analiza matematica

Seria MATEMATIC

ANALIZ MATEMATIC Calcul diferenial

MATHEMATICAL ANALYSIS

Differential calculus

The present book is the first part of the cours of Mathematical Analysis given by the author for many years at the Technical University of Civil Engineering of Bucharest. It contains: Sequences and Series of Numbers, Sequences and Series of Functions, Power Series, Taylors Series, Metric Spaces, Normed and Hilbert Spaces, Functions of Several Variables, Limits and Continuity, Partial Derivatives, Differentiable Functions, Taylors Formula, Local Extremum of a Function, Implicit Functions, Local Conditional Extremum, Dependent Functions.

This list itself demonstrates that the book provides the engineering disciplines with the necessary information of differential calculus of functions with one and several variables.

We tried to offer the fundamental material concisely and without distracting details. We focused on the presentation of basic ideas of differential calculus in order to make it detailed and as comprehensible as possible. The numerous examples also serve this aim.

Besides students in tehnical faculties and those starting a mathematics course, the book may be useful to engineers and scientists who wish to refresh their knowledge about some aspects of mathematics.

Lucrarea a fost realizat n cadrul Contractului de Grant nr. 39643 / 11.08.1998, CNFIS, cod 54, acordat

de ctre Banca Mondial i Guvernul Romniei.

Prof. univ. dr. GAVRIIL PLTINEANU

ANALIZ MATEMATIC

Calcul diferenial

Seria MATEMATIC

ANALIZ MATEMATIC

4

Editura AGIR Bucureti, 2002

ASOCIAIA GENERAL A INGINERILOR DIN ROMNIA EDITURA AGIR, 2002 Editur acreditat de C.N.C.S.I.S. Toate drepturile pentru aceast ediie sunt rezervate editurii. Adresa: Editura AGIR Calea Victoriei, nr. 118, sector 1, 70179 Bucureti Telefon: 401-212 81 04; 401-212 81 06 (redacie) 401-211 83 50 (difuzare) Fax: 401-312 55 31; E-mail: [email protected] Referent: prof. univ. dr. Gheorghe Bucur, Facultatea de Matematic, Universitatea Bucureti Redactor: ing. Adina NEGOI Coperta: Camelia BOGOI Bun de tipar: 15.08.2002; Coli de tipar: 11,75 ISBN 973-8130-90-5 Imprimat n Romnia

Prefa

Lucrarea se adreseaz studenilor din anul nti din universitile tehnice i are la baz experiena de peste 20 de ani a autorului n predarea cursului de Analiz Matematic la Facultatea de Construcii Civile i Industriale din Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti. Materialul prezentat corespunde programei analitice din semestrul nti i este mprit n patru capitole: iruri i serii de numere reale, iruri i serii de funcii reale, Spaii metrice. Spaii normate i Spaii Hilbert, Calculul diferenial al funciilor de mai multe variabile.

n vasta ofert de cursuri de Analiz Matematic de pe piaa crii din ara noastr, diferena este dat de msura n care se pstreaz un echilibru rezonabil ntre rigoare i accesibilitate. Acesta a fost criteriul de baz n scrierea acestui curs i sperm c, mcar parial, am reuit acest lucru.

Bucureti, februarie 2002

G. Pltineanu

Cuprins

1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE............................................................ 9

1.1. Numere reale.................................................................................................. 9 1.2. iruri de numere reale (complemente)......................................................... 16 1.3. Dreapta ncheiat. Limitele extreme ale unui ir ......................................... 21 1.4. Serii numerice convergente i divergente.................................................... 25 1.5. Serii cu termeni pozitivi............................................................................... 27 1.6. Criterii de convergen pentru serii cu termeni oarecare ............................. 39 1.7. Calculul aproximativ al sumei unor serii ..................................................... 41 1.8. Serii absolut convergente............................................................................. 44 1.9. Operaii cu serii convergente ....................................................................... 47

2. IRURI I SERII DE FUNCII REALE ........................................................... 49

2.1. Convergent simpl (punctual) i convergen uniform .......................... 49 2.2. Formula Taylor ............................................................................................ 60 2.3. Serii Taylor i Mac Laurin........................................................................... 66 2.4. Serii de puteri............................................................................................... 71

3. SPAII METRICE. SPAII NORMATE. SPAII HILBERT .......................... 79

3.1. Spaii metrice. Principiul contraciei ........................................................... 79 3.2. Spaii normate.............................................................................................. 87 3.3. Spaii Hilbert................................................................................................ 88 3.4. Serii n spaii normate.................................................................................. 92 3.5. Funcii elementare Formulele lui Euler ....................................................... 96 3.6. Funcii de matrice ........................................................................................ 99 3.7. Elemente de topologie n n ...................................................................... 102 3.8. Limite de funcii ........................................................................................ 112 3.9. Funcii continue ......................................................................................... 118 3.10. Proprietile funciilor continue pe mulimi compacte i conexe ............ 122

4. CALCULUL DIFERENIAL AL FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE..................................................................................................... 128

4.1. Derivate pariale Difereniabilitate ............................................................ 128 4.2. Difereniabilitatea funciilor vectoriale. Matrice iacobiene ....................... 136 4.3. Difereniabilitatea funciilor compuse ....................................................... 138 4.4. Difereniala de ordinul nti i invariana formei sale ............................... 142

1. iruri i serii de numere reale

9

4.5. Derivate pariale de ordin superior. Difereniale de ordin superior ........... 144 4.6. Derivatele pariale de ordinul doi ale funciilor compuse de dou

variabile..................................................................................................... 150 4.7. Formula Taylor. Extremele funciilor de mai multe variabile ................... 152 4.8. Teorema de inversiune local .................................................................... 158 4.9. Transformri regulate ................................................................................ 162 4.10. Funcii implicite....................................................................................... 165 4.11. Funcii dependente i independente......................................................... 170 4.12. Extreme cu legturi.................................................................................. 175 4.13. Schimbri de variabile ............................................................................. 180 4.14. Elemente de teoria cmpurilor................................................................. 182

BIBLIOGRAFIE................................................................................................... 188


1.1. Numere reale

n cele ce urmeaz vom nota cu mulimea numerelor naturale, adic mulimea { }0,1,2, , ,nK K i cu { }* \ 0=

Pe mulimea numerelor naturale sunt definite dou operaii: adunarea (notat cu +) i nmulirea (notat cu ).

Deoarece elementele din nu sunt simetrizabile nici fa de adunare, nici fa de nmulire, operaiile de scdere i mprire nu sunt posibile n . ( nu are structur de grup nici fa de adunare, nici fa de nmulire).

*

Pentru a face posibil operaia de scdere, la mulimea numerelor naturale se adaug mulimea numerelor negative i se obine astfel mulimea numerelor ntregi { }, , , 2, 1,0,1,2, , ,n n= K K K K ( ), ,+ este inel comutativ. Urmtoarea extensie a numerelor este mulimea numerelor raionale , adic mulimea numerelor de forma p q , unde p, q , q 0, p i q prime ntre ele. n sunt definite cele patru operaii aritmetice: adunarea, scderea, nmulirea i mprirea (cu excepia mpririi la zero). Din punct de vedere algebric este corp comutativ.

( , ,+ )nc din antichitate s-a observat c mulimea numerelor raionale nu este

suficient de bogat pentru a servi la exprimarea msurii oricrei mrimi din natur. Construcii geometrice foarte simple se conduc la mrimi a cror msur nu se poate exprima cu ajutorul numerelor raionale. Cel mai simplu exemplu este diagonala unui ptrat de latur 1. ntr-adevr, conform teoremei lui Pitagora, ptratul lungimii acestei diagonale este 2 i este binecunoscut faptul c nu exist nici un numr raional al crui ptrat s fie egal cu 2. Este deci necesar s adugm la mulimea numerelor raionale i numere de alt natur, pe care le numim numere iraionale i obinem mulimea numerelor reale .

Dac primele extensii ale mulimii numerelor naturale i anume i , au fost determinate de necesiti algebrice, extensia de la la este determinat de necesiti topologice (de convergen). Mulimea numerelor raionale sufer de o anumit "incompletitudine", deoarece, n aceast mulime exist iruri monotone i


11

mrginite care nu au limit (n ). Vezi de exemplu irul 0 1a = ; ; ;

1 1,4a =2 1,41a = 3 1,414a = ; a crui limit este 2 . Prin crearea mulimii

numerelor reale se nltur acest "defect". n , orice ir monoton i mrginit are o limit. Nu ne propunem s

prezentm aici construcia numerelor reale. O s spunem numai c se poate construi o mulime care conine corpul numerelor raionale , pe care sunt definite dou operaii, adunarea (notat cu +) i nmulirea (notat cu ) i o relaie de ordine (notat ) astfel nct ( ), , ,+ este corp comutativ total ordonat, care satisface n plus urmtoarele proprieti:

(P.A.) (Axioma lui Arhimede) Pentru orice x i orice y , y > 0 exist n astfel nct ny x. (PC) (Axioma lui Cantor) Dac { }na i { }nb sunt dou iruri de numere raionale care au urmtoarele

proprieti: 1) 1 2 2n na a a b b b K K K 12) ( )lim 0n n

nb a =

*)

atunci exist c (unic) astfel nct na c bn , n . Prin urmare, din punct de vedere algebric, este grup abelian fa de

adunare, avnd elementul neutru 0, iar \ {0} este grup abelian fa de nmulire, avnd elementul neutru 1. n plus are loc proprietatea de distributivitate: . ( ) , , ,x y z xy xz x y z+ = +

Relaia de ordin "" este total, adic pentru orice x, y avem sau x y sau y x i compatibil cu structura algebric:

x y i x y atunci x x y y+ + x y i 0 atunci x y Din faptul c este corp comutativ total ordonat rezult toate regulile de

calcul cu numere reale. Observaia 1.1.1. Axioma lui Arhimede este echivalent cu urmtoarea

proprietate: x , [x] astfel nct [x] x < [x] + 1 ([x] se numete partea ntreag a lui x).

ntr-adevr, dac x , atunci [x] = x. Dac x \ i x > 0, atunci considernd n axioma lui Arhimede y = 1, rezult c exist n astfel nct x < n. Fie xn cel mai mic numr natural mai mare ca x i fie [x] = xn 1. Se verific imediat c: [x] x < [x] + 1. *) > 0, astfel nct *n n nb a < , n n .

ANALIZ MATEMATIC

12

Dac x \ , x < 0, atunci [x] = [x] 1. Reciproc, fie x i y > 0. Dac notm cu n =+ 1xy

+ , atunci

xny y xy

> = . Propoziia 1.1.1. Pentru orice x, y n situaia x < y exist r astfel

nct x < r < y.

Demonstraie

Cazul 1: x = 0 < y. Deoarece 1n 0, exist astfel nct *0n

0

1n

< y i

alegem r = 0

1n

.

Cazul 2: 0 < x < y. Fie a = ( )1 02

y x > i fie 1r cu proprietatea . 10 r a< r > y. Alegem

r = r . Definiia 1.1.1. O mulime A se numete numrabil dac exist o aplicaie

bijectiv :f A . Dac notm cu ( )na f n= , n , rezult c o mulime este numrabil dac elementele sale pot fi puse sub forma unui ir { }1 2, , , ,nA a a a= K K

Se observ uor c o reuniune finit de mulimi numrabile este de asemenea o mulime numrabil.

Propoziia 1.1.2. Mulimea numerelor raionale este numrabil. Demonstraie Elementele mulimii + pot fi puse sub forma urmtorului tablou:


13

11

21

31

41

12

22

32

42

13

23

33

43

14

24

34

44

Urmnd sgeile, se observ c elementele mulimii + se pot pune sub

forma unui ir

=+ 1 2 1 1 2 3 4, , , , , , ,............1 1 2 3 2 1 1

, de unde rezult c este numrabil. n mod analog + este numrabil. Cum

{ }0+ = U U rezult c mulimea numerelor raionale este numrabil. Propoziia 1.1.3. Mulimea [ ] { }0,1 : 0 1x x= nu este numrabil. Demonstraie Presupunem prin absurd c mulimea [0, 1] este numrabil, deci c [ ] { }1 20,1 , , , ,......nI x x x= = K . mprim intervalul I n trei intervale nchise egale. Exist cel puin un

subinterval (dintre acestea) care nu-l conine pe 1x . Notm cu acest interval. mprim acum intervalul n trei pri egale. Exist cel puin un interval care nu-l conine pe

1I

1I 2I

2x . Procednd n continuare n acest mod obinem un ir de intervale nchise cu proprietatea c 1I 2I nI n nx I . Pe de alt parte observm c lungimea intervalului este nI

13n

.

Dac notm cu , respectiv , extremitile intervalului , obinem dou

iruri de numere raionale na nb nI

{ }na , { }nb care ndeplinesc condiiile din axioma lui Cantor. Rezult c exist y astfel nct

1n

ny I I

= I .

ANALIZ MATEMATIC

14

Pe de alt parte este evident c ny x pentru orice n, deci y I. Am ajuns astfel la o contradicie.

Corolarul 1. Pentru orice , ,a b a b


15

Dac notm cu ( )2 1max ,a a= 2a 2 i inem seama c 1x x , rezult 2 22

12

2x a x < < . Evident . n continuare se poate arta prin inducie complet c irul {

2a a 1}na este cresctor. Analog se poate arta c { }nb poate fi ales

descresctor.

Deoarece ( ) 110 2n n n n nb a y x < < + , rezult c nlim ( ) 0n nb a = . Din axioma Cantor rezult c exist z , unic, astfel nct na z bn , n. Cum { }nx este cresctor avem: 1 1 ,

2 2n n k n kn k n kx x a z k+ ++ + (1.2)

n continuare avem 1 ,2

n n kx z k+ , de unde rezult 0nx z i deci ,nx z n . n mod asemntor se arat c ,nz y n . Observaia 1.1.2. O mulime de numere reale A se numete majorat

(minorat) dac exist b astfel nct ( )x b x b , x A. Numrul b se numete majorant (minorant). Este evident c dac A admite

un majorant (minorant) atunci admite o infinitate de majorani (minorani). O mulime se numete mrginit dac este majorat i minorat.

Se numete marginea superioar (inferioar) a mulimii A cel mai mic majorant (cel mai mare minorant) al mulimii A.

Marginea superioar a mulimii A se noteaz cu supA, iar marginea inferioar cu infA.

Teorema 1.1.1. Orice mulime de numere reale majorat (minorat) are

margine superioar (inferioar). Demonstraie Vom demonstra existena marginii superioare. Dac mulimea A e finit,

adic { }1 2, , , pA a a a= K , atunci evident { }1 2sup max , , , pA a a a= K . Fie A majorat i infinit i fie a, b astfel nct b este majorant pentru A,

iar a nu este majorant pentru A. Fie c mijlocul intervalului [a, b]. Dac c este majorant pentru A, notm cu [ ]1 1,a b intervalul [ ],a c , iar dac c

nu este majorant pentru A notm cu [ ]1 1,a b intervalul [ ],c b . Fie mijlocul intervalului . Procednd ca mai nainte, notm cu

2c

[ 1 1,a b ] [ ]2 2,a b intervalul

ANALIZ MATEMATIC

16

[ ]1 2,a c dac este majorant pentru A, respectiv intervalul 2c [ ]2 1,c b , dac nu este majorant pentru A i aa mai departe.

2c

Se obin astfel dou iruri de numere raionale { }na , { }nb cu urmtoarele proprieti:

1) 1 2 2n na a a b b b K K K 12) nlim ( )n nb a = nlim 02n

b a =

3) pentru orice este majorant, iar nu este majorant al mulimii A. *, nn b naDin axioma lui Cantor rezult c exist M astfel, ,

n . Observm c M = supA. ntr-adevr, M este majorant pentru A, pentru c n caz contrar, exist x A astfel nct M < x. Deoarece

n na M b

nlim ( )n nb a = 0, exist cu proprietatea . *0n 0 0n nb a x M <

n continuare avem ( )0 0n nb x a M x< + , ceea ce contrazice faptul c este majorant pentru A. Artm acum c M este cel mai mic majorant al

mulimii A. S presupunem prin absurd c exist M' < M, M' majorant pentru A. Fie astfel nct

0nb

*1n 1 1n nb a M M < . Mai departe avem:

( )1 1n na M b M M > + de unde rezult c este majorant pentru A. Am ajuns astfel la o contradicie. n concluzie, M este cel mai mic majorant al mulimii A, deci marginea superioar a mulimii A. Demonstraia existenei marginii inferioare este analog.

1na

Observaia 1.1.3. M este marginea superioar a mulimii A dac i

numai dac 1) ,x M x A 2) 0, x A > astfel nct M x < . ntr-adevr, dac M = supA, atunci M este majorant pentru A, de unde

rezult 1). Deoarece M este cel mai mic majorant al mulimii A, rezult c > 0, M nu este majorant pentru A, deci . Fie acum M cu proprietile 1) i 2). Din 1) rezult c M este majorant pentru A. Fie

x M > M M < i fie

. Din 2) rezult c exist 0M M = > x A astfel nct x M M > = . Prin urmare M' nu este majorant pentru A i deci M = supA.


17

1.2. iruri de numere reale (complemente)

Reamintim c un ir de numere reale { }na se numete convergent (are limit finit) dac exist l astfel nct > 0, un rang n astfel nct avem n n na l < .

Definiia 1.2.1. Fie { }na un ir de numere reale i 1 2 nk k k< < <

[ ]2 2 2,kx a b . Procednd n continuare n mod asemntor rezult c exist un ir strict

cresctor de numere naturale

ANALIZ MATEMATIC

18

1 2 nk k k< < < 0, astfel nct *n ,m n n avem m nx x < . Notnd cu p = m n (dac m > n), respectiv p = n m (dac m < n) obinem

urmtoarea definiie echivalent: { }nx este fundamental dac > 0, astfel nct i avem

*n n n *p n p nx x+ < .

Lema 1.2.2. Orice ir fundamental este mrginit. Demonstraie Fie { }nx un ir fundamental. Pentru = 1 exist astfel nct *1n

1n p nx x+ < , 1n n , . *p Pentru 1n n= rezult

1 1 1n p nx x+ < , , deci *p , .

1 1 11 1n n p nx x x+ < < + *p Dac notm cu { }1 11 1min , , , 1n na x x x= K i cu { }1 11 1max , , , 1n nb x x x= +K

atunci , n . na x b Teorema 1.2.1. (Criteriul general de convergen al lui Cauchy) Condiia necesar i suficient ca un ir de numere reale s fie convergent

este s fie fundamental. Demonstraie Necesitatea. Fie { }nx un ir convergent, avnd limita l . Pentru > 0,

astfel nct *n 2nx l < , n n . Dac m n , atunci 2mx l

< i

mai departe ( ) ( )2 2m n m n m n

x x x l l x x l x l = + + < + = . Aadar, avem ,n m n m nx x < , deci { }nx este fundamental.

Suficiena. Fie { }nx un ir fundamental. Pentru > 0, astfel nct

*n ,n m n avem:


19

2n m

x x < (1.3) Pe de alt parte, din Lema 1.2.2. rezult c irul { }nx este mrginit, iar din

Lema 1.2.1, c admite un subir nkx convergent. Fie lim nknl x= i fie

astfel nct:

*n

2nk

x l < , n n . (1.4) Dac i ( )max ,n n n = n n , atunci din (1.3) i (1.4) rezult:

2 2n n n nn n k k n k k

x l x x x l x x x l = + + < + = . Aadar, nx l < pentru orice n n , deci { }nx este convergent i are limita l.

Criteriul general de convergen al lui Cauchy stabilete c pentru irurile de numere reale noiunile de ir convergent i ir fundamental sunt echivalente. Prin urmare, este suficient s verificm pentru un ir c este fundamental (deci o condiie mai slab) ca s tragem concluzia c este convergent.

Exemplu: S se studieze convergena irului cu termenul general

2cos cos 2 cos

2 2 2n n

x xa = + + +K nx (x oarecare fixat). Verificm c irul { }na este fundamental. ntr-adevr avem:

( ) ( )1 1cos 1 cos 1 12 2 2n p n n n p nn x n p x

a a+ + + ++ +

2n p+ = + + + +K K =

1

111 1

n212 212

pn+

= , astfel nct *n

12

n p n na a+ < < , n n i . Aadar, irul *p { }na este fundamental i deci convergent.

Datorit importanei deosebite pentru analiza matematic a criteriului general de convergen al lui Cauchy, prezentm n continuare o alt demonstraie a sa, mai precis a implicaiei: orice ir fundamental este convergent.

Fie { }nx un ir fundamental. Pentru Fie 12k

= exist astfel nct *kn

ANALIZ MATEMATIC

20

12

n m kx x < , . (1.5) , kn m nn particular avem:

12k

n n kx x < , . (1.6) kn n

Pentru 11

2k+ = exist *1kn + astfel nct

11

2n m kx x + < , 1, kn m n + . (1.7)

Dac alegem ( )1 1max ,k kn n n+ +> kn

, atunci

i 1k kn + > 11

2k kn n kx x+ < .

Prin urmare dac { }nx este fundamental, exist un subir al su { }knx cu proprietatea:

11

2 2k k kn n nkx x x+ < < +

1k , k . (1.8)

Dac notm cu 11

2kk n ka x = i 1

12k

k n kb x = + atunci irurile { }ka i { }kb satisfac condiiile Propoziiei 1.1.4. ntr-adevr, innd seama de (1.8) avem:

11 11 1 1 1 1 0

2 2 2 2 2k kk k n n k k k k ka a x x++ = + > + =1

11 1 1

1 1 1 1 1 02 2 2 2 2k k

k k n n k k k k kb b x x++ = + + < + =

21 0

2k k kb a = pentru k .

Prin urmare, exist x astfel nct 1

12 2k

n k k nkx a x b x = = + 11

k k , k . (1.9) Din (1.8) i (1.9) rezult

1

32k

n kx x+ < , k . (1.10)

Aadar, subirul { }knx este convergent i are limita x. Fie > 0 i astfel nct *n

2knx x < , k n . (1.11)

Fie astfel nct *n


21

2m n

x x < , ,m n n (1.12) Dac notm cu ( )max ,n n n = , atunci din (11) i (12), pentru avem: n n

2 2k kn n n n

x x x x x x + < + = , de unde rezult c { }nx converge la x.

Teorema 1.2.2. Orice ir monoton i mrginit este convergent. Demonstraie Fie { }nx un ir monoton cresctor i mrginit. Deoarece mulimea

{ };nx n este majorat, din Teorema 1.1.1. rezult c exist { }sup ;nM x n= . Din Observaia 1.1.2. rezult c nx M , n i > 0, n astfel nct

nM x < . Deoarece irul { }nx este monoton cresctor, rezult n nx x , . n n

Prin urmare, pentru orice n n avem: , adic nM x M M < + nx M < , (1.13) de unde rezult c { }nx este convergent i are limita M.

Cel mai cunoscut exemplu de aplicaie a Teoremei 1.2.2. este irul 11

n

na n = + . Se tie din liceu c acest ir este monoton cresctor i mrginit

( 2 , n ). Limita sa se noteaz cu e. Deci 3na < 1lim 1n

ne

n = + . Despre

numrul e se poate arta c este iraional i valoarea sa este aproximativ egal cu e 2,71828.

n continuare prezentm o alt aplicaie interesant a Teoremei 1.1.1. Exemplu. Fie irul cu termenul general

1 1 112 3n

an

= + + + + K ln n . Vom arta c acest ir este monoton descresctor i mrginit. Pentru aceasta folosim urmtoarea inegalitate cunoscut din liceu ( )ln 1 x x+ < , x > 1, x 0. (1.14) ntr-adevr,

11 ln

1 1n nna a

n n+ = ++ + =1 1 1 1ln 1 0

1 1 1n n n n

1+ < = + + + + , .

*nAadar , . 1n na + < a 1n

ANALIZ MATEMATIC

22

Pe de alt parte, deoarece 1 1ln 1n n

> + = 1ln n

n+ , vom avea:

1 1 11 ln >2 3n

a nn

= + + + + K 2 3 1ln ln ln ln1 2

n nn++ + + =K

= ( )2 3 4 1ln ln ln 1 ln 01 2 3

n n n nn+ = + >K 0na > , n 1.

Rezult c irul { }na este convergent. Limita sa se noteaz cu C i se numete constanta lui Euler i este aproximativ egal cu 0,5772156.

Dac notm cu 1 1 11 l2 3n

n Cn

= + + + + K n , atunci { }n este un ir

de numere pozitive, descresctor, cu lim 0nn = . Rezult urmtoarea identitate:

1 1 11 ln2 3 n

n Cn

+ + + + = + + K , (1.15) care se dovedete util n aplicaii i va fi folosit mai departe.

1.3. Dreapta ncheiat. Limitele extreme ale unui ir

Reamintim c prin dreapta ncheiat se nelege mulimea { };= U . Pe mulimea se consider relaia de ordine obinut prin prelungirea relaiei de ordine de pe astfel: , < x < i x = nx < ), . n nSe folosesc notaiile: lim

n nx = (respectiv limn nx = ). Propoziia 1.3.1. Orice ir monoton de numere reale are limit n . Orice

ir de numere reale conine un subir care are limit n .


23

Demonstraie Fie { }nx un ir monoton cresctor de numere reale. Dac { }nx este mrginit

superior, atunci { }nx este convergent, deci are limit finit. (Teorema 1.2.2.) Dac { }nx nu este mrginit superior, atunci pentru , . Cum {nx > }nx este cresctor vom avea , nx > n n , deci lim

n nx = + . Dac { }nx este descresctor se procedeaz n mod analog.

Fie acum { }nx un ir de numere reale oarecare. Dac { }nx este mrginit, atunci din Lema Cesro rezult c exist un subir { }knx convergent. S presupunem c { }nx nu este mrginit (de exemplu nu este mrginit superior). Vom arta n acest caz c exist un subir care are limita +. ntr-adevr, exist o infinitate de termeni ai irului mai mari ca 1. Fie . De asemenea, exist o

infinitate de termeni ai irului mai mari ca 2. Atunci putem alege astfel nct . Construim astfel prin inducie un ir strict cresctor de numere

naturale {

1 1kx >2k k> 1

2 2kx >}nk cu proprietatea nkx n> . Rezult limn nkx = .

Definiia 1.3.2. Fie { }nx un ir de numere reale i a . Spunem c a

este punct limit pentru irul { }nx dac exist un subir { }nkx astfel nct . lim nkn

a x= Observaia 1.3.1. Dac un ir are limit, atunci acest ir are un singur punct

limit care coincide cu limita sa. Exemple 1) irul are dou puncte limit 1 i 1. ( )1 nnx = 2) irul are dou puncte limit 0 i . ( )1 nnx n =3) irul nx n= are un singur punct limit .

4) irul ( )1 nnx n= are un singur punct limit 0.

Teorema 1.3.1. Pentru orice ir de numere reale { }nx exist un cel mai mic

punct limit (finit sau nu) i un cel mai mare punct limit (finit sau nu). Demonstraie

ANALIZ MATEMATIC

24

Dac { }nx nu este majorat, atunci din Propoziia 1.3.1. rezult c exist un subir care are limita +. Aadar, + este punct limit i evident este cel mai mare.

S presupunem acum c irul { }nx este majorat i s notm cu A mulimea punctelor sale limit finite. Dac A este vid, atunci din Lema Cesro rezult c { }nx nu este mrginit inferior. n aceast situaie este singurul punct limit i deci i cel mai mare. S presupunem acum A . Cum { }nx este majorat, rezult c i A este majorat, deci exist supA (Teorema 1.1.1.). S observm ns c = supA A. ntr-adevr, din definiia marginii superioare rezult c exist astfel nct

*ppa A 1 pap < .

Pe de alt parte, pentru exist un subir al irului pa { }nx convergent la . Aadar, pentru exist pa 1a 1kx astfel nct 1 1 1kx a < . Pentru exist 2a 2kx ,

astfel nct 2k k> 1 2 212k

x a < . Prin inducie construim un ir de numere naturale 1 2 nk k k< < < L exist un numr finit de termeni ai irului mai mari

ca b.


25

n mod analog, limita inferioar l, cnd este finit, este caracterizat de proprietile:

a) Pentru orice a < l exist un numr finit de termeni ai irului mai mici ca a.

b) Pentru orice b > l exist o infinitate de termeni ai irului mai mici ca b. ntr-adevr, s justificm afirmaia n cazul limitei superioare L. Din a) i b)

rezult c exist o infinitate de termeni ai irului n intervalul *n1 1,L Ln n

+ . Se poate construi prin inducie un ir strict cresctor de numere

naturale { }nk astfel nct nkx 1 1,L Ln n + . Rezult

2nkx L n < i deci

nkx L . Aadar, L este punct limit al irului. Din proprietatea b) rezult c L este cel mai mare punct limit al irului.

Am fcut mai nainte observaia c orice mulime de numere reale este mrginit n . n particular, orice ir de numere reale, este mrginit n . Fie m = { }inf ;nx n i M = { }sup ;nx n . Urmtoarele inegaliti sunt evidente: . m l L M +

Exemplu. Fie irul ( ) ( )1 1 12

n n

nx n + = + . Observm c

1 daca este impar

1 1 daca este par.n

nnx

nn

= +

(

(

Aadar, irul conine dou subiruri convergente care au limitele 0, respectiv 1. Rezult c l = 0 i L = 1.

Subirul 1n

este cresctor, deci 1 este cel mai mic termen al su, iar

subirul 1 1n

+

l=

este descresctor, deci cel mai mare termen al su este 2. Rezult

m = 1, M = 2. Aadar, avem: m = 1 < l = 0 < L = 1 < M = 2. Propoziia 1.3.2. Condiia necesar i suficient ca un ir s aib limit

(finit sau nu) este ca . limsup liminfn nL a a= = Demonstraie

ANALIZ MATEMATIC

26

Necesitatea. Dac irul are limit, atunci irul are un singur punct limit, care coincide cu limita sa. Rezult lim n

nL l x= = .

Suficiena. S presupunem c L l a= = . Din Observaia 1.3.2. rezult > 0, n intervalul ( ),a a + se afl o infinitate de termeni ai irului, iar n afara acestui interval, se afl un numr finit de termeni ai irului. Rezult

. Dac atunci lim nn

a = x L l a= = = + lim nn x = + , iar dac atunci

L l a= = = lim n

nx = .

1.4. Serii numerice convergente i divergente

Fie { }nu un ir de numere reale. Asociem acestui ir urmtorul ir:

1 1

2 1 2

1 2n n

s us u u

s u u u

== +

= + + +KKKKKKKKK

KKKKKKKKKK

Definiia 1.4.1. Perechea { } { }( ),n nu s se numete serie definit de irul { }nu

i se noteaz cu

sau 1

nn

u

= 1 2 nu u u+ + + +K K (1.16)

Elementele irului { }nu se numesc termenii seriei, iar irul { }ns se numete irul sumelor pariale. Seria (1.16) se numete convergent dac irul sumelor pariale { }ns este convergent; limita s = lim n

ns se numete suma seriei i se

obinuiete s se scrie:

1

nn

s u

== (1.17)

Dac irul sumelor pariale { }ns este divergent (nu are limit sau are limit infinit) spunem c seria (1.17) este divergent.

Exemple 1. Seria geometric

2 na aq aq aq+ + + + +K K


27

Suma parial 2 1 11

nn

nqs a aq aq aq aq

= + + + + = K pentru q 1.

Dac 1q < , atunci lim 0nn

q = i deci exist lim 1nnas

q = . Prin urmare,

dac 1q < seria geometric este convergent i suma sa este 1

asq

= . Dac q = 1, atunci ns n a= i lim n

ns = .

Dac q = 1, atunci daca este impar0 daca este par.na n

sn

= ((

irul { }ns nu are limit n acest caz. Dac q > 1, atunci lim n

nq = + i deci lim nn s = .

Dac q < 1, atunci irul { }nq nu are limit i deci irul { }ns nu are limit.

n concluzie, pentru 1q seria geometric este divergent. 2. Seria armonic

1 1 112 3 n

+ + + + +K K

Suma parial 1 1 11 ln2 3n n

s n Cn

= + + + + = + + K lim 0nn = unde (vezi

subcap. 1.2, formula (1.15)). Rezult lim nn

s = + , deci seria armonic este divergent.

Propoziia 1.4.1. Dac seria 1

nn

u

= este convergent, atunci . lim 0n

nu =

Demonstraie Fie s = lim n

ns . Deoarece 1n n nu s s = , rezult lim 0nn u s s = = .

Afirmaia reciproc nu este n general adevrat. Exist serii divergente cu proprietatea (de exemplu seria armonic). lim 0n

nu =

Din Propoziia 1.4.1 rezult urmtoarea observaie util n aplicaii:

ANALIZ MATEMATIC

28

Observaia 1.4.1. Dac 0, atunci seria lim nn

u 1n

nu

= este divergent.

Exemplu: Seria ( )( )

3

21

ln 2

ln 3

n

nn

e

e

=

++ este divergent, deoarece

=lim nn

u( )( )

3 3

2 2

ln 1 2lim

ln 1 3

n n

n nn

e e

e e

+

=+

( )( )

3

2

3 ln 1 2 3lim 022 ln 1 3

n

nn

n e

n e

+ +

= + +

.

Teorema 1.4.1. (Criteriul general de convergen al lui Cauchy)

Condiia necesar i suficient ca seria 1

nn

u

= s fie convergent este ca

pentru > 0 s existe , astfel nct pentru *n n n i s avem

*p1 2n n n pu u u+ + ++ + + 0, astfel nct *n

1 2n p n n n n ps s u u u+ + + + = + +


29

Teorema 1.5.1. Condiia necesar i suficient ca o serie de termeni pozitivi

s fie convergent este ca irul sumelor pariale s fie mrginit. Demonstraie Dac seria este convergent, atunci irul sumelor pariale este convergent i

deci mrginit. Condiia este i suficient, pentru c irul sumelor pariale al unei serii cu

termeni pozitivi este monoton cresctor i dac este n plus i mrginit, rezult c este convergent (Teorema 1.2.1.).

Teorema 1.5.2. (Criteriul I de comparaie)

Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Presupunem c exist

astfel nct 1

nn

u

=

1n

nv

=

*k nu vn , n (1.18) k

Atunci: a) Dac seria converge, rezult c i seria 1

nn

v

=

1n

nu

= converge.

b) Dac seria diverge, rezult c i seria 1

nn

u

=

1n

nv

= diverge.

Demonstraie Din Observaia 1.4.2 rezult c, suprimnd eventual primii k 1 termeni din

cele dou serii, putem presupune c nu vn , . Dac notm cu *n ns = i cu , atunci din (1.18) rezult ,

. 1 2 nu u u= + + +K 1 2n v v v = + + +K n n ns

*nDac este convergent, atunci

1n

nv

= { }n este mrginit deci i { }ns va fi

mrginit. Din Teorema 1.5.1 rezult c 1

nn

u

= este convergent.

b) Dac este divergent, atunci 1

nn

u

= lim n

ns = i deci = .

Rezult c seria este divergent.

lim nn

1n

nv

=

Observaia 1.5.1. n enunul teoremei precedente inegalitatea (1.18) poate fi

nlocuit cu inegalitatea

ANALIZ MATEMATIC

30

,n nu c v n k , (1.18') unde c este un numr constant strict pozitiv.

ntr-adevr, natura seriilor 1

nn

v

= i (

1n

nc v

=) este evident aceeai.

Teorema 1.5.3. (Criteriul de condensare al lui Cauchy)

Fie o serie cu termeni pozitivi cu proprietatea c irul 1

nn

u

= { }nu este

descresctor. Atunci seriile i 1

nn

u

= 2

12 nn

nu

= au aceeai natur.

Demonstraie

Fie cu proprietatea *k 2kn < . Deoarece { }nu este un ir descresctor de numere pozitive avem:

( ) ( )11 1 1 2 32 1 2 2 1k kn ns u u u u u u u u u = + + + + = + + + + + + K K K K k12k

111 2 122 2 kku u u u + + + = + K

(cu notm irul sumelor pariale al seriei n 212 nn

nu

= ).

Dac seria este convergent i are suma , rezult ,

i deci seria este convergent.

212 nn

nu

= 1ns u< +

*n1

nn

u

=

Pe de alt parte, dac vom avea: 2kn ( ) ( )11 1 1 2 3 42 2k kn ns u u u u u u u u u u= + + + + = + + + + + + + K K K K 2k ( )21 21 2 4 1 22 21 12 2 2 2 22 2k kk ku u u u u u u u + + + + = + + + +K K 2 = ( )1 212 ku= + .


31

Dac seria diverge, rezult 2

12 nn

nu

= 2lim kk = i deci .

Aadar, seria

lim nn

s =

1n

nu

= este divergent.

Exemple 1. Seria armonic generalizat

Considerm seria 1

1

n n

=

, > 0, numit seria armonic generalizat. Deoarece > 0, termenii seriei descresc i se poate aplica Teorema 1.5.3.

Rezult c seria 1

1

n n

=

are aceeai natur cu seria ( )112n

n

= , care este o serie

geometric, cu raia . 12q =Dac 1 , atunci i 1q

1

n

nq

= diverge.

Dac > 1, atunci q < 1 i 1

n

nq

= converge.

n particular, pentru = 1 obinem o nou demonstraie a faptului c seria armonic

1

1

n n

= este divergent.

2. Seria ( )21

logn an n

=

, unde a > 1 este convergent pentru > 1 i divergent pentru 0 1.

ntr-adevr, din Teorema 1.5.3 rezult c aceast serie are aceeai natur cu seria

( ) ( ) ( )2 22 1 1

log 2 log 22 log 2

n

n nn n a aann

= == =

21

n

=

. Aadar, seria dat are aceeai natur cu seria armonic generalizat.

Teorema 1.5.4. (Criteriul II de comparaie)

Fie i dou serii cu termeni pozitivi. Presupunem c exist

astfel nct 1

nn

u

=

1n

nv

=

*k 1n n

n n

u vu v

1+ + , . (1.19) n k

ANALIZ MATEMATIC

32

Atunci: a) Dac seria converge, rezult c i seria 1

nn

v

=

1n

nu

= converge.

b) Dac seria diverge, rezult c i seria 1

nn

u

=

1n

nv

= diverge.

Demonstraie Din Observaia 1.4.2 rezult c putem presupune c inegalitatea (1.19) are

loc pentru orice . *nAadar avem 1

1

n n

n n

u uv v++

, i mai departe *n

1 21 2

n n

n n

u u u uv v v v

K 11

, de unde rezult 11

nuuv n

v , n . Afirmaiile din enun rezult acum din Teorema 1.5.2 (Observaia 1.5.1).

Teorema 1.5.5. (Criteriul III de comparaie)

Fie i dou serii cu termeni pozitivi cu proprietatea: 1

nn

u

=

1n

nv

=

0 lim limn nn n

u uv v

< < + . (1.20) Atunci cele dou serii au aceeai natur.

Demonstraie Fie a, b astfel nct

0 lim limn nn n

u uav v

< < < b . Din Observaia 1.3.2 rezult c numai un numr finit de termeni ai irului

n

n

uv

sunt mai mici ca a sau mai mari ca b. Prin urmare exist astfel nct *k

nn

uav

< < b

n

, pentru orice . (1.21) n kCum , mai departe avem: 0nv >

n nav u bv< < . Afirmaia rezult acum din Teorema 1.5.2.


33

Corolar. Fie i 1

nn

u

=

1n

nv

= dou serii cu termeni pozitivi cu proprietatea

c exist lim nn n

uv i

0 lim nn n

uv< < + . (1.22)

Atunci cele dou serii au aceeai natur. Demonstraie Afirmaia rezult din Teorema 1.5.5 i Propoziia 1.3.2.

Exemplu. S se afle natura seriei 2

1n

n n n

= . Fie 1

n nu n n= i 1nv n= .

Deoarece lim 1nn

n = rezult 1lim 1n

n n

uv = . Cum seria 2

1

n n

= este divergent,

rezult c i seria 1

1n

n n n

= este divergent. Teorema 1.5.6. (Criteriul rdcinii al lui Cauchy)

Fie o serie cu termeni pozitivi. 1

nn

u

=

a) Dac exist 0 < < 1 i astfel nct *k n nu , , (1.23) n katunci seria este convergent.

1n

nu

=

b) Dac pentru o infinitate de termeni avem 1n nu , (1.24) atunci seria este divergent.

1n

nu

=

Demonstraie

ANALIZ MATEMATIC

34

Din (1.23) rezult , n . Deoarece seria nnu k1

n

n

= este convergent,

fiind o serie geometric cu raia 1q = < , din Teorema 1.5.2 rezult c seria este convergent.

1n

nu

=

Din (1.24) rezult pentru o infinitate de termeni i deci c irul {1nu }nu nu converge la 0. Din Observaia 1.4.1 rezult c seria

1n

nu

= este divergent.

Corolarul 1. Fie o serie cu termeni pozitivi i fie L = 1

nn

u

= lim n nu . Dac

L < 1 seria este convergent, iar dac L > 1 seria este divergent. Demonstraie a) Fie L < < 1. Din definiia limitei superioare rezult c exist un numr

finit de termeni ai irului n nu mai mari ca . Aadar exist astfel nct *kn

nu , . Afirmaia rezult acum din Teorema 1.5.6. n kb) Dac L > 1, atunci exist o infinitate de termeni ai irului { }n nu mai

mari ca 1, deci seria este divergent (vezi Teorema 1.5.6).

Corolarul 2. Fie o serie cu termeni pozitivi cu proprietatea c exist 1

nn

u

=

lim n nn

l = u . Dac l < 1 seria este convergent, iar dac l > 1 seria este divergent.

Demonstraie Afirmaia rezult din Corolarul 1 i Propoziia 1.3.2. Exemple

1. S se afle natura seriei ( )1

2 1nn n

na

= + , a > 0. Dac notm cu

, atunci ( )2 1 nn nnu a = + ( )lim lim 2 1 3nnn

nu a a= + = . Prin urmare,


35

din Corolarul 2 rezult c dac 13

a < seria este convergent, iar dac 13

a > seria este divergent.

Dac 13

a = atunci 1 daca este impar31 daca este par.

n nu n

n

=

(

(

Seria este divergent deoarece 0nu .

2. S se afle natura seriei 2

1 13n

n

n

n

= + . Deoarece 2lim 1n

nn

= rezult

1lim 13

nn

nu = < .

Din Corolarul 1 rezult c seria este convergent. Teorema 1.5.7. (Criteriul raportului al lui D'Alembert)


nn

u

=

a) Dac exist 0 < < 1 i astfel nct *k 1n

n

uu+ , , (1.25) n k

atunci seria este convergent. 1

nn

u

=

b) Dac exist astfel nct *k 1 1n

n

uu+ , , (1.26) n k

atunci seria este divergent. 1

nn

u

=

Demonstraie Suprimnd eventual un numr finit de termeni ai seriei, putem presupune c

inegalitatea (1.25) are loc pentru orice . Aadar, avem: *n 1n nu u+ , (1.25') 1n

Dnd succesiv lui n valorile 1, 2, 3, din (1.25') rezult , . 1 1nnu u *n

ANALIZ MATEMATIC

36

Deoarece seria este convergent, fiind o serie geometric cu raia

, din Teorema 1.5.2 rezult c seria

11

1

n

nu

=

1q = .

Demonstraie

Fie L = 1lim 1nn

uu+ < i L < < 1. Din definiia limitei superioare rezult c

numai un numr finit de termeni ai irului 1nn

uu+

sunt mai mari ca . Aadar, exist

astfel nct *k 1 1nn

uu+ < , . Din Teorema 1.5.7 rezult c seria

este convergent.

n k1

nn

u

=

Fie l = 1lim 1nn

uu+ > . Din definiia limitei inferioare rezult c numai un numr

finit de termeni ai irului 1nn

uu+

sunt mai mici ca 1. Aadar, exist astfel

nct

*k

1 1nn

uu+ , . Din Teorema 1.5.7 rezult c seria n k

1n

nu

= este divergent.


nn

u

=

1lim nn n

ulu+

= . Dac l < 1 seria este convergent, iar dac l > 1 seria este divergent. Demonstraie


37

Afirmaia rezult din Corolarul 1 i Propoziia 1.3.2.

Exemplu. S se afle natura seriei 1 !

n

n

an

= , a > 0. Deoarece 1lim n

n n

uu+

=

lim 0 11n

an= =+ < , rezult c seria este convergent, a > 0.

Teorema 1.5.8. (Criteriul Raabe-Duhamel)


nn

u

=

a) Dac exist > 1 i astfel nct *k

11n

n

unu +

, , (1.27) n k

atunci seria converge. 1

nn

u

=

b) Dac exist astfel nct *k

11 1n

n

unu +

, , (1.28) n k

atunci seria diverge. 1

nn

u

=

Demonstraie a) Suprimnd eventual un numr finit de termeni ai seriei, putem presupune

c inegalitatea (1.27) are loc pentru orice , aadar avem *n 1 1n n nnu nu u+ + , (1.27') 1n

Dnd lui n succesiv valoarea 1,2,3, n (1.27') rezult:

1 2 2

2 3 3

3 4 4

1 1

2 23 3

n n n

u u uu u uu u u

nu nu u+ +

KKKKKKKK

Notnd cu 1 2n ns u u u= + + +K i adunnd inegalitile de mai sus obinem: ( ) ( )1 1n n n n 1s s u u s u+ + > i mai departe 1

1nus , .

*n

ANALIZ MATEMATIC

38

Aadar, irul sumelor pariale este mrginit. Din Teorema 1.5.1 rezult c

seria este convergent. 1

nn

u

=b) Din inegalitatea (1.28) rezult

i mai departe ( ) 11nnu n u + + n 11

11

n

n

unu

n

++ , . n k

Deoarece seria 1

1

n n

= este divergent, din Teorema 1.5.4 rezult c seria

este divergent. 1

nn

u

=

Corolarul 1. Fie o serie cu termeni pozitivi. 1

nn

u

=

a) Dac 1

lim 1 1nn

ul nu +

= > , seria

1n

nu

= este convergent.

b) Dac 1

lim 1 1nn

uL nu +

= < , seria

1n

nu

= divergent.

Demonstraie a) Fie l > > 1. Din definiia limitei inferioare rezult c exist astfel

nct:

*k

11n

n

unu +

, . Afirmaia rezult acum din Teorema 1.5.8. n k

b) Fie L < 1. Din definiia limitei superioare rezult c exist astfel

nct:

*k

11n

n

unu +

1

, . Afirmaia rezult din Teorema 1.5.8. n k


nn

u

=

1lim 1n

n n

unu +

. Dac l > 1 seria

1n

nu

= converge, iar dac l < 1 seria

diverge. 1

nn

u

=

Demonstraie Afirmaia rezult din Corolarul 1 i Propoziia 1.3.2. Exemplu: S se afle natura seriei


39

( )( )11 3 5 2 1 1

2 4 6 2 2 1n

nn n

= +

KKKK .

Dac notm cu termenul general al seriei, atunci nu

( )( )( )21

2 2 2 3lim 1 lim 1

2 1n

n nn

n nun nu n +

+ + = = + ( )2

26 5lim2 1nn nn++

3 12

= > . Din Corolarul 2 rezult c seria este convergent.

Teorema 1.5.9. (Criteriul logaritmic al lui Cauchy)


nn

u

=

a) Dac exist > 1 i astfel nct: *k

1ln

lnnun

, n > k, (1.29)

atunci seria este convergent. 1

nn

u

=

b) Dac exist astfel nct: *k

1ln1

lnnun

, , (1.30) n k

atunci seria este divergent. 1

nn

u

=

Demonstraie

a) Din (1.29) rezult 1ln ln lnn

n nu

= . Deoarece funcia f = ln este

cresctoare, rezult 1

nn

u i mai departe 1nu

n , . n k

Cum seria 1

1

n n

=

este convergent pentru > 1, din Teorema 1.5.2 rezult c i seria este convergent.

1n

nu

=

ANALIZ MATEMATIC

40

b) Din (1.30) rezult 1nu n , . Cum seria n k

1

1

n n

= este divergent, din

Teorema 1.5.2 rezult c seria 1

nn

u

= este divergent.

Corolarul 1. Fie o serie cu termeni pozitivi. 1

nn

u

=

a) Dac

1lnlim 1

lnnun

> , seria 1

nn

u

= converge.

b) Dac

1lnlim 1

lnnun

< , seria 1

nn

u

= diverge.

Demonstraia rezult din Teorema 1.5.9 i este asemntoare cu demonstraia de la Corolarul 1, Teorema 1.5.8.

Corolarul 2. Fie o serie cu termeni pozitivi pentru care exist 1

nn

u

=

1lnlim

lnn

n

uln= . Dac l > 1 seria este convergent, iar dac l < 1 seria este divergent.

Demonstraia rezult din Corolarul 1 i Propoziia 1.3.2.

Exemplu: S se afle natura seriei , a > 0. ln1

a

nn

=

Dac notm cu , atunci ln anu n=

1lnlim

lnn

n

uln= lna= .

Dac 1ae

< rezult l > 1, deci seria este convergent.

Dac 1ae

> seria este divergent.

Dac 1ae

= atunci coincide cu seria armonic 1

nn

u

=

1

1

n n

= i deci este

divergent.


41

1.6. Criterii de convergen pentru serii cu termeni oarecare

Vom considera acum serii de numere reale, n care termenii pot avea orice semn. Cazul interesant este acela al seriilor care au o infinitate de termeni pozitivi i o infinitate de termeni negativi (O serie care are numai un numr finit de termeni de acelai semn poate fi asimilat cu o serie cu termeni pozitivi).

Pentru astfel de serii avem deja un criteriu de convergen i anume, criteriul general de convergen al lui Cauchy (Teorema 1.4.1).

n continuare vom prezenta un criteriu care ne d o condiie suficient pentru convergena unei serii cu termeni oarecare.

Teorema 1.6.1. (Criteriul Abel-Dirichlet) Fie { }na un ir descresctor de numere pozitive convergent la 0 i fie seria cu proprietatea c irul sumelor sale pariale

1n

nv

= { }ns este mrginit. Atunci

seria este convergent. 1

n nn

a v

= Demonstraie Demonstraia se bazeaz pe Teorema 1.4.1 (criteriul general de convergen

al lui Cauchy). Prin ipotez, exist M > 0, astfel nct

ns < M, . *nObservm c, deoarece irul { }na este descresctor, avem 1 1k k k ka a a a+ + = , . *k

Dac notm cu cu { }n irul numerelor pariale ale seriei , atunci: 1

n nn

a v

=

1 1 2 2n p n n n n n n p n pa v a v a v+ + + + + + + = + + + =K = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n n n n p n p n pa s s a s s a s s+ + + + + + + + + + + K = = ( ) ( )1 1 2 1 1 1n n n n n n p n p n p n p n pa s a a s a a s a s+ + + + + + + + + + + + +K ( ) ( )1 1 2 1 1 1n n n n n n p n p n p n p n pa s a a s a a s a s+ + + + + + + + + + + + +K ( )1 1 2 1 2n n n n p n p n p n 1M a a a a a a M a+ + + + + + + + + + =K + . Aadar, pentru orice n i avem: *p

ANALIZ MATEMATIC

42

12n p n nM a+ + . (1.31) Deoarece , pentru > 0, astfel nct lim 0n

na =

*n 2na M< ,

. n nDac n inegalitatea (1) considerm n n obinem

n p n+ 2 2M M = , . *p

Din Teorema 1.4.1 rezult c seria este convergent. 1

n nn

a v

=

Exemplu: S se afle natura seriei:

2

1

sin cos

n

n nn

= .

Deoarece

( ) ( )2 1sin cos sin 1 sin 12

n n n n n n= + , seria dat se mai poate scrie sub forma:

( ) ( )1

1 sin 1 sin 12n

n n n nn

=+ .

Fie 12n

an

= i ( ) ( )sin 1 sin 1nv n n n= + n)

. Se observ imediat c

i deci (1

sin 1n

n kk

s v n n=

= = + 1ns , n . Din Teorema 1.6.1 rezult c seria este convergent.

Urmtorul criteriu de convergen se refer la serii alternate. Prin serie alternat se nelege o serie n care termenii sunt alternativ strict pozitivi sau strict negativi. O serie alternat este deci de forma

, unde , . ( ) 1 1 2 31

1 n nn

u u u u =

= + + KK 0nu > *n Teorema 1.6.2. (Criteriul lui Leibniz)

Orice serie alternat cu proprietatea c irul ( ) 11

1 n nn

u =

{ }nu este descresctor i convergent la 0 este convergent.


43

Demonstraie Demonstraia rezult imediat din Teorema 1.6.1 dac vom condidera

i .

n na u=( ) 11 nnv =

ntr-adevr i 0na 1

nn k

ks v

== = 1 daca este impar0 daca este par .

nn

((

Exemplu. Seria armonic alternat

( ) 11 1 1 11 12 3 4

nn

+ + + +K K ,

este convergent deoarece 1 0nu n= .

1.7. Calculul aproximativ al sumei unor serii

Calculul exact al sumei unei serii convergente este posibil numai n cazuri foarte particulare (de exemplu pentru seria geometric). n general, acest lucru nu este posibil i de aceea se aproximeaz suma s a seriei, cu suma parial ns . Eroarea absolut care se face este n nr s s= .

1. Cazul seriilor cu termeni pozitivi

Dac seria este cu termeni pozitivi, atunci > 0 i valoarea

aproximativ 1

nn

u

= nu

ns va fi mai mic dect valoarea exact s.

a) S presupunem c exist i 0 < (m) < 1 astfel nct *m 1 ( )n

n

u mu+ , n . (1.32) m

Atunci avem

( )1 ( )m

mrm

mu . (1.33)

ntr-adevr, din (1.32) rezult:

21 2( )( ) ( )

1 ( )m m m mmr u u m m u u

m+ + = + + + + = K K m .

ANALIZ MATEMATIC

44

Exemplu: S se calculeze cu trei zecimale exacte suma seriei 1

1!n n n

= .

Deoarece ( )1

21 1

1 11n

n

u nu nn+ = <

m+ ++ pentru , putem lua n m 1( )

1m

m = +

i vom pune condiia ca 32( ) 1 10

1 ( ) !m

m um m m

=


45

ntr-adevr, deoarece { }nu este descresctor, rezult: ( )2 2 2 2 1 2 2n n n n ns s u u s 2 = + ( )2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n ns s u u s+ += .

Dac notm cu s suma seriei, atunci: 2ns s iar 2 1ns s i deci avem urmtoarea situaie 2 4 2 2 1 3n n 1s s s s s s+< < < < < < < < <

ANALIZ MATEMATIC

46

Fie o serie absolut convergent. Deoarece seria 1

nn

u

=

1n

nu

= este

convergent, din criteriul general de convergen al lui Cauchy rezult c > 0, astfel nct *n 1 2n n n pu u u+ + ++ + +


47

1 1 1 1 1 1 1 11 .....2 4 3 6 8 2 1 4 2 4n n n

+ + + + K (1.37) (obinut din seria armonic alternat prin schimbarea ordinii termenilor). Dac notm { }n irul sumelor pariale ale acestei serii, rezult: 3

1 1

1 1 1 1 12 1 4 2 4 4 2 4

n nn

k kk k k k k= = = = =

21 1 1 12 2 1 2 2 n

sk k

= = . Aadar avem: 3

12n 2n

s = . Evident, avem i relaiile:

3 1 2

3 2 3 1

1 12 4

1 .4 2

n n

n n

sn

n

= +

= +

Deoarece rezult c lim ln2nn

s =1lim ln 22nn = . Prin urmare seria (1.37),

obinut din seria (1.36) printr-o schimbare a ordinii termenilor este convergent i

are suma 1 ln22

.

Am artat astfel c schimbnd ordinea termenilor ntr-o serie semiconvergent suma sa se schimb. Prezentm n continuare, fr demonstraie, urmtorul rezultat datorat lui B. Riemann.

Teorema 1.8.2. ntr-o serie semiconvergent se poate schimba ordinea

termenilor astfel nct noua serie s aib suma egal cu un numr dat dinainte sau astfel nct seria s devin divergent.

Din Teorema 1.8.2 rezult c ntr-o serie semiconvergent nu este permis schimbarea ordinii termenilor.

Definiia 1.8.3. O serie convergent care are proprietatea de comutativitate (adic suma sa nu se schimb dac se schimb ordinea termenilor) se numete necondiionat convergent.

Teorema 1.8.3. (Cauchy). Orice serie absolut convergent este necondiionat

convergent. Demonstraie

Considerm seria absolut convergent 1

nn

u

= i notm cu s suma sa.

ANALIZ MATEMATIC

48

Notm cu suma seriei 1

nn

u

= .

Etapa I. Vom arta c ntr-o serie absolut convergent seriile formate cu termenii pozitivi, respectiv negativi sunt convergente i c suma seriei este egal cu diferena sumelor acestor serii.

Fie { }ns irul numerelor pariale ale seriei 1

nn

u

= i fie { }n irul sumelor

pariale ale seriei 1

nn

u

= . Dac notm cu suma termenilor pozitivi din na ns i cu

suma termenilor negativi din

nb

ns rezult: n n ns a b= n n na b, = + i mai departe

( )1

2n n na s= + , ( )1

2n n nb s= .

Aadar, avem:

( )1lim2nn

a a s= = + ; ( )1lim2nn

b b s= = + i s a b= . Etapa II. Vom arta c o serie cu termeni pozitivi convergent este

necondiionat convergent.

Presupunem deci c , . Fie seria 0nu > *n1

nn

u

= % obinut din seria

prin schimbarea ordinii termenilor. Evident 1

nn

u

= nn ku u=% , . Deoarece *nk

1 2n ns u u u s= + + +


49

Orice schimbare a ordinii termenilor n seria 1

nn

u

= revine la schimbarea

ordinii termenilor n seriile 1

nn

u

= , respectiv

1n

nu

= . Cum sumele acestor serii nu

se schimb dac se schimb ordinea termenilor (aa cum s-a demonstrat n etapa II) rezult c s a b s= =% , i cu aceasta teorema este demonstrat.

1.9. Operaii cu serii convergente

Teorema 1.9.1. Dac seriile 1

nn

u

= i

1n

nv

= sunt convergente i au sumele

U, respectiv V atunci , seria este convergent i are suma egal cu

(1

n nn

u v

= + )

U V + . Demonstraie Afirmaia rezult imediat din urmtoarea egalitate:

. ( )1 1

n nk k k

k ku v u v

= = + = +

1

nk

k=

Prin produsul a dou serii 1

nn

u

= i

1n

nv

= se nelege orice serie de forma

unde , . Exist deci o infinitate de pozibiliti pentru a

nmuli dou serii. Dintre acestea, dou tipuri de serie produs sunt mai des utilizate i anume:

1n

nw

= n k lw u v= *,k l

( ) ( )1 1 1 2 2 1 1 2 1 1n n nu v u v u v u v u v u v+ + + + + + + +K K K (1.38)

( ) ()

1 1 1 2 2 2 2 1 1 2

1 1

n n

n n n n n

u v u v u v u v u v u v

u v u v u v+ + + + + + +

+ + + + +K K

K K K (1.39)

Produsul a dou serii convergente nu este n general o serie convergent.

ANALIZ MATEMATIC

50

Teorema 1.9.2. Dac seriile 1

nn

u

= i

1n

nv

= sunt absolut convergente i au

sumele U, respectiv V, atunci orice serie produs este absolut convergent i are suma egal cu UV.

Demonstraie

Fie o serie produs oarecare. Deoarece 1

k ki jk

u v

=

( )( )1 1 2 2 1 1n ni j i j i j m mu v u v u v u u v v+ + + + + + +K K K unde { }1 1max , , ; , ,nm i i j= K K nj i seriile

1n

nu

= ,

1n

nv

= sunt convergente,

rezult c seria este absolut convergent i deci convergent. 1

k ki jk

u v

=

Deoarece seriile absolut convergente sunt necondiionat convergente, rezult

c suma seriei este egal cu suma seriei produs de tipul (1.39). 1

k ki jk

u v

=

Se observ ns imediat c suma parial a seriei produs de tipul (1.39) este egal cu:

np

( )( )1 2 1 2n n np u u u v v v= + + + + + +K K . Rezult c suma oricrei serii produs va fi egal cu =UV i cu

aceasta teorema este demonstrat. lim np

2. iruri i serii de funcii reale

2.1. Convergen simpl (punctual) i convergen uniform

Fie E i { }nf un ir de funcii definite pe E cu valori n . Fie de asemenea f : E .

Definiia 2.1.1. Spunem c irul de funcii { }nf converge simplu (punctual)

pe mulimea E la funcia f, dac x E, irul de numere reale { }( )nf x converge la ( )f x . Folosim notaia sn Ef f . Evident, cnd se schimb x, se schimb i irul { }( )nf x . Rezult c sn Ef f dac x E i > 0, un rang

astfel nct: ( ) *,n x ( ) ( )nf x f x < , ( ),n n x .

Exemplul 1. Fie ( ) nnf x x= , x [0, 1]. Dac notm cu

[ ]0,10 pentru [0,1)

( ) , atunci1 pentru 1

sn

xf x f

x= =

f . Definiia 2.1.2. Spunem c irul de funcii { }nf converge uniform pe

mulimea E la funcia f, dac > 0, n astfel nct: ( ) ( )nf x f x < , n n i x E. (2.1) Vom folosi notaia un Ef f .

Interpretarea geometric a convergenei uniforme este urmtoarea: pentru > 0, un rang , astfel nct pentru *n n n , graficul funciei nf este cuprins ntre graficele funciilor f i f + .

ANALIZ MATEMATIC

52

y f+ fn

f

O x Observaia 2.1.1. n definiia convergenei uniforme este important faptul c

rangul , ncepnd de la care are loc inegalitatea (1), depinde numai de i nu depinde de x. Dac presupunem c funciile f i

nnf , sunt mrginite pe

mulimea E, atunci

*n

un Ef f dac i numai dac lim 0nn = , unde { }sup ( ) ( ) ,n nf x f x x E = .

ntr-adevr, afirmaia rezult imediat dac observm c inegalitatea ( ) ( )nf x f x < , n n i x E este echivalent cu inegalitatea

{ }sup ( ) ( ) ;nf x f x x E < , n n . Observaia 2.1.2. Este evident faptul c dac un ir de funcii este uniform

convergent pe o mulime E, el este simplu convergent pe orice submulime A E. Afirmaia reciproc nu este n general adevrat.

ntr-adevr, s considerm din nou irul de funcii ( ) nnf x x= , x [0, 1] i funcia

0 daca [0,1)

( )1 daca 1.

xf x

x= =

((

Am vzut c [ ]0,1s

nf f . Pe de alt parte se observ cu uurin c

[ ]{ }sup ( ) ( ) ; 0,1 1n nf x f x x = = , . *nRezult c , deci, n virtutea Observaiei 2.1.2, irul de funcii 1 0n { }nf nu converge uniform la f pe mulimea [0, 1].


53

Teorema 2.1.1. Condiia necesar i suficient ca un ir de funcii { }nf s converg uniform pe mulimea E la funcia f este ca pentru > 0 s astfel nct

*n ( ) ( )n p nf x f x+ < pentru x E, n n i . *p

Demonstraie Necesitatea. Dac un Ef f , atunci > 0, n astfel nct

( ) ( )2n

f x f x < , , x E. Dac , atunci cu att mai mult rezult: n n *p

( ) ( )2n p

f x f x+ < , n n> i x E.

n continuare avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2n p n n p n

f x f x f x f x f x f x+ + + < + =

pentru orice n , i x E. n *pSuficiena. Din ipotez rezult c > 0, astfel nct *n

( ) ( )n p nf x f x+ < , n n , i x E, (2.2) *pDin (2.2) rezult c pentru orice x E fixat, irul de numere reale { }( )nf x

este fundamental i deci convergent, n virtutea criteriului general de convergen al lui Cauchy. Dac notm cu ( ) lim ( )n

nf x f x

= i trecem la limit dup p n

inegalitatea (2.2) obinem: ( ) ( )nf x f x < , n n i x E, deci un Ef f .

Urmtoarea propoziie stabilete o condiie suficient ca un ir de funcii s convearg uniform.

Propoziia 2.1.1. Dac exist un ir de numere pozitive { }na cu

proprietatea i un rang , astfel nct: lim 0nn

a =*

0n ( ) ( )n nf x f x a 0n n, i x E, (2.3) atunci un Ef f .

Demonstraie Din (3) rezult { }sup ( ) ( ) ;n n nf x f x x E a 0n n = , .

ANALIZ MATEMATIC

54

Cum rezult , deci 0na 0n un Ef f n virtutea Observaiei 2.1.1. Exemplu. Fie 2 sin( )n

n nf xn

+= x , x i fie ( ) 2f x = , x . Observm c x avem:

sin 1( ) ( ) 0n

nxf x f x

n n = .

Rezult un Ef f . n continuare, vom examina n ce condiii o anumit proprietate comun

(continuitate, derivabilitate etc.) a termenilor unui ir de funcii se transmite i limitei acestui ir. Observm c, de regul, convergena simpl este insuficient pentru realizarea acestui transfer.

ntr-adevr, relund exemplul 1, constatm c dei funciile nf sunt continue pe [0, 1], limita irului nu este continu n punctul x = 1.

Teorema 2.1.2. Dac irul de funcii un Ef f i nf este continu pe E

pentru orice , atunci f este continu pe E. *n Demonstraie Fie a E oarecare fixat. Pentru x E i avem: *n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nf x f a f x f x f x f a f a f a + + (2.4) Deoarece un Ef f , > 0, astfel nct

*n ( ) ( ) 3nf t f t < ,

, t E. Pe de alt parte, deoarece n n nf este continu n x = a rezult c > 0, 0 > , astfel nct ( ) ( ) 3n nf x f a

< , x E cu proprietatea x a < .

Dac n inegalitatea (2.4) presupunem n n i x a < , rezult ( ) ( )

3 3 3f x f a < + + =

n

, deci f este continu n x = a. Observaia 2.1.3. Dac presupunem c x = a este punct de acumulare al

mulimii E, atunci din Teorema 2.1.2 rezult:

lim lim ( ) lim lim ( )nx a n n x a

f x

= f x .

ntr-adevr, continuitatea lui f (respectiv nf ) n punctul x = a revine la:


55

lim ( ) ( )x a

f x f a

= , respectiv lim ( ) ( )n nx a

f x f a

= . Aadar avem:

lim lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim lim ( )n nx a n x a n n x a

nf x f x f a f a f x

= = = = .

Teorema 2.1.3. Dac [ ],u

n a bf f i nf este continu pe [ ],a b pentru

orice , atunci exist *n0

lim ( )d ( )d lim ( ) db b b

n na a an nf x x f x x f x x

= = .

Demonstraie Din Teorema 2.1.2 rezult c f este continu pe [ ],a b , deci c f este

integrabil pe [ ],a b . n continuare avem: ( )d ( )d ( ) ( ) d

b b bn na a a

f x x f x x f x f x x = ( )( ) ( ) d db bn na af x f x x x b a = n . Cum , rezult c 0n lim ( )d ( )d

b bna an

f x x f x x

= . (2.5) Teorema 2.1.4. Fie { }nf un ir de funcii derivabile pe intervalul ( ),a b , cu

proprietatea c irul derivatelor { }nf este uniform convergent pe ( ),a b . Dac irul nsui { }nf converge cel puin ntr-un punct ( )0 ,x a b , atunci { }nf converge uniform pe ( ),a b la o funcie f, care este derivabil pe ( ),a b i x ( ),a b avem: lim ( ) ( ) lim ( )n

n nnf x f x f x = = .

Demonstraie Pentru orice x E, n i avem *p

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )n p n n p n p n p n n nf x f x f x f x f x f x f x f x+ + + + = + + = ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0( )n p n n p n n p n 0f f x f f x f x f x+ + + + .

Din Teorema Lagrange rezult c c ntre 0x i x astfel nct: ( ) ( )( ) ( ) (0 0( ) ( )n p n n p n n p n )f f x f f x f f c x x+ + + = . Prin urmare avem:

ANALIZ MATEMATIC

56

( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) ( )n p n n p n n p n 0f x f x f c f c x x f x f x+ + + + . (2.6) Deoarece { }nf este uniform convergent pe [ ],a b rezult c > 0,

astfel nct *n ( )( ) ( ) 2n p nf t f t b a+

< , n n , t [ ],a b . Pe de alt parte ( ){ }0nf x este convergent, deci astfel nct *n

( ) ( )0 0 2n p nf x f x+ < , n n i . *p

Fie ( )max ,n n n = . Dac n inegalitatea (2.6) considerm n n i rezult *p

( ) ( )( ) ( ) 2 2n p nf x f x b ab a+ < + = , ( ),x a b .

Din Teorema 2.1.1 rezult c irul { }nf este uniform convergent pe ( ),a b . Fie lim n

nf f

= i lim n

ng f

= . Rmne s artm c f este derivabil n orice

punct x [ ],a b i ( ) ( )f x g x = . Pentru aceasta s observm c n, i h astfel nct

*p( ),x h a b+ avem

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) n p n n p nn p n pf f x h f f xf x h f x

g xh h

+ ++ + + + = +

( ) [( ) ( ) ( ) ( )n n n nf x h f x ]f x f x g xh+ + +

. Aplicnd din nou Teorema Lagrange rezult c ntre x i 1c x h+ astfel

nct ( )( ) ( ) ( )( )1( )n p n n p n n p nf f x h f f x f f c+ + + + = h . Aadar, x E i n, avem: *p

( ) ( ) ( )( )

1 1( )

( )

( )( ) ( ) ( ) .

n p n pn p n

n nn n

f x h f xg x f c f c

h

f x h f xf x f x g x

h

+ + ++

+ + +

+ (2.7)

Deoarece ( ),u

n p a bf g+ , rezult c > 0, astfel nct *n %


57

( ) ( )1 1 ( ) ( ) 2n p n nf c f c f x g x+ + < , n n % i . *p

Pe de alt parte, deoarece

( )0

( )lim ( )n n nh

f x h f xf x

h+ = ,

rezult c astfel nct 0 > ( ) ( ) ( )

2n n

nf x h f x

f xh

+ < , x E, h cu x h+ E i h < .

Dac n inegalitatea (2.7) presupunem n n % , i *p h < , rezult:

( ) ( )( )

2 2n p n pf x h f x g x

h+ ++ < + = . (2.8)

Trecnd la limit dup p n inegalitatea (2.8) obinem:

( ) ( ) ( )f x h f x g xh

+ < , x E, h cu x h+ E i h < , de unde rezult c

( )0

( )lim ( )h

f x h f xg x

h+ =

i cu aceasta teorema este demonstrat. Definiia 2.1.3. Fie { } 1n nu un ir de funcii reale definite pe mulimea E

i fie { } 1n nu irul sumelor pariale asociat 1

nn

kks u

== . Perechea { } { }( ),n nu s se

numete serie de funcii i se noteaz cu 1

nn

u

= .

Seria se numete simplu convergent (uniform convergent) pe mulimea 0E E dac irul sumelor pariale { } 1n ns este simplu convergent (uniform

convergent) pe 0E . Cea mai mare submulime A E pe care seria este simplu convergent se

numete mulimea de convergen a seriei. Deci

( )0 01

; este convergentann

A x E u x

= =

( . Funcia s : A definit prin

1( ) lim ( ) ( )n

n nns x s x u

=

= = x , x A se numete suma seriei i se scrie

ANALIZ MATEMATIC

58

11

nn

s u u u

== = + + + K n K

Teorema 2.1.5. (Cauchy). Condiia necesar i suficient ca seria de funcii

s fie uniform convergent pe mulimea E este ca pentru > 0 s

astfel nct 1

nn

u

=

*n 1( ) ( )n n pu x u x+ ++ + < K , n n , i x E. *p

Demonstraie

1n

nu

= este uniform convergent pe E dac i numai dac { }ns este

uniform convergent pe E, deci dac i numai dac > 0, astfel nct *n 1( ) ( ) ( ) ( )n p n n n ps x s x u x u x+ + + = + + 0 astfel nct ( )nf x M , x E i . *n

Teorema 2.1.6. (Abel-Dirichlet). Fie { } 1n na un ir de funcii pe E,

monoton descresctor pentru orice x E fixat i cu proprietatea .

Fie o serie de funcii pe E cu proprietatea c irul sumelor pariale

0un Ea

1n

nv

= { }ns

este uniform mrginit pe E. Atunci seria este uniform convergent pe E. 1

n nn

a v

=

Demonstraia rezult din Teorema 2.1.5 i practic coincide cu demonstraia Teoremei 1.6.1.

Exemplul 2. S se studieze convergena uniform a seriei

( )1

1 n

n n x

=+ , ( )0,x .

Fie 1( )na x n x= + i , ( )( ) 1

nnv x = ( )0,x .


59

Deoarece

10n x n

1< 0 i 1n0, rezult . ( )0, 0

una

Pe de alt parte este evident c { }( )na x este descresctor pentru orice x fixat. Seria este o serie numeric n acest caz i are irul sumelor pariale

mrginit

1n

nv

=

( )1,ns n . Din Teorema 2.1.6 rezult c seria ( )1

1 n

n n x

=+ este uniform

convergent pe ( )0, . Exist i urmtoarea variant a criteriului Abel-Dirichlet de convergen

uniform pentru serii. Teorema 2.1.6'. Fie { }na un ir de funcii pe E, monoton descresctor

pentru orice x fixat i uniform mrginit pe E. Dac seria de funcii este

uniform convergent pe E, atunci seria este uniform convergent pe E.

1n

nv

=

1n n

na v

=

Demonstraie Dac notm cu 1k n nv v k+ + = + +K , atunci avem:

( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 1n n n p n p n n n p p pa v a v a a a+ + + + + + + + + = + + + =K K ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 2 1 1n n n n n p n p p n p pa a a a a a a+ + + + + + += + + + + K =

. ( )1 11

p

n k n k k n p pk

a a a

+ + + +=

= +Prin ipotez M > 0 astfel nct ( )ka x M , x E i . *kDeoarece este uniform convergent pe E, din Teorema 2.1.5 rezult

c > 0, astfel nct 1

nn

v

=

*n ( )k x < , pentru n n i k natural. Fie i oarecare. Atunci n n *p

[ ]1 1 11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n n n p n p n k n k kk

a x v x a x v x a x a x+ + + + + + +=

+ + +K

ANALIZ MATEMATIC

60

[ ]11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n p p n k n k n pk

a x x a x a x a x+ + + +=

+ < + + = 1( ) ( ) ( ) 3n n p n pa x a x a x M+ + + = + , x E.

Aplicnd din nou Teorema 2.1.5 rezult c seria este uniform convergent

pe E. 1

n nn

a v

=

Teorema 2.1.7. (Weierstrass). Dac exist o serie numeric cu termeni

pozitivi convergent i un rang astfel nct 1

nn

c

= *0n ( )nu x cn , x E i

, atunci seria de funcii 0n n1

nn

u

= este uniform convergent pe E.

Demonstraie

Deoarece seria este convergent, rezult c > 0 astfel

nct , 1

nn

c

= *n

1n n pc c+ ++ + < K n n i . Fie *p ( )0max ,n n n = n n, i *p . Atunci avem

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n p n n p n nu x u x u x u x c c+ + + + + + p+ + + + + +K K K < , x E. Afirmaia rezult acum din Teorema 2.1.3.

Exemplul 3. Seria 2 21

sin

n

nxx n

= + este uniform convergent pe deoarece avem:

2 2 2 2 2sin 1 1nx

x n x n n + + , x ,

*n

iar seria 21

1

n n

= este convergent.

Pentru un numr finit de funcii sunt cunoscute proprietile: a) dac funciile sunt continue, atunci i suma lor este continu; b) integrala sumei este suma integralelor; c) derivata sumei este suma derivatelor. Teoremele care urmeaz stabilesc n ce condiii aceste proprieti se pstreaz pentru o infinitate de funcii.

Demonstraiile lor decurg din rezultatele corespunztoare pentru irurile de funcii (Teoremele 2.1.2; 2.1.3; 2.1.4) i Definiia 2.1.3.


61

Teorema 2.1.8. Dac seria 1

nn

u

= este uniform convergent pe E, avnd suma

s i dac funciile sunt continue pe E, atunci i funcia s este continu pe E. nu


nn

u

= este uniform convergent pe intervalul

[a, b], avnd suma s i dac funciile sunt continue pe E, atunci nu

1 1

( )d ( )d ( ) db b b b

na a a an n

u x x s x x u x x

= =n

= = . Teorema 2.1.9 stabilete c seriile uniform convergente pot fi integrate termen cu termen.


nn

u

= este convergent cel puin ntr-un punct

(0 , )x a b i dac funciile sunt derivabile pe nu ( ),a b , astfel nct seria derivatelor este uniform convergent pe

1n

nu

= ( ),a b , avnd suma t, atunci

seria este uniform convergent pe 1

nn

u

= ( ),a b , suma sa s este derivabil i

( ) ( )s x t x = , x ( ) . ,a bTeorema 2.1.10 stabilete condiii suficiente ca o serie de funcii s se poat

deriva termen cu termen. Relaia ( ) ( )s x t x = se poate scrie mai sugestiv astfel:

1 1

( ) ( )nn n

u x u x

= =

n= .

Exemplu: Funcia 31

sin( )n

nxf xn

== , x este derivabil pe .

ntr-adevr, seria de funcii 31

sin

n

nxn

= este uniform convergent pe ,

deoarece 3sin 1nx

n n 3 (Teorema 2.1.7).

ANALIZ MATEMATIC

62

Seria derivatelor 21 1

cos( )nn n

nxu xn

= = = este de asemenea uniform convergent

pe , deoarece 2cos 1nx

n n 2 . Din Teorema 2.1.10 rezult c f este derivabil pe

i 21

cos( )n

nxf xn

= = .

2.2. Formula Taylor

Formula Taylor este una din formulele de baz din analiza matematic, care are numeroase aplicaii, legate n principal de aproximarea funciilor cu ajutorul polinoamelor.

Teorema 2.2.1. (Taylor). Fie I un interval, a I un punct interior i

f : I o funcie de n + 1 ori derivabil pe I. Fie x I i . Atunci exist ntre a i x astfel nct

*p

( ) ( ) ( )( )2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1! 2! !

nn

nf a f a f af x f a x a x a x a R x

n = + + + + +K , (2.9)

unde

( ) ( ) ( )1

1( )!

p nn

nxx aR x f

x n p

+ + = . (2.10) Formula (2.9) se numete formula Taylor de ordinul n n x = a, iar funcia nR

se numete restul formulei Taylor de ordinul n. Forma restului dat n (2.10) se numete formula Schmlich-Roche.

Demonstraie Notm cu polinomul Taylor de rodinul n, care se definete astfel: nT

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )1! !

n nn

f a f aT x f a x a x an

= + + + K , x I. (2.11) Cu nR notm diferena: ( ) ( ) ( )n nR x f x T x= , x I. (2.12) Din (2.12) rezult ( ) ( ) ( )n nf x T x R x= + , (2.13) adic exact formula (2.9).

Prin urmare rmne s artm c restul nR are forma dat n (2.10). Fie x I oarecare fixat, x > a i fie


63

( )( )

( ) n pR xQ xx a

=

. (2.14)

Cu aceast notaie formula (2.13) devine

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )1! !

nn pf a f af x f a x a x a x a Q x

n= + + + + K . (2.15)

Pentru a determina funcia Q considerm urmtoarea funcie auxiliar

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )1! !

nn pf t f tt f t x t x t x t Q x

n = + + + + K . (2.16)

Observm c funcia este continu pe [ ],a x , derivabil pe ( i . Din Teorema Rolle rezult c

)x

,a x

( ) ( ) ( )a x f = = ( ),a x , astfel nct ( ) = 0. (2.17)

Derivnd (2.16) obinem:

( ) ( )( 1)( ) ( ) ( )( ) ( )1! 1! !

n nf t f t f tt f t x t x tn

+ = + + + K ( )( ) 1( )!

n nf t n x tn

( ) ( ) ( ) ( )11 1( )( ) ( )!

np nf t pp x t Q x x t p x t Q x

n

+ = . innd seama de (2.17) rezult:

( )( )

( ) ( )11( ) !

n n

px f

Q xn px

+

=

. (2.18)

n sfrit, din (2.14) i (2.18) obinem:

( ) ( ) ( )1

1( )!

p nn

nxx aR x f

x n p

+ + = i cu aceasta teorema este demonstrat.

Observaia 2.2.1. Dac f este un polinom de gradul n, atunci restul

( )nR x = 0, x I i formula Taylor devine:

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )1! !

nnf a f af x f a x a x a

n= + + + K =

. ( ) ( )0 1 nnc c x a c x a= + + + KAstfel, n cazul unui polinom, formula Taylor revine la reprezentarea acestuia ca polinom n puterile lui x a .

Din forma general (2.10) a restului Taylor dat de Schmlich-Roche, se obin dou forme particulare importante prin particularizarea lui p.

ANALIZ MATEMATIC

64

Pentru p = 1, expresia (2.10) devine:

( )( ) ( ) ( )1( )!

nn

nx a x

R x fn

+ = (2.19) care se numete restul Taylor de ordinul n sub forma Cauchy.

Pentru p = n + 1, expresia (2.10) devine

( )( ) ( ) ( )

11( )

1 !

nn

nx a

R x fn

+ += + (2.20) care se numete restul Taylor de ordinul n sub forma Lagrange.

Deoarece se afl ntre a i x, exist 0 < < 1 astfel nct ( )a x a = . Dac notm cu , rezult h x a= x a h= + , a h = + , ( )1x h = i formula Taylor se scrie:

( ) 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1! 2! !

nn

nh h hf a h f a f a f a f a R x

n + = + + + + +K , (2.21)

unde restul are una din formulele

( ) ( ) (11

11( )!

n pnn

nh )R x f

n p

++ + = +a h (Schmlich-Roche) (2.10')

( ) ( ) (1 11( )!

nnn

nh )R x f

n

+ + = +a h (Cauchy) (2.19')

( ) ( ) (1

1( )1 !

nn

nh )R x f an

+ += ++ h (Lagrange) (2.20') Deoarece formulele Cauchy (2.19) i Lagrange (2.20) ale restului nR corespund la valori diferite ale lui p i deoarece depinde n general de p, rezult c valorile lui n (2.19') i (2.20') sunt n general diferite.

Dac 0a I= , formula (2.21) se numete formula Mac Laurin. Aadar, formula Mac Laurin cu restul Cauchy este:

( ) ( ) ( )1 1( ) 1( ) (0) (0) (0)1! ! !

nnnnn xx xf x f f f f x

n n

+ + = + + + + K , (2.22) iar, formula Mac Laurin cu restul Lagrange este:

( ) ( ) ( )1

1( )( ) (0) (0) (0)1! ! 1 !

n nnnx x xf x f f f f x

n n

+ += + + + + +K . (2.23) Definiia 2.2.1. O funcie f definit pe o vecintate a punctului x a= se

numete infinit mic n x a= dac lim ( ) 0x a

f x = . Fie f i g dou funcii infinit mici


65

n x a= . Spunem c f este infinit mic de ordin mai mare ca g i notm 0( )f g= dac ( )lim 0

( )x af xg x = .

Din formula (2.20) rezult:

( ) ( )( ) ( )1( )lim lim 0nn nx a x a

R x x a fx a

+ =

= ,

deci

( )( ) 0 nnR x x a = . (2.24) Ultima egalitate se numete restul formulei Taylor n forma lui Peano.

n continuare vom scrie formula Mac Laurin pentru cteva funcii uzuale: 1. Pentru funcia ( ) xf x e= , x , avem ( ) ( )n xf x e= i ( ) (0) 1nf = n , deci

( )21 1! 2! !nx nx x xe on= + + + + +K x . 2. Pentru funcia ( ) sinf x = x , x , avem:

( ) ( ) sin2

nf x x n = + , deci

( ) (0) sin2

nf n = = ( ) 120 daca 2

1 daca 4 1 sau 4 3.n

n k

n k k

= = + +

(

(

Aadar avem:

( ) ( ) ( )3 5 2 1 2 1sin 11! 3! 5! 2 1 !nn nx x x xx on + x += + + ++K . 3. Pentru funcia ( ) cosf x = x , x avem

( ) ( ) cos2

nf x x n = + i ( ) (0) cos

2nf n = = ( )

0 daca 2 1

1 daca 4 .kn k

n k

= + =

((

Formula Mac Laurin este n acest caz:

( ) ( ) ( )2 4 2 2cos 1 12! 4! 2 !nn nx x xx n= + +K o x . 4. Pentru funcia ( )( ) ln 1f x x= + , ( )1,x ,

( ) ( )( )1( ) 1 !( ) 1

1nn

nn

f xx

= +

, (0) 0f = , ( ) ( )1( ) (0) 1 1 !nnf n= Formula Mac Laurin va fi:

ANALIZ MATEMATIC

66

( ) ( ) ( )2 3 4 1ln 1 12 4 4 nn nx x x xx x on+ = + + + +K x . 5. Pentru funcia ( )( ) 1f x x = + avem:

( ) ( )( )( ) ( ) 1 1 1 nnf x n x = + +K i ( ) (( ) (0) 1 1nf )n= +K . Formula Mac Laurin este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 11 1 1! 2! ! nn nx x x x on ++ = + + + + +KK x . n cazul particular cnd = , *n ( ) 0nR x = (pentru c ( )1 ( ) 0nf x+ = ) i

formula Mac Laurin coincide n acest caz cu formula binomului lui Newton.

( ) ( ) ( )21 11 11! 2! !

n nn n n nnx x x xn

+ = + + + + KK 1 =

. 1 2 21 n nn n nC x C x C x= + + + +KFormula Taylor (Mac Laurin) este util n calculul unor limite de funcii.

Exemplu. S se calculeze

2

2

3coslim

sin

x

x

e xx x

. Aplicnd formulele stabilite

anterior obinem:

2

2

3coslim

sin

x

x

e xx x

= ( ) ( )

2 4 2 44 4

3

1 12 8 2 24lim

sinx

x x x xo x o x

x x + + + +

=

( )

( )4 4

4 4

1 1 1 1 ( )8 24 8 24lim lim1 ( )x x

x o x x

xx o x

+ + = = + + =1 1 18 24 12 = .

(unde ( )4

4( )o x

xx

= 0 cnd x 0). n continuare vom prezenta dou aplicaii interesante ale formulei Taylor n

studiul funciilor reale. Fie I un interval deschis, a I i . Se tie c o condiie

necesar ca punctul x = a s fie punct de extrem pentru f este ca (n ipoteza c f este derivabil n x = a).

:f I ( ) 0f a =


67

Urmtoarea teorem stabilete condiii suficiente pentru existena punctelor de extrem.

Teorema 2.2.2. Fie cu proprietatea c are derivate continue pe I

pn la ordinul n inclusiv i a I un punct interior astfel nct: :f I

( )1( ) ( ) ( ) 0nf a f a f a = = = =K , ( ) ( ) 0nf a . Dac n este par, atunci x = a este punct de extrem pentru f i anume, de maxim dac ( ) ( ) 0nf a < , respectiv de minim dac . ( ) ( ) 0nf a >

Dac n este impar x = a nu este punct de extrem. Demonstraie Din formula Taylor cu restul lui Lagrange rezult

( ) ( )( )( ) ( )

!

nnx af x f a f

n= + , x I ,

unde se afl ntre a i x. S presupunem n par i ( )( ) 0nf a < . Deoarece ( )nf este o funcie continu

n x = a, rezult c exist un interval deschis J astfel nct i , ,

a J I ( ) ( ) 0nf t < t J x J avem:

( ) ( )( )( ) ( ) 0

!

nnx af x f a f

n = ,

de unde rezult c ( ) ( )f x f a x J , deci x = a este punct de maxim local pentru f. Analog se arat c dac , atunci x = a este punct de minim local pentru f.

( ) ( ) 0nf a >

Dac n este impar, atunci diferena ( ) ( )f x f a nu pstreaz semn constant pe nici o vecintate a punctului x = a, deci x = a nu este punct de extrem local pentru f.

Corolarul 2.2.1. Dac ( ) 0f a = i ( ) 0f a , atunci x = a este punct de

minim dac ( ) 0f a > , respectiv punct de maxim dac ( ) 0f a < . Dac ( ) ( ) 0f a f a = = i ( ) 0f a , atunci x = a nu este punct de extrem

pentru f (este punct de inflexiune). Definiia 2.2.2. O funcie se numete de clas pe I, dac f are

derivate continue pe I pn la ordinul p inclusiv. Se folosete notaia

:f I pC( )pf C I= .

ANALIZ MATEMATIC

68

Definiia 2.2.3. O funcie ( )2f C I se numete convex (concav) pe I,

dac a, x I avem ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f a x a f x f a f a x a + +

Din punct de vedere geometric funcia este convex (concav) dac graficul su este situat deasupra (dedesubtul) tangentei n orice punct al su.

Propoziia 2.2.1. Dac ( )2f C I i ( )f x > 0 ( ( )f x < 0) pentru orice x I,

atunci f este convex (concav) pe intervalul I. Demonstraie Fie a, x I. Din formula Taylor pentru n = 1 rezult:

( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( )2!

ff x f a f a x a x a

= + + , unde se afl ntre a i x.

Dac f > 0 pe I rezult ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( ) 0

2f

f x f a f a x a x a + = , x I,

deci f este convex pe intervalul I. Analog, dac f < 0 pe I rezult ( )( ) ( ) ( )f x f a f a x a + , x I, deci f este concav pe I.

2.3. Serii Taylor i M

analiza matematica

Documents

local extremum of a

spaii normate i spaii

normed and hilbert spaces

functions of several

editura agir calea victoriei

local conditional extremum

a fost criteriul

limits and continuity