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Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Módulo 9:

Integrales impropias

Ecuaciones diferenciales

2016

MÓDULO 9

Integrales Impropias. Ecuaciones diferenciales.

Contenidos del Módulo 9: Convergencia de integrales impropias. Criterios de conver-gencia por comparación y por comportamiento asintótico.Ecuaciones diferenciales de primer orden (separables).

9.1. Integrales impropias

Contenido de la clase: Noción de integrales impropias y de convergencia. Integrales im-propias por discontinuidades in�nitas en el intervalo de integración. Integrales impropiaspor límites de integración in�nitos. Análisis de convergencia por de�nición. Criterios decomparación.

9.1.1. Introducción

La integral de Riemann o integral de�nida, que estudiamos en el Módulo 6, fue construida parafunciones f(x) de�nidas en intervalos cerrados [a, b]. Hemos visto que la integral de Riemman existeal menos en dos casos: cuando la función f(x) es continua en el intervalo de integración, y tambiéncuando f(x) tiene un número �nito de discontinuidades evitables o del tipo salto. Todas las integralesque trabajamos hasta ahora estuvieron planteadas bajo esas condiciones y dieron resultados �nitos.

Sin embargo, al plantear un problema puede ser necesario construir integrales enn situaciones másgenerales, con funciones o intervalos que no cumplan con estas condiciones. Se las llama integralesimpropias, y aunque se las pueda plantear no hay garantía de que el límite de las sumas de Riemannexista. Vamos a estudiar dos situaciones particulares que aparecen frecuentemente en las aplicaciones:

1. integral de una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto [a, b), cuandolımx→b− f(x) = ±∞, o de una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto (a, b],cuando lımx→a+ f(x) = ±∞.

2. integral de una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito [a,+∞), o de unafunción f(x) continua en un intervalo semi-in�nito (−∞, b].

En el primer caso el motivo que hace impropia a esta integral es que el integrando tiene unadiscontinuidad del tipo asíntota vertical en uno de los bordes del intervalo de integración. En el segundocaso, el motivo que la hace impropia es que el intervalo de integración tiene longitud in�nita.

Hay situaciones más generales, donde aparecen dos o más motivos que hacen impropia a la integral.Por ejemplo, la integral de una función en un intervalo semi-in�nito (−∞, b), con asíntota vertical enx = b. En esos casos se trabaja separando el intervalo de integración en distintos sub-intervalos quetengan un solo motivo que haga impropia a la integral, y se los analiza por separado. Si tan sólo una delas integrales involucradas no existe, entonces se dice que la integral completa no existe. Y si todas lasintegrales involucradas existen, entonces la integral completa existe y su resultado, usando aditividadrespecto del intervalo, es la suma de los resultados obtenidos en cada sub-intervalo.

Ejemplo 9.1.1. En cierto problema se presenta la integralˆ 1

−1

1

xdx

1

Módulo 9: Integrales Impropias. Ecuaciones diferenciales. 9.1

El integrando, es decir la función1

x, tiene una discontinuidad in�nita en x = 0 (y no está de�nido

en ese punto). De acuerdo a la breve la lista de integrales impropias que detallamos, debemos partirel intervalo de integración en x = 0 y considerar por separado la integración en los intervalos [−1, 0)y (0,1]. Es decir, debemos analizar por separado las integralesˆ 0

−1

1

xdx y

ˆ 1

0

1

xdx

En cada integral separada vemos que el integrando tiene una asíntota vertical en un solo borde delintervalo (caso 1.):

en [−1, 0) encontramos que lımx→0−

1

x= −∞ y en (0, 1] encontramos que lım

x→0+

1

x= +∞

Corresponde analizar cada integral por separado, con las técnicas que veremos en esta clase. Silas dos integrales quedan bien de�nidas, podremos usar la aditividad respecto del intervalo y sumarlos resultados de cada parte.

9.1.2. Integrales impropias en intervalos �nitos, por causa de asíntotas verticales

Veamos el caso 1 mencionado en la Introducción: integrales de funciones continuas en intervalos�nitos semi-abiertos, con límite in�nito en el borde abierto.

Consideremos un intervalo semiabierto [a, b) y una función f(x) continua en [a, b) pero discontinuapor izquierda en x = b, con lımx→b− f(x) = +∞ o lımx→b− f(x) = −∞.

)[

Cuando la función es positiva podemos interpretar grá�camente que la integral intenta describirel área bajo una curva, en un caso en que la curva tiene una asíntota vertical. Si recordamos losrectángulos de la construcción de Riemann, es sospechoso ver una zona de rectángulos arbitrariamentealtos (cuando x → b−), pero a la vez arbitrariamente angostos (precisamente porque x → b−) . Elárea que aporta a la suma de Riemann un rectángulo con base tendiendo a cero y altura tendiendoa in�nito plantea una situación indeterminada, del tipo "0 por in�nito". Que la integral exista o noexista depende de cada caso. Encontraremos distintos ejemplos donde el área total toma un valor �nito,y otros donde tiende a in�nito. Una discusión análoga se puede hacer con funciones negativas, usandoáreas algebraicas.

Para calcular estas integrales se sigue el siguiente proceso:

primero se recorta el intervalo de integración a un intervalo cerrado [a, c] incluido en [a, b) (esdecir con a < c < b); con esto se evita acercarse a la asíntota vertical. Como se trata de unafunción continua en un intervalo cerrado, estamos seguros de que la integral

´ ca f(x) dx existe.

luego se calcula el límite del resultado la integral´ ca f(x) dx cuando c→ b−, es decir, se mueve

c para "recuperar" el intervalo [a, b).

2


)[

si ese límite existe, se dice que la integral de f(x) entre a y b converge, y que el resultado de laintegral es el valor de ese límite.si el límite es in�nito ( +∞ o −∞) se dice que la integral diverge, y no se le asigna valor alguno.

Formalizamos la siguiente de�nición:

Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto [a, b) con lımx→b− f(x) = +∞ olımx→b− f(x) = −∞, si existe

lımc→b−

ˆ c

af(x) dx

se dice que la integral impropia converge y se le asigna ese límite como resultado:ˆ b

af(x) dx = lım

c→b−

ˆ c

af(x) dx

Si dicho límite es in�nito, se dice que la integral impropia diverge y no se le asigna resultado.

Una de�nición similar se da en el caso de funciones continuas con asíntota vertical en el bordeizquierdo de un intervalo (a, b]. En este caso se considera la integral en un intervalo recortado [c, b] yel punto c debe tender hacia a por derecha al �nal del cálculo. La de�nición correspondiente es:

Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto (a, b] con lımx→a+ f(x) = +∞ olımx→a+ f(x) = −∞, si existe

lımc→a+

ˆ b

cf(x) dx

se dice que la integral impropia converge y se le asigna ese límite como resultado:ˆ b

af(x) dx = lım

c→a+

ˆ b

cf(x) dx

Si dicho límite es in�nito, se dice que la integral impropia diverge y no se le asigna resultado.

Ejemplo 9.1.2. Estudiemos el área que está "encerrada" entre la grá�ca de f(x) = 1/√x y la

recta de ecuación y = 0, entre x = 0 y x = 1.

La función f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, ya que lımx→0+1√x

= +∞ (por eso decimos

"encerrada" entre comillas: el "techo" y la "pared izquierda" no llegan a juntarse). En principio no

3


sabemos si el área que buscamos será �nita. Siguiendo la de�nición, calculemos primero la integral´ 1c

1√xdx con 0 < c < 1 . Como el integrando es continuo y conocemos uns primitiva, usamos la

regla de Barrow: ˆ 1

c

1√xdx =

[2x1/2

]1c

= 2(1−√c)

Ahora tomemos el límite de este resultado, para c tendiendo a 0 por la derecha:

lımc→0+

(ˆ 1

c

1√xdx

)= lım

c→0+2(1−√c)

= 2

Como el límite es �nito, la integral impropia converge. Corresponde asignarle el resultadoˆ 1

0

1√xdx = 2

Observen que la integral tiene sentido, aunque el integrando tenga una asíntota vertical.En este caso en que la función es positiva y por lo tanto la integral respresenta el área geométrica

entre la grá�ca y el eje x, entre x = 0 y x = 1, se dice que el área encerrada es �nita (a pesar deque la función no es acotada) y vale 2. Pueden compara grá�camente el resultado con el área de unrectángulo de base 1 y altura 2.

Ejemplo 9.1.3. Analicemos´ 30

1x−3dx.

Haciendo el grá�co, vemos que en [0, 3) el integrando es negativo y en x = 3 tiene una asíntotavertical, ya que lımx→3−

1x−3 = −∞.

Para estudiar su posible convergencia, debemos tomar ahora un número 0 < c < 3, calcularla integral en [0, c] (que existe por ser 1

x−3 continua en ese intervalo) y luego tomar límite cuandoc→ 3−. ˆ c

0

1

x− 3dx = [ln |x− 3|]c0 = ln |c− 3| − ln | − 3| = ln(3− c)− ln 3

Tomando límite

lımc→3−

(ˆ c

0

1

x− 3dx

)= lım

c→3−(ln(3− c)− ln 3) = −∞

Por lo tanto la integral´ 30

1x−3dx diverge.

En este caso, observen que el integrando presenta una asíntota vertical y la integral diverge.

Se desprende de los dos ejemplos anteriores que la presencia de una asíntota vertical en un extre-mo del intervalo de integración puede causar la divergencia de la integral, o puede dar un resultadoconvergente.

Recuerden que la presencia de una asíntota vertical en el integrando hace que una integral seaimpropia. Si la integral converge, o diverge, debe ser analizado en cada caso.

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9.1.3. Integrales impropias de funciones continuas en intervalos semi-in�nitos

En esta sección vamos a considerar el caso 2 mencionado en la introducción: integrales impropiasde la forma ˆ +∞

af(x) dx

donde f(x) es continua en el intervalo de longitud in�nita [a,+∞).Estas expresiones se llaman integrales impropias en el intervalo [a,+∞), porque no se ajustan a

la de�nición de integral de Riemann dada para intervalos cerrados de longitud �nita. La di�cultad deconvergencia es precisamente que el intervalo de integración se extiende hasta +∞.

Un ejemplo concreto es la integral ˆ +∞

1f(x) dx

donde el integrando es la función f(x) = 1/x2, continua en [1,+∞).

Nos preguntamos si tiene sentido calcular el área "encerrada" entre la curva y el eje x, desde x =1 y hacia la derecha. Decimos "encerrada" entre comillas, porque este dibujo no está acotado: esin�nitamente largo hacia la derecha y el "techo" y el "piso" no llegan a juntarse.

Para de�nir estas integrales se utiliza la siguiente estrategia:

trabajamos primero en un intervalo recortado [a, b] con b > a. Allí existe´ ba f(x) dx porque el

integrando es continuo y el intervalo de integración es cerrado.luego tomamos el límite para b→ +∞, para "recuperar" el intervalo [a,+∞).si el límite existe, se dice que la integral de f(x) entre a y +∞ converge, y el valor del límitees el resultado de la integral.si el límite es in�nito ( +∞ o −∞) se dice que la integral diverge, y no se le asigna valor.

Se formaliza esta estrategia en la de�nición

Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito [a,+∞), si existe

lımb→+∞

ˆ b

af(x) dx

se dice que la integral converge y se le asigna ese límite como resultado:ˆ +∞

af(x) dx = lım

b→+∞

ˆ b

af(x) dx

Si el límite es in�nito, se dice que la integral impropia diverge y no se le asigna resultado.

Ejemplo 9.1.4. Veamos cómo se analiza´ +∞1

1

x2dx. En primer lugar, se calcula sin di�cultad

ˆ b

1

1

x2dx =

[−1

x

]b1

= 1− 1

b

5


Luego se calcula el límite

lımb→+∞

ˆ b

1

1

x2dx = lım

b→+∞

(1− 1

b

)= 1

Concluimos que la integral´ +∞1

1

x2dx converge, con resultado

´ +∞1

1

x2dx = 1. El área bajo la curva

que gra�camos más arriba es �nita, y vale 1. Pueden visualizar ese valor comparándolo con el áreade un cuadrado de lado 1.

En el ejemplo anterior la función integrando tiende a cero cuando x → +∞, y la integral resultaconvergente. Veamos otro ejempo donde, aunque el integrando tienda a cero cuando x → +∞, laintegral impropia es divergente:

Ejemplo 9.1.5. Estudiemos la convergencia de´ +∞1

1x dx. Tenemos que calcularˆ b

1

1

xdx = [ln(x)]b1 = ln b

y tomar el límite

lımb→+∞

ˆ b

1

1

xdx = lım

b→+∞ln b = +∞

Concluimos que esta integral es divergente.

En los dos ejemplos anteriores la función integrando tiende a cero cuando x → +∞, por eso lasgrá�cas presentan una asíntota horizontal y = 0. Sin embargo, hay una diferencia sustancial en elcálculo del área bajo la curva: en un caso el área es �nita y en el otro el área es in�nita.

Por otro lado, es evidente que si el integrando no tiende a cero, entonces la integral impropiahasta +∞ diverge; para funciones continuas y positivas, por ejemplo, el Teorema del Valor Medio paraintegrales relacionaría este cálculo con el área de un rectángulo cuya base tiende a in�nito y mantienecierta altura no nula. Se enuncia esta observación como un criterio que permite detectar rápidamenteintegrales divergentes

Condición necesaria de convergencia.

Si la integral impropia´ +∞a f(x) dx converge, entonces necesariamente lımx→+∞ f(x) = 0 (es

decir, tiene asíntota horizontal de ecuación y = 0).

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De manera similar a lo que discutimos para integrales de la forma´ +∞a f(x) dx , se caracterizan

integrales impropias en intervalos semi-in�nitos hacia la izquierda:

Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito (−∞, b], si existe

lıma→−∞

ˆ b

af(x)x

se dice que la integral converge y se le asigna ese límite como resultado:ˆ b

−∞f(x) dx = lım

a→−∞

ˆ b

af(x) dx

Si el límite es in�nito, se dice que la integral impropia diverge y no se le asigna resultado.

Ejemplo 9.1.6. Consideremos la integral impropiaˆ 0

−∞ex dx

Tenemos que ˆ 0

aex dx = [ex]0a = 1− ea

y que

lıma→−∞

ˆ 0

aex dx = lım

a→−∞(1− ea) = 1

Es decir, la integral converge y de�ne el valor del área bajo la curva.

Podemos repetir la condición necesaria para que estas integrales impropias puedan ser convergentes:

Condición necesaria de convergencia.

Si la integral impropia´ b−∞ f(x) dx converge, entonces necesariamente lımx→−∞ f(x) = 0.

9.1.4. Criterios de convergencia para integrales impropias

El cálculo de integrales impropias por de�nición involucra la búsqueda de primitivas (con todas lastécnicas que hemos visto en los módulos 6, 7 y 8) y el cálculo de límites (con las técnicas que hemosvisto en los módulos 2 y 5). Algunas veces es muy complicado hallar una primitiva, incluso sabemos quepuede ser imposible hacerlo; además, puede ser trabajoso calcular el límite para recuperar el intervalode integración. En estas situaciones es importante poder anticipar si la integral impropia es convergenteo divergente1.

Vamos a discutir teoremas de comparación que permiten a�rmar si una integral impropia convergeo diverge, sin calcularla explícitamente.

1Por ejemplo, si es convergente tiene sentido calcularla al menos en forma aproximada, usando métodos numéricos.

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Comparación de integrales impropias por la presencia de asíntotas verticales

Consideremos dos funciones f(x) y g(x) continuas y positivas en un intervalo [a, b), con asíntotavertical en x = b, tales que f(x) ≤ g(x) como muestra la �gura:

Resulta grá�camente intuitivo que:

si el área bajo la curva g(x) es �nita, entonces el área bajo la curva f(x) necesariamente es�nita.si el área bajo la curva f(x) es in�nita, entonces el área bajo la curva g(x) necesariamente esin�nita.

Estas observaciones se pueden probar rigurosamente, usando las propiedades de desigualdades entreintegrales en intervalos cerrados y el paso al límite de la de�nición de integral impropia. Lo enunciamoscomo la siguiente propiedad:

Consideremos dos funciones f(x) y g(x) no negativas y continuas en un intervalo semi-abierto[a, b), con asíntotas verticales en x = b, tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a, b).

Si´ ba g(x) dx es convergente, entonces

´ ba f(x) dx también es convergente.

Si´ ba f(x) dx es divergente, entonces

´ ba g(x) dx también es divergente.

Un enunciado similar es válido para funciones no negativas y continuas en un intervalo semi-abierto (a, b], con asíntotas verticales en x = a.

Comparación de integrales impropias en intervalos de integración semi-in�nitos

Un criterio similar se construye para integrales imropias en intervalos semi-in�nitos. Consideremosdos funciones f(x) y g(x) continuas y positivas en un intervalo [a,+∞), con asíntota horizontal y = 0,tales que f(x) ≤ g(x) como muestra la �gura:

Aquí también resulta grá�camente intuitivo que:

si el área bajo la curva g(x) es �nita, entonces el área bajo la curva f(x) necesariamente es�nita.

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si el área bajo la curva f(x) es in�nita, entonces el área bajo la curva g(x) necesariamente esin�nita.

Lo enunciamos como la siguiente propiedad:

Consideremos dos funciones f(x) y g(x) no negativas y continuas en un intervalo semi-in�nito[a,+∞), tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a,+∞).

Si´ +∞a g(x) dx es convergente, entonces

´ +∞a f(x) dx también es convergente.

Si´ +∞a f(x) dx es divergente, entonces

´ +∞a g(x) dx también es divergente.

Un enunciado similar es válido para funciones continuas en un intervalo semi-abierto (−∞, b].

Ejemplo 9.1.7. Analicemos la convergencia de´ +∞1

x− 1

x3dx, sin calcularla

Vemos que para x ≥ 1

0 ≤ x− 1

x3=

1

x2− 1

x3<

1

x2

Como´ +∞1

1

x2dx converge (ya lo discutimos en el ejemplo 9.1.4), entonces el criterio de com-

paración a�rma que´ +∞1

x− 1

x3dx también converge.

En este caso pueden resolver la integral explícitamente, y comprobar esta a�rmación.

Observación: no es estrictamente necesario que la desigualdad 0 ≤ f(x) ≤ g(x) valga entodo el intervalo de integración. Recurriendo a la propiedad de aditividad respecto del intervalo deintegración, podemos separar un intervalo cerrado donde el integrando sea continuo (por lo cual laintegral existe) y otro intervalo donde la integral quede impropia y valga la desigualdad.

Comportamiento asintótico y comparación por paso al límite

Los criterios de comparación son sencillos de aplicar, si se compara la función que interesa con unafunción sencilla de integrar. Usualmente la di�cultad consiste en descubrir esa segunda función y enconstruir las desigualdades.

En la práctica, podemos aprovechar la idea de construir funciones que tengan el mismo com-portamiento asintótico para comparar sus integrales. En esta presentación trabajaremos siempre confunciones positivas; los resultados se pueden adaptar luego a funciones negativas.

Para integrales impropias por intervalos de integración semi-in�nitos se procede así:

cuando´ +∞a f(x) dx es impropia y cumple la condición necesaria de convergencia, se busca una

función sencilla g(x) tal que tienda a cero con el mismo comportamiento asintótico que f(x)cuando x→ +∞. Técnicamente se comprueba que existe el límite

lımx→+∞

f(x)

g(x)= L 6= 0

y en ese caso se dice que f(x) y g(x) tienen el mismo orden in�nitesimal cuando x → +∞.Dado que g(x) tiende a cero con el mismo comportamiento asintótico que f(x), se puede probarque también sus integrales tienen el mismo comportamiento. Es decir,

siˆ +∞

ag(x) dx converge, entonces

ˆ +∞

af(x) dx converge

siˆ +∞

ag(x) dx diverge, entonces

ˆ +∞

af(x) dx diverge

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Lo que hemos enunciado se conoce como criterio de comparación por paso al límite. Se demuestraa partir de los criterios de comparación por desigualdad, ya que las de�niciones rigurosas de límitesse escriben con desigualdades. Pueden consultar algún libro de la biblografía para probar la validez delos criterios de comparación por paso al límite.

Ejemplo 9.1.8. Consideremos la integral impropia, entre 1 y +∞, de un cociente de polinomios(con un denominador que no se anule). Por ejemplo,ˆ ∞

1

2x2 − 3x+ 1

x4 + 5dx

El integrando tiende a cero cuando x → +∞; como ya hemos visto, esto se pone en evidenciareescribiendo

2x2 − 3x+ 1

x4 + 5=x2

x4

(2− 3x

x2+ 1

x2

)(1 + 5

x4

) =1

x2

(2− 3x

x2+ 1

x2

)(1 + 5

x4

)La función g(x) = 1/x2 que sacamos de factor común tiene el mismo comportamiento asintótico queel integrando para x grande, ya que

lımx→+∞

2x2−3x+1x4+51x2

= lımx→+∞

(2− 3x

x2+ 1

x2

)(1 + 5

x4

) = 2 6= 0

Coloquialmente se suele decir que el integrando original 2x2−3x+1x4+5

"tiende a cero como 1/x2" .Hecha esta comparación de comportamientos, por el criterio de comparación por paso al límite

la integral original converge (o diverge) si´∞1

1x2dx converge (o diverge). Ya hemos calculado por

de�nición que ˆ ∞1

1

x2dx

converge, luego la integral impropia´∞1

2x2−3x+1x4+5

dx también converge.

Observación: cuando se busca la forma asintótica, para x→ +∞, de un cociente de polinomiosse puede hacer un "conteo de potencias". En el ejemplo anterior, basta ver que el numerador es degrado 2 y que el denominador es de grado 4 para reconocer que la forma asintótica es proporcionala 1/x2.

Para agilizar las comparaciones, resulta importante recordar patrones de comparación conocidos.Es decir, recordar integrales que ya sabemos si son convergentes o divergentes. Cuando x → +∞, lasmás frecuentes son:´ +∞

1

1

xpdx diverge cuando 0 < p < 1 (por ejemplo,

´ +∞1

1√xdx diverge)

´ +∞1

1

xdx diverge

´ +∞1

1

xpx converge cuando p > 1 (por ejemplo,

´ +∞1

1

x2dx converge)´ +∞

1 e−x dx converge

Como pueden ver, se trata de integrales impropias sencillas de resolver por de�nición.

Análogamente, para integrales impropias por la presencia de una asíntota vertical se procede así:

cuando´ ba f(x) dx es impropia por una asíntota vertical en x = b, se busca una función sencilla

g(x) tal que crezca con el mismo orden de magnitud que f(x) cuando x→ b−, es decir que

lımx→b−

f(x)

g(x)= L 6= 0

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En este caso, dado que g(x) tiene el mismo comportamiento asintótico que f(x), se puedeprobar que

siˆ b

ag(x) dx converge, entonces

ˆ b

af(x) dx converge

siˆ b

ag(x) dx diverge, entonces

ˆ b

af(x) dx diverge

Nuevamente, lo que hemos enunciado se conoce como criterio de comparación por paso al límite.

Ejemplo 9.1.9. Analicemos la convergencia de la integralˆ 2

0

√x+ 2

4− x2dx

Si escribimos

f(x) =

√x+ 2

4− x2=

√x+ 2

2 + x· 1

2− x=

1√x+ 2

· 1

2− xvemos que

lımx→2−

1

4− x2= +∞

y la integral es impropia. Más aún, vemos en detalle que el factor 1/(2 − x) es el responsable deque esta función tienda a +∞, mientras que el factor restante 1/

√x+ 2 tiende a 1/2. La función

g(x) = 1/(2− x) se reconoce como la forma asintótica de f(x) cuando x→ 2−.

g(x) =1

2− xEfectivamente, las dos funciones tienen el mismo comportamiento asintótico porque

lımx→2−

f(x)

g(x)= lım

x→2−

1√x+ 2

=1

26= 0

Entonces, la convergencia (o divergencia) de la integral original surge de la convergencia (o diver-gencia) de

´ 20

12−x dx. Es sencillo calcular por de�nición, proponiendo una sustitución u = 2 − x,

que

lımb→2−

ˆ b

0

1

2− xdx = − lım

c→0+

ˆ 2

c

1

udu = − lım

c→0+(ln 2− ln c) = +∞

En consecuencia, la integral original´ 20

√x+2

4−x2 dx es divergente.

Para agilizar las comparaciones de integrales impropias por asíntotas verticales, resulta importanterecordar patrones de comparación conocidos; mediante una sustitución u(x) adecuada siempre se podráubicar la asíntota vertical en u = 0, por lo que conviene recordar:

´ 10

1

updu converge cuando 0 < p < 1 (por ejemplo,

´ 10

1√udu converge)

´ 10

1

udu diverge

´ 10

1

updu diverge cuando p > 1 (por ejemplo,

´ 10

1

u2du converge)´ 1

0 (− ln(x)) dx converge

9.1.5. Comparaciones por orden de magnitud

Algunas integrales impropias de la forma´∞a f(x)/g(x) dx no permiten hallar una forma asintó-

tica evidente, pero involucran integrandos que pueden ser comparados por órdenes de magnitud. Nos

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referimos en particular a funciones f(x) y g(x) tales que lımx→+∞ f(x) = lımx→+∞ g(x) = +∞, y quecumplan la condición necesaria de convergencia

lımx→+∞

f(x)

g(x)= 0

Este limite indica que g(x) crece con mayor orden de magnitud que f(x). Sin embargo, eso no garantizaque la integral

´∞a f(x)/g(x) dx sea convergente. Cualitativamente, lo que se necesita es que f(x)/g(x)

tienda a cero "su�cientemente rápido", o que el denominador g(x) tienda a in�nito "su�cientementemás rápido" que el denominador f(x). Estas a�rmaciones cualitativas se formalizan estableciendodesigualdades para aplicar los criterios de comparación; las desigualdades más relevantes para esteestudio las vimos en el Módulo 5, y las podemos recordar como

cuando x→ +∞, lnx� xr � ex (siendo r > 0)

Ejemplo 9.1.10. Consideremos la integral impropiaˆ +∞

1

lnx

x2dx.

En primer lugar, lımx→+∞

lnx

x2= 0 de acuerdo al orden de magnitud recién mencionado (lnx� x2);

luego es posible que la integral converja.En segundo lugar, usamos que lnx� x1/2 para a�rmar que, en algún intervalo [c,+∞),

lnx

x2<

√x

x2=

1

x3/2

Como´ +∞1

1x3/2

dx converge, por comparaciónˆ +∞

1

lnx

x2dx también converge.

(en este caso pueden veri�carlo por de�nición, integrando por partes).

En otras ocasiones, una integral impropia por asíntota vertical en x = 0 puede transformarse enuna integral impropia por asíntota horizontal en +∞, con la esperanza de que la nueva integral seamás fácil de analizar. Esto se logra mediante la sustitución u = 1/x, que tiene la particularidad de queel límite de integración x→ 0+se transforma en u→ +∞.

Ejemplo 9.1.11. Veamos cómo se trabaja esta técnica con la integral impropiaˆ 1

0[− ln(x)] dx

La di�cultad de convergencia se encuentra en x = 0, ya que lımx→0+ [− ln(x)] = +∞. Para analizarla,corresponde tomar un número 0 < c < 1, trabajar con la integralˆ 1

c[− ln(x)] dx

y luego tomar límite para c → 0+. Hagamos en cambio la sustitución x = 1/u. Tenemos quedx = −1/u2du y que los límites de integración para la variable nueva son

u(c) = 1/c y u(1) = 1

Además, recordemos que ln(x) = ln(1/u) = − lnu. Podemos escribir entonces

ˆ 1

c[− ln(x)] dx =

ˆ 1

1/clnu

[− 1

u2

]du =

ˆ 1/c

1

lnu

u2du

Ahora, el límite cuando c → 0+corresponde a tomar el límite d = 1c → +∞. En consecuencia, si el

límite existe encontramos que ˆ 1

0[− ln(x)] dx =

ˆ +∞

1

lnu

u2du

12


es decir cambiamos una integral impropia con di�cultad en 0 por una integral impropia con di�cultaden +∞.

Como vimos en el ejemplo anterior, por comparación de órdenes de magnitud, la integral de laderecha es convergente; luego,

´ 10 [− ln(x)] dx es convergente.

(pueden veri�carlo por de�nición, usando una primitiva de ln(x)).

9.1.6. Ejercicios

Ejercicio 9.1.1. Teórico

¾A qué se llama integral impropia? Den dos ejemplos de distintas características.

Indiquen cómo se analiza la convergencia de una integralˆ b

af(x) dx cuando el integrando f(x)

tiene asíntotas verticales en a y en b.Expliquen el uso de los criterios de comparación para la convergencia de integrales impropias.Enuncien una regla para determinar la convergencia de integrales hasta in�nito de cocientesde polinomios, de acuerdo a las potencias presentes en el numerador y en el denominador.

Ejercicio 9.1.2. Dadas las siguientes integrales, analicen por qué son impropias. Determinen siconvergen o divergen y en el caso en que converjan, calculen a qué valor lo hacen.

(a)

ˆ 1

0

1

x√xdx

(b)

ˆ 9

1

13√x− 9

dx

(c)

ˆ 0

−1x−2/3 dx

(d)

ˆ 1

0

1

x3/2dx

(e)

ˆ 2

0

x− 3

2x− 3dx

Ejercicio 9.1.3. Determinen si las siguientes integrales son convergentes, separando un intervalopor cada causa que las haga impropias:

(a)

ˆ 1

1

1

xdx

(b)

ˆ 1

1

1

x3dx

(c)

ˆ +∞

−∞

1

x2 + 1dx

(d)

ˆ +∞

1

1

x2 − 1dx

Para las que sean convergentes, indiquen el resultado.

Ejercicio 9.1.4. Sin calcular, analizar si es posible que la integralˆ +∞

1

ex

xdx converja.

Ejercicio 9.1.5. Busquen la forma asintótica y decidan la convergencia o divergencia de

(a)

ˆ +∞

10

1− x2

x3 + 3x2 + 3x+ 1dx

(b)

ˆ 1

0

senx

x3/2dx

13


(c)

ˆ 4

0

x+ 2

x2 − 4x+ 4dx

Ejercicio 9.1.6. Proponiendo la sustitución u = 1/x, analicen si la integralˆ 1

0

− lnx√x

dx es

convergente o divergente.

Ejercicio con GeoGebra 9.1.7. GeoGebra no posee comandos directos para expresar integralesimpropias, pero tiene varios recursos para explorarlas.

Entre otros, pueden usar un deslizador para simular la de�nición de una integral impropia. Exolorenasí la convergencia de las integrales planteadas en los ejercicios 9.1.4 y 9.1.6.

También es útil gra�car las funciones que intervienen en una comparación, o en una forma asin-tótica. Analicen grá�camente que tan parecidos son los integrandos del ejercicio 9.1.5 con las formasasintóticas que hayan encontrado.

14


9.2. Ecuaciones diferenciales

Contenidos de la clase: Nociones de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferencialesde primer orden sencillas: integración directa e integración por separación de variables.Modelos exponenciales.

9.2.1. Introducción

Los modelos matemáticos de los fenómenos de la Naturaleza toman su forma más sencilla cuandorelacionan derivadas o incrementos diferenciales de las variables de interés. Por ejemplo:

La velocidad de crecimiento de una población de bacterias se puede modelar como proporcionalal número de bacterias presentes. Si llamamos M(t) al número M de bacterias (consideradocomo una variable real para usar las herramientas del Análisis Matemático) en función deltiempo t, se propone una relación

dM

dt= kM(t)

donde k es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación que involucra la derivada de unafunción y la función misma es un primer ejemplo de ecuación diferencial. La misma relación sepuede expresar en lenguaje diferencial, multiplicando cada lado por un incremento in�nitesimalde tiempo dt,

dM

dtdt ≡ dM = kM(t) dt

En la última igualdad se puede leer que, dado un número M(t) de bacterias en un instantet, el aumento de la población es proporcional al diferencial de tiempo transcurrido; y tambiénque, dado un intervalo in�nitesimal de tiempo dt, el aumento de población es proporcional alnúmero M(t) de bacterias presentes. Como el número M varía con el tiempo, no se espera queesta proporcionalidad sea válida en intervalos de tiempo largos.La segunda ley de Newton establece que la derivada de la velocidad de un objeto en movimiento,respecto del tiempo, es proporcional a la fuerza aplicada sobre el objeto. Si llamamos2 v a lavelocidad, F a la fuerza aplicada, m a la masa del cuerpo y t a la variable tiempo, esta leyfundamental se escribe

dv

dt=F

m

o bien, multiplicando por un intervalo in�nitesimal de tiempo dt, se escribe en forma diferencialcomo

dv =F

mdt

De esta única relación diferencial, y según el comportamiento de la fuerza aplicada, se deducentodos los distintos tipos de movimiento rectilíneo (con velocidad constante, con aceleraciónuniforme, oscilatorio, amortiguado, etc.).En el decaimiento de una sustancia radiactiva el número N de isótopos radiactivos disminuyecon el tiempo t. Un modelo sencillo indica que la velocidad de decaimiento es negativa yproporcional al número de isótopos activos N :

dN

dt= −kN(t)

que en lenguaje diferencial se escribe

dN = −kN dt

2La velocidad y la fuerza son cantidades vectoriales. En esta discusión, para no desviarnos de nuestro objetivo, nos

restringimos a trabajar con una sola componente.

15


En los casos descriptos se asume que una variable y es función derivable de otra variable x y seestablece que la derivada y′(x) depende del valor de la función y(x); en otros casos, la derivada y′(x)puede depender tanto del valor de la función y(x) como del valor de la variable x. La forma general deescribir estas relaciones es

y′(t) = a(x, y(x))

donde a(x, y(x)) es una expresión3 que depende del valor de la variable x y también del valor que tomela función y para ese valor de x. La ecuación que estamos discutiendo es una ecuación diferencial yel problema que se plantea no es encontrar un número, sino encontrar una función que satisfaga laigualdad.

Se llama ecuación diferencial a una igualdad donde se considera incógnita a una función, y dondeinterviene no sólo la función, sino también sus derivadas.

Una solución de una ecuación diferencial será una función de�nida y derivable en cierto dominio,tal que al reemplazar la función y sus derivadas en la ecuación se veri�que la igualdad para todoslos puntos de ese dominio.

Como mencionamos en los ejemplos, estas ecuaciones diferenciales de la forma y′(t) = a(x, y(x))se pueden escribir como ecuaciones que relacionan incrementos diferenciales de la función y y de suvariable x. Suponiendo que existe una solución y(x) (todavía desconocida), hay que situarse en unpunto genérico (x, y(x)), multiplicar ambos lados por dx

y′(x) dx = a(x, y(x)) dx

y recordar que dy = y′(x) dx. Luego la ecuación se escribe

dy = a(x, y(x)) dx

En cada punto (x, y(x)) la ecuación diferencial establece cuánto varía y ante una variación in�nitesimalde x. Para �jar la idea, y , conviene visualizar esta relación en un grá�co:

Este punto de vista es muy signi�cativo en la construcción de modelos aplicados; de alguna manera,se trata de una "regla de tres simple" de validez local (es decir, de una proporcionalidad entre dy ydx), generalizada al permitir que la "constante" de proporcionalidad a(x, y(x)) varíe en cada punto dela curva solución.

3Usamos la notación típica de funciones de dos variables, que verán en Análisis Matemático II, para indicar que el

valor a está dado por una expresión que involucra a x y a y(x).

16


9.2.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Se llama ecuación diferencial ordinaria de primer orden, en forma normal, a una igualdad de laforma

y′(x) = a(x, y(x))

donde se asume que y(x) es una función derivable de x en cierto dominio I, y que a(x, y(x)) es unaexpresión que puede depender tanto de x como de y. Se dice que la ecuación diferencial es ordinariaporque la función incógnita y(x) depende de una sola variable x, y se dice que es de primer ordenporque en la ecuación interviene solo la derivada primera y′(x). Además, se dice que está escrita enforma normal cuando se puede despejar explícitamente la derivada primera y′(x) en términos de lafunción y(x) y de la variable independiente x.

Se llama solución de la ecuación diferencial en el dominio I a cualquier función y : I → R derivabletal que reemplazada en la ecuación diferencial satisfaga la igualdad.

Ejemplo 9.2.1. Consideremos la ecuación diferencial

y′(x) = 2y(x)

(típicamente no se declara el dominio de la ecuación diferencial, sino que se espera a conocer lassoluciones para veri�car su dominio de validez).

Podemos veri�car quey(x) = 4e2x

es solución en todo el eje real, ya que es derivable con y′(x) = 8e2x = 2 · (4e2x) = 2y(x). La soluciónno es única; cualquier función

y(x) = Ae2x

también cumple y′(x) = 2Ae2x = 2y(x). Se dice que existe una familia de soluciones parametrizadapor los valores de la constante A.

Si existe la solución de una ecuación diferencial, típicamente no es única: se espera encontrar unafamilia de soluciones, dependientes de parámetros arbitrarios.Cuando se pueda probar que una familia incluye todas las soluciones posibles, se dice que se haencontrado la solución general de la ecuación diferencial.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en forma normal, son

1. y′(x) = 2x2. y′(x) = 3y(x)3. y′(x) = x fy(x)− x2

Es usual no explicitar que y depende de x y escribir brevemente

1. y′ = 2x2. y′ = 3y3. y′ = xy − x2

(al leerlas no deben olvidar que se asume que y es función de x). Por último, en lenguaje diferencial,estas ecuaciones se escriben

1. dy = 2x dx2. dy = 3y dx3. dy =

(xy − x2

)dx

Veremos técnicas para resolver los ejemplos 1 y 2. El ejemplo 3, aunque sea de primer orden, es algomás complicado y queda fuera del alcance de nuestro curso.

17


9.2.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver por integración

directa

Es sencillo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, cuando el factor a(x, y(x))depende solo de x, es decir ecuaciones de la forma

y′(x) = g(x)

donde g(x) sea una expresión conocida, que en principio depende de x pero no depende de y. Aunqueno conocemos y(x), la ecuación nos dice explícitamente que su derivada y′(x) es una función g(x)conocida. En otras palabras, la función incógnita y(x) debe ser una antiderivada o primitiva de g(x).La solución general está dada por todas las primitivas que expresamos integrando,

y(x) =

ˆg(x) dx

Si conseguimos una primitiva G(x), podemos expresar, sin olvidar la constante de integración, todaslas soluciones como

y(x) = G(x) + C

La solución, como anticipamos, no es única. Tenemos una familia de in�nitas funciones, según el valorque elijamos para la constante de integración C.

Ejemplo 9.2.2. Consideremos el movimiento de un objeto de masa m = 100 sometido a unafuerza oscilante que depende del tiempo como F (t) = 1000 cos(5t) (todo escrito en unidades ade-

cuadas). La segunda ley de Newton, que escribimos en la Introducción como dv =F

mdt, nos plantea

la ecuación diferencialdv

dt= 10 cos(5t)

Luego la velocidad del auto se expresa

v(t) = 10

ˆcos(5t) dt = 2sen(5t) + C

donde el valor de C no se conoce.Si además conocemos la velocidad inicial v0 (cuando t = 0), se puede ajustar el valor de C

planteando quev(0) = 2sen(5 · 0) + C = v0

y despejando de la última igualdad. En este caso obtenemos C = v0.

Hay una forma de respetar las condiciones iniciales al construir la solución, de forma que no aparezcauna constante C indeterminada. Dada la ecuación diferencial

y′(x) = g(x)

donde g(x) es continua, si buscamos una solución y(x) de tal que en un punto inicial x0 tome undado valor y(x0) = y0, podemos construir la misma primitiva de ambos lados en forma de funcionesintegrales. Para eso conviene situarse en un punto genérico de la solución y escribir la ecuación enforma diferencial

y′(x) dx = g(x) dx

e integrar ambos lados entre el punto inicial x0 y un punto variable x1. Calculandoˆ x1

x0

y′(x) dx =

ˆ x1

x0

g(x) dx

obtenemos

y(x1)− y(x0) =

ˆ x1

x0

g(x) dx

18


Como x1 es variable, conviene llamarlo x (y usar otra letra, digamos u, para la variable de integración);llegamos a la solución

y(x) =

ˆ x

x0

g(u) du+ y0

Ejemplo 9.2.3. Revisemos el ejemplo anterior con esta técnica. La ecuación diferencial se puedeescribir

dv = 10 cos(5t) dt

y se busca una solución v(t) tal que, cuando t = 0, tome el valor v0 = 1 (en unidades adecuadas).Integrando ambos lados encontramos

v(t)− v0 = 10

ˆ t

0cos(5u) du = 2 [sen(5u)]t0 = 2 sen(5t)

Luego solución buscada esv(t) = 2 sen(5t) + 1

Por supuesto, se encuentra la misma solución si se evalúa la constante de integración del ejemploanterior como C = v0 = 1. La ventaja de la integración de�nida es incorporar automáticamente lascondiciones iniciales en la solución.

9.2.4. Ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver por separación

de variables

Consideremos ahora una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y′(x) = a(x, y(x)) donde elfactor a(x, y(x)) se pueda escribir como el producto de un factor que dependa sólo de x y otro factorque dependa sólo de y. La anotamos con la forma

y′(x) = f(x) · g(y(x))

En estos casos es apropiada la técnica de separación de variables, que permite integrar la ecuación porel método de sustitución.

Asumiendo que g(y(x)) 6= 0, podemos escribir

1

g(y(x))y′(x) = f(x)

Notamos que el lado izquierdo tiene la forma adecuada para integrar por sustitución: es el productode una función que depende de y(x) por su derivada y′(x). Podemos entonces construir primitivas enambos lados de la igualdad mediante integración inde�nida,ˆ

1

g(y(x))y′(x) dx =

ˆf(x) dx

y hacer la sustitución y = y(x) en el lado izquierdo para obtenerˆ1

g(y)dy =

ˆf(x) dx

A esta altura se dice que hemos separado las variables: el lado izquierdo depende solo de y mientras ellado derecho depende sólo de x.

Para aliviar la notación, llamemos h(y) = 1/g(y); tenemos que resolver las primitivasˆh(y) dy =

ˆf(x) dx

Si conocemos una primitiva H(y) y una primitiva F (x) para cada lado, sin olvidar las constantes deintegración obtenemos

H(y(x)) = F (x) + C

19


donde volvemos a anotar que y es función de x. Esta ecuación ya no es diferencial (se dice que estáintegrada); relaciona de alguna manera y(x) con x. Si se puede despejar explícitamente y(x) tendremosuna expresión para la función solución; si no es posible despejar, quedará una relación implícita.

En la práctica, es más apropiado recordar el mecanismo de integración y aplicarlo, antes querecordar la expresión �nal. Veamos cómo se aplica en un ejemplo.

Ejemplo 9.2.4. Vamos a hallar las soluciones de la ecuación diferencial

y′ =2x

y + 1

donde se asume que y es una función derivable de x y se espera que y(x) 6= −1.Primero le damos a la ecuación una forma tal que y(x) e y′(x) aparezcan solamente en el lado

izquierdo de la igualdad, y que x aparezca solamente en el lado derecho,

(y + 1) y′ = 2x

En este momento se dice que hemos separado las variables. Las integrales inde�nidas (o primitivas)de cada lado serán iguales: ˆ

(y(x) + 1) y′(x) dx =

ˆ2x dx

En el lado izquierdo, calculamos la integral por sustituciónˆ(y(x) + 1) y′(x) dx =

ˆ(y + 1)dy =

1

2y2 + y + C1

En el lado derecho, calculamos ˆ2x dx = x2 + C2

Igualando ambos resultados,1

2y2 + y = x2 + C

(donde es usual juntar las constantes desconocidas en una sola, C2 − C1 = C).

Esta ecuación en dos variables de�ne implícitamente soluciones y(x) de la ecuación diferencial.Siendo una ecuación cuadrática en y podemos despejar

y(x) = −1±√

1 + 2(x2 + C)

Así encontramos distintas soluciones: para cada valor de C hay dos soluciones, de�nidas en undominio tal que 1 + 2(x2 + C) > 0. Mostramos algunas de ellas en la siguiente grá�ca (noten quehay huecos a la altura y = −1):

En este ejemplo la ecuación1

2y2+y = x2+C, que contiene las soluciones, es sencilla (representa

hipérbolas). Sin embargo, resultan algo engorrosos los detalles para despejar y(x).

20


Observación: las grá�cas de las distintas soluciones de una ecuación diferencial se conocencomo curvas integrales. El nombre se debe a que, como ya hemos visto, las soluciones se obtienenintegrando.

Para las ecuaciones diferenciales de variables separables también hay una forma de una construirdirectamente una solución y(x) de tal que en un punto inicial x0 tome un dado valor y(x0) = y0,sin necesidad de ajustar el valor de una constante de integración. Dada una ecuación diferencial quepodemos llevar a la forma

h(y(x)) y′(x) = f(x)

construimos la misma primitiva de ambos lados en forma de funciones integrales, integrando entre elpunto inicial x0 y otro punto variable x1:ˆ x1

x0

h(y(x)) y′(x) dx =

ˆ x1

x0

f(x) dx

En la integral de la izquierda se propone la sustitución y = y(x), con lo cual los límites de integraciónpasan a ser y = y(x0) = y0 e y = y(x1). Resulta

ˆ y(x1)

y0

h(y) dy =

ˆ x1

x0

f(x) dx

Como hicimos antes, conviene cambiar x1 por la variable x (usando otra letra para la variable deintegración) y anotar ˆ y(x)

y0

h(y) dy =

ˆ x

x0

f(u) du

Si además conseguimos primitivas explícitas para h(y) y para f(x) (que llamamos H(y) y F (x) res-pectivamente) podemos evaluar las integrales como

H(y(x))−H(y0) = F (x)− F (x0)

Ejemplo 9.2.5. Busquemos una solución y(x) de la ecuación diferencial

y′ = cosx · ey

tal que y(π) = 0.Empezamos por separar variables y escribir que y depende de x:

e−y(x) y′(x) = cosx

Luego integramos ambos lados entre x0 = π y x variable (usando nuevas letras para las variablesde integración), ˆ x

πe−y(v) y′(v) dv =

ˆ x

πcosu du

y hacemos el cambio de variables y = y(v):ˆ y(x)

y(π)e−y dy =

ˆ x

πcosu du

Como e−y y cosu son funciones continuas, y encontramos sus primitivas en la tabla básica, evaluamospor regla de Barrow [

−e−y]y(x)0

= [senu]xπy obtenemos la ecuación

−e−y(x) −(−e0

)= senx− senπ

o biene−y(x) = 1− senx

21


Como en el ejemplo anterior, es delicado despejar y(x) : podemos hacerlo tomando logaritmos,siempre que 1− senx > 0; esto excluye los puntos x = π/2 + 2kπ, para k entero. Podemos despejaruna solución, por ejemplo, con dominio (π/2, 5π/2):

y(x) = − ln (1− senx)

Esta solución, y las que se obtienen en otros intervalos, se muestran en la siguiente grá�ca:

Una aplicación importante: modelos exponenciales

En la introducción de esta Clase mencionamos dos ecuaciones diferenciales de primer orden con elsiguiente planteo: que la derivada de una función respecto del tiempo sea proporcional al valor mismode la función en cada instante. Recordemos esos casos:

En el crecimiento de una población de bacterias, en función del tiempo transcurrido,

dM

dt= kM(t)

En el decaimiento de una sustancia radiactiva, también en función del tiempo,

dN

dt= −kN(t)

Estos casos y otros casos que se rigen por el mismo tipo de ecuación diferencial tienen, por supuesto,el mismo tipo de soluciones.

Como aplicación del método de separación de variables, vamos a resolver este tipo ecuación dife-rencial y analizar sus soluciones. Llamemos en general y(t) a una cantidad que depende del tiempo t,y estudiemos la ecuación diferencial

y′(t) = k y(t)

donde k es un valor constante (positivo o negativo, en los ejemplos mencionados).La ecuación es de variables separables. Para proceder, asumamos que para todo instante y(t) 6= 0.

Podemos escribir1

y(t)y′(t) = k

Con las variables y y t ya separadas, integramosˆ1

y(t)y′(t) dt =

ˆ1

ydy = k

ˆdt

La solución y(t) queda relacionada con la variable t en la ecuación 4

ln |y(t)| = kt+ C

donde C es una constante arbitraria.

4Recuerden que, cuando y es positiva, la primitiva de 1/y es ln(y). Cuando y es negativa, la primitiva de 1/y es

ln(−y). Se incluyen las dos posibilidades al escribir ln |y|.

22


Podemos despejar la expresión explícita de y(t): en primer lugar, exponenciando ambos miembrosdespejamos

|y(t)| = eCekt

donde eC resulta una constante positiva. El valor absoluto se resuelve como

y(t) = ±eCekt

Ahora bien, dado que buscamos una función y(t) derivable, debe ser continua. Como ekt 6= 0 en todo eleje real, cualquiera de estas soluciones, por el Teorema del Valor Intermedio, debe ser siempre positivao siempre negativa: al resolver el valor absoluto encontramos dos familias de soluciones separadas,y(t) = eCekt y y(t) = −eCekt. El dominio de estas soluciones es el eje real completo.

Por último, falta estudiar la posibilidad de soluciones con y(t) = 0 en algún punto. Reemplazandola función nula y(t) = 0, con derivada y′(t) = 0, en la ecuación y′(t) = k y(t) vemos que también essolución. Se puede probar que la función nula es la única solución que nos faltaba.

La ecuación diferencial de primer orden

y′(t) = k y(t)

tiene como solución general a la familia de funciones exponenciales

y(t) = Aekt

donde A toma cualquier valor real (positivo para representar y(t) = eCekt, negativo para repre-sentar y(t) = −eCekt y cero para representar y(t) = 0). Cada solución de esta familia tiene comodominio todo el eje real.

Más allá del método utilizado, es fácil veri�car explícitamente que una función y(t) = Aekt satisfacela ecuación diferencial

y′(t) = Akekt = k(Aekt

)= k y(t)

para cualquier constante A.

Observación: por tener esta familia de soluciones, se dice que una ecuación diferencial de laforma

y′(t) = k y(t) o bien dy = k y dt

describe modelos exponenciales. Vale la pena recordar la forma de la ecuación y la forma de sussoluciones.

Para encontrar una solución particular, que para un dado tiempo inicial t0 tome un dado valor y0,podemos ajustar el valor de la constante A (como proponemos en la ejercitación) o resolver la ecuaciónusando integración de�nida. Ilustremos este procedimiento, integrando

1

ydy = k dt

entre un punto (t0, y0) y un punto genérico (t, y):ˆ y

y0

1

vdv = k

ˆ t

t0

du

[ln v]yy0 = k [u]tt0

ln

(y

y0

)= k(t− t0)

Exponenciando ambos lados de la ecuación obtenemos

y(t)

y0= ek(t−t0)

y �nalmente la forma explícita de la solución:

y(t) = y0ek(t−t0)

23


9.2.5. Otras ecuaciones diferenciales

Para terminar, comentamos que existen ecuaciones diferenciales de primer orden que no se puedenresolver por integración directa ni por separación de variables. Por ejemplo, la ecuación

y′ = xy − x2

que mencionamos al principio de esta clase. Para resolverla necesitan conceptos y técnicas que veránen Análisis Matemático II.

Además, durante sus carreras encontrarán ecuaciones diferenciales de segundo orden, que invo-lucran a la derivada segunda de la función incógnita. También encontrarán ecuaciones diferencialesen derivadas parciales, cuando la función incógnita depende de dos o más variables. En esos casos,probablemente les convenga memorizar la forma de las soluciones para cada tipo de ecuación que sepresente.

9.2.6. Ejercicios

Ejercicio 9.2.1. Teórico

¾Qué es una ecuación diferencial de primer orden?¾Cuándo se dice que una ecuación diferencial de primer orden es de variables separables?¾Cómo se relacionan las curvas integrales de una ecuación diferencial de la forma y′(x) = f(x)?

Ejercicio 9.2.2. Hallen la solución general de la ecuación y′ = 2x. Gra�quen la familia de solu-ciones.

Ejercicio 9.2.3. Encuentren la solución general y(x) de(x2 + 1

)y′ = xy

Ejercicio 9.2.4. Encuentren la ecuación de la curva y(x) que pase por el punto (1, 3) y tengapendiente y′ = y/x2 en todos sus puntos. Gra�quen la solución.

Ejercicio 9.2.5. Encuentren la ecuación de la curva y(x) que satisface 2xy dx− x

ydy = 0 y pasa

por el punto (2, 1). Gra�quen la solución.

Ejercicio 9.2.6. Hallen la solución general de la ecuación diferencial f ′(x) = 3f(x). Gra�quenalgunas soluciones particulares.

Ejercicio 9.2.7. Se analizan datos M versus t medidos en un cultivo de bacterias (M es elnúmero de bacterias, contado al microscopio, y t es el tiempo expresado en horas). Se acepta el modelo

exponencialdM

dt= kM , pero no se conoce el valor de k.

Si se observan 10 bacterias al comenzar las medidas (t = 0) y se observan 80 bacterias 5 horasdespués, calculen el valor de k.

Ejercicio con GeoGebra 9.2.8. Gra�quen con GeoGebra parte de la familia de soluciones dey′(t) = k y(t) con k = 2 (sugerencia: use un deslizador para el valor de la constante A).

Gra�quen con GeoGebra parte de la familia de soluciones de y′(t) = k y(t) con k = −2.¾Qué diferencia observan en las soluciones, según el signo de k?

24


9.3. Práctica

Ejercicio 9.3.1. Identi�quen por qué son impropias las siguientes integrales. Determinen en cadacaso si convergen o divergen, y si convergen calculen el resultado.

(a)

ˆ +∞

1/2

1

1 + 4x2dx

(b)

ˆ −2−∞

1

x2 − 4dx

(c)

ˆ +∞

0

(x2 + 2x− 1

)dx

(d)

ˆ +∞

0xe−x

2dx

(e)

ˆ +∞

1xe−x dx

(f)

ˆ 1

0ln(x) dx

Ejercicio 9.3.2. Calculen, si converge,ˆ π/2

0tanx dx. Gra�quen e interpreten geométricamente

el resultado.

Ejercicio 9.3.3. Analicen la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropiasutilizando criterios de comparación por desigualdades o por paso a límite (comparación de formasasintóticas).

(a)

ˆ 1

0

e−x√xdx

(b)

ˆ +∞

2

e−x√xdx

(c)´ +∞1

3

ex + 5dx

(d)

ˆ +∞

1

1√x2 − 0.1

dx

(e)

ˆ +∞

−∞

1

ex + e−xdx separen en dos integrales y comparen con 1/ex o con 1/e−x

(f)

ˆ 1

0

1√x(1 + x)

dx

(g)

ˆ 1

0

1

x− x4dx

Ejercicio 9.3.4.

(a) Calculen el área encerrada entre la curva y =ex

ex + 1y el eje x , para 0 ≤ x ≤ 1.

(b) Si se considera 0 ≤ x < +∞, ¾se encierra un área �nita?

Ejercicio 9.3.5. Consideren la grá�ca de la función f(x) = e−x para 0 < x < 1.(a) Calculen el área bajo la curva.(b) Considerando ahora la región determinada para 0 < x < +∞, calculen el área de la región y elvolumen del sólido in�nito generado al rotar la región alrededor del eje x.

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Ejercicio 9.3.6. Una población N de animales crece con una rapidez dada pordN

dt= 200 + 50t,

donde t se mide en años. ¾Cuál es el aumento de la población entre el cuarto y el décimo año?

Ejercicio 9.3.7. En cinética química, la velocidad instantánea de una reacción A → B, de�nida

como −d[A]

dt, es proporcional a la concentración molar [A] de la sustancia que reacciona. Llamando

1/τ a la constante de proporcionalidad, se plantea la ecuación diferencial

−d[A]

dt=

1

τ· [A]

Encuentren una expresión para la concentración molar del reactivo en función del tiempo.

Ejercicio 9.3.8. Una función f(t) satisface la ecuación diferencial de los modelos exponenciales,f ′(t) = kf(t).

(a) Encuentren la forma explícita de f(t) sabiendo que f(1) = 5 y f(5) = 2. (sugerencia: debenhallar el valor de k y el de la constante de integración).

(b) Encuentren el valor de k sabiendo que ln f = 3 + 2t.

Ejercicio 9.3.9. Hallen la solución de la ecuación diferencial 3xy2y′ + 2x = 1 para x > 0 quecumple y(1) = −1. Veri�quen que la solución hallada es correcta.

Ejercicio 9.3.10. El campo magnético B creado por un cable con corriente eléctrica I se calculacon la ley de Biot y Savart, acumulando contribuciones dB provenientes de cada tramo in�nitesimalde cable de longitud dx (tema de Física II). En el caso de un tramo recto de cable de longitud L, elcampo magnético a una distancia d del centro del cable queda expresado por la siguiente integral:

B =µ0Id

4π

ˆ L/2

−L/2

1(√x2 + d2

)3 dxdonde µ0 es una constante fundamental.

1. Calculen esta integral, con L = 100 y d = 5.2. Den la expresión del resultado "con letras", dejando L y d como datos.3. Muestren que el campo magnético debido a un cable de longitud in�nita es

B =µ0I

2πd

Ejercicio 9.3.11. Entre los modelos de física abundan las ecuaciones diferenciales de segundoorden, que contienen hasta la derivada segunda de la función incógnita. Por ejemplo, la ecuacióndiferencial que gobierna las oscilaciones es

d2x

dt2− ω2x = 0

donde x(t) describe la posición en función del tiempo y ω es una constante (llamada frecuencia angular).Veri�quen que todas las funciones de la familia

x(t) = A cos(ωt− φ0)con A y φ0 constantes arbitrarias, son soluciones de la ecuación diferencial de oscilaciones.

¾Pueden interpretar la grá�ca de las distintas soluciones, usando traslaciones y dilataciones?

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análisis matemático i – cibex · integrales impropias de funciones continuas en intervalos...

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