Anhang A Lösungen zu den Übungsaufgaben

Lösungen zu Kapitel I 1.1 a) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} b) 0 1.2 (i) An B = {x : 1 ::; x < 2}, (ii) Au B = {x : 0 < x ::; 3},

(iii) A x B = {(x, y) : 0 < x < 2 und 1 ::; Y ::; 3}, (iv) A\B = {x : 0 < x < I}. 1.3 a) MI U M2 = {2, 3, 4, 6, 8, 9,10,12,14,15,16,18, ... }

MI n M2 = {6, 12, 18, ... }, MI \M2 = {2, 4, 8, 10, 14, 16, ... } M2 \MI = {3, 9, 15, 21, ... } b) MI = {I, -2}, M2 = {I, 2}, MI n M2 = {I} , MI U M2 = {I, 2, -1, -2}, MI \M2 = {-2}, M2 \MI = {2}

1.7 a) I, 1,3,3, 1,4,6,4,1 b) 108243216

1.9 (nk ):\ = ( ~)' k' ~ = -k\ 1·2· ... ·(n-k) (n-k+l) .... i;(n) < t. . 1 n n- .. n' . 1 .2 ..... (n - k). n -.

, v ,~

(n-k) Zulllcn k Zahlen

1.10 x 5 + 20x4 + 160x3 + 640x2 + 1280x + 1024 625 y4 - 500y3 + 150y2 - 20y + 1 a6 - 6 a4 b + 12 a2 b2 - 8 b3

1.11 sum(k"2+I, k=71..125); 1.12 1.13

1.14

1.15 1.16 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24

sum(kA 3, k=l..n)=normal(sum(k"3, k=l..n»; a) (2 )2x 4a-3 y b) a3 + a 2 b + ab2

2 2 2

a) 2x 2:2=:: b) k2 / J(X - k)2 + X 2 c) 3(x - 1)

a) ab2 b) a2/ 3 c) ab4 / 3 d) a 13/ 8 e) a 15 / 32

a) 1/2, 3 b) 3/2, -1/3, 12 c) n~l log a - 1n(~+I) log b a)L={-5,3} b)L=0 c)L=u,n d)L={-2} e)L={-I} c =-2 a) L = {O, 2} b) L = {±2, ± 3} c) L = {-3, ± y'2, ± 5} a) L = {3.5} b) L = 0 c) L = 0 d) L = {-I} a) L = {-4.424, 5.424} b) L = {-2, 1} a) L = (8, (0) b) L = R c) L = 0 d) L = (-2.562, 1.562) a) Xl = X2 = X3 = 1 b) Xl = 1, X2 = 3, X3 = 2 c) L = 0

496 Anhang A: Lösungen zu den Obungsaufgaben

125 ,) L ~ {(X" x" "j ER' x ~ ( y ) + A ( n } b) L = {XE R3 :x= ( ~ ) + A ( -~ ) , A ER}

c) L= 0

1.26 ,) L ~ {XE R'x~ ( ~ ) + A ( -~ ) +" ( -l ) ; A," E ,,}

b) L ~ {XE ,,'x ~ ( g ) + A ( - ~ ) +" ( i ) ; A, " ER}

c) L= 0 1.27 Die homogenen Systeme sind immer lösbar.

Lösungen zu Kapitel 11

2.1 a) 8\ = ( -i~ ) j 18\1 = 26.92 b) 7 2 = ( -2~) j 172 1 = 24.59

c) 7 3 = ( -~: ) j 173 1 = 46.27 d) 7 4 = ( ~~~ ) j 174 1 = 184.66 -22 -40

2.2 F = -(Pt + F2 + H + F4 ) = ( =i~~ ) N

2.3 e: a = * ( ~) e: b = fss ( -~) e: c = ~ ( ~ ~ )

2.4 e: = -~ = i ( ~ )

2.5 r> (Q) = r> (P) + 10 ~ = ( =~:~~ ) -1.08

2.6 r>(Q)=r>(Pd+~M= 3.5 ( 0.5 )

2.5 2.7 a) 4 b) 96 c) 22 2.8 a) Cf' = 48.47° b) Cf' = 156.5°

2.10 C' = ct + b ct· b = 0 2.11 a)Ia:I=V3,a=ß='Y=54,74°

b) Ictl = J30, 0 = 24.09° , ß = 111.42° , 'Y = 79.48°

2.12 Ictl = BG = 2V6 Ibl = AG = 2V14 IC'I = AB = 2V14 o = 38.21° ß = 70.89° 'Y = 70.89°

2.13

2.14 2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

2.31

2.32 2.33

Lösungen zu Kapitel 11

b a = k ( -;;) b a = i ( -;~ ) 11 -14

Es ist 'Y = 90° , a", = 8.66, al/ = 5, a z = O. a) Q = 103.6° ß = 76.37° 'Y = 19.47°

::r:n ~Flrf:r:D d) ein FR = L::=1 F; = ( _~~~:~~) IF RI = 224N, Q = 41.6°

a) IFI = 30N lai = 3 b) CI' = 63.61°

c) Fa = 4.444 ( _~) IFal = 13.33 d) a;>. b = 0

a) ~ = 600 b) M = ( ::! ) Nm; IMI = 5.2Nm c) F. = ~ ( : ) N

F· s> = 4 Nm F S 1 + F S 2 = 4Nm ~ Die Arbeit ist wegunabhängig.

( 4 ) ( -1 ) A = 1 : Q1 = (3,0,2)

9 : :i! = 0 + A 0; A = 2 : Q2 = (2, 0, 1) 3 -1 A=-5:Q3=(9,0,8)

9 : :i! = ( _~ ) + A ( 1~ )

Ja: :i! = ( ~ ) + A ( ~~ ) j P3 : A = 2

d = 1,22 ( 5 ) ~ JI ) 9 : :i! = ~ + A ~; a) g1 und g2 sind windsc ief; d = 2.04.

--+ --+ b) Geraden sind parallel, da all b j d = 1.79 c) Geraden schneiden sich genau in einem Punkt S = (5, 2, 10) j Q = 32.4° g1 und g2 sind windschief zueinander; d = 2.85.

E = ( ~ ) + A ( ~ ) + ~ ( ~ ) ; n = ( =~ ) j Q = (10, 9,11)

497

.... (P) = ... ,,+'( .... ,-.... ,)+" ( .... ,-.... ,) = ( ! )+, ( -~ )+" ( ~ ) 10; E = (: ) +' ( j ) +" ( -0 = ( ~D => '= 1, "= 3

4x+3y+z=54 a) 9 und E schneiden sich, da n . a;> = 2 =/: O. Schnittpunkt A. = 4.5 ~ S = (18.5, 5.5, 11). Schnittwinkel CI' = 9.27°

498

2.34

2.35

2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41

Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben

b) gllE, da rt· 0: = Oj Abstand d = 1.51

c) E = ( =~ ) + A ( -~ ) + ~ ( -~ ) j rt = ( =i ), 9 = ( ~ ) +

A ( 1~5 ) . =* Schnittpunkt S = (1, -2, -2) j Schnittwinkel cp = -22.79°

E111E2, da n1 x n2 = OjAbstand d = 3.74

E, ~ E" S,h"ing""'e" ~ t ( 5: ) +' ( =~ ). S,hnittwi"kel ~ ~ 27.20

Nein: 0:3 = 0: 1 + 0:2 : die Vektoren sind linear abhängig. Ja. b = 0:1+ 0:2 - 20:3 - 0:4 .

Linear abhängig, da det(O:l, 0:2 , 0:3 , 0:4 , 0:5 ) = o. ~ ----+ --t ~

a) b = a1 + a 2 + a 3. b) Nein. d = -20:1+ 0:2 - 0:3 •

Lösungen zu Kapitel III

3.1 ,) (~~ ~~) b) (-~ =;) ,) ( ;; e) (-~ ~ -~) 0 (=~ ;)

23 10) d) ( ~ 1~) 18 2 -1 2

3.2 a) A2 = (~ ~~ ~), B 2 = (-~ -~ -~5)' o 0 1 4 -6

A· B = (=~ : -!) , B . A = (-; ~ ~) 1 -3 0 2 -9 -3

( 1 26) (-~ -i ~ -;) b) A· B = 0 6 B . A = 1~ 1~ ~ 2~

33 .) A-' ~ ä (-~ ~~ _~~) b) B-' ~ t (_: _!)

c) c-1 = ~ (=~ ~ =~ =~) -1 -1 0 3

3.5 A ~ 0 ~ -~ n, (18,22,38)

3.6 5, 0, .x 3.8 -12, -21, -53 3.9 a)O, -1 b)l, 2, 3

3.10 a) 142 b) 180

Lösungen zu Kapitel IV

3.11 detA = -8, (Xl, X2, X3) = (-3, 3, 0)

3.12 A- l = t (-~ -~ -~) B- l = t ( 2 11 -10

3.13 Rang (A) = 3 Rang (B) = 3 Rang (C) = 3

3.14 det( ~ ~ ~) =2~0 x;= (-~)

3 -2 -2) -~ ~ -1~

Rang(D) = 3.

3.15 a) Rang (A) = 2 Rang (Alb) = 3 =? nicht lösbar. b) Rang (A) = 2 = Rang (Alb) =? lösbar, nicht eindeutig

3 .16 :;B~e~ -~2~~ '7; ~ ~s~t ~ö~u:. linear abhängig

~ --1- ---+ --t ---+ --t ---+ b) det a, b, c ~ 0 =? linear unabhängig, d = -3 a + b + 2 c .

3.17 a) detA = -8 =? eindeutig lösbar mit (Xl, X2, X3) = (-3, 3, 0) b) detA = 62 =? eindeutig lösbar mit (Xl, X2) = (~, ir)

3.18 B- l = t (-~ -~ -~) 2 11 -10

a) t ( i) b) t ( -~) c) t ( ~~ ) 3.19 (i ~ ~ I ~ ~ ~) =? (~ ~ ~

o 1 -2 0 0 1 0 0 1

Lösungen zu Kapitel IV 4.1 a)ID={x:lxl2:1} W=R;::o b)D=R\O W=R

499

c) ID = R \ {-2, 2} W = (-00, 0] U (i, 00) d) ID = R \ -1 W = R \ 1 e) ID = R W = R;::l f) D = R W = [-~, +~]

4.2 a) gerade b) ungerade c) ungerade d) gerade e) gerade f)-

4.3 a) streng monoton fallend in R::;o j streng monoton wachsend in R;::o b) streng monoton wachsend c) streng monoton wachsend e) streng monoton wachsend

4.4 a) y = 21x D = R>o b) y = t x 2 D = R;::o c)y=lnx+0,5-ln2 D=R>o d)y=-~ ID=(-oo,l)

4.5 y=-2x+5 4.6 a) 1 2 - 5 b) -1 c) 0 2 5 - 5

500 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben

4.7 a) f (2) = -5 b) f (3) = 49.1 4.8 Ja: z.B. x 2 + 1 4.9 y = x 3 - 2 x + 1

4.10 a) -1 (doppelt), 1 b) ±2, ±3 4.11 f(x)=~x3+~x+l 4.12 factor(" ,x) 4.13 fsolve(",x) 4.14 unapply 4.15 plot 4.16 factor, convert(", 'homer'), degree 4.17 a) NS: -2,1 b) NS: 3, 4 c) NS: 1

Pol:2 Pol:-l,O Pol:-l

4.18 a) NS: ±2 b) NS: 2 doppelt P~:- P~:-2

Asymptote: y = 1 Asymptote: x - 6 c) NS: 1 d) NS: 1 doppelt

Pol: 2 Pol: -1 doppelt Asymptote: y = 1 Asymptote: y = 1

4.19 plot, numer, denom, factor, normal, asympt, solve 4.21 t = 2.3RC 4.22 t = 1.5s 4.23 a = 8 b = 0.4159

d) NS:-Pol: ±1

4.24 a) Xl = -0.3012 b) Subtitution t = eX • Xl = 0, X2 = 0.693 . X2 = 2.3012

4.25 X = 2. 4.26 'Y = t In x(~~~) = 100 In 2. 4.27 Grad 40,36° 81, 19° -322,08° 278, 19°

Bogen 0,7044 1.4171 -5.6213 4.8553 4.28 eos (Xl - X2) = eos Xl eos X2 + sin Xl sin X2

Xl = X2 = X ~ eos (0) = 1 = eos2 X + sin2 X

4.30 Amplitude Phasenverschiebung Periode a) 2 -~ 371" b) 5 2.1 71" c) 10 -3 2 d) 2.4 -i !7r

4.32 71"/2, 71"/4, -71"/3, 0.5018, 71"/3, 71"/6, 71", 0.5489, 71"/4, -71"/3, 271"/3, 71"/3 4.33 0.7071, 0.9793, 0.5225, -4.455, 0.8776 4.34 y = areeos(x) '--+ X = eosy

viI - x2 = Jl- eos2 y = siny = sin (areeos (x)) 4.35 analog 6.8.

4.36 x, X, vll-x2 , vll-x2 , x/vll+x2 , vll-x2 /x 4.37 a)D=[ -1,1], W=[I, 71" - 1), b)D=[O, 1], W=[O, 71"/2 + 1], c)D=[O, 2], W=[O, 71"]

5.1 5.2

5.3 5.4

5.5 5.6

5.7

5.8

5.9 5.11

5.12

5.13 5.14 5.15 5.16 5.17

5.18 5.19 5.20 5.22 5.23

5.24

Lösungen zu Kapitel V

Lösungen zu Kapitel V a) 6eit b) 2 V2ei t". c) 2 ei i'" d) 5eO i e) 5ei '''' 0 ei ".

a) 3 V2 (cos i + i sin i) = 3 + 3 i b) 2 (cos ~ 71" + i sin ~ 71") = -1 + J3 i c)1(cos7l"+isin7l")=-1 d)4(cos~7I"+isin~7I")=-2-2J3i a) 3 - V2 i b) 4 (cos 125° - i sin 125°) c) 5 e-i !". d) J3 e-iO.734

501

a) 2 (cos ~ 71" + i sin i 71") b) V2 (cos 135° + i sin 135°) c) 2(cos45° +i sin 45°) d) 5(cos233.13° +isin233.13°) a)1-4i b)-9-46i c)~1-~i d)-l e)!~ O~-~i a) -1- 4i b) 170 c) -1024i d) 12 e) ~

o -t g) -7 + 3v'3 + v'3i h) 765 + 128v'3 i) (6V;+4) a) -512 + 512 v'3 i b) 8 (cos 135° + i sin 135°) c) -46656 d) 27 e i 1.66". = 2 ei 5.21

a) 3 ei'P mit r.p = i, ~ 71", ~ 71", ~ 71" 3 (cos r.p + i sin r.p) mit r.p = 45°, 135°, 225°, 315° b) 6m2 i'P't ". 4 7 10 13 16

v~e mt r.p= 9' 971", 971", 9'71", 9'71", 9'71" ~ (cosr.p + i sinr.p) mit r.p = 20°,80°, 140°, 200°, 260°,320° a) 1, 1, 2,-1±i b) 1,-2, !i,-!i evalc (Re«-2+7*1 ) I (15*1))); etc. evalc (Im«-2+7*1) I (15*1))); etc. abs ( n ) --+ Betrag argument ( n ) --+ Winkel evalc evalc solve (z -3 = I, z) bzw. fsolve ( ... , z) fsolve ( n , z, complex)

a) R = 1000 + i (199999.95) 0 =? R = IRI = 199999.980 b) R = 86.210 + i 34.480 ::;. R = IRI = 92.850 ) R- - R (wL)2.R2 . wLR~ b) R" - 609 36"'" ·49711,.... a - 1 + (w L)2+R~ + Z (w L)2+R~ 9 - . .. - z . ..

u = 231.77 V . sin (wt + 0.48) Y = 22.37 cm· cos (wt + 5.74) a) R = 1.4, wg = 1.9 b) R = 1.3, wg = 1.3 c) C = 3.4 pP, L = 0.5 H a) R = 0.80, wg = 0.74! b) L = 0.0925H, C = 0.592.10-7 F c) R = 5920, L = 0.0476

a)

Lk = Ck = 1 Lk = 0.5 , Ck = 2 Lk = 2 , Ck = 0.5

Ropt

1.3 0.9 1.8

Wu

0.52 0.6 0.4

Wo

1.9 1.6 2.4

b) C in [ILF] 2.47 1.44 4.32

L in [mH] 14.6 17.8 13.3

502 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben

Lösungen zu Kapitel VI 6.1 a) n > 103 b) n > 104 c) n 2: 1010

6.2 a) ~ b) 00 c) 1 d) 5 e) ~ t) ~ g)~ h) 3 i) sin ~ = 1 6.3 la -11 <c<=>n>...l.. n 2 4.

6.4 a) ~ b) Mit q := I a~;;l I folgt lanl :::; qn-1 lall --> 0 fUr n -+ 00.

6.5 LI: lan + bn - (a + b)1 :::; lan - al + Ibn - bl n~ 0 L2 : lan . bn - a· bl = lan (bn - b) + (an - a) bl

:::; lanl Ibn - bl + Ibl lan - al n~ 0 6.6 a) limit (1 / n * sum(l / i, i = 1 .. n), n = infinity)

b) limit (n / sqrt[n] (n!), n = infinity) 6.7 a) 7 b) -~ c) 0 6.8 a) 0 b) -7 c) 2 d) i e) ~ t) 1 6.9Iimf(x)=2

x_1 6.10 lim f (x - h) = 0 # lim f (x + h) = -2

h_O h_O 6.11 !im f(xo+h)=2=f(xo)=lim f(xo-h)

h_O h_O

6.12 Ja: i (1) := ~

6.13

6.14

6.15

6.16 6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

a)y'=56x6 -30x2 -30x-4 +56x-8 b)y'=9x-±-4x-'+11+12x-t c) y' = 610 [-t& d) y' = -123.9 a-J,f

e) y' = 2 b x (c + e x) 3 + (a + b x 2 ) • 3 (c + e x) 2 . e 5 J.

t) y' = 7. x 2 + ~ x 2 g) y' = (0 + ß) x"+ß-1

a) 10C;;(X) - 30~4(x) b) cos2 (x) - sin2 (x) c) nxn - 1ex + xnex d) ("'~170)2 ) -1 t) 4 2t2 -t+1 ) x 2 _2 h) xe"(-2e"+2+x)

e 1-coo('!') - (t+1)2(t 1)(t2 1) g - (x2+2)' - (eX_1)' i) In(x)+l-x+x In(x)

(x-1)3 a) y' (x) = - sin (3 x + 2) ·3 b) y' (x) = 3 (3 x - 2)2 ·3 c) y' (x) = 15 cos(5x) d) y' (x) = (8x - 3) e4x2-3x+2

e) y' (x) = 12~:2 t) x' (t) = Aw cos(wt + '1') g) '() cos(2 x-3) 2 h) '() 1 1 2 x

Y X = sin(2 x 3) . Y x ="2 :; (2 ). x 2 -1 V In x -1

a) y' (X) = XX (In x + 1) b) y' (x) = xoinx . x cosx I;x+oinx

a) y' = x(x"). XX (ln x + 1) Inx +~) b) y' = (x"y. x (2lnx + 1) c) y' = x(x"Ha-1 (a Inx + 1) d) y' = x(a"') a X (lna Inx +~) e) y' = a(x"'). XX (ln x + 1) Ina a) . t b) 2 x c). x+13 d) a 1n(x-3) In a e) e'" 2_x 2 t) 1 ~ x4-1 x2-4x-5 x 3 (1-x) 1_x2

sinh' (X) = cosh(x) ,cosh' (X) = sinh(x) ,tanh' (X) = cush1.(x)

arcsin' (X) = v' 1 .' arccos' (X) = --=-6 l-x 2 y l-x2

arctan' (X) = ",2~1' arccot' (X) = - x'+l arsinh' (X) = ~, arcosh' (X) = ~

yx2+1 yx2-1

Y (X) = Xn <-> In y = n In x <-> y' = y . n ~ = n x n- 1

6.23

6.24 6.25

6.26

6.27 6.28 6.29

Lösungen zu Kapitel VI

3 -2 sin(2x)-exv'Y-7

a) eX 1J .x+3 y2 In x

y.lny.eXY-~ b) 11

e : Y -x.ln y.e-:r. v_ 12,:4+6

c)2lL d)~ 2-,jii cos y-x y ' (4) = -0.436

i)

f f'

df = f' (x) dx

ii) df (xo) = f' (xo) dx iii) Yt = f (xo) + df (xo) iv) v)

Linearisierung f (Xo + c) ~

exakt Punkt (xo, Yo)

a) x(t) = Ae-..,.t cos(wt)

viI +x4

x:1

2~ x" d

2 J1+x4 x V2dx V2x V2x

1.4283 1.4142 (1,.;2)

3 In (1 + 3 x 5 ) 45x 4

1+3x5

45x 4 d 1+3 x5 X

4.993dx 4.993 x + 4.8 4.993 x + 4.8

19.82893 19.82898

(3, 19.779)

x (t) = -, A e-..,.t cos (wt) - w A e-..,.t sin (wt) x (t) = A,2 e-..,.t cos (wt) + A ,we-..,.t sin (wt)-

A w2 e-"" t cos (wt) + A,w e-"" t sin (wt)

2 cosx -2 sin x

-2 sinxdx

503

V2dx 1.414 x - 0.3034 1.414 x + 0.3034

1.428 1.400

Ci, V2)

b) x (t) = 0 '* -, cos (wt) - w sin (wt) = 0 '* tan (wt) = -: Vi (a) = 0 mit V" (a) = ~ > 0 relativer Fehler ~ = 3.9· 10-3 ~ 4 0 / 00

a) Minimum (-~; -5) Maximum (1.5; 27) b) Maximum (0; 16) Minimum (±2; 0) c) Maximum (0; 2) d) Maximum (1; 0.368) e) Maxima Xk = i + k ."Fr Yk = 0.5 k E Z Minima Xk = ~ "Fr + k ."Fr Yk = -0.5 k E Z f) Minimum (0,5; -0.08)

6.30 a) Y = X",2!{ D = R. \ {3}, W = (-00, -0.325J U 12.325,00), Pol: x = 3, Vertikale Asymptote x = 3, Asymptote im Unendlichen Y = x + 3, Extremwerte: Max (-0.162, -0.325) Min (6.162, 12.325) . b) Y = (Xx~lt: D = R. \ {I}, W = (-00, -8J U [0,00), Pol: x = -1, Vertikale Asymptote x = -1; Asymptote im Unendlichen y = x-3, Extremwerte: Max (-3, -8) Min (1, 0) . c) y = I:,"': D = (0, 00), W = (-00, 0.368), Nullstellen: x = 1, Pol: x = 0, Asymptote fUr x -+ 00: y = 0, Extremwert: Max (2.71, 0.368), Wendepunkt: (4.48,0.335). d) y = sin2 x: ID = R., W = [0, IJ , Periodizitlit "Fr, Nullstellen: x k = k"Fr, Extrema: Max (Xk = ~ + k"Fr; Yk = 1) Min (xn = k"Fr; Yk = 0), Wendepunkte Xk = i + k . ~ Yk = ~ .

6.31 a) 2 a b) 2 c) 2 d) l~ e) 0 f) .!2 g) 1 h) ea

6.32 rightbox (sqrt(x), x = 0 .. 2, 10) rightsum (sqrt(x), x = 0 .. 2, 10) 6.33 a) x~j + C b) -~ + C c) ~ A + C

504

6.34 6.35

6.36

6.37 6.38 6.39

6.40

6.41

6.42

6.43 6.44 6.45 6.46

6.47 6.49 6.60 6.61

Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben

d)3x1+C e)~x3_~x2+3x+C t)~xt-~xt+C a)1 b)27l'2+2 c)Ina a) x sinx+cosx+C b) ~ sin2x+C c) _x2 cosx+2x sinx+2 cosx+C d) t x3 In x - ~ x3 + C e) x eX - eX + C t) x2 eX - 2 x eX + 2 eX + C

a) In Ix + 21 + C b) ~ In Ix2 - 11 + C c) -i In 11 - 2 x31 + C d) ~ t (38 + 4)9 + C e) -~ cos (wt + ip) + C t) t sin (3t) + C g) _e-x + C h) -ln Icostl + C i) In Ixexi + C

j) ~ sin2x+C k) ~t (4+3x)t +C Nachrechnen durch Differenzieren der rechten Seite a) -~ x y'X + x + 2 y'X - 2 In (1 + y'X) + C b) -t VI - x23 + C

a)~vl+x3+C (u=l+x3) b) 125V5x+123+C (u=5x+12)

c)-~V(1-t)4+C (u=l-t) d)O (u=cosx) e) ~ arctan2 (z) + C (u = arctan z) t)Inlx2+6x-121+C (u=x2+6x-12) g)Inlln(x)I+C (u=Inx) h)-~cos(x2)+C (u=x2) iHlnI2x2-4x+21+C (u=2x2 -4x+2) j)O (u=l+t2) k)0.47 (u=3t-i) 1)2.055 (u=5-x) m)teX3-2+C (u=x3 -2) n)~tan2(z+5)+C (u=tan(z+5))

0) - )/4;x2 - arcsin (~) + C (x = 2 sinu) a)~x2Inx-~x2+C b)x·sinx+cosx+C c)tlnt-t+C d) - t x cos (3 x) + ~ sin (3 x) + Ce) x arctan x - ~ In (1 + x2) + C t) ~ (t - ~ sin (wt) cos (wt) ) g) ~ eX (sin x + cos x) + C h) _x2 e-x - 2xe-x - 2e-x + C

a) 21a (ln Ix - al -ln Ix + al) +C b) 2 In Ix + 11 + f In Ix - 11- 332 In Ix + 21 + C+4x

c) t In I ;:;:~ \ - 2 z~2 + C d) ll- In Ix - 91 + 1; In Ix + 71 + C e) ~ In x~3 - 3 (L3) + C a) ~ (Inx)~ + C b) In Isinxl + C c) x sinh(x) - cosh(x) + C d) _ecosx + C e) x +! In Ix - 11- 2 In Ix + 11- ! _1_ + C

4 4 2 x+1

t) X - 5 In Ix + 11 g) ~ (Inx)4 + C h) 2 In 12 x3 - 11 + C i) ~ (x2 + 1) arctan x - ~ x + C In(x + VI + x2 ) x - VI + x2

~-~Jl+y'X+C convert ( " , x, parfrac) a) 0 b) 0 c) 0 fUr n i= m j 71' für n = m

d) 0 fUr n i= m j 71' fUr n = m e) 0 a)! b) 1!: c)! d) _1_ e) S t) n!

2 2 2 -a+s s2+a 2 :;n+T F= ~uoio cOSip

3 3 h X s = 8' a ys = 5 M = 37.7, V = 19.73

Lösungen zu Kapitel VII 505

Lösungen zu Kapitel VII 7.1 a) L::l -j; = L::l j- =? Satz: Divergenz

b) Quotientenkriterium =? Konvergenz

7.2 7.4 7.5

7.6 7.7 7.8

7.9 7.10 7.11 7.12

7.14

7.15

7.18 7.19

7.20

7.21

7.22 7.23

7.24

c) ,s:t' :::; ~ =? Majorantenkriterium: Konvergenz

d) 2 nn+l -----t ~ =? Koeffizienten keine Nullfolge =? Divergenz

e) Quotie~~~riterium =? Konvergenz

f) Quotientenkriterium =? Konvergenz

g) Quotientenkriterium =? Konvergenz

h) Leibnizkriterium =? Konvergenz

i) Leibnizkriterium =? Konvergent

j) Quotientenkriterium =? Konvergenz

k) Quotientenkriterium =? Divergenz

I) Majorantenkriterium :::; ~ a) 6 b) e c) 6

5, 1, ~, 4 a)K=(-2,2) b)K=[-I,I] c)K=(-I,I) d)K=(-I,I] e)K=(-2,2) f)K=(-I,I) g)K=1R h)K=[-~,~) a)K=(-e+4,e+4) b)(-1,3) c)K=1R d)K=1R siehe §3 Tabelle 1

I (x) = -1 + (x - 1)2 - 2 (x - 1)3 + 3 (x - 1)4 - ... ± (n - 1) (x - Ir ± ... = -1 + L:=2 (n -1) (x -Ir (-lr+1 ; K = (0, 2]

siehe §3 Tabelle I siehe §3 Tabelle I siehe §3 Tabelle I

I (x) = ~ L:=o «;~)~ (x - i)2n + ~ V3L:=o \;~);~; (x _ i)2n+l

K=IR I (x) = x - x2 + ~ x3 + R3 (x) mit IR3 (x)1 :::; ~ Ixl 4

Rn (x) = ~ ~ 1.3 .... ~(;n-3) (1- e)-~ xn :::; 10-4 fUr e E (0, 0.05) =?n=5 F (x) = ~oo (-1)" X 2n+1

L..m=o 2n+l

taylor (m / k * In(cosh(sqrt(k * 9 / m) * t)), k = 0, 3); 1 gt2 _..!..li k +..!.. ~ k2 + 0 (k3 ) 2. 12 ~3 xiS Tn x 7

SI (X) = X - (' 3 + 515 - 7f7 ± ... () 2 x x 3 x 5 x 7 )

<I> x =-;;-; T-m+m-m± ... ) 3 3 3 2 + . (3 2 3) b) 1 I-x +. y a z = x - xy l X Y - Y -r=; = (l_x)2+ y 2 l (1_x)2+ y 2

c) e3 Z = e3 x cos 3 Y + i e3 x sin 3 Y leiZJ = le-3V3

a) li (x) = 3 (1 + i)3 X2i ii (x) = 3 (1 + i) e3 (1+i) x

b) J li (x) dx = (1 + i)3 ± x4 + Ci J lii (x) dx = 3 (1\i) e3(Hi)x + C

RL = iwL

506 Anhang A: Lösungen zu den Obungsaufgaben

Lösungen zu Kapitel VIII 8.1 Nullstelle: 2.79771 nach 19 Iterationen 8.2 7 Iterationen 8.3 0.73902 8.4 -0.6037 8.5 if<i ist NS von 1 (x) = x 3 - a. Newton-Iteration X n +1 = ~ X n + t::;-.

ij2 ~ 1.2599, W ~ 1.5874, ?'8 ~ 2.0000 Zn

8.6 -0.6625 8.7 fsolve (x"5 + 3 * x"3 + 1 = 0, x, complex)

-0.6625, -0.0544 - 1. 7380 I, -0.0544 + 1.7380 I, 0.3857 - 0.5919 I, 0.3857 + 0.5919 I

8.8 a) Xo = 2.2407 b) Xo = 1.6764 8.9 a) x = 3.1415 b) X = 0.1941

8.10 a = 34.46° 8.11 z = 4.965 8.12 K 1 = 42 K2 = 7.~53 K3 = lOL99

Lösungen zu Kapitel IX h

9.1 I'(x) =exp(x In x) (lnx+l); 1'(3)=56.66;

9.2 exakter Wert -98.0748;

h 10 10-2

10-3

Fehler 0.217 0.0017 0.00002

9.3 Ab gewissem h vergrößert sich der Fehler wieder. 9.4 Ordnung 2.

10 10-2

10-3

Fehler 0.0025 0.00003 0.00000

9.5 a) DiftFormel (t, s, 2, 3), wenn t := [tl, t2, t3, t4, t5] und s := [sI, s2, s3, s4, s5]. b) f" (X2) ~ -fi -& Uo -16/1 +30/2 -16h + 14)

9.6 a) I~ (2) ~ -0.92872 bei h = 10-2 b) I~ (2) ~ -1.20524 bei h = 10-2

c) I~ (2) ~ 112.0000 bei h = 10-2 d) I~ (2) ~ 1.32410 bei h = 10-2

9.9 m n h Irr.pe. ISimpson

2 4 0.25 0.52327 0.52267 4 8 0.125 0.52281 0.52266 8 16 0.062 0.52270 0.52266 16 32 0.031 0.52267 0.52266 32 64 0.015 0.52267 0.52266 64 128 0.007 0.52266 0.52266

9.10 a) 11.07831 b) 0.19043 c) 4.06206 9.12 a) 2.27931 b) 1.19113 c) 15.067 d) -4.07552

Anhang B Einführung in MAPLE

Grundlegendes

Nach dem Starten von MAPLE unter Windows erscheint die Benutzeroberfläche des elektronischen Arbeitsblattes (Worksheets) mit der Eingabeaufforderung

> Nach dieser Aufforderung kann eine Eingabe entsprechend der MAPLE-Syntax gemacht werden, auf die MAPLE antwortet. Die Eingabe muß mit einem ; oder : abgeschlossen und durch Drucken der Return-Taste bestätigt werden. Ein Beispiel: > 5*4;

20

Die Ausgabe erscheint versetzt eine Zeile tiefer und zentriert. Anschließend er­scheint wieder die Eingabeaufforderung.

Wird statt der Return-Taste die Tastenkombination Shift zusammen mit Return betätigt, erhält man eine weitere Eingabeaufforderung, ohne daß der Befehl sofort ausgeführt wird. Erst wenn die gesamte Eingabe mit Return bestätigt wird, führt MAPLE alle Befehle in einem Befehlsblock aus. > 5**2; >4+%;

25 29

Zusammengehörende Teile sind durch eine Klammer am linken Rand gekenn­zeichnet. Durch die Funktionstaste F3 werden zwei MAPLE-Befehle getrennt; mit F4 werden zwei MAPLE-Befehle zu einem Block zusammengefügt.

Um TextsteIlen im Worksheet einzufügen, wird eine Eingabezeile mit der Funk­tionstaste F5 in den Textmodus umgeschaltet. Eine neue Eingabezeile erhält man durch Anklicken des ">"-Symbols an der Kopfleiste. Durch Markieren und Lö­schen können Befehls-, Ausgabe- oder Textzeilen wieder entfernt werden.

508 Anhang B: EinfUhrung in MAPLE

Symbolisches Rechnen und Graphik

Standardmiißig werden die MAPLE-BefehIe zur Formelmanipulation in der MAPLE­Syntax eingegeben. Z.B. > int(xA2*sin(x), x);

-x2 cos(x) +2cos(x) +2xsin(x)

berechnet zu x2 sin( x) eine Stammfunktion. Die Eingabe erfolgt dabei in der MAPLE-Notation. Alternativ kann man die symbolische Darstellung der Eingabe wählen, indem man an der oberen Leiste den x-Button aktiviert, dann lautet die Eingabezeile > J x2 sin(x) dx

Markiert man das Ergebnis der MAPLE-Rechnung und betätigt die rechte Mouse­taste, werden mögliche Rechenoperationen vorgeschlagen, die auf das Ergebnis anwendbar sind. Z.B. Dijferentiate --+ x differenziert die Stammfunktion und liefert die MAPLE-Eingabezeile > xA2*sin(x); Markiert man nur einen Teil des Outputs und wählt mit der rechten Mousetaste wieder Differentiate --+ x, wird der Befehl als neue Eingabezeile in MAPLE-Syntax angegeben und ist anschließend ausführbar. > RO := diff(-xA2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x),x);

RO := x2 sin(x)

Wählt man statt dem Differenzieren mit der rechten Mousetaste Plots --+ 2D-Plot, so wird die Stammfunktion in einem Smartplot gezeichnet. Durch Anklicken der Graphik erscheint eine neue Toolbar, mit der man die Graphik interaktiv ändern kann. Alternativ steht wieder die rechte Mousetaste zur Verfügung. Ab MAPLE6 gibt es dadurch eine bequeme Möglichkeit Legenden zu beschriften, in die Gra­phik mit einzubinden sowie die Graphiken in einem der Formate <eps, gif, jpg, bmp, wmf> abzuspeichern.

Durch > plot(xA2, x=O .. 2}; wird direkt der plot-Befehl aktiviert, der den vorgegebenen Ausdruck im ange­gebenen Bereich zeichnet. Auch hier befinden sich die zusätzlichen Optionen zur Manipulation der Graphik nach dem Anklicken der Graphik am Kopf des Work­sheets. Insbesondere um eine Animation, die durch animate oder display erzeugt wird, zu starten muß die Animation an geklickt und der Startbutton betätigt wer­den. Alternativ kann man nach dem Anklicken der Graphik zur Steuerung wieder die rechte Mousetaste nutzen.

Kommen wir nochmals auf unsere Integralaufgabe J x2 sin( x) dx zurück. Um das Ergebnis der Rechnung einer Variablen expr zuzuordnen, steht der %-Operator (ditto-Operator) zur Verfügung

Spreadsheets 509

> expr:= %: Anschließend können mit expr wieder Formelmanipulationen vorgenommen oder der Ausdruck kann durch > eval(expr, x=Pi/2);

an der Stelle x = ~ ausgewertet werden. Alternativ zum %-Operator hätte man auch direkt die Variable > expr := int(x"2*sin(x), x): definieren können.

Paletten

Um dem Anfänger das interaktive Arbeiten mit MAPLE zu erleichtern, steht zum einen die rechte Mousetaste zur Verfügung, mit der man jeweils den MAPLE­Output manipulieren kann. Andererseits bietet MAPLE drei sog. Paletten an, die an der oberen Taskleiste unter View -> Palettes <Symbol Palette, Expression Palette, Matrix Palette> angesteuert werden können. Symbol Palette. Oftmals verwendet man sowohl im Textmodus als auch im Ein­gabemodus griechische Buchstaben. Diese stehen direkt über die Symbol Palette zusammen mit e, 00, 7r und i zur Verfügung. Expression Palette. Häufig verwendete MAPLE-Operationen wie Integration, Dif­ferentiation, Summenbildung, Limesrechnung aber auch Grundrechenarten, Poten­zen und Wurzeln sowie elementare Funktionen werden durch Anklicken des ent­sprechenden Symbols in MAPLE-Syntax umgesetzt. Die noch zu spezifizierenden Parameter des Befehls werden mit %? gekennzeichnet. Diese müssen anschließend gesetzt werden. Matrix Palette. Um die Eingabe von Matrizen zu erleichtern, gibt es die Matrix Palette. Dadurch können durch Auswahl des entsprechenden Symbols alle 4 x 4-Matrizen spezifiziert werden.

Spreadsheets

Zur Tabellenkalkulation stehen die sog. Spreadsheets zur Verfügung. Diese werden wie Tabellen z.B. in Excel bedient und benutzt. Das folgende Spreadsheet zeigt die Werte der Summen L~=l k und L~=l k2 in Abhängigkeit von n. Dazu wählen wir auf der oberen Taskleiste Insert -> Spreadsheet. Es erscheint im Arbeitsblatt eine Tabelle mit Zeilen A, B, C, ... und Spalten 1, 2, 3, ....

Zuerst wählen wir A an, schreiben in das grau markierte Feld n und bestätigen die Eingabe mit Return. Dann wählen wir B an, schreiben sum(k, k=I .. ÄI) und bestätigen die Eingabe. Durch -AI wird bei der späteren Auswertung der Tabelle der aktuelle Wert des Parameters n aus der ersten Spalte genommen. In das Feld C

510 Anhang B: Einführung in MAPLE

schreiben wir sum(k A 2, k=I .. -Al). Man beachte, daß MAPLE die Summen symbo­lisch in Abhängigkeit von n berechnet. In die Felder 2, 3, 4, 5 und 6 der Spalte A tragen wir 1, 2, 3, 10 und 100 ein. Nun Klicken wir die gesamte Spalte B an und wählen Spreadsheet --> Fill --> Down. Dann werden die zugehörigen Summenwer­te in die zweite Spalte Ubertragen. Die Summen der dritten Spalte werden analog berechnet oder man wählt nach dem Markieren der Spalte das Ausführungssymbol an der oberen Taskleiste.

n

1

2

S 10

6 100

•

6

55

5050

14

385

338350

MAPLE als Textsystem

Mit der Funktionstaste F5 kann man vom MAPLE-Input-Status in den Textmodus umstellen und in diese Zeile Text eingeben. Wie bei anderen Textsystemen kann man durch die Wahl von speziellen Buttons an der oberen Taskleiste den Text fett (B), kursiv (1) bzw. unterstrichen (u) darstellen. Mögliche Formate fUr den Ab­satz sind links- oder rechtsbUndig oder Blocksatz. Eine sehr attraktive Möglichkeit Formeln einzugeben besteht in der folgenden Vorgehensweise: Im Textmodus (F5) klickt man das Summensymbol von MAPLE an. Es erscheint dann in der MAPLE­Oberfläche eine Eingabezeile und im Text ein ? In die Eingabezeile kann man nun eine Formel in der MAPLE-Syntax eingeben. Im Text erscheint dann nach Betäti­gung der Return-Taste die Formel in symbolischer Schreibweise. Beispielsweise liefert int(sqrt(dijf(y(x),xf2+l),x=a .. b) die Formel

Ein Aufbau des Textsystems in der Form von aufklappbaren Buttons ist durch die Option Insert --> Seetion oder Insert --> Subseetion möglich. Durch das Exportieren des Worksheets in .tex erhält man sowohl den Text als auch die Formeln in BTEX und die Bilder als eps-Files. Durch das Exportieren des Worksheets in .htm erhält man den Text als html-File und sowohl die Formeln als auch die Bilder im gif-Format. Animationen werden als animated-gifs abgespei­chert und werden bei der entsprechenden html-Seite als Animationen abgespielt. Ein Exportieren in das rif-Format ist ebenfalls möglich.

•

•

MAPLE Strukturen

MAPLE Strukturen

Operatoren

+ Addition < kleiner Subtraktion <= kleiner gleich

* Multiplikation > größer

/ Division >= größer gleich

** Potenz gleich Potenz <> ungleich

Nulloperatoren

% %%

Zuweisung Befehlsende zur Ausführung und Darstellung des Ergebnisses Befehlsende zur Ausführung ohne Darstellung des Ergebnisses zuletzt berechneter Ausdruck (ditto-Operator) vorletzt berechneter Ausdruck An- und Abführungszeichen für Texte in MAPLE-Befehlen

511

• Schlüsselwörter, die vordefiniert und nicht als Variablenname zulässig sind

and by do done elif else end fi if in intersect mod not od or proc quit stop then to

• Vorbelegte Konstanten

false true FAlL gamma Catalan infinity: 00

I: Imaginäre Einheit A Pi: 'Ir = 3.14 ...

• Einfache Programmierstrukturen in MAPLE

Prozedur:

name:= proc (argument) local variable; befehlsfolge end;

for from local minus option options read save union while

512

if-Bedingung:

if bedingung

fi;

Schleife:

Anhang B: Einführung in MAPLE

then elif else

befehlsfalge bedingung befehlsfalge

befehlsfalge

tor var trom exprl by expr2 to expr3 do

befehlsfalge od;

Wiederholungsanweisung:

while expr do befehlsfalge od;

• Packages Da MAPLE beim Starten nur einen Grundumfang von Befehlen aktiviert, sind viele Befehle in sog. Packages aufgeteilt, die bei Bedarf mit > with(package): geladen werden müssen. Wichtige Packages sind

geometry Geometrie-Paket für R 2

geom3d Geometrie-Paket fUr R 3

linalg Package zur linearen Algebra LinearAlgebra Package zur linearen Algebra für große Matrizen MatLab Matlab Link plots Plot-Package für viele Graphikfunktionen powseries Package für Potenzreihen student Studenten-Package

Alle Packages können mit ?index,package und alle Befehle eines Packages mit with(package) oder ?package aufgelistet werden; die Hilfe zu den einzelnen Befehlen erhält man mit ?befehl.

Das LinearAlgebra Package 513

Das LinearAlgebra Package

Eine der größten Änderungen von MAPLE6 gegenüber älteren Releases besteht im neuen LinearAlgebra Package, das für die numerische Berechnung großer Ma­trizen und Gleichungssysteme entwickelt wurde. Durch die Integration der NAG Bibliothek stehen numerisch genaue, schnelle und ausgereifte Algorithmen für die Lineare Algebra zur Verfügung. Im Unterschied zum Iinalg Package beginnen die MAPLE-Befehle mit Großbuchstaben und werden in der Regel ausgeschrieben. Da die grundlegende Datenstruktur des LinearAlgebra Package durch Vektoren und Matrizen gegeben ist, werden die Rechenoperationen direkt ausgeführt; der Befehl evalm ist daher nicht mehr nötig.

Definition der Objekte. Ein Zeilenvektor wird definiert durch > restart: with(LinearAlgebra): > v:=<1121314>;

v:= [1,2,3,4J

bzw. in der ausführlichen Syntax durch Veetor[row]([1,2,3,4]). Einen Spaltenvek­tor erhält man durch > v:=<1 ,2,3>;

bzw. in der ausführlichen Syntax durch Veetor([1,2,3]). Auf analoge Weise werden Matrizen erklärt. Entweder über den Matrix-Befehl oder kurz spaltenweise durch > M:=< <1,2,3> 1 <4,5,6> >;

bzw. zeilenweise durch > M:=< <11213>, <41516> >;

M:= [! ~ ~] Die Konvertierung von Matrizen und Vektoren des LinearAlgebra Paketes nach Iinalg erfolgt durch eonvert( .. ,vector) bzw. eonvert( .. ,matrix). Umgekehrt wer­den Matrizen und Vektoren des linalg Paketes durch eonvert( .. , Vector) bzw. eon­vert( .. ,Matrix) umgewandelt.

Reehenoperationen mit Matrizen. Addition und Subtraktion von Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalaren werden mit +, - und * ge­kennzeichnet; die Matrizenmultiplikation wird durch Multiply oder durch Punkt "." ausgeführt; Potenzen von Matrizen werden mit "A" berechnet.

514 Anhang B: Einfuhrung in MAPLE

> A:=< <112>, <314>, <516> >, > B:=< <31512>, <-11-110> >;

A,~ U n, B,~ [!, !, ~ 1 > A.B, Multiply(A,B);

D t~ Die Bestimmung der transponierten Matrix erfolgt durch Transpose und die Inver­se einer Matrix ist mit dem Befehl MatrixInverse zu berechnen. Die Determinante einer Matrix wird durch den Determinant-Befehl bestimmt. > C:=< <31512>, <-11110>, <-11-110> >: > Matrixlnverse(C);

[ 0 -1/2 -1/2] o 1/2 -1/2

1/2 -1/2 2 Lösen von Linearen Gleichungssystemen. Das Lösen von linearen Gleichungs­systemen erfolgt mit LinearSolve, das zahlreiche zusätzliche Optionen besitzt, die man tiber die Hilfe erhalten kann. > A := «1,0,0>1<2,1,0>1<1,0,0>1<-1,-1,-3»: > b := <2,-1,-9>: > LinearSolve(A, b, free=s);

Der Rang einer Matrix A bzw. der erweiterten Matrix Alb erhält man durch > Rank(A), Rank( <A 1 b> ):

Vektorrechnung. Die Befehle zur Vektorrechnung sind analog zu den Befehlen aus dem Paket linalg zu gebrauchen Es wird dabei nicht zwischen Spalten- und Zeilenvektoren unterschieden. Folgende Tabelle gibt eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Befehle

with(Linear Algebra): v:=< 1,2,3,4 > a:=<11213> whattype(v) CrossProduct(a, b) DotProduct(a, b) Norm(a,2) ScalarMultiply(a, lambda) VectorAngle(a, b)

Laden des LinearAlgebra Paketes Definition eines Zeilenvektors v Definition eines Spaltenvektors a

Abfrage nach dem Typ des Vektors Kreuzprodukt der Vektoren a und b Skalarprodukt der Vektoren a und b Betrag des Vektors a Skalare Multiplikation des Vektors a mit A Winkel zwischen den Vektoren a und b

Häufig benutzte Befehle mit Beispielen 515

Häufig benutzte Befehle mit Beispielen

Algebra Befehle

denom Zahler eines Quotienten > denom(S*x/(2*x~2-3*x+S)); evalb Logische Auswertung > evalb(S*4>40); evalc Komplexe Auswertung > evalc( (4+3*1)/(1-1) ); evalf Floating-point-Auswertung > evalf( (3/4fS-4); evalm Matrizen-Auswertung > evalm(A&*B); expand Ausmultiplizieren eines > expand((3-x)*(S*x~2+3));

Ausdrucks factor Faktorisieren eines Ausdrucks > factor(x~2-3*x-4); fsolve Näherungsweises Lösen einer > fsolve(x~2-3*x-S=O,x);

Gleichung numer Nenner eines Quotienten > numer(S*x/(2*x~2-3*x+S)); simplify Vereinfachen eines Ausdrucks > simplify(1/x - 3/(x+2)); solve Exaktes Lösen einer Gleichung > solve(x~2-3*x-4=O,x); subs Ersetzt erste Argumente in > subs({x=2,y=3}, 2*x~3+y);

letztes Argument

Lineare Algebra Befehle aus dem Iinalg-Package

augment Zusammenfilgen zweier > augment(matrix([[3,1 ],[4,3]]), Spalten matrix([ [6,4], [1,1] ]) );

backsub Rückwärtsauflösen einer > backsub(A); Matrix

crossprod Kreuzprodukt > crossprod(v, w); det Determinante einer Matrix > det(A); dotprod Skalarprodukt > dotprod(v, w), evalm Auswerten einer Matrix- > evalm(A&*B);

operation gausselim Gauß-Elimination einer > gausselim(A);

Matrix inverse Inverse Matrix > inverse(A); linsolve Lösen eines linearen > Iinsolve(A,v);

Gleichungssystems matrix Matrix-Befehl > matrix([ [1,2], [4,8], [9,2] ]); transpose Transponieren einer Matrix > transpose(A); vector Vektor-Befehl > vector([3,2,7,4]); &* Matrizenmultiplikation > A&*v; A&*B

A, B: Matrizen, v,w: Vektoren

516 Anhang B: EinfUhrung in MAPLE

Graphik Befehle

plot

plot3d

display

animate

animate3d

point polar

numpoints

title

Plot-Befehl fUr zwei- > plot(xA 2,x=0 . .4); dimensionale Graphen > plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-1 0 .. 1 0);

> plot( {sin(x),cos(x) },x=0 .. 2*Pi); Plot-Befehl fUr drei- > plot3d(sin(x+y),x=0 .. Pi,y=-7..4); dimensionale Graphen > plot3d(1/(xA 2+yA 2),x=-2 .. 2,

y=-2 .. 2,view=0 .. 10); Darstellung von Graphen> display([p1,p2),insequence=false); bzw. Sequenzen > display([p1,p2),insequence=true); Animation einer Funktion> animate(sin(x+c*t),x=0 .. 2*Pi,

t=0 .. 10,frames=20); 3d-Animation > animate3d(sin(x*y+c*t),x=0 .. 2*Pi,

y=0 .. 2*Pi, t=0 .. 10,frames=20); Punkt-Option > plot(xA 2,x=0 . .4, style=point); Polarkoordinaten-Option > plot([1-sin(t),t,t=0 .. 2*Pi),

coords=polar); Anzahl von Kurven- > plot(Heaviside(x), x=-5 .. 5 punkten, Default=49 numpoints=300); überschrift des Graphen > plot3d(sin(x)*cos(y),x=0 .. 3,y=1 .. 5

title= 'Schwingung');

Rechenbefehle

changevar Variablentransformation

diff Ableitung eines Ausdrucks

D Ableitung einer Funktion

int Integration eines Ausdrucks

intparts Partielle Integration limit Grenzwertberechnung

sum Summations befehl

series Reihenentwicklung taylor Taylorreihenentwicklung

> changevar(x=sin(u), > Int(sqrt(1-xA 2),x=a .. b),u); > diff( sin(5*x), x); > diff( cos(3*x), x$10); > D( sin ); > (D@@3)(cos)(0); > int( tan(x), x=0 .. 1); > int( exp(x), x); > intparts(lnt(xA 2*ln(x),x), In(x)); > limit(sin(x)/x, x=O); > limit( (1 + 1 /n)"n, n=infinity); > sum( 1/n!, n=O .. infinity); > sum( nA 2, n=1 .. N); > series(ln(x), x=1, 10); > taylor(exp(x), x=O, 10);

Anhang C Die CD-ROM

Auf der CD-ROM befinden sich

• alle Worksheets, wie sie im Text beschrieben sind, inclusive aller erstellten MAPLE-Prozeduren fUr MAPLE6;

• viele zusätzliche MAPLE-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Be­griffe;

• alle Worksheets auch fUr MAPLE V Release 5.1; • Pascal-Quellprogramme zu den numerischen Algorithmen.

Alle Dateien auf der CD-ROM sind schreibgeschUtzt; selbst wenn sie auf die Fest­platte kopiert werden. Der Schreibschutz fUr auf die Festplatte kopierte Dateien kann unter Windows aufgehoben werden, wenn z.B. im Explorer die Option Datei - Eigenschaften gewählt und der Menuepunkt schreibgeschUtzt durch Mouseklick deaktiviert wird. Es kann auch ein gesamtes Verzeichnis selektiert und anschlie­ßend mit obigem Verfahren fUr alle Dateien der Schreibschutz aufgehoben werden.

Die Systemvoraussetzungen fUr MAPLE6 sind laut Hersteller: • Intel 486 DX oder Pentium • 32 MB Festplattenplatz • mind. 8 MB RAM (empfehlenswert sind mind. 32 MB RAM) • Windows NT 4.0, Windows 9x und höher, Linux oder Mac Systems 7.5

Installationsvoraussetzungen • MAPLE6 ist auf dem Rechner installiert. • .mws ist mit dem ausfUhrbaren Programm \maple6\bin. wnt\ wmaple.exe ver­

knüpft.

518 Anhang C: Die CD-ROM

Aufbau der CD-ROM

Die Struktur der Verzeichnisse auf der CD-ROM ist wie folgt:

index.mws

\wrksheet\

\Rel5\ wrksheet\

\Pascal\

read.me

Inhaltsverzeichnis der Worksheets.

enthält alle Worksheets nach Kapiteln gegliedert.

enthält index.mws und alle Worksheets für MAPLE V Re!. 5.1.

Verzeichnis mit den Pascal-Programmen.

letzte Änderungen, die nicht mehr im Text aufgenommen werden konnten.

Durch Doppelklicken der Datei index.mws öffnet man das Inhaltsverzeichnis, wie es auszugsweise in der nebenstehenden Abb. angegeben ist. Durch Öffnen des ent­sprechenden Kapitels und anschließendes Anklicken des gewünschten Abschnitts wird das zugehörige MAPLE Worksheet gestartet und ist dann interaktiv bedienbar. Mit der ".-"-Taste der oberen Taskleiste kommt man vom Worksheet zum Inhalts­verzeichnis zurück. Die einzelnen Worksheets sind aber auch separat anwählbar, indem man in das entsprechende Verzeichnis wechselt und es von dort aus startet.

Alle MAPLE Worksheets sind ebenfalls unter MAPLE V Release 5.1 abgespeichert und können durch Doppelklick auf die Datei index.mws im Verzeichnis \Rel5\ geöffnet werden. Um zukünftig mit neuen MAPLE-Versionen Schritt zu halten, werden Updates der Worksheets unter

http://www.jh-karlsruhe.derwethOOO2lbuecherlbandl/start.htm unter der Angabe des Paßwortes (ISBN-Nummer dieses Buches) zur Verfügung gestellt.

Einige der Prozeduren liegen übersetzt im MAPLE-internen m-Format vor. Falls einzelne Worksheets auf die Festplatte kopiert werden, empfiehlt es sich, die sa­ve-Befehle im Worksheet zu aktivieren, die momentan durch ein # kommentiert sind. Zum Speichern vorgesehen ist das temp-Verzeichnis auf der C-Festplatte. Es kann aber auch jedes andere Verzeichnis gewählt werden.

Aufbau der CD-ROM

Inhaltsverzeichnis

[±J Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

[±J Kapitel 11: Vektorrechnung

[±J KapitellU: Matrizen und Determinanten

[±J Kapitel IV: Elementare Funktionen

[±J Kapitel V: Die komplexen Zahlen

8 Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung

§ I. Grcnzwcrt und Stctigkeit einer Funktion Zahlcnfolgen mit Maple Funktionsfolgen Berechnung von Funktionsgrenzwenen

§2. Differentialrechnung Begriffsbildung der Ableitung Diffcrcntiation mit Maple Einfache Differentiationsregeln Logarithmischc Differentiation Implizite Differentiation Die Regeln von I'Hospital Magnetfeld von Lciterschleifcn

§3. Integralrechnung Begriffsbestimmung des bestimmten Intcgrals Integration mit Maple Intcgrationsmcthoden

(I.) Particlle Integration (2.) Integration durch Substitution (3.) Partialbruehzcrlcgung

Anwendungen Mitlclungseigcnschaft des Integrals Bogenlt1nge und Krümmung Volumen von Rotationskörpern

Lösungen zu den Aufgaben

[±J Kapitel VII: Funktionenreihen

[±] Kapitel VIII: Numerisches Lösen von Gleichungen

[±] Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration

519

520 Anhang C: Die CD-ROM

Die Pascal-Programme

Die folgende Liste enthält eine Aufstellung aller auf der CD-ROM befindlichen Pascal-Programme. Die Programme sind sowohl unter dem Format .pas als Pascal­Quellprogramme als auch als ausführbare Programme im Format .exe abgespei­chert. Sie befinden sich im Verzeichnis \pascal\

banach.pas

banach2d.pas

bise.pas

diff.pas gauban.pas

gaussl.pas

gauss2.pas

genau.pas integral.pas newipol.pas

newton.pas

pegasus.pas

refa.pas

rhaps.pas

wurzel.pas

Banachverfahren zur Bestimmung eines Fixpunktes einer Funktion Bestimmung der Gleichgewichtslage des 2-Federn­Masse-Systems mit dem 2d Fixpunktverfahren Bestimmung der Nullstelle einer Funktion mit der Bisektionsmethode Programm zur numerischen Differentiation Lösen eines quadratischen LGS mit dem Gauß­Banachiewicz-Algorithmus (LR-Zerlegung der Matrix) Programm zum Lösen von quadratischen LGS mit dem Gauß-Algorithmus Programm zum Lösen von quadratischen LGS mit dem Gauß-Algorithmus (Pivotisierung der Matrix) Programm zur Bestimmung der Rechengenauigkeit Programm zur numerischen Integration Bestimmung des Interpolationspolynoms zu gegebenen Wertepaaren Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion mit dem Newton-Verfahren Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion mit dem Pegasus-Verfahren Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion mit dem Verfahren der regula falsi Bestimmung einer Nullstelle eines Polynoms mit dem Newton-Rhapson-Verfahren Bestimmung der Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl

Literaturverzeichnis

Das folgende Literaturverzeichnis enthält eine (keineswegs vollständige) Aufstel­lung von Lehrbüchern zur Ergänzung und Vertiefung der Ingenieurmathematik, Aufgabensammlungen, Handbücher sowie Literatur über MAPLE und über das Textverarbeitungssystem ßTpc.

Lehrbücher Ingenieurmathematik:

Ayres, F.: Differential- und Integralrechnung. McGraw-Hill 1975.

Brauch, W., Dreyer, H.J., Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure. Teubner, Stuttgart 1990.

Bronstein, I.N., Semendjajew, KA.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, ThunIFrankfurt 1989.

Burg, K, Haf, w., Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure I-IV. Teubner, Stuttgart 1985-90.

Engeln-Müllges, G., Reutter, F.: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1985.

Fetzer, A., Fränkel, H.: Mathematik 1+2. Springer 1997+99.

v. Finckenstein, K: Grundkurs Mathematik für Ingenieure. Teubner, Stuttgart 1986.

Fischer, G.: Lineare Algebra. Vieweg, Braunschweig 1986.

Forster, 0.: Analysis 1. Vieweg, Braunschweig 1983.

Hainzel, J.: Mathematik für Naturwissenschaftler. Teubner, Stuttgart 1985.

Hohloch, E., Kümmerer, H.: Brücken zur Mathematik 1-7, Cornelsen 1989-96.

Meyberg, K, Vachenauer, P.: Höhere Mathematik 1+2. Springer 1999+97.

Papula, L.: Mathematik für Ingenieure 1+2. Vieweg, Braunschweig 1988.

Spiegel, M.R.: Höhere Mathematik fUr Ingenieure und Naturwissenschaftler. McGraw-Hill 1978.

Stingl, P.: Mathematik für Fachhochschulen. Carl Hanser 1992.

Werner, W.: Mathematik lernen mit Maple. dpunkt 1996.

Westermann, T., Buhmann, w., Diemer, L., Endres, E., Laule, M., Wilke, G.: Mathematische Begriffe visualisiert mit MAPLE V. Springer 1999.

522 Literaturverzeichnis

Literatur zu MAPLE:

Burkhardt, w.: Erste Schritte mit Maple. Springer 1996.

Char, B.w. et al: MapleV: First Leaves. Springer 1991.

Char, B.W. et al: MapleV: Library Reference Manual. Springer 1991.

Devitt, J.S.: Calculus with Maple V. Brooks/Cole 1994.

Dodson, c.T.J., Gonzalez, E.A.: Experiments In Mathematics Using Maple. Springer 1995.

Ellis, W. et al: Maple V Flight Manual. Brooks/Cole 1996.

Heal, K.M. et. al: Maple V: Learning Guide. Springer 1996.

Heck, A.: Introduction to Maple. Springer 1996.

Heinrich, E., Janetzko, H.D.: Das Maple Arbeitsbuch. Vieweg, Braunschweig 1995.

Kofler, M.: Maple V Release 4. Addison-Wesley 1996.

Komma, M.: Moderne Physik mit Maple. Int. Thomson Publishing 1996.

Lopez, RJ.: Maple via Calculus. Birkhäuser, Boston 1994.

Redfern, D.: Maple Handbook. Springer 1994.

Literatur zu ßTE;X:

Dietsche, L., Lammarsch, J.: Latex zum Loslegen. Springer 1994.

Kopka. H.: Latex. Addison-Wesley 1994.

Index

Ä Äquivalenzumformungen, 27

A Abbruchkriterium, 448 Abklingzeit, 190 Ableitung, 277

elementarer Funktionen, 279 Tabelle, 280 Umkehrfunktion, 287 zweite, 281

Abstand,18 Ebene-Ebene,74 Ebene-Gerade, 73-74 Gerade-Gerade, 66 Punkt-Ebene, 73 Punkt-Gerade, 66

Addition komplexe, 218 Matrizen, 108 Vektoren, 2D, 43 Vektoren, 3D, 50

Additionstheoreme, 198,435 Additivität des Integrals, 339 Amplitude, 194 Anordnung, reeller Zahlen, 18 Arbeitsintegral, 363 Areafunktionen, 289 Arkusfunktionen, 199, 381 Assoziativgesetz, 14-15

Matrizen, 111 Vektoren, 2D, 45 Vektoren, n-dimensional, 86

Asymptoten, 180

B Balkenbiegung, 312 Banachscher Fixpunktsatz, 458 Banachverfahren, 455-456

2-D, 467

Bandpaß, 252 Bandsperre, 253 Basis, 95 Bernoullische Ungleichung, 19 Beschleunigung, 295 Betrag, 18, 50

eines Vektors, 43 komplexer, 211-212

Betragsfunktion, 147 Beweismethoden, 11 Bijektivität, 161 Bildungsgesetz bei Folgen, 262 Bildvektor, 118 Binominalkoeffizient, 9 Binomischer Lehrsatz, 10 Bisektionsverfahren, 447 Bogenlänge, 367 Bogenmaß, 192 Boyle-Mariottesches Gesetz, 336

C Cramersche Regel, 129

D Definitionsbereich, 146 Definitionslücken, 178, 274 Determinante, 122

Entwicklungssatz, 125 n-reihige, 125 zweireihige, 123

Differential, 298 abhängiges, 298 einer Funktion, 298 unabhängiges, 298

Differentialquotient, 278 Differentialrechnung, 277 Differentiation, 278

implizite, 293 implizite mit Maple, 294

524

komplexwertiger Funktionen, 437

Index

logarithmische, 290 logarithmische mit Maple, 291

Differentiationsregeln Faktorregel, 282 Kettenregel, 285 Potenzregel, 283 Produktregel, 283 Quotientenregel, 284 Summenregel, 282

Differenzenformeln, 478 einseitige, 479 erste Ableitung, 478 n-te Ableitung, 486 Ordnung, 483 zentrale, 479 zweite Ableitung, 485

Differenzenquotient, 278 zentraler, 481 zentraler, 2. Ableitung, 485

Differenzierbar kei t, 277 Dimension, 97 Diskriminante, 20 Distributivgesetz

Matrizen, III Vektoren, 2D, 45 Vektoren, 3D, 56

divergent, 263, 389 bestimmt, 390

Divergenz, 263 Dividierte Differenzen, 170 Division, komplexe, 221 Drehimpuls, 56 Drehmoment, 55 Durchschnitt von Mengen, 2

E e, 266 Ebenengleichung, 69 Effektivwert, 365 Eineindeutigkeit, 161 Einheitsvektor, 50 Einlesen von Daten, 154 Einschließungsalgorithmen, 448

Elektrische Schaltungen, 242 Elektrischer Vierpol, 120 Elektrisches Feld, 297 Elektrisches Netzwerk, 24 Elemente einer Menge, 1 Energie

relativistische, 425 Ruhe-, 425

Energieintegral, 363 Entladekurve, 189 Entwicklungspunkt, 401 Entwicklungssatz nach Laplace, 125 Erweiterung, stetige, 275 Erzeugendensystem, 92 Erzeugnis von Vektoren, 90 Eulersche Formel, 212, 433 Eulersche Zahl, 266 Existenz

der Eins, 15 der Null, 14

Exponentialform komplexe, 212

Exponentialfunktion, 148, 187,315 allgemeine, 191

Extremalwerte relative, 304

Extremwert aufgaben, 310

F Fadenpendel, 138 Fakultät, 6 Falk-Schema, llO Federn-Masse-System, 463 Fehler

Diskretisierungs-, 484 relativer, 302 Rundungs-, 484 Verfahrens-, 484

Fehlerrechnung, 301 Filterschaltungen, 242 Fixpunkt, 455-456 Fixpunktgleichung, 456 Flächenberechnung, 360 Fluchtgeschwindigkeit, 357 Folgen

Exponentialfolge, 265 Funktionsgrenzwerte, 268 Limesrechenregeln, 267

Folgenglieder , 262 Formeln

Eulersche, 212 Moivresche, 223

Frequenzband, 253 Fundamentalsatz

der Algebra, 226 der Differential- u. Integral­

rechnung, 329 für LGS, 134

Funktionen, 146 Ableitung, 277 Arkus-, 199 Betrags-, 147 Differential, 298 diskrete, 262 echt gebrochenrationale, 177 einer Variablen, 146 Einlesen von Daten, 154 Exponential-, 187 Funktionsgrenzwert, 269 gebrochenrationale, 177 in Maple, 149 Integral-, 328, 330 komplexe Exponential-, 432 komplexe Kosinus-, 432 komplexe Sinus-, 432 komplexwertige, 431 Kosinus-, 192 Kosinus-Hyperbolikus, 436 Kotangens-, 197 Logarithmus-, 189 rationale, 177 reel1wertige, 146 Sinus-, 192 Sinus-Hyperbolikus, 436 Stamm-, 331 stetige, 274 Tangens-, 197 trigonometrische, 192 Umkehr-, 158

Index

unecht gebrochenrationale, 177

Funktionenreihe, 401 Funktionseigenschaften, 155 Funktionsgrenzwert, 269

G

525

Ganzrationale Funktion, 163 Gauß-Algorithmus, 24, 27 Gauß-Jordan-Verfahren, 113 Gaußsche Zahlenebene, 210 Gaußsches Eliminationsverfahren,

27 gebrochenrational

echt, 350 unecht, 350

Gebrochenrationale Funktionen, 177 Geometrie

Abstand Ebene-Ebene, 74 Abstand Ebene-Gerade, 74 Abstand Gerade-Gerade, 66 Abstand Punkt-Ebene, 73 Abstand Punkt-Gerade, 66 Ebene, 69 Gerade, 63 Hesse-Normalform, 70 Lage von Ebenen, 71 Schnittpunkt Gerade-Ebene,

75 Schnittwinkel Gerade-Ebene,

75-76 Schnittwinkel von Ebenen, 77 Schnittwinkel von Geraden,

67 windschief, 64

Geometrische Summe, 8, 12 Gerade, 48 Geradengleichung, 63 Geschwindigkeit, 295 Gestaffeltes System, 28 Gleichungen, 20

Betrags-, 22 quadratische, 20 Ungleichungen, 23 Wurzel-,22

Gleichungssystem homogenes, 27

526

inhomogenes, 27 lineares, 24, 26

Gradmaß, 192 Graph, 146 Grenzfrequenz, 255 Grenzwert, 263, 269, 272

H

linksseitiger, 270 rechtsseitiger, 270

Häufungspunkt, 265 Halbwertszeit, 190 Harmonische Schwingung, 229 Harmonisches Pendel, 300 Hauptdiagonale, 107

Index

Hauptsatz der Differential- und In-tegralrechnung, 335

Hesse-Normalform, 48, 70 Hochpaß, 250 Hooksches Gesetz, 296 Horner-Schema, 166

doppeltes, 474 Hospitalsche Regeln, 317 Hyperbelfunktionen, 289

I 1,215 Imaginäre Einheit, 209 imaginäre Einheit, 215 Imaginärteil, 211 Impedanz, 235

Längs-,243 Quer-,243

Implizite Differentiation, 293 Induktion, vollständige, 5 Induktionsgesetz, 296 Injektivität, 161 Integral

Additivität, 339 bestimmtes, 324, 335 Monotonie, 339 Riemann, 323 unbestimmtes, 328 uneigentliches, 357

Integralfunktion, 328, 330

Integration Integrationskonstante, 332 komplexwertiger FUnktionen,

438 partielle, 340

Integrationsregeln Faktorregel, 338 partielle Integration, 340 Rechteckregel, 488 Simpson-Regel,491 Substitutionsregel, 344 Summenregel, 338 Trapezregel, 490

Interpolationspolynom Lagranges, 164 Newtonsches, 170

Intervalle, 19 Intervallhalbierung, 447 Intervallschachtelung, 451 Inverse Matrix, 111, 128 Inverses Element, 14-15 Iteration, 448 Iterationsverfahren, 456 iterieren, 456

K Körper, 15 Kartesisches Produkt, 3 Kern, 131 Kettenkarussell, 444 Kettenregel, 285 Kettenschaltungen, 244 Kinematik, 361 Kirschhoffsche Gesetze, 24 Knotensatz, 24 Koeffizienten bei LGS, 26 Koeffizientenmatrix, 27 Koeffizientenvergleich, 165 Kommutativgesetz, 14-15

Vektoren, 2D, 45 Vektoren, n-dimensional, 86

Komplement von Mengen, 2 Komplexe Amplitude, 230 Komplexe Umformungen, 213 Komplexe Zahlen, 209

Komplexer Widerstand, 235 Kondensatormikrophon, 297 Konjugiert komplexe Zahl, 214 Kontraktion, 458 konvergent, 263, 389

absolut, 389 Konvergenz, 263 Konvergenzbereich, 401 Konvergenzkriterien, 395 Konvergenzradius, 403, 432 Koordinatensystem

kartesisches, 41 Kosinusfunktion, 192 Kosinushyperbolikus, 289, 381 Kotangensfunktion, 197 Kotangenshyperbolikus, 289 Kräfteparallelogramm, 43 Krümmung, 369

Links-, 303 Rechts-, 303

Kreuzprodukt, 54, 130 Kurvendiskussion, 307

L

Index

I'Hospitalsche Regeln, 317 Lagrange Interpolation, 164 Laplacescher Entwicklungssatz, 125 Leitwert, 235 LGS, 26 Limes, 263 Limesrechenregeln, 267 Lineare Abbildungen, 118 Lineare Abhängigkeit, 92 Lineare Gleichungssysteme

Lösbarkeit, 131 lineare Ketten, 246 Lineare Unabhängigkeit, 92, 136 Linearfaktor, 166 Linearisierung, 299 Linearkombination, 90 Logarithmische Differentiation, 290 Logarithmus, 17 Logarithmusfunktion, 189 Lorentz-Kraft, 56

527

M Magnetfeld von Leiterschleifen, 312 Majorante, 395 Majorantenkriterium, 395 Mantelfläche, 372 Maple

Betragsgleichungen, 22 Differentiation, 281 Differentiations befehle, 379 Exponentialfunktion, 191 Filterschaltungen, 249 Funktionen, 149 Funktionsgrenzwerte, 271 Gleichungen, 20 implizite Differentiation, 294 Integralsubstitution, 349 Integration, 337 Integrationsbefehle, 379 Komplexe Rechnung, 227 Komplexe Zahlen, 215, 228 LGS, 33 Limesbefehle, 379 logarithmische Differentiati-

on, 291 Logarithmusfunktion, 191 numerische Integration, 489 Parallelkreis, 239 Partialbruchzerlegung, 355 partielle Integration, 342 Polynome, 173 Potenz-Wurzelfunktion, 187 Potenzreihen, 408, 440 rationale Funktionen, 182 RCL-Wechselstromkreis, 238 Reihen, 440 Schwingungen, 233 Umkehrfunktion, 162 Ungleichungen, 23 Vektorrechnung, 60 Vereinfachungsbefehle, 205 Wurzelgleichungen, 22 Zahlengrenzwerte, 267 Zahlenreihen, 393

Maschensatz, 24 Matrix, 27

528

Matrixelemente, 107 Matrizen

(m x n)-Matrix, 106 Addition, 108 Assoziativgesetz, 111 Determinante, 123 Diagonale, 107 Diagonalmatrix, 107 Distributivgesetz, 111 Einheitsmatrix, 107 Falk-Schema, 110 Gauß-Jordan-Verfahren, 113 Hauptdiagonale, 107 Inverse Matrix, 112 Multiplikation, 109 Nullmatrix, 108 obere Dreiecksmatrix, 107 Produkt, 110 quadratische, 107 Rang, 132 reguläre, 112 Sarrussche Regel, 127 Summe, 108 symmetrische, 107 transponierte, 109 Umkehrmatrix, 112 untere Dreiecksmatrix, 107

Maximum, relatives, 304 Meßdaten, 154 Mengen, 1 Mengenoperationen, 2 Minimum, relatives, 304 Minorantenkriterium, 393 Mittelpunktsregel, 489 Mittelungseigenschaft, 365 Mittelwert

integraler, 329 linearer, 364 quadratischer, 365

Mittelwertsatz, 317 Moivresche Formel, 223 Momentangeschwindigkeit, 277 Monotonie, 156

des Integrals, 339 Monotoniekriterium, 265

Index

Monotonieverhalten, 303 Multiplikation

komplexe, 219 Matrizen, 109

N Näherungspolynome, 423 Natürliche Zahlen, 4 N ewton-Rhapson, 476 Newton-Verfahren, 170, 468-469 Normalform

algebraische, 211, 215 Exponentialform, 212, 215 trigonometrische, 212, 215 Umformungen, 213

Nullfolge, 264 Nullphase, 195 Nullraum, 131 Nullstellen, 155, 178

Polynome, 167 Nullstellenproblem, 455 Nullvektor, 44 Numerische Differentiation, 478 Numerische Integration, 487

o Optimierungsprobleme, 310 Ordnung, 480 Ortsvektor, 42, 50

p Partialbruchzerlegung, 350

mit Maple, 355 Partialsumme, 388 partielle Integration, 340 Peanosche Axiome, 4 Pegasus-Verfahren, 452-453 Pendel, harmonisches, 300 Periode, 194 Periodizität, 158 Permutation, 9 Phase, 195 Phasenverschiebung, 196 Plancksches Strahlungsgesetz, 320 Plattenkondensator, 297

Pole, 178 Polynomdivision, 168 Polynome, 163 Potenz, 16

komplexe, 223 Potenzfunktion, 185

allgemeine, 191 Potenzreihe, 401

Eigenschaften, 407 geometrische, 402 komplexe, 431

Potenzreihenentwicklung, 429 Primzahlen, 7, 12 Produktregel, 283 Produktzeichen, 6 Programme

Banachverfahren, 457 Banachverfahren 2-D, 467 Bisektionsverfahren, 447 Gauß-Algorithmus, 28 Interpolation, 171 Newton-Rhapson, 476 Newton-Verfahren, 469 Pegasus-Verfahren, 453 regula falsi, 474 Wurzeln, 472

Projektion, 53 Projektion eines Vektors, 53 Prozeduren

Q

kette, 249 bise, 449 bogen, 368 DiffFormeln, 486 geomet, 83 horn, 175 konv..radius, 406 newton, 471 poly, 175 quot..krit, 398 taylor_poly, 421 xrotate, 373 yrotate, 375

Quadratfunktion, 148

Index

Querschwingungen, 425 Quotientenkriterium, 396

Limesform, 396 Quotientenregel, 284

R Radioaktiver Zerfall, 188 Raketengleichung, 361 Rang, 132 Rationale Funktionen, 177

529

RCL-Wechselstromkreis, 235, 310 Realteil, 211 Rechengenauigkeit, 448 Rechengesetze

für Vektorprodukt, 56 komplexe, 217 komplexer Zahlen, 222 reeller Zahlen, 14 Vektoren, 86 Vektoren, 2D, 42 Vektoren, 3D, 50

Rechenregeln der Differentiation, 282 für Funktionsfolgen, 272 für Grenzwerte, 267 für Matrizen, 108 für Spatprodukt, 58 für Vektoren, 50 Integration, 338

Rechteckregel, 488 Reelle Zahlen, 13 Regeln

Substitutionsregel, 347 von l'Hospital, 317

regula falsi, 473 Reihe, 389

alternierende, 398 alternierende harmonische, 399 arithmetische, 391 geometrische, 390 harmonische, 392, 394 komplexe geometrische, 433 MacLaurinsche, 414 Taylorreihe, 413 unendliche, 389

530

rektifizierbar , 367 rekursive Folge, 266 relative Extremalwerte, 304 relatives

Maximum, 304 Minimum, 304

relativistische Teilchen, 424 Resonanzschwingungen, 196 Ftichtungsvektor, 41, 50 Ftiemann-Integral, 323 Rohstoffkette, 119 Rotationskörper, 371

Mantelfl.äche, 372 Volumen, 371

Rundungsfehler , 448

S S-Multiplikation,86 Sarrus, 127 Sattelpunkt, 305 Satz von Rolle, 316 Schaltungen

lI-Glieder, 242 T-Glieder, 242

Scheinwerferregelung, 426 Schwerpunkt, 376 Schwingungen, 229 Simpson-Regel,491 Sinusfunktion, 148, 192

allgemeine, 194 Sinushyperbolikus, 289, 381 Skalarprodukt, 51

2D,45 Spaltenrang, 131 Spaltenraum, 131 Spaltenvektor , 106 Spannungsintegral, 362 Spatprodukt, 58 Stammfunktion, 331 stetig, 273-274 stetige Erweiterung, 275 Stetigkeit, 273 Strahlender Körper, 320 Substitutionsregel, 344 Subtraktion

Index

komplexe, 218 Vektoren, 2D, 43 Vektoren, 3D, 50

Summe Links-, 488 Rechts-, 489 unendliche Reihe, 389

Summenzeichen, 6 Superposition, 89, 229 Surjektivität, 161 Symmetrie, 155

T Tangensfunktion, 197 Tangenshyperbolikus, 289, 381 Taylor

Polynom, 412 Satz von, 413 Taylorsche Formel, 413

Taylorreihe, 410 der Area-Funktionen, 418 der Binomischen Reihe, 416 Satz über, 413 von arctan x, 417 von cosx, 415 von Inx, 415 von sin x, 415 von eZ , 414

Teilsummen, 388 Tiefpaß, 251 Trapezregel, 490 Trigonometrische Funktionen, 192

Ü Überlagerung von Schwingungen,

229 Übertragungsfunktion, 241 Übertragungsverhältnis, 240

U Umkehrfunktion, 158 Umkehrmatrix, 111 Ungleichungen, 23 Untervektorraum, 89

V Variable

abhängige, 147 unabhängige, 147

Vektoren, 41 Vektoren, 2D, 42

Betrag, 43 Einheitsvektor , 44 Geraden-Darstellung, 48 Hesse-Normalform,48 Komponenten, 42 Koordinatensystem, 42 Kräfteaddition, 43 Kräfteparallelogramm, 43 Länge, 43 Linearkombination, 44 Multiplikation mit Skalar, 42 Normalen-Einheitsvektor,47 Nullvektor, 44 Ortsvektor , 42 Punktprodukt, 45 Etichtungsvektor, 42 Skalarprodukt, 45 Streckung, 42 Winkel, 46

Vektoren, 3D, 50 Addition, 50 antiparallel, 55 Arbeit, 54 Betrag, 50 Drehimpuls, 56 Drehmoment, 55 Einheitsvektor, 50 Kreuzprodukt, 54 Länge, 50 Linearkombination, 51 Lorentz-Kraft, 56 Multiplikation, 50 Multiplikation mit Skalar, 56 Orthonormalsystem, 52 Ortsvektor , 50 parallel, 55 Projektion, 53 Rechtssystem, 58 Etichtungskosinus, 52

Index

Etichtungsvektor, 50 Skalarprodukt, 51 Spatprodukt, 58 Vektorprodukt, 54

Vektoren, n-dimensional äußere Verknüpfung, 86 Addition, 86 Assoziativgesetz, 86 Basis, 95 Dimension, 97 Distributivgesetz 1, 86 Distributivgesetz 2, 86 Erzeugendensystem, 92 Erzeugnis, 90

531

Existenz des Nullvektors, 86 Gesetz der Eins, 86 innere Verknüpfung, 86 Inverser Vektor, 86 Kommutativgesetz, 86 linear abhängig, 92 linear unabhängig, 93 Linearkombination, 90 Operationen, 86 S-Multiplikation, 86 Superposition, 89 Untervektorraum, 89 Vektorraum, 85, 87

Vektorprodukt, 54, 130 Vektorraum, 85, 87 Venn-Diagramm, 2 Vereinigung von Mengen, 2 Vollständige Induktion, 5 Volumen

Rotationskörper, 371

W Weg-Zeit-Diagramm, 145 Weg-Zeit-Gesetze, 276 Wendepunkt, 305 Wertebereich, 146 Wheatstonesche Brückenschaltung,

302 Widerstand

Blind-, 237 komplexer, 236

532

ohmscher , 235 reeller Schein-, 237 Wirk-, 237

Index

Widerstandsanpassung, 311 Wiensche Verschiebungsgesetz, 321 Winkelargument

komplexes, 212 Winkelfunktionen, 192 Wurzel, 472 Wurzelfunktion, 148, 186 Wurzelgleichungen, 22 Wurzeln

Einheitswurzel, 224 komplexe, 224

Wurzelziehen babylonisches, 266, 472

Z Zahlen

komplex konjugierte, 214-215 komplexe, 209 natürliche, 4 reelle, 13

Zahlenebene Gaußsche, 210, 215

Zahlenfolge reelle, 262

Zahlengerade, 14 Zeiger

komplexer, 211 Zeilenrang, 131 Zeilenumformungen

elementare, 27 Zeilenvektor , 106 Zielbereich, 146 Zwischensumme, 324

Verzeichnis der MAPLE-Befehle

->, 149,267 @-Üperator, 162

ABC abs,215 addrow, 36, 141 angle, 61 arctan,216 AreParallel, 80 args,449 argument, 215 array, 116, 140 assign,34 asympt,183 augment, 35, 136, 140 backsub, 36, 140 band, 116 basis, 141 binomial, 10 bise, 449 bogen, 368 cartprod,3 changevar, 349 dose, 154 coeff, 173, 176 col, 141 collect, 173, 176 combine, 191, 204-205 complexplot, 217 conjugate, 216 convert, 62, 176, 216, 355, 412,

420, 422 coordinates, 80 cost, 174 crossprod, 62

DEF D,281 degree, 173, 176 denom, 182

det, 129, 136, 140 detail, 79 diag, 116, 140 diff, 281, 291, 294, 314, 430 DifiFormeln, 486 Digits, 34 display, 152, 176, 257, 313, 326,

412 distance, 79 do, 449 dotprod, 61 draw, 80-81 else, 450 end, 450 Equation, 78 eval, 116 evalc, 216, 227 evalf, 61, 150, 337 eva1m, 61, 115, 140 expand, 11, 173, 176, 183, 191,

204-205 factor, 174, 176, 182, 228, 343 FindAngle, 80 for,420 fsolve, 21, 174, 176, 228, 444

GHI gausselim, 140 gaussjord, 35, 140 gcd, 182 geomet,83 horn, 175 if,449 Im, 216 infinity, 393 inifcns, 149 insequence, 326 int, 337, 430 interp, 175-176 intersect, 3

534

interseetion, 80 intparts, 342 inverse, 116, 140 isolate, 292, 343

KLM kerneI, 141 kette, 249 leftbox, 325, 493 leftsum, 325, 493 limit, 267, 271, 320, 393 linalg, 35, 60, 115 line, 78 linsolve, 34, 134, 141 list, 176 In, 18 loeal, 449 log, 18 loglogplot, 153 logplot, 153 lprint, 450 map, 117, 292 matrix, 35, 115, 140 member, 3 middlebox, 489, 493 middlesum, 489, 493 minus, 3 mulrow, 36, 141

NOP nops, 176 norm, 60 normal, 182 numer, 182 op, 343 parfrae, 355 plane, 79 plot, 22, 151, 257, 267, 313 plot options, 152 plot3d, 257, 373 point, 78 polar, 216 poly, 175 powereate, 408 powseries, 408

MAPLE-Befehle

print, 80, 450 proe, 150, 449 produet, 7

RST rank, 134, 141 Re, 216 readdata, 154 readlib(isolate), 292 rightbox,489 rightsum, 489 row, 141 semilogplot, 153 seq, 176, 267, 313, 326 series, 422 simplify, 16, 187,204-205 simplify, symbolie, 162, 187, 204 simpson, 492-493 solve, 20, 23, 33, 227, 294 sort, 173, 176 string, 412, 420 student, 325, 342, 493 subs, 176,292 sum, 6, 393 swaprow, 36, 141 symbolie, 350 taylor, 422, 430 text plot , 152 tpsform, 408 transpose, 116, 141 trapezoid, 490, 493 type, 60

UVWXYZ unapply, 150, 162, 449 union, 3 value, 343, 349 vector, 35, 60,140 view, 412, 420 whattype, 60 while, 449 writedata, 154 xrotate, 373 yrotate, 373 zip, 176