Nama : Andreas Soba

Nim :13101104019

Tubuh kaku Bisa Dianggap sebagai sistem partikel siapa relatif posisi yang tetap, atau,

dengan kata lain, Jarak antara dua partikel konstan. Definisi tubuh kaku ideal. Di tempat

pertama, seperti yang ditunjukkan dalam definisi partikel, tidak ada partikel yang benar di alam.

Kedua, sebenarnya tubuh Strictly diperpanjang tidak kaku; Menjadi Mereka lebih atau kurang

cacat (membentang, dikompresi, atau membungkuk) Ketika kekuatan eksternal Terapan. Untuk

saat ini, kita akan mengabaikan deformasi tersebut. Dalam bab ini kita mengambil studi gerak

kaku tubuh untuk kasus di mana arah sumbu rotasi tidak berubah. Kasus keseluruhan, yang

Melibatkan perhitungan yang lebih LUAS, yang Dirawat di bab berikutnya.

8.1. Pusat Massa Tubuh Kaku

Kita telah mendefinisikan pusat massa (Bagian 7.1) dari sistem partikel sebagai titik (

dimana :

Untuk benda tegar diperpanjang, kita dapat mengganti penjumlahan dengan integrasi atas

volume tubuh, yaitu:

Dimana p adalah densitas dan dv adalah elemen volume. Jika tubuh kaku dalam bentuk kulit

tipis, persamaan untuk pusat massa menjadi :

Dimana ds adalah unsur daerah dan p adalah massa per satuan luas, integrasi memperluas atas

area tubuh. Demikian pula, jika tubuh dalam bentuk kawat tipis, kami memiliki :

Dalam hal ini, p adalah massa per satuan panjang dan dl adalah unsur panjang. Untuk badan

homogen seragam, kepadatan p adalah faktor konstan dalam setiap kasus dan, oleh karena itu,

bisa dibatalkan dalam setiap persamaan sebelumnya. Jika tubuh adalah komposit artinya, jika

terdiri dari dua atau lebih bagian siapa pusat massa diketahui, maka itu jelas, dari definisi pusat

massa, bahwa kita dapat menulis :

Dengan persamaan serupa untuk ycm dan zcm. Di sini (x1, y1, z1) adalah pusat massa dari bagian

m1, dan sebagainya.

Pertimbangan simetri

Jika tubuh Memiliki simetri, adalah mungkin untuk mengambil keuntungan dari simetri bahwa

dalam menemukan pusat massa. Hanya dengan demikian, jika tubuh memiliki bidang simetri

artinya, jika setiap mj partikel memiliki citra cermin itu sendiri relatif terhadap beberapa

pesawat, maka pusat massa terletak pada bidang itu. Untuk membuktikan esta, mari kita anggap

bahwa bidang xy adalah bidang simetri. Kami memiliki kemudian :

Tapi mi = mi dan zi = zi Oleh karena itu, istilah dalam pembilang membatalkan berpasangan, dan

zcm = 0; Artinya, pusat massa terletak pada bidang xy.

Demikian pula, jika tubuh memiliki garis simetri, mudah untuk menunjukkan bahwa pusat massa

terletak pada garis itu. Buktinya dibiarkan sebagai latihan.

Belahan Padat

Untuk menemukan pusat massa dari belahan padat homogen radius, kita tahu dari simetri bahwa

pusat massa terletak pada radius itu adalah normal terhadap bidang muka. Memilih sumbu

koordinat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.1.1, kita melihat itu pusat massa terletak pada

sumbu z. Untuk menghitung zcm kita gunakan untuk memindahkan unsur volume dz ketebalan

dan radius = (a2 -z2) 112, seperti yang ditunjukkan. hanya dengan demikian,

Oleh karena itu

Setengah Bola Shell

Untuk Setengah bola dari radius, kita menggunakan sumbu yang sama seperti pada Gambar

8.1.1. Sekali lagi, dari simetri, pusat massa terletak pada sumbu z. Untuk elemen kami ds

permukaan, kita memilih untuk memindahkan strip lebar dl = ADO. Oleh karena itu,

Lokasi pusat massa sesuai diberikan oleh :

Setengah Lingkaran

Untuk menemukan pusat massa kawat bengkok tipis menjadi bentuk setengah lingkaran dengan

jari-jari, kita menggunakan kapak seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.1.2. Kami memiliki :

Dan,

Lamina Berbentuk Setengah Lingkaran

Dalam kasus lembar berbentuk setengah lingkaran yang seragam, pusat massa adalah pada

sumbu z (Gambar 8.1.2). Sebagai latihan, siswa memverifikasi Itu haruskah :

Cone Padat Variabel Density: Integrasi Numerik

Kadang-kadang kita dihadapkan dengan prospek malang Setelah menemukan pusat massa tubuh

siapa kepadatan tidak seragam. Dalam kasus seperti ini, kita harus resor untuk integrasi numerik.

Berikut ini kami sajikan kasus cukup kompleks kita akan memecahkan numerik Itu meskipun

dapat diselesaikan secara analitis. Kami melakukan esto sebuah ilustrar bagaimana perhitungan

tersebut dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan alat yang tersedia di hitung darah

Mat. Pertimbangkan solid, "unit" kerucut dibatasi oleh permukaan kerucut z2 = + y2 dan bidang

z = 1 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.1.3, siapa massa kepadatan fungsi diberikan oleh

Pusat massa de este kerucut dapat dihitung dengan memecahkan integral dalam Persamaan 8.1.2

mengingat. Massa kerucut yang diberikan oleh :

Perhatikan Bahwa batas-batas integrasi atas variabel dan tergantung pada x dan bahwa batas-

batas integrasi lebih z dependon keduanya x dan y. Karena simetris acerca de esta komprehensif

baik x dan y sumbu, itu menyederhanakan untuk :

Momentum pertama dari massa yang diberikan oleh integral :

Lokasi pusat massa ini kemudian

Saat-saat pertama dari massa tentang x andy sumbu harus lenyap Karena, sekali lagi, distribusi

massa adalah acerca simetris Mereka sumbu. Hal ini tercermin pada kenyataan bahwa integral

Persamaan di 8.1. 18 dan b adalah fungsi aneh dan, karena itu, lenyap. Hanya dengan demikian,

integral on y kita perlu evaluate- Apakah Mereka yang Persamaan 8.1.17 dan 8.1 .18c. Kami

tampil di integrasi Meminjam Asli numerik dengan Matematika yang N integrate fungsi.

Panggilan untuk fungsi ini untuk tiga-dimensi terpadu. Dimana argumen yang tepat untuk M atau

Mxy dan Harus cukup jelas. Output dari dua panggilan hasil diperlukan nilai-nilai: M = 0.523599

dan Mxy = 0,418888. Hanya dengan demikian, koordinat pusat massa :

Kami meninggalkan sebagai latihan bagi siswa untuk memecahkan masalah esta ambisius

analitis.

8.2 Rotasi dari Acerca Tubuh Kaku

Tetap Axis: Momen Inersia

Jenis paling sederhana dari gerak kaku-tubuh, selain terjemahan Murni, Apakah Itu di mana

tubuh dibatasi untuk memutar acerca sumbu tetap. Mari kita memilih sumbu z dari tepat sistem

koordinat sebagai sumbu rotasi. Jalan perwakilan partikel m, terletak pada titik (x1, j, kemudian

lingkaran dengan jari-jari a + = berpusat pada sumbu z. Seorang wakil penampang sejajar

dengan bidang xy ditunjukkan pada Gambar 8.2.1.Kecepatan partikel i diberikan oleh :

Dimana w adalah kecepatan sudut rotasi. Dari studi Gambar 8.2.1, kita melihat itu kecepatan

memiliki komponen sebagai berikut:

Dimana didefinisikan sebagai ditunjukkan pada Gambar 8.2.1. 8.2.2 Persamaan juga dapat

diperoleh dengan mengekstraksi komponen dari persamaan vector :

Dimana atau = .

Mari kita menghitung energi kinetik rotasi tubuh. Kami memiliki

Dimana

Jumlah didefinisikan oleh Persamaan 8.2.5, disebut momen inersia tentang z-sumbu. Untuk

menunjukkan bagaimana momen inersia lanjut memasuki gambar, mari kita selanjutnya

menghitung momentum sudut terhadap sumbu rotasi. Karena momentum sudut dari partikel

tunggal menurut definisi, adalah komponen z :

Dimana Kami telah memanfaatkan Persamaan 8.2.2. Keseluruhan z-komponen momentum

sudut, yang kita sebut ini kemudian mengingat dengan menjumlahkan semua partikel yaitu,

Dalam bagian 7.2 kita menemukan Bahwa laju perubahan momentum sudut untuk sistem apapun

adalah sama dengan saat penuh dari kekuatan eksternal. Untuk tubuh dibatasi untuk memutar

acerca sumbu tetap, diambil di sini sebagai sumbu z, maka :

Dimana NZ saat Jumlah Terapan dari semua kekuatan sekitar sumbu rotasi (komponen N

sepanjang sumbu z). Jika tubuh kaku, maka konstan, dan kita dapat menulis :

Analogi Antara persamaan untuk translasi dan rotasi untuk acerca sumbu tetap ditunjukkan

dalam tabel berikut:

Hanya dengan demikian, momen inersia analog dengan massa; itu adalah ukuran dari inersia

rotasi tubuh relatif terhadap beberapa sumbu tetap rotasi, seperti massa adalah ukuran inersia

translasi tubuh.

8.3 Perhitungan Momen Inersia

Dalam perhitungan momen inersia Z untuk tubuh diperpanjang, kita dapat mengganti

penjumlahan dengan integrasi seluruh tubuh, seperti yang kita lakukan dalam perhitungan pusat

massa. Hanya dengan demikian, kita menulis untuk sumbu :

Dimana unsur dm massa mengingat dengan faktor kepadatan dikalikan oleh diferensial Tepat

Guna (volume, area, atau panjang), dan r adalah jarak tegak lurus dari elemen massa terhadap

sumbu rotasi. "Dalam kasus tubuh komposit, dari definisi momen inersia, Semoga kita menulis

Dimana , dan segera, adalah momen inersia dari berbagai bagian tentang particular axis

dipilih. Mari kita menghitung momen inersia untuk beberapa kasus khusus Penting tipis Rod.

Untuk tipis, batang seragam panjang dan massa m, yang kita miliki, untuk sumbu tegak lurus

terhadap batang di salah satu ujung (Gambar 8.3.la)

Langkah terakhir Mengikuti dari fakta itu m = pa. Jika sumbu diambil di tengah batang (Gambar

8.3.lb) Kami memiliki

Hoop atau Silinder Shell

Dalam kasus shell silinder tipis atau ring melingkar, untuk pusat, atau simetri, sumbu, semua

partikel berada pada jarak yang sama dari sumbu. hanya dengan demikian,

Dimana adalah jari-jari dan m adalah massa.

Melingkar Disc atau slinder

Untuk menghitung momen inersia disk putaran seragam radius dan massa m, kita menggunakan

koordinat polar. Unsur massa, cincin tipis radius r dan ketebalan dr, yang diberikan oleh

Dimana p adalah massa per satuan luas. Momen inersia acerca sumbu-melalui pusat dari disk

biasanya ke wajah pesawat (Gambar 8.3.2) didapat sebagai berikut:

Hasil Langkah terakhir dari a2 hubungan m = pir. Persamaan 8.3.7 Juga berlaku untuk silinder

kanan beredar seragam radius dan massa m, sumbu menjadi pusat sumbu silinder.

Bola

Mari kita menemukan momen inersia bola padat seragam radius dan massa m acerca sumbu

(sumbu z) lewat-lewat centet yang Kami membagi bola ke dalam cakram bulat tipis, seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 8.3.3. Momen inersia dari disc perwakilan radius dan, dari Persamaan

8.3.7,1 / 2 y2 Tapi dm = dm adalah pity2 dz; oleh karena itu,

Langkah terakhir dalam Persamaan 8.3.8 Harus diisi oleh siswa. Karena massa saya diberikan

oleh :

Kami memiliki :

Untuk lingkup seragam yang solid. jelas juga Bulat Sel

Momen inersia dari, seragam, kulit bola tipis dapat ditemukan dengan sangat sederhana dengan

aplikasi Persamaan 8.3.8. Jika kita membedakan dengan, yaitu

Hasilnya adalah momen inersia dari shell ketebalan da dan jari-jari a. Massa sel adalah. Oleh

karena itu, kita dapat menulis :

Untuk momen inersia dari cangkang tipis radius dan massa m. Mahasiswa Harus Hasil esta oleh

integrasi langsung

Contoh Gambar 8.3.4 adalah rantai seragam panjang 1 = 2irR dan massa m = M / 2 Itu melilit

seragam, disc tipis radius R dan massa M. Salah satu bagian kecil dari rantai hang bebas, tegak

lurus sumbu horisontal. Ketika disk dilepaskan, rantai jatuh dan unwraps. Disk Mulai berputar

lebih cepat dan lebih cepat acerca ITS tetap z-sumbu, tanpa gesekan. (A) Tentukan kecepatan

sudut disk pada saat rantai Sepenuhnya unwraps. (B) Memecahkan untuk kasus rantai melilit

roda siapa massa adalah sama dengan itu dari disk tapi Terkonsentrasi di tepi tipis.

solusi:

Gambar 8.3.4 menunjukkan disk dan rantai pada saat rantai membuka bungkus. Akhir kecepatan

sudut disk 0 Energi dilestarikan sebagai rantai membuka bungkus. Karena pusat massa rantai

awalnya bertepatan Dengan Itu disc, itu jatuh jarak 1/2 = JRR, dan kami memiliki :

Pemecahan untuk CD2 memberikan :

(B) Momen inersia roda adalah I = MR2. Esta Mengganti ke hasil persamaan

sebelumnya :

Meskipun massa roda adalah sama dengan itu dari disk, itsa momen inersia yang lebih besar,

karena semua massa yang terkonsentrasi di sepanjang tepi. Hanya dengan demikian, itsa

percepatan sudut dan kecepatan sudut yang akhir kurang dari itu dari disk .

Tegak lurus-Axis Teorema untuk Pesawat Lamina

Pertimbangkan tubuh kaku yaitu dalam bentuk lamina bidang bentuk apapun. Mari kita

menempatkan lembar dalam bidang xy (Gambar 8.3.5). Momen inersia tentang z-sumbu

diberikan oleh :

Jumlah EM1 4 hanya momen inersia tentang sumbu y, karena z1 adalah nol untuk semua

partikel. Demikian pula, E1m1 adalah momen inersia tentang 4 x-axis. Persamaan 8.3.13 bisa,

oleh karena itu ditulis :

Ini adalah teorema tegak lurus sumbu. Dalam kata-kata:

Normal (8.3.14) Momen inersia setiap pesawat lamina acerca sumbu terhadap bidang sheet

adalah sama dengan jumlah momen inersia tentang dua sumbu yang saling tegak lurus melewati-

melalui sumbu yang diberikan dan berbaring di bidang lamina. Sebagai contoh penggunaan esta

teorema, mari kita bergerak Pertimbangkan disk tipis dalam bidang xy (Gambar 8.3.6). Dari

Persamaan 8.3.7 Kami memiliki :

Dalam hal ini, namun, kita tahu dari simetri Bahwa 4 = Ii,. Kita harus oleh karena

itu, memiliki :

Untuk momen inersia mengenai sumbu pada bidang disk passing-melalui pusat. Hasil ini dapat

juga dapat diperoleh dengan integrasi langsung. Paralel-Axis Teorema untuk Setiap tubuh kaku

Pertimbangkan persamaan untuk momen inersia acerca beberapa sumbu, mengatakan z-sumbu:

Sekarang kita bisa mengungkapkan; dan dalam hal koordinat pusat massa dan koordinat relatif

terhadap pusat massa (Gambar 8.3.7) sebagai berikut :

Karena itu kami telah Mengganti dan mengumpulkan persyaratan,:

Pertama penjumlahan di sebelah kanan hanya momen inersia acerca paralel sumbu ke sumbu z

dan passing-melalui pusat massa. Kami menyebutnya kedua sum sama dengan massa tubuh

dikalikan dengan kuadrat dari Jarak antara pusat massa dan z-sumbu. Mari kita sebut jarak ini

saya artinya, 2 = + Sekarang, dari definisi pusat massa:

Oleh karena itu, dua jumlah terakhir di sebelah kanan Persamaan 8.3.19 menghilang. Hasil akhir

ditulis dalam bentuk keseluruhan untuk sumbu apapun:

Ini adalah teorema paralel-sumbu. Hal ini berlaku untuk setiap benda tegar, kuat serta laminar.

Teorema, pada dasarnya, itu: The momen inersia dari benda tegar terhadap sumbu apapun sama

dengan momen inersia acerca sumbu sejajar passing-melalui pusat massa ditambah produk dari

massa tubuh dan kuadrat Jarak antara dua sumbu. Kita dapat menggunakan teorema paralel-

sumbu untuk menghitung saat mertia beredar acerca sumbu tegak lurus terhadap bidang disk dari

disk dan melewati-melalui tepi (lihat Gambar 8.3.8a) seragam. Menggunakan Persamaan 8.3.7

dan 8.3.21, kita mendapatkan :

Juga kita dapat menggunakan teorema paralel-sumbu untuk menghitung momen inersia dari

acerca disc sumbu pada bidang disk dan bersinggungan dengan tepi (lihat Gambar 8.3.8b).

Menggunakan Persamaan 8.3.16 dan 8.3.21, kita mendapatkan:

Sebagai contoh kedua, biarkan kami menemukan momen inersia silinder putaran seragam radius

dan panjang b acerca sumbu-melalui pusat dan tegak lurus dengan sumbu pusat, Yaitu atau pada

Gambar 8.3.9. Untuk elemen kami integrasi, kita memilih disk dari dz ketebalan terletak z jarak

dari bidang xy. Kemudian, dari hasil sebelumnya untuk disk tipis (Persamaan 8.3.16), Bersama

The paralel-sumbu teorema, Kami memiliki :

Dimana dm = Pita2 dz. hanya dengan demikian:

Namun massa silinder adalah m = pira2b, karena itu:

Radius rotasi

Perhatikan kesamaan Persamaan 8.2.5, ekspresi untuk momen inersia dari benda tegar tentang z-

sumbu, dengan ekspresi untuk pusat massa yang dikembangkan dalam Bagian 8.1. Jika kita.

Apakah Persamaan 8.2.5 untuk membagi dengan massa keseluruhan tubuh kaku, kami akan

obtener massweighted rata-rata kuadrat dari posisi semua elemen massa jauh dari z-sumbu . Kita

dapat memformalkan diskusi esta dengan mendefinisikan k jarak, yang disebut jari-jari rotasi,

menjadi rata-rata esta, itu apakah :

Mengetahui jari-jari rotasi dari badan kaku setara dengan mengetahui momen inersia, tetapi lebih

baik ciri sifat dari proses rata-rata di mana konsep momen inersia didasarkan. Sebagai contoh,

kita menemukan untuk jari-jari rotasi dari batang tipis acerca sumbu lewat-melalui satu ujung

(lihat Persamaan 8.3.3):

Momen inersia untuk berbagai objek dapat ditabulasikan hanya dengan daftar kuadrat jari-jari

mereka rotasi (Tabel 8.3.1):

8.4 Fisik Pendulum

Tubuh kaku bebas untuk ayunan itu Bobotnya sendiri di bawah acerca sumbu horisontal tetap

rotasi Dikenal sebagai pendulum fisik, pendulum atau senyawa. Sebuah pendulum fisik

ditunjukkan pada Gambar 8.4.1. CM Berikut adalah pusat massa, dan 0 adalah titik pada sumbu

rotasi Yaitu pada bidang tegak dari jalur lingkaran pusat massa. Menunjukkan sudut Antara 0cm

line dan garis vertikal OA oleh 6 saat gaya gravitasi (bertindak di CM) sekitar sumbu rotasi

adalah besarnya :

Persamaan dasar gerak maka N = Engan Membawa bentuk -mgi tanpa 6 = IO :

Persamaan 8.4.1 identik dalam bentuk persamaan gerak bandul sederhana. Untuk osilasi kecil,

seperti dalam kasus pendulum tunggal, kita tidak bisa mengganti oleh 6:

Solusinya, seperti yang kita tahu dari Bab 3, dapat ditulis :

Dimana amplitudo dan S adalah sudut fase. Frekuensi osilasi diberikan oleh:

Periode ini, karena itu, diberikan oleh:

(Untuk Hindari kebingungan, kami telah menggunakan frequencyfo Alih-alih frekuensi sudut

untuk Karakterisasi osilasi pendulum.) Juga kita dapat mengungkapkan periode dalam hal dari

jari-jari rotasi k, yaitu:

Hanya dengan demikian, periode sama itu pendulum sederhana panjang k2 / l. Pertimbangkan

sebagai contoh batang seragam tipis panjang sebagai pendulum fisik berayun salah satu ujung

acerca: k2 = a2 / 3, 1 = a / 2. Periode ini kemudian:

Yang sama itu pendulum sederhana panjang 2/3a:

Pusat Osilasi

Dengan menggunakan teorema paralel-sumbu, kita dapat mengekspresikan jari-jari rotasi k

dalam hal radius rotasi tentang pusat massa sebagai berikut:

Atau:

Membatalkan rn itu, kita mendapatkan :

Persamaan 8.4.6 dapat, oleh karena itu ditulis sebagai:

Misalkan sumbu rotasi pendulum fisik digeser ke posisi yang berbeda O'at jarak 1 'dari pusat

massa, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.4.1. Periode osilasi acerca de esta sumbu baru

diberikan oleh:

Periode osilasi acerca acerca 0 dan 0 'adalah sama, asalkan:

Persamaan 8.4.12 mudah Anda mengurangi untuk:

Titik 0 ', yang berkaitan dengan 0 oleh Persamaan 8.4.13, disebut pusat osilasi untuk titik 0. 0

también está pusat osilasi untuk 0'. Hanya dengan demikian, untuk tongkat panjang untuk

berayun acerca salah satu ujungnya, kita = a2 / 12 dan 1 = a / 2. Oleh karena itu, dari Persamaan

8.4.13, 1 '= a / 6, dan sebagainya. batang memiliki berayun periode acerca yang sama Ketika

sumbu terletak jarak / 6 dari pusat seperti halnya untuk sumbu lewat-melalui satu ujung.

The "Upside-Down Pendulum": Integral Elips

Ketika amplitudo osilasi pendulum begitu besar itu pendekatan tetapi = 0 tidak sah, rumusan

untuk periode (Persamaan 8.4.5) tidak akurat. Pada Contoh 3.7.1 kita Memperoleh formulasi

ditingkatkan untuk periode bandul sederhana dengan menggunakan metode pendekatan berturut-

turut. Hasil itu juga Berlaku untuk pendulum fisik dengan 1 Diganti dengan I / saya, tetapi masih

merupakan perkiraan dan Completely salah Ketika amplitudo Pendekatan 1800 (posisi vertikal)

(Gambar 8.4.2). Untuk menemukan periode untuk amplitudo besar, kita mulai dengan persamaan

energi untuk pendulum fisik:

Dimana h adalah jarak vertikal dari pusat massa dari posisi kesetimbangan, Artinya, h = 1 (1 -

cos 0). Biarkan menunjukkan amplitudo osilasi pendulum itu. Kemudian O = 0 0 = Ketika Jadi

mgl E = 1 - cos Persamaan energi dapat ditulis kemudian:

Pemecahan untuk 0 memberikan:

Hanya dengan demikian, dengan mengambil akar positif, kita dapat menulis:

Dari mana kita dapat, pada prinsipnya, menemukan t sebagai fungsi dari 0. Juga, kami mencatat

8 bahwa Peningkatan 0-00 hanya dalam satu seperempat siklus lengkap. Periode T bisa, akan

dinyatakan sebagai:

Sayangnya, integral dalam persamaan 8.4.17 dan 8.4.18 tidak dapat ditinjau dalam hal fungsi

dasar. Mereka bisa, namun akan dinyatakan dalam hal fungsi khusus dikenal sebagai integral

berbentuk bulat panjang. Untuk tujuan th akan lebih mudah untuk memperkenalkan Variabel

baru integrasi yang didefinisikan sebagai berikut:

Dimana:

Hanya dengan demikian, ketika 8 = 80, kami belum 0 = 1 dan 0 = ir / 2. Hasil membuat

substitusi dalam asli di persamaan 8.4.17 dan 8.4.18 hasil:

Langkah-langkah yang tersisa sebagai latihan dan melibatkan penggunaan identitas cos 8 = 1 -2

sin2 (). Nilai tabulasi dari integral dalam ekspresi sebelumnya dapat ditemukan di berbagai buku

panduan dan tabel matematika. integral pertama:

Disebut lengkap elips yang komprehensif tersebut yang jenis pertama Dalam masalah kita,

mengingat nilai dari seri amplitudo 8 langkah melibatkan definisi k dan 0. Kami lebih tertarik

untuk menemukan periode pendulum, yang melibatkan integral kedua :

Dikenal sebagai lengkap elips integral dari jenis pertama. (Ini también está dengan berbagai

terdaftar sebagai K (k) atau F (k) dalam banyak tabel.) Dalam hal ini, periode ini:

Tabel 8.4.1 daftar yang dipilih nilai F (k, iv / 2). Juga tercantum adalah periode T sebagai faktor

dikalikan periode nol amplitudo

Tabel 8.4.1 menunjukkan tren 1800 Pendekatan nilai amplitudo di mana yang berbentuk bulat

panjang yang komprehensif menjadi menyimpang periode dan besar tak berhingga. Ini berarti

bahwa secara teoritis pendulum fisik,: seperti batang kaku, jika Persis Ditempatkan di posisi

tegak dengan benar-benar nol kecepatan sudut awal, akan tetap dalam posisi itu tidak stabil yang

sama tanpa batas:

CONTOH 8.4.1

Sebuah pendulum fisik, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.4.1, menggantung vertikal saat

istirahat. Hal ini stnick pukulan tiba-tiba seperti itu Jumlah energi setelah pukulan adalah E =

2mgl, Dimana m adalah massa pendulum dan 1 adalah jarak dari pusat Its massa ke titik pivot.

(A) Hitung sudut perpindahan 0 jauh dari vertikal sebagai fungsi waktu. (B) Apakah bandul

mencapai "terbalik" konfigurasi, 0 = iv? Jika demikian, gunakan hasil Anda dari bagian (a) untuk

menghitung berapa lama membawa.

solusi:

(A) Kita mulai dengan menuliskan keseluruhan energi pendulum seperti dalam

Persamaan 8.4.15:

Pemecahan untuk O2:

Kami memperkenalkan substitusi berikut, y = sin 0/2, untuk menghilangkan melibatkan fungsi

trigonometri dan integral obtener solusi analitik cukup sederhana. Sebagai Ovarium dari 0

sampai IV, dan bervariasi dari 0 sampai 1. Kami sekarang menghitung:

Dimana Kami telah menggunakan substitusi cos 0/2 = (1) h12We sekarang memecahkan 0 dalam

hal y dan...:

Kita sekarang dapat menemukan persamaan diferensial orde pertama menggambarkan gerak

dalam hal dan:

Solusinya adalah:

(B) dan 1, dan 0 iv dan pendulum pergi "terbalik" - Akhirnya. Bandingkan hasil esta Dengan

Baris terakhir pada Tabel 8.4.1.:

8.5 Momentum sudut dari Tubuh kaku di Laminar Gerak

Gerak Laminar Berlangsung Ketika semua partikel Itu membuat langkah tubuh paralel kaku

untuk beberapa pesawat tetap. Secara umum tubuh kaku mengalami translasi dan rotasi Kedua

percepatan. Sumbu rotasi Berlangsung acerca suatu siapa arah, tapi Belum Tentu Lokasinya,

Tetap tetap dalam ruang. Rotasi tubuh kaku acerca sumbu tetap merupakan kasus khusus dari

gerak laminar,: seperti pendulum fisik Dibahas dalam bagian sebelumnya. Sebuah silinder

bergulir bidang miring adalah contoh lain. Kami membahas gerak masing-masing jenis ini dalam

bagian itu mengikuti, tapi sebagai awal dalam analisis asli, pertama-tama kita Mengembangkan

teorema tentang momentum sudut tubuh kaku dalam gerakan laminar. Kami menunjukkan di

Bagian 7.2 Bahwa laju perubahan momentum sudut sistem partikel sama dengan net Terapan

torsi :

Atau:

Dimana semua mengkuantifikasi dimaksud dengan sistem koordinat inersia. Apa yang terjadi,

namun kami, jika kita memilih untuk menggambarkan rotasi tubuh kaku (Yang merupakan

sistem partikel siapa relatif posisi tetap) sekitar sumbu yang mungkin juga akan mempercepat,:

seperti itu yang dapat dilakukan bila bola menggelinding turun bidang miring? Untuk

memperhitungkan Kemungkinan seperti itu, kita lagi Pertimbangkan sebuah sistem partikel,

seperti di Bagian 8.2, sebuah acerca itu berputar sumbu siapa arah adalah tetap dalam ruang.

Namun, di sini kita memungkinkan untuk Kemungkinan Itu Might Be mempercepat sumbu. Kita

mulai dengan Mengacu posisi partikel, m1, ke asal, 0, dari kerangka acuan inersia (lihat Gambar

8.5.1). Biarkan titik 0 'mewakili asal sumbu tersebut, acerca yang Kami ingin merujuk rotasi

sistem partikel. Vektor, r1 dan r, menunjukkan posisi relatif engan partikel titik 0 dan 0 ',

masing-masing. Kita sekarang menghitung keseluruhan torsi N 'tentang sumbu 0':

Dari Gambar 8.5.1, kita melihat itu:

Dan :

Dalam kerangka acuan inersia Kami memiliki :

Hanya dengan demikian, Persamaan 8.5.4 menjadi:

Langkah dari Persamaan 8.5.7a ke 8.5. mengikuti 'penyebab' vo tidak menjadi menyimpulkan

dan, oleh karena itu, bisa diperoleh dari penjumlahan dengan Impunitas. Tanda minus muncul

karena pembalikan urutan silang. Ekstraksi waktu turunan dari dalam penjumlahan di Persamaan

8.5.Th posisi con sus luar penjumlahan dalam Persamaan 8.5.7c Karena diperbolehkan maka

menghasilkan istilah, X Itulah silang dari vektor Dengan sendirinya, yang adalah nol. Istilah

terakhir di sebelah kanan pada persamaan 8.5.7c adalah laju perubahan momentum sudut, L ',

tentang 0' sumbu. Hanya dengan demikian, kita esta Mungkin menulis ulang persamaan sebagai:

Dalam yang Kami telah diganti 'v0 dengan Persamaan torsi (8.5.1), hanya dengan demikian,

tidak dapat diterapkan Langsung dalam bentuk standar Its untuk sistem acerca berputar That is

Menjalani percepatan sumbu. Persamaan yang benar (8.5.8) Berbeda dari Persamaan 8.5.1

dengan Kehadiran istilah tambahan di sebelah kiri. Namun, esta menambahkan istilah

menghilang Ketika salah satu dari tiga kondisi yang mungkin puas, seperti pada Gambar 8.5.2a

schematized, b, dan c:

1. Percepatan, dari sumbu rotasi, 0 ', hilang (Gambar 8.5.2a).

2. Titik, 0 ', adalah pusat massa dari sistem partikel Itu membentuk tubuh kaku. Dalam kondisi

esta, istilah, = 0 menurut definisi (Gambar 8.5.2b).

3. 0 'sumbu melewati-melalui titik kontak antara silinder dan pesawat. Vektor, Diwakili oleh

jumlah, melewati-melalui pusat massa. Kita bisa melihat ini dengan mencatat Itu = Dimana

M = adalah massa keseluruhan dan merupakan vektor posisi pusat relatif massa 0 '. jika

vektor Juga melewati-melalui pusat massa, maka produk silang mereka akan lenyap (Gambar

8.5.2c).

Kita akan melihat di bagian esta berikutnya bahwa kondisi terakhir membuktikan berguna Ketika

memecahkan masalah Melibatkan Badan kaku yang bergulir, tapi tidak geser! Kondisi 2 di atas

Harus ditekankan. Persamaan torsi untuk tubuh kaku. Menjalani gerak laminar selalu dapat

dinyatakan dalam bentuk Diberikan oleh Persamaan 8.5.1, kita mengambil torsi dan momentum

sudut acerca menghitung sumbu itu melewati-melalui pusat massa. Kami menulis persamaan di

sini menggunakan notasi yang tepat untuk Tekankan bahwa Ini Harus Diterapkan dengan

menjumlahkan torsi Itu acerca sumbu melewati-melalui pusat. massa tubuh kaku:

Contoh Laminar 8.61 dari Motion Tubuh kaku

Singkatnya, jika tubuh kaku mengalami gerak laminar, gerakan ini paling sering specffied

sebagai terjemahan dari pusat Its massa dan rotasi acerca sumbu itu melewati-melalui pusat

massa dan siapa arah adalah tetap dalam ruang. Kadang-kadang meskipun, beberapa sumbu

lainnya adalah pilihan yang lebih tepat. Situaciones seperti biasanya kita yang jelas, seperti

dalam kasus pendulum fisik, siapa gerak rotasi terhadap sumbu tetap melewati-melalui ITS itu

pivot point. Persamaan dasar yang Mengatur terjemahan dari tubuh kaku:

Dimana F adalah jumlah vektor dari semua gaya eksternal yang bekerja pada benda, m adalah

massa IMS, dan percepatan pusat Its massa. Persamaan dasar yang mengatur rotasi tubuh acerca

sumbu 0 'yang memenuhi salah satu syarat 1 sampai 3 Mengingat dalam Bagian 8.5 adalah:

Jika sumbu rotasi, selain itu yang melewati-melalui pusat massa, adalah chosen.SQL untuk

menggambarkan gerak rotasi, harus dijaga menimbang apakah dalam kondisi 1 atau 3 puas. Jika

tidak, maka lebih umum bentuk persamaan torsi Diberikan oleh Persamaan 8.5.8 harus

digunakan sebagai gantinya.

Tubuh bergulir Menyusuri Pesawat miring

Sebagai ilustrasi gerak laminar, kita mempelajari gerak sebuah benda bulat (silinder, bola, dan

segera) bergulir bidang miring. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 8.6.1, tiga kekuatan

bertindak pada tubuh. Ini adalah (1) gaya gravitasi ke bawah, (2) rata-rata reaksi dari pesawat

FN, dan (3) gaya gesekan paralel terhadap bidang memilih sumbu seperti yang ditunjukkan,

persamaan komponen penjabaran pusat massa:

Dimana 0 adalah kemiringan pesawat ke horizontal. Karena tubuh kontak Tetap Dengan

Pesawat, Kami memiliki:

Oleh karena itu,:

Oleh karena itu, dari Persamaan 8.6.4,:

Satu-satunya kekuatan itu diberikannya sejenak tentang pusat massa adalah gaya gesekan

besarnya saat ini FPA, Dimana adalah jari-jari tubuh. Oleh karena itu, persamaan rotasi

(Persamaan 8.6.2) menjadi:

Untuk membahas masalah ini lebih lanjut, kita perlu membuat beberapa asumsi Mengenai

kontak antara pesawat dan tubuh. Kami memecahkan persamaan gerak untuk dua menikah.

Gerak dengan tidak Tergelincir

Jika kontak tersebut sangat kasar sehingga tidak tergelincir Itu bisa terjadi, artinya, jika? 4USFN,

di mana koefisien gesekan statis, Kami memiliki hubungan sebagai berikut:

Dimana 0 adalah sudut rotasi. Persamaan 8.6.7 dapat ditulis kemudian:

Mengganti ke Persamaan nilai esta untuk 8.6.3 hasil:

Pemecahan untuk x kita menemukan:

Dimana adalah jari-jari rotasi tentang pusat massa. Tubuh oleh karena itu, gulung ke bawah

pesawat dengan percepatan linear konstan dan percepatan sudut konstan dengan berdasarkan

persamaan 8.6.8a dan b. Misalnya, percepatan silinder seragam = a2 / 2) adalah:

Sedangkan Bahwa bola seragam = 2a2 / 5) adalah:

CONTOH 8.6.1

Hitung pusat percepatan massa silinder bergulir di bidang miring pada Gambar 8.6.1 untuk kasus

tidak tergelincir. Pilih sumbu 0 'yang melewati-melalui titik kontak seperti pada Gambar 8.5.2c.

solusi:

Seperti dijelaskan sebelumnya, pilihan esta axis memenuhi kondisi 3 Mengingat dalam Bagian

8.5 dan kita dapat menggunakan Persamaan 8.6.2 langsung. Torsi akting acerca 0 'adalah:

Momen inersia titik silinder acerca de esta (lihat Persamaan 8.3.22) adalah:

Karena tidak ada tergelincir, hubungan antara kecepatan sudut silinder tentang sumbu 0 'dan

pusat kecepatan massa adalah:

(Catatan: ini adalah hubungan yang sama menghubungkan kecepatan sudut Itu silinder Dengan

kecepatan tangensial dari setiap titik di permukaan IMS relatif terhadap pusat massa). Oleh

karena itu persamaan rotasi gerak memberikan:

Dari mana Ini Segera mengikuti Itu:

Pertimbangan energi Juga sebelum hasilnya dapat diperoleh dari pertimbangan energi. Dalam

medan gravitasi seragam energi potensial V tubuh kaku mengingat dengan jumlah energy

potensial partikel tunggal yakni:

Dimana adalah jarak vertikal dari pusat massa dari beberapa (sewenang-wenang) referensi

pesawat. Sekarang jika kekuatan, selain gravitasi yang bekerja pada tubuh tidak bekerja, maka

gerakan yang konservatif, dan kita dapat menulis:

Dimana T adalah energi kinetik. Dalam kasus tubuh bergulir di bidang miring (lihat Gambar

8.6.1), kinetik terjemahan adalah 4 dan itu rotasi LW2, sehingga persamaan energi membaca:

Tetapi: oleh karena itu

Dalam kasus gerak bergulir murni, gaya gesekan tidak Muncul dalam persamaan Karena tidak

ada energi mekanik diubah menjadi panas kecuali tergelincir terjadi. Hanya dengan demikian,

Total E adalah konstan. Membedakan untuk t dan mengumpulkan hasil istilah:

Membatalkan faktor umum XCM (asumsi, tentu saja, itu 0) dan memecahkan untuk kita

menemukan hasil yang sama seperti dengan sebelumnya Yang Diperoleh menggunakan kekuatan

dan momen (Persamaan 8.6.11).

Terjadinya Tergelincir

Mari kita sekarang Pertimbangkan kasus di mana kontak dengan pesawat tersebut tidak

sempurna kasar tapi memiliki koefisien gesekan geser Un Certain tergelincir Jika terjadi, maka

besarnya gaya gesek yang diberikan oleh:

Persamaan terjemahan (Persamaan 8.6.3) kemudian menjadi:

dan persamaan rotasi (Persamaan 8.6.7) adalah:

Dari Persamaan 8.6.20 Itu lagi kita melihat pusat massa mengalami percepatan konstan:

dan, pada saat yang sama, percepatan sudut konstan:

Mari kita mengintegrasikan dua persamaan asli dengan untuk t, asumsi itu tubuh mulai dari yang

lain, Artinya, pada t = 0, ± 0,0 cm = 0. Kami obtener:

Akibatnya, kecepatan linear dan rasio konstan kecepatan sudut memiliki apapun yang tersedia,

dan kita dapat menulis:

Dimana :

Sekarang Co tidak bisa lebih besar daripada XCM, dan jadi saya tidak bisa kurang dari kesatuan.

Kasus membatasi, itu untuk yang kami punya Murni bergulir, yang diberikan oleh = aw, itu

adalah,:

Pemecahan untuk / 1k dalam Persamaan 8.6.27 Dengan 7 = 1, kita menemukan nilai kritis itu

koefisien gesekan Diberikan oleh:

Pemecahan untuk / 1k dalam Persamaan 8.6.27 Dengan 7 = 1, kita menemukan nilai kritis itu

koefisien gesekan Mengingat b (Sebenarnya ini adalah nilai kritis untuk koefisien gesekan statik

Jika Is Besar. Mengingat Than Itu di Persamaan 8.6.28, maka gulungan tanpa tergelincir tubuh.

Sebagai contoh, jika sebuah bola adalah pada 45 ° pesawat, itu akan bergulir tanpa tergelincir,

seperti yang diberikan lebih besar dari 45 ° I (1 + atau)

CONTOH 8.6.2

Sebuah kecil, silinder seragam radius R gulungan tanpa tergelincir di sepanjang bagian dalam

yang besar, silinder tetap jari-jari r> R seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.6.2. Tampilkan

Bahwa periode osilasi kecil silinder bergulir setara dengan itu dari pendulum tunggal siapa

panjangnya 3 (r - R) / 2.

solusi:

Kunci solusi mudah bergantung pada realisasi bahwa energi secara keseluruhan dari silinder

bergulir adalah konstan gerak. Tidak ada energi gerak relatif antara dua permukaan Karena tidak

ada tergelincir. Dengan kata lain, 0 dan 0 bertepatan Ketika silinder kecil pada posisi

keseimbangan dan busur panjang O'P dan OP adalah identik. Kekuatan gesekan F oleh karena

itu, tidak menghapus dari silinder bergulir, juga tidak gaya biasa N melakukan pekerjaan apapun.

Ini Menghasilkan ada torsi Karena lini aksi selalu melewati-melalui pusat massa, dan tidak

Mempengaruhi translasi energy kinetik Gambar 8.6.2 karena selalu diarahkan tegak lurus

terhadap gerak pusat massa. Satu-satunya kekuatan itu tidak melakukan pekerjaan adalah

kekuatan konservatif gravitasi, mg. Hanya dengan demikian, ene® 'silinder adalah kekal, dan

kita dapat memecahkan masalah dengan menetapkan kapur turunan sama dengan nol. Energi

keseluruhan silinder adalah:

Dimana h adalah tinggi dari silinder di atas itu pada posisi keseimbangannya, VCM adalah

kecepatan pusat Its massa, dan 'cm adalah momen inersia acerca IMS pusat massa (lihat Gambar

8.6.2). Dari gambar, kita melihat itu untuk osilasi kecil:

dan Karena Silinder gulungan tanpa tergelincir, kami memiliki:

Memasukkan dalam hubungan asli untuk h dan ke dalam persamaan energi oi memberikan:

Pada mengambil turunan dari persamaan sebelumnya dan menetapkan hasilnya sama dengan nol,

kita obtener:

dan membatalkan hasil istilah umum:

Momen inersia dari pusat IMS silinder acerca massa adalah 4,,. = MR2 / 2, dan sebelumnya

Mengganti ke persamaan menghasilkan persamaan gerak silinder untuk kunjungan kecil

keseimbangan acerca:

Ini persamaan gerak sama itu pendulum sederhana dengan panjang 3 (r - R) / 2. Hanya dengan

demikian, periode mereka adalah identik. (Mahasiswa Mungkin esta ingin memecahkan masalah

dengan menggunakan metode kekuatan dan torsi. Kekuatan relevan yang bekerja pada silinder

bergulir ditunjukkan dalam insert pada Gambar 8.6.2.)

8.71 Badan Impulse dan kaku Tabrakan Melibatkan

Dalam bab sebelumnya kita Dianggap kasus kekuatan impulsif yang bekerja pada partikel. Pada

bagian ini kita memperluas pengertian daya impulsif untuk kasus gerak laminar dari tubuh kaku.

Pertama, kita tahu itu terjemahan dari tubuh, asumsi massa konstan, yang Diatur oleh persamaan

keseluruhan F = m dv,,, JDT, sehingga jika F adalah jenis impulsif kekuatan, perubahan

momentum linier tubuh adalah diberikan oleh:

Hanya dengan demikian, hasil dari P impuls adalah untuk menghasilkan perubahan mendadak

dalam kecepatan pusat massa dengan jumlah yang:

Kedua, bagian rotasi dari gerakan tubuh mematuhi persamaan N = L = IDW / dt, sehingga

perubahan momentum sudut adalah:

Komprehensif IN dt disebut impuls rotasi. Sekarang jika dorongan P primer Diterapkan pada

tubuh dalam sedemikian rupa sehingga garis tindakan adalah jarak 1 dari acerca referensi sumbu

Yang merupakan momentum sudut dihitung, maka N = Fl, dan kami memiliki:

Akibatnya, perubahan kecepatan sudut yang dihasilkan oleh P akting impuls pada tubuh kaku

dalam gerakan laminar Diberikan oleh:

Umum Untuk kasus gerak laminar bebas, sumbu referensi harus diambil-melalui pusat massa,

dan momen inersia I = Di sisi lain, jika tubuh dibatasi untuk memutar acerca sumbu tetap, maka

persamaan rotasi saja cukup untuk menentukan gerak, dan aku adalah momen inersia terhadap

sumbu tetap. Dalam tabrakan Melibatkan badan kaku, kekuatan dan, karena itu, impuls Bahwa

tubuh mengerahkan satu sama lain Selama tabrakan selalu sama dan berlawanan. Hanya dengan

demikian, prinsip konservasi linear dan momentum sudut berlaku.

Pusat Perkusi: The "Baseball Bat Teorema"

Untuk ilustrar konsep pusat perkusi, mari kita membahas tabrakan bola m massa, Diperlakukan

sebagai sebuah partikel, dengan tubuh kaku (bat) massa M. Untuk mempermudah kita asumsikan

bahwa tubuh sedang beristirahat pada permukaan halus horisontal dan bebas untuk bergerak

dalam laminar-jenis gerak. Biarkan P menunjukkan impuls dikirim ke tubuh dengan bola. Maka

persamaan untuk penerjemahan:

Dimana v0 dan v1 adalah, masing-masing, yang awal dan kecepatan akhir bola dan VCM adalah

kecepatan pusat massa tubuh setelah dampak. Sebelumnya dua persamaan Menyiratkan

kekekalan momentum linear. Karena tubuh beristirahat, rotasi tentang pusat massa, sebagai

akibat dari dampak, yang diberikan oleh:

Dimana 1 'adalah jarak dari pusat O'C massa C ke garis aksi F, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 8.7.1. Mari kita sekarang 0 Pertimbangkan titik terletak jarak 1 dari pusat massa .seperti

itu garis CO adalah perpanjangan O'C, seperti yang ditunjukkan. The (skalar) kecepatan 0 adalah

Diperoleh oleh translasi dan rotasi menggabungkan menggabungkan bagian, yaitu,...:

Pada khususnya, kecepatan 0 akan menjadi nol jika kuantitas dalam kurung hilang, Artinya, jika:

Dimana radius KCM dari pusat tubuh acerca massa IMS. Dalam hal ini titik 0 adalah pusat

sesaat rotasi tubuh setelah dampak. 0 'disebut pusat perkusi acerca 0. dua poin terkait dalam cara

yang sama seperti thecenters osilasi, dengan sebelumnya didefinisikan dalam analisis kita

tentang pendulum fisik (Persamaan 8.4.13). Yang telah memainkan bisbol Ada yang tahu jika

bola menyentuh Bahwa kelelawar di tempat yang tepat tidak ada "menyengat" pada dampak. Ini

"tempat yang tepat" hanya pusat perkusi tentang titik di mana kelelawar diadakan.

CONTOH 8.7.1

Ditunjukkan pada Gambar 8.7.2 adalah batang tipis panjang b dan massa m tergantung dari titik

akhir pada poros gesekan. Ujung batang dipukul pukulan itu memberikan horizontal impuls F

'untuk batang. Hitung P dorongan Horizontal dikirim ke poros oleh batang ditangguhkan.

solusi:

Pertama, kita menghitung kecepatan pusat massa setelah pukulan dengan mencatat bahwa thenet

dorongan horizontal dikirim ke batang sama perubahan con sus dalam momentum:

Sekarang kita Pertimbangkan rotasi batang tentang pivot point (pilihan esta axis memenuhi

kondisi 1 pada Bagian 8.5). Momen inersia batang acerca sumbu passing-melalui titik Yang

Diberikan oleh Persamaan 8.3.3:

Sekarang kita menghitung kecepatan sudut batang tentang poros menggunakan

Persamaan 8.7.8:

Namun kecepatan pusat massa dan kecepatan sudut terkait Segun:

Hanya dengan demikian, kita dapat menulis:

Oleh karena itu

Dorongan disampaikan oleh poros untuk batang berada dalam arah yang sama dengan impuls

pukulan disampaikan oleh lanskap, ke kanan pada Gambar 8.7.2. Dorongan disampaikan oleh

batang ke poros adalah dalam arah yang berlawanan, di sebelah kiri pada gambar.