analiza a calcul integral

Upload: costpop

Post on 22-Jul-2015

134 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

IonCRACIUNANALIZAMATEMATICACALCULINTEGRALEDITURAPIMIASI20072Cuprins1 Integraleimproprii 91.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Denit iaintegraleiimproprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 FormulaLeibnizNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Proprietat ialeintegralelorimproprii . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Reducereaintegralelorimpropriila siruri siseriinumerice. . . 211.6 CriteriulintegralalluiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 Metodedecalculaleintegralelorimproprii . . . . . . . . . . . 261.7.1 Schimbareadevariabila nintegralaimproprie . . . . . 261.7.2 Integrareaprinpart i nintegralaimproprie. . . . . . . 301.8 TestulluiCauchydeconvergent aaintegralelorimproprii . . . 331.9 Integraleimpropriiabsolutconvergente . . . . . . . . . . . . . 351.10 Criteriidecomparat iealeintegralelorimproprii . . . . . . . . 381.11 Criteriideconvergent aaleintegralelorimpropriicuintegran-tuldesemnvariabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.12 Convergent an sensul valorii principale a unei integrale improprii 552 Integraledepinzanddeunparametru 612.1 Integralepropriidepinzanddeunparametru . . . . . . . . . . 612.2 Integraleimpropriisimpledepinzanddeunparametru . . . . . 732.3 Integraleimpropriidepinzanddeunparametru,uniformcon-vergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.3.1 Denit iaintegralelorimpropriidepinzanddeunpara-metru,uniformconvergente . . . . . . . . . . . . . . . 782.3.2 Reducereaintegralelorimproprii depinzanddeunpa-rametrula siruridefunct ii . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.3 Proprietat ile integralelor improprii uniform convergen-te nraportcuparametruly . . . . . . . . . . . . . . . 8634 CUPRINS2.4 Criteriideconvergent auniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.5 IntegraleCauchyFrullani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.6 IntegraleleluiEuler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.6.1 Denit iilefunct iilorBeta siGama. . . . . . . . . . . . 1072.6.2 Proprietat ialefunct ieiGama . . . . . . . . . . . . . . 1072.6.3 Proprietat ialefunct ieiBeta . . . . . . . . . . . . . . . 1122.6.4 Relat ie ntrefunct iileBeta siGama. . . . . . . . . . . 1153 Integralecurbilinii 1213.1 Drum,drumrecticabil,curba. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2 Denit iaintegraleicurbiliniideprimultip . . . . . . . . . . . 1313.3 Proprietat ileintegralelorcurbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4 Aplicat iialeintegralelorcurbiliniideprimultip . . . . . . . . 1383.4.1 Masa sicentruldegreutatealeunuirmaterial . . . . 1393.4.2 Momentedeinert iealeunuirmaterial . . . . . . . . 1443.5 Denit iaintegraleicurbiliniidealdoileatip . . . . . . . . . . 1473.5.1 Lucrulmecanicalunuicampdefort e . . . . . . . . . . 1473.5.2 Denit iaintegraleicurbiliniidealdoileatip . . . . . . 1503.6 Legaturadintreceledouatipurideintegralecurbilinii . . . . . 1523.7 Formuladecalculaintegraleicurbiliniidealdoileatip . . . . 1543.8 Proprietat ialeintegralelorcurbiliniidealdoileatip . . . . . . 1583.9 Integralecurbiliniidetipulaldoileapecurbe nchise . . . . . 1583.10 Independent adedrumaintegraleicurbiliniidealdoileatip . 1593.10.1 Formulareaproblemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.10.2 Cazulunuidomeniuplansimpluconex . . . . . . . . . 1603.10.3 Cazulunuidomeniu nspat iusimpluconex . . . . . . . 1643.10.4 Operatorulrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.11 Primitivauneiexpresiidiferent iale . . . . . . . . . . . . . . . . 1664 Integraladubla 1714.1 Elementedetopologie nIR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.2 Ariagurilorplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.3 Denit iaintegraleiduble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.4 Condit iideintegrabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.5 Clasedefunct iiintegrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.6 Proprietat ileintegraleiduble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.7 Evaluareaintegraleiduble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934.7.1 Integraladublapeintervalebidimensionale nchise . . . 193CUPRINS 54.7.2 Integraladublapedomeniisimple nraportcuaxaOy 1974.7.3 Integraladublapedomeniisimple nraportcuaxaOx 2004.8 FormulaintegralaRiemannGreen . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.9 Schimbareadevariabile nintegraladubla . . . . . . . . . . . 2124.10 Aplicat iialeintegraleiduble nmecanica sigeometrie . . . . . 2204.10.1 Masa sicentruldegreutatealeuneiplaci . . . . . . . . 2204.10.2 Momentedeinert iealeuneiplaci . . . . . . . . . . . . 2244.10.3 Momentestaticealeuneiplaci . . . . . . . . . . . . . . 2264.10.4 Fluxluminosincidentpeoplaca . . . . . . . . . . . . 2274.10.5 Debitul unui uidprinsect iuneatransversalaaunuicanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.10.6 Volumulunuicilindroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.11 Integraledubleimproprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.11.1 Domeniuldeintegrarenuestemarginit . . . . . . . . . 2334.11.2 Integraledubledinfunct iinemarginite . . . . . . . . . 2445 Integraledesuprafat a 2475.1 Elementedegeometriadiferent ialaasuprafet elor . . . . . . . 2475.1.1 Panzeparametricenetede . . . . . . . . . . . . . . . . 2475.1.2 Semnicat ia geometrica a condit iei de regularitate. Li-niiparametrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.1.3 Interpretareageometricaadiferent ialeifunct ieivecto-rialer = r(u, v) npunctul(u0, v0) A .Plantangent . 2515.1.4 Oaltadenit ieaplanuluitangent. . . . . . . . . . . . 2565.1.5 Denit iasuprafet ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.1.6 Ecuat iacartezianaimplicitaauneisuprafet e. . . . . . 2575.1.7 Vectornormaluneisuprafat e ntrunpunctregulat. . . 2585.1.8 Elementdeariealuneisuprafet enetede . . . . . . . . 2615.2 Ariauneisuprafet enetede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.3 Integraladesuprafat adeprimultip. . . . . . . . . . . . . . . 2745.4 Aplicat ii ningineriealeintegralelordesuprafat adeprimultip 2835.5 Integraledesuprafat adealdoileatip. . . . . . . . . . . . . . 2885.6 FormulaintegralaaluiStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2986 Integralatripla 3056.1 Elementedetopologie nIR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3056.2 Denit iaintegraleitriple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3086.3 Condit iideexistent aauneiintegraletriple. . . . . . . . . . . 3096 CUPRINS6.4 Proprietat ileintegraleitriple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126.5 Evaluareaintegraleitriple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3146.5.1 Integralatriplapeintervaletridimensionale nchise . . 3146.5.2 Integrala tripla pe un domeniu simplu n raport cu axaOz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3206.5.3 Integrala tripla pe un domeniu simplu n raport cu axaOx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3246.5.4 Integrala tripla pe un domeniu simplu n raport cu axaOy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3256.5.5 Integralatriplapeundomeniuoarecare . . . . . . . . . 3276.6 FormulaintegralaGaussOstrogradski . . . . . . . . . . . . . 3306.7 Schimbareadevariabile nintegralatripla . . . . . . . . . . . 3366.7.1 Coordonatelecilindricesausemipolare nspat iu . . . 3386.7.2 Coordonatelesfericesaupolare nspat iu . . . . . . . . 3396.7.3 Coordonatepolare(sferice)generalizate . . . . . . . . . 3416.7.4 Elementuldevolum ncoordonatecurbilinii . . . . . . 3426.7.5 Schimbareadevariabile nintegralatripla . . . . . . . 3436.8 Aplicat iialeintegraleitriple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3486.8.1 Calcululvolumelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3486.8.2 Masa sicentruldegreutatealeunuisolid. . . . . . . . 3496.8.3 Momentedeinert iealeunuisolid . . . . . . . . . . . . 3506.8.4 Potent ialulnewtonianalunuisolid . . . . . . . . . . . 3526.8.5 Atract iaexercitatadecatreunsolid . . . . . . . . . . 3527 Ecuat iidiferent ialeordinare 3577.1 Catevageneralitat idespreecuat iidiferent ialeordinare . . . . . 3577.2 Ecuat iidiferent ialeordinare,deordinul ntai,integrabileprincuadraturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3657.2.1 Ecuat iidiferent ialecuvariabileseparate . . . . . . . . 3657.2.2 Ecuat iadiferent ialaexacta. . . . . . . . . . . . . . . . 3687.2.3 Ecuat ii diferent ialedeordinul ntai careadmitfactorintegrant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3707.2.4 Ecuat iidiferent ialecuvariabileseparabile . . . . . . . 3747.2.5 Ecuat iadiferent ialaomogena . . . . . . . . . . . . . . 3767.2.6 Ecuat ii diferent iale reductibile la ecuat ii diferent ialeomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3817.2.7 Ecuat iadiferent ialaliniaradeordinul ntai . . . . . . . 387CUPRINS 77.2.8 Ecuat ii diferent iale de ordinul ntai reductibile la ecua-t iiliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3957.3 Ecuat iidiferent ialealgebrice ny

.. . . . . . . . . . . . . . . . 4027.4 Ecuat ii diferent ialedeordinul ntai, nerezolvate nraportcuy

,integrabileprinmetodeelementare. . . . . . . . . . . . . . 4037.4.1 Ecuat iadiferent ialadeformay= f(y

) . . . . . . . . . 4037.4.2 Ecuat iadiferent ialadetipulF(y, y

) = 0 . . . . . . . . 4057.4.3 Ecuat iadiferent ialadeformax = f(y

) . . . . . . . . . 4067.4.4 Ecuat iadiferent ialadetipulF(x, y

) = 0 . . . . . . . . 4077.4.5 Ecuat iadiferent ialadetipLagrange . . . . . . . . . . . 4097.4.6 Ecuat iadiferent ialadetipClairaut . . . . . . . . . . . 4137.4.7 Ecuat iadiferent ialadeformay= f(x, y

). . . . . . . . 4157.4.8 Ecuat iadiferent ialadetipulx = f(y, y

) . . . . . . . . 4178 Ecuat iidiferent ialeordinaredeordinnintegrabileprincua-draturi 4198.1 Ecuat iidiferent ialedetipuly(n)= f(x) . . . . . . . . . . . . . 4198.2 Ecuat iadiferent ialaF(x, y(n)) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . 4208.3 Ecuat iadiferent ialaF(y(n1), y(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . 4228.4 Ecuat iadiferent ialaF(y(n2), y(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . 4239 Ecuat ii diferent iale ordinare care admit micsorarea ordinului4259.1 Ecuat iaF(x, y(k), y(k+1),, y(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 4259.2 Ecuat iaF(y, y

, y

, , y(n)) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . 4279.3 Ecuat iaF(x, y, y

, y

,, y(n)) = 0,omogena ny,y

,,y(n)4299.4 Ecuat iaF_x, y, dydx, d2ydx2,, dnydxn_=0, omogena nx, y, dx,dy,d2y,,dny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4309.5 Ecuat iaF(y, xy

, x2y

,, xny(n)) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 433Bibliograe 4378 CUPRINSCapitolul1Integraleimproprii1.1 IntroducereDenit iaintegrabilitat ii Riemannaunei funct ii realedeovariabilareala,marginita,f: [a, b] IR,calimitanitaasumelorintegraleRiemann(f, k) =n

k=1f(k)(xk xk1),pentru lungimea celui mai mare interval [xk1, xk] [a, b] tinzand la zero, nunglobeaza cazul cand integrantul feste o funct ienemarginita sau intervaluldeintegrare[a, b]esteinnit.Lungimea celui mai mare interval [xk1, xk] se noteaza cu || si senumestenormadiviziunii = x0= a, x1, x2,, xn= b, xk1< xk, k = 1, niark [xk1, xk]senumescpuncteintermediare.Pentrucafunct iarealamarginitaf saeintegrabilaRiemannpecom-pactul[a, b]trebuiecalimitasumelorintegraleRiemannpentru || 0sae nita si sa nu depinda de alegerea punctelor intermediare. Aceasta limitasenumesteintegraladenita sisenoteazacusimbolulb_af(x)dx,910 IonCraciundeciputemscrieegalitatea_baf(x)dx = lim0n

k=1f(k)(xk xk1).Inzicamatematicasentalnescatat integraledinfunct ii nemarginitecat siintegralepedomeniideintegrarenemarginite.Astfeldeintegralesenumescintegraleimproprii.Pentruadeni acestetipuri deintegralenuestesucientsaaplicamotrecerelalimita ntrosumaintegralaRiemannci estenecesarsafolosimotrecerelalimitasuplimentaracaresaimplicedomeniuldeintegrare.Pentruaceasta, domeniul init ial deintegrare, undedenit iaintegrabili-tat ii Riemannnusepoateaplica, se nlocuiestecuunsubdomeniupecarefunct iasaeintegrabilaRiemann. Apoi,acestsubdomeniuseextindepanacoincide cu domeniul init ial de integrare. Limita integralei luata pe subdome-niu,candacestsubdomeniutindesadevinamult imeainit ialadedenit ieafunct iei,senumesteintegralaimproprie.Aceastaesteideeageneralapecaresebazeazadenit iaintegralelorim-proprii.1.2 Denit iaintegraleiimpropriiFieelementelea, b IRcuproprietat ile < a < b + sif: [a, b) IR, (1.1)ofunct ieintegrabilaRiemannpeoriceinterval compact[a, t] [a, b)si ne-marginita ntrovecinatatealuibdacab IR.Denit ia1.2.1Limita npunctul t = bafunct ieiF: [a, b) IR, F(t) =_taf(x)dx (1.2)se numeste integrala improprie culimita superioara de integrarepunctsingularsisenoteazacusimbolul_baf(x)dx. (1.3)Capitolul1Integraleimproprii 11Dinaceastadenit ierezulta_baf(x)dx = limtbF(t) = limtb_taf(x)dx. (1.4)Denit ia1.2.2Funct iaf senumeste integrabilansens generalizatdacaexistasiestenitalimitafunct ieiFpentrut b.Denit ia1.2.3Dacafunct ia(1.1)esteintegrabila nsensgeneralizat,spu-nem ca integrala improprie (1.3) este convergenta; daca limita pentru t bafunct iei (1.2)esteinnitasaunuexista, integralaimproprie(1.3)senu-mestedivergenta.Denit ia1.2.4Prinnaturaunei integraleimproprii sent elegepro-prietateasadeaconvergentasaudivergenta.Observat ia1.2.1Fiea1 IRastfel ncata < a1< b.Egalitatea_taf(x)dx =_a1af(x)dx +_ta1f(x)dximplicafaptul caintegraleleimproprii_baf(x)dxsi_ba1f(x)dxsunt simul-tanconvergentesaudivergente. Astfel, candtestamconvergent aintegraleiimproprii(1.3),oputem nlocuiprinintegralaimproprie_ba1f(x)dx (1.5)Inplus,dacaintegralaimproprie(1.3)esteconvergenta,legaturasacuinte-gralaimproprie(1.5)este_baf(x)dx =_a1af(x)dx +_ba1f(x)dx, (1.6)iardin(1.4)si(1.6)deducemlima1b_ba1f(x)dx = 0. (1.7)12 IonCraciunDacafesteofunct iecontinuasi nenegativapesegmentul [a, b), atunciintegralei improprii (1.3) i se poate da o interpretare geometrica. Consider amregiuneaaplanului Oxylimitatainferiordesegmentul [a, b), superiordegracul funct iei fsi lastangadesegmentul nchisparalel laaxaOyavandextremitat ile npuncteleA(a, 0) siA

(a, f(a)). Denit iamasuriisauacara-bilitat ii si not iunea de arie a unei guri plane este inaplicabila mult imiideoareceaceastaestenemarginita. Unsegmentparalel cuextremitateastangaadomeniului cuextremitat ilenpunctele M(t, 0) si M

(t, f(t))taiedintrapezulcurbiliniuAMM

A

situat nstangalinieiconsiderateacaruiarieesteintegraladenita(1.2).Estenaturalsaextindemnot iuneadecarabilitate la domenii nemarginite daca aria trapezului AMM

A

tinde la olimitanitacandt b. Inacestcazspunemcaestecarabil,iarlimitademai sus se numeste aria domeniului . Aceasta arie se exprima prin integralaimproprie(1.3).In mod analog se introduce integrala improprie cu limita inferioara punctsingular.Denit ia1.2.5Simbolul_bag(x)dx (1.8)reprezinta notat ia pentru integrala improprie cu limita inferioara punctsingulardacafunct iag: (a, b] IR, a < b < + (1.9)esteintegrabilaRiemannpeoricecompact[t, b] (a, b]sinemarginitacanda IR.Denit ia1.2.6Funct ia (1.9) se numeste integrabila n sens generalizatsau, altfel spus, integralaimproprie(1.8)esteconvergentadacaexistasiestenitalimitafunct ieiG : (a, b] IR, G(t) =_btg(x)dx (1.10)pentrut a.Inacestcaz,simbolul (1.8)reprezintanumarul real_bag(x)dx = limtaG(t) = limta_btg(x)dx. (1.11)Dacafunct ia(1.10)nuarelimita nt = a,saulimita(1.11)esteinnitasaunuexista,integralaimproprie(1.8)senumestedivergenta.Capitolul1Integraleimproprii 13Pentru integrala improprie cu limita inferioara punct singular au loc rezul-tate analoage celor din (1.6) si (1.7), adica daca (1.8) este convergenta, atunciintegralaimproprie_a1ag(x)dxesteconvergentaoricareara1 (a, b] si:_bag(x)dx =_a1ag(x)dx +_ba1g(x)dx;lima1a_a1ag(x)dx = 0.Denit ia1.2.7Simbolul matematic_bah(x)dx (1.12)se numeste integrala improprie cu ambele limite de integrare puncte singularedacafunct iah : (a, b) IR, a < b + (1.13)esteintegrabilaRiemannpeoricecompact[u, v] (a, b) sinemarginitacandcel put inunadinlimiteledeintegrareestenita.Denit ia1.2.8Funct ia h din (1.13) este integrabila n sens generalizatsau, integrala improprie cu ambele limite de integrare puncte singulare (1.12)este convergenta, daca pentruo alegere oarecare a punctului c(a, b)integraleleimproprii:_cah(x)dx;_bch(x)dx, (1.14)suntconvergentesi_bah(x) =_cah(x)dx +_bch(x)dx.Dacacel put inunadinintegraleleimproprii (1.14) estedivergenta, atunciintegralaimproprie(1.12)estedivergenta.Teorema1.2.1Integralaimproprie(1.12)esteconvergentadacasi numaidacalimitelelimua_cuh(x)dx, limtb_tch(x)dx (1.15)existasisuntnite.Inacestcaz,valoareaintegraleiimproprii(1.12)este_bah(x)dx =limuatb_tuh(x)dx. (1.16)14 IonCraciunDemonstrat ie. Integralele improprii (1.14) sunt convergente daca si numaidacalimitele(1.15)exista sisuntnite. Pedealtaparte_tuh(x)dx =_cuh(x)dx +_tch(x)dx. (1.17)Trecandlalimita n(1.17)pentruu a sit b,dinnotat ialimua_cuh(x)dx + limtb_tch(x)dx =limuatb_tuh(x)dxsiDenit ia1.2.8rezultaconcluziileteoremei.Observat ia1.2.2Studiul integralelorimproprii culimitainferioarapunctsingularsereducelastudiul celorculimitasuperioarapunctsingular.Intr-adevar,funct iaf: [b, a) IR, < b < a +,f(x) = g(x)esteintegrabilaRiemannpecompactul[b, t] [b, a) siavem_btg(x)dx =_tbg(u) du =_tbf(u) du. (1.18)Trecandlalimitapentrut a n(1.18),gasimrelat ia_bag(x)dx =_abf(x)dx,care arata ca integrala improprie cu limita inferioara punct singular din (1.8)este egala cu o integrala improprie avand limita superioara punct singular.Observat ia1.2.3Esteposibil ca ntrointegralaimpropriesaexistesialtepunctesingularenesituate nunasauambelelimitedeintegrare.Astfel,sim-bolul_ba(x)dx (1.19)reprezinta o integrala improprie cu singularitat ile n punctele c0, c1,, cn1,cnunde a = c0< c1 1sidivergentapentru 1.Intr-adevar,avem_taCxdx =___Clnta, pentru = 1Ct1a11 , pentru ,= 1siprinurmare,I() = limt+_taCxdx =___Ca1 1, pentru > 1+, pentru 1.Rezultatelegasitearatacaintegralaimproprieconsiderataesteconver-gentapentru>1si divergentapentru 1, iarcandesteconvergenta,valoareaintegraleiesteC( 1)a1.Exemplul1.2.5Integraleleimpropriidespet aadoua:I1() =_ba1(b x)dx; I2() =_ba1(x a)dx, (1.22)primaculimitasuperioarapunct singular, iaradouacusingularitateanlimitainferioara,suntconvergentepentru < 1sidivergentedaca 1.Intr-adevar,din_ta1(b x)dx =___11 _1(b a)1 1(b t)1_daca ,= 1ln (b t) + ln (b a) daca = 1,18 IonCraciunprintrecerelalimitapentrut b,obt inemlimtb_ta1(b x)dx =___11 1(b a)1, daca < 1+, daca 1,rezultatcaredemonstreazaarmat iilereferitoarelaprimaintegrala.Inmodsimilarsededucelimua_bu1(x a)dx =___+, daca 111 1(b a)1. daca < 1Dincelededusemai susrezultaca ncazul 0existatn0astfel ncatsaaibalocinegalitateaJ t

msiprinurmare,inegalitateaJ 0,esteconvergentapentru > 1sidivergentapentru (0, 1].Solut ie. SeaplicacriteriulintegralalluiCauchy,undefunct iafestef(x) =1x lnx, > 0, x [2, +).Integralaimpropriedecareavemnevoiepentruaaplicacriteriuleste_+2dxx lnx=_+2d(ln x)lnx=_+ln 2duu.Ultimaintegralaestedetipul(1.21) ncarea = ln 2siC= 1.Prinurmare,integralaesteconvergentapentru>1sidivergentacand 1.Conformcriteriului integral al lui Cauchy, seriaeste convergentapentru>1sidivergentapentru (0, 1].1.7 Metodedecalcul aleintegralelorimpro-priiPlecanddelaobservat iacaointegralaimpropriesedenestecalimitaaunei integraledenitesi capentrucalculul acesteiadinurmasepotutilizametodecaschimbareadevariabilasi integrareaprinpart i, estenatural sapunem problema daca aceste tehnici de calcul nu sunt aplicabile si integralelorimproprii.1.7.1 Schimbareadevariabila nintegralaimproprieTeorema1.7.1Dacaf:[a, b) IR, 0existab() [a, b)astfel ncat[F(t

) F(t

)[ < ()t

(b(), b) si ()t

(b(), b). (1.56)Teorema1.8.1(TestulluiCauchydeconvergent aaluneiintegraleimproprii culimita superioara punct singular) Integrala improprie(1.55)esteconvergentadacasinumaidaca pentruorice > 0existab() [a, b)astfel ncatinegalitatea_t

t

f(x)dx < (1.57)arelocpentruoricet

, t

(b(), b).Demonstrat ie. Convergent aintegralei improprii (1.55) este stabilitadecomportareavalorilorfunct ieiF: [a, b) IR, F(t) =_taf(x)dx (1.58)n vecinatatea punctului t = b. Aplicand teorema lui BolzanoCauchy n carefunct iaFeste(1.58),din(1.55) si(1.56)rezultaconcluziateoremei.Observat ia1.8.1Inegalitatea(1.57)esteechivalentacucondit ialimt

bt

b_t

t

f(x)dx = 0. (1.59)34 IonCraciunExercit iul1.8.1Folosindtestuldeconvergent aalluiCauchysasedemon-streze ca integrala improprie de spet a ntai cu limita superioara punct singularI=_+0sin xxdx (1.60)esteconvergenta. AceastaintegralasenumesteintegralaluiDirichlet.Solut ie. Saremarcam ntai casingularitatea nlimitainferioaraaacesteiintegraleesteaparentacacifunct iaf1: (0, +) IR, f1(x) =sin xx, x > 0, (1.61)poate prelungita prin continuitate luand pe 1 ca valoare n x = 0 a funct ieif, prelungireaprincontinuuitateafunct iei f1. Valoarea nx=0afunct ieifestelimita norigineafunct ieif1din(1.61).Atuncifunct iaf: [0, +) IR, f(x) =___sin xxpentru x > 0,1 pentru x = 0estecontinuape ntregdomeniudedenit iedecisepoatevorbideintegralaimproprie(1.60).Evaluareaintegraleidetipul(1.59)folosindmetodaintegrariiprinpart iconducela_t

t

sin xxdx =cos t

t

cos t

t

_t

t

cos xx2dx.Prinurmare,_t

t

sin xxdx 1t

+1t

+_t

t

[ cos x[x2dx 1t

+1t

+_t

t

dxx2 2t

+2t

0pentru t

+si t

+. Deci, n baza part ii a doua a testului lui Cauchydeconvergent aauneiintegraleimproprii,integralaimpropriedespet a ntai(1.60) este convergenta. Mai tarziuvomvedeacavaloareaintegralei luiDirichleteste2.Capitolul1Integraleimproprii 35De remarcat caaplicareatestului lui Cauchylaointegralaimproprieconcret aestelaborioasa, nschimb, nmulteaplicat ii,acesttestestefolositpentrustabilireaunorcondit iisuciente(criterii)deconvergent a.Criteriiledeconvergent apecarelevomdemonstrasevor referi lain-tegraleimproprii culimitasuperioarapunctsingular, si aceastapentrucastudiul oricarui alt tip de integrala improprie, printro schimbare de variabilaadecvat a,sereducelastudiuluneiacusingularitatea nlimitasuperioara.Inaintedeatrecelaprezentareaacestorcriteriivomintroducenot iuneadeintegralaimproprieabsolut convergentacareesteasemanatoarenot iuniideserienumericaabsolutconvergenta.1.9 IntegraleimpropriiabsolutconvergenteDenit ia1.9.1Fief:[a, b) IRofunct ieintegrabila nsensgeneralizatpeintervalul [a, b)siintegralaimproprieculimitasuperioarapunctsingular_baf(x)dx. (1.62)Integralaimproprie(1.62)senumesteabsolutconvergentadacaintegralaimproprie_ba[f(x)[dx (1.63)esteconvergenta.Teorema1.9.1Dacaintegralaimproprie(1.62) esteabsolut convergenta,atuncieaesteconvergenta.Demonstrat ie.Intr-adevar,integrala(1.63)indconvergenta, rezultacapentru > 0existab()astfel ncatsaavem_t

t

[f(x)[dx < , ()t

, t

> b(). (1.64)Insa, ntotdeaunaavem_t

t

f(x)dx _t

t

[f(x)[dx. (1.65)36 IonCraciunInegalitat ile(1.64) si(1.65)implica_t

t

f(x)dx _t

t

[f(x)[dx < ()t

, t

> b().Fiindndeplinite condit iile testului lui Cauchy pentru integrala improprie(1.62),aceastaesteconvergenta siteoremaestedemonstrata.Observat ia1.9.1Convergent aintegralei improprii (1.62)nuimplicacon-vergent a absoluta a sa, cu alte cuvinte reciproca Teoremei 1.9.1 nu esteadevarata.Pentruajusticaaceastaarmat ieestesucientsadamunexemplu. Fo-losindtestul deconvergent aal lui Cauchysademonstratcaintegralaim-proprie de spet antai (1.60) este convergenta. Demonstramcaintegralamodulului_+0[ sin x[xdxestedivergenta. Pentruaceastaestesucientsaaratamcaserianumerica+

n=0_(n+1)n[ sin x[xdx (1.66)este divergenta fapt ce se poate constata prin aplicarea criteriului de compa-rat iepentruseriilenumericecutermenipozitivi.Intradevar,pentrun 1,avem_(n+1)n[ sin x[xdx 1(n + 1)_(n+1)nsin xdx =2(n + 1), (1.67)iarserianumericacutermenipozitivi+

n=12n=2+

n=11n(1.68)estedivergentadeoarecediferadeseriaarmonicaprinfactorulconstant2.Divergent aserieinumerice(1.68)siinegalitatea(1.67), mpreunacucri-teriul decomparat iepentruseriilenumericecutermeni pozitivi, atragedi-vergent aserieinumerice(1.66).Capitolul1Integraleimproprii 37Denit ia1.9.2Integralaimproprie (1.62) se numeste semiconvergentasausimpluconvergentadacaeaesteconvergentadarnuesteabsolutcon-vergenta.Observat ia1.9.2O integrala improprie se poate plasa n unul din cazurile:integralaimpropriesemiconvergenta; integralaimproprieabsolutconvergen-ta;integralaimpropriedivergenta.Observat ia1.9.3Integralaimproprieculimitasuperioarapunct singular(1.62)esteabsolutconvergentadacasinumaidaca integralaimproprie_ba1f(x)dx, (1.69)undea < a1< b,esteabsolutconvergenta.Intr-adevar,dacaunadinintegraleleimproprii (1.62)si (1.69)esteabsolutconvergenta, n baza Denit iei 1.9.1 si a testului de convergent a al lui Cauchy,avem_t

t

[f(x)[dx 0 pentru t

, t

b. (1.70)Darrelat ia(1.70)estecondit ienecesarasi sucientadeconvergent asipentrucealaltaintegralaimpropriedinceledouament ionatemaisus.Exemplul1.9.1(Unexempludeintegralasemiconvergenta)Peseg-mentul [n 1, n] IRcabaza,seconstruiestetriunghiul isoscel Tn, dearie1n, cuvarful nsussau njos, dupacumnestenumar ntregpozitivimparsaupar. Mult imealaturiloregalealetriunghiurilorT0, T1, T2,, Tn, constituiegracul uneifunct iifcontinuepentrux > 0.Sasearatecainte-graleimpropriedeprimaspet a_+0f(x)dxesteconvergenta, ntimpceintegrala_+0[f(x)[dxestedivergenta.38 IonCraciunSolut ie. Saconsideramunnumar pozitivxcuproprietateacaparteasantreagaesten 1.Dacanestepar,putemscrie_n0f(t)dt _x0f(t)dt _n10f(t)dt.Dacanesteimpar,aveminegalitat ilecontrarii_n10f(t)dt _x0f(t)dt _n0f(t)dt.Dar,dininterpretareageometricaaintegraleiRiemann,avem_n10f(t)dt =n1

k=1(1)k11k.dacax +,atuncin +,iar+

k=1(1)k11k= ln 2,deciintegralaimproprie_+0f(x)dxesteconvergenta siarevaloarealn 2.Pedealtaparte,esteusordevazutcan1

k=11k _x0f(t)dt n

k=11k,deciintegrala_ [f(x)[dxestedivergentadeoareceserianumerica+

n=11nestedivergenta.Prinurmare, integralaimpropriedespet a ntai_+0f(x)dxestesemi-convergenta.1.10 Criterii de comparat ie ale integralelorimpropriiPentrustudiul convergent ei absolutesi divergent ei unorintegraleimpropriide regula se folosesc unele criterii n care sunt implicate doua integrale impro-prii alecarornaturaestecomparata, motivpentrucareacestecriterii suntnumitecriteriidecomparat ie.Capitolul1Integraleimproprii 39Teorema1.10.1(Criteriulgeneraldecomparat ie)Dacafunct iilef, g: [a, b) IR, < a < b +suntintegrabileRiemannpeoricesegment[a, t] [a, b),atunciaulocurma-toarelearmat ii:1. dacaexistaa1 [a, b)astfel ncatarelocinegalitatea[f(x)[ g(x), x [a1, b),siintegralaimproprieculimitasuperioarapunctsingular_bag(x)dx (1.71)esteconvergenta,atunciintegralaimproprie(1.62)esteabsolutconver-genta;2. dacaexistaa2 [a, b)astfel ncatf(x) g(x) 0, x [a2, b)si integrala improprie (1.71) este divergenta, atunci integrala improprie(1.62)estedivergenta.Demonstrat ie. Pentruademonstraprimadintrearmat iisaobservamcapeoricesegment[t

, t

] [a1, b)avem_t

t

[f(x)[dx _t

t

g(x)dx. (1.72)In baza inegalitat ii (1.72) si a testului lui Cauchy de convergent a a unei inte-graleimproprii, rezultacaintegralaimproprie(1.63)esteconvergenta, decinbazaDenit iei1.9.1integralaimproprie(1.62)esteabsolutconvergenta.Demonstrat iacelei deadouaarmat ii sefaceprinreducerelaabsurd.Presupunandprinabsurdcaintegralaimproprie(1.62)esteconvergenta, nbazaprimeiarmat iiaacesteiteoremerezultacaintegralaimproprie(1.71)esteconvergenta,ceeacecontraziceipoteza.Dinaceastateoremarezultacatevaconsecint ecaresunt foarteutilesiusordemanevrat nstabilireanaturiiunorintegraleimproprii.40 IonCraciunCorolarul1.10.1(Criteriul de comparat ie culimita) Dacaninte-graleleimproprii (1.62)si (1.71), culimitasuperioarapunctsingular, func-t iilefsigsuntnenegativepesegmentul [a, b)siexistalimxbf(x)g(x)= k,atunciaulocurmatoarelearmat ii:1. daca integrala improprie (1.71) este convergenta si 0 k < +, atunciintegralaimproprie(1.62)esteconvergenta;2. dacaintegralaimproprie(1.71)estedivergentasi0 < k +,atunciintegralaimproprie(1.62)estedivergenta.Demonstrat ie. Pentruaaratacaprimaarmat ieesteadevaratasaob-servamcadindenit ianlimbajul alimitei unei funct ii realedeovariabilarealaa, ntr-unpunctdeacumulareadomeniului ei dedenit ie,rezultacaexistaa1 [a, b)astfel ncatf(x)g(x)< k + 1, x [a1, b) =f(x) < (k + 1)g(x), x [a1, b).Convergent aintegralei(1.71)implicaconvergent aintegralei_ba(k + 1)g(x)dxsi n baza punctului 1 al Teoremei 1.10.1 rezulta armat ia 1 din acest corolar.Pentru a demonstra punctul 2 sa consideram k

(0, k). Denit ia limiteiasiguraexistent aluia2 [a, b)astfel ncatf(x)g(x)> k

, x [a2, b) =f(x) > k

g(x), x [a2, b). (1.73)Inegalitat ile (1.73), divergent aintegralei improprii (1.71) si ipotezade lapunctul2alTeoremei1.10.1conducladivergent aintegralei(1.62).Observat ia1.10.1Daca0 1siC 0nitastfel ncat[f(x)[ Cx, x [a1, +),atunciintegralaimproprie(1.74)esteabsolutconvergenta;2. dacaexistaa2 [a, +), 1siC> 0astfel ncat[f(x)[ Cx, x [a2, +),iar funct ia fare semn constant pe [a2, +), atunci integrala improprie(1.74)estedivergenta.Demonstrat ie. Punandg(x) =Cxncriteriul general decomparat iesit inandcontdefaptulcaintegralaimproprie_+aCxdxesteconvergentapentru>1si a>0, deducemcaintegrala(1.74)esteabsolutconvergenta. Saobservamcapresupunereaa>0nuesterestric-tivacaci dacase ntamplaca n(1.74)limitainferioaradeintegraresanuepozitiva, atunci apoate nlocuitprinc>0, iarintegraleleimproprii_+af(x)dx si_+cf(x)dxsuntsimultanconvergentesaudivergente.Pentruademonstraceadeadouaarmat ie,presupunemcaexistaa2>a, C>0si 1astfel ncat f(x) Cxpentrux [a2, +). Dacat inemcont canacest cazintegralaimproprie_+a2Cxdxestedivergentasi aplic amparteaadouaacriteriului general decomparat ie, deducemca_+a2f(x)dxeste divergentarezultat care, mpreunacuObservat ia1.2.1,implicadivergent aintegraleiimproprii(1.74).42 IonCraciunIn cazul n care valorile funct iei fsunt negative pe [a2, +), daca f(x) Cxpentrux a2 a > 0,C> 0 si 1,putempunef(x) = f(x).Funct iafareproprietateaf(x) Cxpentruoricex a2 a > 0.In consecint a, integrala_+af(x)dx este divergenta, ceea ce atrage fap-tulcaintegrala_+af(x)dx = limt+_taf(x)dx = limt+_taf(x)dxestedeasemenidivergenta,pentrucaultimalimitanuexista.Corolarul1.10.3(Criteriul deconvergent a nculimita)Dacaex-istalimitalimx+[f(x)[ x= C,atunciaulocurmatoarelearmat ii:1. daca0 C1, integralaimproprie(1.74)esteabsolutconvergenta;2. daca0 0 si x [a2, +) =[f(x)[ 2Cx , x [a2, +);[f(x)[ x 1, pentru C= 0 si x [a2, +) =[f(x)[ 1x, x [a2, +).Prin urmare, n baza punctului 1 al Corolarului 1.10.2 integrala impropriedespet a ntai(1.74)esteabsolutconvergenta.Pentru a doua armat ie,daca 0 < C + si 1, au loc urmatoareleinegalitat i[f(x)[ x>C2 , pentru C< + si x [a2, +) =Capitolul1Integraleimproprii 43[f(x)[ >C2x, x [a2, +);[f(x)[ x> 1, pentru C= si x [a2, +) =[f(x)[ >1x, x [a2, +),deunde, conformcelei deadouaarmat ii dinCorolarul 1.10.2, rezultacaintegralaimproprie(1.74)estedivergenta.Exemplul1.10.1Integralaimproprie_+aP(x)Q(x)dx, (1.75)undeP(x)=m

k=0akxkesteunpolinomdegradul mcucoecient i reali, iarQ(x) =n

j=0bjxjunpolinomreal degradn, carenuareradacini realenintervalul deintegrare[a, +),esteconvergentadacan > m+ 1.Solut ie.Intr-adevar,funct iadeintegratsepoatescrieP(x)Q(x)=1xnma0 +a1x+ +amxmb0 +b1x+ +bnxn. (1.76)Efectuand produsul cu xnmn ambii membri ai relat iei (1.76) si trecandlalimit apentrux +,obt inemlimx+xnmP(x)Q(x)=a0b0,carearatacadacan m > 1,integralaimproprie(1.75)esteconvergenta.Exercit iul1.10.1Sa se studieze natura integralelor improprii de primaspet a:I1=_+1dx1 + x231 + x3, I2=_+231 + x2x21dx.44 IonCraciunSolut ie. IntegralaI1esteconvergentadeoarece11 + x231 + x3x2/3x=1x1/3, iarintegrala_+2dxx1/3esteconvergenta.In studiul naturii ambelor integrale sa folosit criteriul special de compa-rat iedinCorolarul1.10.2.Exemplul1.10.2Integraleleimpropriideprimaspet a:_+aek2xsin mxdx; I2=_+aek2xcos mxdxsuntabsolutconvergentedeoarece:[ek2xsin mx[ ek2x; [ek2xcos mx[ ek2x,iarintegralaimpropriedespet aadoua_+aek2xdxesteconvergenta nbazadenit ieinaturiiuneiintegraleimproprii.Comparandintegralaimpropriedespet aadoua_baf(x)dx, < a < b < +, (1.77)cupunctul singular nlimitasuperioara(respectiv nlimitainferioara)cuintegralaimpropriedejastudiata_badx(b x)_respectiv_badx(x a)_,convergentapentruC(x a), x (a, a2]_,iarfunct iaf aresemnconstantpe[a2, b)(respectivpe(a, a2]), atunciintegrala improprie de spet a doua_baf(x)dx,cu limita superioara (res-pectivlimitainferioara)punctsingular,estedivergenta.Demonstrat ie. Punandg(x)=C(b x)_respectivg(x)=C(x a)_ ncriteriul general decomparat iedinTeorema1.10.1si t inandcontdefaptulcaintegralaimproprie_baC(b x)dx =C (b a)1 1,_respectiv_baC(x a)dx =C (b a)1 1_46 IonCraciunesteconvergentapentruC(b x)_respectivf(x) >C(x a)_si 1pentrutot i x [a2, b) [a, b)(respectivx (a, a2] (a, b]).Inacestcazintegralaimpropriedespet adoua_ba2C(b x)dx_respectiv_a2aC(x a)dx_estedivergenta. Aplicandparteaadouaacriteriuluigeneraldecomparat iededucemcaintegralaimproprie_ba2f(x)dx_respectiv_a2af(x)dx_estedi-vergenta. Aceasta ultima integrala are aceeasi natura cu integrala impropriedespet adouaculimitasuperioara(respectivlimitainferioara)nitapunctsingulardin(1.77),rezultatcareimplicadivergent aacestora.In cazul n care funct ia feste negativa pe intervalul [a2, b) [a, b) (respec-tiv(a, a2] (a, b]), dacaf(x)< C(b x)_respectivf(x)< C(x a)_pentrutot i x [a2, b)(respectivx (a, a2]), C>0si 1, introducemfunct iafalecareivalorisedeterminadupalegeaf(x)= f(x).Rezultacaf(x)>C(b x)_respectivf(x)>C(x a)_pentruoricex [a2, b)(respectivx (a, a2])si nconsecint aintegrala_baf(x)dxestedivergenta.Prinurmare,integrala_baf(x)dx = _baf(x)dxeste divergenta cea ce arata ca si cea de a doua armat ie din enunt ul teoremeiesteadevarata.Corolarul1.10.5(Criteriul de convergent anculimitaainte-gralelorimpropriidespet adoua)Inipotezacaexistalimitalimxb[f(x)[ (b x)= C,Capitolul1Integraleimproprii 47aulocurmatoarelearmat ii:1. dacaexistaa1 [a, b), 1, pentru C= si x [a2, b) =[f(x)[ >1(b x), x [a2, b),deunde, nbazapunctului2alTeoremei1.10.1,rezultacaintegralaimpro-priedespet adouaculimitasuperioarapunctsingularestedivergenta,ceeacearataca siadouaarmat ieesteadevarata.48 IonCraciunObservat ia1.10.2Sepoateenunt acriteriul nculimitadeconvergent aaintegralelor improprii despet adouaculimitainferioarapunct singular.Pentruaceasta, nCorolarul 1.10.5si demonstrat ialui, funct ia(b x),acoloundeapare,setrece n(x a),iarsegmentul [a2, b)se nlocuiestecusegmentul (a, a2] (a, b].Exercit iul1.10.2Sasecalculezeintegralaimproprie_+0dx(x + 1)_[x21[.Solut ie. Seobservacaintegrantulestenemarginit ntrovecinatateapunc-tuluix=1.Scriemintegralacasumadintreointegralaimpropriedespet adoua,culimitasuperioarapunctsingular,sioalta,despet atreia,careareambelelimitedeintegrarepunctesingulare. Avem:_+0dx(x + 1)_[x21[=_10dx(x + 1)1 x2++_+1dx(x + 1)x21= I1 + I2.IntegralaI1esteconvergenta,deoareceexista = 1/2 < 1cuproprietatealimx1x1(1 x)1(x + 1)x21=122, pentru =12;limx+x(x + 1)1 x2= 1, pentru = 2 > 1.FiindosumadeintegraleconvergenterezultacaI2esteconvergenta. Prinurmare, integrala init iala este convergenta. Integrala I1 se reduce la integralaCapitolul1Integraleimproprii 49I2prinschimbareadevariabilax=1y. PutemspunecaintegraladataesteegalacudedouaoriintegralaI2.PentrucalcululluiI2facemschimbareadevariabil ax + 1 =1t.Gasim:I2= _01/2dt1 2t=1 2t01/2= 1.Rezultatelestabilitearatacavaloareaintegraleidateeste2.1.11 Criterii deconvergent aaleintegralelorimproprii cuintegrantul desemnvari-abilConsideramcafunct iilef: [a, b) IRsi h: [a, b) IR, unde 0 astfelncat_taf(x)dx K, t [a, b). (1.82)Din cea de a doua ipoteza rezulta ca oricarui > 0 i corespunde b() [a, b)astfel ncat[h(x)[ 0sib IR,numererealearbitrare. SasearatecaintegraleleimpropriiI1=_+0eaxcos bxdx, I2=_+0eaxsin bxdxsuntconvergentesisasedeterminevalorilelor.Solut ie. Pentrustudiul naturii integralelor, folosimcriteriul lui Dirichlet.Pentruambeleintegrale, h(x)=eax. Deoarecea>0, rezultacafunct iahestemonotondescrescatoare si limx+h(x) = 0.Pentruprimaintegrala, f(x) dincriteriul lui Dirichlet este cos bx, iarpentruadouaf(x)=sin bx. Rezultacafunct iileF(x)=_x0f(t)dtcores-punzatoaresuntF(x) =_x0cos btdt =1b sin bx, F(x) =_x0sin btdt =1b(1 cos bx).Funct ia [F[(x) este marginita de1[b[ n primul caz, iar n cel de al doilea estemarginitade2[b[.ConformcriteriuluiluiDirichlet,ambeleintegralesuntconvergente.Pentrucalculul acestorintegrale, aplicamdedouaori formulaintegrariiprinpart i siobt inem I1=aa2+ b2, I2=ba2+ b2.52 IonCraciunExemplul1.11.1Integrala_+sin xxdxeste convergenta pentru >0deoarece, dacancriteriul lui Dirichlet luamf(x) =sin xsi h(x) =1x,avem[F(t)[ =_tf(x)dx =_tsin xdx = [ cos cos t[ 2pentru t +, iarh(x)=1xesteofunct iemonotondescrescatoarecaretindelazeropentrut +si > 0.Exercit iul1.11.2SasecerecetezenaturaintegralelorFresnel1_+0sin (x2)dx,_+0cos (x2)dx,caresuntutilizate noptica.Solut ie. Punandx2= t,obt inem_+0sin (x2)dx =_+0sin t2tdt,_+0cos (x2)dx =_+0cos t2tdt.(1.86)In criteriul lui Dirichlet, aplicat integralei improprii_+0f(t)h(t)dt, luamperandf(t)=sin tsi f(t)=cos t, iar nambelecazuri din(1.86), funct iaholuamdeformah(t)=12t. Funct iahsatisfaceipotezelecriteriului luiDirichlet,iaruncalculsimpluaratacavaloareaabsolutaafunct ieiu F(u) =_u0f(t) dt, u (0, +),nambelecazuri alealegerii funct iei f, estemarginitadeK=2. Atunci,conformcriteriuluiluiDirichlet,ambeleintegralesuntconvergente.1Fresnel, Augustin Jean (1788 1827), geometru si optician francezCapitolul1Integraleimproprii 53Exemplul1.11.2Considerandintegralaimproprie_+c(ln x) sin xx,undec > 0,siluandf(x) = sin x, h(x) =ln xx,nbazacriteriuluiluiDirichlet,constatamconvergent aacesteia.Exercit iul1.11.3Sasecerecetezenaturaintegralelor_+0sin xxdx,_+0cos xxdx, > 0. (1.87)Solut ie. DincriteriulluiDirichletrezultacaintegralele_+1sin xxdx,_+1cos xxdx (1.88)suntconvergentepentru>0. Intr-adevar,considerandcaf(x)=sin xsig(x) =1x,undex [1, +),constatamcaacestefunct iisatisfacipotezelecriteriului lui Dirichlet daca > 0, astfel ca integrala improprie_+1sin xxdxesteconvergenta.Analog se demonstreaza ca integrala improprie_+1cos xxdx este conver-gentapentru > 0.Pedealtaparte,deoarecepentrux > 1avemsin xx 1x,cos xx 1x,iarintegralaimproprie_+1dxxesteconvergentapentru>1, rezultacaintegraleleimproprii(1.88)suntabsolutconvergentepentru > 1.Deoarece_+1dxxestedivergenta,iar_+1cos 2xxdxesteconvergenta nbazacriteriuluiluiDirichlet,rezultacaintegralaimproprie_+1sin2xxdx =12__+1dxx_+1cos 2xxdx_(1.89)54 IonCraciunestedivergenta. Dacaavem nvedereca [ sin x[ sin2xdin(1.89)tragemconcluziacaintegralaimproprie_+1[ sin x[xdx (1.90)este divergenta. La rezultatele de pana acum adaugam faptul ca pentru oricex 1 si (0, 1)arelocinegalitateaevidenta[ sin x[x [ sin x[x. (1.91)Din(1.90), (1.91) si parteaadouaacriteriului decomparat ierezultacaintegralaimproprie_+1[ sin x[xdxestedivergentapentru (0, 1).Asadar, primaintegraladin(1.88)estesimpluconvergentapemtru (0, 1). Analog se arata ca a doua integrala din (1.88) este simplu convergenta.Saneocupamacumdeintegralele_10sin xxdx,_10cos xxdx. (1.92)Primaintegraladin(1.92)esteconvergentapentru (0, 1]deoarecelimx0+sin xx=___0 daca (0, 1)1 daca = 1.Din limx0+x1_sin xx_=1si criteriulnculimitarezultacaprimaintegraladin(1.92)esteconvergentapentru1 < < 2sidivergentapentru 2.Prin urmare,integrala improprie (1.87) este semiconvergenta pentru (0, 2) sidivergentapentru 2.Deoarecepentru>0avemlimx0+cos xx=+, rezultacaadouainte-grala din (1.92) este o integrala improprie cu limita inferioara punct singularpentru orice > 0. Apoi, din limta evidenta limx0+x_cos xx_= 1 si Corolarul1.10.3,rezultacaceadeadouaintegraladin(1.92)esteconvergentapentruorice (0, 1) sidivergentapentruorice 1.Ultimul rezultat aratacaceadeadouaintegralaimpropriedin(1.87)estesemiconvergentapentru (0, 1) sidivergentapentru 1.Capitolul1Integraleimproprii 551.12 Convergent a nsensulvaloriiprincipaleauneiintegraleimpropriiDenit ia1.12.1Dacaintegralaimpropriedespet a ntai cuambelelimitedeintegrarepunctesingulare_+f(x)dx (1.93)estedivergentadarexistasiestenitalimt+_ttf(x)dx, (1.94)atunci spunemcafunct iaf : (, +) IResteintegrabilansen-sulvaloriiprincipalesaucaintegrala(1.93)esteconvergenta nsensulvaloriiprincipale,iarV.p._+f(x)dx = limt+_ttf(x)dxsenumestevaloareaprincipala(nsensCauchy)aintegralei(1.93).Fiefunct iaf : [a, b] c IRintegrabilaRiemannpeoricecompact[u, t] [a, c) sau[u, t] (c, b].Inacest caz se poate vorbi de integralaimproprie_baf(x)dx (1.95)avandpunctul singularc (a, b). Dinceleprezentate nprimul paragrafalacestui capitol rezultacaintegralaimproprie(1.95)esteconvergentadacaecare dinintegralele improprii_caf(x)dxsi_bcf(x)dxeste convergenta.Aceasta nseamnacalimitademaijosexista siestenitalimcc_bf(x)dx =limu0+v0+__cuaf(x)dx +_bc+vf(x)dx_56 IonCraciunpentrusi (respectivusi v)tinzandindependntlalimitelelor.Inacestcaz_baf(x)dx =limu0+v0+__cuaf(x)dx +_bc+vf(x)dx_.Denit ia1.12.2Daca integrala improprie (1.95), avand punctul singular nc (a, b)estedivergenta, nsaexistasiestenitalimu0+__cuaf(x)dx +_bc+uf(x)dx_,atunci spunem ca feste integrabilape [a, b] nsensulvaloriiprincipalea lui Cauchy sau ca integrala improprie (1.95) este convergentan sensulvaloriiprincipalealuiCauchyiarv.p._baf(x)dx =limu0+__cuaf(x)dx +_bc+uf(x)dx_,senumestevaloareaprincipala nsensCauchyaintegralei(1.95).Exercit iul1.12.1Sasearatecadaca 0,iarsemnulminusseiacandbk< 0.Integraleleimpropriicuambelelimitedeintegrarepunctesingulare_+dxx xk=_+x ak(x ak)2+ b2kdx + i_+bk(x ak)2+ b2kdx,unde k ia valori ntregi de la zero pana la 2n1, sunt divergente, iar numerelelim+_

dxx xk== lim+_ln ( ak)2+ b2k( + ak)2+ b2k+ i_arctgakbk+ arctg+ akbk__,egale cu +i sau i, dupa cum bk> 0, respectiv bk< 0, reprezinta valorileprincipalealeintegralelor.Se constata simplu ca b0, b1, b2, , bn1sunt numere pozitive, iarurmatoarele,adicabn,bn+1,,b2n1,suntnegative. Deci,putemscrie_+x2m1 + x2ndx = i_n1

k=0Ak 2n1

k=nAk_. (1.97)Primasumadinmembruldoialrelat iei(1.97)areexpresian1

k=0Ak= 12n n1

k=0x2m+1k= 12n n1

k=0ei(2m+1)(2k+1)2n, (1.98)deundeconstatamcaestesumaantermeniaiuneiprogresiigeometricecurat ia q= ei 22m+12nsi primul termen egal cu ei2m+12n. Efectuand calculul sumeidin(1.98),gasimn1

k=0Ak= 12n ei2m+12nei(2m+1)(2n+1)2n1 ei 22m+12n== 12n ei2m+12nei (2m+1)_1+12n_1 ei 22m+12n== 12n ei2m+12nei (2m+1) ei2m+12n1 ei 22m+12n.(1.99)60 IonCraciunInsa factorul ei (2m+1)de la numaratorul expresiei (1.99) a sumein1

k=0Akeste1.Caurmare,sumadevinen1

k=0Ak= 12n ei2m+12n+ ei2m+12n1 ei 22m+12n= 1n ei2m+12n1 ei 22m+12n. (1.100)Sadeterminamacumvaloreaceleideadouasume. Avem2n1

k=nAk= 12n 2n1

k=nx2m+1k= 12n 2n1

k=nei(2m+1)(2k+1)2n.Indiceledesumaredeaici sepoatescrie nformak=n + s, undesvaluavaloridelazeropanalan 1.Expresiaceleideadouasumedevineacum2n1

k=nAk= 12nei (2m+1)

n1

s=0ei(2m+1)(2s+1)2n.Dacaset inecont defaptul caei (2m+1)= 1si derezultatul stabilitn(1.98), (1.99) si (1.100), rezulta ca expresia nala a celei de a doua sume este2n1

k=nAk=12n n1

s=0ei(2m+1)(2s+1)2n=1n ei2m+12n1 ei 22m+12n. (1.101)Din(1.97),(1.100) si(1.101)rezulta2J=_+x2m1 + x2ndx = 2in

ei2m+12n1 ei 22m+12n=n 1sin2m+12n. (1.102)Integrantul din(1.102) indofunct ie para, rezultavaloareaunei alteintegraleimportanteJ=_+0x2m1 + x2ndx =2n 1sin2m+12n. (1.103)caresevautiliza ncalcululuneiintegraleimpropriidepinzanddeunpara-metru.Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru2.1 Integraleproprii depinzanddeunpara-metruFiefofunct ierealadedouavariabilerealedenitapeintervalul bidimen-sional nchis = (x, y) IR2: a x b, c y d,cuproprietateacarestrict iasalasegmentul dedreaptaparalel cuaxaOxcaretreceprinpunctul(0, y)f(, y) : [a, b] IReste funct ie integrabila Riemann pentru orice valoare xata a lui ydin inter-valul[c, d].Denit ia2.1.1Funct iarealadevariabilarealaJ: [c, d] IR, J(y) =_baf(x, y)dx, (2.1)senumesteintegralapropriedepinzanddeunparametru. Variabilaysenumesteparametru.6162 IonCraciunObservat ia2.1.1Pot introdusesi integraleproprii caredepinddedoisaumaimult iparametri.Denit ia2.1.2Ointegralapropriecaredepindedemai mult i pa-rametriareforma(y1, y2,, yn) =_baf(x, y1, y2,, yn)dx. (2.2)Parametrii y1, y2,, ynpot considerat i coordonatele n baza canonica dinIRnalevectorului parametruycareapart ineintervalului ndimensionalnchisIn= [c1, d1] [c2, d2][cn, dn] IRn.Observat ia2.1.2Integrala proprie care depinde de mai mult i parametri(2.2)poateprezentatacaointegraladepinzanddeunparametru,(y) =_baf(x, y)dx, (2.3)cument iuneacaparametrul estevectorul y In.Ne propunem sa studiem proprietat ile integralelor proprii care depind deunparametru.Teorema2.1.1(Continuitatea integralelor proprii depinzand de pa-rametru)Dacafunct iaf estecontinuapeintervalul bidimensionalnchis, atunci funct iaJ : [c, d] IR, denitadeintegrala(2.1), esteuniformcontinua.Demonstrat ie. Deoarecefunct iaf(x, y) estecontinuanintervalul bidi-mensional nchis ea este uniform continua. Deci, pentru orice > 0 exista= ()astfel ncatinegalitat ile[x

x

[ < (), [y

y

[ < ()implicainegalitatea[f(x

, y

) f(x

, y

)[ 0astfel ncat,pentruoricecresterealuiycaresatisface[y[ < () (2.16)esteadevaratainegalitatea[f

y(x, y + y) f

y(x, y)[ 0 luat arbitrar.Integralaimproprie(2.41)indconvergenta,exista > a,sucientdemare,astfel ncat2C_+

[g(x)[dx 0, ales arbitrar maisus, exista=()astfel ncatlaoricealegerealui y

si y

dincompactul[c, d]caresasatisfacainegalitatea[y

y

[ < (), (2.45)valorilecorespunzatoarealeluifnpunctele(x, y

)si(x, y

)satisfacinega-litatea[f(x, y

) f(x, y

)[ 0astfel ncatinegalitateaJ(y) _baf(x, y)dx =_bbf(x, y)dx < arelocsimultanpentrutot i < b acaresatisfaccondit ia0 < < ()sipentrutot iy [c, d].Exemplul2.3.1Integralaimpropriedespet antai depinzanddeunpara-metruJ(y) =_+0y exydx (2.58)esteconvergentapentruecarey [0, 1], nsanuesteuniformconvergentanraportcuparametrul ypecompactul [0, 1].Intr-adevar,avem_

0y exydx =_y0eudu = euy0= 1 ey,deundededucemlim+_y0exydx = lim+(1 ey) = 1ceeacearatacaintegralaimproprie(2.58)esteconvergentapentruecarey [0, 1].ConformDenit iei 2.3.1, pentrustudiul convergent ei uniforme trebuiecalculatadiferent aJ(y) _

0y exydx =_+

y exydx =_+yeudu = e y.Pentru o valoare xata si arbitrar de mare> 0, aceasta diferent a ntrece pe1/2 pentru toate valorile lui ysucient de apropiate de zero si, n consecint a,Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 81pentru=1/2nuexistaL()astfel ncat, pentru>L()si pentrutot iy [0, 1],saesatisfacutainegalitatea_+ty exydx < =12.Acestrezultataratacaintegralaimpropriedespet a ntai (2.58)nuesteuniformconvergenta nraportcuparametrulypeintervalul[0, 1].Exercit iul2.3.1Sa se arate ca integrala improprie (2.58) este uniform con-vergenta nraportcuparametrul ypeintervalul [, 1],cu0 < < 1.Solut ie.Intr-adevar,avem_+

y exydx =_+ yeudu = e y e pentru0 < y 1 siprinurmareinegalitatea_+

y exydx < arelocpentruorice >ln 1, 0 < < 1, (2.59)si pentrutot i y [, 1], unde0 N(, x).Dintresiruriledefunct iiconvergentedeoimportant aesent ialasuntasanumitele siruriuniformconvergente.Denit ia2.3.4Sirul defunct ii (fn)senumesteuniformconvergentlafunct iaf(x) peintervalul [a, b] dacapentruorice >0existaunnumarN=N()(dependent de, nsaindependent dexsi carenuesteneaparatnumarnatural)astfel ncat[fn(x) f(x)[ < pentruorice n > N()sipentruoricex [a, b].Pentru demonstrat iile teoremelor care formuleaza proprietat ile integrale-lorimpropriidepinzanddeunparametru,vomaveanevoiedetreirezultatestabilitelastudiul sirurilordefunct iipecarelereamintimmaijos.Teorema2.3.1Dacasirul de funct ii continue (fn) denite pe compactul[a, b] estenedescrescatorsiconvergentlafunct iacontinuaf(x), atuncicon-vergent aesteuniforma.Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 83Teorema2.3.2Dacasirul defunct ii continuudiferent iabile(fn)estecon-vergent la funct ia fpe [a, b], iar sirul derivatelor (f

n) este uniform convergentlafunct ia(x)pe[a, b],atuncifunct iafestederivabilape[a, b]sif

(x) = (x) = limn+f

n(x). (2.60)Teorema2.3.3Daca siruldefunct iicontinue(fn)esteuniformconvergentpeintervalul [a, b]lafunct iaf(x),atuncisirul integralelor__xx0fn(t)dt_esteuniformconvergentpeintervalul [a, b] lafunct iadenitaprinintegrala_xx0f(t)dt,oricarearx0 [a, b].Teoremademaijosareloc ncondit iacaintegrala(2.53)saeconvergentapentruoriceyapart inandcompactului[c, d].Teorema2.3.4PentrucaintegralaJ(y) =_+af(x, y)dxsaeuniformconvergentanraport cuparametrul y pe compactul [c, d], este necesar sisucientcasirul defunct iiFn(y) =_

naf(x, y)dx, n = 1, 2,(2.61)saeuniformconvergentspreJ(y)pecompactul [c, d] oricarearalegereasirului1, 2,, n,,cu limn+

n= +sin a.Demonstrat ie. Necesitatea. Presupunemcaintegrala(2.53) esteuni-form convergenta n raport cu parametrul ype compactul [c, d]. Atunci, con-siderand>0,arbitrar, existaL()>a,astfel ncatpentruorice>L()inegalitatea[J(y) _

af(x, y)dx[ < estesatisfacutasimultanpentrutot iy [c, d].Sa consideram sirul numeric (n), cu limita egala cu +si termenii situat inintervalul [a, +). Considerandu-l peL() demai sus, dinteoremadecaracterizare a limitei unui sir numeric, deducem ca exista N() INastfel84 IonCraciunncatn>L()pentrutot in>N(). Inconsecint a, pentruunastfelden,inegalitatea[J(y) Fn(y)[ = [J(y) _

naf(x, y)dx[ < arelocpentruoricey [c, d]. Aceastanseamnacasirul defunct ii (Fn),avandtermenul general dat de (2.61), este uniformconvergent lafunct iaJ(y),denitade(2.53),peintervalul[c, d].Sucient a. Saaratamcadacaoricesir defunct ii (Fn), avandtermenulgeneral datde(2.61), unden +, n a, esteuniformconvergentlafunct iaJ(y), denitade(2.53), peintervalul [c, d], atunci integrala(2.53)esteuniformconvergenta nraportcuparametrulypeacestinterval.Intr-adevar,dacapresupunemca(2.53), careprinipotezaesteconver-genta pentru orice y [c, d] xat, converge neuniformn raport cu parametrulypeintervalul[c, d],atunciexista0astfel ncatpentruoriceLarbitrardemareexista > L siy [c, d]asafel ncatsaavem[J(y) _

af(x, y)dx[ 0.PresupunandcaLiavalorile[a] + 1,[a] + 2,,[a] + n,,obt inem sirulnumeric(n),cun> n, siun sir(yn),cuyn [c, d],pentrucare[J(yn) _

naf(x, yn)dx[ = [J(yn) Fn(yn)[ 0.Aceastanseamna casirul de funct ii (Fn), cutermenul general Fn(y) =_

naf(x, y)dx, astfel construit, convergeneuniformpeintervalul [c, d], ceeacecontraziceipoteza.Observat ia2.3.1Dacafunct iaf nuschimbadesemn, atunci pentrucaintegrala improprie (2.53) sa e uniform convergenta n raport cu parametruly [c, d] estesucient casirul defunct ii (2.61) saeconvergent lainte-gralaJ(y)cel put inpentruoalegereparticularaasirului numeric(n), cuelementeledinintervalul [a, +)siculimita+.Intr-adevar,presupunandffunct ienenegativa,avem_

af(x, y)dx _

naf(x, y)dxCapitolul2Integraledepinzanddeunparametru 85pentruorice n. Inconsecint a,[J(y) _

af(x, y)dx[ [J(y) _

naf(x, y)dx[ < pentruorice > nsipentrutot iy [c, d] sicunsucientdemare.Observat ia2.3.2Dacafunct iafestecontinuasinuschimbadesemn(deexemplu,estenenegativa)siintegralaimproprie(2.53)estefunct iecontinuadeparametruly [c, d],aceastaintegralaesteuniformconvergenta nraportcuparametrul ypeintervalul [c, d].Intr-adevar,considerand sirulnumericcrescator(n)culimitaegalacu+si termenii situat i n intervalul [a, +) ajungem la sirul de funct ii (Fn) avandtermenulgeneralFn(y) =_

naf(x, y)dx, n = 1, 2,. (2.62)Funct iafindnenegativa, sirul defunct ii (Fn)cutermenul general (2.62)este monoton nedescrescator, iar conform Teoremei 2.1.1, funct iile Fn(y) din(2.62)suntcontinue. Maimult,acestsirdefunct iiconvergelafunct iacon-tinuaJ(y) =_+af(x, y)dx (2.63)pe intervalul [c, d]. Dar Teorema 2.3.1 implica convergent a uniforma a siruluidefunct ii (2.62)lafunct ialimita(2.63)si, nconsecint a, dupaObservat ia2.3.1integralaJ(y) =_+af(x, y)dxesteuniformconvergenta nraportcuparametrulypeacestinterval.Observat ia2.3.3Integralaimpropriedespet aadouaJ(y) =_baf(x, y)dx = lim0+0_baf(x, y)dxsepoatereduce nmodasemanatorlasirul defunct ii(Fn),undeFn(y) =_bnaf(x, y)dx,iar(n)esteunsirnumericconvergent lazeroavandtermenii cuprinsi nintervalul (0, b a).86 IonCraciun2.3.3 Proprietat ileintegralelorimpropriiuniformcon-vergente nraportcuparametrulyIncontinuareprezentamuneleproprietat ialeintegralelorimpropriidetipul(2.53)si (2.57)dincarevomconstatacaipotezasuplimentaraauniformeiconvergent enraport cuparametrul y aleacestoraimplicacontinuitatea,derivabilitatea siintegrabilitatealor.Teorema2.3.5(Continuitateaunei integrale improprii depinzandparametru) Daca funct ia f: [a, +)[c, d] IR este continua si integrala(2.53)este uniform convergenta n raportcu parametrulypeintervalul [c, d],atuncifunct iaJ(y)din(2.53)estecontinuapeacestinterval.Demonstrat ie. Consideram sirul de funct ii (Fn) cu termenul general (2.62),undey [c, d].DupaTeorema2.1.1,funct iile(2.62)suntcontinuepeinter-valul[c, d].Maideparte, Teorema2.3.4implicacasirulconsideratesteuni-formconvergentlaintegralaJ(y)din(2.53)si, nconsecint a, funct iaJ(y)estecontinuapentrucaestelimitaunui sirdefunct iiuniformconvergent.Teorema2.3.6(Derivabilitateauneiintegraleimpropriidepinzanddeparametru)Dacafunct iilef: [a, +) [c, d] IR sify: [a, +) [c, d] IRsuntcontinue,integralaimproprie(2.53)esteconvergenta,iarintegralaim-propriedepinzanddeparametrul y_+afy(x, y)dx (2.64)este uniform convergenta n raport cu parametrul ype intervalul [c, d], atuncifunct ia(2.53)estederivabilape[c, d]sidJdy(y) =_+afy(x, y)dx, y [c, d]. (2.65)Demonstrat ie. Consideramdinnousiruldefunct ii(Fn)cutermenulgen-eral(2.62),undey [c, d],convergentlaintegrala(2.53)peintervalul[c, d].ConformTeoremei2.1.2,funct iileFn(y)suntderivabile siarelocegalitateaF

n(y) =ddy_

naf(x, y)dx =_

naf

y(x, y)dx, (2.66)Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 87unde n = 1, 2,, c y d, iarfunct iileF

n(y)suntcontinuepe[c, d].Dinipoteze siTeorema2.3.4rezultaca siruldefunct ii(F

n)esteuniformconvergent laintegralaimproprie (2.64) si F

n(y) sunt funct ii continue pe[c, d]. Constatam ca sirul de funct ii (Fn) satisface ipotezele din Teorema 2.3.2,prinurmare, integralaimproprieJ(y)esteofunct iecontinuudiferent iabilape[c, d] sirelat iaJ

(y) =_+af

y(x, y)dxarelocpentruoricey [c, d],ceeacetrebuiadedemonstrat.Observat ia2.3.4Avand nvedereexpresia(2.53)afunct iei J(y), rezultacaidentitatea(2.65)sescrieddy_+af(x, y)dx =_+afy(x, y)dx,de unde deducem ca n ipotezele Teoremei 2.3.6 operat iile de derivare si inte-grare ale unei integrale improprii depinzand de un parametru sunt comutabile.Teorema2.3.7(Integrabilitatea unei integrale improprii depinzandde unparametru) Dacafunct iaf din(2.52) este continuasi integralaimproprie depinzandde unparametru(2.53) este uniformconvergentanraportcuparametrulypeintervalul[c, d],atuncifunct iaJ(y)din(2.53)esteintegrabilasi_dcJ(y)dy=_dcdy_+af(x, y)dx =_+adx_dcf(x, y)dy. (2.67)Demonstrat ie. Pentruorice sirdenumere

1, 2,, n,, (n a, limn

n= +),siruldefunct iicorespunzatorFn(y) =_

naf(x, y)dx, n = 1, 2, esteuniformconvergentlafunct iaJ(y)pe[c, d], aceastarezultanddinTe-orema2.3.4. DupaTeorema2.1.1, toatefunct iileFn(y) sunt continuepeintervalul[c, d].Fiindcasunt ndepliniteipotezeledinTeorema2.3.3,avemlimn+_dcFn(y)dy=_dcJ(y)dy.88 IonCraciunPedealtaparte,Teorema2.1.4implicaegalitat ile_dcFn(y)dy=_dcdy_

naf(x, y)dx =_

nadx_dcf(x, y)dy.Inconsecint a, pentruoricealegereasirului (n), culimitaegalacu+sitermeniiapart inandintervaluluinemarginit[a, +),avemlimn+_

nadx_dcf(x, y)dy=_dcJ(y)dy.Aceasta nseamnacaintegralaimpropriedespet a ntai_+adx_dcf(x, y)dyesteconvergenta siegalitatea_+adx_dcf(x, y)dy=_dcdy_+af(x, y)dxestesatisfacuta siastfelteoremaestedemonstrata.Corolarul2.3.1Dacaf(x, y) esteofunct iecontinuacarenuschimbadesemnpentrua x < +, c y d(deexemplu,f(x, y)estenenegativa),iarintegralaJ(y) =_+af(x, y)dxesteofunct iecontinuadey pentruc y d, atunci relat ia(2.67) esteadevarata.Demonstrat ie.IntrObservat ia2.3.2implicaconvergent auniformaain-tegralei improprii J(y) =_+af(x, y)dxpe intervalul cydsi, nconsecint a,dupaTeorema2.3.7,egalitatea(2.67)esteadevarata.Observat ia2.3.5Egalitatea(2.67)semaipoatescrie nforma_dcdy_+af(x, y)dx =_+adx_dcf(x, y)dy,din care deducem ca n ipotezele Teoremei 2.3.7 cele doua operat ii de integraresuntcomutabile.Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 89Teorema2.3.8(Schimbareaordiniideintegrare ntrointegralaim-proprieiterataauneifunct iidesemnconstant)Dacaf: [a, +) [c, +) IR (2.68)esteofunct iecontinuadesemnconstant,integraleleimpropriidepinzanddeparametrul yJ(y) =_+af(x, y)dx si J(x) =_+cf(x, y)dysunt funct ii continuepeintervalele[c, +), respectiv[a, +), si cel put inunadinintegraleleimproprii:_+cdy_+af(x, y)dx;_+adx_+cf(x, y)dy (2.69)esteconvergenta, atunci cealaltaintegralaimpropriedin(2.69)esteconver-gentasi_+cdy_+af(x, y)dx =_+adx_+cf(x, y)dy.Demonstrat ie. Saconsideramcafunct iafestenenegativasicaintegralaimproprieiterataJ=_+cdy_+af(x, y)dx (2.70)esteconvergenta. Trebuiesademonstramcalim+_

adx_+cf(x, y)dy= J=_+cdy_+af(x, y)dx. (2.71)Pentruaceastavomaratacavaloareaabsolutaadiferent eidintrecantitateavariabil a_

adx_+cf(x, y)dysicantitateaconstanta_+cdy_+af(x, y)dxpoatefacutamaimicadecatun > 0alesarbitrar.ConformCorolarului2.3.1,arelocegalitatea_

adx_+cf(x, y)dy=_+cdy_

af(x, y)dx.90 IonCraciunFunct iaf(x, y)indnenegativa,putemscrie0 _+cdy_+af(x, y)dx _

adx_+cf(x, y)dy==_+cdy_+

f(x, y)dx ==_c1cdy_+

f(x, y)dx +_+c1dy_+

f(x, y)dx _c1cdy_+

f(x, y)dx +_+c1dy_+af(x, y)dx,(2.72)undec < c1< +.Deoarece(2.70) esteintegralaimproprieconvergentarezultacapentru > 0existac1> castfel ncat_+c1dy_+af(x, y)dx aastfel ncatpentruorice > L() siy [c, c1]arelocinegalitatea_+

f(x, y)dx L(), ceeacetrebuiasademonstrampentruaadevarataconcluziateoremei.Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 91Daca f(x, y) din (2.68) nu are semn constant si concluziile Teoremei 2.3.8dorimsaeadevarate, atunciipotezeleTeoremei2.3.8trebuiescmodicatedupacumurmeaza.Teorema2.3.9(Schimbareaordiniideintegrare ntrointegralaim-proprie iterata din funct ia fcare schimba de semn) Daca fdin (2.68)esteofunct iecare sischimbasemnuldeoinnitatedeori siintegraleleim-propriidepinzanddeunparametru:J(y) =_+af(x, y)dx; J(x) =_+cf(x, y)dysunt uniformconvergentepeoriceinterval nit c y Csi respectivpeoriceinterval nit a x A, iarcel put inunadinintegraleleimpropriiiterate_+cdy_+a[f(x, y)[dx;_+adx_+c[f(x, y)[dy (2.75)esteconvergenta,atunciintegraleleiterate_+cdy_+af(x, y)dx;_+adx_+cf(x, y)dy (2.76)suntconvergentesi_+cdy_+af(x, y)dx =_+adx_+cf(x, y)dy.Demonstrat ie. Pentru precizare, presupunem ca cea de a doua integrala din(2.75)esteconvergenta. Aplicandcriteriul decomparat iefunct iilorf(x, y),[f(x, y)[,precum sifunct iilor_+af(x, y)dx,_+a[f(x, y)[dx,deducemcaceadeadouaintegralaimpropriedin(2.76)esteconvergenta.Maiavemdedemonstratcalim+_

adx_+cf(x, y)dy=_+cdy_+af(x, y)dx. (2.77)Integrala improprie_+cf(x, y)dyind uniform convergenta, pe orice inter-valnit[a, A] sipentruoricenumarnit > a,avem_

adx_+cf(x, y)dy=_+cdy_

af(x, y)dx. (2.78)92 IonCraciunSa calculamvaloarea absoluta a diferent ei dintre cantitatea variabila_

adx_+cf(x, y)dysinumarul_+cdy_+af(x, y)dxcareintra nrelat ia(2.77). T inand cont si de (2.78), constatam ca au loc egalitat ile si inegalitat ile[_+cdy_+af(x, y)dx _

adx_+cf(x, y)dy[ == [_+cdy_+af(x, y)dx _+cdy_

af(x, y)dx[ == [_+cdy_+

f(x, y)dx[ == [_c1cdy_+

f(x, y)dx +_+c1dy_+

f(x, y)dx[ [_c1cdy_+

f(x, y)dx[ +_+c1dy_+

[f(x, y)[dx [_c1cdy_+

f(x, y)dx[ +_+c1dy_+a[f(x, y)[dx(2.79)oricarearc1> c.Dinconvergent aintegraleiiterate_+cdy_+a[f(x, y)[dxrezultacapentruorice > 0existac1> castfel ncat_+c1dy_+a[f(x, y)[dx cpentrucareinegalitatea(2.80)areloc siluand nconsiderat iecaintegrala_+af(x, y)dxesteuniformconvergenta,alegem, la fel ca n demonstrat ia Teoremei 2.3.8, o cantitate L() astfel ncatsaesatisfacutainegalitatea_+

f(x, y)dx L() sipentrutot iy [c, c1].Atunci,avem_c1cdy_+

f(x, y)dx L() si, nconsecint a, nbazarelat iilor (2.79) (2.80) si(2.81),seobt ineinegalitatea_+cdy_+af(x, y)dx _

adx_+cf(x, y)dy < oricarear > L(),ceeacetrebuiasademonstram.Observat ia2.3.6Teoreme similare au loc pentru integrale improprii despet aadouacaredepinddeunparametru.Exercit iul2.3.2SasearatecaintegralaluiPoissonI=_+0ex2dx (2.82)arevaloareaegalacu /2.Solut ie.In (2.82) facem substitut ia x = ut si apoi nmult imn ambii membricueu2.Obt inemI eu2=_+0ue(1+t2)u2dt.Integrandn raport cu upe intervalul [0, +) ambii membri ai acesteiegalitat i sit inandcontdedenit ialuiI,gasimI2=_+0__+0ue(1+t2)u2dt_du. (2.83)In baza Teoremei 2.3.8 se poate schimba ordinea de integrare n (2.83) astfelcaputemscrieI2=_+0__+0ue(1+t2)u2du_dt. (2.84)Dar integraladininterior dinmembrul doi al relat iei (2.84) esteimediatapentrucasecunoasteoprimitivaafunct ieideintegrat sivaloareasaeste_+0ue(1+t2)u2du =1211 + t2. (2.85)Din(2.84) si(2.85)obt inemI2=12_+0dt1 + t2=4,deundegasim nnalcavaloareaintegraleiluiPoissoneste /2.94 IonCraciun2.4 Criteriideconvergent auniformaTeorema2.4.1(Condit ienecesarasisucientadeconvergent auni-formaaintegralelor improprii de spet adouacare depindde unparametru)Integralaimproprie_+af(x, y)dx (2.86)esteuniformconvergenta nraportcuparametrul ypeintervalul [c, d] dacasinumaidaca pentruorice > 0existaL = L()astfel ncatinegalitatea_

f(x, y)dx < (2.87)arelocsimultanpentruorice

,

> L()sipentruoricey [c, d].Demonstrat ie. Necesitatea.Inipotezacaintegrala(2.4.1)esteuniformconvergenta, atunci aplicandDenit ia2.3.1rezultacapentruorice>0existaL=L()astfel ncatpentrutot i

>L(),

>L()si y [c, d]inegalitat ile:_+

f(x, y)dx L(),inegalitatea_+

f(x, y)dx < 2, (2.88)Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 95care are loc () y [c, d]. Dar, n (2.88) recunoastem denit ia uniformei con-vergent e nraportcuparametrulypecompactul[c, d]aintegraleiimproprii(2.86).Teorema2.4.1estecunoscutasubnumeledecriteriulgeneraldecon-vergent auniformaalluiCauchy.Teorema2.4.2(Criteriul lui Weierstrassdeconvergent auniformaauneiintegraleimpropriidepinzanddeunparametru). Daca[f(x, y)[ g(x), ()x [a,+), y [c, d] (2.89)siintegralaimpropriedespet a ntai_+ag(x)dx (2.90)esteconvergenta,atunciintegraleleimproprii_+af(x, y)dx si_+a[f(x, y)[dxsuntuniformconvergente nraportcuparametrul ypeintervalul [c, d].Demonstrat ie. Fie>0arbitrar. Dinconvergent aintegralei improprii(2.90) si criteriul general al lui Cauchy de convergent a a integralelor impropriideducemexistent aluiL = L() > 0astfel ncatcondit ia_

g(x)dx < (2.91)estesatisfacutapentrutot i

,

>L()cu

>

. Pedealtapartedin(2.89) siproprietat ileintegralelordenite,avem_

f(x, y)dx _

[f(x, y)[dx _

g(x)dx. (2.92)Atunci,din(2.91),(2.92) siTeorema2.4.1rezultaconcluziateoremei.Criteriilecorespunzatoareconvergent eiuniformeaintegralelorimpropriidepinzanddeparametrudinfunct iinemarginitesilimitenitedeintegrareseformuleaza sisedemonstreaza ntrunmodasemanator.Deexemplu, criteriul general al lui Cauchydeconvergent auniformaaintegralei improprii de spet adouadepinzandde unparametru, culimitasuperioarapunctsingular,areformulareacareurmeaza.96 IonCraciunTeorema2.4.3(Condit ienecesarasisucientadeconvergent auni-formaaintegralelor improprii dinfunct ii nemarginitedepinzandde unparametru). Integralaimpropriedespet adouadepinzanddeunparametruJ(y) =_baf(x, y)dx =lim0>0_baf(x, y)dx, c y desteuniformconvergenta nraportcuparametrul ypeintervalul [c, d] dacasi numai daca pentruorice>0exista=()>0astfelncat pentruorice

si

apart inandintervalului(0, minb a, ())inegalitatea_b

b

f(x, y)dx < estesatisfacutapentruoricey [c, d].Exemplul2.4.1Saseevaluezefunct iaJ(, ) =_+0ex2cos xdx, > 0, IR. (2.93)Solut ie. ConformcriteriuluiluiWeierstrass,integralaimpropriedepinzanddeparametrii si , denita n(2.93), esteuniformconvergenta nraportcuparametrulpeoriceintervalcompactdinIRdeoarece[ex2cos x[ ex2si _0ex2dxesteconvergenta. Estepermisaderivarea nraportcusubsemnulintegrala nJ(, )deoarece nbazaaceluiasicriteriuintegrala_+0_ex2cos x_dx = _+0x ex2sin xdxeste uniform convergenta n raport cu parametrul pe orice interval compactdinIR.AvemdeciJ(, ) = _+0x ex2sin xdx =12_+0sin xddx_ex2_dx.Integrarea prin part i n ultima integrala conduce la ecuat ia diferent iala simplaJ= 2 J,Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 97dincareobt inemJ(, ) = C() e24 . (2.94)Ramanesadeterminamfunct ia C(). Luandpentruvaloareazero,gasimC() = J(, 0) =_+0ex2dx. (2.95)Ultimaintegralaseobt inedinintegralalui Poissondupacetrecempex nx:J(, 0) =1_+0e(x)2d(x) =12. (2.96)Din(2.94),(2.95) si(2.96)rezultaJ(, ) =_+0ex2cos xdx =12_ e24 .Exemplul2.4.2SasecalculezevalorileintegralelorluiFresnel_+0sin (x2)dx si_+0cos (x2)dx.Solut ie. Punand(x2) = t,obt inem:____+0sin (x2)dx =12_+0sin ttdt;_+0cos (x2)dx =12_+0cos ttdt.Dinrelat iile(2.95) si(2.96), ncarepunem = t six = u,avem1t=2_+0etu2du. (2.97)Inmult ind(2.97)cufunct iat ektsin t, k>0, si integrandpe[0, +)gasim_+0sin ttektdt =2_+0__+0e(k+u2)tsin t du_dt. (2.98)98 IonCraciunDaca n(2.98)schimbamordineadeintegrare sit inemcontderezultatul_+0e(k+u2)tsin t dt =11 + (k + u2)2,simplu de demonstrat folosindde doua ori metoda integrarii prinpart i,ajungemlaconcluzia_+0sin ttektdt =2_+011 + (k + u2)2 dt. (2.99)Trecandlalimita n(2.99)pentruk 0deducem_+0sin ttdt =2_+011 + u4 dt =222=_2. (2.100)Inacestmodsegaseste nnalcavalorilecelordouaintegraleFressnelsuntegale si_+0sin (x2)dx =_+0cos (x2)dx =12_2.Dupa cum sa mai armat, integralele lui Fressnel sunt utilizate n optica.Exemplul2.4.3Porninddelavaloareaintegraleiimpropriideprimaspet astudiata nExemplul 1.12.3, sasedemonstreze,nbazaTeoremei 2.3.5, capentru0 < p < 1arelocrelat ia_+0tp11 + tdt =sin p. (2.101)Solut ie. Din(1.103), avem_+0x2m1 + x2ndx =2n 1sin2m+12n. Dacanaceastaintegralaefectuamsubstitut iax = t12n,obt inem_+0t2m+12n11 + tdt =sin 2m + 12n. (2.102)Cunotat iap =2m + 12negalitateaprecedentadevine_+0tp11 + tdt =sin p, (2.103)Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 99ncaredeocamdatapestenumarrat ional. Saextindemvalorilepecarelepoateluapntre0si 1, considerandcap IR (0, 1)si saobservamcafunct iarealadedouavariabilerealef(t) =tp11 + testecontinuapemult imea(0, +) (0, 1).Despart indintervaluldeintegrare nsubintervalele(0, 1] si[1, +) si aplicand criteriul lui Weierstrass integralelor improprii depinzanddeparametrulp_10tp11 + tdt si_+1tp11 + tdtncarefunct iileg(t)suntrespectivegalecug(t) =tp111 + tsi g(t) =tp211 + t,unde0 < p1 p2< 1,vedemcaintegrala_+0tp11 + tdtesteuniformconver-genta nraportcuparametrul ppeoriceinterval compact[p1, p2].InbazaTeoremei 2.3.5, rezulta ca integrala improprie_+0tp11 + tdt este o funct ie con-tinuadeparamatrulppeintervalul(0, 1).Cumoricenumarrealestelimitaunui sirdenumererat ionaleputemarmacap (0, 1)estelimitapentrum + si n + a sirului numeric cu termenul general egal cu2m + 12n,unde0 < m < n.Trecandlalimita n(2.102)pentrum + sin +ajungemlaegalitatea(2.101),caretrebuiasaodemonstram.2.5 IntegraleCauchyFrullaniDenit ia2.5.1Se numeste integrala CauchyFrullani1integrala impro-priedespet a ntaidepinzanddedoiparametri_+0f(bx) f(ax)xdx, (2.104)unde0 < a < b < +.1Frullani, Giuliano (1795 1834), matematician italian.100 IonCraciunTeorema2.5.1Dacaf C1([0, +)), derivataf

esteintegrabila nsensgeneralizatsifarelimitanitaf(+)candx +,atunci_+0f(bx) f(ax)xdx =_f(+) f(0)_lnba. (2.105)Demonstrat ie. Din ipotezele f

este integrabila n sens generalizat si farelimitalainnit, nurmaaplicarii formulei Leibniz-Newtondecalcul auneiintegraleimpropriidespet a ntaiconvergente,deducem_+0f

(x)dx = f(+) f(0). (2.106)Inbazacriteriului lui Cauchy, aceleasi ipotezeasigurauniformaconver-gent aaintegraleiimpropriiJ(u) =_+0f

(ux)dx (2.107)nraportcuparametrulupeintervalul[a, b].Intr-adevar,dinTeoremaBolzanoCauchydeexistent aalimiteiniteafunct iei f n punctul de la innit rezulta ca oricare ar > 0 exista N() > 0astfel ncatoricarearx

, x

> N(),avem[f(x

) f(x

)[ < a. (2.108)Schimbareadevariabilaux=t nintegraladenita_A

A

f

(ux)dx, urmatadeintegrareaprinpart i siutilizareainegalitat ii(2.108),conducela_A

A

f

(ux)dx =1u_A

uA

uf

(t)dtf(A

u) f(A

u)u 1a[f(A

u) f(A

u)[ < (2.109)oricarearA

, A

>1aN()si oricarearudinintervalul [a, b].Inbazacriteriului lui Cauchyde convergent auniformaaunei integrale impropriidepinzand de un parametru rezulta ca integrala (2.107) este uniform conver-genta nraportcuparametrulupeintervalul[a, b],iarvaloareasaeste_+0f

(ux)dx =f(bx) f(ax)x. (2.110)Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 101Avand nvedere(2.110),rezultacaputemscrie_+0f(bx) f(ax)xdx =_+0dx_baf

(ux)du. (2.111)AplicandTeorema2.3.7 nultimaintegraladin(2.111),obt inem_+0dx_baf

(ux)du =_badu_+0f

(ux)dx. (2.112)Inultimaintegraladin(2.112)efectuamschimbareadevariabilaux=tsifolosim(2.106).Obt inem_badu_+0f

(ux)dx =_baf(+) f(0)udu == [f(+) f(0)] lnba.(2.113)Relat iile(2.112) si(2.113)conducla(2.105).Teorema2.5.2Dacafunct iarealadevariabilarealaf:[0, +) IRnuare limita nita n punctul de la innit, nsa integrala improprie de tipul ntai_+Af(x)xdx, undeA>0, esteconvergentasi f estederivabila norigine,atunci_+0f(bx) f(ax)xdx = f(0) lnba. (2.114)Demonstrat ie. Integraleledepinzanddeparametruls :_as0f(t) f(0)tdt;_bs0f(t) f(0)tdt,(2.115)suntproprii,singularitatea norigineindaparentadeoarecefunct iadesubsemnul integralapoateprelungitalatoatasemiaxa[0, +)atribuinduica valoare n origine limita sa n origine care este f

(0), ce din ipoteza exista.Efectuand schimbarile de variabila t = axn prima integrala (2.115) si t = bxnceadeadoua,avem_as0f(t) f(0)tdt =_s0f(ax) f(0)xdx,_bs0f(t) f(0)tdt =_s0f(bx) f(0)xdx.(2.116)102 IonCraciunInconsecint a,_s0f(bx) f(ax)xdx =_bsasf(t)tdt f(0)_bsasdtt==_bsasf(t)tdt f(0) lnba.(2.117)Ultima integrala din (2.117) poate facuta oricat de mica de ndata ce s estefoartemare,ceeace nseamnacalims+_s0f(bx) f(ax)xdx = f(0) lnba. (2.118)Denit iaconvergent ei unei integraleimproprii despet antai si relat ia(2.118)demonstreazaegalitatea(2.114).Exercit iul2.5.1Folosindeventual integraleleCauchyFrullani, sasestu-dieze urmatoarele integrale improprii depinzandde parametri sincaz deconvergent asaseprecizezevalorileacestora:a) I1(a, b) =_+0ebxeaxxdx, 0 < a < b;b) I2(a, b, p, q) =_+01x ln p + q ebxp + q eaxdx, p, q> 0, 0 < a < b;c) I3(a, b) =_+0arctg (bx) arctg (ax)xdx, 0 < a < b;d) I4(a, b) =_+0cos (bx) cos (ax)xdx, 0 < a < b;e) I5(, ) =_+0sin (x) sin (x)xdx, ,= ;f) I6(a, b) =_+0cos (bx) cos (ax)x2dx, 0 < a < b;Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 103g) I7(a, b) =_+0eb2x2ea2x2x2dx, 0 < [a[ < [b[;h) I8(a, b) =_+0ln (1 + b2x2)ln (1 + a2x2)x2dx, 0 < [a[ < [b[;i) I9(a, b) =_+0a ln (1 + bx) b ln (1 + ax)x2dx, 0 < a < b;j) I10(a, b) =_ba1 cos (bx)xcos (ax)dx, a ,= b;k) I11(a, b) =_+0a sin (bx) b sin (bx)x2dx, 0 < a < b;l) I12(a, b) =_+0ebxneaxnxdx, n > 0, a > 0, b > 0;m) I13(a, b) =_+0(ebxeax)2x2dx, 0 < a < b;n) I14(a, b) =_+0ebxeax+ x(b a)eaxx2dx, 0 < a < b;o) I15(a, b) =_+0sin (bx) sin (ax)xdx, 0 < a < b.Solut ie. Dupacumvomconstata,uneledinintegraleledemaisusorisuntintegrale CauchyFrullani de tipul celor descrise n Teorema 2.5.1 si Teorema2.5.2,orisereduclaunadinacestea.a)Fief : [a, +) IR, f(x)=ex. Rezultacaaceastafunct iesatisfaceipotezeleTeoremei2.5.1. DeciI1(a, b) = [f(+) f(0)] lnba= I1(a, b) = ln ab;b) Inlocuind logaritmul catului cu diferent logaritmilor numaratorului si nu-mitorului se deduce ca funct ia fdin Teorema 2.5.1 este f(x) = ln (p + q ex).Deoarecef(0) = ln (p + q) sif(+) = ln p,rezultacaI2(p, q, a, b) = ln (1 +qp) ln ab;104 IonCraciunc)f(x) = arctg x,f(0) = 0,f(+) =2,deciI3(a, b) =2lnba;d) f(x) = cos x, f(0) = 1. Nu exista limx+f(x), n schimb integrala impropriede spet a ntai_+Acos xxdx, unde A > 0, este convergenta n baza criteriuluilui Dirichlet(vezi Teorema1.11.2)). Prinurmare, conformTeoremei 2.5.2,avemI4(a, b) = ln ab.e) Deoarece sin (x) sin (x) =cos [ [x cos [ + [x2, rezulta ca f(x) =12 cos x,a = [ + [ sib = [ [.PrinurmareI5(a, b) =12 ln + .f)Scriind1x2=_1x_

siaplicandmetodaintegrariiprinpart i,avemI6(a, b) = _+0(cos (bx) cos (ax))(1x)

dx == 1x(cos (bx) cos (ax))+0++_+0a sin (ax) b sin (bx)xdx = (a b)_+0sin ttdt.Integralalacaresaajunsesteintegralalui Dirichlet, acarei valoare, con-formrelat iei(2.51)),este2.Prinurmare,I6(a, b) =2(a b).g)Procedandcalapunctulprecedent,obt inemI7(a, b) = ea2x2eb2x2x+0+ 2_+0a2xea2x2b2xeb2x2xdx == 2a2_+0ea2x2dx 2b2_+0eb2x2dx == 2(a b)_+0et2dt.Ultima integrala este integrala Euler-Poisson (vezi Exemplul 2.3.2) a careivaloareeste2.Deci,I7(a, b) = (a b).Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 105h)Seintegreazaprinpart i sisegasesteI8(a, b) = 2b2_+011 + b2x2dx 2a2_+011 + a2x2dx == 2b arctg (bx)+02a arctg (ax)+0= (b a).i)PentrucalcululintegraleiI9(a, b)observamcasepoatescrieI9(a, b) = ab_+0ln (1 + bx)bxln (1 + ax)axxdx.Funct iaf(x)dinTeorema2.5.1estef(x) =___ln (1 + x)x, daca x [0, +)1, daca x = 0.Avem limx+f(x) = 0 sif(0) = 1.Prinurmare,I9(a, b) = ab ln ab.j)IntegralaI10(a, b)sepoatescrie nformaI10(a, b) =12_+0cos (ax) cos (a + b)xxdx++12_+0cos (bx) cos [a b[xxdx.AmbeleintegraleindintegraleCauchyFrullanidetipulceleidinTeorema2.5.1,rezultacaI10(a, b) =12 lnaa + b+12 lna[a b[=12 lna2[a2b2[.k)Mai ntai,avemI11(a, b) = ab_+0sin (ax)axsin (bx)bxxdx.106 IonCraciunApoi,sevedecafunct iafdinTeorema2.5.1estef(x) =___sin xx, daca x [0, +)1, daca x = 0,iar limx+= 0.Prinurmare,I11(a, b) = ab ln ab.l)Scriem ntaiI12(a, b) =_+0ebxneaxnxxn1dxsiapoiefectuamschimbareadevariabilaxn= t.Obt inemI12(a, b) =1n_+0ebteattdt.FolosimacumI1(a, b).Prinurmare,I12(a, b) =1n ln ab.m)Seaplicametodaintegrariiprinpart i siobt inemI13(a, b) = 2a_+0e(a+b)xe2axxdx + 2b_+0e(a+b)xe2bxxdx.AmbeleintegralesuntintegraleCauchyFrullani carese ncadreaza nTeo-rema2.5.1.Inacestmodvaloareaintegraleiinit ialeesteI13(a, b) = ln(2a)2a(2b)2b(a + b)2(a+b).n)Seintegreazaprinpart i siseajungelaI14(a, b) = b_+0eaxebxxdx a(b a)_+0eaxdx.Prima integrala este integrala CauchyFrullani,iar a doua este imediata. Seobt ineI14(a, b) = b lnba+ a b.o)I15(a, b)estediferent aadouaintegraleDirichlet.Intr-adevar,I15(a, b) =_+0sin (bx)bxd(bx) _+0sin (ax)axd(ax).Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 107Fiecareintegralaarevaloarea2, deci I15(a, b) =0. Aceastaintegralaestetotodata integrala CauchyFrullani care sencadreazan Teorema 2.5.2, func-t iafindf(x)=sin x. Pentrucavaloarea nx=0afunct iei festenularezultacaI15(a, b) = 0.2.6 IntegraleleluiEuler2.6.1 Denit iilefunct iilorBetasiGamaDenit ia2.6.1Integraladepinzanddeparametriipsiq,B(p.q) =_10xp1(1 x)q1dx, (2.119)senumesteintegralaEulerdeprimultipsaufunct iaBeta.Denit ia2.6.2Integralaimpropriedepinzanddeparametrul p,(p) =_+0xp1exdx, (2.120)senumesteintegralaEulerdetipulaldoileasaufunct iaGama.Funct iile(2.119) si(2.120)joacaunrolimportant ndiferitedomeniialematematicii si alematematicii zice. Dupacumsevaarata, funct iaBetaseexprima nfunct iedefunct iaGamasidinacestmotivvomprezentamaintaiproprietat ilefunct ieiGama.2.6.2 Proprietat ialefunct ieiGamaTeorema2.6.1Integrala improprie (2.120) este convergenta pentru 0 < p 0.Evaluandintegrala_0xp1exdxpentrup 0 + 0si =const>0seobservaca_0xp1exdx e1_0xp1dx =ppe +si, nconsecint a, putemarmacaintegrala_10xp1exdxnuesteuniformconvergenta nraportcuparametrulppeintervalul(0, +).Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 109Totdatoritacriteriului lui Weierstrassrezultacaintegralaimpropriedespet antai_+1xp1exdx este uniform convergentan raport cu parametrulppeoriceintervaldeforma(, P0],undeP0< +,deoarecexp1ex xP01expentru 1 x < +, < p P0siintegrala_+1xP01exdxesteconvergenta.Integralaimproprie_+1xp1exdxnuconverge uniformnraport cuparametrul ppeintervalul (, +). Pentruajusticaaceastaarmat ie,evaluamintegrala_+

xp1exdxpentru > 1arbitrar,darxat sipentruvalori mari ale lui p, deci pentru p +. Pentru orice numar ntreg N> 0gasim valori ale lui p astfel ncat p1 > N, deoarece p +. Prin urmare,pentruastfeldepsepoatescrie_+

xp1exdx >_+

xNexdx = exxN+x=+ N_+

xN1exdx.Aplicandrepetat integrareaprinpart i pentrucalculul integralei improprii_+

xN1exdx nnalsegaseste_+

xp1exdx > (N+ NN1+ N(N 1)N2+ + N!)e1 +candN +. Inconsecint a,limp+_+

xp1exdx = +, () > 0.Astfel, integrala improprie_10xp1exdx este uniform convergenta n ra-port cu parametrul p pe orice interval [p0, +) cu p0> 0 arbitrar, dar xat,iarintegralaimroprie_+1xp1exdxesteuniformconvergentapeoricein-terval(, P0],undeP0esteunnumarnit,arbitrar.Asadar, ambele integrale sunt simultan uniform convergente n raport cuparametrul ppeoricecompact[p0, P0], unde00rezultacaderivata

(p)esteofunct iemonotoncrescatoarepeintervalul(0, +). Inconsecint a,derivata

(p) nuare alte radacini, nafarade p0, nintervalul (0, +).Inplus,

(p)p0deoarece

(p)esteofunct ie monoton crescatoare. Deci, funct ia (p) are numai o valoare extremapeintervalul0 < p < +, sianumeunminim npunctulp = p0.2.6.3 Proprietat ialefunct ieiBetaTeorema2.6.5Integrala improprie de spet a a doua (2.119) este convergentapentrup > 0siq> 0.Demonstrat ie. Dacap 1si q 1, funct iadesubsemnul integralaestecontinua pe [0, 1], deci integrala are sens chiar pe [0, 1] ceea ce arata ca (2.119)Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 113este o integrala denita sau proprie. Daca cel put in unul din numerele p si qeste mai mic decat 1, integrala (2.119) este una improprie de spet a a doua sipentrustudiulnaturiiacesteiavomdescompuneintervaluldeintegrareprinintermediulpunctului1/2.Dac ap 0,aceastaintegralaesteconvergenta.Dac aq< 1,atunciintegrala_112xp1(1 x)1qdxeste improprie de spet a a doua cu limita superioara punct singular. Aplicandacelasi criteriu de comparat ie, deducem ca integrala este convergenta pentru1 q< 1,decipentruq> 0.Deci, pentrup >0, q >0, integrala(2.119) este convergenta. Prinurmare, putem spune ca funct ia B(p, q) este denita n port iunea de plan cuambelecoordonatestrictpozitive.Teorema2.6.6Funct iaBetaestesimetrica nvariabilelesalepsiq,adicaB(p, q) = B(q, p). (2.131)Demonstrat ie.Inintegrala(2.119)efectuamschimbareadevariabilax=1 t siconstatamcaareloc(2.131).Saaplicamintegralei (2.119)teoremadeschimbaredevariabilapentruintegralepeintervalnecompact,punandx = (u) =u1 + u. (2.132)Funct ia este derivabila, cu derivata continua pe (0, +), si aplica intervalul(0, +)peintervalul(0, 1).Dinfaptulcaderivata

(u) =1(1 +u)2114 IonCraciuneste pozitiva pe (0, +), rezulta ca este funct ie strict crescatoare pe(0, +), deci toate condit iile pentru aplicarea schimbarii de variabila denitade(2.132)sunt ndeplinite. Avem_10xp1(1 x)q1dx =_+0up1(1 + u)p1(1 +u)q1(1 +u)2du ==_+0up1(1 +u)p+qdu,deciB(p, q) =_+0up1(1 + u)p+qdu. (2.133)Integraladinmembruldoialrelat iei(2.133)oscriem nforma_+0up1(1 +u)p+qdu =_10up1(1 +u)p+qdu +_+1up1(1 +u)p+qdu, (2.134)iar nceadeadouaintegraladinmembruldoialacesteiegalitat iefectuamschimbareadevariabilau =1y.Obt inem_+1up1(1 +u)p+qdu =_10yq1(1 + y)p+qdy. (2.135)Din (2.133), (2.134) si (2.135) deducem o noua expresie pentru valorile func-t ieiBeta, sianumeB(p, q) =_10up1+ uq1(1 +u)p+qdu.Aceastaexpresiearatacafunct iaBetaestedefaptointegralaimpropriecupunctulsingulardoar nlimitainferioara.Teorema2.6.7Dacaq>1, atunci funct iaBetasatisfacerelat iaderecu-rent aB(p, q) =q 1p + q 1B(p, q 1), (2.136)iardacap > 1,atunciB(p, q) =p 1p + q 1B(p 1, q). (2.137)Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 115Demonstrat ie. Sapresupunem ntai caq>1. Scriindcaxp1=_xpp_

siaplicandintegralei (2.119)teoremadeintegrareprinpart i pentruintegraleimproprii,obt inemB(p, q) =q 1p_10xp(1 x)q2dx. (2.138)Utilizand n(2.138)identitateaxp= xp1xp1(1 x),deducemB(p, q) =q 1pB(p, q 1) q 1pB(p, q),deunderezulta(2.136).T in andseamade(2.136si presupunandcap >1,nbazarelat iei desimetrie(2.131),avem(2.137) siteoremaestedemonstrata.Aplicand nmodsuccesivformula(2.136)pentrudiferitevalorinaturalealeluiq,obt inemB(a, n) =n 1p + n 1 n 2p + n 2 1p + 1B(p, 1).InsaB(p, 1) =_10xp1dx = 1/p,deci,t inandseamade(2.131),obt inemB(p, n) = B(n, p) =(n 1)!p(p + 1)(p + 2)(p + n 1). (2.139)Luandn rolul lui p un numar natural m, din (2.139) rezulta, multiplicandnumaratorul sinumitorulcu(m1)!,B(m, n) = B(n, m) =(n 1)!(m1)!(m + n 1)!.2.6.4 Relat ie ntrefunct iileBetasiGamaSa cercetam acum daca ntre funct iile Beta si Gama exista vreo relat ie. Pen-truaceastavomaveanevoiedeoaltaexpresieafunct iei si nacestsensvom aplica integralei (2.120) teorema de schimbare de variabila, punand x =(u)=ln 1u. Aceastafunct ieaplicaintervalul (0, 1)peintervalul (+, 0).116 IonCraciunDe asemeni, este strict monotona pe (0, 1), derivabila, cu derivata continuape(0, 1) si

(u) = 1/u.Avem_+0xp1exdx = _01_ln 1u_p1e1u1udu == _01_ln 1u_p1du =_10_ln 1u_p1du,deunderezulta(p) =_10_ln 1u_p1du. (2.140)Pedealtaparte, funct ialn1uestelimitaunui sirdefunct ii reale(fn),cutermenulgeneralfunct iacontinuafn= n_1 u1n_,denitapeintervalul(0, +).Deci,limn+fn(u) = limn+n_1 u1n_= ln 1u. (2.141)Sirul defunct ii (fn)estestrictcrescatordeoarecefunct iarealadevari-abilarealaxdenitapeintervalul (0, +), cuvaloriledatede1 exxestecrescatoare, avandderivatapozitiva.Inplus, funct ialn1uestecontinuasiprin urmare, conform Teoremei 2.3.1, convergent a sirului de funct ii (fn) esteuniforma. Putem deci aplica teorema de trecere la limita sub semnul integralasiobt inem, nbazarelat iilor(2.140) si(2.141),(p) = limn+np1_10_1 u1n_du.Facand nultimaintegralaschimbareadevariabilau = yn,obt inem(p) = limn+np_10yn1(1 y)p1dy= limn+npB(n, p). (2.142)T inandseamaderelat ia(2.139),rezulta(p) = limn+np(n 1)!p(p + 1)(p + 2)(p + n 1). (2.143)Relat iile (2.142) si (2.143) stabilesc, ntre funct iile Bsi , olegaturamijlocitadeotrecerelalimita.Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 117Sastabilimolegaturamai simplantre aceste douafunct ii.Inacestscop,aplicamintegralei(2.120)schimbareadevariabilax = ty,undet 0.Obt inem(p)tp=_+0yp1etydy. (2.144)Inlocuind n(2.144)pepcup + q, ncareq> 0, sipetcu1 + t,gasim(p + q)(1 +t)p+q=_+0yp+q1e(1+t)ydy. (2.145)Inmult ind ambii membri ai acestei egalitat i cu tp1si integrand, n raport cut,peintervalul(0, +),obt inem(p + q) _+0tp1(1 +t)p+qdt ==_+0dt_+0tp1yp+q1e(1+t)ydy.(2.146)Insa, n baza relat iei (2.133), integrala din primul membru al egalitat ii (2.146)esteegalacuB(p, q),astfelcaputemscrie(p + q)B(p, q) =_+0dt_+0yp+q1tp1e(1+t)ydy. (2.147)Sa demonstramacumca este permisa schimbarea ordinii de integrarenintegraladinmembrul al doileaal relat iei (2.147) pentrup>1si q >1.Pentruaceastatrebuiesaaratamcacelecinci ipotezealeTeoremei 2.3.8asupra schimbarii ordinii de integrare ntro integrala iterata sunt ndeplinite.Intradevar:(a)funct iaf(y, t) = yp+q1tp1e(1+t)y 0estecontinuapentru0 y< +,0 t < +;(b)dacap>1si q >1integraladinmembrul doi al relat iei (2.146)esteconvergenta;(c)integrala_+0f(y, t)dy=_+0tp1yp+q1e(1+t)ydy118 IonCraciuneste o funct ie continua de variabila t pe intervalul (0, +) deoarece, n bazarelat iei(2.145),avem_+0yp+q1e(1+t)ydy= (p + q)tp1(1 +t)p+q,iar,dupaTeorema2.6.1,estefunct iecontinua;(d)integrala_+0f(y, t)dt =_+0tp1yp+q1e(1+t)ydt (2.148)este de asemeni o funct ie continua pe intervalul (0, +) deoarece din (2.148)avemmai ntai_+0f(y, t)dt = yp+q1ey_+0tp1etydt,iarapoi,dupaschimbareadevariabilau = ty,_+0f(y, t)dt = yq1ey (p), (2.149)membrul doi al acestei relat ii indofunct ie continuade y pe intervalul(0, +);(e)integralaimpropriedeprimaspet a_+0dy_+0f(y, t)dtesteconvergentadeoarece, conformegalitat ii (2.149)si denit iei (2.120) afunct iei(q),avem_+0dy_+0f(y, t)dt = (p)(q), (2.150)iarmembrulaldoileaestenumarreal.Inconsecint a,integralaiterata_+0dt_+0f(y, t)dy=_+0dt_+0yp+q1tp1e(1+t)ydy (2.151)este convergenta si egala cu integrala din primul membru al egalitat ii (2.152).Asadar,din(2.147),(2.152) si(2.151)deducemcapentrup > 1 siq> 1arelocidentitateaB(p, q) =(p)(q)(p + q), (2.152)Capitolul2Integraledepinzanddeunparametru 119numitaformulaluiJacobicedalegatura ntrefunct iileBsialeluiEuler.Pentruaextinderelat ia(2.150)latot i p>0si q >0scriemdinnouaceastarelat iepentrup > 1siq> 1siaplicamapoiformulelederecurent a(2.136) si (2.137) membrului sau stang si formula de recurent a (2.124) mem-bruluidrept.Daca nrelat ia(2.133)consideramcaq= 1 p,atuncieadevineB(p, 1 p) =_+0up11 + udu, (2.153)unde 0 < p < 1.In Exemplul 2.4.3 (vezi relat ia (2.101)) am aratat ca integraladin(2.153)arevaloareapsin p,prinurmareavemB(p, 1 p) =psin ppentru 0 < p < 1.(2.154)Relat ia de recurent a (2.152), mpreuna cu (2.129) si (2.152) conduc la relat iaimportanta(p)(1 p) =sin ppentru 0 < p < 1.(2.155)Exercit iul2.6.1Folosindfunct iileluiEuler,sasecalculezeintegralaI=_+04x(1 + x)2dx.Solut ie. SeobservacaI =B_54, 34_, iardacafolosimrelat ia(2.152), ob-t inemI=_54_ _34_(2). (2.156)Conformrelat ieiderecurent a(2.124),avem:(2) = 1(1) = 1; _54_=14(14).Dacaintroducemacestevalori n(2.156) sifolosim(2.155),gasimI=14_14_ _34_=14 sin4=24.120 IonCraciunExercit iul2.6.2SasecalculezeintegralaJ=_20sin52xcos32xdx.Solut ie. Cusubstitut iasin2x = zsuntemcondusilarelat iaJ= 2B_74, 54_siprocedandcalacalcululintegraleiprecedente,gasimJ=3216.Exercit iul2.6.3SasestudiezeintegralaI=_ 20sinp1x cosq1xdx, undep > 0siq> 0.Solut ie. Efectuandschimbareadevariabilasin2x = z,obt inem_ 20sinp1x cosq1xdx =12_10zp21(1 z)q21==12B_p2, q2_=12 _p2_ _q2__p + q2_.Inparticular,pentruq= 1,obt inemformula_ 20sinp1xdx =2

_p2__p + 12_.Capitolul3Integralecurbilinii3.1 Drum,drumrecticabil,curbaFie xOyun reper cartezian n plan, i si j versorii acestuia si cercul de ecuat iex2+ y2= 1. (3.1)UnpunctM(x, y)apart inandacestui cercpoateconsideratcaimagineaunuipuncttprinfunct iavectorialadeargumentrealr(t) = (t) i + (t) j (3.2)denitapeintervalulcompact[0,2] IRcuvalori nIR2,unde___(t) = cos t,(t) = sin t,t [0,2]. (3.3)Inaceastasituat iespunemcaaplicat iavectorialar:[0,2] IR2alecareivalori se determina dupa legea (3.2), unde funct iile si sunt date n (3.3),realizeazaoreprezentareparametricaacercului (3.1), iar argumentul t senumesteparametrulacesteireprezentari.Acest exemplu simplu sugereaza introducerea de reprezentari parametricesipentrualtemult imidepunctedinplan.Denit ia3.1.1Fie un interval compact [a, b] IR. Se numeste drumnplanofunct ievectorialadevariabilareala, continua, r: [a, b] IR2.121122 IonCraciunPunctele A si Bde vectori de pozit ie r(a) si r(b) se numesc capetele sau ex-tremitat iledrumului. Imagineadrumului(d)estesubmult imeaI(d) IR2atuturorpunctelorM(x, y)alecarorvectori depozit iesunt valori alefunct ieir,adicaOM= r(t), t [a, b].Dacanotamcurvectoruldepozit iealunuipunctM(x, y) I(d),atunci(d) : r = r(t), t [a, b], (3.4)unde:r = x i + y j; r(t) = (t) i + (t) j. (3.5)Dinecuat ia(3.4) sinotat iile(3.5),obt inem(d) :___x = (t),y = (t),t [a, b]. (3.6)Denit ia3.1.2Cand t parcurge intervalul [a, b] se spune ca (3.6) constituieoreprezentareparametricaaimaginiidrumuluiI(d)siadrumului(d),iartsenumesteparametru. Relat ia(3.4)senumesteecuat iavectorialaaimaginiiI(d)sauadrumului(d).Denit ia3.1.3Drumul (d) se numeste nchis daca extremitat ile sale coin-cid; dacaexistat1, t2 [a, b], cut1 ,=t2, astfel ncatr(t1)=r(t2), spunemcapunctul M1 I(d)(sauM2 I(d))devectordepozit ieOM1= r(t1)(sauOM2= r(t2))este punct multiplu al drumului. Un drum fara puncte multiple se numestesimplu.Denit ia3.1.4Drumul (d)senumesteneteddaca, C1_[a, b]_,_ddt (t)_2+_ddt (t)_2> 0, t [a, b].Deoarece membrul ntai a inegalitat ii din Denit ia 3.1.4 este patratul marimii(normei)vectoruluir

(t),denit iapoatereformulata nlimbajvectorial.Capitolul3Integralecurbilinii 123Denit ia3.1.5Drumul (d)senumesteneteddacafunct iiavectorialar C1_[a, b]_sipestetot ncompactul [a, b]estesatisfacutainegalitatea___drdt(t)___ = |r

(t)| > 0.Denit ia3.1.6Drumurile (d1) si (d2) denite de funct iile vectoriale devariabilarealar1:[a1, b1] IR2sir2:[a2, b2] IR2senumescjuxtapoz-abiledacab1= a2sir1(b1) = r2(a2).Inacestcazfunct iar : [a1,b2] IR2, r(t) =___r1(t), daca t [a1,b1],r2(t), daca t [a2,b2]denesteunnoudrumnumitjuxtapunereadrumurilor(d1)si(d2)siestenotatprin(d1 d2).Denit ia3.1.7Un drum (d) se numeste netedpeport iuni daca se poateobt ineprinjuxtapunereaunuinumarnitdedrumurinetede.Fie (d) drumul parametrizat n plan denit de (3.4) si [a, b] mult imeadepuncte = t0, t1,, tn1, tn. (3.7)Denit ia3.1.8Mult imease numeste diviziune a intervalului [a, b]dacaa = t0 0,inegalitatea cos (Mi ) cos (Mi) 0.Solut ie. Funct iile care denesc reprezentareaparametricaacurbei suntderivabilesi admit derivatacontinuape intervalul de variat ie al parame-trului t. Funct iaPestedenitasi continuapeport iuneaspat iului ncareabsciselepunctelorsatisfacdublainegalitate a x a. Funct iileQsi Rsuntdenitesi continuepe ntregspat iul. Deoareceavem a (t) apentrut [0, /2],rezultacaimagineacurbeiCestecont inuta ndomeniulcomun de denit ie al funct iilor P, Qsi R, deci integrala data exista. Aplicandformuladecalcul(3.68),obt inemI= a2b_/20(t cos 2t + 1) dt =a2b2( 1).158 IonCraciun3.8 Proprietat i ale integralelor curbilinii dealdoileatipDinmodulcumafostdenitaintegralacurbiliniedealdoileatip_C+F(M)dr (3.70)deducem ca un factor constant poate scos n afara semnului de integrala sicaintegralauneisumedefunct iivectorialeestesumaintegralelorfunct iilortermeni. Ambeleproprietat ipotexprimateprinegalitatea_C+_F(M) + G(M)_ dr = _C+F(M)dr + _C+G(M)dr, (3.71)unde si sunt constante reale arbitrare, iar F si G sunt campuri ve