Gheorghe Andrei

Nelu Chichirim Andrei Velicu

ANALIUA MATAMATICA

Culegoro de prohleme

Confinuitafe, Proprletatoa lui Darboux,

ll{"} */{v}' {Al**pN

#,ffiYP-* F

EDrruRA DtDAcflcA gt pEDAGoctcA, R.A.

Cuprins

I Capitolul I.1.1 Exercilii qi probleme de continuitate

1.1.1

7.7.2

1.1.3

1.2 Soluliir.2.7

7.2.2

r.2.3

Capitolul II2.7 Probleme de continuitate

II9

16

18

27

2T

31

35

4t4T

49

65

b5

77

86

86

95

118

118

t23

137

2.2 Solutii

Capitolul III.3.1 $iruri qi continuitate3.2 Solutii

Capitolul IV.4.1 Convergenta qi limita unor giruri date implicit prin intermediul unei

functii continue

4.2 Solutii

Capitolul V5.1 Limite d

5.2 Solulii

6 Capitolul VI.6.1 Determinarea functiilor continue date printr-o relalie func{ionald de o

variabilS 137

6.2 Solu{ii ......1516.2.\ ......L62

7 Capitolul VII. 2027.7 Determinarea funcliilor continue date printr-o relalie funclionalS de

dou[ sau mai multe variabile 202

7.7.1 Ecualii funclionale 202

7.2 Solutii ......2187.2.1 ......218

8 Capitolul VIII zEL8.1 Continuitate. Proprietatea lui Darboux 2Sl

8.1.1 Unele elemente teoretice 2bl8.2 Solu{ii ......267

8.2.1 ......267

9 Capitolul IX. Zgz9.1 Funclii continue, puncte fixe, puncte intermediare, proprietdli de mdrginire

(nemdrginire) 2g29.2 Solutii ......308

10 Capitolul X. 94410.1 Ecualii qi continuitate 3441O.2Solu!ii ......348

11 Capitolul XI.11.1 Continuitate qi monotonie11.2 Solutii

356

356

361

12 Capitolul XII. g7g

12.1 Compunere qi continuitate JTg

12.2Solu!ii ......384

13 Capitolul XIII.13.1 Functii periodice, funclii convexe(concave), probleme de extrem .

13.1.1 Functii periodice

13. 1.2 Convexitate(concavitate) gi continuitate13.1.3 Extremele func{iilor continue

13.2 Solulii13.2.7

14 Capitolul XIV 4Zb14.1 Problemediversedecontinuitate ...... 42514.2Solu!ii ......430

15 Capitolul XV. 44g15.1 Functiiuniformcontinue ...... 448

15.1.1 Elementedeteorie .... 44J15.1.2 Exerciliiqiprobleme .... 446

l5.2Soiu{ii ......44815.2.r ......448

399

399

399

402

403

405

405

15.2.2 ......452

16 Capitolul XVI. 4Ez16.1 Problemepropuse ..... 4Sz

17 Bibliografie 461

Capitolul I.

1.

1.1 Exercitii qi probleme de continuitate

1.1.1

Sd se determine o,b € JR, astfel incdt funcliile f ,g,h,z: IR -+ iR sd fie continuepe IR.

( '/i2i*2-r. rlI(a)/(r) :i . ";rI bir+i, "t]7( z"-"* r 12(b) o(r) : I r-2 )

lln(br+4)-r. r)2\'( 2(/r x_a),

z ( o(c) h(r):i "I b.e"-2, r)0\( v';z-r*-b *rt

(d) u(r) :{ x2-3t*2' "_::[ -a' r:L

Sd se determine parametrtl m e IR astfel inc6,t functiile de mai jos sd fie continuepe lR.

( z*-vq7n-nn+I, rlII(u)/("):{ '/r-T+'/^2*2, t1r12'I

I lr' - 4mr I 4m2 +mt/Sr -5, r ) 2

(b) g(,) : { ,-:: _;);:::,*rr, :::

(c\ h(r\ : ['"t'(x2 +lml)' r 12\-/ '\'"'

I losn (r2 +m2)2, r >2

S5 se determine a,b e lR astfel incAt funcliile / : 1R -+ lR sd fie continue pe 1R..

( 2"" .30t, r I r(u)/(') :{ t2, r:l

I

[ 2r-a'.3at-t, r]I( to, .00". r < 1

(n)/(r) :{ 18, r:1I s"" 12n" _ 22br), r > 1

( r",.J4'+6o,, r.,-l(c) /(r) :{ 12, r:r

I

|. 20".3"'+6b". r]l( r"'*4b*-4, r.-r

(d) /(r) : { ar3 +br2 - (7a+3b)(z-1), Iz-r 12I

I zo'+4o'-r8, n]2

3.

4. Sd se determine parametrii a,b,c € lR astfel inc6,t funcliile de mai jos sd fiecontinue pe domeniul de definitie, unde /, g, h : JR -+ IR.

( a -2JttI ----7_l-r r<l(u)/(r) :{ ":;;, r:r

I

|. ("' - 2c-2)r * (bc-3)logr- 1, r > I( ?/l'+8m-b oz1| ;t_--a+s;2. :r 1 r

(b) e(r) : { 3, r: II h12+3"-t =;z_;#, r)l( l:":r:, _l,l_:P,l _1"!,r_l . r < rI lz3-sz- 4l+33iz-4;+11' ' \

(c) h(z) :{ c, r:II vr;-,@-1l. ------:i__L' z)l

Sd se studieze continuititea funcgiilor:(") /'(0,*) -+ IR, /(r) : [lnz];(b) s '

IR -+ 1R., s@) : lrlsinm;(c) h:R-+1R,h(u) :{ "t+l ' *+2,o€lR;

I a,, r:0 '

(d) t : R. -+ 1R., t(z) : frlsinnn2;(e) tr : IR. -+ lR, z(r) : lnlcosrr2;(f) T.' : R -+ IR, 'u(z) :2lr] - cosSzi{r}.

5.

6. Fie funclia / : IR. -+ R, "f(r) : (-t)t"t (n t a [f] + b)

Sd se determine constant ele a,b e iR, astfel inc6,t func{ia sd" fie continu d. in n : 2

qi sd fie periodicS, cu perioada principalS, T :6.

10

7. Fie / : JR -+ R qi V(0) o vecindtate a lui zero. Sd se arate cd:

(a) Dacd lf @) - *l 1r',Yr e V(0), atunci / este continud, in r:0 gi sd se

calculeze lim- 9; (V(0) o vecin5tate a lui zero).z--+0 J '

(b) Dacd lf @) - sinzl ( lrl2,Yr € y(0), atunci / este continud in r:0 $i sd

se calculeze 1it r /(') '"- -*--*-.-.-.- ;;b r '(c) Dacd, lf @) - In(1* l"l) - l"ll l r', Vr e I/(0), atunci / esre continu5 inr : 0 $i sd se calculer" lgl #,(d) DacA lf @) - coszl { r2lsinrl, Vr e 7(0), atunci./ este continud in r:0qi sd, se catcuteze j* +n(e) Dacd lf @) - rsinzl < l"lt, Vr e I/(0), atunci / este continud in z:0 Ci

sil se calculeze lim "f(') ,i lim /9:z--+0 / 'z--+0 f,-

(f) DacA lf @) + cosr - 2'1112, Vr e V(0), atunci / este continud in r :0 $isd se calcule"" 1i^ f @) '

'r-+0a)(g) Dacd 13 - 12 < f (") < rr +r,Yr € 1R., atunci / este continud in r:0.Exist a 11,,' "r(*)-1(o)2

J--+o J-u(h) Dacd lf @) - cosrl ( lsinzl, Vr e IR, atunci / este continud,in r:0.(i) Dacd lf @) -2rl < r.arctg(z), Vr € JR, atunci / este continu5 in r:0 qi

sd se calculeze lim /(")-{(o).r+0 tr-r'

(j) DacA lf @) - e'l I 2r2, Vr € IR, atunci / este continud qi derivabild in r : 0

gi sd se calculeze /'(0).(k) Dacd lf @) - arctg(r)l !l*t -3rI2l, Vz € JR, atunci / este continud inz:1Di sd se calculer"

Jry, /(4-/trt.

(l) Dacd lf@) - (r2 - 3r+ 2)l < @ - 2)',Vr e IR., atunci / este continud inr :2 gi sd se calculet" I\irlJ#2

8. Fie / : f0, 1] -+ lR o funclie care satisface relalia: lf @) - arcsinel < 12,Yr € 10,

11. Sd se arate cd / este continud in z :0. Existd j31 Ai=#Et

11

9.

10.

Fie / : 10,2] -+ lR o func{ie.(a) Dacd / satisface relalia: lf @) - rl < | In r * r - 11, Vr, sd se arate cd / estecontinuS,inr:1;(b) Dacd / satisface rela{ia: llnzl - l"- 1l < f@) - I < lr- 1l - llnrl, sd se

arate cd / este continud in r: 1. Existd lyril|ffPtFie func{iile f ,g , D -+ lR. continue.

Sd se arate cd urmdtoarele funclii sunt continue:(a) u(r): max {f (*),s@)h(b) o(z) : min {/(r) , s@)};(") f+("): max {f ("),0}, funclia parte pozitivd a lui /;(a) /-(") : min {f (r),0}, funclia parte negativd a lui /.SX se determine relaliile intre fi, f - qi f .

astfel incAt func{iile de mai

1), r17, r)1)r2-(zm*6)r,

- 3)r - 7mr,

11. Fie / : JR -+ IR. Sd se determine parametrul rz € lR.

jos sd fie continue pe lR..((a.t f(r\:) 2m:trmax{mr'l-*}' r/-2

| ^*-mit{mr,I-*}, r}2( *-

(r) /(") :{r*min{r'2mrt3}' r.--r\ /'\-' l**'*max{r2,mr_ l}, r}l(

(c) f(r):J mrlrr,ax{mr'2r-rl' r'-2| 3mr - min {mr,3r - 2}, n ) 2

(d) f(z) :[ *'*max{mr,2r-l}, r1mI max{mrll,2r}, n>m

(e) f(z) : [ -n*" * max {*'*' + (m - 7)r,2n -| *"'- min {*,, + 2mr - 3,mr - l}( tz* - 3)r * max{m3r3 + (2m2 - 5m

ff\ r(r\ : ) 3mr - 2j ,r 11

| **' + (m - 3)r - min{m3r2 + 2(^2

\ 2mrim-3j ,r)I

12

12. Se considerd funclia / : JR. -+ IR, "f (r) : 12 - 1 qi se definesc funcliile:

(u) s(") :min{,f(t) lt<*};(b) h(r): max{/(t)(c) u(r): max{/(t)

r-I1t<*j;rltlr+1).

Sd se studieze continuitatea functiilor g,h,u.

13. Sd se studieze continuitatea functiilor:(a) /(r) :

" _,?,2i*r(t2 - 3t +2);

(b) g(r) : "_,?i& ,,(t'

- 3t +2).

14. (a) Sd se determine o € lR. astfel inc6,t funclia /, : IR. -+ IR. definitd prin

[ .,tp (3* - 2t - 7), dacd r € (-oo,2]f"(") :1 r1i;i;. 4t-t a), dacd re (2, oo)

\ t)r'

s5, fie continuS.

(b) Sd se determine rn € lR. astfel incAt funclia

I r,rp (3t2 * 2t * l), dacd r € (-oo,2]f-(r) :1 ":ff.](-r2

+ 8t * m), d,acd" re (2, oo)( r(t(r*l'

sX fie continud pe IR..

15. Fie / : (0,oo) -+ Z cuproprietatea 2f@) < " a21tf("),Vr > 0.

Sd se studieze continuitatea lui /.

16.* Sd se cerceteze continuitatea func{iei / : 1R -+ R, "f (r) : ,i!5 {*"}

17.* Fie func{iile f ,g , (0,e) -+ IR,

f

/(r) :l r' 1€(o'11 ' '| \ /(ln(r+l))/:\ "+t. r€(t.e) $re(rr:l.dTl(r)f

Determinali multimea punctelor de discontinuitate ale func{iei g.

18.** Fie (trt(r2to3,04 numere reale pentru care limita

' i) + *, {*. 3} . aa{rr}I : tim o1{z} + oz {z

+

este finit5, unde {.} reprezintd partea fraclionar5.

Ardta{i cd ar * oz I az * 3oa : g.

19.** Fie qirul de numere supraunitare (on)nrr, astfel incA,t,$ar:1.S5, se studieze continuitatea funcliei / : IR -+ IR,

"f (") : ,l55 {ro.}.

13

20. Fie / : IR. -+ R, "f (r) : [r] .{r}. S5, se arate cd / are limitd in fiecare punct finit

din IR.-Z qi nu are limitd in punctele din Z. Care este multimea de continuitate?

21.** Fie /:IR -+ R, ,f(") : [sinr]. Pentru fiecare n, € N* - {1} notbm cu S, suma

discontinuitdtiilor din intervalul 10, n] ale funcliei /.SX se calculeze _ryL+.

22. Fie / : IR. -+ R\([-1,0) U (0, 1]) o funclie definitd astfel: /(r) : (1 + r2)sgnr.(a) Se se arate c5 / este strict crescitoare, continud pe IR.* gi discontinud inr :0;(b) Sd se arate cX funclia /-i este continuS.

( ,-, .- r123. Fie /: lR -+ m, /(r) : i :' 'n ' 2r , unde notAm cu (r) distanqa dintre r

l\ 0 :r:iqi cel mai apropiat intreg de e.

Sd, se studieze continuitatea lui /.

24. Fie funclia / : IR. -+ R, "f (r) : (r I j) numitl rrfunclia de rotunjiretr.

(a) Sd se determine punctele de discontinuitate gi sd se traseze graficul funcliei;(b) Fie functia S@) : lf @) - zl,r e IR. SX se arate cd, g este periodicS, de

perioadd T: 1 qi este continu5 pe JR.

25. SA se arate c5, funclia lui Riemann / : IR + IR,

;r : T,m e Z,n € N*, (m,n) : 1

;r :0;n € IR\Q

este continud in orice punct irational.

26.*** Fie h: lR -+ IR. continud in z6 € 1R. qi func{ia / :lR. -+ R, ,f(") : lh(r)]. Se se

arate c5:

(a) Dacd h("0) 42, atunci / este continud in z6;

(b) DacX h(rs) e Z, atunci / este continud in re dacd gi numai dacd existd o

vecindtate V(rs) a lui zs astfel incAt h(V) C lh(rs),1 + h(zs)].

periodicS. S5 se studieze

,,", :{f

27.* Fie h : lR. -+ JR o functie continuS, neconstantd qi

continuitatea funcliilor:

(u) /,lR -+JR, f(r):{ n'+' ;"*2 .

[ 0 rr:0'

(b) s , lR -+ JR, g(r) : { *n'+' ;r + o

I o ;r:o

t4