analiza matematica

Download Analiza matematica

Post on 15-Jun-2015

1.268 views

Category:

Documents

3 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1. Seria MATEMATICANALIZ MATEMATIC Calcul diferenial

2. MATHEMATICAL ANALYSIS Differential calculusThe present book is the first part of the cours of MathematicalAnalysis given by the author for many years at the TechnicalUniversity of Civil Engineering of Bucharest. It contains: Sequencesand Series of Numbers, Sequences and Series of Functions, PowerSeries, Taylors Series, Metric Spaces, Normed and Hilbert Spaces,Functions of Several Variables, Limits and Continuity, PartialDerivatives, Differentiable Functions, Taylors Formula, LocalExtremum of a Function, Implicit Functions, Local ConditionalExtremum, Dependent Functions.This list itself demonstrates that the book provides the engineeringdisciplines with the necessary information of differential calculus offunctions with one and several variables.We tried to offer the fundamental material concisely and withoutdistracting details. We focused on the presentation of basic ideasof differential calculus in order to make it detailed and ascomprehensible as possible. The numerous examples also serve thisaim.Besides students in tehnical faculties and those starting amathematics course, the book may be useful to engineers andscientists who wish to refresh their knowledge about some aspects ofmathematics. Lucrarea a fost realizat n cadrul Contractului deGrant nr. 39643 / 11.08.1998, CNFIS, cod 54, acordatde ctre Banca Mondial i Guvernul Romniei. 3. Prof. univ. dr. GAVRIIL PLTINEANU ANALIZMATEMATICCalcul diferenialSeria MATEMATIC 4. 4 ANALIZ MATEMATICEditura AGIRBucureti, 2002 5. ASOCIAIA GENERAL A INGINERILOR DIN ROMNIA EDITURA AGIR, 2002Editur acreditat de C.N.C.S.I.S.Toate drepturile pentru aceast ediiesunt rezervate editurii.Adresa: Editura AGIRCalea Victoriei, nr. 118, sector 1, 70179 BucuretiTelefon: 401-212 81 04; 401-212 81 06 (redacie)401-211 83 50 (difuzare)Fax: 401-312 55 31; E-mail: office@agir.roReferent: prof. univ. dr. Gheorghe Bucur,Facultatea de Matematic,Universitatea BucuretiRedactor: ing. Adina NEGOICoperta: Camelia BOGOIBun de tipar: 15.08.2002; Coli de tipar: 11,75ISBN 973-8130-90-5Imprimat n Romnia 6. Prefa Lucrarea se adreseaz studenilor din anul nti dinuniversitile tehnice i are la baz experiena de peste 20 de ani aautorului n predarea cursului de Analiz Matematic la Facultateade Construcii Civile i Industriale din Universitatea Tehnic deConstrucii Bucureti. Materialul prezentat corespunde programeianalitice din semestrul nti i este mprit n patru capitole: iruri iserii de numere reale, iruri i serii de funcii reale, Spaii metrice.Spaii normate i Spaii Hilbert, Calculul diferenial al funciilor demai multe variabile. n vasta ofert de cursuri de Analiz Matematic de pe piaacrii din ara noastr, diferena este dat de msura n care sepstreaz un echilibru rezonabil ntre rigoare i accesibilitate. Acestaa fost criteriul de baz n scrierea acestui curs i sperm c, mcarparial, am reuit acest lucru.Bucureti,februarie 2002G. Pltineanu 7. Cuprins1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE............................................................ 9 1.1. Numere reale.................................................................................................. 9 1.2. iruri de numere reale (complemente)......................................................... 16 1.3. Dreapta ncheiat. Limitele extreme ale unui ir ......................................... 21 1.4. Serii numerice convergente i divergente.................................................... 25 1.5. Serii cu termeni pozitivi............................................................................... 27 1.6. Criterii de convergen pentru serii cu termeni oarecare ............................. 39 1.7. Calculul aproximativ al sumei unor serii..................................................... 41 1.8. Serii absolut convergente............................................................................. 44 1.9. Operaii cu serii convergente ....................................................................... 472. IRURI I SERII DE FUNCII REALE ........................................................... 49 2.1. Convergent simpl (punctual) i convergen uniform .......................... 49 2.2. Formula Taylor ............................................................................................ 60 2.3. Serii Taylor i Mac Laurin........................................................................... 66 2.4. Serii de puteri............................................................................................... 713. SPAII METRICE. SPAII NORMATE. SPAII HILBERT .......................... 79 3.1. Spaii metrice. Principiul contraciei ........................................................... 79 3.2. Spaii normate.............................................................................................. 87 3.3. Spaii Hilbert................................................................................................ 88 3.4. Serii n spaii normate.................................................................................. 92 3.5. Funcii elementare Formulele lui Euler ....................................................... 96 3.6. Funcii de matrice ........................................................................................ 99 3.7. Elemente de topologie n n ...................................................................... 102 3.8. Limite de funcii ........................................................................................ 112 3.9. Funcii continue ......................................................................................... 118 3.10. Proprietile funciilor continue pe mulimi compacte i conexe ............ 1224. CALCULUL DIFERENIAL AL FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE..................................................................................................... 128 4.1. Derivate pariale Difereniabilitate ............................................................ 128 4.2. Difereniabilitatea funciilor vectoriale. Matrice iacobiene ....................... 136 4.3. Difereniabilitatea funciilor compuse ....................................................... 138 4.4. Difereniala de ordinul nti i invariana formei sale ............................... 142 8. 1. iruri i serii de numere reale9 4.5. Derivate pariale de ordin superior. Difereniale de ordin superior ........... 144 4.6. Derivatele pariale de ordinul doi ale funciilor compuse de douvariabile..................................................................................................... 150 4.7. Formula Taylor. Extremele funciilor de mai multe variabile ................... 152 4.8. Teorema de inversiune local .................................................................... 158 4.9. Transformri regulate ................................................................................ 162 4.10. Funcii implicite....................................................................................... 165 4.11. Funcii dependente i independente......................................................... 170 4.12. Extreme cu legturi.................................................................................. 175 4.13. Schimbri de variabile ............................................................................. 180 4.14. Elemente de teoria cmpurilor................................................................. 182BIBLIOGRAFIE................................................................................................... 188 9. 1.iruri i serii de numere reale1.1. Numere realen cele ce urmeaz vom nota cu mulimea numerelor naturale, adicmulimea {0,1, 2,K, n,K} i cu ={0}* Pe mulimea numerelor naturale sunt definite dou operaii: adunarea (notatcu +) i nmulirea (notat cu ). Deoarece elementele din * nu sunt simetrizabile nici fa de adunare, nicifa de nmulire, operaiile de scdere i mprire nu sunt posibile n . ( nu arestructur de grup nici fa de adunare, nici fa de nmulire). Pentru a face posibil operaia de scdere, la mulimea numerelor naturale seadaug mulimea numerelor negative i se obine astfel mulimea numerelor ntregi = {K , n,K , 2, 1,0,1, 2,K , n,K}( , + , ) este inel comutativ. Urmtoarea extensie a numerelor este mulimeanumerelor raionale , adic mulimea numerelor de forma p q , unde p, q ,q 0, p i q prime ntre ele. n sunt definite cele patru operaii aritmetice:adunarea, scderea, nmulirea i mprirea (cu excepia mpririi la zero). Dinpunct de vedere algebric ( , + , ) este corp comutativ. nc din antichitate s-a observat c mulimea numerelor raionale nu estesuficient de bogat pentru a servi la exprimarea msurii oricrei mrimi din natur.Construcii geometrice foarte simple se conduc la mrimi a cror msur nu sepoate exprima cu ajutorul numerelor raionale. Cel mai simplu exemplu estediagonala unui ptrat de latur 1. ntr-adevr, conform teoremei lui Pitagora,ptratul lungimii acestei diagonale este 2 i este binecunoscut faptul c nu existnici un numr raional al crui ptrat s fie egal cu 2. Este deci necesar s adugmla mulimea numerelor raionale i numere de alt natur, pe care le numim numereiraionale i obinem mulimea numerelor reale . Dac primele extensii ale mulimii numerelor naturale i anume i , aufost determinate de necesiti algebrice, extensia de la la este determinat denecesiti topologice (de convergen). Mulimea numerelor raionale sufer de oanumit "incompletitudine", deoarece, n aceast mulime exist iruri monotone i 10. 1. iruri i serii de numere reale 11mrginite care nu au limit (n ). Vezi de exemplu irul a0 = 1 ; a1 = 1,4 ;a2 = 1, 41 ; a3 = 1,414 ; a crui limit este 2 . Prin crearea mulimiinumerelor reale se nltur acest "defect". n , orice ir monoton i mrginit are o limit. Nu ne propunem sprezentm aici construcia numerelor reale. O s spunem numai c se poateconstrui o mulime care conine corpul numerelor raionale , pe care suntdefinite dou operaii, adunarea (notat cu +) i nmulirea (notat cu ) i o relaiede ordine (notat ) astfel nct ( , + , , ) e