

Intensidad

Centro

Vertical

Extension

Figura 2. Trayectorias del centro de Mesoamerica

EPOCA 0 1 2 3 3a 4 4ª 5

Vertical 1 1 3 3 3 3 2 1

Extensión 1 1 4 3 3 4 2 1

Intensidad 1 1 3 2 2 3 1 1

NORTE 1 1 3.33333333 2.66666667 2.66666667 3.33333333 1.66666667 1

Vertical 1 4 2 5 3 4 3 3

Extensión 1 5 2 5 3 3 3 4

Intensidad 1 3 1 4 2 3 2 3

SUR 1 4 1.66666667 4.66666667 2.66666667 3.33333333 2.66666667 3.33333333

Vertical 1 1 2 6 3 4 3 5

Extensión 1 1 2 5 3 4 3 6

Intensidad 1 1 1 5 2 3 2 5

CENTRO 1 1 1.66666667 5.33333333 2.66666667 3.66666667 2.66666667 5.33333333

Centro 1 1 1.67 5.34 2.67 3.67 2.67 5.34

Sur 1 4 1.67 4.67 2.67 3.33 2.67 3.33

Norte 1 1 3.33 2.67 2.67 3.33 1.67 1

MESOAMERICA 1 2 2.22333333 4.22666667 2.67 3.44333333 2.33666667 3.22333333

Tabla 2. Parametros de las trayectorias mesoamericanas

Para la trayectoria sur, se tomo en cuenta el apogeo en la epoca 2 del sistemaOlmeca; para la 3, Tikal, Palenque y Calakmul; para la 4 Chichen Itza y parala 4a llamada Liga de Mazapan. Por su parte, para la trayectoria norte, en laepoca 2 se tomo en consideracion la posible expansion de Chupıcuaro y para la

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4, el sistema de La Quemada. Los resultados aportan una correlacion estadısticapositiva y se muestran en las siguientes graficas.

Centro Sur Norte Mesoamé rica

Centro 1

Sur 0.61994239 1

Norte 0.21849 0.0465945 1

Mesoamérica

Mesoamérica

0.89837147 0.77480132 0.49472107 1

Vertical Extensió n Intensidad Norte

Vertical 1

Extensión

Extensión

Extensión

Extensión

0.95456596 1

Intensidad 0.85377141 0.95896675 1

Norte 0.9632297 0.99781438 0.9601487 1

Vertical Extensió n Intensidad Sur

Vertical 1

Extensión 0.88721106 1

Intensidad 0.93200703 0.89711799 1

Sur 0.96961478 0.96375447 0.96993009 1

Vertical Extensió n Intensidad Centro

Vertical 1

Extensión 0.95628415 1

Intensidad 0.95842539 0.95842539 1

Centro 0.98586075 0.98586075 0.98566753 1

Tabla 3. Correlaciones estadısticas de las trayectorias mesoamericanas

TRAYECTORIA DEL SUR

0

1

2

3

4

5

6

EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA

3a

EPOCA 4 EPOCA

4a

EPOCA 5

Intensidad

Sur

Vertical

Extension

Figura 5. Trayectoria del sur mesoamericano



TRAYECTORIA DEL NORTE

0

1

2

3

4

5

6


Intensidad

Norte

Vertical

Extension

Figura 6. Trayectoria del norte mesoamericano

Al integrar las tres trayectorias, la historia de Mesoamerica se muestra sor-prendentemente compleja, bastante alejada de la curva en forma de campana, queexpresa momentos de acoplamiento estructural, entrecruzamientos, convergenciasy divergencias.

TRAYECTORIAS MESOAMERICANAS

0

1

2

3

4

5

6


Centro

Sur

Norte

Mesoamerica

Figura 7. Trayectorias mesoamericanas

SMM-CIMAT


Otro modo de representacion para los datos ofrecidos en los puntos ante-riores consiste en establecer los estadısticos de correlacion entre epocas, peroconsiderando las tres dimensiones establecidas que fueron la verticalidad (V), laextension (E) y la intensidad (I). Para cada una de las dimensiones se genera unavariable aleatoria de 23 incidencias (en este trabajo se maneja un maximo de 23asentamientos por trayectoria) donde 1 es presencia de la caracterıstica y 0 esausencia, basadas en las probabilidades siguientes 0.1667 [rango 1], 0.3333 [rango2], 0.5 [rango 3], 0.6667 [rango 4], 0.83333 [rango 5]. En el caso del rango 6, laprobabilidad es 1, por lo que la variable esta totalmente determinada y contienesolamente valores de 1. Estas probabilidades fueron construidas a partir de lasdefiniciones introducidas por Lopez Aguilar (2004) y tienen una cota superiorque descansa en 1.

La Tabla 4 presenta los resultados generales para todas las epocas, trayectoriasy dimensiones.

1200 500 200 650 800 1100 1300 1521

NORTE E0 E1 E2 E3 E3A E4 E4A E5 Grado

Vertical 1Extension 2Intensidad 3

CENTRO 4Vertical 5

Extension 6 6

Intensidad

SURVertical

Extension

Intensidad

Tabla 4. Resultados generales, epocas, trayectorias y dimensiones

En total se obtienen 7 estadısticos de correlacion con los siguientes esquemaspara cada una de las trayectorias:

Esquema 1 = [Epoca 0, Epoca 1]



Esquema 4 = [Epoca 3, Epoca 3a]

Esquema 5 = [Epoca 3a, Epoca 4]



Esquema 6 = [Epoca 4, Epoca 4a]

Esquema 7 = [Epoca 4a, Epoca 5]

A continuacion se presentan los esquemas completos para las tres trayecto-rias, norte, centro y sur, ası como los resultados que se derivan de este tipo dediseno. Las tablas que son desplegadas indican como se van moviendo de maneratransversal los patrones de asentamiento, pero cabe mencionar que tambien puedehacerse una lectura al conjuntar todos los patrones asociados a una trayectoria.

Como ejemplo, en la Tabla 1 se pueden observar en el recuadro marcado paralas Epocas 2 y 3 los patrones que estan involucrados. Uno debe imaginar que esterecuadro se mueve desde un inicio hasta el final, siempre en pares de epocas puesse trata de una correlacion.

El algoritmo se repite para cada una de las trayectorias, y, en cada caso,fueron generados los esquemas aleatorios de asentamiento para todas las epocas.Los esquemas estan ordenados en la misma direccion del tiempo cronologico.

A continuacion se muestra este desplazamiento para los siete esquemas donde(N) es norte, (C) es centro y (S) es sur:

Esquema 1

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I

N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N

V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I

S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S

V

E

I

SMM-CIMAT


Esquema 2

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

Esquema 3

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I



Esquema 4

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

Esquema 5

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

SMM-CIMAT


Esquema 6

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

Esquema 7

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V

E

I


V

E

I



Cabe senalar que es posible hacer, tanto un cambio de escala, como unaredistribucion de probabilidades, sin embargo, esto no tendrıa impacto en uncambio de estructura circunstancial; mas bien producirıa un efecto de homoteciacon clases de equivalencia. Si se perfecciona el registro historico, o si se tomannuevos supuestos de asentamientos, entonces sı existirıa la posibilidad de que semodificaran los arquetipos y se podrıan construir “nuevas capas” de un mayoralcance, aunque aquı nos interesa dar una primera aproximacion de este “espaciofractal” que sirva como base para futuras estructuras de complejidad. En trabajosrecientes se ha mostrado este tipo de caracterısticas aplicadas a los procesosarqueologicos e historicos que confluyen dentro del Valle de Mezquital (LopezAguilar 2005)

Una vez aplicado el algoritmo de generacion de variables aleatoria descritasanteriormente, se obtienen para las Epocas 0, 1, 2, 3, 3a, 4, 4a, y 5, 8 matricesde 23 filas por 3 columnas con valores que solo pueden ser cero o uno para cadauna de las trayectorias. A partir de estas matrices se obtienen 7 coeficientes deestadısticos de correlacion basados en algoritmos de respuestas multiples paradisenos matriciales 3× 3 .

En la matriz de la Tabla 2 podemos constatar las relaciones conjuntas pa-ra dos variables de respuesta multiple de dimension 3 (Verticalidad, Extension,Intensidad), donde una variable corresponde a la Epoca I y la otra variable corres-ponde a la Epoca J, y temporalmente I es menor que J. Con el fin de entenderel contenido de las celdas cabe recordar que un par (X, Y ) significa el numero deveces que se obtuvo la presencia de un posible asentamiento en la dimension Xconjuntamente con la dimension Y.

Epoca I / Epoca J V E IV (V, V ) (V, E) (V, I)E (E, V ) (E, E) (E, I)I (I, V ) (I, E) (I, I)

Tabla 5. Relaciones conjuntas de verticalidad (V), extension (E) e intensidad (I)

Los estadısticos de correlaciones se obtienen gracias a un esquema exhaustivomarginal con conteo democratico, con “bootstrap” sobre 10,000 tablas (Matus-zewski and Trojanowski, 2000, Bali et al., 2003). Por este metodo se entiende losiguiente: el valor esperado y la varianza del estadıstico dependen de todas las

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posibles combinaciones que aparecen para cada una de las epocas, por filas, paralos 23 registros. En la matriz de 3 × 3 se considera la siguiente lista de combi-naciones (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) como simples, (1,1,0), (0,1,1) y (1,0,1) comodobles y (1,1,1) como triple para ambas variables.

El conteo democratico se refiere a que cada combinacion tiene la misma con-tribucion en las celdas de respuesta con los siguientes puntajes: 1 para dos simples[1,1], un medio para una simple y una doble ([1,2] o [2,1]), un tercio para las tri-ples ([3,1] o [1,3]), un cuarto para dos dobles [2,2], y un sexto para una tripley una doble ([2,3] o [3,2]). Las probabilidades marginales de cada combinacionjuegan aquı un papel importante. El nivel de correlacion entonces dependera dela diferencia entre lo esperado, dado por el tipo de probabilidad marginal, y loobservado, dado por el grado de los asentamientos.

Por ejemplo, la tabla de contingencia de incidencia de la correlacion de laEpoca 2 con la Epoca 3, en la trayectoria norte, estarıa dada por la tabla 3. Lamayor presencia de asentamientos, (12), se da en estas epocas en los cruces deexistencia de verticalidad y extension dentro de los asentamientos simulados o 10,que se refiere solo a la variable extension. En la Epoca 2, en general, predominala extension y en la 3 predomina la verticalidad.

Esquema 3 V E IV 9 4 3 16 24.2%E 12 10 6 28 42.4%I 10 7 5 22 33.3%

31 21 14 6647.0 % 31.8% 21.2%

Tabla 6. Tabla de contingencia para respuestas multiple entre las epocas 2 y 3

Si se toma en cuenta el calculo de los estadısticos de correlacion sobrerespuestas multiples (notese por ejemplo que las incidencias en la columna1 son 31, que es mayor que 23) mediante el programa de Exohdus, (delcual una version experimental esta disponible en la pagina webhttp://www.ipipan.waw.pl/amat/multiresponse/pl/) para cada una de las tra-yectorias, norte, centro y sur, se obtienen los resultados de la tabla 4.



Epocas/Estadıstico Norte Centro SurEpoca 0-Epoca 1 0.79 0.7 0.62Epoca 1-Epoca 2 2.01 0.98 0.30Epoca 2-Epoca 3 1.47 0.09 0.40Epoca 3-Epoca 3 0.77 0.18 0.15Epoca 3a-Epoca 4 0.51 1.22 2.31Epoca 4-Epoca 4 0.69 1.22 2.31Epoca 4a-Epoca 5 1.33 0.17 0.99

Tabla 7. Resultados de correlaciones de respuesta multiple entre epocas

Con los resultados de la tabla 2 podemos calcular la representacion fractal atraves del Kamtorus y obtener una visualizacion de los niveles de compactacion delas trayectorias, donde la cercanıa de una correlacion a cero, evidencia la presenciade colapsos de algun tipo, y la cercanıa a un valor 2, patrones de dispersion delos asentamientos.

El Kamtorus es absolutamente diferente al conjunto de Mandelbrot fijado enterminos del calculo de la imagen. Este conjunto se puede generar iterando lasecuaciones siguientes:

x(0) = y(0) = orbita/3;

x(n + 1) = x(n) ∗ cos(a) + (x(n) ∗ x(n)y(n)) ∗ sin(a)

y(n + 1) = x(n) ∗ sin(a)− (x(n) ∗ x(n)y(n)) ∗ cos(a)

donde a es un parametro angular constante (y en nuestras trayectorias el es-tadıstico de correlacion obtenido), y orbita varıa entre un valor inicial y final enincrementos especificados de antemano.

Esta clase de “fractal” fluye sobre una rejilla graduada de “pixels”. Si un“pıxel” necesita ser recolocado en una trayectoria, el color del “pıxel” se mo-difica, lo que implica que el numero de veces que el “pıxel” fue visitado en latrayectoria puede ser calculado. Este fractal es el producto de varios esfuerzospara encontrar una respuesta a la pregunta de si nuestro Sistema Solar es esta-ble o no. El Kamtorus se nombra a partir de los trabajos de investigacion delmatematico ruso A.N. Kolmogorov, quien desarrollo una teorıa que predecıa laforma y la estabilidad de las orbitas de los planetas. La teorıa fue confirmadade manera independiente por el estudiante de Kolmogorov, V.I. Arnold y por el

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matematico aleman J. Moser (por lo tanto el nombre: Kolmogorov, Arnold, yMoser, KAM). Kolomogorov tambien jugo un papel destacado en el desarrollode la teorıa de las probabilidades, y muchos de sus descubrimientos tienen granaplicacion hoy en dıa en diversas teorıas de tipo estocastico, numerico y compu-tacional, incluido el metodo de “bootstrap” al que nos hemos referido. La grafica1 es un ejemplo del tipo de soluciones y la dinamica de este sistema iterativo deecuaciones a partir de una orbita.

Figura 8. Soluciones del Kamtorus

La visualizacion conjunta de las trayectorias norte, centro y sur se puede ob-servar en la grafica 2. Estas graficas fueron calculadas mediante el programa defractint, en su version de ms-dos. En la dinamica global se observan claramentelos diferentes comportamientos a traves del tiempo con concentracion de asenta-mientos, colapsos y fragmentacion, fenomenos que reafirman el concepto dinamicodel espacio mesoamericano y su compleja estructura de interaccion.



SUR CENTRO NORTE

EPOCA 1(1200-500 ane)

EPOCA 2

(500 ane-200 dne)

EPOCA 3

(200 -650)

EPOCA 3(650-900)

EPOCA 4

(900-1150)

EPOCA 4A

(1150-300)

EPOCA 5(1300-525)

Figura 9. Visualizacion conjunta de trayectorias Mesoamericanas en sentido vertical

El modelo es semejante al de los sistemas complejos estudiados en otros ambi-tos del conocimiento, que han encontrado que las inestabilidades locales producen,en un espacio global, trayectorias estables e inestables que muestran autosimili-tud entre ellas, y que estan determinadas por lo que, en la matematica, se conocecomo atractores extranos con propiedades fractales (Lopez Aguilar y Bali 88-89)

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Los colapsos y los “apogeos” se muestran como un fenomeno de repeticionque solo ocurre en un espacio de posibilidades historicas, que aquı se han pa-rametrizado entre el 1 y el 6, y que circunscribe la continuidad estructural delsistema y acota los lımites posibles de las transformaciones en el marco de lasfluctuaciones de las trayectorias estable, inestable y semiestable. Mas alla de esafranja, Mesoamerica desaparece y se transforma en otro fenomeno.

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La Dimension Fractal como Indicador Arqueologicoen los Estudios de Territorio1

Rosa Brambila Paz2, Fernando Brambila Paz3,Flor de Marıa Aceff Sanchez4

Introduccion

La estructura polıtico territorial de los pueblos originarios de Mexico es unasunto analizado para el posclasico tardıo y los primeros anos de la colonizacionespanola. Actualmente, varios estudiosos para describirla examinan el concepto dealtepetl, visto como unidad, conjuncion entre la organizacion social y la espacial.Cabe mencionar las investigaciones de Lockhart (1976, 1999) y Carrasco (1996)para el valle de Mexico, de Martınez (2000) para Tepeaca, de Garcıa Martınez(1987, 1992) para la sierra de Puebla, de Menegus (1991, 1992) y Garcıa Castro(1998) para Matlatzinco, de Quezada (1993) para la zona maya, entre muchosotros.

1Los datos sobre la dimension fractal de los monumentos principales de Teotihuacan se pre-sentaron en la 4ta Mesa Redonda de Teotihuacan, en noviembre, 2005.

2 Direccion de Etnohistoria, INAH.3 Facultad de Ciencias, UNAM.4 Facultad de Ciencias, UNAM.

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96 Rosa Brambila Paz, Fernando Brambila Paz, Flor de Marıa Aceff Sanchez

Carrasco (1996) sugirio que en los diferentes niveles de esa jerarquıa polıti-co/territorial -hueyaltepetl, altepetl, calpulli, tecpan o tecalli, tlahtocayotl, cam-pan, linaje, etcetera- se pueden distinguir semejanzas que reproducen, en su nivel,la relacion territorial con lo socio/religioso. Cada segmento tenıa su propia divi-nidad, identificada como protectora sobrenatural del grupo, que daba identidady cohesion. Es indispensable acentuar que los varios niveles no son excluyentes; alser similares, se contienen. Si bien los espanoles no pudieron comprender en su to-talidad la combinacion social, advirtieron a primera vista sus partes constitutivasy sus diferencias entre los hueytlatoque, a los que llamaron ‘senores universales’,de los tlatoque o ‘senores particulares’, de los ‘caciques’ y de los ‘principales’,etcetera (Zorita, 1999). Tambien distinguieron los lugares de residencia de losvarios grados de poder y de allı la cabecera, los sujetos, los barrios, entre otros.La repeticion de la misma estructura en los diferentes niveles polıtico territorialesrecuerda el concepto de autosimilitud desarrollado en la geometrıa fractal.

Los conceptos de este nuevo enfoque de las matematicas para producir conoci-mientos de sociedades pasadas se han aplicado en varias ocasiones. Lopez Aguilary Bali Chavez (1995) plantearon el desarrollo de Mesoamerica desde la Teorıa dela Complejidad, como un proceso de bifurcaciones y alternativas. Lopez Aguilar(2005), en su estudio del proceso espacial del Mezquital durante la Colonia, apli-ca, de igual modo, algunas nociones de la geometrıa fractal con el fin de explicarlas transformaciones de la unidad altepetl. Por otro lado, Lehner (2000) a lo lar-go de su trabajo sobre la unidad domestica (household) en la historia del Egiptofaraonico parte del concepto de autosimilaridad de la teorıa de los fractales, conel objeto de explicar, desde la organizacion del trabajo, el funcionamiento y lasrelaciones que se establecen entre los diferentes niveles del orden social.

Vislumbrar los diferentes niveles de la estructura polıtico territorial comofenomeno de autosimilitud durante los periodos que cuentan con documentacionescrita invita a indagar si tambien es util la propuesta de la geometrıa fractalpara conocer la organizacion territorial de periodos y de regiones donde la infor-macion escrita es insuficiente. La pregunta que nos guio fue ¿como dar cuentade las regularidades que se presentan en las diferentes escalas territoriales, ensociedades que se estudian solo por los vestigios materiales? Para avanzar haciaesos caminos, en este trabajo proponemos que a traves de la dimension fractal sepuede crear informacion que nos acerque a una mejor comprension de la organi-zacion polıtico territorial de esos grupos antiguos. A lo largo del primer apartadose exponen algunas ideas sobre la organizacion territorial del Centro Norte. Des-


La Dimension Fractal como Indicador Arqueologico en los Estudios de Territorio 97

pues, en el segundo, presentamos un ejercicio matematico en el que se obtuvouna dimension fractal de Teotihuacan. Ante la posibilidad de construir un datoarqueologico diferente, en la ultima parte se hacen algunas propuestas sobre eltrabajo arqueologico.

El Centro Norte en la estructura territorial del Altiplano Central

En el siglo XVI, la region que cubre el norte del Estado de Mexico, el ponientede Hidalgo, Queretaro y Guanajuato, estuvo ocupada por otomıes, subordinados ala Triple Alianza. La informacion escrita sobre su historia esta tamizada, entonces,por la version nahua popularizada por los espanoles. Las evidencias arqueologicasde esta amplia region fueron interpretadas como productos de grupos marginalesy, actualmente, se analizan desde la dinamica de fronteras. Frente a estos hechos,los estudios del Centro Norte adquieren caracterısticas particulares que obligan aexaminar los prejuicios propios de la disciplina y a revisar con cautela el registroarqueologico.

En lo que se refiere a su organizacion espacial, Ana Marıa Crespo (Crespoy Cano, 2006) encontro, en la region que va de San Juan del Rıo a Queretaro,y de Toliman a Santiago Mezquititlan, en el siglo XVI, dos nuevas concepcionesdel territorio, dos formas de construirlo y dos momentos de realizarlo: unos, losotomıes de Jilotepec, conocedores del medio y sus recursos y, otros, los espanoles,con una vision distorsionada de la region; ambas enfrentadas a los habitantesoriginales. Los primeros eran una poblacion subordinada con un asentamientodisperso pero, en general, los espacios que construyeron conservaron las normasde ordenamiento que regıan en sus poblados de origen; es decir, mantenıan lacorrespondencia entre localizacion, trazo y relacion con puntos significativos delentorno, dentro del sentido sacro del territorio: siguieron el orden de la antiguaMesoamerica. La sacralizacion requerıa de un elaborado ceremonial de santifica-cion de las tierras, ası cada barrio tenıa sus respectivas advocaciones religiosas,sobreviviendo ası el antiguo patron indıgena de poblamiento. De allı la importan-cia de las capillas familiares que marcaban el lugar de la cabeza de linaje dentrodel patron disperso.

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En el nivel regional, Crespo y Cano tambien detectaron esta idea de sacrali-zacion a partir de los ejes de los rumbos cardinales. En la region de Toliman, lasautoras encontraron indicadores del patron de los cinco rumbos de la cosmogonıamesoamericana. Dicen:

de acuerdo con el mapa municipal observamos que San Pedro Tolimanse ubica en la interseccion de una diagonal que, por el suroeste, seenlaza al poblado de San Miguel Toliman siguiendo el curso del rıo,diagonal que se continua al noreste, uniendo a pequenos asentamientosque estan en esa direccion, como la rancherıa de Casas Viejas. En ladiagonal opuesta, en direccion sureste, San Pablo Toliman se une ala cabecera por un camino y al noroeste, por el curso de un arroyointegra a la comunidad de Maguey Manso, entre otras. Este modelocorresponde a un patron de quincunce o en cruz de San Andres, conla cabecera principal al centro (Crespo y Cano, 2006).

Se tratarıa entonces, de una propuesta de orden espacial, por parte de lamigracion otomı a la frontera, acorde con la configuracion ideologica de su repre-sentacion del mundo: el espacio terrestre fue construido, por el indıgena, a partirde una relacion recıproca con su divinidad.

La organizacion del espacio en cruz diagonal, tampoco esta ausente en la ar-quitectura del Centro Norte de Mesoamerica. En la region del Lerma Medio seencuentra una serie de edificios que tienen como patron la division en cuadran-tes. Este concepto del espacio tambien se refleja en otros elementos de la culturamaterial, como lo es la decoracion en las vasijas, generalmente simetrica y dis-tribuida en cuartos. Crespo y Saint-Charles (1993) consideraron que en el Bajıolos primeros conjuntos arquitectonicos, los del Formativo Tardıo, dividen el espa-cio en cuatro areas significativas, segun los rumbos del universo. Esta estructuracuatripartita se observa en sitios como La Virgen, Cerro de la Cruz, Uruetaro, yel Cerrito; ademas estan en Santiago Capitiro, Maravatıo del Encinal, Cupareo,Paso Blanco y Los Gatos. En algunos de estos sitios, como Cerro de la Cruz,Uruetaro y El Cerrito, la organizacion en cuatro direcciones continuo al terminode Chupıcuaro, durante todo el primer milenio de la era.



Esta forma de estructura en ‘X’ del territorio es la que propuso Paul Kirch-hoff para el imperio tolteca. El autor se apoyo en la idea de que el ordenamientodel espacio mesoamericano correspondıa a una cosmografıa. Esta afirmacion lapresento en el marco de una discusion de dos posiciones contrarias. Algunos in-vestigadores hablaban de la geografıa y del medio ambiente como determinantesdel pensamiento en los pueblos antiguos; otro grupo, abogaba por el predominiode la religion sobre el ordenamiento del espacio. En la propuesta de Kirchhoff sepuede leer que ese proceso es dialectico. Ciertamente, los pueblos mesoamerica-nos construyeron el mundo real y el unicamente pensado con iguales principiosfundamentales (Kirchhoff 1989, p 252). De ahı la importancia de tomar su mundocomo un todo indivisible, regido por las mismas formas y principios de organi-zacion. Este aserto se apoyo en la conviccion de que los relatos –conservados atraves de algun tipo de escritura (codices, iconograficas o documental)- que sehabıan interpretado como exclusivamente mitologicos, son tambien historicos y,por tanto, con una expresion espacial. Ası, la totalidad esta construida bajo losmismos principios de organizacion territorial. Sin embargo, senalo algunos mati-ces que consideramos importantes. Enfatizo que el aspecto mitologico/religiosodesempena un papel en los sucesos y situaciones reales representados en las pic-tografıas y en los textos (Kirchhoff 1989, p 251). Al mismo tiempo, insistio en lanecesidad de saber reconocer, en las narraciones de lo que el llama ‘los sucesoshistoricos comunes’, el orden social, entendido como la formacion del mundo con-creto controlado, hasta cierto punto por los hombres, a traves de una cosmovisionparticular.

El aspecto religioso del orden social es lo que le lleva a proponer que la orga-nizacion de la capital, la de los habitantes y la del imperio tolteca en su totalidad,estan construidos bajo los mismos principios. Con estos parametros ordeno unlistado de toponimos de la Historia Tolteca Chichimeca. La secuencia de los vein-te nombres de la pictografıa se baso, segun Kirchhoff, en la lectura de un mapadel imperio tolteca ya perdido, que lo dividıa en cinco provincias, segun el ordencosmico del universo. [Fig. 1] Este plan correspondıa “a una realidad existente oservıa como plan para la estructuracion de esa realidad” (Kirchhoff 1989, p 261).

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Figura 1: La estructura del imperio tolteca (Kirchhoff 1989)

La concordancia entre la estructura del estado y un concepto del mundo,determinado por los rumbos del universo, tambien se encuentra en el periodomexica. [Fig. 2] En la primera lamina del Codice Mendocino, que trata sobre lafundacion de Tenochtitlan, se observa la expresion grafica de la misma organiza-cion territorial propuesta para el imperio tolteca. Aquı el asentamiento aparececruzado por dos diagonales, dando lugar a cuatro cuarteles; en cada uno de ellosestan los representantes de los calpullis fundadores y al centro un aguila sobreun nopal devorando una serpiente5. La lamina 1 del codice Feyervaaaary-Mayer,

5 En su estudio sobre el Codice Mendoza, Boone (1997, p. 413) senala que la escena defundacion se presenta como el hecho mas relevante, ya que el pintor lo remarco al anotar la cuentadel ano alrededor de la escena, acomodando el tiempo a las necesidades pictoricas del evento de



tambien representa el concepto de las cuatro direcciones del mundo y de la mo-rada de los dioses. En este caso es importante recalcar que el arbol cosmico delnorte es un mezquite coronado por un aguila.

Figura 2: Lamina 1 del Codice Mendocino

Este orden territorial especıfico, que esta relacionado con la cosmovision me-soamericana, fue interpretado por cada grupo conforme a su tiempo y region;

fundacion. La practica usual consistıa en dibujar los eventos alrededor de la lınea del tiempo.Por su parte Lombardo de Ruiz (1972) senalo que cuando empezo a crecer Mexico/Tenochtitlansu dios les ordeno dividirse en cuatro barrios principales tomando como centro un adoratorio.

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de ahı las diferencias en la disposicion arquitectonica en los elementos descritos.Antes de seguir adelante es necesario considerar que, aunque bajo este sustratomıtico se ordenaban los asentamientos regionales, tambien es cierto que a su vezrespondıan a los requerimientos de la organizacion del trabajo y, en las estruc-turas expansionistas, al tributo. Cierto, el arreglo territorial sacralizado que seobserva en diversos momentos y espacios emana, tambien, de la apropiacion deltrabajo organizado y de la recaudacion a favor tanto de los poderes centralescomo de los menores locales.

Las regularidades territoriales, tanto a nivel macro como micro, nos llevarona buscar la historia del proceso que permitio la conformacion de esa estructuraespacial. Todavıa falta mucho para acercarnos con seguridad a estas pesquisas; porahora quisieramos hacer algunas incursiones sobre el caso concreto del Clasico.

Una dimension fractal en Teotihuacan

La tradicion epistemologica de los mesoamericanistas ha construido en la ima-ginerıa academica, la ciudad de Teotihuacan como un espacio dividido por dosejes en cruz ‘+’: uno norte sur, con una desviacion de apenas 17; y otro, conuna orientacion franca este oeste. Estas lıneas dividen el espacio en cuadrantes.Frente al predominio de esta construccion visual, se puede afirmar, asimismo,que la representacion en forma de ‘X’ no es extrana a la ciudad de Teotihuacanya que se encuentra en la singular estructura frente a la piramide de la Luna6.La presencia de este sımbolo tridimensional, mas otros elementos iconograficos,abre la puerta para vislumbrar las posibilidades de que existan, como en epocasposteriores, las mismas regularidades en las diferentes escalas territoriales.

Usualmente, para conocer esos patrones de ordenamiento, los investigadores sehan apoyado en la geometrıa euclidiana, basada en procesos lineales. La aplicacionde esos modelos se debe a que son accesibles pues se resumen en una relaciongeometrica simple entre dos puntos, y el espacio con un ordenamiento cultural, no

6La estructura fue excavada por Ponciano Salazar Ortegon en el proyecto Teotihuacan 1962-64, y la llamo la estructura A de la zona 1. La describio como una gran estancia con una solaentrada hacia el poniente. Es una estructura casi cuadrada pues sus medidas son 19.70m por19.45m; sus muros externos guardan la forma de talud tablero, mientras que su cara internaes totalmente vertical. Otto Schondube, en 1975, hizo una analogıa entre la construccion y laprimer lamina del codice Feyervary-Mayer.



Figura 3: Estructura A comparada con la lamina 1 de Codice Feyervary-Mayer

se considera como una variable activa. En arqueologıa existen cientos de ejemplosde fenomenos no lineales, -uno de ellos es la estructura del territorio descritaarriba-, que por su complejidad han sido dejados de lado o bien simplificados,sin poderse dar cuenta cabal de ellos. En cambio, la geometrıa fractal consideraque muchos elementos que fueron descritos como muy complejos, en realidad sepueden explicar por algoritmos que describen algunos principios, no forzosamentelineales. A este tipo de formas geometricas que, entre otras propiedades, contienenuna imagen de sı mismas en cada una de sus partes, es a lo que se le llama fractales.

El concepto de autosimilitud de la geometrıa de los fractales, segun nuestrapropuesta, ayuda no solo a descubrir sino a explicar las regularidades de los diver-sos niveles de la estructura territorial. La autosimilitud, en el sentido matematico,significa que el objeto esta compuesto por pequenas copias de sı mismo y cadauna de ellas esta compuesta, a su vez, por copias mas pequenas de la misma formay ası, sucesivamente. En la teorıa de los fractales, la relacion entre las copias dediferentes tamanos se debe describir por las leyes matematicas. El grado de suirregularidad y/o de su fragmentacion es identico en todas las escalas. Si estosparametros son iguales en todas las direcciones, el fractal se llama autosimilar. El

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concepto de autosimilaridad reconoce que una pequena parte de una forma imitalas caracterısticas del todo. Para explicar mejor estas afirmaciones, a continuacionpresentamos algunos elementos matematicos.

En la vida cotidiana manejamos dimensiones enteras, normalmente hablamosde tres. Tambien usamos dimension uno y dos, (mucho por influencia de los grie-gos), y en fısica se habla de dimension cuatro (tres dimensiones que se muevenen la dimension tiempo). Pero tambien existen las dimensiones no enteras, quedescriben de mejor forma la naturaleza, sobre todo los fenomenos sociales. Unamanera de introducir las dimensiones fraccionarias es el concepto de dimensionfractal D, donde cada una de estas dimensiones se puede calcular matematica-mente:

D = log(n)/ log(1/r).

Muchas aplicaciones de modelos fractales dependen de la habilidad para ob-tener la dimension fractal a partir de las imagenes (Mandelbrot, 1983). Ası, losfractales nos alejan de la precision milimetrica y nos llevan al mundo de lo plau-sible como propuso Gardin, alla por los anos ochenta (Gardin 1979).

Para describir la dimension fractal se utiliza la funcion logaritmo natural.log(x) es el area abajo de la grafica de la funcion 1/x que tiene como base elintervalo [1, x]. La propiedad fundamental del logaritmo para aplicarlo en la defi-nicion de dimension fractal es: log(xn) = n log(x). Una figura n-dimensional estacompuesta por mn copias de tamano 1/m. Si escogemos como tamano relativo1/3, entonces la lınea esta compuesta por 31 copias de tamano 1/3, el cuadra-do estara compuesto por 32 =9 copias de tamano 1/3, y el cubo por 33 = 27copias de tamano 1/3. Ahora, para recuperar la dimension 1, 2 y 3 de la lınea,cuadrado y cubo, usaremos la propiedad del logaritmo en estos numeros y nosqueda: 1 = log 3/ log 3, 2 = log 9/ log 3 y 3 = log 27/ log 3. Y con esta idea esta-mos en posibilidades de calcular la dimension de la curva de Koch, que es 1.26 ydel conjunto de Cantor que es 0.69. En la curva de Koch, tomamos el intervalo[0, 1] y luego colocamos 4 partes que midan 1/3 cada una de ellas, de maneraque las dos de en medio se eleven a formar una ‘v’ invertida, y luego, en cadauno de los cuatro intervalos que miden 1/3, repetimos el proceso al tomar 16intervalos de longitud 1/9 y colocarlos de manera que se formen 4 v invertidassobre cada intervalo. Si continuamos este proceso hasta el final, la dimensiones log 4/ log 3 = 1.26. Ahora describiremos el conjunto de Cantor. Tomemos elintervalo [0, 1] y quitemos de en medio el intervalo [1/3, 2/3]. Al conjunto que



nos queda le repetimos el proceso, es decir, quitamos el tercio medio de los dosintervalos restantes y con ello obtenemos 4 intervalos, a cada uno de los cualesle quitaremos el tercio medio para obtener 8 intervalos y ası sucesivamente. Elconjunto que resulta al final tiene dimension log 2/ log 3 = .63.

Figura 4: Dimension Fractal y sus logaritmos

Al buscar si en los restos materiales de Teotihuacan existıa este fenomeno deautosimilitud, primero se vio si efectivamente existıa una dimension fractal enTeotihuacan.7 Para buscarla se utilizaron imagenes de radar y satelitales. La pri-mera fue obtenida por la estacion Norman de ESA, del 28 de diciembre de 1995.

7 Para una descripcion mas detallada de cada paso vease Oleschko et al. 2000. De manerageneral se puede decir que la dimensionalidad de los fractales autosimilares se estima por latecnica tradicional de cuenta de caja (box counting), llenando el conjunto con cajas mas pequenasde manera progresiva. La dimension de caja es un caso particular de la dimension de Hausdorff-Besicovich. Existen otras dimensiones como la similar, la de Kolomogorov, la entropica, la decapacidad, etcetera (Falconer, 1990). La masa de la dimension fractal parece ser especialmente

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La imagen corresponde a la orbita 23 289, con las coordenadas en cada esquinade 19 11’ – 98 27’; 20 04’ – 99 15’; 19 53’- 98 20’; 19 00’ – 98 32’. La trayectoriadel satelite se acercaba a la direccion norte sur sobre la zona de Teotihuacan y eraperpendicular a la orientacion de las calles y edificios (este/oeste). De este modose aseguro una calidad optima de la imagen de radar de los monumentos, debidaa una maxima reflexion. El analisis fractal se llevo acabo en el Gran Complejo,la Ciudadela, la Calle de los Muertos y la Piramide del Sol sobre las imagenesdirectas y sobre las filtradas por SAR. La version adaptada del filtro HK fue laque se utilizo en esta ocasion. Con respecto a las fotografıas, se utilizaron lascapturadas en 1962 con dos resoluciones distintas, correspondientes a las escalasde 1: 30 000 y 1: 5000. Dichas imagenes incluıan la ciudad de Teotihuacan, losedificios modernos, los campos de agricultura y los caminos; fueron digitalizadasmediante el uso de un escaner comercial con una resolucion de 600dpi (hp ScanJet 4c). Cada forma extraıda fue convertida usando mil por mil pixeles. Obvia-mente, el uso de imagenes de multiples escalas fue fundamental para precisar ladimension fractal, ya que solo cuando la autosimilaridad del conjunto estudiadoes estadısticamente documentada a diferentes escalas, y cuando se muestra queel cambio de escala no afecta el valor de la dimension fractal, es posible usar lasimagenes con una o dos resoluciones para futuras medidas fractales del mismoconjunto.

El programa Fractal, disenado por Parrot y Rico y su lenguaje de uso Bor-land C ++ se aplico para el analisis bidimensional de las imagenes con escala degrises, a traves de la tradicional tecnica de cajas de conteo. La dimension fractalde las estructuras teotihuacanas de interes, fue estimada convirtiendo el conjuntode objetos con cajas de tamanos progresivamente mas grandes.8 La dimensionfractal de la masa (Dm) fue sorprendentemente igual a la dimension de cadaunidad analizada. Para todos los monumentos Dm estuvo cerca a 1.89 con unrango de varianza entre 0.003 y 0.016. El analisis fractal de la misma estructu-

util para describir los planos de las ciudades, y en general los disenos urbanos, porque estima laeficiencia de la ocupacion espacial. Algunos otros parametros fractales, por ejemplo la dimensionde espectro (o fracton) son utiles como indicadores cuantitativos de la conectividad entre todaslas construcciones, o la sinuosidad de un camino tortuoso.

8 El tamano de la caja es igual a pixeles, donde es la resolucion del metodo aplicado. Paralas imagenes regulares de tamano, el rango es de 1 hasta el maximo tamano de pixel de 1000.De ahı que 16 cajas diferentes fueron usadas para la estimacion de dimension, con tres diferentesresoluciones. Esta caja asegura 16 puntos en cada plot experimental, suficiente para el ajusteestadıstico a la expectativa teorica de lınea recta.



ra se repitio usando la fotografıa aerea de diferentes resoluciones y con variasorientaciones, y se volvio a observar una tendencia y valor constante a la masade la dimension fractal en la piramide de la Luna, la Avenida de los Muertosy la piramide de Quetzalcoatl. Los resultados fueron independientes del tipo deimagen, resolucion y orientacion.

Este valor corresponde a uno de los fractales mas caracterısticos, el de Sier-pinski. Mandelbrot afirmo que la dimension de esa carpeta (1.8928) expresa elgrado de fragmentacion de la tierra en islas, mas que el grado de la irregularidadde la lınea costera. El valor de 1.89 se repite y se sigue repitiendo en muchasimagenes de Teotihuacan. Es importante remarcar que, aunque no se ve a sim-ple vista, este valor sı empieza a dar luz sobre el patron geometrico, en sentidoamplio.

Para avanzar en este camino se corrieron los programas de fractales sobrealgunas representaciones en la pintura mural de elementos arquitectonicos conrepresentaciones de talud/tablero. Hasta ahora los resultados no son tan certerosya que en unas imagenes sı se repite la dimension fractal de 1.89 y en otrosesta cercana pero no es igual. Por lo anterior, se estima que es probable queaparezcan otras dimensiones fractales en los productos teotihuacanos. Con lacombinacion de ellas se dara un mejor entendimiento del patron geometrico atraves del cual veremos aspectos culturales que no se habıan podido clarificardesde una ‘cultura euclidiana’.

Una vez que el concepto de autosimilitud se acepto como plausible, fue posi-ble formular analogıas a fin de entender como se estructura el territorio en unapoblacion subordinada, como puede ser la otomı en una region fronteriza comoel Centro Norte.

Retomemos, por un momento, la organizacion territorial del postclasico tem-prano. La estructura del imperio tolteca, en la version de Kirchhoff, tiene dos desus cabeceras capitales en el Centro Norte. Una hacia el cerro Culiacan y la otrahacia la cuenca del rıo Laja. Los estudiosos de esa region de Mesoamerica (Flo-res y Crespo 1988) han reportado ceramica, lıtica y otros bienes muebles, juntocon arquitectura y organizacion de los espacios, semejantes a los de la ciudad deTula. Estos datos han sido interpretados como evidencias de la conformacion decorredores economicos, culturales, poblacionales, etcetera; rutas que serıan par-te de un sistema de comunicacion hacia el norte y el poniente. Aunque la redde caminos constituye un elemento importante en la organizacion del territorio,

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el enfoque es parcial, pues no da cuenta de su funcion dentro de la estructuraimperial, y mas aun, conserva una mirada desde arriba, que no permite ver lasdinamicas locales. Para ir un poco mas alla consideramos la posibilidad de que elproceso territorial de Teotihuacan pudo haber seguido una forma semejante a lapropuesta cuatripartita de Kirchhoff, donde no serıa extrano que la direccion delas diagonales tuviera alguna relacion con el movimiento del orto solar. Llama laatencion, en primer lugar, la ubicacion de Tepeapulco9 hacia el norte y de Azca-potzalco en el sur poniente, si Teotihuacan esta en el centro. Al enfocar la antiguacapital tepaneca bajamos de nivel en la composicion territorial, pero al conservarla forma de quincuncen, encontramos que sitios de filiacion teotihuacana comoEl Rosario y La Negreta, en Queretaro, se encuentran dentro de esta estructu-ra. Ambos sitios son trabajados actualmente bajo la coordinacion del arqueologoJuan Carlos Saint-Charles.

Figura 5: Maqueta de Plazuelas (Cortesıa del arqueologo Carlos Castaneda)

9 En la discusion de la IV Mesa Redonda de Teotihuacan el profesor Eduardo Matos llamo laatencion sobre la importancia de este sitio en la estructura territorial de Teotihuacan.



Con los resultados obtenidos hasta ahora, se puede decir que el algoritmo delos fractales corrobora una estructura de autosimilitud presente en Teotihuacan;que fue construida de acuerdo a un plan con multiples escalas en el que cada cons-truccion tiende a repetir la estructura general del conjunto, como lo habıamosderivado de la propuesta de Paul Kirchhoff y de Carrasco, para epocas posteriores.Con base en la dimension fractal establecida para las estructuras mayores de Teo-tihuacan ahora podemos concebir de otra forma las relaciones socio/territoriales.

Propuesta final

Al principio de este trabajo se menciono que el estudio de la region CentroNorte de Mesoamerica, ocupada en el siglo XVI por otomıes, desde el enfoque dela territorialidad, llevo a revisar los prejuicios propios de la disciplina ası comoel registro arqueologico desde la version de los grupos locales. En ese proceso seevaluo la posibilidad de transformar la informacion de la Geometrıa Fractal en unindicio, en terminos de Ginsburg, para que sea util a la arqueologıa. En los anosochenta del siglo XX, dentro de la historiografıa italiana, surgio el paradigmaindicial que se alejo de las corrientes tradicionales que buscaban las pruebas irre-futables que dejan tras de sı los acontecimientos reputados de grandes y decisivos.El sistema indicial trabajo a partir de la ausencia de ese tipo de pruebas, por loque se tuvo que inventar o encontrar una manera de sacar a la luz aquello que noes legible, que no esta allı, que fue borrado y que no consta como determinantepara la historia. Un indicio no es un dato, documento o prueba insuficiente; no esun indicador arqueologico a partir del cual se es capaz de reconstruir una vasija,un periodo o un modo de vida, no es un documento fragmentario de una realidad.

El caracter de indicio no le viene al documento de su precariedad, o de sufragmentariedad, de una insuficiencia cuantitativa suya, que le impida cumplircon el ideal de ser una prueba plena. [. . . ] No es ası la fragmentariedad o lainsuficiencia de un dato lo que hace de el un indicio, sino la funcion sustantivao de reemplazo que debe cumplir. El indicio es un dato que esta allı en lugarde la prueba existente. A partir de un indicio no se reconstruye un hecho, comoen la paleontologıa, sino que se lo supone. El indicio invita a la interpretaciony, antes que nada, a la interpretacion de la circunstancia que hace que el debaestar ahı, en lugar o mas alla del dato pertinente, supliendo la ausencia, o inclusola presencia del mismo. El indicio incita a buscar algo que por alguna razon no

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ha dejado restos suyos, sino solo huellas indirectas, algo que por alguna razonestuvo impedido de manifestarse, algo que tuvo prohibido mostrarse, algo queera necesario ocultar” (Echeverrıa, 2003, p 31-32).

Ginzburg (1999), descubre intenciones entre esos mismos datos de lo real, alos que otorga por ello el caracter de indicios, para descubrir los rastros de hechosno experimentados directamente por el observador.

En la misma epoca Jean Claude Gardin, en Francia, propuso que la arqueo-logıa debıa ser vista como un saber conjetural (Gardin 1979). El planteamientointentaba poner distancia con los conflictos entre el dato empırico y su interpre-tacion, y abrir nuevos caminos a las reflexiones sobre como pensar el pasado.

Mas de un cuarto de siglo ha pasado desde que se inicio la busqueda conceptualque permitiera ver lo invisible de las epocas antiguas, con resultados muy variados.Los conceptos de autosimilitud y de dimension fractal pueden ayudar a recorreresos caminos.

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Lista de Figuras

Figura 1. La estructura del imperio tolteca (Kirchhoff 1989)

Figura 2. Lamina 1 del Codice Mendocino

Figura 3. Estructura A comparada con la lamina 1 de Codice Feyervary-Mayer

Figura 4. Dimension Fractal y sus logaritmos

Figura 5. Maqueta de Plazuelas (Cortesıa del arqueologo Carlos Castaneda).

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El Altepetl. En Busca de Una Definicion

Blanca Vilchis Flores1

Las ciudades de Mesoamerica, como las de otras partes del mundo,se edificaron en un espacio real y un tiempo historico, pero se ges-taron tambien en la geografıa interior de sus habitantes y en unaatemporalidad con valor mıtico.

–Patrick Johansson–

Mesoamerica se caracteriza por ser un espacio con un desarrollo cultural par-ticular, por tanto no caben las comparaciones entre el proceso de formacion yconsolidacion de las culturas que habitaron en ella con las culturas que habitarony se desarrollaron en Asia o en Europa. Por lo anterior, para describir y enten-der el mundo mesoamericano debemos hacerlo a partir de la forma en que loshombres mesoamericanos concibieron la vida, el espacio y el tiempo, a partir delentendimiento de su religion y organizacion social, a partir de su lenguaje, y dela forma de transmitirlo graficamente.

Durante decadas, los investigadores han descrito la organizacion socio-polıticade los pueblos mesoamericanos empleando terminos exportados de otras culturasque mas alla de aclarar confunden, pues las interpretaciones que de ellos surgenson visiones fragmentadas. Por ello, es importante reconocer que cada “division”territorial tiene una realidad y un contexto que corresponde a una particular“organizacion” humana del mundo y de las cosas del mundo.

1Escuela Nacional de Antropologıa e Historia.

115

116 Blanca Vilchis Flores

Evidentemente no es facil entender como organizo su universo (espacio- tem-poral) un pueblo que vivio hace, por lo menos, seis siglos (si nos ubicamos en elmomento del contacto espanol) debido a que enfrentamos tres obstaculos princi-pales para acercarnos a nuestro objeto de estudio: el lenguaje, la ideologıa y lasfuentes susceptibles de ser consultadas. Sin embargo, debemos tratar de empleary conservar los vocablos originales nahuas (para el caso de la cuenca central) con-siderando, hasta donde nos sea posible, su significado ideologico particular sinolvidar las diferencias y similitudes de fondo y aun de matiz.

Ası, los arqueologos que estudian la organizacion polıtica, social, religiosa,economica y territorial de Mesoamerica podran encontrar grandes ventajas en elempleo del termino altepetl en sustitucion de otros como Estado-Nacion, Reinoo Imperio. Lamentablemente, las traducciones literales no son una constante ya pesar del incremento en el uso de dicho vocablo nahua aun no se tiene unadefinicion funcional del termino para nuestra disciplina.

Este trabajo parte de la necesidad de resenar algunas definiciones de altepetlprovenientes de la etnohistoria, que lo mismo hacen referencia a un territorio, quea los habitantes de un pueblo; ası como de la necesidad de comprender su estruc-tura y su proyeccion en diferentes niveles. Lo anterior debido a que el termino hasido utilizado recurrentemente durante los ultimos anos pero sin una definicionclara. Finalmente, se presentara una propuesta de como entender y caracterizarun altepetl cuando estudiamos, desde la arqueologıa, la organizacion de los pue-blos que habitaron Mesoamerica en el momento de la llegada de los espanoles alcontinente americano.

Yn nican altepetl Mexico-Tenochtitlan

Lo que se ha dicho del altepetl

El primer autor a quien debemos remitirnos, para abordar el tema, es frayAlonso de Molina quien define con solo dos palabras un concepto que englobatoda la cosmovision centenaria de un pueblo, pensamiento a partir del cual seconcibe y estructura el espacio que habita. Sin dejar de considerar la obra deMolina como trascendente, es necesario reconocer que no comprendio el terminoen toda su extension, por lo que define altepetl tan solo como sinonimo de pueblo


El Altepetl. En Busca de Una Definicion 117

o del vocablo rey2; sin embargo, nos ha dejado el significado de otras palabrascuya raız esta relacionada con el concepto y que nos pueden dar luz sobre laamplitud de su significado.

El segundo autor que analizaremos es James Lockhart para quien el altepetl esun estado etnico, una organizacion de personas con el dominio de un determinadoterritorio, caracterıstico de los pueblos indıgenas del Mexico Central y que serefiere, en primer lugar, al territorio (Lockhart, 1999: 27 y ss). Para este autorel termino no tiene plural en nahuatl. Por su parte, Sahagun traduce altepeuhcomo pueblos (Sahagun, 1979: Libro duodecimo fojas 87 y 492) y otros autores lohan pluralizado como altepeme, termino que se empleara a lo largo del presentetrabajo. Lockhart expresa la existencia de “conglomerados” de altepeme a los quetambien les llama indistintamente altepetl3. Ademas, menciona que no estabanlimitados a un centro y que se constituıan por una serie de entidades relativamenteautonomas –no necesariamente evidentes– con disposicion similar a la entidadmayor y con una relacion identica con respecto al punto de referencia comun4,dando como resultado unidades complejas, cohesivas y perdurables; lo cual nosignifica que cada una de estas unidades no tuviera una dinamica interna propiaa partir de la cual tambien se modificaban, reubicaban o “destruıan” como severa mas adelante.

Siguiendo a Lockhart, un altepetl no se limitaba a un “centro” pero, por otrolado, Johansson asume que en tanto el Coatepetl o montana sagrada dentro dela cosmogonıa nahua es templo y axis mundi dado que en ella se ve el reflejo (oel espejismo) de lo que sera Tenochtitlan al tiempo que es una imagen del origenmıtico conocido como Aztlan/Colhuacan (Johansson, 2004: 44-45), entonces se

2 La palabra “rey” tampoco es adecuada para denominar al gobernante de un altepetl,Molina incluye en su vocabulario el termino tlatoani como hablador (el que habla) o gran senor(en plural tlatoque).

3 Lockhart dice que no hay diferencias claras para denominar los diferentes niveles de unaltepetl pero otros autores si hacen mencion de tales diferencias. Es probable que los autoresindıgenas del siglo XVI-XVII no consideraron necesario hacer tales aclaraciones por ser “obvias”para los miembros del grupo nahua en su momento. Por otro lado, autores como Chimalpahinintentaron hacer analogıas con terminos occidentales quiza con el fin de que los espanoles de suepoca los entendieran; sin embargo, con el paso de los anos ello ha dado lugar a una perdida enel nivel de comprension de dichos documentos.

4 A este modo de organizacion Lockhart lo llama “celular o modular” en oposicion al mo-do jerarquico, pero, para efectos de este trabajo, lo llamaremos “organizacion de tipo fractal”,entendiendo por fractal todo objeto que presente la misma estructura al cambiarsele indefinida-mente la escala de observacion.

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puede considerar que cada altepetl tuvo un “centro” en el mismo sentido, pues elcentro del mundo esta allı donde el mundo es pensado.

Para Pedro Carrasco la entidad polıtica mas importante de Mesoamerica a lallegada de los espanoles era lo que Chimalpahin llamo excan tlatoloyan o excantlahtolloc (Carrasco, 1996: 31) y que hoy conocemos como “Triple Alianza”5.Contrario a lo que dice Carrasco, el presente trabajo propone que el altepetlfue, no solo la base, sino la entidad polıtica mas importante dado que otorgo aMesoamerica una estructura solida, tanto en el espacio como en el tiempo durantemas de ocho siglos –y quiza desde antes–. Por ello, a partir de su comprensionse entendera mejor lo que significo la Triple Alianza, en su momento, como unaproyeccion del altepetl pero a una escala o nivel superior.

Los registros que se tienen hoy sobre el huey altepetl Tenochtitlan-Tetzcoco-Tlacopan nos ayudan a profundizar tanto en la sociedad como en la culturaprehispanicas. Carrasco afirma que el altepetl fue la entidad polıtico-territorialbasica equivalente a “pueblo”, a la cual se le antepone el afijo huey “grande” paraindicar una escala mayor (Ver Cuadro 1, nivel 3 en adelante); entonces, el puebloo altepetl toma el significado occidental de “ciudad” hueyaltepetl, pero a pesarde este senalamiento el por que de dicha transformacion no queda muy claro. Lareferencia a la palabra altepetl incluye tanto el centro urbano o cıvico como elterritorio entero de la ciudad y de la zona rural. En su estudio, el autor empleatres palabras para definirlo en tres diferentes niveles: barrio, pueblo y ciudad; enun cuarto nivel coloca al altepetl como senorıo, reino o imperio y define estancia,sujeto, parcialidad o cabecera, y provincia, como palabras relacionadas (Carrasco,1996: 27-33).

De acuerdo con Susan Schroeder, para Chimalpahin el altepetl es una entidadsociopolıtica soberana que ella nombra como “distrito polıtico regional” y a suvez como parte de una “gran unidad polıtica” o “confederacion” a nivel de area.Sin embargo, ella considera burdo el termino “ciudad-estado” por lo que decideemplear “reino” para definirlo “como un estado soberano que abarca un territorioacotado, normalmente con su propio rey dinastico o tlatoani” (Schroeder, 1994:71 y 81-83). Para ella el termino altepetl empleado por Chimalpahin describe tresdiferentes niveles de organizacion sociopolıtica que incluyen varias subentidades

5 El mismo Carrasco nos advierte que Triple Alianza no es la traduccion de una expresionnahuatl en tanto que excan tlatoloyan literalmente quiere decir “se gobierna en tres partes”, lastres cabezas o lugares de gobierno (op.cit. p. 31).



(como el tlayacatl y el calpullitlaxilacalli) y se usa mas frecuentemente para hacerreferencia a estados o reinos “esparcidos” en el centro de Mexico, ya sean de sutiempo o anteriores. Es importante senalar que Schroeder lo considera medularpara la comprension de la organizacion sociopolıtica del mundo nahua (Schroeder,1994: 183).

En su libro El Altepetl, origen y desarrollo, Cayetano Reyes Garcıa afirma queen 1949 Arturo Monzon fue el primero en senalar la necesidad de entender am-pliamente el significado del altepetl pero sin tratar de resolverlo y lo define comouna institucion sui generis con funciones hegemonicas tanto a nivel local comoregional, constituida por dos sectores a los que nombra tiachcame e ipiljuan, yque cohesiona en tres niveles los intereses colectivos: 1) al interior de una locali-dad o barrio, 2) en el ambito local o pueblo y 3) en lo regional. Estos tres nivelesson denominados indistintamente como altepetl y en su conjunto se denominanaltepeme (organo rector o pueblo dirigente). En general el concepto hace refe-rencia a una estructura sociopolıtica en diversos niveles horizontales, compuestapor una estructura jerarquizada y una superestructura cultural reforzada por lareligion y cosmovision mesoamericana que reflejo, en el altepetl, la idea del origendel universo (Reyes, 2000: 13-15 y 42-44).

Para la comprension del termino, Carrasco considera fundamental el conceptonahua de espacio a partir de las cinco regiones o rumbos en los que se dividıa latierra (el universo) y se da a la tarea de demostrar que la sociedad nahua queconocieron los espanoles no era una sociedad simple sino compleja, basada en unaorganizacion social de identidad etnica (Reyes, 2000: 34-35). Afirma, con base enlas fuentes, que el registro de esta institucion se remonta al siglo XII de nuestraera con el altepetl olmeca y que sigue existiendo en distintas regiones del Mexicoactual (Reyes: 39 y 51). El concepto refleja la idea del origen del universo quetambien estaba representado por las propias piramides que fueron objeto de culto(Reyes, 2000: 44-45).

Estructura del altepetl

De acuerdo con Lockhart los requerimientos mınimos para que existiera unaltepetl eran –en la acepcion nahua de la palabra– un territorio, un conjunto de

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partes menores constitutivas6 o microcosmos (cuyo numero no se dejaba al azar)algunas independientes, otras subordinadas, ası como un gobernante dinastico otlatoani (Lockhart, 1999: 29-32). Tendrıa tambien un templo principal (sımbolo desu soberanıa) y alguna clase de mercado principal7. No deja claro si el territoriodel altepetl era una superficie continua o discontinua y por que, pero define aesta organizacion como flexible, adaptada a las circunstancias particulares y sinestabilidad a largo plazo. Menciona tambien que las entidades menores o calpollirequerıan de un “sistema de rotacion” (Ver Figura 1) que era el hilo vital delaltepetl pues la secuencia –que podıa o no ser cıclica– se repetıa a si mismaindefinidamente pudiendose detener en cualquier punto.

Para Carrasco, un altepetl debıa reunir las tres caracterısticas siguientes:

1) Poblado gobernado por un rey de linaje dentro de la organizacion polıticabajo el cual existıa un grupo de ciudades –independientes e interdependien-tes– gobernadas por reyes propios (Carrasco, 1996: 49). En dichos poblados,la sede del gobierno era el asentamiento con mayor concentracion de habi-tantes. Los gobernantes tenıan cada uno su propia dinastıa.

2) Entreveramiento de territorios, distribucion de tierras entre todas las enti-dades sociopolıticas que lo integraban. La naturaleza de las entidades te-rritoriales estaba ıntimamente ligada a la tenencia de la tierra. El entreve-ramiento de las unidades sociales se acompanaba de la segmentacion de lasentidades polıticas.

3) Carrasco no habla de un “sistema de rotacion” pero si menciona que habıaun “equilibrio cambiante8” que es similar a la definicion de Lockhart (Ca-rrasco, 1996: 43-69).

6 Cada una con su propio dios etnico (y por consiguiente con su propio templo o teocalli),su propio jefe (con su tecpan o palacio), su propio territorio y su propio mercado regional(tianquiztli).

7 Por lo comun los elementos de la trinidad palacio-templo-merado estaban localizados cercaunos de otros formando un “nucleo central” cuyo nombre nunca fue diferente al de todo elaltepetl (Lockhart, 1999: 34-35).

8 Por lo general, cuando hablamos de equilibrio hacemos referencia a un sistema de balanceperfecto que lleva implıcito un sentido de orden y estabilidad. Por ello resulta paradojico hablarde un estado de equilibrio cambiante fuera de las teorıas de la complejidad. Otras palabras re-lacionadas: estabilidad, cambio, adaptacion, irreversibilidad, balance entropico, discontinuidad,estructura disipativa, autoorganizacion y fluctuacion.



En su libro Chimalpahin y los reinos de Chalco, Schroeder establece una Se-cuencia para tareas del tipo rotatorio basadas en el orden cronologico de la fun-dacion de los altepeme y probablemente en relacion con los puntos cardinales, apesar de que Chimalpahin no da ninguna pista de tal orden ni motivo para pen-sar que el altepetl tlayacatl tuviera una rigurosa definicion geografica (Schroeder,1994: 83 y 305).

Susan Schroeder tambien senala que en las historias de Chimalpahin el es-tablecimiento de un altepetl es algo que ocurre cuando un grupo migratorio setransforma en sedentario pero que ya contaba con un tlatoani “todo poderoso” ycon su propio dios. El haber llegado de otro lado como grupo caracterıstico consu dirigencia dinastica propia, era un importante sello para el altepetl. Ademas,la “llegada” los legitimaba a tal grado que el vocablo axiliztli o arribo9 expresaun sentido de “fundacion” segun la autora. El siguiente paso en importancia erala construccion de un templo o teocalli para su deidad y para finalizar el asenta-miento era construir un palacio o tecpan, un mercado o tianquiztli y una prisiono teilpiloyan. Schroeder menciona como el acto mas trascendental que acompanala formacion del altepetl la adquisicion de la tierra y finalmente aclara que enninguna parte Chimalpahin supone que el altepetl sea un centro urbano ni quetodas sus partes tengan que ser continuas (Schroeder, 1994: 186-197). El hechode que un altepetl tuviera un territorio con lımites conocidos no implicaba quedicho territorio fuera continuo ni estatico, pues el tamano de un altepetl podıavariar por diferentes causas.

Para Cayetano Reyes Garcıa, en la cuspide de cada nivel o estrato organicodel altepetl se encontraba un consejo local integrado por los tiachcame y los tlaya-canque, es decir, los principales o hermanos mayores y la gente del templo (Reyes,2000: 43). En general, este autor trata una secuencia evolutiva o de desarrollo delaltepetl Cholula como ejemplo de la caracterizacion de un altepetl nahua. Hacereferencia constante a dicha estructura como una division cuatripartita del espa-cio con base en dos ejes principales (la ruta del Sol y la ubicacion del mictlampan)y los cinco rumbos cardinales (existe un quinto rumbo al centro); hace referenciatambien a una composicion social y jerarquizacion polıtica, economica y culturalde los diferentes grupos etnicos. Menciona recurrentemente la importante presen-cia de un tecpan y de un teocalli, indica la existencia de un centro o area central

9 Axilita presenta tres acepciones en el vocabulario de Molina: 1) suplir o anadir lo que falta,2) acompanar o seguir a otro hasta su posada y 3) hacer que llegue algo a alguna parte.

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para el altepetl (gran centro polıtico del gobierno-toltecayotl) compuesto por elteocalyocan y por el teocalcan, pero tambien senala la existencia de diversos cen-tros ceremoniales ubicados en relacion con las casas de los supremos dirigentes,algunos de los cuales eran centros ceremoniales y habitacionales al mismo tiempo(Reyes, 2000: 90 y 94-98).

Caracterizacion del altepetl

La mayorıa de los autores que han escrito sobre el altepetl como la unidadpolıtico-territorial hegemonica entre los nahuas, se han preocupado por entenderel termino original a traves del estudio de las fuentes, pero con el fin de re-definirlo a partir de terminos occidentales tales como imperio, cabecera o pueblo.Sin embargo, la apuesta debe ser por entender y retomar el vocablo original ensu propio contexto y, con base en el, realizar las nuevas interpretaciones parala arqueologıa mesoamericana precolombina10, donde palabras como “pueblo”,“ciudad” o “estado” no son sinonimos ni equivalentes de la palabra altepetl al nocubrir con las caracterısticas basicas mencionadas en las fuentes. Otros vocabloscomo “reino”, si bien incluyen una lınea de dirigentes con linaje, tampoco sonpalabras funcionales cercanas a la realidad nahua.

Como se ha visto, el concepto altepetl no coincide con conceptos como estadoconfederado, imperio o reino, pues se reconoce como una estructura dinamica yflexible que se reproduce a diferentes niveles y es susceptible de ser reubicada,destruida o modificada ası como de presentar todas o algunas de las siguientescaracterısticas que se enlistan a partir de un orden relativo de importancia:

1. Se reconoce o asume un origen mıtico del grupo en Aztlan-Chicomoztoc(que a su vez tambien es considerado altepetl).

2. El grupo es heredero de una tradicion migratoria y su tlatoani es descen-diente de una lınea de dirigentes con linaje.

3. Existe un mito de fundacion del altepetl que pone fin a la migracion.

10 Si ademas aceptamos que el altepetl es comun a toda Mesoamerica, dejarıa de “sorpren-der” que los grupos “dominantes” de un determinado territorio no destruyeran la estructurasociopolıtica de los grupos “dominados”.



4. El gobierno hegemonico esta integrado por uno o dos tlatoque vinculadoscon la divinidad principal del grupo.

5. Territorio-Espacio11 sin un “centro urbano”, con fronteras difusas (sus par-tes no son contiguas) y cuyo tamano no es estatico a traves del tiempo.

6. Division-distribucion cuatripartita del espacio ası como el establecimientode un conjunto de cuatro construcciones: palacio-templo-mercado-carcel12

que pueden o no estar cercana una de la otra.

7. Su estructura es fractal al cambiar de escala o nivel, pues se compone de en-tidades menores –no necesariamente evidentes– autonomas o subordinadas,con disposicion similar13 a la entidad mayor, y con una relacion identicacon respecto al punto de referencia comun, dando como resultado unidadescomplejas, cohesivas y perdurables.

8. En su interior contiene un “sistema de rotacion”14 no lineal que a su vezcondiciona el que sea impredecible la evolucion del altepetl. Lo anterioren el sentido de que no se puede saber cual de sus entidades menores (oniveles de organizacion, que son por lo menos cuatro) tendra un desarrollomayor comparada con el resto, ni el momento en el que se presentara o seperdera esta supremacıa. Ademas, unidades externas pueden ser anadidaspara modificar la evolucion interna de la misma sin que se altere la entidadbasica en sı.

9. Finalmente, todo altepetl y cada uno de sus niveles o unidades constitutivastrataran de mantener un equilibrio cosmico y una simetrıa interna en elmismo sentido (axis mundi) (Lopez Aguilar, 2006).

11 Podrıamos proponer ademas el tiempo cıclico como una cuarta dimension dado que, segunlas fuentes, el grupo sale de un altepetl, realiza su migracion y finalmente funda otro altepetl en“el mismo lugar” de su partida (Duverger, 2006).

12 La palabra palacio presenta una problematica similar a la definicion del termino altepetl, setrata de un vocablo exportado que no corresponde con la realidad mesoamericana; sin embargo,tanto Schroeder como otros autores dan indicios sobre la forma a partir de la cual se puederedefinir desde la arqueologıa utilizando la palabra nahua techan, lo cual no es objeto de esteestudio.

13Una de las caracterısticas de un fractal es que conserva la misma forma si se le ve en distintasescalas. A esta caracterıstica se le llama autosimilitud (Braun, 1996: 34).

14Ver Figuras 1a y 1b.

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Las diferentes obras que se han analizado coinciden en definir un altepetl apartir de las cuatro primeras caracterısticas de la lista anterior ası como en laexistencia de una secuencia de rotacion, pero no en cuanto a la continuidad odiscontinuidad del territorio. Consideramos que se ha entendido cada parte comoaislada y no como un todo integral. Asimismo, algunos autores definen el altepetlcomo entidad polıtico-territorial, y otros como unidad sociopolıtica, pero estosterminos no reflejan el aspecto simbolico del altepetl.

Tanto Susan Schroeder, como Cayetano Reyes, dejan ver en su redaccion laexistencia de una prolongada continuidad, ya sea a partir de “antiguas teocraciasperpetuadas por practicas de sucesion dinastica” que evolucionaron como senalala primera, o a partir de la misma estructura que se fue adaptando desde la epo-ca olmeca como senala el segundo. Para nosotros, el altepetl es una estructuraque nace y evoluciona con Mesoamerica pero que tiene antecedentes en los siglosprevios, lo cual da lugar a la generacion de mitos. Sin embargo, nuestro obje-tivo ahora es definirlo y dejaremos la demostracion de su antiguedad para unasiguiente investigacion.

Idealmente, un altepetl serıa tal si y solo si presenta las nueve caracterısticasarriba propuestas; sin embargo, en el analisis que Schroeder realiza sobre losdocumentos de Chimalpahin menciona algunos ejemplos para aclarar el hechode que un altepetl no siempre implico el haberse formado del modo “usual”. Sibien era necesario fundarlo con una lınea de mando bien consolidada, tambienpodıa surgir cuando una nueva lınea de mandatarios se ganaba el reconocimientodebido a una serie de acciones sobresalientes (Schroeder, 1994: 190-191). En esesentido, la evolucion del altepetl es no lineal e impredecible -sin dejar de cubrirla caracterıstica 3 de la fundacion, que a su vez se relaciona con la caracterıstica5-, dado que un grupo itinerante o que migra no podıa considerarse altepetlhasta que no se fundaba en un territorio particular (adquirido por conquista, pornegociacion, por matrimonio o por cualquier otro medio). Cabe mencionar quelas fuentes senalan, recurrentemente, la construccion de un templo al momentode la fundacion (Caracterıstica numero 6) a partir del cual se estructura y dasentido al espacio (Duverger, 2006). El tamano del templo no se especifica, perosı se sabe que puede incrementarse a lo largo el tiempo y esto es parte importantede lo que nos interesa como arqueologos. Ademas, el altepetl tenıa una serie deconstrucciones a partir de cualquiera de las combinaciones siguientes: palacio-templo, palacio-templo-mercado o, como ya se ha dicho anteriormente, palacio-templo-mercado-carcel, donde tanto el palacio, como el templo, presentan una



distribucion dual15 que corresponde a la cosmovision de los grupos nahuas.

Schroeder tambien ejemplifica la existencia de altepeme que carecıan de “lle-gada” o axiliztli entendiendo el vocablo con un sentido de fundacion (Schroeder,1994: 189); asimismo, un altepetl podıa dejar de existir cuando su grupo aban-donaba el area o cuando el grupo era abandonado por su tlatoani (Chimalpahin,1998: Tomo I). Por otro lado, si se crea una nueva fundacion en un lugar dife-rente –por ejemplo despues de la migracion del grupo o de la “destruccion” delaltepetl– puede o no seguir considerandose el mismo altepetl y conservar o no sunombre anterior (Schroeder, 1994: 196-197).

Por todo lo anterior, podemos considerar a modo de “condicion sinecuanon”para la caracterizacion de un altepetl la presencia de un gobernante, cabeza odirigente (tlaloque, tlatoani, teuctli) ası como la existencia de un espacio (territo-rio) bajo su mando (en el cual se lleva a cabo la fundacion) con una distribucioncuatripartita y una construccion central. El tlatoani gobernaba de por vida y unapersona podıa suceder al jefe en un tlayacatl distinto a aquel en el que habıa na-cido (Lockhart: 37-38) siempre y cuando descendiera de un linaje de gobernantes(por cualquier lınea) lo cual tambien nos obligara a reflexionar, en un futuro,sobre los mecanismos de “sucesion”, de “eleccion” y de “fundacion”.

Siguiendo con la caracterizacion del altepetl es importante mencionar que enlas fuentes encontramos dos palabras equivalentes: tlatocaaltepetl y tlahtocayotl.La primera se emplea con menor frecuencia y, segun Carrasco, quiza se trata deuna expresion colonial con un sentido de “pueblo que gobierna”, “pueblo con rey”o ciudad.

Tlahtocayotl

Molina lo define como senorıo, reino o principado y esta acepcion es retoma-da por Lockhart quien ademas senala que “el tlatoani era el punto de referenciaprimario de todos los calpolli y personificacion del altepetl [. . . ] que existıa soloahı donde habıa un tlatoani” (Lockhart, 1999: 33-34) lo cual refuerza nuestra pro-puesta sobre la inminente necesidad de que todo altepetl debe tener una cabeza,un gobernante personificado por el tlatoani.

15 Tambien se podıa tener una sola edificacion dentro de la cual se llevaban a cabo tanto lafuncion de tecpan como de teocalli.

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Schroeder da al termino Tlahtocayotl la acepcion de mando (Schroeder, 1994:180, 191 y 200); sin embargo, varias veces hace referencia al termino Chalcocayotl“entidad colectiva de los chalca” para referirse, ya sea al “Estado” de Chalco,o bien a la “cabecera” original del altepetl de Chalco16. Desde esta perspectiva,tlahtocayotl y altepetl podrıan ser sinonimos, pero unicamente cuando se habla delos niveles 1 al 417 dentro de la estructura de altepetl que proponemos (ConsultarCuadro 1).

Carrasco define tlatocaaltepetl como “ciudad gobernante” y tlahtocayotl como“la dignidad y el dominio de un tlatoani”18 y lo equipara al vocablo nahua tzon-tecomatl “cabeza” tanto como al concepto moderno de Estado. Asimismo, senalaque “Molina no traduce ‘emperador’ sino que usa la misma palabra castella-na y el vocablo ‘imperio’ lo define como ‘Emperador ytlatocayo’, en tanto queChimalpahin traduce imperio y emperador como huey tlahtocayotl y huey tlah-tohuani” (Carrasco, 1996: 28 y 30). Sin embargo, hoy podemos conceder queMolina no dio una traduccion para la palabra castellana “emperador” porque notenıa una contraparte nahua; si los nahuas del siglo XVI ya la habıan adoptado(ası como despues adoptaron otras palabras) tal vez sea porque a ellos se lesestaba imponiendo una nueva vision del mundo: la occidental.

Por su parte, Cayetano Reyes define al tlatocaltepetl como una variante delaltepetl (al mismo nivel y como sinonimo de ueyaltepetl) que registran los docu-mentos nahuas del siglo XVI. La palabra se compone por los mismos elementosque tlatoani mas “agua-cerro” y es traducida como “altepetl supremo” o de ma-yor jerarquıa polıtica en comparacion con otras subordinadas, aunque mencionatambien que quiza se trata de una expresion colonial (Reyes, 2000: 40). Este autorinterpreta el termino como la forma nahua para dar una mayor jerarquıa polıticaa una poblacion en comparacion con otras que le eran subordinadas.

16 La Historia tolteca-chichimeca se refiere a Cholollan como “cabeza de la toltequidad”(ytzontecon yn toltecayotl) (Carrasco, op.cit. 28).

17 Aunque consideramos que los niveles 1 y 2 tienen nombres particulares.18 Reforzando, de nuevo, la necesaria presencia de un tlatoani con su territorio como condicion

sinecuanon del altepetl.



Los niveles de un altepetl

“La organizacion celular simetrica [del altepetl] se extendıahacia abajo y hacia adentro a toda una serie de subdivisio-nes [. . . ] tambien se extendıa hacia arriba y hacia fuera paraabarcar configuraciones mas grandes y mas complejas”

–James Lockhart–

Schroeder y Johansson Coinciden al decir que el establecimiento de un altepetlparece ser un evento que ocurre cuando un grupo migratorio se transforma ensedentario (Schroeder, 1994: 186; Johansson 2004: 45), por otro lado, es posibleque el origen del altepetl se ubique unos mil anos antes de Cristo y, si bien talconsideracion debe ser atendida con cuidado, cabe mencionar que da sentido alas primeras tres de las nueve caracterısticas que aquı se han propuesto para sudefinicion. Por otro lado, al leer las fuentes nos damos cuenta de que el terminofue empleado en contextos y temporalidades muy variados, que al ser analiza-dos nos llevan a la conclusion de que presenta y representa diferentes niveles decomplejidad.

En el Codice Florentino, Sahagun otorga al termino altepetl significados dife-rentes, dejando ver que hace referencia a organizaciones polıtico-territoriales queno son equivalentes, ni en tamano, ni en importancia. Ası, traduce por un ladoaltepetl xomiltepec como el pueblo de Sumiltepec y por otro lado altepetl mexicocomo ciudad de Mexico (Sahagun, 1979: Libro decimo fo. 145v y libro duodecimofo.1). El mismo Sahagun nos dice que tlachioaltepetl significa “grandes montesedificados a mano”, lo cual es logico a partir de las palabras tlachiualli -hacer ytepetl -cerro, pero, debido a que el nahuatl es una lengua aglutinante, existe laposibilidad de que dicho vocablo tenga su origen en tlachiualli19 y altepetl, locual nos darıa una lectura diferente (Duverger, 2006). Para Cayetano Reyes, eltlachiualtepetl o “cerro artificial” sincretiza el origen del universo y de la vidaen el agua a los montes creadores del agua, que estan relacionados con la pro-duccion agrıcola. Es decir, representa la dicotomıa agua-tierra/Tlatecutli-Tlaloc(Reyes, 2000: 44-47). En general, Sahagun no hace una traduccion sino una in-terpretacion, que a su vez debemos saber reinterpretar dentro del contexto dela cosmovision mesoamericana, pues los frailes otorgaron a la cultura nativa lacalidad de primitiva y salvaje.

19 La traduccion de Molina para tlachiualli es de hechura o criatura.

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En su obra, La Conquista de la Nueva Espana, Bernal Dıaz del Castillo serefiere a la localidad de Tlaxcala como la cabecera de Tlascala (Dıaz del Castillo,1904: Tomo I, 244 y 254), la ciudad de Tlascala (Dıaz del Castillo, 1904: Tomo I,261 y 263) o la cabeza y pueblo mayor de Tlascala (Dıaz del Castillo, 1904: TomoII, 211). El que un mismo autor en una misma obra empleara varios terminospara definir al altepetl Tlaxcallan, es de llamar la atencion cuando “pueblo”, “ca-becera” y “ciudad” no son sinonimos y hacen referencia a unidades territorialesdistintas. Si los espanoles del siglo XVI hubieran entendido el concepto nahua lohabrıan equiparado a un solo termino en castellano; sin embargo, varios investi-gadores modernos han forzado los datos de las fuentes en categorıas de la historiacontemporanea o de las teorıas vigentes en su tiempo, violentando de este modolas instituciones indıgenas tanto como los frailes y letrados espanoles (Carrasco,1996: 26-27).

El empleo de la palabra altepetl ha sido, desde entonces y hasta ahora, am-biguo y poco discrecional, pues a pesar de que presenta diferentes niveles deinteraccion espaciales, tampoco estos se han definido (Caracterıstica numero 7de nuestra propuesta). Por ello es necesario clarificar cual es su estructura, esdecir, explicar la forma y funcion de esa generalidad llamada altepetl, para locual nuestro punto de partida es la siguiente cita:

una ciudad central dominante no era en realidad compatible con losprincipios de organizacion del altepetl. El concepto de ciudad sepa-rada del altepetl no entro al vocabulario como una palabra distinta.Parece que cuando los nahuas hablaban de Xochimilco, Azcapotzalcoo Culhuacan, algunas veces estaban haciendo referencia al asenta-miento humano mas grande y otras a todo el altepetl, pero en un casoparticular es casi imposible estar seguro de que solo estaban haciendoreferencia a la parte urbana [. . . ] Para los espanoles que pensaban enterminos de una ciudad y su campina [...] se presentaba una imagenmuy diferente (Lockhart, 1999: 34-35).

Lockhart tambien senala que las expresiones o partıculas que acompanan ala palabra altepetl en una oracion pueden darle un sentido diferente al terminocomo en el caso de iyolloco in altepetl o de in altepeyotl Mexico que se tradu-cen respectivamente como “en el corazon del altepetl” y “la parte construida deMexico-Tenochtitlan (con casas y calles)” donde el sufijo -yo de la palabra altepetl



es un sufijo nominal abstracto colectivo.

El altepetl tlayacatl

Una variante importante del altepetl que claramente manifiesta una defini-cion particular del concepto la encontramos en el empleo del termino tlayacatl.Para Lockhart, un tlayacatl es sinonimo de subaltepetl o altepetl menor y afirmaque originalmente fueron entidades soberanas con tlaloque separados que pos-teriormente fueron “reducidas” a nivel de tlaxilacalli, conservando solamente unnombre doble como unico indicio de un nivel de complejidad mayor. Para SusanSchroeder la parte componente mas grande de un altepetl es el altepetl tlaya-catl y senala que Molina no define tlayacatl pero que el termino se relacionaaparentemente con el termino nariz, con implicaciones de direccion o de lo quees prominente o puntero (Schroeder, 1994: 201). Sin embargo, Molina sı defineel termino (en la parte castellano-mexicana) como “lo primero de cada genero”.Schroeder da una detallada descripcion del concepto a partir del testimonio deChimalpahin aclarando que un altepetl tlayacatl hace referencia a un nivel es-pecıfico de organizacion sociopolıtica sin emplearse nunca para los niveles masaltos del altepetl ni para los niveles mas bajos (Schroeder, 1994: 205).

Es importante senalar que existe una contradiccion entre Lockhart y Schroe-der, pues el primero asume que el tlayacatl es un subaltepetl en tanto la segundanos dice que hace referencia a la parte mas grande de un altepetl. Sin embargo,ambos nos dan la idea de que el altepetl es una “unidad” y por tanto hay partesmayores y menores. Nosotros proponemos que el altepetl es uno solo, pero unaentidad con caracterısticas fractales donde el todo contiene a las partes y las par-tes al todo. Ası, aquello que Lockhart y Schroeder asumen como menor o mayorno es mas que la proyeccion del fractal altepetl a diferentes escalas. Con baseen lo anterior, definimos al altepetl tlayacatl como el “Nivel 1” del altepetl cuyaproyeccion a menor escala se llama calpullitlaxilacalli20 (Ver Cuadro 1).

Cabe senalar que, para Schroeder, el termino tzontecomatl no es equiparableal de tlayacatl y que ademas pudo haber estado influido por el termino colonial“cabecera” (Schroeder, 1994: 210). Por otro lado, Carrasco es injusto al afirmarque la terminologıa nahua no aporta un termino inequıvoco para designar la

20 Puede tener un sentido de “altepetl constitutivo” en tanto que esta integrado por variasentidades denominadas calpulli.

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estructura de la Triple Alianza, que el considera “imperial”. Para nosotros, losgrupos nahuas sı tenıan terminos para describir su mundo y en realidad no se debetratar de entender a la “Triple Alianza” como un evento unico en Mesoamerica21.El termino nahua con el que contamos para describir y entender, no solo a la excantlatolloyan, sino tambien a otros aspectos de la cultura nahua, es precisamente elde altepetl, y el objetivo de este trabajo es colocarlo, o por lo menos acercarlo,al lugar que le corresponde dentro de un contexto mesoamericano y no dentro deun contexto occidental22.

El calpolli tlaxilacalli

El nivel mas “bajo” de la estructura del altepetl –renombrado por nosotroscomo “nivel cero”– lo encontramos en el calpolli tlaxilacalli o altepetl “sencillo”,segun la definicion de Lockhart quiza “de un solo tlatoani, con un dios etnicocomun y un templo central”. Para el autor el termino compuesto o cada palabrapor separado se usan como sinonimos en un mismo documento, incluso parareferirse a la misma entidad territorial (Lockhart, 1999: 35, 84 y 87).

Carrasco afirma que el uso de la metafora “manos y pies” esta bien documen-tado para referirse a las aldeas de la ciudad o a los aldeanos, uso semejante al de“ala y cola” (atlapalli cuitlapilli) para la gente comun, en tanto que en la Histo-ria tolteca-chichimeca hay referencias a Cholollan (altepetl) como “cabeza de latoltequidad” (ytzontecon yn toltecayotl) y a la gente de los barrios (calpoleque)se les llama “las manos y los pies de los toltecas” (yn yma yn ihicxi in tolteca)(Carrasco, 1996: 28).

Entonces, si el altepetl era una forma de nombrar no solo al territorio, nosolo al gobernante, y no solo a la poblacion, sino a un todo social, economico,polıtico, religioso y territorial, es posible que al ser concebido como un todo fuerasimbolicamente equivalente al cuerpo del hombre en donde “se conjugaban todoslos elementos del cosmos” (Lopez Austin, 1996: Tomo I, 83). De este modo se

21 Antes que Tenochtitlan, Colhuacan encabezo un senorıo tripartita al lado de Tollan yOtompan (¿Xaltocan?) tambien denominado Excan Tlahtolloyan o con otras palabras ic-excanpaye teuhctlahtollo y ye tlahtocatlahtollo (Chimalpahin, 1998: Tomo I, 74).

22 Ası, el contexto en una excavacion o en un documento del siglo XVI es lo que da sentido ala interpretacion, por ello no es posible simplemente buscar uno o dos terminos castellanos parasustituir la palabra altepetl en todos los documentos. Siempre sera mas conveniente comprenderel termino autoctono y conservarlo.



tiene una correspondencia entre la dinamica del altepetl como estructura, y ladinamica del sistema ideologico nahua donde “el cuerpo” estarıa representadopor el altepetl, “la cabeza” por el tlatoani (condicion sinecuanon)23 y “los pies ylas manos” por la gente de los calpoleque o calpulteteo.

De este modo el calpulli no serıa una proyeccion a menor escala del altepetl,sino una parte constitutiva del altepetl tlayacatl, del cuerpo, del todo. Cabesenalar que si bien el calpulli comparte algunas caracterısticas con el altepetl, nocumple con la condicion de tener un gobernante de linaje (a pesar de lo senaladopor Lockhart). Sin embargo, en este trabajo se le considerara como una proyecciona menor escala del altepetl, pues la caracterizacion del calpulli se tendra que haceren un momento posterior para determinar si es o no un altepetl en el sentido queproponemos24. Tambien habra que ahondar en el hecho de que sean o no cuatro(este, norte, oeste, sur) los calpoleque constitutivos de origen dentro de un altepetltlayacatl, mismos que con el tiempo podıan dividirse o cohesionarse al igual quelos altepeme25.

Una nueva propuesta sobre la estructura del altepetl

Una vez que se ha reconocido al altepetl como la unidad basica de la orga-nizacion nahua, proponemos cinco niveles basicos dentro de su estructura (masel Nivel 0 asignado al calpulli tlaxilacalli), misma que presenta un patron cua-tripartita donde todas y cada una de sus partes pueden crecer y/o dividirse,ser “absorbidas” dentro del mismo altepetl, “agregadas” a uno diferente o “des-truidas” cuando eran abandonadas. Queda claro que se trata de una estructuradinamica a todos los niveles ası como en el tiempo y en el espacio.

Al interior del altepetl no hay una division social por estratos como en unestado-nacion actual, y planteamos la probable existencia de una “red” de tlato-que que hiciera posible el control de grandes extensiones territoriales (y de mucha

23 Probablemente esta analogıa con “cabeza” dio pie a pensar en ella en terminos de “cabecera”o bien a que se asumiera como tal con cierta facilidad dentro del grupo nahua.

24 Es probable que el nombre que asignado al calpulli antes de la conquista fuera tequitl (Pl.tecccalli ¿?), probablemente chinamitl e incluso tlayacatl y a nuestro juicio funcionaba mas comoun “gremio” que como un “grupo etnico”.

25 Las fuentes tambien dejan abierta la posibilidad de que un calpulli pudiera cambiar de“adscripcion”, es decir, de altepetl, con lo cual se modificarıa, constantemente, el numero originalde cuatro.

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gente), sin que mediase un complejo aparato militar a traves de la expansion ysin el reconocimiento de un sistema social regulado por alianzas matrimonialesy/o guerras “religiosas” (atl-tlachinolli), por dar algunos ejemplos.

¿Que implica esta nueva propuesta? En primer lugar, una nueva manera deenfocar y percibir nuestro objeto de estudio para tratar de dar respuesta a viejasinterrogantes, pero reformulando nuestras preguntas desde la base de las teorıasde la complejidad y, particularmente, desde la teorıa de la agencia que remarcael efecto de la intervencion humana en todo proceso social. ¿Como se mantuvoestable, durante tanto tiempo, un arreglo social de este tipo?, ¿como intervino, eneste proceso, la mente, la voluntad y la creatividad humana? En pocas palabras¿que papel jugo la variable “accion humana” o “agencia humana”? La agenciahumana es un proceso complejo “limitado por factores externos tales como elabastecimiento de alimentos, el cuidado de la salud, las practicas religiosas, losvalores eticos o morales y el vigor personal [. . . ] dentro un margen de libertadacotado” (Young, 1992).

Desde esta perspectiva no es posible afirmar que lo que existe en el presentedeterminara aquello que existira en el futuro. Por ello, no es posible saber cual delas partes de un altepetl se colapsara o se modificara ni cuando ni como, pero sı esposible asegurar el cambio en el sistema a cualquier escala o nivel, pues ningunade las partes se mantendra linealmente estable. De este modo el comportamientode las partes o entidades en conjunto dara al sistema significado, direccion ypermanencia.

De acuerdo con Young, para que la agencia humana tenga lugar, es necesarioque exista en el sistema:

1. Un sujeto emancipado. Que tenga metas sobre y mas alla de aquellas ac-tividades preprogramadas por genes, por la sociedad, por normas, leyes ocostumbres.

2. Un sujeto conocedor. Que tenga conocimiento preciso/concreto sobre ladinamica de la parte en especıfico que el o ella desea modelar/cambiar/mo-dificar de acuerdo con su propio interes.

3. Un sujeto creativo. Capaz de allegarse todas las herramientas necesariaspara su mision/empresa/tarea (se permite el uso de otras personas comoinstrumentos de su propio deseo, interes y/o voluntad).



4. Un sujeto racional. Quien debera usar la razon “instrumental” con la ha-bilidad suficiente para que la probabilidad de alcanzar sus metas sobrepaseconstantemente la oportunidad, es decir, ver la oportunidad y tomar losriesgos necesarios.

5. Un sujeto “principal”. Que aplicara los principios cientıficos o morales enforma rigurosa y uniforme sobre la materia prima que tenga a mano (in-cluidas otras personas).

6. Un sujeto con voluntad (libre albedrıo). Para algunos ello significa unapersona sin compasion, para otros con metas claras y bien definidas, perofinalmente un sujeto que no sera disuadido por la oposicion prolongada, nipor adversidades o derrotas.

El tlatoani a un nivel (y el conjunto o red de tlatoque en otro) cumple con losseis prerrequisitos citados por Young. En el se conjugan, tanto el conocimiento,como el control, de los parametros que estabilizan y mantienen la estructura socialdenominada altepetl26. Para Young, la mayorıa de los seres humanos construyenfuera de sus vidas los mundos de vida social en donde ellos se desarrollan. Da-da la presencia de la “mano humana” en tales construcciones, podemos afirmarentonces que hay cualquier numero de formas o caminos para crear realidadessociales desde su propia forma de ver e interpretar el mundo y de hacer las cosas(cosmovision).

Las teorıas de la complejidad ofrecen una vision de la agencia humana que, sibien reconoce la existencia de “estructuras” en la mente humana, ası como dentrode la cultura humana que “modelan” el pensamiento y la accion de los sereshumanos, tambien reconoce que dichas estructuras son en sı mismas historicas ycambiantes (Young 1992).

Si nosotros estudiamos el altepetl desde una perspectiva lineal, cuyos parame-tros tienen un incremento o modificacion lineal, entonces las consecuencias dedichos incrementos o modificaciones seran al mismo tiempo lineales, donde unay solo una causa antecede a una y solo a una consecuencia. “Todo lo demassera considerado como error, falla en el diseno de la investigacion, consecuenciadel mal uso de una teorıa o de determinadas herramientas” (Young, 1992). Ası,

26 De nuevo se ve reforzada la condicion sinecuanon que establecimos al caracterizar unaltepetl.

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deberıa ser posible predecir dentro del sistema cual altepetl va a crecer, colapsaro modificarse y en que forma, pero como ya se explico ello no es posible.

Dicho lo anterior, reafirmamos la necesidad de estudiar el altepetl como unsistema dinamico no lineal donde se tienen, en diferentes momentos, atractorespuntuales que en determinadas circunstancias llegan a un punto de bifurcacion,y donde una bifurcacion tendra dos consecuencias impredecibles pero coherentescon el sistema (Ver Figura 2) y mas de dos consecuencias en el caso de queaparezcan intermitencias27.

Dado que nuestra base son las teorıas de la complejidad, debemos concebirtoda estructura como un sistema indeterminado y cambiante, donde las variablesdependeran tambien de la escala de observacion. Si se engloban en una dimension,las estructuras sociales presentaran un valor fractal que podra ser mayor o menordependiendo de los parametros del sistema, pero este nunca sera tan rıgido queimposibilite la influencia de la agencia humana, pues habra en el espacio para lavoluntad y el deseo humano que, combinado con otras variables, modificara alsistema llevandolo hacia una region o estado diferente una vez que se presenta labifurcacion o el cambio.

En determinados puntos y a partir de ciertas condiciones, los parametroscambian o se modifican por la agencia humana y dan lugar a nuevas trayectorias:estables, semi-estables e inestables (Lopez Aguilar y Bali: 96). Los seres huma-nos actuan a partir de sus pasiones, sabidurıa o insensatez, y con sus accionesexpanden el campo causal hacia dos, cuatro, ocho o mas posibles consecuenciaspara el sistema social.

De este modo, podemos ver los momentos de cambio interno dentro de unaltepetl como puntos de bifurcacion (cambios en el rumbo o evolucion de unaltepetl a un determinado nivel) y al resultado de ellos como atractores (funda-ciones, colapsos, divisiones, crecimientos, integraciones o fusiones de altepeme enun nivel menor o mayor al nivel donde tuvo lugar la bifurcion). La mayorıa deestos cambios, como ya se ha dicho, son “conducidos” por la voluntad o por losintereses humanos y, en el caso del altepetl, por el interes del tlatoani (o de ungrupo de tlatoque) para incrementar el territorio (y de ese modo la supremacıa)de su altepetl a partir de, por ejemplo, alianzas matrimoniales o conquistas.

27 Las intermitencias estan asociadas a fenomenos latentes como epidemias, guerras, fenomenosnaturales (inundaciones).



Si una bifurcacion altera la relacion entre libertad y necesidad, ¿que modi-fican dos, tres, cuatro o mas bifurcaciones en el atractor?, ¿Que significa estacascada de bifurcaciones en un altepetl desde de la teorıa de la agencia huma-na? Un incremento en el numero de bifurcaciones incrementa el potencial de laagencia humana; sin embargo, la paradoja se presenta cuando a pesar de quela incertidumbre es esencial para la agencia, demasiadas incertidumbres sobre-puestas (resultado de varias bifurcaciones) pueden encaminar un sistema hacia elcaos.

La region de influencia de la agencia humana se incrementa en forma discon-tinua, es decir, mientras mas opciones o posibilidades existan, lo cual conlleva aun regimen caotico donde persiste un orden implıcito. Ası, demasiada libertadpuede abatir la agencia humana al perderse la coherencia del sistema y con elsurgimiento de nuevas formas de orden, cualitativamente diferentes a la anterior,pues existe un delicado equilibrio entre creatividad y racionalidad (Young, 1992).

Cuando se presentan demasiadas bifurcaciones en un periodo de tiempo re-lativamente corto, y con mecanismos internos de autorregulacion28 ausentes oinsuficientes, el sistema se colapsa (caos significa una nueva forma de orden). Unejemplo de ello se darıa al incrementarse la fundacion y division del altepetl, locual rompe el balance entre creatividad y razon.

Un sistema presenta un patron o una sucesion regular de eventos relativa-mente estable hasta la cuarta bifurcacion. Despues de la quinta, el sistema puedeentrar en caos (Young, 1992). Mientras las bifurcaciones se dirigen hacia el caosse incrementa la ilusion de libertad, pero paradojicamente la agencia humanadisminuye con cada bifurcacion a partir de la quinta bifurcacion, es por ello quela estructura basica del altepetl presento, despues de su analisis, cuatro nivelescorrespondientes a cuatro bifurcaciones de bajo orden (Figura 2). Sin embargo,la propuesta final presenta cinco niveles (Cuadro 1) donde el quinto nivel (ExcanTlahtolloyan) puede interpretarse como un nivel susceptible a la inestabilidad oen el lımite del sistema, fuera de lo que anteriormente denominamos “sucesionregular de eventos” dentro de una estructura flexible y relativamente estable don-de ya no son efectivos los sistemas sociales de control. Las bifurcaciones de bajoorden pueden manejarse y mantenerse por el agente principal, siempre y cuando

28 Las alianzas matrimoniales, la posibilidad de que un hombre llegue a ser tlatoani por meritosde guerra, las leyes, los mitos y, en general, la posibilidad de movilidad de los calpulli e inclusolos intentos fallidos de dominacion o de conquista de un altepetl sobre otro.

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se conserve la delicada relacion entre orden y desorden, entre predictibilidad ycreatividad, entre patrones rıgidos y flexibles.

Esquema 1

Chalco-Atenco

Tlalmanalco Tenanco Chimalhuacan Amaquemecan

Iztlacoçauhcan Tlailotlacan Panohuayan TequanipanTzacualtitlan

Huixtuco

Tzompahuacan

Pochtlan

Nivel d

Altepetl-Hueyaltepetl

Nivel c Altepetl

Nivel b Altepetl-

Nivel a Calpulli-Tlaxilacalli

Esquema 2

Donde:

Nivel D Excan Tlahtolloyan o Hueyaltépetl tenochcaNivel C HueyatepetlNivel B Altépetl (Cabecera doble) Nivel A Altépetl

Excan

Tlahtolloya

Tenoch-

titlan Tetzcoco Tlacopan

Coyoacan Cuahutitlan Apazco Tollan Xilotepec ¿? ¿?

Huichapan/

Atlan

Huichapan

Nivel D

Nivel C

Nivel B

Nivel A

Si renombramos los niveles presentados en los esquemas 1 y 2 la propuesta



queda, finalmente, como sigue:

Nombre Nivel Esq. 1 Esq. 2

Excan tlahtolloyan Hueyaltepetl o altépetl tenochca

5 D

Hueyaltepetl o altépetl 4 C

Hueyaltepetl o altépetl 3 d B

Altépetl 2 c A

Altépetl tlayacan 1 b

Calpulli tlaxilacalli 0 a

Cuadro 1

A partir del Nivel 1, y hasta el Nivel 5, se pueden caracterizar con base enla lista de nueve puntos propuesta anteriormente. Del cuarto nivel en adelante,es valido nombrar al altepetl como huey altepetl y en muchos casos tendra unnombre doble e incluso triple como el ejemplo del altepetl Tenochtitlan-Tetzcoco-Tlacopa, lo cual no es inesperado ni excepcional en tanto el numero dos y susmultiplos estaban relacionados con el agua y el tres con el fuego, considerandoademas que, en varias ocasiones, se presenta en los “textos” nahuas –codices,murales, arquitectura– la dualidad agua/fuego (Duverger, 2006).

* Fue el último en fundarse.

Figura 1a [Fuente: Schroeder, 1994: 91-122]

Moment o I Mome nto II

Iztlaco¨a uhcan Iztlaco¨a uhcan

Tzaqualtitlan Tlailocan *

Tequanipan Tzaqualtitlan

Panohuayan Tequanipan

Tlailocan * Panohuayan

SMM-CIMAT


Momento I Momento II

Figura 1b [Fuente: Lockhart, 199: 39]

Tepeticpac (Norte) Ocotelolco (Sur)

Ocotelolco (Sur) Ti¨ atla (Este)

Ti¨ atla (Este) Quiahuiztlan (Oeste)

Quiahuiztlan (Oeste) Tepeticpac (Norte)

Figura 2: Cascada de bifurcacioneshttp://planetmath.org/encyclopedia/FeigenbaumConstant.html

Diagrama generado por “GNU Octave and GNUPlot”



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El Colapso de un Altepetl. Trayectoria deItzmiquilpan Despues de la Conquista

Fernando Lopez Aguilar1

Tatiana Marquez Lago2

Paris, Francia y Brisbane, Queensland, Otono y Primavera de 2006

Itzmiquilpan, un pueblo ubicado en las margenes del rıo Tula en el desiertodel Valle del Mezquital (Estado de Hidalgo) existıa en el siglo XVI como unpueblo con dos encomenderos, Juan Bello y Francisco Davila. Como parte de lahistoria del centro de Mexico, su fundacion inicial tal vez se encuentre en el sitiollamado Boxaxum, un asentamiento que podrıa fecharse alrededor de los anos650 dne y que, aparentemente, fue abandonado en el ano 900 a favor de otrolocalizado en las laderas del cerro del Fraile y, tal vez, de otro en la localidaden donde actualmente se encuentra la cabecera municipal. No se han encontradoevidencias de ocupaciones anteriores al ano 650, por lo que es difıcil suponerque esta localidad hubiera estado en el ambito de accion de Teotihuacan y, sibien pudo no estar despoblada, es probable que perteneciera a los desarrollosregionales autonomos, llamados Xajay, que existieron en el noreste del Valle y enlas planicies queretanas (Lopez Aguilar, Solar y Vilanova 1998).

En la Epoca 3a (650-900) se le encuentra como una entidad autonoma conuno o mas gobernantes propios (tlatoani) y un conjunto de asentamientos meno-res sujetos a el. De ser cierta la idea de que entre el ano 350 y el 600 pertenecıa

1 Posgrado en Arqueologıa, Escuela Nacional de Antropologıa e Historia.2 Department of Mathematics and Statistics, University of New Mexico, USA.

141

142 Fernando Lopez Aguilar, Tatiana Marquez Lago

al sistema Xajay, debio ocurrir un proceso de independencia al final del siglo VIIque derivo en la fundacion del templo y la traza del asentamiento en las laderasde la serranıa de Juarez, en la localidad de Boxaxum. Como altepetl indepen-diente, seguramente se vio envuelto en procesos de cooperacion y competenciacon sistemas vecinos recientemente independizados del sistema teotihuacano, quepueden identificarse en los asentamientos de Tula Chico, Chapantongo y La Me-sa, ası como con el sistema Xajay que sobrevivio el colapso de Teotihuacan, concabecera en Pahnu y Cerro de la Cruz (Lopez Aguilar, en prensa).

En la epoca 4 emergio un sistema de jerarquıa superior, Tula, tal vez comoresultado de que las tensiones existentes en la epoca anterior se resolvieron a favorde la cooperacion y de las alianzas. Con ello, Itzmiquilpan cedio su autonomıa demanera definitiva al convertirse en un altepetl subordinado. Al colapso del sistematolteca se convirtio en una dependencia (sujeto) de la nueva entidad regionalotomı que tenıa su cabecera en Xaltocan (Epoca 4a). Finalmente, quedo comodependiente de Teonchtitlan y Tlacopan hacia el final de la epoca prehispanica(Epoca 5), con un asentamiento ya establecido en las margenes del rıo Tula,despues del meandro que se forma a la salida del encanonamiento de Chilcuautla(Lopez Aguilar, en prensa).

En el siglo XVI, Itzmiquilpan estaba rodeado de altepeme de igual jerarquıasubordinados a la triple alianza: al noroeste, Tlaxco (Tasquillo), al oeste Alfa-jayucan, y al sur Chilcuautla y Actopan, mientras que hacia el oriente y nortetenıa fronteras con el llamado Senorıo Independiente de Meztitlan, de origenotomı. Con este, tenıa lazos ambiguos en terminos locales, pues bien podıa tenerconflictos belicos como parte de la expansion mexica, o bien tener relaciones deintercambio, fundamentadas, por ejemplo, en los circuitos de los tianguis (mer-cados) regionales.

El particular emplazamiento de Itzmiquilpan hizo que su configuracion fueraanomala en relacion con los pueblos circundantes. Como todo altepetl del Valle delMezquital, Itzmiquilpan tenıa la propiedad de estar constituido por una cabeceradoble, con dos pueblos integrados en uno solo y dos tlatoani (Onaya). La partenahoa se llamaba Itzmiquilpan (Zetcanni), mientras que la parte otomı Tlazintla(Nkoihai). Tal vez esta separacion no se refiera exclusivamente a una distincionpoblacional, sino al linaje del gobernante de cada parte. Con un territorio muyextenso, de 1721.06 Km2, sus dependencias mas lejanas identificadas en las fuenteshistoricas -tanto para Itzmiquilpan como para Tlazintla- se encontraban a 36


El Colapso de un Altepetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despues de la Conquista 143

kilometros al norte, mientras que la cabecera se localizaba en el extremo sur(Lopez Aguilar 2005) y su frontera tenıa un perımetro de 291.04 kilometros.

Cada pueblo fue encargado a un encomendero, de tal manera que existıa ungobierno espanol (que a lo largo del tiempo recibirıa el tıtulo de corregidor, alcaldemayor, intendente) y otro indıgena (gobernador) para Itzmiquilpan y Tlazintla,cada uno con sus pueblos sujetos que se encontraban “entretejidos”, ya que elterritorio del flamante corregimiento del siglo XVI no se encontraba separado endos mitades. Ası, Itzmiquilpan controlaba a Jonacapa (Ndenxi), Cuyametepec(Tizqui) e Ixtatlaxco (Hantaxmaxey), mientras que Tlazintla a Hueytepexi (An-tamamaye, Santa Marıa Tepeji, Nicolas Flores), Aguacatlan y Chichicaxtla. Undocumento que interpreta el codice que actualmente se encuentra en la comuni-dad de Las Pilas, habla de la existencia de una guerra entre los dos encomenderosy sus aliados indıgenas que se escenifico en los terminos de estas dependenciaslejanas.

Figura 1: Territorio de la cabecera de Itzmiquilpan en el siglo XVI

Sin embargo, despues de este momento compulsivo en los albores del sigloXVI, esta franja norte adquirio una trayectoria profundamente estable, excepto

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por el hecho de que, en 1614, los indios de Jonacapa se quejaron de malos tratos yagravios por parte del gobernador y de los caciques de Chichicaxtla, un pueblo deItzmiquilpan enfrentado con uno de Tlazintla. La idea de los indios de Jonacapade que los malos tratos que recibıan los habitantes llevarıa el “riesgo de despoblary de huirse los naturales” resulto fatıdico, ya que la trayectoria de estabilidad delargo plazo del norte de Itzmiquilpan tuvo que ver con una poblacion invariante,escasa y a la baja, solo susceptible a las bonanzas de la minerıa (Lopez Aguilar2005).

Por el contrario, en el centro y sur del territorio se dio una cadena de eventosque produjo la separacion de las dependencias del gobierno indıgena para consti-tuirse en “pueblos de por sı”. No es factible hablar de una sola motivacion parabuscar la independencia. Normalmente, se exigıa que se demostrara el suficientenumero de habitantes, lo que colocaba a los indıgenas en la paradoja de justificarel incremento de la poblacion, cuando en los censos y levantamiento de padronesoficiales habıan escondido a los tributarios. Las confrontaciones entre la cabeceray las dependencias suelen girar en torno a estos argumentos.

Bajo el testimonio de “abusos por parte del gobernador”, la independencia eraun proceso largo y tortuoso, ya que en algunos casos pudo llevar hasta doscientosanos, mientras que en otros, tan solo unos veinte. Bajo estas circunstancias, es algobierno indıgena de Itzmiquilpan que se le separan dos pueblos en los albores delsiglo XVIII, San Juan Bautista (1700), una dependencia colindante a la cabeceraque era visita del convento agustino y que tal vez sea el Real de San Juan, hoySan Juanico, y el pueblo de largo nombre de Nuestra Senora de los Remedios laSabana (1718), bautizado ası porque los agustinos se identificaron con la Virgen delos Remedios aparecida en un maguey al poco tiempo de finalizada la conquista.No existen referencias tempranas sobre estos pueblos, pero las fuentes posterioreshacen mencion de ellos como “pueblos viejos”, lo que permite suponer que existıandesde el siglo XVI. Por su parte, la fundacion minera de La Purısima Concepciondel Cardonal, creada por Alonso de Villaseca en el siglo XVI y que al parecerrecibıa tambien el nombre de Santa Marıa del Agua Zarca o Real de Santa Marıa,logro con su independencia en el ano de 1719 apropiarse de una gran cantidaddel territorio del centro de la Alcaldıa Mayor. La emergencia de este pueblo y susegregacion no es trivial. En otro lado se ha senalado que el vector de 18 Km querepresenta una distancia recurrente entre los pueblos del Valle, resulta relevantepara cierto tipo de intercambios de nivel local. Por lo anterior, al estar colocadoslos pueblos sujetos a una distancia de 36, se suponıa que, de haber continuado la



trayectoria prehispanica, se habrıa fundado una nueva cabecera a esa distanciaal norte de Itzmiquilpan, (tal vez cerca del Cardonal) y que, a partir de ahı,alguno de los pueblos llamados Santa Marıa Tepexi, Aguacatlan o Jonacapa seconstituyeran tambien como altepeme autonomos, con territorios alargados haciael norte (como el caso de Itzmiquilpan) y penetraran ası a la Sierra Gorda deQueretaro. Este proceso fue interrumpido por la conquista (Lopez Aguilar y Bali2002).

Al recibir el tıtulo de pueblo, el acto fundacional tenıa que ver con la construc-cion del templo, fuera remozando alguna antigua capilla devocional domestica, obien construyendo uno nuevo desde sus cimientos. Acto seguido se certificabantodos los terrenos que el pueblo tenıa como propiedad mas alla del fundo legal,las estancias de ganado mayor y menor y las tierras que habıan sido adquiridascon dinero de las Cajas de Comunidad. Se hacıa un recorrido por los linderos conalcalde mayor de Itzmiquilpan y los representantes de los gobiernos indıgenascolindantes que mostraban los documentos, a veces prehispanicos, la mas de lasveces recientes, que demostraban el trazo del perımetro. Se trataba de un actono necesariamente amistoso que podıa derivar en una situacion violenta entre lospueblos de indios que reclamaban sus terrenos con arcos y flechas. Finalmente,cuando habıa acuerdo, gritaban y aventaban piedras a los terrenos, se firmaba elprotocolo con todas las partes y se establecıa la nueva fundacion.

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Figura 2: Territorio de la cabecera de Itzmiquilpan. Primer Fracturamiento

El territorio de Itzimquilpan-Tlazintla se fragmento en dos, una parte al nortecon los viejos pueblos sujetos entrelazados desde la epoca prehispanica y unasuperficie de 939.40 Km2 y otro al sur, pequeno con 252.99 Km2. Juntos, sumabanun total de 1,192.38 Km2. El perımetro de su frontera crecio, pues la parte nortetenıa 203.73 Km y la parte sur 90.72 Km, es decir, un total de 294.45 Km, quecontrasta con los territorios y las fronteras de los pueblos independientes: SanJuan Bautista tenıa 104.079 Km2 y una frontera de 52.04 Km; Nuestra Senorade los Remedios La Sabana 102.75 Km2 y 54.36 Km y El Cardonal 321.85 Km2

y 91.54 Km de contorno. A principios del siglo SVIII, las republicas de indios deItzmiquilpan-Tlazintla habıan perdido el control sobre casi la tercera parte delterritorio, 528.68 Km2.

La segregacion de los pueblos pudo haber sido un intento de atenuar algundesequilibrio existente al interior del territorio de la cabecera, sin embargo, elexito fue efımero, tanto para Itzmiquilpan como para los nuevos pueblos, yaque hacia 1780 se separo de San Juan su estancia fronteriza con la provincia deJilotepec, llamada Portezuelo, colocada en el viejo camino que unıa las minas deItzmiquilpan con el Camino Real de Tierra Adentro. Posteriormente, de forma



sincronica, en 1790, se independizaron los pueblos de El Espıritu, pertenecientea Remedios-La Sabana y los pueblos de Pozuelos, Santuario y San Miguel de laNopalera (que recibio el nombre de la antigua cabecera de Tlazintla), sujetos deEl Cardonal, haciendo que la inestabilidad transitara de las cabeceras hacia lospueblos fundados a principios del XVIII. En ese ano, solo el pueblo de Orizabaobtuvo su autonomıa de la cabecera de Itzmiquilpan.

Cabecera Año Pueblo Año T1 Pueblo Año T2

Itzmiquilpan 1525

Orizaba 1790 265

S. J. Bautista 1700 175Portezuelo 1780 80

La Sabana 1718 193

Espí ritu 1790 72Tlazintla 1525

Cardonal 1719 194

Pozuelos 1790 71Santuario 1790 71

S. M. Nopalera 1790 71T Promedio 1712.33 187.33 1788.33 112

Cuadro 1: Pueblos y cronologıas de las segregaciones hasta 1790. T1 y T2 se refiere altiempo transcurrido entre eventos.

Llaman la atencion los eventos relacionados con los pueblos de Orizaba ySantuario de Mapethe, cuya separacion estuvo motivada por la presencia de dosCristos. El primero fue traıdo de Orizaba, Veracruz, por uno de los caciquesy le fue fundada una modesta capilla en los terminos del cerro del Boye. Conel tiempo, el culto y la devocion de la imagen crecieron de tal manera que losindıgenas congregados alrededor eran numerosos, por lo que solicitaron la ereccionde una iglesia: el resultado, la segregacion. El segundo fue un Cristo traıdo a laNueva Espana en el siglo XVI por Alonso de Villaseca y colocado en una capilla enlos lavaderos de metal de las minas del Cardonal. Hacia 1620 se encontraba muydeteriorado y, despues de una serie de eventos extraordinarios, se renovo el 19de mayo de 1621, una fecha en la que el sol se encuentra en el cenit en la regiony esta asociada con el culto prehispanico a Huitzilopochtli. Se construyo unasofisticada iglesia barroca para su culto y desde ese momento se inicio un procesode competencia con la cabecera para elevarse a rango de “pueblo de por sı”, hechoque fue logrado ciento sesenta y nueve anos despues.

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Figura 3: Territorio de la cabecera de Itzmiquilpan. Segundo Fracturamiento.

En la cosmovision otomı, los Cristos se encuentran asociados con el aguila(nxuni) fundadora de los pueblos, por lo que de alguna manera, la llegada delos Cristos es analoga a la nocion prehispanica de fundacion de altepetl (Andehe-Antoho) conducida por esta ave sagrada, que era comun a los pueblos hnahnu delValle del Mezquital.

Con estas segregaciones de 1788 crecio la dimension de los contornos, comopuede observarse en los cuadros al final, pero se observa una tendencia a unperımetro promedio de 43.76 Km, con extremos en Orizaba con 84.13 y Porte-zuelo con 29.47, sin considerar los territorios extensos de la antigua cabecera deItzmiquilpan-Tlazintla.

La segregacion de los pueblos produjo una reduccion del territorio controladopor cada cabecera que expresaron una tendencia hacia una extension de 60 Km2

y un perımetro de alrededor de 35 Km El extremo superior era Orizaba (260.65Km2 y 84.13 Km), que tenıa mas superficie que el Itzmiquilpan-Tlazintla delsur, gracias a la compra de grandes extensiones de terreno en el norte por mediodel dinero guardado en las Cajas de Comunidad, a la apropiacion de baldıos



y a las mercedes de estancias de ganado mayor y menor conseguidas desde laConquista espanola. En el otro extremo estaban el Espıritu Santo Palma Gorda,que apenas alcanzaba los 36.47 Km2, y Portezuelo con 49.79 Km2. Santuario,Cardonal, Orizaba y Remedios se manifestaron como comunidades poderosasy ricas, lo que seguramente dio lugar a un proceso de mimesis por parte deotros pueblos sujetos, deseosos de alcanzar el prestigio de aquellas, su capacidadeconomica y, sobre todo, la independencia que significaba tener la capacidad deun gobierno propio y, con ello, el poder de tomar decisiones internas.

PuebloPerímetro

en Km

Perímetro

TotalItzN+ItzS

1525Itzmiquilpan-

Tlazintla291.03989 291.03989

1720 San Juan 52.04206

1720 Remedios 54.3582

1720 Cardonal 91.53769

1720 Itzmiquilpan N 203.728

1720 Itzmiquilpan S 90.71847 492.38 294.45

1788 Portezuelo 29.4716

1788 San Juan 36.06124

1788 El Espíritu 31.4612

1788 Remedios 36.25785

1788 Santuario 39.80084

1788 S. M. Nopalera 59.54439

1788 Pozuelos 39.50604

1788 Cardonal 37.60719

1788 Orizaba 84.13498

1788 Itzmiquilpan N 152.15709

1788 Itzmiquilpan S 90.71847 636.72089 242.87556

Año

Cuadro 2: Dimensiones del perımetro de las fronteras de Itzmiquilpan y sus pueblossegregados.

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Año Pueblo Superficie en m2 Perdido por

cabecera

Perdido por

Itzmiquilpan-

Tlazintla

Superficie de

Itzmiquilpan-

Tlazintla

1525Itzmiquilpan-

Tlazintla1,721,056,037.76 0.00 1,721,056,037.76

1720 San Juan 104,079,081.90 104,079,081.90 1,616,976,955.86

1720 Remedios 102,747,446.17 206,826,528.07 1,514,229,509.69

1720 Cardonal 321,853,222.29 528,679,750.36 1,192,376,287.40

1720Itzmiquilpan

Norte 939,394,242.81 1,192,376,287.40

1720 Itzmiquilpan Sur 252,982,044.59 1,192,376,287.40

1790 Portezuelo 49,790,788.58 1,192,376,287.40

1790 San Juan 54,007,648.74 49,790,788.58 1,192,376,287.40

1790 El Espíritu 36,472,476.14 1,192,376,287.40

1790 Remedios 67,629,819.46 36,472,476.14 1,192,376,287.40

1790 Santuario 69,126,886.33 1,192,376,287.40

1790 S. M. Nopalera 109,758,166.76 1,192,376,287.40

1790 Pozuelos 67,450,145.76 1,192,376,287.40

1790 Cardonal 73,732,308.08 246,335,198.85 1,192,376,287.40

1790 Orizaba 260,652,625.35 789,332,375.71 931,723,662.05

1790Itzmiquilpan

Norte 678,741,617.46 260,652,625.35 931,723,662.05

1790 Itzmiquilpan Sur 252,982,044.59 931,723,662.05

Cuadro 3: Dimension de la superficie de Itzmiquilpan y sus pueblos segregados.

La trayectoria de los pueblos hasta finales del siglo XVIII resulta significativa,ya que parece ser una resonancia tardıa de la forma en que pudieron expresarselos colapsos de los altepeme durante la epoca prehispanica. Ahora bien, si unoexpresa el logaritmo de los anos como funcion del logaritmo de superficie (o dellogaritmo de la extension de las fronteras, alternativamente) es facil observar larelacion lineal entre ellas. Esto, a su vez, es indicativo de una relacion exponencial,ingrediente esencial de comportamiento fractal.3

3 Muy informalmente, los objetos auto-similares con parametros N y s son descritos por unaley exponencial N = sd, donde d = (ln N)/(ln s) es la dimension de la ley escalar, conocidacomo la dimension de Hausdorff.



LOG FECHAS/LOG SUPERFICIE

6.8

6.9

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.32 7.34 7.36 7.38 7.4 7.42 7.44 7.46 7.48 7.5

LOG FECHAS/LOG FRONTERAS

5.6

5.7

5.8

5.9

6

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

7.32 7.34 7.36 7.38 7.4 7.42 7.44 7.46 7.48 7.5

Figura 4: Graficas log / log de la superficie y las fronteras de Itzmiquilpan.

Por ende, las transformaciones en el territorio del altepetl, tanto en lo referentea la perdida del control territorial, como al incremento en las lıneas fronterizas,pueden ser vistas como un fractal. Si asumimos que el territorio es el lugar dondese ejerce de manera continua un poder por parte de los tlatoani o gobernadoresde las cabeceras, entonces podrıamos considerar una superficie continua comogeometrıa inicial donde el territorio de cada pueblo que se independiza generarıaun hueco de cierto tamano en dicha superficie continua. Cada substraccion re-ducirıa la dimension de la superficie original a un area igual a cero. Un ejemploabstracto de dicho proceso es la curva de Koch (ver figura 5). Analogamente,el territorio original tuvo un perımetro determinado, expresado como un objetocuya dimension (originalmente 1) incrementa con cada separacion.

Cabe mencionar que en los fractales historicos, a diferencia de los abstractos,la dimension de los objetos no tiende a infinito. Especıficamente, para esta apli-cacion, puede pensarse que el valor de la dimension incrementa al valor 2. Estopuede ser resultado de la compacticidad de la escala temporal, bajo la cual puedeargumentarse que no es necesario iterar un numero infinito de veces. Como re-sultado, el objeto se itera un numero finito (y probablemente pequeno) de veces,las suficientes para expresar la complejidad del sistema: la dimension fractal delas fronteras se incrementa y la de las superficies disminuye, alejandose de lasdimensiones enteras 1 y 2, correspondientemente.

Para obtener la dimension fractal de los tres momentos de Itzmiquilpan-Tlazintla se utilizo el programa Fractalyse 2.3.2 - Fractal Analysis Software paraWindows 98/Me/2000/XP, desarrollado por Gilles Vuidel del equipo de inves-tigacion de “City, mobility, territory” del Centro de Investigacion TheMA, enFrancia. El programa fue desarrollado para medir la dimension fractal de areas

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construidas en ciudades, pero puede ser usado para calcularla en cualquier ima-gen en blanco y negro en formato TIFF o BMP, para curvas y redes, a travesde varias herramientas. En nuestro caso usamos el metodo grid (box counting oconteo de cajas).

El perımetro original del altepetl, y las lıneas de las separaciones, se hicieroncon base en las descripciones del territorio de Itzmiquilpan y los conflictos quellevaron a su separacion (Lopez Aguilar 2005). Con esa evidencia, se realizaronlos dibujos en formato TIFF y se analizaron con el programa , en el modulode estimacion, la Regresion Logarıtmica Lineal -que transforma la curva poruna funcion logarıtmica- para comparar la empırica obtenida por el metodo deconteo, con la estimada4. Los datos resultantes se muestran el cuadro final y, alcorrelacionarse con el logaritmo de las fechas en que ocurrieron los eventos desegregacion, se observa que la dimension fractal de las fronteras y de la superficiede Itzmiquilpan-Tlazintla es una funcion logarıtmica del tiempo.

Tambien se analizaron las dimensiones fractales de los pueblos segregadosen su totalidad en 1712 y 1788. Para ello, se aislo la imagen de sus territoriosenmarcada en el entorno de perımetro original de la cabecera, tal como se muestracomo ejemplo en la imagen siguiente para los pueblos de 1720:

LOG FECHAS / DIM FRAC FRONTERAS

(1515-1788)

correlación logarítmica lineal

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

7.32 7.34 7.36 7.38 7.4 7.42 7.44 7.46 7.48 7.5

LOG FECHAS / DIM FRAC SUPERFICIE

correlación logarítmica lineal

1.76

1.78

1.8

1.82

1.84

1.86

1.88

1.9

7.32 7.34 7.36 7.38 7.4 7.42 7.44 7.46 7.48 7.5

Figura 6: logaritmo de fechas /dimension fractal de la superficie y las fronteras.

4 La ley de potencia es una ecuacion lineal: log(N(ε)) = log(εD) ≥ log(N(ε)) = D · log(ε).En el software es: log(N(ε)) = D · log(ε) + c, o bien log(y) = d · log(x) + c Donde d = dimensionfractal y c corresponde con el punto de origen en el eje de las y.



Figura 5: Carpeta de Koch y comparacion con la configuracion de los contornos deItzmiquilpan, huecos generados en el territorio segregado.

Las graficas del logaritmo de las fechas/dimension fractal de la superficie yla del logaritmo de las fechas/dimension fractal de las fronteras indican que lasdimensiones fractales pueden ser vistas como una funcion logarıtmica del tiempo.Si se mide la dimension fractal de los territorios de los pueblos de indios del siglo

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XVIII, se puede observar que muchas de ellas son cercanas al valor 1.3. Esto hacesospechar que aquellas republicas de indios con grandes extensiones, como Oriza-ba, Itzmiquilpan Norte, Itzmiquilpan Sur y el propio San Miguel de la NopaleraTlazintla habrıan sufrido en el mediano plazo un fenomeno de segregacion que di-vidirıa su territorio en componentes cercanos a ese valor, tal vez con un perımetroalrededor de los 35 Km y una superficie proxima a los 60 Km2.

DISTRIBUCION DE LN DE FRONTERAS Y EXTENSION

1

2

3

4

5

6

7

8

LN

FRONTERAS

LN

EXTENSION

DISTRIBUCIÓN DE DF POR AÑOS DE SEPARACION

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

1525

1712

1788

Figura 7: Distribucion de la dimension fractal de la superficie por anos de separacionque muestra una tendencia a aproximarse al valor 1.3 y el logaritmo natural de la

dimension de las fronteras y de la superficie a 3.5.

Esta tendencia no implica que todos los pueblos transitaran de manera ho-mogenea hacia esos valores, pues la estabilidad, semiestabilidad e inestabilidaddel sistema pudieron construirse de manera diferenciada y local en el siglo XIX.De igual manera, la aceleracion en el tiempo, de 187 a 112 anos harıa pensar enuna reduccion consecutiva en el tiempo que transcurrirıa en los siguientes even-tos de segregacion a 67 y a 40 anos, lo que harıa significativas las fechas que semuestran en el cuadro siguiente.

1820 1847 1860 1887 1892 1900 1914 1927 1932 1954 19591967 1972 1980 1981 1999 2004 2007 2012 2026 2034

Cuadro 4. Secuencia de anos crıticos posibles para un proceso de segregacion de pueblosen Itzmiquilpan

No hemos encontrado las fuentes significativas para el siglo XIX que permitandiscernir la historia que ocurrio en ese convulsionado siglo en torno a cuales pue-blos se separaron de Itzmiquilpan. Pudieron haber afectado esta trayectoria, ya



sea acelerandola o deteniendola, la larga guerrilla de Independencia que afecto ala region y dividio a los indıgenas en realistas e insurgentes (existıa hacia 1815 unejercito de Lanceros del Rey en el pueblo de Orizaba). Entre los otros procesos detransformacion destacan las agitadas decadas del fin de la Independencia hastael fin de la Guerra de Reforma, incluidas las asonadas y cuartelazos, cambiosde presidentes y la Intervencion Americana, la perdida del territorio nacional, laconsolidacion de los caudillos locales y los cacicazgos de los criollos y mestizos,pero sobre todo, son importantes las transformaciones ocurridas en las tierras decomunidad y de la iglesia por la aplicacion de las Leyes de Reforma durante elporfiriato.

Lo que podemos reconocer es que hacia 1805 otros pueblos ya estaban plan-teando la separacion de su cabecera. Alrededor de 1864 se gesto una disociacionmayor, ya que el territorio de la segunda fuerza militar del Estado de Mexico,importante durante la Intervencion Francesa, se erigio en el Estado de Hidalgoen el ano de 1867, segregandose junto con Guerrero, Morelos y Queretaro. En lalocalidad, la vieja Alcaldıa Mayor, luego Intendencia y finalmente Municipio deItzmiquilpan, se separo en tres: Bonanza, en el norte, Cardonal en el centro, e Itz-miquilpan al sur, respetando para cada municipio las configuraciones territorialesestablecidas durante la epoca colonial.

De esta manera, a finales del siglo XIX el viejo territorio del altepetl aparececompuesto por tres municipios y 26 pueblos de indios, ya que durante esos cienanos, se segregaron 15. Todo parece indicar que fue consecuencia de la erecciondel Estado y la configuracion de nuevas municipalidades para la constitucion dela nueva gobernatura y su congreso. Ası, de las quince localidades, tres se en-cuentran en el antiguo territorio que llamamos Itzmiquilpan Norte, convertidoen el Municipio de la Bonanza, los dos pueblos mas viejos: Santa Marıa Tepexie Ixtatlachco, junto con la cabecera municipal (hoy abandonada) en la antiguocentro minero de la Bonanza. Siete corresponden a la municipalidad de Cardonal,otra vez, los dos pueblos mas viejos, Jonacapa y Cuyametepec (Tizqui), junto conotro que seguramente existıa desde los albores de la colonia, aunque no es men-cionado, San Antonio Sabanillas, y los restantes que eran rancherıas o pequenosparajes en las segregaciones del XVIII, Santa Cruz, Cieneguilla, Daboxtha y ElSauz.

Algo semejante ocurrio con Itzmiquilpan, quien conservo como territorio loque denominamos Itzmiquilpan Sur, el territorio de los pueblos segregados en el

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diecisiete, El Espıritu, Orizaba, Portezuelo, San Juan y los Remedios La Sabana.Los pueblos independientes que aparecen nombrados en el censo de 1900 son ElAlberto, quiza de Tlazintla, una antigua dependencia en el Sur que aparece men-cionada a principios de ese siglo, La Pechuga, un asentamiento minero que puedecorresponder con las viejas minas del siglo XVI y que estaba en las fronteras delpueblo de Orizaba; El Tepe, mencionado como rancherıa a principios del sigloy perteneciente a Tlazintla; Maguey Blanco, tambien al sur y quiza de Itzmi-quilpan, que posiblemente corresponda con el paraje fundacional mencionado enel manuscrito que describe el Codice Las Pilas (Lopez Aguilar 2005) y Panales,al oeste, -quiza dependencia de Itzmiquilpan o de San Juan-, muy cerca de lacabecera municipal.

LOG AÑOS / LOG PUEBLOS ACUMULADOS

(1525-1985)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

7.3 7.35 7.4 7.45 7.5 7.55 7.6 7.65

LOG AÑOS ACUMULADOS / LOG PUEBLOS ACUMULADOS(1712-1985)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2

Figura 8: log / log de los pueblos y comunidades segregadas de Itzmiquilpan entre 1525y 1985. log / log de los anos acumulados entre la primera segregacion y la fecha de

observacion de 1985 con el numero acumulado de pueblos segregados.

Si a su vez consideramos las graficas del logaritmo de anos acumulados/lo-garitmo de pueblos acumulados y la del logaritmo de anos/logaritmo de pueblosacumulados, podremos observar de nuevo un comportamiento exponencial, posi-blemente indicativo de fractalidad. Curiosamente, la localidad nortena, caracte-rizada historicamente por su mayor estabilidad, tuvo factores de inestabilidad enotros ambitos, que derivaron en las diversas localizaciones de su capital hasta quela Bonanza fue finalmente abandonada a favor del pueblo viejo de Santa MarıaTepeji, llamado Nicolas Flores despues de la Revolucion.

Durante la misma gesta revolucionaria y hasta los anos treinta, los conflictosintercomunitarios se dieron por diferentes razones historicas y por muchas otras



causas. Por ejemplo, en 1917, los habitantes de Santa Marıa Tepeji, comanda-dos por Nicolas Flores, incendiaron la cabecera municipal del Cardonal. Se sabetambien que los caciques de Orizaba vendieron a los vecinos residentes las tierrasde la comunidad, temerosos de una expropiacion que no habıa ocurrido durantelos tiempos liberales del siglo XIX (Mendizabal 1947). A fin de cuentas, elloseran los duenos ya que esas extensiones las habıan adquirido por mercedes, porcompras de baldıos o compras a particulares y la defensa contra los vecinos habıasido una lucha constante desde el inicio de su proceso de independencia, en losalbores del siglo XVIII. Lo anterior, junto con la construccion de su iglesia, leshabıa significado una alta erogacion economica.

Es en ese escenario de la postrevolucion cuando seis nuevos pueblos se separany aparecen en el censo de 1930. Esta vez, uno era de Cardonal, La Florida,consecuencia de la expropiacion de esa vieja hacienda que tal vez fundo Alonsode Villaseca, en el siglo XVI, que luego pertenecio al mayorazgo de GuerreroVillaseca, a los Jesuitas y al Conde Romero de Terreros a principios del XIX. Losotros eran de Izmiquilpan: Capula y Ocoza tomaron el nombre de las exhaciendasde las que recibieron el reparto de tierras ejidales, Pueblo Nuevo fue fundado en elterreno constituido en ejido de la que fuera la hacienda de Ocoza, Dios Padre erauna nueva comunidad fundada junto a la Cabecera y Nequeteje era una antiguarancherıa cercana a la frontera con Cardonal, que en el siglo XVIII habıa tenidoconflictos de tierra con la Hacienda Debode.

Los conflictos intercomunitarios continuaron durante el siglo XX adquiriendoformas insolitas: Santuario luchaba por ser la cabecera municipal en lugar delCardonal y se genero una tension duradera ya que el agua potable era proveıdapor los manantiales del primero. La conversion a la doctrina evangelica por partede algunas rancherıas ha derivado en su solicitud de separacion y en la permanen-te lucha religiosa. Tal es el caso, por ejemplo, de la comunidad de El Calvario y elconflicto que tiene con sus vecinos catolicos, una vez que realizo su conversion ala religion evangelica-pentecostal y que ha dado los fundamentos necesarios parala segregacion de la cabecera (Garrett 2006). Tambien es sintomatico el conflictointercomunitario que tuvo lugar en Naxtey, en el vecino municipio de Alfajayucandurante los anos treinta -y que ellos llaman la guerra-, derivado del control delas fronteras de sus comunidades y de la aparicion de un nuevo manantial en susterminos (Rodrıguez, 1986). El disponer de escuelas comunitarias, el control dela faena y del tequio, el destino de los recursos de cada comunidad, han sido eltema recurrente durante los ultimos sesenta anos. El resultado se puede observar

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en la separacion de 22 pueblos en el municipio Itzmiquilpan alrededor de los anosochenta y, en los siguientes veinte anos, de 194 mas. Para los efectos de este estu-dio tomamos solo en consideracion los datos hasta 1985, fecha en que el antiguogobernador indıgena se ha transformado en Delegado Municipal. Aparentemen-te, no existen separaciones de pueblos en los municipios del Cardonal y NicolasFlores, lo cual apoya la idea de la configuracion de tres trayectorias despues dela primera segregacion en 1712.

Cuando se separo la republica del Cardonal, perteneciente a Tlazinta, nuncasospecharon que los lımites que estaban construyendo al sur, con las viejas ca-beceras se iban a transformar, a la vuelta de 160 anos, en la delimitacion de unmunicipio y que lo territorios al norte, pertenecientes a Itzmiquilpan-Tlazintla,se le iban a agregar en su nueva categorıa de manera que fueran las fronterascon el municipio de Santa Marıa Tepeji-Nicolas Flores. Pero, sobre todo, queesa separacion iba a constituir la marca para una dinamica trifurcada, que seexpresaba como inestabilidad en el territorio de Itzmiquilpan Sur, como semies-tabilidad en el centro, en el territorio de Santuario-Cardonal y como estabilidaden Itzmiquilpan Norte.

Esta triple trayectoria fue acentuada en el siglo XX con la construccion de lacarretera Mexico-Nuevo Laredo en los anos treinta que cruzo por la cabecera deItzmiquilpan, convirtiendola en un atractor de poblacion y en un lugar de fuertesdinamicas de intercambio. El centro siempre tuvo una semiestabilidad originadaprincipalmente por las fluctuaciones de la economıa minera, en el inicio de la platay despues de otros metales como el plomo, cuya vinculacion a la economıa mundialocurrio practicamente desde la conquista. La poblacion del Cardonal recuerda, ensu cabecera municipal semi abandonada, como hubo un fuerte apogeo economicodurante la segunda guerra mundial. El norte, en la sierra, tuvo vınculos con lasareas tropicales del fondo de las barrancas que permitieron la habilitacion de uningenio azucarero jesuita en Chichicaxtla. Tuvo, ademas relaciones con Meztitlany la Sierra Gorda de Hidalgo; sin embargo, su demografıa se observa muy establey, tal vez, con tendencias centrıpetas, lo que, salvo los conflictos ocurridos enla epoca Colonial que se resolvieron con demarcaciones territoriales, no tuvieronsegregaciones de pueblos sino hasta fechas tardıas del siglo XIX y el numero decomunidades, comparado con Itzmiquilpan, es muy bajo.

En resumen, el proceso de fractruamiento de los pueblos de indios que perte-necieron a la cabecera de Itzmiquilpan, a lo largo del tiempo, muestra un com-



portamiento fractal por las siguientes razones:

a) el fracturamiento de los territorios muestra a la extension de las superficiesy las fronteras como una funcion del tiempo (funciones logarıtmicas)

b) la dimension fractal de las superficies y las fronteras tambien se muestracomo una funcion del tiempo

c) una forma de entender secuencias autosemejantes en terminos de fractaleses que la suma de sistemas de escala menor contribuyen a la formacion deredes o sistemas de larga escala. Bajo esta perspectiva, los sistemas de menorescala pueden ser considerados como una jerarquıa de redes auto-similareso fractales: la arquitectura fractal del patron espacial es una caracterısticadel proceso de adicion acumulativa inherente a los procesos de crecimientodinamico del sistema. Como puede observarse en el Cuadro 6, el numero depueblos segregados tambien es una funcion del tiempo X(n) = [X(n− 3) +X(n − 2)]0.9 lo que parece indicar que estas secuencias tambien tienen uncomportamiento fractal

d) finalmente, la trayectoria de la cabecera de Itzmiquilpan, que manifiestaun entreveramiento de una semiestabilidad al centro, estabilidad al nortee inestabilidad al sur, recuerdan la idea que se propuso en otro lado sobreMesoamerica (Lopez Aguilar y Guillermo Bali, en este mismo volumen yLopez Aguilar y Bali 1995), con tres trayectorias semejantes, que permitıandefinir los colapsos y los apogeos de ese espacio social.

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Histórico Xn=[X(n-3)+X(n-2)]0.9

Razón Itzm Fibonacci Razón

0 Ci 1

2 2 Ci 1

2 Ci 2 1

5 5 Ci 3 2

4 1 5 1.5

5.76 2.5 8 1.66666667

7.22 1.15243976 13 1.6

7.77 1.25380507 21 1.625

10.05 1.07590673 34 1.61538462

11 11.44 S = 0.44 1.29288902 55 1.61904762

13.36 1.13833308 89 1.61764706

15.81 1.16803226 144 1.61818182

17.99 1.18339086 233 1.61797753

20.82 1.13771575 377 1.61805556

23.77 1.15736016 610 1.61802575

26 26.92 S = 0.92 1.14170003 987 1.61803714

32 30.50 S = 1.5 1.13241554 1597 1.61803279

34.23 1.1331152 2584 1.61803445

38.30 1.12227344 4181 1.61803381

42.66 1.11875107 6765 1.61803406

47.26 1.11392252 10946 1.61803396

54 52.17 S = 1.83 1.10774437 17711 1.618034

57.34 1.10399812 28657 1.61803399

62.77 1.0990703 46368 1.61803399

68.47 1.09471298 75025 1.61803399

74.41 1.09082472 121393 1.61803399

80.59 1.08670261 196418 1.61803399

86.99 1.08303884 317811 1.61803399

93.60 1.07946388 514229 1.61803399

100.42 1.07600123 832040 1.61803399

107.41 1.072774 1346269 1.61803399

114.57 1.06963574 2178309 1.61803399

121.88 1.0666536 3524578 1.61803399

129.32 1.06381273 5702887 1.61803399

136.89 1.06108142 9227465 1.61803399

144.55 1.05848181 14930352 1.61803399

152.30 1.055993 24157817 1.61803399

160.12 1.05361158 39088169 1.61803399

167.99 1.0513376 63245986 1.61803399

175.90 1.04916053 102334155 1.61803399

183.83 1.04707897 165580141 1.61803399

191.77 1.04508818 267914296 1.61803399

199.70 1.043183 433494437 1.61803399

207.61 1.04136071 701408733 1.61803399

215.49 1.03961694 1134903170 1.61803399

223.32 1.03794822 1836311903 1.61803399

231.10 1.03635141 2971215073 1.61803399

238.81 1.03482305 4807526976 1.61803399

248 246.44 S = 1.56 1.03336023 7778742049 1.61803399

253.99 1.03196001 1.2586E+10 1.61803399

Cuadro 5.- serie Itzmiquilpan con modificacion Σ y comparacion con la serie Fibonacci.CI= Condicion Inicial 0,2,2,5.



0

50

100

150

200

250

300

Itera

cione

s 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Xn=[X(n-3)+X(n-2)]^0.9

Histórico

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

Itera

cione

s 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45

Razón Itzm

Fibonacci

Figura 9.- Comparacion de la serie Itzmiquilpan X(n) = X(n-3) + X(n-2) con los datoshistoricos y comparacion de la razon Fibonacci con la razon Itzmiquilpan.

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Fechas 1525 1712 1788 1900 1930 1985 2000

Años/evento 1 187 68 120 30 55 15

S Años 1 187 255 375 405 460 475

Nuevos Pueblos 2 3 6 15 6 22 194

S Pueblos 2 5 11 26 32 54 248

Dim Fronteras 291.03989 492.38 636.72089

Superficie

Itzmiquilpan 1721.056038 1192.376287 931.7236621

Log Fechas 7.329749689 7.445417557 7.484368643 7.549609165 7.565275282 7.593374193 7.60090246

Log Años/evento 0 5.231108617 4.219507705 4.787491743 3.401197382 4.007333185 2.708050201

Log S Años 0 5.231108617 5.541263545 5.926926026 6.003887067 6.131226489 6.163314804

Log de Pueblos 0.693147181 1.098612289 1.791759469 2.708050201 1.791759469 3.091042453 5.267858159

Log S Pueblos 0.693147181 1.609437912 2.397895273 3.258096538 3.465735903 3.988984047 5.513428746

Log Dim Fronteras 5.673460337 6.199250776 6.456331396

Log Superficie

Itzmiquilpan 7.450693357 7.083703475 6.837036271

DF SUPERFICIE 1.883 1.822 1.78

DF FRONTERAS 1.018 1.107 1.133

DF SEPARACIONES 1.676 1.744

DF ITZMIQUILPAN N 1.78 1.786

DF ITZMIQUILPAN S 1.549 1.549

DF CARDONAL 1.584 1.34

DF SANTUARIO 1.335

DF NOPALERA 1.373

DF POZUELOS 1.34

DF REMEDIOS 1.355 1.292

DF EL ESPIRITU 1.248

DF SAN JUAN 1.379 1.311

DF PORTEZUELO 1.295

Cuadro 6.- Sıntesis de informacion basica, logaritmos de los eventos y dimensionesfractales de las superficies y las fronteras



Fechas 1525 1712 1788 1900 1930 1985

Nombres de

los pueblos Itzmiquilpan Orizaba Bonanza La Florida Bangantho

La Sabana EspírituS. María

Tepexi Capula Tamalera

San Juan Portezuelo Ixtatlaxco Dios Padre Mando

Tlazintla Cardonal S. M. Nopalera Santa Cruz Ocozá Nitly

Santuario Cieneguilla Nequetejé Pueblo Nuevo

Pozuelos Jonacapa Pueblo Nuevo Agua Florida

Daboxtha Cañada Chica

S. A.Sabanillas

Chalmita

El Sauz Dezha

Tixqui(Cuyametepec)

El Durazno

El Alberto Exhacienda Capula

El Tepé Jagüey Capula

Maguey Blanco El Manantial

Panales El Meje

La Pechuga Naxtey

Ojuelos

La Palma

San Pedro Capula

Quixpede

Ustejhe

Zamayoa

Xuchitlan

Cuadro 7.- Nombres de los pueblos hasta el ano 1985. Datos de 1900 a la fecha tomadosdel INEGI. Archivo Historico de Localidades

Bibliografıa

INEGI. Archivo Historico de Localidades.

Garrett Rıos, Gabriela, Modernidad y conversion religiosa entre los otomıes deIxmiquilpan, Hidalgo. Tesis de licenciatura en Historia. Facultad de Filosofıa yLetras, UNAM, Mexico, 2006.

Lopez Aguilar, Fernando, Sımbolos del tiempo. Inestabilidad y bifurcaciones enlos pueblos de indios del Valle del Mezquital. Consejo Estatal para la Cultura ylas Artes del Estado de Hidalgo, Mexico, 2005.

Lopez Aguilar, Fernando, De la identidad a la inestabilidad. Reflexiones sobre elhnahnu prehispanico. Universidad Autonoma del Estado de Hidalgo, Mexico, enprensa.

Lopez Aguilar, Fernando y Guillermo Bali, “Mesoamerica, una vision desde la

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teorıa de la complejidad”. Ludus Vitalis III, 5, 1995, pp. 83-102.

Lopez Aguilar Fernando y Guillermo Bali, “La distribucion de los asentamien-tos del Valle del Mezquital como un modelo de desarrollo social”. Estudios deCultura Otopame 3 IIA/UNAM, Mexico, 2002 pp. 9-16

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Mendizabal, Miguel Othon, “Monografıa de Capula”. En Obras Completas TomoVI. Talleres Graficos de la Nacion. Mexico. 1947. p. 237-256.

Rodrıguez, Antonio, La Nube Esteril. Ediciones Amigos del Cafe Parıs 2, 1986.


Re-Configuraciones Fractales y ManifestacionesRupestres

Aline Lara Galicia1

En recientes anos, particularmente en Europa, Australia y el Sur de los Esta-dos Unidos, se ha desarrollado un debate en la antropologıa de acuerdo al uso delas ciencias duras, principalmente las matematicas, y nuevas herramientas comola tecnologıa u otras geometrıas para la interpretacion y comprension de los datos.Como toda historia de la arqueologıa, las comunidades cientıficas se han dividi-do en los que creen que todas estas innovadoras tecnicas, metodologıas y teorıasresultan obsoletas, sin ningun alcance en la comprension del pasado; y por otrolado, los que han emprendido el camino hacia entender y manejar nuevos con-ceptos, lenguajes y formas mas viables de integrar las evidencias de los contextosdel pasado.

La utilizacion de la teorıa de la complejidad ha ofrecido observar fenomenosde orden-desorden en todo sistema complejo y dinamico. Las estructuras disipati-vas son tambien parte de esta nueva epistemologıa en la que su principal funciones promover las ideas de complejidad, irreversibilidad, diferencia, diacronıa, di-namismo, subjetividad, autonomıa, indeterminacion, asimetrıa, vitalismo, espon-taneidad, singularidad, ruptura, azar y contingencia. Dentro de las estructurasdisipativas se encuentran los sistemas alejados del equilibrio, que se originan desdela dinamica no lineal, la cibernetica clasica y la teorıa general de sistemas. Auna-do a estas, la teorıa del caos fue llamada como la “Nueva Ciencia”2, constituida

1 Posgrado en Arqueologıa. Escuela Nacional de Antropologıa e Historia/Doctorado en Ar-queologıa Universidad de la Sorbona Paris IV.

2 Prigogine y Stengers, 1984; Briggs y Peat, 1989.

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166 Aline Lara Galicia

como:

A revolutionary paradigm of scientific analysis and theorizing that hasfundamentally transformed my areas of physics, chemistry, biology,meteorology, physiology and mathematics (Mosko y Damon 2005:1).

Esta nueva ciencia hace posible encontrar fenomenos que se manifiestan en lossistemas muy complejos como las sociedades humanas, que a traves de los restosarqueologicos o estudios antropologicos, dan cuenta de la autoorganizacion delos distintos elementos del sistema. Nos permite observar como se adaptaron lasculturas a cambios e innovaciones de acuerdo con su adaptacion al medio, sin quese de solo por hecho esta conformacion. Es decir, que la dinamica entre el entornoy los elementos que son creados por las sociedades no es simple casualidad.

De todos los descubrimientos de la complejidad, los que quiza posean mas“comercializacion” y atencion son los llamados fractales. La geometrıa fractalva mas alla de la visualizacion de imagenes creadas a traves de la computado-ra, se trata conjuntamente de toda una teorıa matematica que en los ultimosanos ha producido innovadoras interpretaciones en los estudios antropologicos yarqueologicos (Eglash, 1999; Brown y Witschey, 2002; Wolfram, 2002; Reynoso,2004; Brambila, 2005, Kelly, 2005; Piot, 2005, entre otros). Este tipo de ordenestructural ha implicado que las relaciones de autosimilaridad fractal puedanser identificadas desde el inicio de la investigacion si se sospecha que se esta enpresencia de un sistema dinamico no lineal.

Un fractal se refiere al fenomeno de auto-similaridad; es romper y crear frag-mentos irregulares en donde las formas o comportamientos poseen propiedadessimilares en todos sus niveles de magnificacion o a traves de las epocas. En lasdiversas investigaciones se ha coincidido que una estructura fractal se caracterizapor lo siguiente: 1. Posee detalle a todas las escalas de observacion; 2. No es posibledescribirla con la geometrıa Euclidiana, tanto local como globalmente. 3. Poseealguna clase de autosemejanza, posiblemente estadıstica; 4. La dimension fractales mayor que su dimension topologica y 5. El algoritmo3 que sirve para describirla

3 Una posible definicion de algoritmo es un conjunto de reglas que permiten obtener un re-sultado determinado a partir de ciertas reglas definidas. Segun otra definicion, algoritmo es unasecuencia finita de instrucciones, cada una de las cuales tiene un significado preciso y puedeejecutarse con una cantidad finita de esfuerzo en un tiempo finito. Ha de tener las siguientes


Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones Rupestres 167

es muy simple, y posiblemente de caracter recursivo. Es un concepto que fue ori-ginado por Benot Mandelbrot (1975, 2000), aunque muchos matematicos lo hantrabajado y actualmente existe un debate acerca de su definicion (Kulckzycki,1961; Barnsley, 1993).

La llamada geometrıa euclidiana aporto un tipo organizacional y elemental,en el que sus axiomas iniciales marcaban de lo mas simple a lo mas complejo:desde un punto carente de dimension hasta un cırculo como figura contenida enuna lınea, que se denomina circunferencia y en el que todas las lıneas rectasvan de punto en punto. Euclides instaba que una lınea era infinita dentro deun espacio adimensional de puntos, pero afirmaba que una recta, al proyectarsedefinidamente, podrıa llegar a ser infinita. La figura geometrica serıa entoncesuna parte de determinadas unidades que existe dentro del espacio euclidiano.Lo inconsistente, es que aludio a que la longitud de una lınea pertenecerıa alos espacios “n” dimensionales, cortandose infinidad de veces hasta convertirseen un punto, lo que la curva de Koch contradijo. Por sı misma, la herencia deEuclides ha resultado ser limitada en los estudios antropologicos, biologicos ymatematicos, ya que ha acotado enormemente el universo de lo que observamosy su empirismo no ha dejado cuantificar la percepcion subjetiva en el espaciocreado por el hombre.

La geometrıa fractal se desarrolla como parte de la teorıa de la complejidaddentro la fısica, implicando un gran exito al percibir modelos de una constanteincertidumbre en los procesos fısicos naturales. El avance de la metodologıa dela fractalidad y su aplicacion en la arqueologıa, proponen que a partir del enten-dimiento de los acontecimientos como complejos, se pueden utilizar numeros depuntos infinitos o fractales para definir un espacio conocido. Para entender estanueva metodologıa se requiere conocimiento de matematicas, utilizacion de pro-gramas computacionales y la aceptacion de un lenguaje mas abierto y dinamico.Los fractales se pueden generar de una manera mas dinamica a traves de procesosque pueden imitarse una y otra vez, junto con una teorizacion en los modelos queya han sido utilizados en la antropologıa y la arqueologıa.

La teorıa de los fractales es revolucionaria: habla de objetos y a su vez de

caracterısticas: legible, correcto, modular, eficiente, estructurado, no ambiguo y se ha de desa-rrollar en el menor tiempo posible. El termino proviene del matematico arabe Al’Khwarizmi,que escribio un tratado sobre los numeros. Este texto se perdio, pero su version latina, Algoritmide Numero Indorum, sı se conoce.

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figuras, desaparece la distancia entre los objetos y sus representaciones (ningu-na imagen reprimira o comprimira al objeto). En la llamada dimension fractal setiene un ındice matematico, y con el se pueden cuantificar y medir las caracterısti-cas de estos objetos fractales. Esta extension permite registrar mejor las formasgeometricas fractales, al medir su complejidad caotica. Los fractales pueden vi-sualizar en que punto de un espacio matematico incurrirıan las soluciones de estaecuacion caotica, simbolizando los soportes logarıtmicos de la representacion dela realidad. Esta dimension fractal hace posible comparar dos objetos entre sı pa-ra evidenciar, de esta forma, las diferencias y semejanzas. Ante ello, se puededeterminar el numero de dimensiones de cierto fenomeno para observar que tanparecida es una parte del todo. A esta definicion tambien se le conoce como ladimension de similitud o D, la cual mide la complejidad de las figuras -que en lageometrıa euclidiana no pueden ser analizadas por romper con los axiomas antesdescritos-, pues la dimension fractal varıa segun las escalas. Para obtener su valorse pueden utilizar distintas disciplinas a traves de programas matematicos. Conestos se pueden representar imagenes, hacer modelos, hacer patrones o identificarestructuras (Talanquer, 2003).

A traves de los resultados numericos generados por la computadora, se lograobtener una mejor visualizacion de la imagen ası como de la estructura fractal,puesto que la resolucion ira mas alla de lo que puede percibir el ojo humano.Con su aplicacion en las manifestaciones grafico-rupestres se puede resolver elproblema de analisis de aquellos elementos que, por sus dimensiones o su ubica-cion, no se pueden registrar. Tambien se puede determinar la exactitud de losespacios entre pinturas, la conservacion de las grafıas (sin tener contacto con lasmismas) y encontrar nuevas formas de interpretar las obras en toda su extension.Ası mismo, con el empleo de la teorıa fractal serıa factible el descubrimiento dehuellas de los pintores de las grafıas, pues se han localizado diversas figuras deaspecto, tamano, desviaciones, entre otras, similares; ademas, se detectarıa unanueva forma cronologica dentro de un panel.

Ası, lo rupestre debe ser dilucidado, entonces, como un espacio-tiempo con-tinuo y complejo consiguiendo una comparacion y disparidad de las distintasepocas sobrepuestas en estos lugares:

El espacio fractal es un repertorio matematico que se puede calcular ycuantificar, de acuerdo a los fenomenos fractales en el espacio dondese encuentren. Los conceptos de caos y orden se ven integrados a



este espacio discontinuo y auto-semejante. A su vez, es un espaciosimbolico en el que el espacio-tiempo es un continuo, abierto y con laexistencia de un centro territorial, de caracter borroso, y que puedecontener una dimension fractal” (Lara, 2006: 71).

Se pretende, a partir de este trabajo, mostrar una interpretacion de las grafıasrupestres del Valle del Mezquital, Hidalgo, a partir de la teorıa de la complejidad,principalmente con fenomenos fractales, ası como la relacion de autosimilitud queexiste en las representaciones pictoricas simbolicas de esta region.

Los lugares arqueologicos

El area del Valle del Mezquital se localiza en los estados actuales de Hidalgo yQueretaro, en Mexico. Cuenta con una geologıa de rocas volcanicas basalticas quese localizan en barrancas largas y de gran profundidad que se originaron despuesde la erupcion del “Cerro Hualtepec o Coatepec” (Gonzalez, 1968). Asimismo,presenta grandes planicies y mesetas distribuidas a lo largo de esta region. Ar-queologicamente, es una zona que, a traves de los siglos, ha funcionado comouna interconexion entre las llamadas tierras chichimecas y mesoamericanas, for-mando una continuidad del espacio que en ocasiones era movible y dinamico,“con diversos momentos crıticos, situaciones lımite y respuestas locales” (Lopez,2005:36). Las evidencias en esta area comprenden campamentos de cazadoresrecolectores, zonas habitacionales y edificios arquitectonicos de gran relevancia,tanto prehispanicos, como coloniales del siglo XVI. Los lugares de mayor por-centaje son las manifestaciones grafico rupestres, ubicados en abrigos, panelesy petroglifos distribuidos a lo largo de barrancas. Estos grafismos pintados seconcentran en los municipios de Huichapan, Alfajayucan, Tecozautla, Cardonal,Chapantongo e Ixmiquilpan, considerado ası, al estado de Hidalgo, como una delas regiones con mayor riqueza pictorica de todo Mexico (figura 1).

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Figura 1. Lugares con manifestaciones rupestres

A partir de la ubicacion de grandes barrancas, se eligieron dos lugares quepudieron funcionar como atractores4 rituales, de acuerdo a su ubicacion y carac-terısticas geomorfologicas. Ambos lugares representan una nueva visualizacion deorden simbolico en torno a la teorıa de la complejidad y los fractales. Los pa-trones de auto-similaridad fractal se concretan en la vida social, mıtica, codicesy lo rupestre de los grupos que habitaron la region, principalmente los hnhnuynahuas, que de acuerdo a Lopez:

Para entender las respuestas culturales y las formas de organizacionhnhnu, es necesario visualizar la estructura y las caracterısticas delpaisaje, como condicionantes de una perspectiva particular del mundo

4 Un atractor es mas o menos por definicion un lugar u objeto que representa jerarquıa deacuerdo a sus particularidades sociales o fisiograficas.



que ha generado un caracter y una actitud ante la vida, vilipendiadapor muchos de sus dominadores (Lopez, 1997: 3).

Xindho y Mandodo, se caracterizan a nivel local por poseer una gran diversi-dad de iconos de los lugares rupestres del Valle. El primer espacio, se localiza enuna barranca del arroyo Calvario, en el municipio de Huichapan. Xindho significaen hnhnu “Piedra de laja”. El segundo lugar, se ubica en el municipio de Alfajayu-can, sobre el arroyo donde se generaron grandes paredes rocosas en la canada. Loslugarenos le llaman Mandado, que significa “piedras encimadas”. Ambos coinci-den en una modalidad de formas que se agrupan en paneles y abrigos ubicados encierta posicion geografica, dando la posibilidad de una continuidad de lectura delos lugares. Se situan en las hondonadas mas largas y profundas del area entre losmunicipios de Ixmiquilpan y Huichapan, uno y otro relacionados con los afluentesque se generan en las faldas del cerro Hualtepec, lugar reconocido como sagradode acuerdo al mito de fundacion desde epocas prehispanicas. Las representacionesde danzas rituales, principalmente el palo volador o Xocolhuetzin, las formas deanimales rituales como el mono, el venado y el tlacuache, ası como las imagenesde escudos o chimalisson son constantes en ambas barrancas, todas pintadas enblanco.(Figuras 2, 3 y 4).

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Figuras 2, 3 y 4. Representaciones auto-similares entre Mandodo y Xindho

Reconsiderando las caracterısticas de un fractal de escala, recursividad y au-tosimilitud, ambos lugares contienen homologıa y multiplicacion de identidadessimbolicas en los mas de 100 recintos rupestres que se tienen en el area. Lasimagenes se caracterizan por una serie de contornos rocosos con cubiertas mesoa-mericanas, compuesto por figuras humanas, plantas, estructuras, herramientas de“guerra”, animales y formas “geometricas” completas o donde una parte repre-senta a todo el conjunto. Todas estas figuras son semejantes a las que se presentan



en los codices de la zona. Todas son de color blanco, aunque el rojo y otros coloresestan presentes en una variedad de figuras que posiblemente pertenezcan a otraepoca. Finalmente, el aprovechamiento del espacio simbolico se relaciona con lacircularidad de espacios proximos como paneles que se observan, uno en frentedel otro, alrededor de pequenos contenedores de agua en la roca que se inundanen epoca de lluvias (figura 5).

Figura 5. Patron fractal en los lugares rupestres

De acuerdo con Whitehead (1919), el objeto tiene autonomıa de existencia,debido a su existencia corporea, pero no tiene autonomıa de significacion, “sucambio viene con la significacion de las relaciones que mantiene con los diversosacontecimientos” (Whitehead, Ibid: 63). Conforme a Roy Wagner, la aplicacionde la teorıa del caos y la iteracion de los fractales representa una practica cientıficay la visualizacion de “otra” cara de la realidad social (Wagner, 2005: 228). ParaWagner:

The image of the imager in the act of imaging things is a humandevice, a virtual holography superimposed upon the action of sensingit. (Wagner a Mosko, 2006:43).

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En Mesoamerica el espacio-tiempo no tuvo fronteras; fue continuo, abiertoy con la existencia de no uno, sino de varios centros territoriales y ceremonia-les de cada localidad pero reconocidos a nivel regional. Afines a la teorıa de lacomplejidad, las manifestaciones rupestres son representaciones de espacios lisose isotropicos que se leen en todas direcciones y sentidos siguiendo al codigo esta-blecido. Las analogıas antropologicas y arqueologicas en los procesos universalesde la fractalidad son mas susceptibles a ser descubiertas en los grupos socialesdonde las relaciones son complejas y dinamicas. Por ejemplo, la formulacion deritos de paso de Van Gennep (1986), la formula del mito de Levi- Strauss (1995)y la teorıa de la practica de Bourdieu (1987), entre otros, son puntos que de-ben reconsiderarse para ser entendidos como procesos dinamicos no lineales en elmundo natural. De acuerdo con van Gennep, hay dos distinciones entre el tiemposecular o profano, el cual esta adelantado, y el tiempo sagrado, en el que se dala restauracion del mundo a traves de los rituales. Este ultimo es el tiempo queretorna a su nacimiento. Se asocia con los rituales de iniciacion, a veces denomi-nados de renacimiento. Sus fases comienzan con la sacralizacion, por la cual elindividuo profano muere y es arraigado de la moralidad plena. Le sigue la fasede marginalidad, en la cual el tiempo social ordinario es detenido y el individuose encuentra en un espacio liminal. Finalmente se pasa a la fase de renacimiento,donde el individuo vuelve al mundo profano. Esto concierne a la dinamica nolineal de inversion o reversion y a su vez presenta una repeticion fractal que sepuede revelar en la actividad de pintar solo en ciertas barrancas.

La cuestion simbolica en el Valle del Mezquital fue abstracta, llenandose conla materialidad cultural, y teniendo espacios sin lımites geograficos. Es compar-tida por varios grupos que dan significado y atribuyen su origen a actos ritualessimilares a modo de fractal. La sobreposicion de las pinturas por muchas genera-ciones o grupos locales, es una forma de reutilizar el espacio, ya sea en el mismomomento o en epocas sucesivas. Los rituales no fueron estaticos sino continuos yal mismo tiempo, discontinuos, lo que confiere un estado de atractor topologico:el ritual es atraıdo por un atractor. La posicion de los signos ası como el soportey la tecnica de grabado obedecen a la significacion que se quiere representar encierto momento y epoca.

Aunada a la interpretacion de autosimilitud en esta region, la ideologıa degrupos locales actuales (hnhnu -nahua) nos permite comprender ciertos atractoressimbolicos del pasado. Los hnahnu mantienen la idea de ser una unidad etnica,cuya lengua es la que realiza esta unificacion. De acuerdo con Jaques Galinier



(1987), la comunidad es la que hace la identidad, el ooy (tierra) es la vivienda, elpueblo, las tierras del pueblo. Para los hnhnu, el territorio es el centro del mundo,el origen de la comunidad. El tiempo se marca por rituales para la cuestionagrıcola. Sin embargo, el calendario no es general, pues es establecido de unaforma local. Su concepcion temporal se basa en las fases de la luna, una dualidadcentrada en la muerte y el nacimiento, en la relacion frıo y calor, en lo seco y lohumedo. Las representaciones lunares son constantes en lo rupestre y, al parecer,los grupos antiguos de esta entidad, basaban su temporalidad tambien en la luna,si bien el ciclo solar fue importante por ser una cuestion global en Mesoamerica(figura 6).

Figura 6. A la derecha, representacion lunar rupestre de Mandodo. A la izquierda semuestra la significacion que le da un custodio de la localidad de San Antonio

Tezoquipan.

Lo anterior se cree tambien en el nahualismo y es representado por mediode figuras de papel, forma muy generalizada en la region hnahnu - nahua- te-pehua. Actualmente se utilizan distintos colores de papel, aunque el blanco es elmas usado para las ceremonias de curacion. Los colores son importantes en la

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religiosidad y la concepcion hnahnu: el blanco representa las nubes o la piel deleuropeo; el amarillo y el naranja, la flor de cempasuchil; el oro, el rojo, el colo-rado, la cosmovision, entre otros. Con respecto a la escritura, se considera comovalioso saber de la tradicion oral y la pictografica, pero es importante recalcarque estos grupos integran en ella el espacio y el tiempo. Se trata entonces de unaescritura compleja entre las palabras y las representaciones rupestres. Una delas interpretaciones de la dimension esta relacionada con la capacidad que ocupaun objeto en el espacio, esta ayudara a dilucidar la determinacion del contenidomatematico y simbolico de las formas fractales.

De esta forma, se considera que el fractal se caracteriza por un proceso queproduce patrones de diferentes niveles de la realidad, sobre distintas escalas. Enlas manifestaciones rupestres la forma prototipo, ası como su ubicacion, obede-cen a la interaccion entre los actores humanos y la relacion simbolica que tienencon el medio. La seleccion de grafıas va de acuerdo a ciertos rituales organizadosen las propiedades colectivas de lugares particulares. Estos atractores son equi-valentes en otros tipos de manifestaciones como codices, petrograbados y mitoshnahnu en donde la reproduccion muestra escalas de auto-similaridad. Cuandose integra la nocion de escala, principalmente la de fractal, se pueden encontrarpatrones reproducidos en distintos niveles. Con los contornos de estos fractales,las bifurcaciones no solo caminan hacia un aspecto matematico, sino tambien me-taforico y metonımico en las manifestaciones rupestres del Valle del Mezquital.

Es preciso destacar que, aunque existe auto-similiridad y continuidad socialde los patrones de repeticion, dentro de los lugares prehispanicos hay diferenciasminoritarias, las cuales a traves de un significante numero de pasos muestranevidencia de fases de cambio y transformacion.

Finamente, tal y como lo argumenta Duverger (2006, comunicacion perso-nal), hay distintos niveles de representacion, aunque el significado tiene el mismosentido, lo que implica que puede haber varias formas iconicas. Lo importanteaquı es la idea que se genera dentro del sistema mesoamericano para traducirlas variaciones iconicas. Ası, la escritura ideografica mesoamericana puede leerseuniversalmente en el codigo aunque el idioma sea distinto (como el nahua o elhnahnu). Existe por tanto, una vocacion plurietnica, una homogeneidad y a la vezuna heterogeneidad cultural de los grupos prehispanicos que habitaron el Valledel Mezquital.



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Apendice Bibliografico. Arqueologıa, Antropologıa yFractales

Gustavo Sandoval Garcıa

El siguiente listado corresponde a una busqueda bibliografica sobre las investi-gaciones arqueologicas y antropologicas que han hecho algun uso de la geometrıafractal. Hay que hacer notar, esta no es exhaustiva, hay muchas mas publicacio-nes que las seleccionadas aquı. Las referencias relacionadas con la arqueologıa sonmas completas, aunque no definitivas. En cuanto a los trabajos antropologicosculturales, la lista parecerıa insuficiente, pero quien esto escribe no se especializaen este contexto ası que sus recursos fueron limitados.

Tambien hay que senalar al lector que dentro de esta lista se han filtradouna serie de referencias que a primera vista no parecerıan muy cercanas a laarqueologıa ni a la complejidad, pero que en la lınea analıtica que se ha seguidoen Sandoval y Vilanova (en esta publicacion) cobran cierta logica; ejemplo de estoseria las referencias de Wallerstein.

Otra aclaracion pertinente sobre los textos referidos es que no todos compar-ten el mismo estandar, y habran de ser filtrados por el lector segun sus objetivosde consulta. El objetivo consiste en presentar una panoramica de como la geo-metrıa fractal ha convivido en la arqueologıa, y por lo tanto las omisiones sonmenores.

Por ultimo, habra de notarse que muchas referencias son recursos de Internet,con las cuales se han tratado de emplear estandares mas selectivos. Por su origen,estas referencias constantemente se actualizan; por lo tanto en este aspecto ellector no deberıa conformarse con lo aquı referido.

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180 Gustavo Sandoval Garcıa

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