Análisis Vectorial

Suma y Resta de Vectores

Sabemos que un vector tiene una magnitud y una dirección. Un vector A puede escribirse como

A = a AA

Donde A es la magnitud (y tiene la unidad y la dimensión) de A

A = |A|, es un escalar; a A es un vector sin dimensión con magnitud unidad, específicamente la dirección de A. Podemos hallar a A a partir del vector A dividiéndolo por su magnitud

a A = A

|A|

El vector A puede representarse gráficamente como un segmento de línea recta dirigida de longitud |A| = A, con la punta de la fecha apuntando en la dirección de a A, Ver figura 1

Figura 1

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección aunque puedan estar desplazados en el espacio.

Dos vectores A y B que no tengan la misma dirección y que no esté en direcciones opuestas, como los de la figura 2.a, su suma es otro vector C en el mismo plano C = A+B se puede obtener gráficamente de dos maneras.

Figura 2a

1.- Por la regla del paralelogramo: El vector C resultante es el vector diagonal del paralelogramo formado por A y B dibujados desde el mismo punto como se muestra en la figura 2.b

Figura 2b

2.- Por la regla cabeza-cola. La cabeza de A se conecta a la cola de B. Su suma es C es el vector dibujado de la cola de A a la cabeza de B; los vectores A, B y C forma un triángulo, como se muestra en la figura 2.c y 2.d

La resta de dos vectores puede definirse como en término de la suma de la siguiente manera:

A – B = A + (-B), donde -B es el negativo del vector B, ver figura 3

Figura 2b y 2c

Figura 3

Multiplicación de Vectores

La multiplicación de un vector A por un escalar positivo k cambia la magnitud de A por k veces sin modificar su dirección

kA = a A(Ka)

Producto Punto o Escalar

El producto punto de dos vectores A y B se denota A ∙ B (A punto B). El resultado del producto punto de dos vectores es un escalar igual al producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo entre estos.

A ∙ B≜ABcosθ AB

El símbolo ≜ significa igual por definición, θAB es el ángulo más pequeño entre A y B y es menor que π radianes (180°), Ver figura 4

Figura 4

El producto punto es conmutativo, A ∙ B = B ∙A

A si mismo tenemos que A ∙ A = |A|= √A ∙ A

Producto Cruz o Vectorial

Dados dos vectores Ay B el producto cruz A X B (A X B) es otro vector definido por:

AX B≜anABcosθ AB

θAB es el ángulo más pequeño entre A y B y es menor que π radianes (180°), anes un vector unitario normal perpendicular al plano que contiene A y B. La dirección an sigue la del dedo pulgar de la mano derecha cuando los dedos giran de A a B siguiendo el ángulo θAB, ver figura 5a y figura 5b

Figura 5a

Figura 5b

El producto cruz produce otro vector cuya dirección es an y su magnitud es igual al área del paralelogramo formado por A y B. El producto cruz no es conmutativo y la inversión del orden de los vectores cambia el signo del producto.

Gradiente de un Campo Escalar

En electromagnetismo es común tratar con cantidades que dependen tanto del tiempo como de la posición. Puesto que las tres variables de coordenadas tienen lugar en un espacio tridimensional, es de esperar encontrase campos escalares y vectoriales que sean función de cuatro variables (t, u1, u2,u3 ¿

Consideremos una función escalar de coordenadas espaciales

V(u1, u2,u3) que pueden representarse por ejemplo, la distribución de temperatura en un edificio, la altitud de un terreno montañoso o el potencial eléctrico en una región. La magnitud de V depende en general de la posición del punto en el espacio, pero puede ser constante sobre ciertas líneas o superficies. En la figura 6 se muestran dos superficies en las cuales la magnitud de V es constante y tiene los valores V 1 y V 1 + dV, respectivamente, donde dV indica un cambio pequeño en V. Debemos señalar que las superficies de V constante no tienen por qué coincidir con cualquiera otra de las superficies que define el sistema de coordenadas. El punto P1 está en

la superficie V 1; P2 es el punto correspondiente sobre la superficie V 1 + dV determinado por el vector normal dn, y P3 es un punto cercano a P2, determinado por otro vector d l ≠ dn. Para el mismo cambio dV en

V, la razón espacial, dV

d l, obviamente más grande a lo largo de dn(es la

distancia más corta entre las dos superficies. Puesto que la magnitud

de dV

d les una derivada direccional. Definiremos el vector que

representa la magnitud y la dirección de la razón de incremento espacial máximo de un escalar como el gradiente de dicho escalar.

Figura 6

Gradiente de un campo escalar

grad V≜∇V ≜ an

dV

dn

Hemos supuesto que dV; si fuera negativo el ∆ V sería negativo. La derivada direccional a lo largo de d l es

dV

d l

= dV

dn

dn

d l

= dV

dn

cos∝ = dV

dn

an∙a l = ∆ V ∙a l

La ecuación establece que la razón de incremento espacial de V, es igual a la proyección del gradiente de V en esa dirección. La ecuación también se puede escribir como

Razón de Incremento espacial de V en función de ∆ V

dV =∇V ∙d l (1)

d l = a ld l. Ahora dV es el diferenciar total de V como resultado de un cambio en posición de P1 a P3 en la figura 6 y puede expresarse como:

dV = ∂V∂ l1

dl1 + ∂V∂ l2

dl2 +∂V∂ l3

dl3

Donde dl1, dl2, dl3 son las componentes del desplazamiento diferencial vectorial dl en un sistema de coordenadas determinado. En el caso de coordenadas cartesianas

(U 1, U 2, U 3) = (x, y, z) y dl1, dl2, dl3, son respectivamente, dx,dy,dz. Podemos escribir dV, como el producto punto de dos vectores de la siguiente manera

dV=( ax∂V∂ x

+ a y∂V∂ y

+ az+∂V∂ z

) ∙ (axdx + a ydy + azdz) (2)

= (ax∂V∂ x

+ a y∂V∂ y

+ az+∂V∂ z

) ∙ dl

Al comparar 1 y 2 tenemos

∇V = (ax∂V∂ x

+ a y∂V∂ y

+ az+∂V∂ z

) = (ax∂

∂ x + a y

∂∂ y

+ az+∂

∂ z) V

Es conveniente considerar ∇ en coordenadas cartesianas como un operador diferencial vectorial

∇ = ax∂

∂ x + a y

∂∂ y

+ az+∂

∂ z

En coordenadas ortogonales generales (U 1, U 2,U 3) con coeficiente métrico (h1, h2, h3) podemos definir ∇como

∇≝ au1

∂h1∂u1

+ au2

∂h2∂u2

+ au3+∂

h3∂u3

Divergencia de un campo vectorial

En el estudio de campo vectorial es conveniente representar gráficamente las variaciones de los mediante líneas de campo dirigidas.

Líneas de Flujo: Son líneas o curvas dirigidas que indica en cada punto la dirección del campo vectorial, como se ilustra en la figura 7a, 7b, 7c. La magnitud del campo en un punto se representa con la densidad o con la longitud de las líneas dirigidas en la vecindad del punto. En la figura 7.a, se muestra que el campo en la región A es

más fuerte en la región B, ya que hay mayor densidad de líneas dirigidas de igual longitud en la región A. En la figura 7.b, la reducción en la longitud de las fechas al alejarse del punto q indican un campo radial que es más fuerte en la región cercana a q. En la figura 7.c, se ilustra un campo uniforme.

Figura 7a

La fuerza del campo vectorial de la figura 7.a se mide con el número de líneas de flujo que pasan por una superficie unidad normal al vector. El flujo de un campo vectorial es análogo al flujo de un fluido incomprensible, como el agua. En el caso de un volumen con una superficie cerrada, habrá un exceso de flujo que sale o entra por la superficie, si el volumen contiene una fuente o sumidero, respectivamente. Es decir, una divergencia neta positiva indica la presencia de una fuente de fluido en el interior del volumen, mientras que una divergencia neta negativa indica la presencia de un sumidero. El flujo de salida neto del fluido por unidad de volumen es entonces una medida de la fuerza de la fuente encerrada. En el campo uniforme ilustrado en la figura 7.c hay cantidades iguales de flujo de entrada y salida que pasan por cualquier volumen cerrado que no contiene fuentes, ni sumideros, produciendo una divergencia nula.

Figura 7b

Figura 7c

La definición de divergencia de un campo vectorial A en un punto (div A), como el flujo neto de salida de A por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero.

div A≜ lim∆⇢ 0

∲ s Ads

∆v(1)

El numerador en la ecuación es una integral de superficie. En realidad se trata de una integral doble en dos dimensiones, la integra debe aplicarse a toda la superficie s que encierra un volumen. En el integrando, el elemento diferencial de superficie vectorial, ds = ands tiene una magnitud ds y una dirección indicada por el vector unitario an que apunta hacia fuerza del volumen encerado. La integra de superficie encerada representa el flujo de salida neto del campo vectorial A.

La divergencia es una cantidad escalar cuyo magnitud puede variar de un punto a otro al variar A. Esta definición es validad para cualquier sistema de coordenadas, por supuesto la expresión de div y de A, dependerán de la selección del sistema de coordenadas. Derivemos ahora la expresión de div A en coordenadas cartesianas.

Considere un volumen diferencial con lados ∇ x, ∇ y,∇ z centrado alrededor de un punto P(x0, y0,z0) en el campo de un vector A, como se ilustra en la figura 8. En coordenadas cartesianas A= ax Ax + a y A y + az A z. Queremos encontrar div A en el punto(x0, y0,z0). Dado que el volumen diferencial tiene seis caras, la superficie integral del numerador (1), puede descomponerse en seis partes:

∲s A .ds=[ ∫ Caraanterior

+ ∫ Caraposrerior

+ ∫ Caraderecha

+ ∫ Caraizquierda

+ ∫ Carasuperior

+ ∫ Carainferior

¿A.ds

En la cara anterior,

∫ Caraanterior

A.ds = A Caraanterior

. ∆S Caraanterior

= A Caraanterior

. ax ¿∆y.∆z)

= AX(x0 + ∆ x2 , y0,z0)∆y.∆z (1)

Figura 8

La cantidad AX(x0 + ∆ x2 , y0,z0) puede desarrollarse en serie de

Taylor alrededor de su valor en (x0, y0,z0), de la siguiente manera:

AX(x0 + ∆ x2 , y0, z0) = AX(x0, y0,z0) +

∆ x2

∂∆ x∂ x |(x0, y0,z0)+ termino del

grado superior (2)

Donde los términos de grado superior (T.G.S) contienen los factores

( ∆ x2

)2

, ( ∆ x2

)3

, etcétera. De forma similar se desarrolla para la cara

posterior

∫ Caraposterior

A.ds = A Caraposterior

. ∆S Caraposterior

= A Caraposterior

. ¿∆y.∆z)

= −AX(x0 + ∆ x2 , y0,z0)∆y.∆z (3)

El desarrollo en la serie de Taylor de AX(x0 + ∆ x2 , y0,z0) es

AX(x0 + ∆ x2 , y0, z0) = AX(x0, y0, z0) +

∆ x2

∂∆ x∂ x |(x0, y0,z0) + TGS (4)

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y la ecuación (4) en la ecuación (3), para luego sumar las contribuciones, tenemos

¿+ ∫ Caraposrerior

] A∙ds = (∂∆ x∂ x

+ T.G.S) |(x0, y0,z0)∆x ∆y.∆z(5)

En este caso se ha eliminado por factorización una ∆x de los términos de grado superior de las ecuaciones 2 y 4, pero todos los términos de grado superior de la ecuación 5, aun contiene potencia de ∆x

El mismo procedimiento se realiza para la cara derecha e izquierda y la cara superior e inferior, luego concluir que la expresión de div A en coordenadas cartesianas es:

div A = ∂ Ax

∂ x + ∂ A y

∂ y + ∂ A z

∂ x(6)

Los términos de grado superior desaparecen conforme el volumen diferencial ∆x.∆y.∆z se aproxima a cero. El valor de div A generalmente depende de la posición del punto donde se calcula. En la ecuación (6) eliminamos la notación (x0, y0,z0) porque se aplica a cualquier punto donde están definidos A y sus derivadas parciales.

Recordemos que ∇ A≝ div A

En un sistema de coordenadas ortogonales (u1, u2,u3), las ecuación (1) nos lleva a

∇ A=1

h1h2h3[

∂∂u1

(h2h3 A1)+ ∂

∂u2 (h1h3 A2) +

∂∂u1

(h1h2 A3) ]

Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss

La divergencia de un campo vectorial es el flujo de salida neto por unidad de volumen. Podríamos expresar de manera intuitiva que la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial es igual al flujo de salida total del vector a través de la superficie que limita el volumen.

∫ v∇∙A.dv = ∲sA∙ds

Esta identidad se conoce como el teorema de la divergencia o teorema de Gauss. Se aplica a cualquier volumen V limitado por una superficie S. La dirección de ds es siempre la de la normal hacia el exterior, perpendicular a la superficie ds y dirigida hacia fuera del volumen.

En caso de un elemento diferencial muy pequeño ∆v limitado por una superficie s j, la definición

div A ≜ lim∆⇢ 0

∲ s Ads

∆ v sustituimos ∇∙A

(∇ ∙ A) j∆ v j≜∲s A ∙d s

En el caso de un volumen arbitrario V, podemos subdividir en mucho, digamos N, volúmenes diferenciales pequeños de los cuales ∆ v j es típico. Este procedimiento se ilustra en la figura 9. Combinaremos ahora las contribuciones de estos volúmenes diferenciales en ambos lados de la ecuación, para obtener

Figura 9

lim∆ v j ⇾0

¿¿ = lim∆ v j⇾0

∑J=1

N

[∲¿¿ s A ∙ds¿¿]¿¿¿ (a)

El lado izquierdo de la ecuación es por definición, la integral de volumen de ∇ ∙ A

lim∆ v j ⇾0

¿¿ = ∫ v (∇ ∙ A)dv (b)

La integral de superficies en el lado derecho de la ecuación (a) se suman para todas las caras de los elementos de volumen diferencial. Sin embrago, las contribuciones de las superficies internas de elemento adyacentes se cancela, ya que en una superficie interna común las normales de salida de los elementos adyacentes apuntan en direcciones opuestas. Por lo tanto, la contribución neta del lado derecho de la ecuación se debe únicamente a la superficie exterior S que encierra el volumen V, es decir

lim∆ v j⇾0

[∑J=1

N

∲v jA ∙ds¿]=∲ s¿A∙ds

El teorema de la divergencia es una identidad en el análisis vectorial que contiene una integral de volumen de la divergencia de un vector en una integral de superficie cerrada del vector y viceversa. Queremos destacar que aunque por cuestión de sencillez se usan un símbolo de integral simple en ambos lado de la ecuación las integrales de volumen y superficie representan en realidad integrales triple y doble

Rotación de un campo vectorial

Cuando se estudió la divergencia de un campo vectorial se estableció: que el flujo de salida neto de un vector A, a través de una superficie que limita un volumen indica la presencia de una fuente. Esta fuente puede denominarse fuente de flujo y div A es una medida de la fuente de flujo.

Hay otro tipo de fuente, llamada fuente de vórtice, que ocasiona la circulación de un campo vectorial a su alrededor. La circulación de un campo vectorial a su alrededor. La circulación neta (o simplemente la circulación) de un campo vectorial alrededor de una trayectoria cerrada se define como la integral de línea escalar del vector a lo largo de la trayectoria. Tenemos,

Circulación de A alrededor del contorno

C ≜∲c A ∙dl

El significado físico de la circulación depende de qué tipo de campo representa el vector A. Si A es una fuerza que actúa sobre un objeto, su circulación será el trabajo realizado por la fuerza para mover el objeto una vez alrededor del contorno; si A representa la intensidad de campo eléctrico, la circulación será una fuerza electromotriz alrededor de la trayectoria cerrada. El fenómeno familiar del agua que gira al salir por el desagüe de un lavaplatos es un ejemplo de un sumidero vórtice que ocasiona una circulación de la velocidad del fluido. Puede existir una circulación A aunque div A= 0 (cuando no hay fluido)

Definición matemática de un campo vectorial A

La circulación se definió C ≜∲c A ∙dl como una integral de línea

de un producto punto, de manera que su valor depende de la orientación del contorno C relativa al vector A. Para definir una función puntual, que es una medida de la fuerza de la fuente de vórtice, C debe ser muy pequeño y hay que oriéntalo de manera que la circulación sea máxima

rot A ≜ lim∆s — 0

1∆s[ an ∲c A ∙dl ¿max

Definición física de ∇ xA , una medida de la fuerza de la fuente de vórtice de A

La ecuación anterior establece que el rotacional de un campo vectorial A, denotado por rot A o ∇ xA, es un vector cuya magnitud es la circulación neta máxima de A por unidad de área conforma al área tiende a cero y cuya dirección es la dirección de la normal al área cuando está orientada de manera que la circulación neta máxima. Puesto que la normal a un área puede apuntar en dos direcciones opuesta, seguimos la regla de la mano derecha: cuando los dedos de la mano derecha sigue la dirección de dl, el pulgar en la dirección de an; esto se ilustra en la figura 10. El rotacional de A es una función puntual vectorial. Su componentes en cualquier otra dirección au es au · (∇ xA) y pude determinarse a partir de la circulación por unidad de área normal a au a medida que el área se aproxime a cero

Figura 10

(∇ xA)u = au · (∇ xA) = lim∆ su — 0

1∆su

(∲cuA ∙dl)

Donde la dirección de la integral de línea alrededor del contorno

cu que limita el área ∆ su y la dirección au, sigue la regla de la mano derecha.

De la ecuación determinaremos las tres componentes de ∇ xA en coordenadas cartesianas. De la figura 11, se puede observar un área rectangular diferencial paralela al plano yz con lados ∆ yy ∆ z dibujados alrededor de un punto genérico P(x0, y0, z0). Tenemos au = ax y ∆ su = ∆ y ∆ z y el contorno de cuconsiste en los cuatro lados 1,2,3, y 4

(∇ xA)x = lim∆ y∆ z

1∆ y ∆ z (

∲ lados1,2,3 y 4

A ∙dl)

Figura 11

En coordenadas cartesianas A = ax AX + aY AY + aZ AZ. Las

contribuciones de los cuatro lados a la integral son las siguientes:

Lado 1: dl = aZ ∆ z , A· dl = A z( x0, y0 + ∆ y2 , z0)∆ z

Donde A z( x0, y0 + ∆ y2 , z0)=A z( x0, y0, z0) + ∆ y

2

∂ AZ

∂ y ¿(x0 , y0 , z0 ) + T.G.S

donde T.G.S contiene los términos de los factores ∆ y2, ∆ y3, entre otras.

De esta manera

∫ Lado1 A·dl = { A z( x0, y0, z0) + ∆ y2

∂ AZ

∂ y ¿(x0 , y0 , z0 ) + T.G.S}∆ z

Lado 3: dl = −aZ ∆ z , A· dl = A z( x0, y0 - ∆ y2 , z0)∆ z

donde A z( x0, y0 - ∆ y2 , z0)=A z( x0, y0, z0) -

∆ y2

∂ AZ

∂ y ¿(x0 , y0 , z0 ) + T.G.S

∫ Lado3 A·dl = { A z( x0, y0, z0) - ∆ y2

∂ AZ

∂ y ¿(x0 , y0 , z0 ) + T.G.S}(−∆z )

Al combinar lado 1 y 3

∫ Lado1,3 A·dl = ( ∂ AZ

∂ y + T.G.S)¿(x0 , y0 , z0 ) ∆ y ∆ z (1)

Los T.G.S aun contiene potencia de ∆ y. De forma similar se puede calcular para los lados 2, y 4

∫ Lado2,4 A·dl = ( −∂ A y

∂ z + T.G.S)¿(x0 , y0 , z0 ) ∆ y ∆ z (2)

Si sustituimos (1) y (2) en

(∇ xA)x = lim∆ y∆ z

1∆ y ∆ z (

∲ la dos1,2,3 y 4

A ∙dl)

Los términos de grado superior tiende a cero de ∆ x y ∆ y tienden a cero , obtenemos la componente en x de ∇ xA

(∇ xA)x = ∂ A z

∂ y -

∂ A y

∂ z

Una revisión más cuidadosa de la ecuación, revela un orden cíclico de x. y, z, el cual nos permite escribir las componentes en y, z de ∇ xA. La expresión completa del rotacional de A en coordenadas cartesianas es

∇ xA = ax ¿ - ∂ A y

∂ z¿ + a y ¿ -

∂ A z

∂ x¿ + az ¿ -

∂ Ax

∂ y¿

Y la podemos representar como

∇X A =[ ax ay az

∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

A x A y A z]

Representación de ∇X A en sistema general coordenadas ortogonales curvilínea (u1 , u2 , u3)

∇X A = 1

h1h2h3 [ au1h1 au2

h2 au3h3

∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1 A1 h2 A2 h3 A3]

De la matriz anterior se pueden escribir las expresiones en coordenadas cilíndricas y esféricas, usando los valores apropiados de

(u1 , u2 , u3) y sus coeficientes h1 , h2 , h3, los puedes revisar en la tabla 1, en la unidad de coordenadas.

Teorema de Stokes

En el caso de un área diferencial muy pequeña ∆ s j limitado por un contorno C j la definicion de

(∇ xA)j·(∆ s j ¿ = ∲c jA ∙dl (a)

Para superficies arbitraria, podemos subdividir en varias, digamos N, áreas diferenciales pequeñas. En la figura 12 se muestra este esquema con ∆ s j con elemento diferencial típico. El lado izquierdo de la ecuación es el flujo del vector ∇ xA por el área ∆ s j. Al sumar la contribución al flujo de todas las áreas diferenciales tenemos.

Figura 12

lim∆ sj →0

∑j →0

N

(∇ xA) j ·(∆s j) = ∫ S (∇ xA)·ds (b)

Supongamos las integrales de línea alrededor de los contornos de todos los elementos superficiales representados por el lado derecho de la ecuación (a). Puesto que la parte común de los contornos de dos elementos adyacentes es recorrida en direcciones opuesta por dos contornos, la contribución neta a la integral de línea total de todas las partes comunes en el interior es cero y después de la sumatoria solo queda la contribución del contorno exterior C que limita toda el área S

lim∆ sj →0

(∲¿¿c j A ∙dl¿)¿¿ = ∲c A ∙dl (c)

Al combinar (a) y (c) obtenemos el Teorema de Stokes

∫ s (∇ xA)·ds = ∲c A ∙dl

El cual establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral de línea cerrada del vector a lo largo del contorno que limita la superficie.

El teorema de Stokes convierte una integral de superficie del rotacional de un vector en una integral de línea del vector y viceversa. El teorema de Stokes, al igual que el teorema de la divergencia, es una identidad importante en el análisis vectorial y lo usaremos con frecuencia para establecer otros teoremas y relaciones del electromagnetismo.

Si aplicamos la integral de superficie (∇ xA) a una superficie cerrada, no habrá un contorno externo que limite la superficie

∲s(∇ xA) ∙ ds = 0 para cualquier superficie cerrada S. La geometría de la figura 15, se ha elegido a propósito para destacar el hecho de que una aplicación no trivial del teorema de Stokes siempre implica una superficie abierta con un borde. La superficie abierta más sencilla seria un plano bidimensional o un disco con la circunferencia como contorno. Debemos recordar que las direcciones relativas de dl y ds

(su dirección denotada por an) sigue la regla de la mano derecha; es decir, si los dedos de la mano derecha siguen la dirección de dl, el pulgar apunta en dirección de an

Dos Identidades Nulas

Identidad I

∇ x (∇V ) = 0 (1)

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es idénticamente cero. (La existencia de V y sus primeras derivadas en todos los puntos está implícita en esta identidad)

La demostración se puede hacerse fácilmente en coordenadas cartesianas

De la ecuación ∇ = ax∂

∂ x + a y

∂∂ y

+ az+∂

∂ z. En término generales, si

se toma la integral de superficie de ∇ x (∇V ) sobre cualquier

superficie, el resultado es igual a la integral de línea de ∇V (circuición de ∇V ¿ a lo largo de la trayectoria cerrada que limita la superficie, como lo establece el teorema de Stokes.

∫ s [∇ x (∇V )] ·ds = ∲c (∇V ) ∙ dl (2)

De la ecuación dV =∇V ∙d l

∲C (∇V ) ∙ dl = ∲c dv = 0 (3)

La combinación de (2) y (3) establece que la integral de superficie de ∇ x (∇V ) sobre cualquier superficie es cero. Por consiguiente el integrado debe anularse y se obtiene la identidad de la ecuación (1). Puesto que en la derivación no se especifica un sistema de coordenadas, la identidad es general e invariable para cualquier sistema de coordenadas.

La identidad I puede enunciarse también como sigue: Si el rotacional de un campo vectorial es nulo, entonces el campo vectorial puede expresarse como el gradiente de un campo escalar. Sea E un campo vectorial. Entonces, si ∇ x ( E ) = 0. Podemos definir un campo escalar V tal que

E = - ∇V

El signo negativo no tiene importancia en lo que se refiere a la identidad I, sabemos que un campo vectorial cuyo rotacional es nulo es un campo conservativo; lo tanto un campo vectorial irrotacional ( conservativo) siempre puede expresarse como el gradiente de un campo escalar.

Identidad II

∇ x (∇ x A) = 0 (1)

La divergencia rotacional de cualquier campo vectorial es idénticamente igual a cero.

Podemos demostrar esta identidad sin hacer referencia a un sistema de coordenadas si tomamos la integral de volumen ∇ x (∇ x A) en el lado izquierdo, aplicando el teorema de la divergencia tenemos

∫ s [∇ x (∇ x A)] ·ds = ∲c (∇ x A ) ∙ dl (1)

Escojamos por ejemplo, el volumen arbitrario V, encerado por una superficie S, como se muestra en la figura 13. La superficie cerrada puede dividirse en dos superficies abiertas S1 y S2 conectadas por una

fortera comun que sea dibujado dos veces como C1 y C2. Después se aplica el teorema de stokes a la superficies S1, limitada por C1 y a la superficies S2, limitada por C2, escribiendo el lado derecho de la ecuación.

∲c (∇ x A ) ∙ dl = ∫ s1 (∇ x A) · an1ds + ∫ s2 (∇ x A) · an2ds

= ∲C1A ∙dl + ∲C2

A ∙dl (2)

Figura 13

La normales an1 y an2 a las superficies S1 y S2, son normales hacia fuera y sus relaciones con la direcciones de las trayectorias C1 y C2 siguen la regla de la mano derecha. Puesto que los momentos de C1 y C2 de hecho son las mismas fronteras común entre S1 y S2, las dos integrales de línea en el lado derecho de la ecuación (2) siguen la misma trayectoria en direcciones opuestas. Su suma es entonces cero y desaparecen la integra de volumen de ∇ x ¿ del lado izquierdo de la ecuación (1). Puesto que esto se aplica a cualquier volumen a arbitrario, la integral debe ser cero, como lo indica la identidad II.

Otra forma de enunciar la identidad II es: Si la divergencia de un campo vectorial es nula, entonces el campo vectorial es solenoidal y puede expresarse como el rotacional de otro campo vectorial. Sea B un campo vectorial. Este enunciado alternativo establece que ∇ · B = 0, podemos definir un campo vectorial a tal que

B = ∇ x A

Clasificación de campos y teorema de Helmholtz

Clasifiquemos los campos vectoriales de acuerdo a si son solenoidales o irrotacionales (conservativos).

1.- solenoidal e irrotacional.

∇ · F = 0 y ∇ x F = 0

Por ejemplo: un campo eléctrico estático en una región libre de carga

2.- solenoidal pero no irrotacional si

∇ · F = 0 y ∇ x F ≠ 0

Por ejemplo: un campo magnético estático en un conductor que trasporta corriente

3.- irrotacional pero no solenoidal.

∇ x F = 0 y ∇ · F ≠ 0

Por ejemplo: un campo eléctrico estático en una región con carga

4.- ni solenoidal ni irrotacional

∇ · F ≠ 0 y ∇ x F ≠ 0

Por ejemplo: un campo eléctrico en un medio cargado con campo magnético variable

El campo vectorial mas general tiene una divergencia distinta de cero y un rotacional distinto de cero y pueden considerarse como la suma de un campo soleniodal y un campo irrotacional.

Teorema de Helmholtz

Un campo vectorial esta determinado si su divergencia y su rotacional están especificados en todos los puntos.