REGRESI POLINOMIAL KUBIK

Untuk memenuhi tugas matakuliah Analisis regresi

Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi

Oleh:

Kelompok 2

1. Rizky Dinar Palupi (408312408016)

2. Dewi Ratna Ayu W (408312409132)

3. Baharudin Kristian P (408312413111)

4. Furintasari Setya A (408312413113)

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

OKTOBER 2010

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan

hubungan suatu variabel terhadap variabel yang lain. Variabel yang pertama

disebut dengan variabel bebas atau variabel X karena seringkali digambarkan

dalam grafik sebagai absis. Variabel yang kedua adalah variabel terikat atau

variabel Y, dalam grafik digambarkan sebagai ordinat. Kedua variabel ini

biasanya merupakan variabel acak (random).

Analisa regresi merupakan salah satu uji statistika yang memiliki dua jenis

pilihan model yaitu linear dan non linear dalam parameternya. Model linear

memiliki dua sifat yaitu regresi sederhana dan regresi berganda dengan kurva

yang dihasilkan membentuk garis lurus. Untuk model non linear polynomial

berderajat dua yang disebut kuadratik, berderajat tiga yang disebut kubik,

berderajat empat disebul kuartil, dan seterusnya. Kurva yang dihasilkan

polynomial tersebut membentuk garis lengkung. Disini kami akan menganalisis

tentang model regresi non linear dalam parameternya bersifat kubik. Regresi non

linier yang bersifat kubik biasa dinyatakan dalam bentuuk Yi = β0X0i + β1Xi +

β2Xi2 + β3Xi

3 + ε. Dalam makalah ini kami mengambil contoh tentang banyaknya

cucian yang masuk ke |” BUSA” laundry selama bulan Juni - September 2010.

1.2. Rumusan Masalah

1. Bagaimana bentuk umum persamaan regresi non linear yang berbentuk

kubik?

2. Bagaimana mengubah suatu persamaan regresi non linier yang berbentuk

kubik menjadi regresi linier?

3. Bagaiman menganalisa model regresi yang telah diperoleh

1.3. Tujuan

1. Untuk mengetahui bentuk umum persamaan regresi non linear yang

berbentuk kubik.

2. Mengubah suatu persamaan regresi non linier yang berbentuk kubik

menjadi regresi linier.

3. Menganalisa model regresi yang telah diperoleh.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Kajian teori

Model regresi non linier polinomial berderajat tiga atau model regresi

kubik mempunyai persamaan umum yang berbentuk :

Y = 0X0i + 1Xi + 2Xi2 + 3Xi

3 + ε

Dimana:

Yi = nilai pengamatan ke-i

Xi = nilai peubah X yang ke-i

β 0 = titik potong / parameter intersep

β 1 - β 3 = Parameter pengaruh peubah X1, X2, X3 terhadap peubah Y pada

derajat atau ordo ke 1, 2, 3.

ε = galat ke-i yang diasumsikan berdistribusi bebas normal dengan

nilai rata- rata 0 dan ragam (σ2)

X0i = 1

i = 1, 2, 3, ..., n

Mengubah persamaan non linier bentuk kubik menjadi linier dengan

menggunakan rumus di bawah ini:

Y = X b

[ ]

[

]

[

]

Didapatkan Yi*= b0 + b1Xi + b2Xi2 + b3Xi

3. Bentuknya tetap berupa

polinomial kubik.

Asumsi yang diperlukan dalam model regresi polinomial berderajat tiga

adalah:

1. Bahwa ε merupakan peubah acak dengan nilai tengah dan variansi σ2 .

2. Bahwa ε i dan ε j , i tidak sama dengan j ( i ≠ j ), tidak berkorelasi satu

sama lain atau dapat ditulis Cov (ε i, ε j) = 0.

1) Pendugaan koefisien regresi polinomial berderajat tiga

Jika suatu data yang diberikan hanya dapat disajikan melalui kurva

regresi non linear, maka kita harus menentukan bentuk kurvanya dan

menduga parameternya. Dalam pendugaan koefisien regresi terlebih

dahulu diperlukan model sampel untuk mendekati data yang diperoleh dari

sampel. Model sampel yang digunakan untuk regresi polinomial berderajat

tiga adalah sebagai berikut:

Y1 = b0X0i + b1Xi + b2Xi2 + b3Xi

3 + Є

dimana:

i = 1, 2, 3, ..., n

X0i = 1 , untuk i = 1, 2, 3, ...,n

Model sampel di atas terlihat bahwa koefisien b0 mengandung nilai

X0i. dimana nilainya sama dengan 1. Pemberian peubah tiruan X0i

bertujuan agar b0 dapat dihitung bersamaan dengan koefisien yang lainnya.

Untuk menduga koefisien b0, b1, b2, b3 dapat menggunakan metode

kuadrat terkecil yang dibantu dengan matriks.

Y = X b

XT = X

T X b

(XT.X)

-1 X

T Y = (X

T.X)

-1 (X

T.X) b = I b

b = (XT.X)

-1 X

T Y

[

] =

[

]

[

]

Persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan secara serentak

dengan menggunakan metode eliminasi, juga dengan metode Cramer.

Sebaiknya pada permulaan sebelum mengidentifikasikan model regresi

apa yag diperkirakan sesuai, maka perlu dilihat arah kecenderungan data

untuk memperoleh gambaran awal kira-kira model regresi apa yang cocok,

apakah model regresi linier atau regresi non linier.

Apabila data merupakan model regresi non linier, maka sebelum

melakukan analisis perlu terlebih dahulu ditransformasikan agar

persamaan non linier menjadi regresi linier. Analisis regresi polinomial

apabila data mempunyai jarak atau interval yang sama, maka untuk

memudahkan analisis regresi dapat dilakukan transformasi dari peubah asli

menjadi peubah kode yaitu sebagai berikut :

Xi = { Ti – ( Tmin + Tmaks / 2} / { Tmaks – Tmin ) / 2 }....

Dimana:

Xi = peubah bebas kode

Ti = peubah bebas asli

Untuk mengetahui model regresi yang terbaik menggunakan

analisis ragam regresi polinomial berderajat tiga. Pengujian untuk

menentukan model regresi yang sesuai dilakukan mulai derajat yang

paling rendah sampai dengan tiga, tetapi pengujian dapat dihentikan

apabila diketahui bahwa tidak ada gunanya derajat yang lebih tinggi diuji.

Berikut ini analisis ragam polinomial derajat tiga :

SK Db JK KT

Regresi Kubik (pada X,

X2, X

3)

3 JKR3 KTR3 / 3

- Regresi kuadratik (pada

X, X2)

2 JKR2 KTR2

- Sokongan oleh X3/(X,

X2)

1

( n-4 )

JKK2 = JKR3 – JKR2

JKS2 = JKT – JKR3

KTK2 = JKK2

KTS2 = JKS2 / (n-4)

Dimana:

JKRS = ∑ bs { ∑ XiS Yi – ( ∑ Xi

S ∑ Yi ) / n }

JKt = ∑ Yi2 – ( ∑ Yi )

2 / n

Fhitung = KTR / KTsisa dan Fhitung= KTS KTsisa

Untuk dapat menguji ketepatan model regresi, maka jumlah

kuadrat galat perlu dipecah menjadi jumlah kuadrat galat murni dan

jumlah kuadrat simpangan dari model (Gasperz 1900). Sehingga

kuadratnya dapat ditulis sebagai berikut:

JKG = JKGM + JKSDM

JKGM = ∑{ ∑ Yi2 – ( ∑ Yi )

2 / ni}

JKSDG = JKG JKGM

Dimana :

Xi = ulangan pada peubah bebas ke-i

Yi = pengamatan peubah tidak bebas ke-i

ni = banyaknya ulangan pada peubah bebas ke-i

Untuk menjelaskan keragaman pada regresi yang sesuai adalah

dengan koefisien determinasi yaitu sebagai berikut:

R2 = JKregresi / JKtotal

Apabila persamaan regresi yang sesuai telah didapat maka dapat

digunakan untuk peramalan pada peubah tidak bebas dan penentuan

kondisi optimal pada peubah bebas. Namun dalam peramalan hanya

berlaku pada daerah percobaan yang bersangkutan agar terhindar

ekstrapolasi yang berlebihan. Tetapi sebelum melakukan penentuan

kondisi optimal dan peramalan, maka perlu terlebih dahulu untuk

melakukan pengujian keandalan model persamaan regresi yang telah

dibangun. Dalam menentukan kondisi optimal pada peubah bebas agar

diketahui kondisi yang maksimal dari peubah tidak bebas maka harus

dipenuhi persyaratan sebagai berikut:

1. Syarat perlu:

δ ε / δx1 = 0 ; δ ε / δx2 = 0

2. Syarat cukup:

Determinai minor utama dari matriks Hessian (H) bersifat negatif,

dimana matriks H yaitu:

H :

2) Pengujian Koefisien Regresi secara Individual

Jika telah diperoleh model regresi yang linier maka kita dapat

melakukan analisa sebagai berikut:

1. Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai

berikut

0H : model regresi tidak berarti

1H : model regresi berarti

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai hitungF dari Anova, dan dari

tabel dapat diperoleh tabelF . Terima 0H jika hitungF < tabelF dan tolak 0H jika

hitungF > tabelF .

2. Uji Koefisien regresi

Untuk menguji koefisien regresi menggunakan uji T, dengan hipotesis

sebagai berikut

0H : 1 =0, artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel

terikat.

1H : 1 =0, artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai hitungT dari Anova, dan dari tabel

dapat diperoleh tabelT . Terima 0H jika hitungT < tabelT dan

menolak 0H jika hitungT > tabelT .

3. Uji asumsi analisis regresi

a) Uji Kenormalan

Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu

minitab dan uji Anderson Darling dan mencari nilai P_value,

dan dengan hipotesis sebagai berikut:

0H : Residual berdistribusi normal.

1H : Residual tidak berdistribusi normal.

Untuk menetukan apakah menolak atau menerima 0H , P_value

dibandingkan dengan suatu nilai yaitu taraf kepercayaan

dengan ketentuan sebagai berikut:

=0.05, jika data diperoleh dari penelitian di lapangan.

=0.01, jika data diperoleh dari penelitian di laboratorium.

=0.1, jika data diperoleh dari penelitian terhadap manusia atau

binatang.

=0.00, dalam bidang kedokteran.

Terima 0H jika P-value > α , dan menolak 0H jika P-value < α

b) Uji Homogenitas

Untuk menguji Homogenitasnya dengan melihat standart

sisanya. Jika standart sisa 95% berada di antara (-2, 2) secara

merata maka sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga

mempunyai keragaman yang tetap.

c) Uji Kebebasan

Untuk menguji kebabasan residual dilihat dari autokorelasi

fungsi untuk residual dengan uji autocorelation dari Ljung-Box

Q Statistik . Jika tidak ada garis atau data yang keluar dari garis

merah, maka tidak ada korelasi antar sisaan.

2.2 Aplikasi

Laundry “BUSA” menerima cucian setiap harinya. Tetapi dalam

makalah ini, banyaknya cucian akan kami akumulasikan dalam setiap minggu

dari bulan Juni – September 2010. Anggap 1 bulan = 4 minggu. Berikut data

yang berhasil diperoleh :

X : Minggu ke-n

Y : Banyaknya Cucian/kg

Minggu ke-

(X)

Banyaknya Cucian/kg

(Y)

1 53

2 59

3 62

4 68

5 72

6 68

7 69

8 72

9 72

10 71

11 66

12 65

13 72

14 73

15 76

16 82

Dari data diatas, akan kita uji dengan model kuadratik. Dengan bantuan

minitab, diperoleh fitted lineplot sebagai berikut.

Dapat kita lihat bahwa banyak data yang terlalu jauh dengan garis regresi.

Atau bisa juga dikatakan bahwa garis regresi tidak mengikuti pola data.

Selanjutnya kita akan menguji model kuadratik ini dengan menggunakan SPSS.

Dari SPP didapat data sebagai berikut

Dari data diatas dapat kita lihat bahwa R Square model kuadratik hanya 0.624.

Oleh karena itu kita akan mencoba menaikkan pangkat polynomial menjadi

berderajat tiga atau bisa juga disebut model regresi kubik.

Dengan bantuan minitab, diperoleh fitted lineplot sebagai berikut :

Kita juga akan menguji R-Square model regresi kubik dengan

menggunakan SPSS dan didapat data sebagai berikut :

Dari hasil SPSS diatas dapat kita lihat bahwa R Square mencapai 0.915.

Jadi penambahan derajat polynomial dari kuadratik menjadi kubik sangat

berarti. Oleh karena itu kita akan menguji data yang telah kita peroleh dengan

menggunakan model regresi kubik

Persamaan regresi kubik yang diperoleh dari hasil minitab adalah

Y = 42.8150 + 10.4864X – 1.2640X2 + 4.76E-02X

3. Pada Fitted Line Plot di

atas didapatkan S = 4,05800 , R-Sq = 93,0% , R-Sq(adj) = 90,4%. Garis

hijau merupakan selang kepercayaan Y rata-rata (95% CI), sedangkan garis

merah merupakan selang kepercayaan Y individu (95% PI).

Model regresi yang telah diperoleh dapat kita analisis sebagai berikut:

1) Menguji model regresi

Data di atas dari data lapangan maka α = 0,05

Dari minitab diperoleh ANOVA sebagai berikut:

Dari ANOVA di atas diperoleh Fhitung = 42,8634

Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai

berikut:

H0 : Model regresi tidak berarti

H1 : Model regresi berarti

Dari tabel didapat Ftabel=1,0000

Karena Fhitung > Ftabel maka menolak H0, jadi model regresi berarti

sehingga dapat disimpulkan bahwa model regresi

Y = 42.8150 + 10.4864X – 1.2640X2 + 4.76E-02X

3 signifikan.

2) Menguji koefisien regresi

Untuk menguji koefisien regresi digunakan uji T, dengan hipotesis sebagai

berikut:

H0 : β1 = 0 artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel

terikat.

H1 : β1 ≠ 0 artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu spss, diperoleh:

3) Uji asumsi analisis regresi

a) Uji Normalitas

Untuk menguji kenormalan kita gunakan alat bantu minitab dengan uji

Anderson Darling dan mencari P-value, dan dengan hipotesis sebagai

berikut:

H0 : Residual berdistribusi normal.

H1 : Residual tidak berdistribusi normal.

Untuk menentukan apakah menolak atau menerima H0, P-value

dibandingkan dengan suatu nilai α.

Dari minitab diperoleh nilai P-value beserta grafiknya sebagai berikut:

Karena p-value = 0.284> α=0,05 sehingga terima H0, jadi residual

berdistribusi normal.

b) Uji Homogenitas

Untuk menguji homogenitas kita gunakan alat bantu minitab sebagai

berikut:

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa standart sisa 95% berada di

antara (-2, 2). Data mengumpul pada selang 50-80 dan merupakan data

acak. Jadi data tersebut bersifat Homogen.

c) Uji Kebebasan

Untuk menguji kebebasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi

untuk residual dengan menggunakan alat bantu minitab uji

autocorelation dari Ljung-Box Q Statistik. Selain itu juga bisa

menggunakan individual chart. Hasilnya dapat dilihat dari chart di

bawah ini :

Dari I Chart dapat dilihat bahwa tidak ada data yang melebihi garis merah

maka tidak ada data pencilan yang harus dihapus. Individual Chart bukanlah

metode formal dalam uji kebebasan data. Untuk menguji secara formal kita

gunakan uji autocorelation dari Ljung-Box Q Statistik dan diperoleh hasil seperti

di bawah ini.

Dari Autocorelation dapat dilihat bahwa ada data yang melebihi garis

merah maka dapat disimpulkan bahwa data tidak saling bebas.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Regresi dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu regresi linier dan non

linier. Regresi linier merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan

linier dan grafiknya mendekati garis lurus, sedangkan regresi non linier

merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan non linier dan

kurvanya lengkung.

Jika data yang diperoleh membentuk regresi yang non linier maka

harus dilinierkan dulu dengan menggunakan transformasi yang sesuai. Untuk

regresi non linier model kubik Y = 0X0i + 1Xi + 2Xi2 + 3Xi

3 + ε.

Pendugaan model tentunya harus memperhatikan teori dari ilmu yang

melandasinya atau melatarbelakanginya, apakah pola hubungan tersebut linier

maupun non linier. Model regresi polinomial merupakan peningkatan orde

yang lebih tinggi dari bentuk linier dan pada umumnya orde tertinggi yang

biasa digunakan sampai orde tiga atau bentuk regresi kubik. Konsep

pendugaan parameter persamaan garisnya sama dengan regresi linier

sederhana yakni menggunakan metode kuadrat terkecil.

Dari aplikasi banyaknya cucian yang masuk ke ”BUSA” laundry di atas

disimpulkan bahwa hasil datanya merupakan model dari regresi kubik dengan

persamaan Y = 42.8150 + 10.4864X – 1.2640X2 + 4.76E-02X

3. Dari analisis

didapat bahwa model bersebaran normal, dan menolak H0 karena P value >

0,05. mempunyai keragaman yang tetap karena data menyebar pada selang 50

– 80 dan merupakan data acak namun tidak saling bebas atau ada korelasi

antar sisaan. Sebab saat di uji dengan Uji autocorelation dari Ljung-Box Q

Statistik diperoleh bahwa ada data yang melebihi garis merah maka dapat

disimpulkan bahwa data tidak saling bebas.