analízis 2 - eötvös loránd universityvaldar.web.elte.hu/downloads/anal2_zh2s.pdf ·...
TRANSCRIPT
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
2
Tartalomjegyzék Deriválási alapok ............................................................................................................................................. 3
Elemi függvények deriváltjai ......................................................................................................................... 3
Deriválási szabályok műveletekre ................................................................................................................ 4
Első feladat típus ............................................................................................................................................. 5
Érintő egyenletének felírása egy adott pontban .......................................................................................... 5
Invertálhatóság, inverz deriválhatósága ...................................................................................................... 6
Második feladat típus ...................................................................................................................................... 7
L’Hospital szabály ......................................................................................................................................... 7
Harmadik feladat típus .................................................................................................................................... 8
Taylor-polinom-os feladatok ........................................................................................................................ 8
Negyedik feladat típus ................................................................................................................................... 10
Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok ................................................................................................ 10
Ötödik feladat típus ....................................................................................................................................... 11
Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései .............................................................................. 11
Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat ........................................................................... 14
Utószó ............................................................................................................................................................ 15
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
3
Elemi függvények deriváltjai
és
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
4
Deriválási szabályok műveletekre
Jelöljük –et -nek és –et -nek
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
5
Érintő egyenletének felírása egy adott pontban
Emlékeztető
Az ábra alapján leolvasható egyenletre szükségünk van
ahhoz, hogy meg tudjuk határozni az érintő
meredekségét.
Ahhoz, hogy meg tudjuk adni egy a-beli érintő egyenes
egyenletét, szükségünk van az a-beli érintő
meredekségére. Mivel a-beli érintőről van szó így
figyelembe kell vennünk azt, hogy az x-szel az a-hoz
tartunk. (
Ezek alapján az a-beli érintő meredeksége:
lesz.
A fentiek alapján pedig fel tudjuk írni az érintő egyenes egyenletét:
lesz.
Nézzünk rá egy feladatot!
Írja fel az y =
görbe érintőjének az egyenletét a (2,1) pontban!
Amennyiben egy megadott pontban kell felírni az érintőt fontos tudni, hogy a koordinátákat,
hogyan értelmezzük, mert szükségünk lesz rájuk a feladat megoldásához. Jelen esetben a 2 fog
megfelelni -nak és az 1 az -nak. {Megjegyzés: Sok feladatban az -t -al jelölik, ez ne
rémisszen el senkit a feladat megoldásától. Ha csak az (vagy ) érték van megadva, akkor ki kell
számolnunk az – t (vagy – t. Ez esetben sem nehéz a dolgunk, hiszen csak be kell írni a
megadott értéket az -ek helyére és meg is kapjuk a másik koordinátát. Ez azért van így, mert
a függvény értékét jelenti, az helyen.}
Szükségünk van – miatt az eredeti függvényünk deriváltjára.
Ha helyen vesszük a deriváltat, akkor megkapjuk az érintő meredekségét.
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
6
Mostmár tudunk mindent az egyenesünk egyenletéhez, mivel jelen esetben:
az egyenletünk. Írjuk be az ismert és kiszámolt értékeket ebbe az
egyenletbe és megkapjuk a feladat megoldását.
Invertálhatóság, inverz deriválhatósága
Emlékeztető
invertálható, ⇒ és
Nézzünk meg egy feladatot!
Bizonyítsuk be, hogy az függvény invertálható, az inverze
deriválható és határozzuk meg értékét!
Mivel , ezért a tételből tudjuk, hogy csak olyan függvények invertálhatóak, melyek
szigorúan monoton függvények és folytonosnak kell lennie!
Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz:
,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő, ha pedig , akkor a függvény
szigorúan monoton csökkenő. (Egyenlőséget megengedve csak monoton növekvő, vagy monoton
csökkenő)
Ezek alapján írjuk fel az függvény deriváltját:
Ez nagyobb, mint 0, az feltétel miatt, ezért szigorúan
monoton növekvő függvényről van szó. Ebből az következik, hogy a függvény invertálható.
-ből következik, hogy . Ezekből az állításokból pedig
következik, hogy , tehát az függvény inverze deriválható.
. Logikusan gondoljuk végig. Ekkor = a, ez akkor és csak
akkor igaz, ha Ez az egyenlet, pedig akkor és csak akkor teljesül, ha
. Ezek alapján
(Megjegyzés: –et már fentebb kiszámoltuk, így helyére 1-et kellett beítnunk.)
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
7
L’Hospital szabály
Emlékeztető
⇒
=
(Megjegyzés: és függvényt külön-külön kell deriválni, nem pedig a hányados deriváltja
szabályt alkalmazni!)
Első feladat:
Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy
típusú kritikus eset lenne, ezért alkalmazzuk a
L’Hospital szabályt.
Ez még mindig
típusú kritikus eset lenne, ezért
újraalkalmazzuk a L’Hospital szabályt.
= 1
Második feladat:
= ? Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy
típusú kritikus eset lenne,
ezért alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.
Alakítsuk át úgy a fenti függvényt, hogy a későbbiek során elemi függvények deriválását és a
deriválási szabályokat is használni tudjuk.
Ezek alapján: határértékét keressük. Mivel az exponenciális függvény folytonos
( ), ezért elég, ha a kitevőben vizsgáljuk a határértéket.
. Vizsgáljuk meg külön a kitevőt.
Képzeletben beírva az 1-et, láthatjuk, hogy ez egy
típusú kritikus eset lenne, ezért
alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.
. Beírva a kitevőbe az így kapott határértéket, azt kapjuk, hogy
. Ezzel megoldottuk a feladatunkat.
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
8
Taylor-polinom-os feladatok
Emlékeztető
–ből következik, hogy
Taylor-polinom körül (Megjegyzés: ⇒
Taylor-sor)
⇒ \
⇒
Lagrange- dék
⇒
⇒
⇒
Speciális eset: (legfeljebb -ed fokú polinomok halmaza) , ⇒
⇒
Bevezető feladat:
Írjuk fel hatványai szerint a polinomot.
Mivel a polinomban a legnagyobb fokszám 3, ezért a harmadfokú Taylor-polinomot célszerű felírni.
Továbbá, mivel hatványai szerint akarjuk felírni, ezért tudjuk, hogy a hatványsor közepű
lesz. Ezek alapján:
egyenlet alapján lehet felírni a
polinomot.
Mivel -at akarunk felírni, így szükségünk van a polinomunk első,második és harmadik
deriváltjára.
⇒
⇒
=
Ezzel megoldottuk a feladatot.
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
9
Második feladat:
Adjunk becslést az alábbi eltérésre!
Ha ránézünk a fenti függvényre, akkor láthatjuk, hogy nagyon hasonlít a szerkezete, az egyik előző
oldalon leírt képlethez. (
Ezek alapján látjuk, hogy továbbá
-ben az -ek mellett nem áll
semmilyen szám, ezért 0 középpontú hatványsort láthatunk és mivel a legnagyobb fokszámú –es
tag az , ezért arra következtetünk, hogy ez egy másodfokú Taylor-polinom lehet. ( )
Első lépésben meg kell vizsgálnunk, hogy ez a Taylor-polinom, az Taylor-polinoma-e.
Azaz
Mivel másodfokú Taylor-polinomot keresünk, ezért szükségünk van első és második
deriváltjára.
⇒
⇒ Tényleg ez az másodfokú Taylor-polinomja.
Az eltérés megbecsléséhez szükségünk van a Lagrange-maradéktag-ra:
A képletek amiket használnunk kell az előzőoldalról:
;
Ezek alapján:
A feltétel miatt tudjuk, hogy
Szükségünk van harmadik deriváltjára.
. Mivel intervallumon vizsgálódunk, ezért
felülrőlbecsülve 1-et kapunk. Ezért:
⇒
⇒
Tehát függvény eltérése az
polinomtól a (0,1) intervallumon
.
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
10
Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok
Emlékeztető
Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke
⇒ . Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely, egy olyan
hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.)
Másodrendű szükséges feltétel: ; ⇒ -ban lokális minimum van,
⇒ -ban lokális maximum van.
előjelet vált -ban
Abszolút szélsőértékek:
Weierstrass-tétel: , kompakt ⇒
Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol vagy a határpontokban.
Feladat:
Határozzuk meg az függvény szélsőértékeit, amennyiben
léteznek.
⇒ (stacionális hely)
0
- - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + +
-ban előjel váltás történik. A táblázat alapján ezen a helyen lokális minimum található,
melynek az értéke. Ez a hely abszolút minimum is. Lokális és abszolút maximuma
nincsen -nek.
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
11
Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései
1. Az értelmezési tartomány meghatározása ( )
2. A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont)
3. Paritás és periodicitás vizsgálat
4. Monotonítás és szélsőérték vizsgálat
5. Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata
6. Asszimptoták vizsgálata
7. Táblázat készítés az átláthatóság miatt
8. A függvény ábrázolása
1.Az értelmezési tartomány meghatározása ( )
Egy kifejezés értelmezési tartománya azon azokat az értékeket jelöli, amelyen az adott
kifejezésben szereplő változók értelmezhetőek. Jelölése függvények esetében:
1. Logaritmus esetén: numerusz > 0 alap > 0 és alap ≠ 1
2. Törtes kifejezés esetén: nevező ≠ 0
3. Gyökös kifejezés esetén: páros kitevőjű gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ha csak
nem a komplex számok halmazán kell vizsgálni az adott kifejezést.
4. Exponenciális kifejezések esetén: ax , ahol a > 0
5. Tangensre:
⇒ ⇒
, ahol
6. Kotangensre:
⇒ ⇒ x ≠ , ahol
2. A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont)
Egy függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre
f(x) = 0
A függvény tengelypontja az a pont, ahol a függvény metszi az y tengelyt.
Kiszámítása: A függvényben x helyére 0-át írunk (x=0).
3. Paritás és periodicitás vizsgálat
Egy f függvényt párosnak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén –
x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=f(x). Páros
függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre.
Egy f függvényt páratlannak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme
esetén –x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=-f(x).
Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. (Megjegyzés: Ha egy
függvény páros vagy páratlan, akkor elegendő részhalmazon vizsgálni, majd a függvény
ábrájának készítésekor a szimmetriát felhasználni.)
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
12
4.Monotonítás és szélsőérték vizsgálat
Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz:
,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő
, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő
,akkor a függvény monoton növekvő
, akkor a függvény monoton csökkenő
Szélsőérték vizsgálatához jól alkalmazható eszköz:
Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke
⇒ . Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely,
egy olyan hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.)
Másodrendű szükséges feltétel: ; ⇒ -ban lokális
minimum van,
⇒ -ban lokális maximum van.
előjelet vált -ban
Abszolút szélsőértékek:
Weierstrass-tétel: , kompakt ⇒
Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol vagy a határpontokban.
5. Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata
Konvexitás:
konvex (alak: ) ⇒ monoton növekvő ⇒
konkáv (alak: ) ⇒ monoton csökkenő ⇒
Inflexiós pontok:
, helyen lehetnek inflexiós pontok.
Akkor lesz a fentebb említett helyen inflexiós pont, ha a függvény az adott helyen konvexitást vált.
(Azaz a függvény megváltoztatja az alakját)
6. Asszimptoták vizsgálata
⇒ vízszintes asszimptotája -nek a
-ben
⇒
függőleges asszimptotája -nek (a 0 környezetében)
⇒ vízszintes asszimptota nincs, de ferde asszimptota lehet!
Ferde asszimptota
Ferde asszimptota meredeksége: (Ha ez végtelen, akkor nincs ferde
asszimptota)
Ferde asszimptota konstans tagja:
ferde asszimptota -ben
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
13
7. Táblázat készítés az átláthatóság miatt
Minta (kinézet miatt)
- - - - - 0 + + + 0 - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
* lok lok lok *
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
konvexitás infl.
* - határértékek a nevezetes helyeken
8. A függvény ábrázolása
Az előbbi pontok alapján, a táblázat segítségével már egyszerű ábrázolni a függvényt egy
koordináta-rendszerben.
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
14
Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat
Végezz teljes függvényvizsgálatot, majd ábrázold az alábbi függvényt:
!
(1)
-ban metszi a tengelyeket
(3)
⇒ nem páros a függvény
⇒ nem páratlan a függvény
Nem periodikus
(4)
⇒
⇒
⇒
(5)
⇒
⇒
⇒
(6) ; ⇒ vízszintes asszimptota -ben
⇒ függőleges asszimptota
(7)
- - - - - - - - - + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+0
l.mx
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + +
konvexitás infl.
⇒ lokális maximum, abszolút maximum; lokális minimum, abszolút minimum
nincs
Inflexiós pont:
(8)
Nagy Krisztián Matematikát Népszerűsítő Projekt ELTE-IK HÖK
Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar
15
Utószó
A jegyzet elsősorban az Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Karán tanuló
hallgatóknak készült Analízis 2 kurzus második zárthelyi dolgozatához.
Remélem tudtam segítséget nyújtani neked a tanuláshoz!
Készítette: Nagy Krisztián
Dátum: 2011.12.14
ELTE-IK Programtervező informatikus BSc 2008
ELTE-IK HÖK 2011. december
Matematikát Népszerűsítő Projekt (MANÉP)
Elérhetőségek:
Nagy Krisztián: valdar(at)ikhok.elte.hu
ELTE-IK HÖK weboldala: http://ikhok.elte.hu
Saját weboldalam: http://people.inf.elte.hu/naksabi
A jegyzet átírás nélkül szabadon terjeszthető!